Cap 2 - MRLS.ppt

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CAPÍTULO 15
2. Regressão Linear Simples
e Correlação

2.1.1 Objectivos
• Determinar a equação de regressão dos
mínimos quadrados.
• Determinar e interpretar o valor do:
– Coeficiente de correlação.
– Coeficiente de determinação.
• Realizar testes de hipóteses envolvendo a
inclinação da linha de regressão.

Palavras-chave
• Relações directa e
inversa
• Modelo de regressão dos
mínimos quadrados
• Ponto da estimativa
usando o modelo de
regressão
• Coeficiente de
correlação
• Coeficiente de
determinação

Conceito-chave
A Análise de Regressão gera um
“melhor ajustamento” da equação
matemática que pode ser usada na
previsão do valor da variável
dependente como uma função da
variável independente.

Relações Directa e Inversa
Relação Directa:
– y aumenta assim que x aumenta.
– O gráfico do modelo cresce da esquerda para a
direita.
– A inclinação do modelo linear é positiva.
• Relação Inversa:
– y diminui assim que x aumenta.
– O gráfico do modelo cai da esquerda para a
direita.
– A inclinação do modelo linear é negativa.

2.1.2 O Modelo de Regressão Linear Simples
Modelo da População:
• yi = b0 + b1xi + ei
onde yi = valor da variável dependente, y
xi = valor da variável independente, x
b0 = intercepto-y da linha regressão
b1 = inclinação da linha de regressão
ei = Error aleatório, resíduo

Valor Esperado de y, E(y)
 Para qualquer valor dado de x, E(y) é
dado por uma equação linear
(que é a média de y dado um valor
esperado de x).
 A diferença entre o valor real de y e o
valor esperado de y é o erro, ou resíduo.
0 1
( )
i i i
y x
e b b
  
, 0 1
y x x
 b b
 

Estimação da Regressão Linear Simples
• Modelo de Regressão da Amostra:
onde
= valor previsto de y (ao contrário do valor
real de y).
ˆ
0 1
,
y
i i
b b x
 
ŷ
0 0 1 1
,
b b
b b
 

Determinação dos Mínimos
Quadrados da Linha de Regressão
• Mínimos Quadrados da Linha Regressão:
– Inclinação
– Intercepto-y
ˆ
y  b0
 b1
x1
b
1

( x
i
y
i
) – n×x ×
y

( x
i
2 ) – n×
x 2

b0
 y – b1
x

O Critério dos Mínimos Quadrados
 O critério dos MQ requer que seja
minimizada a soma dos desvios ao
quadrado entre valores de y no
diagrama de dispersão e valores de y
previstos pela equação.
2
1
min ( )
n
i i
i
y y




Regressão Linear Simples: Exemplo
• Problema 15.9:
Para uma amostra de 8 trabalhadores, um director do
pessoal recolheu os seguintes dados sobre a propriedade
das acções da empresa, y, e anos com a empresa, x.
x 6 12 14 6 9 13 15 9
y 300 408 560 252 288 650 630 522
a. Determine os mínimos quadrados da linha de regressão
e interprete a sua inclinação.
b. Para um trabalhador que esteve 10 anos com a
empresa, qual é o número previsto de propriedade de
acções?

Exemplo, cont.
x y x•y x2
6 300 1800 36
12 408 4896 144
14 560 7840 196
6 252 1512 36
9 288 2592 81
13 650 8450 169
15 630 9450 225
9 522 4698 81
Média: 10.5 451.25
Soma: 41,238 968

Exemplo, cont.
• Inclinação:
• Intercepto-y:
Assim, o “melhor ajustamento” do modelo
linear, aredondado a uma casa decimal, é :
b
1

( x
i
y
i
) – n×
x×
y

( x
i
2) – n×
x2


41238 – 8×
(10.5)×
(451.25)
968  8×
(10.5)
2
 38.7558
b
0
 y – b
1
x  451.25 – (38.7558)(10.5)  44.3140
ˆ
y  44.3140  38.7558x  44.3  38.8x

Exemplo, cont.
• Interpretação da inclinação: Para todo o
ano adicional que um trabalhador trabalha
para a empresa, ele adquire quotas
estimadas em 38.8 por ano.
b. Se x1 = 10, o ponto de estimação do número de
acções que este trabalhador possui é :
ˆ
y  44.314  38.7558×
x
 44.314  38.7558×
(10)
 431.872  432 acções

2.1.3 Análise de Correlação
 Coeficiente de Correlação
 Coeficiente de Determinação

  
   
   
2 2
2 2
2 2
i i
i i
i i i i
i i i i
x x y y
r
x x y y
n x y x y
n x x n y y
 

 

 
   
 
   

 
  
   
Coeficiente de Correlação

Coeficiente de Correlação (cont.)
Uma medida da:
– Direcção da relação linear entre x e y.
» Se x e y forem directamente relacionados, r > 0.
» Se x e y forem inversamente relacionados, r < 0.
– Força da relação linear entre x and y.
» Quanto maior for o valor absoluto de r, maior será o
valor de y que depende de uma maneira linear do
valor de x.

(ii) Coeficiente de Determinação
 A proporção da variação de y que é
explicada pela equação de regressão
simples dada por:
2
2 2
2
2
2
2
( )
( )2 1 1
( )
ainda
( )
( )
i
i
i
y y SSE
R r ou R
SST
y y
ou
y y SSR
R
SST
y y





    


 


Coeficiente de Determinação (Cont.)
• Uma medida da
– Força da relação linear entre x e y.
» Quanto maior for o valor absoluto de R2, maior
será o valor de y que depende de uma maneira
linear do valor de x.
– Montante da variação do y que está
relacionada com a variação do x.
– Rácio da variação do y que é explicada pelo
modelo de regressão dividido pela variação
total do y.

2.1.4 Estimação e Testes em Relação à
Linha de Regressão da Amostra
Argumento-chave:
• Se o valor de y não muda linearmente com o valor
de x, então o valor médio de y é o melhor
prognosticador do valor real de y. Isto implica que
é preferível.
• Se o valor de y muda linearlmente com o valor de x,
então usando o modelo de regressão dá uma
melhor previsão do valor de y do que usando a
média de y. Isto implica que é preferível.
y  y
y  ˆ
y

Três Testes de Linearidade
• (i) Teste do Coeficiente de Correlação
H0: r = 0 Não há nenhuma relação linear entre x e y.
H1: r  0 Há uma relação linear entre x e y.
Teste Estatístico:
• (ii) Teste da Inclinação da Linha de Regressão
H0: b1 = 0 Não há nenhuma relação linear entre x e y.
H1: b1  0 Há uma relação linear entre x e y.
Teste Estatístico:
t  r
1 – r2
n – 2
t
b
sy x
x n x

  
1
2 2
,
( )

O Erro-padrão da Estimativa, sy,x
– O desvio-padrão da distribuição dos:
» Pontos dos dados acima e abaixo da linha de
regressão ,
» distâncias entre os valores reais e previstos de
y,
» resíduos, de e.
– A raíz quadrada de MSE dada pela
ANOVA.
2
–
2
)
ˆ
–
(
, n
y
i
y
x
y
s



Três Testes de Linearidade (cont.)
• (iii) O Teste F de Significância Global
H0: Não há nenhuma relação linear entre x e y.
H1: Há uma relação linear entre x e y.
Teste Estatístico:
Nota: Ao nível da regressão linear simples, o Teste F de
significância global é equivalente ao test t sobre b1.
Quando nós conduzimos a análise de regressão de
variáveis múltiplas, o test F de significância global
tomará uma função única.
F  MSR
MSE

SSR
1
SSE
(n – 2)

FIM

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