E4 análise de regressão simples

ESTATÍSTICA
ECONOMETRIA
Regressão Linear Simples
Regressão Potencial; Exponencial;
Hiperbólica
Regressão Linear Múltipla
Prof. Ms. Antonio Carlos de Oliveira Capitão

E4 1
CONCEITO DE ECONOMETRIA
1.- CONCEITO
Econometria é oramo do conhecimento humano que aplica a Matemática e a Estatística à
Teoria Econômica, objetivando dar-lhe conteúdo empírico.
Ela surgiu da seguinte forma: no início, a Teoria Econômica não tinha muitas
preocupações com a parte empírica, mas sim, com a construção de uma arcabouço
teórico, ou seja; a partir das hipóteses que ela estabelecia, procurava tirar proposições que
deveriam explicar o comportamento dos agentes econômicos, sem preocupações com a
parte empírica.
Mas, duas coisas os teóricos não sabiam:
a) quantificar numericamente os parâmetros dos modelos gerados pelas proposições da
Teoria Econômica;
b) não podiam colocar à prova essas proposições, isto é, não podiam confrontar a sua
teoria com a realidade.
Foi justamente para cobrir esses dois aspectos, que surgiu a Econometria.
Exemplos: A Teoria Econômica que a demanda de importações depende do nível de
produção interna e da taxa de câmbio. Além disso, dá o sentido do efeito: dado um
aumento na taxa de câmbio (uma desvalorização cambial), as importações deveriam
diminuir (afinal, os produtos estrangeiros tornaram-se mais caros): e, dado um aumento
na produção interna, as importações deveriam aumentar (particularmente os de bens de
capital e matérias-primas, para suprir o aumento da produção interna).
Mas a teoria econômica não dá a magnitude do efeito, isto é, se a produção aumenta 5
bilhões; e de quanto deve aumentar as importações, por exemplo. Isso é feito pela
Econometria.
Dessa forma a Econometria surgiu com o objetivo de dar conteúdo empírico à Teoria
Econômica, isto é, dar resposta quantitativa às perguntas que os economistas não
poderiam dar apenas com a Teoria Econômica.

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2.- CAMPOS
O Estudo da Econometria divide-se em dois grandes campos:
a) Modelos de equação única: C = a + bY (Função Cons)
b) Modelos de equação simultânea:
Y = C + 1 (Condição de equilíbrio)
C = a + bY (Função consumo)
Como se observa, no modelo de equação simultânea na primeira equação o consumo
entra como variável independente e, na segunda, como variável dependente.
A estimação dos parâmetros deve serfeita simultâneamente com duas (ou mais) equações.
Nosso curso tratará apenas dos modelos de equação única.
3.- PRINCIPAL TÉCNICA ECONOMÉTRICA
A principal técnica econométrica consiste na Análise de Regressão Linear, que pode ser
Simples (apenas uma variável explicativa), ou Múltipla (mais de uma variável
explicativa).
4.- EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
Primeiramente, a Econometria pode favorecer os valores dos principais parâmetros de
Política Econômica, como:
- propensão marginal a consumir (tirado da função consumo - C = a + bY);
- propensão marginal a poupar;
- dada uma desvalorização cambial de 5%, qual a diminuição esperada nas importações, e
o aumento esperado nas exportações;
- efeito quantitativo de um aumento de renda sobre a demanda de moeda (efeito
transação) para com isso ter-se uma idéia definida de qual deve ser o aumento da oferta
de moeda da coletividade para suprir aquele aumento de demanda.
Em segundo lugar, embora a Econometria tenha nascido para complementar apenas o
conhecimento teórico, muitas vezes, a partir da Econometria, é que se criou esse
conhecimento. É um exemplo clássico a função tipo Cobb-Douglas, ou ainda a função de
produção CES, ambas nascidas da observação empírica.

E4 3
II - REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
1.- INTRODUÇÃO
O economista, muitas vezes, se vê ante a necessidade de descrever e prever o
comportamento de certas variáveis, que serão importantes para sua tomada de decisão.
Embora muita coisa possa ser prevista de forma intuitiva, ou através das pesquisas de
mercado (principalmente quando se refere a curto prazo), é bastante interessante e
conveniente tentar encontrar fórmulas matemáticas que possam relacionar o
comportamento das variáveis de interesse do administrador, com certo grau de precisão.
A previsão através de intuição ou pesquisa de mercado pode resolver satisfatoriamente os
problemas de curto prazo, pois as pessoas informantes podem ter uma certa visão até
determinado período de tempo, perdendo esta visão à medida que o horizonte do tempo
aumenta. O estabelecimento de relações entre variáveis, além de útil a curto prazo,
resolve também os problemas de previsão do comportamento de certas variáveis a longo
prazo, como se poderá notar ao longo do desenvolvimento desta apostila.
A análise de regressão é um método que visa estabelecer relações funcionais entre
variáveis relacionadas por leis estatísticas, isto é, procura encontrar uma função que
descreve da melhor forma possível o comportamento de alguma variável que estamos
interessados em analisar.
A análise de regressão é um método que visa estabelecer relações funcionais entre
variáveis relacionadas por leis estatísticas. Para tornar a idéia de regressão linear simples
mais clara, suponha que estamos interessados em analisar e comportamento de uma
variável Y, digamos a quantidade do produto”A”, vendida pela empresa “A”. Seria
bastante lógico supor que os valores da variável Y sofram a influência de uma série de
variáveis tais como:
a) o preço do bem “A”, que chamaremos de X1; isto porque à medida em que o preço do
bem “A” aumentar, deve ocorrer uma queda na quantidade vendida deste bem (lei da
demanda).
b) a renda per capita da comunidade, que chamaremos de X2; a medida em que a renda
aumenta, há um número maior de pessoas em condições de adquirir o bem “A”,
aumentando consequentemente suas vendas, desde que “A” não seja um bem inferior.
c) os gastos com propaganda, que chamaremos de X3; a medida em que os gastos com
propaganda aumentam, há uma expansão das vendas do produto “A”, caso a propaganda
seja realmente eficiente.

E4 4
d) poder-se-ia considerar ainda uma série de outras variáveis X4, X5, ........ Xn, tais
como: gosto dos consumidores, qualidade do produto “A”, qualidade dos prosutos
concorrentes, etc., que podem ser qualificáveis ou não.
Portanto, já sabemos que existe uma série de variáveis (X1, X2, ........... Xn) que
influenciam Y, mas na análise de regressão linear simples, trabalhamos apenas uma
variável explicativa X (*). Para superar este problema, isolamos a variável que parece ser
mais explicativa, desde que seja quantificável e trabalhamos com esta variável. Por
exemplo, se estamos interessados em analisar o comportamento das vendas de
automóveis no Brasil, poderemos utilizar a renda per capita como variável explicativa.
Neste caso, a quantidade vendida de automóveis é uma função de renda per capita.

E4 5
2.- O MODELO DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
2.1. - O MODELO VERDADEIRO
Consideremos o exemplo citado no final do tópico anterior (quantidade vendida de
automóveis (y) como função da renda per capita (x) e suponhamos que estas variáveis se
comportem como no gráfico a seguir:
1
caficamente:
Y = α + β X . + U
onde:
Y = Y observado = variável dependente
X = variável independente ou variável explicativa
α = intercepto
β = declividade ou coeficiente angular
U = componente aleatória (ou desvio ou componente errática ou erro)
Nesta variável “U” estão contidos os efeitos de todas as variáveis que atuam sobre Y,
além de X. Neste exemplo citado, poder-se-ia considerar como contidos em “U”, os
efeitos de variáveis como a taxa de juros cobrada no financiamento de automóveis, o
preço da gasolina (variáveis quantificáveis), qualidade dos automóveis, gosto dos
consumidores, etc. (variáveis não quantificáveis). A soma de todos estes efeitos é a
componente aleatória “U”. Claramente, estes problemas causam desvios em torno da reta
Y = α + β X + U, onde:
(α + β X) é a parcela livre das causas aleatórias (no exemplo, é a parcela explicada pela
renda per capita).
1
Na regressão linear múltipla, podemos trabalhar com uma série de variáveis explicativas, mas este
método será objeto de estudo mais adiante (parte III).

E4 6
2.2. O MODELO ESTIMADO
Dado o fato de que sempre trabalhamos com amostra, não podemos conhecer o
verdadeiro modelo, mas apenas uma estimativa deste; além disso, não conhecemos o
resíduo “U”. A partir de uma particular amostra, estaremos obtendo valores estimados
dos parâmetros populacionais α e β.
Temos, então y = a + b x, onde:
y = y estimado
a = estimativa do intercepto
b = estimativa da declividade
x = variável explicativa
e = estimativa do erro
NOTA: y e x são dados. A partir dessas duas séries, obteremos os valores de a e b.
Graficamente:
Y = A + BX

E4 7
3. Os passos da Análise de Regressão Linear Simples 2
A especificação do modelo na regressão linear simples consiste de duas fases: seleção de
variáveis e especificação da forma funcional.
3.1.1. Seleção das variáveis do modelo
Como vimos, a regressão linear simples procura estabelecer relações entre variáveis.
Sempre que estamos interessados em analisar o comportamento de uma variável
dependente “Y” para estabelecer previsões sobre seu futuro comportamento, precisamos
selecionar uma variável independente “X”, que julgamos explicar o máximo possível o
comportamento desta variável “Y”. Exemplos:
1º) Se estamos interessados em analisar o comportamento dos custos de uma empresa,
precisamos encontrar uma variável que explique as variações de custo, que poderia ser a
quantidade produzida. Então C = f (Q), pois à medida que a quantidade produzida
aumenta, devem aumentar os custos de produção.
2º) Se queremos analisar a venda de automóveis marda FORD, tipo Corcel, podemos
selecionar como variável explicativa o preço relativo do Corcel, isto é, P.Corcel . Então
P.Concor.
Qvc = f (Pcorcel); a medida em que o preço relativo do Corcel aumenta, deve reduzir sua
quantidade vendida.
3º) Para analisarmos a venda de determinado tipo de brinquedo infantil, poderemos
considerar como variável explicativa a população que utiliza este tipo de bem, podendo
ser crianças entre 3 a 10 anos, dependendo do tipo de brinquedo.
Às vezes, informações sobre nossa variável explicativa não estão disponíveis por falta de
estatísticas. Para solucionar problemas como este, pode ser utilizada uma variável
“proxy”, que é uma variável que substitui aproximadamente a que estamos procurando.
Por exemplo, podemos medir a renda per capita de uma dada cidade (informação não
disponível) pela arrecadação de impostos (imposto de renda ou imposto sobre produtos
industrializados) ou ainda pelo consumo de energia elétrica.
2
O estudo de Regressão Linear Simples está consubstanciado em algumas hipóteses básicas, que serão
discutidas no capítulo VII.

E4 8
Para a seleção das variáveis do modelo, temos que levar em consideração:
a) o tamanho da amostra,
b) representatividade (a amostra deve ser representativa da população),
c) o período escolhido para a amostragem deve ser tal que outras condições que possam
influir no problema hajam permanecido aproximadamente as mesmas.
3.1.2. Especificação de forma funcional
Nesta fase do processo, estamos interessados em saber a forma pela qual a variável
independente exerce influência sobre a variável independente. Uma vez selecionadas as
variáveis, devemos descobrir qual a função que melhor descreve o comportamento de
“Y”, quando “X” varia.
Nós sabemos que a quantidade vendida do produto “A”, é uma função dos gastos com
propaganda efetuadas pela empresa “A”, mas, muitas vezes, não temos condição de saber
se esta função é uma reta, uma exponencial ou uma potência.
RETA EXPONENCIAL POTÊNCIA

E4 9
A especificação da forma funcional entre “Y” e “X” pode ser feita de duas formas. Às
vezes, a teoria subjacente ao desenvolvimento do problema pode sugerir precisamente a
forma funcional a ser utilizada, ou então, poderá sugerir a forma funcional a ser utilizada,
ou então, poderá sugerir certas condições parciais sobre o intercepto, declividade ou
curvatura da função. Neste caso, estaremos partindo de uma especificação “a priori”.
Outra forma de especificar a forma funcional entre “X” e “Y” é o emprego do diagrama
de dispersão. O diagrama de dispersão é a “nuvem” de pontos que obtemos quando
colocamos os pares de valores das variáveis no gráfico. Para cada observação da amostra
, teremos tanto um valor de Y observado com um de X observado. Por exemplo,
considere o preço do prosuto “A” (preço relativo) e a quantidade vendida deste produto
nos anos de 1965 a 1974.

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FÓRMULAS
REGRESSÃO LINEAR (MODELO LINEAR)
Coeficiente de correlação:
OBS.: varia entre -1 e 1 inclusive
( Σ X . Σ Y)
Σ XY - _____________
n
RXY = __________________________________________
____________________________________________________
| 2 2 |
_ | 2 ( Σ X ) 2 ( Σ Y )
| Σ X - ________ . Σ Y - __________
n n
TABELA DE CORRELAÇÃO
1---------------> perfeita
0,8 -------|0,99 forte OBS.: Pode ser positiva
0,6 -------| 0,8 média ou negativa
0,3 -------| 0,6 fraca
0 ---------| 0,3 fraquíssima
0----------| nula
_ Σ X
Média de X : X = _____
n
_ Σ Y
Média de Y : Y = ______
n
Equação de regressão linear (também denominada “função estimada”)
Y = a + b x ----------- > variável
| independente
|----> variável
dependente

E4 11
Isolando-se a variável “a” na função acima encontramos:
_ _
a = y - b x
_ _
Σ xy - n (x) . (y)
b = ________________
2 _ 2
Σ x - n ( x )
ERRO PADRÃO
__________________________________
| 2 |
| Σ y - a Σ y - b Σ xy
Sxy = _ | ______________________________
| n - 2
|
2
Poder Explicativo da Regressão - R
2 _ 2
2 a Σ y + b Σ xy - n y
R = _________________________ . 100
| Σ y 2 - n y2
OBS.: - Varia entre 0 e 100%
- As projeções baseadas no modelo é confiável quanto mais se aproxima de 100%.

E4 12
FÓRMULA PARA MODELOS NÃO LINEARES
POTÊNCIA EXPONENCIAL HIPÉRBOLE
b x + b
y = a . x y = a . b y = a - __
x
ln y = U
ln x = V U = A + b . V
ln a = A OBS.: LN = LOGARÍTIMOS
NEPERIANOS
LOGO : X = V
Y = U
2 2
Sequência da Tabela : X, Y, V, U, V , Y , UV
Σ U
Média de U = _______
n
Σ V
Média de V = ______
n
2
2 ( Σ U )
SUU = Σ U - ________
n

E4 13
2
2 ( Σ V )
SVV = Σ V - _________
n
( Σ U . Σ V )
SUV = Σ UV - ____________
n
_ _
Cálculo de A A = U - b V
SUV
Cálculo de B B = _______
SVV
OBS.: DEVE-SE MONTAR A FUNÇÃO ESTIMADA (REGRESSÃO) MAIS
APROPRIADA AO MODELO ESTUDADO (POTÊNCIA, EXPONENCIAL OU
HIPÉRBOLE).
2
2 b . SVV OBS.: VARIA DE 0 A 100% , E QUAN-
R = ____________ . 100 TO MAIS O RESULTADO SE
APRO-
SUU XIMAR DE 100%, MAIS CONFIÁ-
VEL SÃO AS PROJEÇÕES.
________________
| 2 |
Correlação = - | R
| _____
| 100
( Σ X´) . (Σ Y)
_ Σ X´ Σ YX´ - ______________
X´ = _____ B = n
n ____________________________
2 2

E4 14
Σ X´ = (Σ X´ )
_ Σ Y´ ______
Y´ = _____ n
n _ _
A = Y - b . X
Y = a + b
- ____
X
_ 2
2 a Σ Y + b Σ X´ Y - n . Y
R = _________________________ . 100
2 _ 2
Σ Y - n . Y
___________
| 2 |
X´ Y = - | R
| _____
| 100
EXEMPLO DE REGRESÃO LINEAR

E4 15
Método dos Mínimos Quadrados
x y x2
y2
x.y
825 3,5 680.625 12,25 2.887,5
215 1,0 46.225 1,00 215,0
1.070 4,0 1.144.900 16,00 4.280,0
550 2,0 302.500 4,00 1.100,0
480 1,0 230.400 1,00 480,0
920 3,0 846.400 9,00 2.760,0
1.350 4,5 1.822.500 20,25 6.075,0
325 1,5 105.625 2,25 487,5
670 3,0 448.900 9,00 2.010,0
1.215 5,0 1.476.225 25,00 6.075,0
somatório 7.620 28,5 7.104.300 99,75 26.370,0
x = 762
y = 2,85
correlação:
(Sx.Sy)
rxy = S xy - n
(Sx2
- (Sx)2
).(Sy2
-(Sy)2
)
n n
(7.620 . 28,5)
rxy = 26.370- 10
(7.104.300- (58.064.400)).(99,75-812,25)
10 10
rxy = 0,95 positiva e forte
equação de regressão:
b = Sxy - n (x).(y) b=26.370 - 10(762).(2,85)
Sx2
- n (x)2
7.104.300 - 10(762)2
b = 0,003 0,0036
a = y - bx a = 2,85 - 0,003 . 762
a = 0,5 0,564

E4 16
y = a + bx
EXEMPLO
Uma empresa levantou os seguintes dados para avaliar as suas vendas e
os gastos
com promoção.
x y
gastos com vendas
promoção em x2
y2
x.y
em US$1.000 US$milhões
1º ano 140 50 19.600 2.500 7.000
2º ano 200 57 40.000 3.249 11.400
3º ano 238 67 56.644 4.489 15.946
4º ano 270 69 72.900 4.761 18.630
5º ano 300 77 90.000 5.929 23.100
6º ano 400 85 160.000 7.225 34.000
7º ano 450 86 202.500 7.396 38.700
somatório 1.998 491 641.644 35.549 148.776
1 - De quantos milhões seriam as vendas, se a empresa aplicar US$
600.000,
em promoção?
2 - Qual a confiabilidade da projeção, justifique a sua resposta?
x = 285,4
y = 70,1
correlação:
(Sx.Sy)
rxy = S xy - n
(Sx2
- (Sx)2
).(Sy2
-(Sy)2
)
n n
b = Sxy - n (x).(y)
Sx2
- n (x)2
b = 0,1
a = y - bx

E4 17
a = 41,6
erro padrão:
Sxy = Sy2
- aSy - bSxy
n - 2
Sxy = 7
poder explicativo da regressão:
R2
= aSy + bSxy - ny2
. 100
Sy2
- ny2
R2
= 77,8% alto poder explicativo
equação de projeção:
y = a + bx
y = 101,6 milhões
Respostas:
1 - As vendas seriam US$ 101,6 milhões.
2 - A confiablidade é alta, devido ao alto poder explicativo.
EXEMPLO NÚMERO 2
A tabela a seguir mostra uma relação entre a nota final de
estatística
e o número de horas que os alunos estudaram.
y x
notas horas y2
x2
x.y
estudo
9 30 81 900 270
8 25 64 625 200
7 20 49 400 140
6 15 36 225 90
5 14 25 196 70
4 14 16 196 56
3 10 9 100 30
2 5 4 25 10
1 3 1 9 3
somatório 45 136 285 2.676 869
Pede-se:

E4 18
1 - Existe relação entre as duas variáveis acima? Justifique.
2 - Identifique a variável explicativa e analise a tabela pelo método
dos
mínimos quadrados.
3 - Analise a confiabilidade do modelo para projeção.
4 - Quantas horas o aluno precisa estudar para tirar a
nota:
a - 10
b - 5,5
c - 0
correlação:
(Sx.Sy)
rxy = S xy - n
(Sx2
- (Sx)2
).(Sy2
-(Sy)2
)
n n
média:
x = 15,1
y = 5,0
equação de regressão linear:
b = Sxy - n (x).(y)
Sx2
- n (x)2
b = 0,3
a = y - bx
a = 0,5
y = a + bx
para nota 10 x= 31,7
para nota 5,5 x= 16,7
para nota 0 x= -1,7
erro padrão:
Sxy = Sy2
- aSy - bSxy
n - 2
Sxy = 0,5

E4 19
R2
= aSy + bSxy - ny2
. 100
Sy2
- ny2
R2
Respostas:
1 - Existe, pois a correlação é positiva e forte.
2 - A nota depende das horas, portanto a hora é a variável
explicativa.
3 - A confiabilidade é alta, devido ao alto poder explicativo.
4 - Para tirar:
nota 10 = 31,7 horas
nota 5,5 = 16,7 horas
nota 0 = -1,7 horas
Exercício:
Importação brasileira de matéria-prima de 88 a 94 (fonte: Ordem dos
Economistas)
x y
ano quantidade x2
y2
x.y
(ton)
1988 1 50 1 2.500 50
1989 2 47 4 2.209 94
1990 3 35 9 1.225 105
1991 4 30 16 900 120
1992 5 24 25 576 120
1993 6 10 36 100 60

E4 20
1994 7 16 49 256 112
somatório 28 212 140 7.766 661
Informe a projeção para 95 e 96
x = 4,0
y = 30,3
correlação:
(Sx.Sy)
rxy = S xy - n
(Sx2
- (Sx)2
).(Sy2
-(Sy)2
)
n n
rxy = -0,96 negativa e forte
b = Sxy - n (x).(y)
Sx2
- n (x)2
b = -6,7
a = y - bx
a = 57,1
erro padrão:
Sxy = Sy2
- aSy - bSxy
n - 2
Sxy = 4
R2
= aSy + bSxy - ny2
. 100
Sy2
- ny2

E4 21
R2
y = a + bx
para 95 y = 3,5
para 96 y = -3,2
EXERCÍCI
O
Relação entre horas contínuas trabalhadas e quantidade de
microcomputadores
com defeito de montagem (fonte: Hardzon)
x y
quantidade
horas de micros x2
y2
x.y
c/defeito
18 9 324 81 162
12 8 144 64 96
10 7 100 49 70
8 6 64 36 48
6 5 36 25 30
5 4 25 16 20
4 3 16 9 12
somatório 63 42 709 280 438
Faça projeção para: 20 horas
15 horas
7 horas
x = 9,0
y = 6,0
correlação:
(Sx.Sy)
rxy = S xy - n
(Sx2
- (Sx)2
).(Sy2
-(Sy)2
)
n n

E4 22
b = Sxy - n (x).(y)
Sx2
- n (x)2
b = 0,4
a = y - bx
a = 2,4
erro padrão:
Sxy = Sy2
- aSy - bSxy
n - 2
Sxy = 1
R2
= aSy + bSxy - ny2
. 100
Sy2
- ny2
R2
y = a + bx
para 20 horas ====> 10 micros c/defeito
para 7 horas =====> 5 micros c/defeito

E4 23
REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA
A análise de Regressão Linear Múltipla consiste, na realidade, numa extensão da matéria
desenvolvida na primeira parte do curso de “Estatística Aplicada à Administração”, qual
seja, a Regressão Linear Simples. Visto que as idéias e conceitos a serem desenvolvidos
no decorrer do presente estudo se assemelham com a análise de Regressão Linear
Simples, procurar-se-á, na medida do possível, relacionar as duas análises.
A idéia central da análise de Regressão Linear Simples era a de encontrar uma função
(estimada) que descrevesse (de forma mais perfeita possível) o comportamento de uma
variável que estivéssemos interessados em analisar. Para estimarmos esta função,
selecionávamos uma variável explicativa (X), a quela que julgássemos explicar o
máximo possível o comportamento da variável independente (Y), a ser analisada.
No caso da Regressão Linear Múltipla, a diferença fundamental reside no número de
variáveis explicativas, que agora não fica limitada a apenas uma, mas podendo expandir
este número para quantas variáveis explicativas forem necessárias.
No desenvolvimento de nosso curso, utilizaremos o modelo de Regressão Linear
Múltipla com “DUAS” variáveis explicativas; a extensão do modelo, a partir daí, para
três ou mais variáveis explicativas, é imediata, sendo porém, que estes modelos (três ou
mais variáveis) geralmente são estimados por computador, dada a grande dificuldade em
estimalos manualmente.
Quando temos três ou mais variáveis denominamos o processo de REGRESSÃO
MÚLTIPLA; existem também casos de linearização (Hipérbole, Potência, Exponencial,
etc...), porém, nos limitaremos a seguir à “REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA” com
três variáveis.
Na regressão múltipla não há perfeita multicolinearidade entre os regressores (não existe
relação linear perfeita entre as variáveis).
Ao tratarmos com três variáveis, deixaremos de usar o gráfico plano (X,Y), para nos
referirmos a um diagrama de dispersão de pontos em três dimensões (X, Y, Z); mas o
problema continua sendo o de encontrar um plano (uma reta na regressão linear simples)
que melhor se ajuste, no sentido de menores desvios dos pontos observados.
A técnica matemática utilizada é o “Método dos Mínimos Quadrados”, que é uma
extensão, de forma geral, da técnica utilizada na Regressão Linear Simples.

E4 24
O MODELO VERDADEIRO DE R. L. M.
No caso de Regressão Linear Múltipla teremos um plano de regressão, ao invés de uma
reta. Graficamente:

E4 25
MODELO ESTIMADO
Dado o fato que sempre trabalhamos com amostras, não podemos conhecer o verdadeiro
modelo, mas apenas uma estimativa deste, além disso não conhecemos o resíduo “Σ” . A
partir de uma particular amostra, procuraremos obter valores estimados dos parâmetros
populacionais.
Temos então: Y = a + b x + b x + ε , onde: b e b # 0
1 1 2 2 1 2
Y = valor estimado de y
a = estimativa do intercepto
b = estimativa de declividade relativa à x (coef. angular)
1 1
b = estimativa de declividade relativa à x (coef. angular)
2 2
x , x = variáveis explicativas
1 2
Σ = resíduo (ERRO)
OS PASSOS DA ANÁLISE DE REGRESSÃO MÚLTIPLA
O esquema é análogo ao de Regressão Linear Simples.

E4 26
FÓRMULAS
Tabela (sequência)
2 2 2
Y ; X ; X ; X ; X ; Y ; X . X ; Y . X ; Y . X
1 2 1 2 1 2 1 2
Obs.: Calcular a média aritmética de X , X , Y
1 2
Σ Y . Σ X
1
SY = Σ Y . X - ______________
1 1
n
Σ Y . Σ X
2
SY = Σ Y . X - ______________
2 2
n
2
( Σ X )
2 1
S = Σ X - ___________
11 1 n
Σ X . Σ X
1 2
SY = SY = Σ (X . X ) - ______________
12 21 1 2
n

E4 27
2
( Σ X )
2 2
S = Σ X - ___________
22 2 n
2
2 ( Σ Y )
S = Σ Y - ___________
yy n
SY . S - SY . S
1 22 2 12
b = _____________________________
1 2
S . S - ( S )
11 22 12
SY . S - SY . S
2 11 1 21
b = _____________________________
2 2
S . S - ( S )
11 22 12
_ _ _
a = Y - b x - b x
1 1 2 2
Poder Explicativo :
b . SY + b . SY
2 1 1 2 2
R = _____________________________
S
yy

E4 28
Correlação:
___________
| 2 |
R = - | R
xy | _____
| 100
EXERCÍCIOS
Analise as seguintes relações pelo método dos mínimos quadrados :
1-) VENDAS (Y) Gastos com tv (x1) Gastos com Jornal (x2)
6 3 1
7 4 2
15 8 3
18 8 5
20 10 8
23 11 6
2-) Y X1 X2
128 1 100
150 2 200
78 3 300
162 4 400
134 5 500
175 6 600
208 7 700
EXEMPLO DE REGRESÃO LINEAR
Método dos Mínimos Quadrados

E4 29
x y x2
y2
x.y
825 3,5 680.625 12,25 2.887,5
215 1,0 46.225 1,00 215,0
1.070 4,0 1.144.900 16,00 4.280,0
550 2,0 302.500 4,00 1.100,0
480 1,0 230.400 1,00 480,0
920 3,0 846.400 9,00 2.760,0
1.350 4,5 1.822.500 20,25 6.075,0
325 1,5 105.625 2,25 487,5
670 3,0 448.900 9,00 2.010,0
1.215 5,0 1.476.225 25,00 6.075,0
somatório 7.620 28,5 7.104.300 99,75 26.370,0
x =
762
y =
2,85
correlação:
(Sx.Sy)
rxy = S xy - n
(Sx2
- (Sx)2
).(Sy2
-(Sy)2
)
n n
(7.620 . 28,5)
rxy = 26.370- 10
(7.104.300- (58.064.400)).(99,75-812,25)
10
10

E4 30
b = Sxy - n (x).(y)
b=26.370 -
10(762).(2,85)
Sx2
- n (x)2
7.104.300 - 10(762)2
b = 0,003
0,0036
a = y - bx a = 2,85 - 0,003 . 762
a = 0,5 0,564
y = a + bx
EXEMPLO
Uma empresa levantou os seguintes dados para avaliar as suas vendas e os gastos
com promoção.
x y
gastos com vendas
promoção em x2
y2
x.y
em US$1.000 US$milhões
1º ano 140 50 19.600 2.500 7.000
2º ano 200 57 40.000 3.249 11.400
3º ano 238 67 56.644 4.489 15.946
4º ano 270 69 72.900 4.761 18.630

E4 31
5º ano 300 77 90.000 5.929 23.100
6º ano 400 85 160.000 7.225 34.000
7º ano 450 86 202.500 7.396 38.700
somatório 1.998 491 641.644 35.549 148.776
1 - De quantos milhões seriam as vendas, se a empresa aplicar US$ 600.000,
em promoção?
2 - Qual a confiabilidade da projeção, justifique a sua resposta?
x =
285,4
y =
70,1
correlação:
(Sx.Sy)
rxy = S xy - n
(Sx2
- (Sx)2
).(Sy2
-(Sy)2
)
n n
b = Sxy - n (x).(y)
Sx2
- n (x)2
b = 0,1
a = y - bx

E4 32
a = 41,6
erro padrão:
Sxy = Sy2
- aSy - bSxy
n - 2
Sxy = 7
R2
= aSy + bSxy - ny2
. 100
Sy2
- ny2
R2
y = a + bx
y =
101,6 milhões
Respostas:
1 - As vendas seriam US$ 101,6 milhões.
2 - A confiablidade é alta, devido ao alto poder explicativo.
EXEMPLO NÚMERO 2
A tabela a seguir mostra uma relação entre a nota final de estatística
e o número de horas que os alunos estudaram.
y x

E4 33
notas horas y2
x2
x.y
estudo
9 30 81 900 270
8 25 64 625 200
7 20 49 400 140
6 15 36 225 90
5 14 25 196 70
4 14 16 196 56
3 10 9 100 30
2 5 4 25 10
1 3 1 9 3
somatório 45 136 285 2.676 869
Pede-se:
1 - Existe relação entre as duas variáveis acima? Justifique.
2 - Identifique a variável explicativa e analise a tabela pelo método dos
mínimos quadrados.
3 - Analise a confiabilidade do modelo para projeção.
4 - Quantas horas o aluno precisa estudar para tirar a nota:
a - 10
b - 5,5
c - 0
correlação:
(Sx.Sy)
rxy = S xy - n
(Sx2
- (Sx)2
).(Sy2
-(Sy)2
)
n n
média:
x =
15,1
y =
5,0
equação de regressão linear:

E4 34
b = Sxy - n (x).(y)
Sx2
- n (x)2
b = 0,3
a = y - bx
a = 0,5
y = a + bx
para nota 10 x= 31,7
para nota
5,5
x= 16,7
para nota 0 x= -1,7
erro padrão:
Sxy = Sy2
- aSy - bSxy
n - 2
Sxy = 0,5
R2
= aSy + bSxy - ny2
. 100
Sy2
- ny2

E4 35
R2
Respostas:
1 - Existe, pois a correlação é positiva e forte.
2 - A nota depende das horas, portanto a hora é a variável explicativa.
3 - A confiabilidade é alta, devido ao alto poder explicativo.
4 - Para tirar:
nota 10 = 31,7 horas
nota 5,5 = 16,7 horas
nota 0 = -1,7 horas
Exercício:
Importação brasileira de matéria-prima de 88 a 94 (fonte: Ordem dos Economistas)
x y
ano quantidade x2
y2
x.y
(ton)
1988 1 50 1 2.500 50
1989 2 47 4 2.209 94
1990 3 35 9 1.225 105
1991 4 30 16 900 120
1992 5 24 25 576 120
1993 6 10 36 100 60

E4 36
1994 7 16 49 256 112
somatório 28 212 140 7.766 661
Informe a projeção para 95 e 96
x =
4,0
y =
30,3
correlação:
(Sx.Sy)
rxy = S xy - n
(Sx2
- (Sx)2
).(Sy2
-(Sy)2
)
n n
rxy = -0,96 negativa e forte
b = Sxy - n (x).(y)
Sx2
- n (x)2
b = -6,7

E4 37
a = y - bx
a = 57,1
erro padrão:
Sxy = Sy2
- aSy - bSxy
n - 2
Sxy = 4
R2
= aSy + bSxy - ny2
. 100
Sy2
- ny2
R2
y = a + bx
para 95
y =
3,5
para 96
y =
-3,2

E4 38
EXERCÍCIO
Relação entre horas contínuas trabalhadas e quantidade de microcomputadores
com defeito de montagem (fonte: Hardzon)
x y
quantidade
horas de micros x2
y2
x.y
c/defeito
18 9 324 81 162
12 8 144 64 96
10 7 100 49 70
8 6 64 36 48
6 5 36 25 30
5 4 25 16 20
4 3 16 9 12
somatório 63 42 709 280 438
Faça projeção para: 20 horas
15 horas
7 horas
x =
9,0
y =
6,0
correlação:
(Sx.Sy)
rxy = S xy - n
(Sx2
- (Sx)2
).(Sy2
-(Sy)2
)
n n

E4 39
b = Sxy - n (x).(y)
Sx2
- n (x)2
b = 0,4
a = y - bx
a = 2,4
erro padrão:
Sxy = Sy2
- aSy - bSxy
n - 2
Sxy = 1
R2
= aSy + bSxy - ny2
. 100
Sy2
- ny2
R2
y = a + bx

E4 40
para 7 horas =====> 5 micros c/defeito

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