O documento discute conceitos fundamentais de álgebra linear, incluindo transformações lineares, dependência e independência linear. Uma transformação linear preserva adição e multiplicação escalar. Dependência linear ocorre quando vetores podem ser expressos como combinações lineares de outros vetores, enquanto independência linear significa que apenas a combinação trivial é possível. Estes conceitos são aplicados em diversas áreas como engenharia e ciências.

1. Faculdade dos Guararapes
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Mecânica
Aluno:
Disciplina:
TRANSFORMAÇÃO LINEAR
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR:
CONCEITOS, EXEMPLOS E APLICAÇÕES
DESEMBRO / 2015

2. Transformação Linear
Transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as
operações de adição vetorial e multiplicação por escalar.
Sejam V e W espaços vetoriais. Diz-se que F: V W é uma aplicação linear se satisfaz às
duas propriedades seguintes:
1. Para quaisquer u, v U: F(u + v) = F(u) + F(v).
2. Para qualquer k R e qualquer v U: F(k.v) = k.F(v).
Definição alternativa 1: Sejam V e W espaços vetoriais. F: V W é uma aplicação linear se,
para quaisquer u, v U e quaisquer a, b R se tem que
F(au+bv) = aF(u) + bF(v)
Definição alternativa 2: Sejam V e W espaços vetoriais. F:V W é uma aplicação linear se,
para quaisquer u,v U e qualquer b R se tem que
F(u+bv) = F(u) + bF(v)
Graficamente temos algo como:
Observações importantes:
1. Uma aplicação linear também recebe o nome de Transformação linear.
2. Na literatura mais recente sobre Álgebra Linear, quando V=W, a aplicação F recebe o nome de
operador linear e quando W = R, recebe o nome de funcional linear.
3. Se F: V W é uma aplicação linear, então F(0) = 0, onde o primeiro 0 é o vetor nulo de V e o
segundo 0 é o vetor nulo de W.
4. Para provar que uma aplicação é linear, devemos demonstrar que valem as duas propriedades
descritas na definição, mas para mostrar que uma transformação não é linear, basta exibir a
propriedade que não é satisfeita.
Teoremas sobre a Composta de Transformações Lineares
1. Sejam F: U V e G: V W transformações lineares. A composta GoF: U W também é uma
transformação linear.
Demonstração:Sejam u, v U e k R. Assim
(GoF)(u+kv) = G(F(u+kv)) Definição de composta
= G(F(u)+F(kv)) Linearidade de F

3. = G(F(u))+G(k.F(v)) Aditividade de G
= G(F(u))+k.G(F(v)) Homotetia de G
= (GoF)(u)+k.(GoF)(v) Definição de composta
Exemplo: Dadas as transformações lineares S: R³ R² definida por S(x,y,z) = (x,y+z) e T: R²
R³ definida por T(x, y)=(3x,2y,x+y), a transformação composta P:R² R² tal que P = SoT é
linear, pois
(SoT)(x,y) = S(T(x,y)) = S(3x,2y,x+y) = (3x,2y+x+y) = (3x,3y+x)
2. Sejam V e W espaços vetoriais reais, uma base de V denotada por {v1,...,vn} e {w1,w2,...,wn} um
conjunto de elementos de W. Existe uma única transformação linear T: V W tal que
T(v1) = w1, T(v2) = w2, ..., T(vn) = wn
Se considerarmos a combinação linear
v = a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn , então
T(v) = a1 T(v1) + a2 T(v2) + ... + an T(vn) = a1 w1 + a2 w2 + ... + an wn
Devemos provar que T é uma transformação linear, verificando que:
1. Para quaisquer u, v U: F(u+v) = F(u)+F(v).
2. Para qualquer k R e qualquer v U: F(kv) = k.F(v).
Exemplo: Seja a aplicação T: Rn
Rm
definida por
TA(v) = A .
v1
v2
...
vn
=
w1
w2
...
wn
onde A é uma matriz de ordem m×n e
v =
v1
...
vn
é um vetor coluna. T é linear pois,
TA(u+bv) = A(u+bv) = A(u) + A(bv) = A(u) + b.A(v) = TA(u)+ b.TA(v)
Exemplo: Se
A =
1 0
0 0
0 0

4. e TA: R² R³,então
TA(u) =
1 0
0 0
0 0
.
u1
u2
=
u1
0
0
Então TA(u1,u2) = (u1, 0, 0)
Exemplo. Verifique se a aplicação T se qualifica como transformação linear
T : R2
→ R2
e T (x, y) = (2x − y, 0)
Solução: Temos de verificar se T (αu + βv) = αT (u) + βT (v), ∀ u, v ∈ R2
, ∀ α, β ∈ R.
Façamos então u = (u1, u2) e v = (v1, v2).
T (αu + βv) =
= T (α (u1, u2) + β (v1, v2))
= T (αu1 + βv1, αu2 + βv2)
= (2 (αu1 + βv1) − (αu2 + βv2),0)
= (2αu1 − αu2 + 2βv1 − βv2,0)
= (2αu1 − αu2, 0) + (2βv1 − βv2, 0)
= α (2u1 − u2, 0) + β (2v1 − v2, 0)
= αT (u) + βT (v)
Imagem e Núcleo de uma Transformação Linear
Seja F: U V uma transformação linear. A Imagem de F é o conjunto de todos os vetores
F(v) V, isto é;
Im(F) = {F(v) V: v V}
A imagem de F, denotada por Im(F), é um subespaço vetorial de V.
Seja F: U V uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores u U tal que F(u) =
0 é denominado Núcleo de F, sendo denotado por Nuc(F), isto é;
Nuc(F) = {v V: F(u) = 0}
O núcleo de F, denotado por Nuc(F),é um subconjunto de U e também é um subespaço vetorial
de U.
Aplicações: Injetora, Sobrejetora e Bijetora
1. Uma aplicação F: U V,F é Injetora se dados u, v U com F(u) = F(v) se tem
necessariamente que u = v. Outro modo equivalente: F é Injetora,se dados u, v U com u
vimplicar que F(u) F(v).
2. Uma aplicação F: U V é Sobrejetora se a imagem de F coincide com V, isto é, F(U) = V,
significando que, dado v V, existe u U tal que F(u) = v.
3. Uma aplicação F:U V, F é Bijetora se é injetora e sobrejetora.

5. Operador Diferencial Linear
Seja V o espaço vetorial de todas as funções reais infinitamente e contínuamente diferenciáveis
no intervalo [a,b] da reta.
1. A aplicação D: V V definida por D(f) = f ', onde f ' é primeira derivada primeira da função.
Esta aplicação é linear, pois
D(af+bg) = aD(f) + bD(g)
2. A partir do operador diferencial D é possível definir a composta D (2)
= DoD. Pode-se mostrar que é
linear a aplicação D (2)
: V V definida por D (2)
(f) = f'', onde f'' é segunda derivada da função f, pois
D(2)
(af+bg) = a D(2)
(f) + b D(2)
(g)
3. A aplicação D n+1
: V V definida por Dn
(f) = f (n)
onde f (n)
é a derivada de ordem n da função f.
Demonstra-se que é linear a aplicação Dn
definida recursivamente por D 0
= In e para cada n N:
Dn
= D o D n−1
4. A aplicação L: V V definida por L(D) = a D² + b D + c Id é linear.
5. A aplicação L: V V definida por
L(D) =
n
k=0
ak Dk
é linear. Realmente,
[L(D)](f+g) =[
n
k=0
akDk
](f+g)=
n
k=0
akDk
(f+g)=
n
k=0
ak[Dk
(f)+Dk
(g)]
=
n
k=0
ak Dk
(f) +
n
k=0
ak Dk
(g) = [L(D)](f) + [L(D)](g)
Aplicações
A matemática tem relação direta com várias áreas do conhecimento (física, química, engenharia,
informática, economia, biologia, medicina, ciências humanas), ocupando um lugar de destaque no
mundo científico contemporâneo.
A álgebra linear ocupa lugar de destaque nas diversas áreas da matemática – da análise à
estatística, onde se utilizam, constantemente,o cálculo matricial e vetorial. Também se aplica na
modelagem matemática de problemas e situações concretas em engenharia são:
- Equações lineares em decisões gerenciais; circuitos eletrônicos e exploração de petróleo, entre
outros.
- Álgebra matricial em computação gráfica.
- Determinantes em cálculo de áreas de volumes de sólidos poliédricos.
- Espaços vetoriais em sistemas de controle.
- Autovalores e autovetores em sistemas dinâmicos.
- aplicação na engenharia civil através de estruturas metálicas.

6. Dependência e Independência Linear
Definição
Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, . . . , vn ∈ V. Consideremos a equação vetorial
a1v1 + a2v2 + · · · + anvn = 0.
Se a única solução da equação acima for
a1 = a2 =. . . = an = 0
dizemos que v1, v2, . . . , vn são linearmente independentes (LI).
Se a equação acima tiver mais que uma solução, dizemos que v1, v2, . . . , vn são linearmente
dependentes (LD).
Exemplo. Os vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (5, 2, 3) de R3
são LD, pois 2v1 + 3v2 − v3 = 0.
Exemplo. Sejam n ∈ N e V = P o espaço dos polinômios em t. Os vetores abaixo são LI.
p1 = 1 + t, p2 = t + t 2
, . . . , pn = t n−1
+ t n
Até o momento, definimos as noções de dependência e independência linear para conjuntos
finitos. Iremos, agora, estender tais noções para conjuntos infinitos.
Seja V um espaço vetorial e X ⊂ V não vazio. Dizemos que X é linearmente dependente (LD)
se existem v1, v2, . . . , vn ∈ X linearmente dependentes. Caso contrário, dizemos que X é linearmente
independente (LI).
Exemplo Seja X = {v = (x, y) ; x, y ∈ Z} ⊂ R2
. Este conjunto é LD.
Exemplo Seja X = {pn = t n
; n ∈ N ∪ {0}} contido no espaço P dos polinômios em t. Então X é LI.
Propriedades
Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, . . . , vn ∈ V. São válidas as seguintes propriedades:
1. Qualquer conjunto X que contenha o vetor nulo é LD. Em particular, o conjunto {0} ⊂ V é LD.
2. v1, v2 não nulos são LD se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro.
3. Se v1, v2, . . . , vn são LD, então, qualquer que seja v ∈ V, v1, v2, . . . , vn, v são LD.
4. Se X é LI e Y ⊂ X, então Y é LI.
5. Um conjunto {v1, v2, . . . , vn, } é LD se, e somente se,ao menos um dos vetores é combinação
linear dos demais.
6. A interseção de dois conjuntos linearmente independentes é linearmente independente - podendo
ser o conjunto vazio.
7. A interseção de um número qualquer de conjuntos linearmente independentes é linearmente
independente.