1) O documento descreve o Modelo de Harrod-Domar, que ressalta as condições necessárias para o crescimento estável com pleno emprego. 2) O modelo apresenta três aspectos centrais: a possibilidade e a improbabilidade de crescimento estável com pleno emprego, e a instabilidade da taxa garantida de crescimento. 3) A equação fundamental do modelo iguala a taxa de crescimento da renda à relação entre a taxa de poupança e a relação capital-produto para que haja equilíbrio.

1. Modelo de Harrod-Domar
Professor: Clésio Lourenço Xavier
Estágio em Docência/CAPES: Maria Inês Cunha Miranda

2. Bibliografia
 JONES, H.G. Modernas teorias do crescimento. Ed. Atlas: São Paulo, 1979, p.
54-79.
 LOPES, L. M.; VASCONCELLOS, M. A. S. Manual de Macroeconomia. 3ª ed. – São
Paulo: ATLAS, 2008. (Cap.12).
 BRESSER-PEREIRA, L. C. O Modelo Harrod-Domar e a Substitutibilidade de
Fatores. Estudos Econômicos, 5 (3), 1975, p. 7-36

3. Modelo de Harrod
 Modelo com viés keynesiano que ressalta as condições necessárias para o
crescimento estável com pleno emprego;
 Três aspectos centrais no modelo:
 Possibilidade de crescimento em estado estável a pleno emprego;
 Improbabilidade de crescimento em estado estável a pleno emprego;
 Instabilidade da taxa garantida de crescimento.

4. Hipóteses do Modelo
1. A poupança é uma função simples do nível de renda de uma economia.
S = s.Y, sendo que em muitas interpretações desse modelo s é tida como
uma constante;
2. A taxa de crescimento da população é uma constante exógena
𝐿
𝐿
= n
3. Ausência de progresso técnico e o estoque de capital não se deprecia;
4. A função do tipo Leontieff (com proporções fixas de capital e trabalho), não
havendo substituição entre capital e trabalho
𝑌 = min
𝐾
𝑣
,
𝐿
𝑢

5. Modelo de Harrod
 Se a taxa de crescimento da renda/produto é dada pela taxa de crescimento
da força de trabalho (n) (variável exógena) e a taxa de estoque do capital.
Como é determinada a taxa de crescimento do estoque de capital? E a taxa de
crescimento do produto?
 A relação capital-produto 𝑣 =
𝐾
𝑌
ou 𝐾 = 𝑣. 𝑌 (1)
 Há dois conceitos distintos dessa relação
 Capital-produto efetivo: 𝑣 =
∆𝐾
∆𝑌
;
 Capital- produto requerido: 𝑣 =
∆𝐾
∆𝑌 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗á𝑣𝑒𝑙

6. Modelo de Harrod
 Mas como o estoque de capital não se deprecia, tudo o investimento realizado
torna-se estoque de capital
𝐾 = 𝐼 2
 Substituindo (1) em (2)
𝐼 = 𝑣. 𝑌 (3) (forma simples do acelerador)
 Partindo da condição de equilíbrio,
I ≡ 𝑆 (4)
 Substituindo (3) em (4) e levando em consideração a primeira Hipótese
v. 𝑌 ≡ 𝑠. 𝑌
𝑌
𝑌
≡
𝑠
𝑣
 Sendo está a equação fundamental do Modelo de Harrod.

7. Modelo de Harrod
 Sendo
𝑌
𝑌
a taxa de crescimento da renda, o equilíbrio entre poupança e investimento
necessário para o crescimento equilibrado da renda tem de ser igual a
𝑠
𝑣
;
 Com isso, pode-se também obter a taxa de crescimento do estoque de capital:
 Sendo I ≡ 𝑆 (4) e 𝐾 = 𝐼 2
 Substituindo (4) em (2)
𝐾 = 𝑆 (6) como S= s.Y
𝐾 = 𝑠. 𝑌 (7) como 𝑣 =
𝐾
𝑌
ou Y =
𝐾
𝑣

8. Modelo de Harrod
 Substituindo Y em (7), tem-se
𝐾 = 𝑠.
𝐾
𝑣
𝐾
𝐾
=
𝑠
𝑣
 Desta forma no modelo de Harrod, para que haja um crescimento econômico
em estado estável é necessário que a renda (Y) e o estoque de capital (K)
cresçam a mesma taxa constante
𝑠
𝑣
𝑌
𝑌
=
𝐾
𝐾
=
𝑠
𝑣

9. Equação Fundamental como truísmo
 A equação fundamental é auto-explicativa, sendo o ponto de partida e chegada;
 Portanto vamos deduzi-la até chegar na igualdade entre I ≡ 𝑆 (4);
 Partindo da equação fundamental
𝑌
𝑌
=
𝑠
𝑣
ou
𝑌
𝑌
. 𝑣 = 𝑠
 Como 𝑣 =
𝐾
𝑌
e 𝐾 = 𝐼
𝑣 =
𝐼
𝑌
 Substituindo o v na equação anterior e como S= s.Y
𝑌
𝑌
.
𝐼
𝑌
=
𝑆
𝑌
𝐼
𝑌
=
𝑆
𝑌
ou simplesmente 𝐈 = 𝑺

10. Equação Fundamental como truísmo
 A equação fundamental corresponde exatamente ao seu ponto de partida, ela
será necessariamente verdade e resultará da definição de seus termos;
 No entanto, a equação fundamental pode ser interpretada de duas formas
diferentes, dependendo dos diferentes conceitos da relação capital-produto (v);
 Definindo v pelo primeiro conceito (v efetivo), a taxa de crescimento da renda
𝑌
𝑌
precisa ser igual a
𝑠
𝑣
. Chamando 𝐺 𝐴 de verdadeira taxa de crescimento da renda
𝐺 𝐴 ≡
𝑠
𝑣
(8)
 Onde 𝐺 𝐴 resulta das expectativas, decisões e erros dos diversos tomadores de
decisão.

11. Equação fundamental definindo um
caminho para o crescimento equilibrado
 Se a relação capital-produto é baseada na segunda definição (requerida) ou 𝑣𝑟, tem-se
𝐺 𝑤 ≡
𝑠
𝑣 𝑟
(9)
 Sendo 𝐺 𝑤 a taxa de crescimento requerida, essa equação não é mais um truísmo, na
medida em que v requerido não indica mais o efetivo;
 Igualando (8) e (9)
𝐺 𝐴 . 𝑣 = 𝐺 𝑤. 𝑣𝑟
 Se 𝐺 𝐴 =𝐺 𝑤 então 𝑣 = 𝑣𝑟. Representando um estado de crescimento equilibrado.

12. Equação fundamental definindo um
caminho para o crescimento equilibrado
 Como GA não pode exceder a taxa de crescimento da força de trabalho por causa da
hipótese de proporções fixas (Constância da relação trabalho-produto)
𝐺 𝐴 ≤
𝐿
𝐿
= n
 Harrod referiu-se à taxa de crescimento da força de trabalho (na ausência de progresso
tecnológico) como taxa de crescimento “natural”.
 Se a economia está no pleno emprego, então GA = n
 Se a economia está crescendo em estado estável, mantendo o equilíbrio, então: GA = Gw.
 Então, o equilíbrio estável e com pleno emprego acarreta:
𝐺 𝐴 = 𝐺 𝑤= n

13. Primeiro Problema de Harrod: impossibilidade
de equilíbrio com pleno emprego
 Nada garante que GA = Gw, pois a taxa verdadeira é o resultado de expectativas, decisões e
erros dos agentes;
 Não há razão para acreditar no equilíbrio com pleno emprego: , pois, s, v e n são
determinados todos independentemente e exogenamente;
 Ainda que o crescimento balanceado a pleno emprego seja possível, a combinação dos
parâmetros s, n e v é altamente improvável [é necessário a igualdade entre a taxa garantida
de crescimento s/v e à taxa natural de crescimento n];
 Conclusão no espírito keynesiano – não há razões para acreditar que o equilíbrio com
crescimento a pleno emprego sejam atingidos! Não há mecanismos no modelo de Harrod que
assegurem o atingimento dessa “Idade Dourada”.

14. Segundo Problema de Harrod: o
problema da estabilidade
 A taxa garantida de crescimento é fundamentalmente instável. Desvios entre
a taxa verdadeira e a taxa garantida longe de serem autocorretivos, são
cumulativos de fato;
 A partir de : 𝐺 𝐴 . 𝑣 = 𝐺 𝑤. 𝑣𝑟
 Se, por acaso, 𝐺 𝐴 > 𝐺 𝑤 então 𝑣𝑟> 𝑣 o que vai distanciar a taxa verdadeira de
crescimento ainda mais da garantida, aumentando cada vez mais a
discrepância entre o estoque de capital verdadeiro e o desejado.

15. Segundo Problema de Harrod: o
problema da estabilidade
 Formalização do problema da instabilidade (Sen, 1970)
 1
1
E
E t t
t E
t
Y Y
G
Y


 
 1
2
1
E t
t E
t
Y
Y
G



Gt= taxa de crescimento verdadeiro entre t-1 e t.
 1
3t t
t
t
Y Y
G
Y


 
 1
4
1
t
t
t
Y
Y
G



Pelo multiplicador:  
1
5t tY I
s

Pelo acelerador (Princípio da aceleração):   1 6E
t t tI v Y Y 
E
tY = fluxo de renda esperado em t.
tY = fluxo de renda verdadeiro em t.
𝑌𝑡−1= fluxo de renda verdadeiro em t-1.
E
tG = taxa esperada de crescimento da renda do período t-1 para o período t.

16. Segundo Problema de Harrod: o problema
da estabilidade
Se (6) for substituída em (5):
 1
1 E
t t tY v Y Y
s

   
 1
E E
t t t t
v
Y Y Y Y
s
  
1
E
t t t
E E
t t
Y Y Yv
Y s Y

 
  
 
Substituindo (1) na equação acima:
 7Et
tE
t
Y v
G
Y s


17. Segundo Problema de Harrod: o
problema da estabilidade
As expectativas dos empresários só vão se realizar (𝑌𝑡
𝐸
= 𝑌𝑡 ) se 𝐺𝑡
𝐸
for igual a s/v.
Fazendo substituições de (2) 𝑌𝑡
𝐸
e (4) 𝑌𝑡 em (7), podemos encontrar a relação entre taxa de
crescimento verdadeira e a esperada:
 
 
 
1
1
1
8
1
t
t E
t
t
E
t
Y
G v
G
Y s
G






18. Segundo Problema de Harrod: o
problema da estabilidade
 Se 𝐺𝑡
𝐸
=
𝑠
𝑣
então 𝐺𝑡 = 𝐺𝑡
𝐸
 Exemplo: 𝐺𝑡
𝐸
= 0,1
𝑠
𝑣
= 0,1
 Se os empresários esperam uma taxa de crescimento equivalente à taxa garantida,
então suas expectativas serão realizadas e psicologicamente eles estariam
preparados a continuar em um avanço similar.

19. Segundo Problema de Harrod: o
problema da estabilidade
 Se 𝐺𝑡
𝐸
>
𝑠
𝑣
então 𝐺𝑡 > 𝐺𝑡
𝐸
 Exemplo: 𝐺𝑡
𝐸
= 0,2
𝑠
𝑣
= 0,1
 Se os empresários esperam uma taxa de crescimento da renda maior que
𝑠
𝑣
, eles vão
investir mais o que, via multiplicador, aumentará ainda mais o nível de renda. Então,
a taxa verdadeira excederá suas expectativas otimistas e, dessa forma, eles revisarão
suas expectativas, supondo uma taxa de crescimento ainda maior para o período
seguinte.

20. Segundo Problema de Harrod: o
problema da estabilidade
 Se 𝐺𝑡
𝐸
<
𝑠
𝑣
então
 Exemplo: 𝐺𝑡
𝐸
= 0,1
𝑠
𝑣
= 0,2
 Se os empresários esperam uma taxa de crescimento menor do que a taxa garantida,
eles reduzirão os investimentos o que, via multiplicador, reduzira ainda mais o nível de
renda. Então a taxa de crescimento verdadeira será menor que suas expectativas, eles
sentirão que foram superotimistas e revisarão suas expectativas negativamente para o
próximo período.
𝐺𝑡 < 𝐺𝑡
𝐸

21. Segundo Problema de Harrod: o
problema da estabilidade
 Se as expectativas dos empresários são gerados assim:
 Então o sistema econômico é bastante instável.
 Se, por exemplo, a taxa verdadeira de crescimento da renda em t-1 é menor que a
esperada para t-1, os empresários serão induzidos a reduzir o investimento, reduzindo
ainda mais (via multiplicador) a taxa verdadeira de crescimento do produto e a economia
tenderá a uma recessão;
 Este problema é chamado de “fio da navalha”: dado um equilíbrio de pleno emprego,
qualquer pequeno desvio da taxa verdadeira em relação à taxa garantida (
𝑠
𝑣
), vai gerar
efeitos cumulativos desviando a economia do crescimento em estado estável.
𝐺𝑡
𝐸
> 𝐺𝑡−1
𝐸
𝑠𝑒 𝐺𝑡−1 > 𝐺𝑡−1
𝐸
𝐺𝑡
𝐸
< 𝐺𝑡−1
𝐸
𝑠𝑒 𝐺𝑡−1 < 𝐺𝑡−1
𝐸

22. Modelo de Domar
 A abordagem de Domar (1946) é um enfoque claro da natureza dual da taxa de
investimento numa economia capitalista:
 O investimento determina o nível verdadeiro de renda por intermédio do processo
multiplicador keynesiano (efeito demanda);
 O investimento, caso aumente o estoque de capital, aumenta o nível máximo potencial da
renda (efeito oferta - capacidade).
 Definindo σ como a taxa de mudança na capacidade potencial de produção associada
a determinado nível de investimento, tem-se:
, no qual 𝜎 é uma constante
 O investimento capaz de aumentar o nível de renda potencial máximo
(1)

23. Modelo de Domar
 O investimento também determina o nível efetivo de renda através do efeito
multiplicador
 Supondo que a economia esteja inicialmente em equilíbrio com pleno
emprego: então .
 Sendo (1) = (2):
1
.Y I
s
 ou em termos de taxa de mudança:
1
.Y I
s
 
 (2)
Y Y
 

1
I I
s



I
s
I


 (3)

24. Modelo de Domar
 Esta equação (formalmente idêntica a equação fundamental de Harrod)
mostra qual deve ser a taxa de crescimento do investimento que faz com que
a renda efetiva alcance o seu nível máximo de crescimento potencial, tendo
em conta que σ e s são constantes;
 Por causa da similaridade nos resultados, a literatura denomina modelo
Harrod-Domar (HD) para a generalização dos resultados obtidos por esses
autores;
 Se s e σ são constantes, a taxa de crescimento do investimento, que vai
manter a renda igual ao nível de renda máximo potencial (com pleno
emprego), é a taxa constante σs.

25. Comparação dos modelos e suas
principais críticas
 Comparando com Harrod:
 σ =1/v; Substituindo em (3), temos a equação fundamental de Harrod;
 Domar não faz qualquer referência a taxa de crescimento da força de trabalho, n;
 Domar não inclui uma função investimento. Sua taxa de crescimento de equilíbrio
é a taxa que garantiria a contínua igualdade entre renda efetiva e potencial, mas o
nível verdadeiro de investimento não é determinado dentro dos limites do modelo.
 Critícas ao modelo Harrod-Domar
 Supor rigidez de v é irrealista;
 Instabilidade decorre de hipóteses;
 Experiência histórica não confirmava previsões do modelo.