Aula sobre a o ciclo trigonométrico

1. Circunferência e Relações
Trigonométricas
Prof. Elionardo Rochelly

2. O x
A’ A
y
B
B’
1
1
P
+
-
CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA
TRIGONOMÉTRICA

3. • Circunferência de centro na origem do sistema, de raio
unitário r = 1;
• Arcos de origem ponto A (1,0);
• Medidas algébricas positivas no sentido anti-horário,
negativas sentido horário;
• Divisão dos quatros quadrantes sentido anti-horário

4. Radiano
• Radiano (1 rad) é o ângulo definido em um círculo por um arco
de circunferência com o mesmo comprimento que o raio do
círculo.

5. Radiano
• Dizemos que a medida do arco é igual a 1 radiano ou seja 1
rad. Assim, podemos definir um radiano como sendo um arco
onde a sua medida é a mesma do raio da circunferência que
contém o arco.
• O valor do ângulo α será igual a 1 radiano, se somente se, o
valor do arco correspondente a ele for igual a 1 radiano.

6. • Por exemplo: como calcularíamos o comprimento de
uma circunferência em radianos sabendo que o seu
comprimento é igual a 2π r, utilizaremos da mesma
regra de três do exemplo anterior.
rad comprimento
1 -------------------- r
x -------------------- 2π r
xr = 2π r
x = 2π r
r
x = 2π rad

7. Ângulos côngruos
30º
E se o ângulo for 390º? E se o ângulo for 750º?
Caso Geral
α em graus
α + k.360º, k ε Z
α em radianos
α + k.2π, k ε Z
390º= 360º+30

8. Plano cartesiano
Cosseno
Seno

9. Plano cartesiano
Cosseno
Seno

10. π / 2
90°
-1
1
45°
π / 4 π
180°
3π/2
270°
2π
360°
90° = π / 2
180° = π
270° = 3π / 2
360°
2π
Função senx

11. 2π
360°
90° = π / 4
270° = 3π / 2
360°
2π
4π
720°

12. Cos
Sen
30°
2
3
5
,
0
2
1 
Queremos saber o
seno e o cosseno
deste arco de 30°.
Observe as
projeções
Cosseno de 30° = 0,86602540378...
Seno de 30°, = 0,5, ou 1/2.

13. 30°
2
3

5
,
0
2
1 
Cosseno de 30° =0,87 ou
A projeção vertical, ou seja, o
seno de 150° tem o mesmo
valor do seno de 30°.
150°
180 – 150 = 30°
Para saber o seno e o
cosseno de 150°, pense:
quanto falta para 180°?
Podemos então “reduzir”
150° para 30°
O cosseno de 150° tem o mesmo valor do cosseno
de 30°, porém com sinal contrário (é negativo),
valendo então -0,87 ou
2
3

14. 60°
2
3

5
,
0
2
1 
240°
240° = 180° + 60°
2
3
Estes arcos azuis são
opostos pelo vértice.
Sendo congruentes, suas
projeções também tem o
mesmo valor.
Seno de 240° = -seno de 60° = - 0,87
Seno de 60° = 0,87
Cos 60° = 0,5
Cos 240° = -cos 60° = - 0,5

15. Observe esta reta, que é
tangente ao círculo
trigonométrico, ou seja, toca o
círculo em um ponto apenas.
Este é o arco cuja
tangente
queremos medir
Traçamos uma reta
desde a origem dos
eixos, passando
pela extemidade
do arco, até a reta
tangente...
Eis então que surge a
representação da
tangente do ângulo
considerado!

16. Aumente o arco,
para ver o que
acontece com sua
tangente...
Imagine agora o
valor da tangente
para ângulos
maiores ainda.
Pergunta: há um
ângulo que terá
um valor absurdo
de tangente. Que
ângulo é esse?

17. Se o arco tem mais
que 90º e menos que
180º...
Neste caso, é preciso
traçar uma reta desde a
extremidade do arco até
a reta tangente, passando
pela origem.

18. Seno no ciclo trigonométrico: alguns valores particulares.
arco seno
0º 0
90º 1
180º 0
270º -1
360º 0

19. Variação da função seno
1
sen
1 

 

20. Paridade da função seno
1. A função seno é ímpar, isto é,
para esta função, elementos
simétricos possuem imagens
simétricas.
2. Exemplo:
sen 30º = 1/2
sen (-30º) = -1/2

21. Simetria

22. Redução ao primeiro quadrante:
função seno.
sen x
-
x)
-
(2
sen
sen x
-
x)
(
sen
sen x
x)
-
(







sen
s
Identidade

23. Paridade da função cosseno
1. A função cosseno é par, isto é,
para esta função, elementos
simétricos possuem a mesma
imagem.
2. Exemplo:
cos 60º = 1/2
cos (-60º )= 1/2

24. Simetria

25. Redução ao primeiro quadrante:
função cosseno.
x
cos
x)
-
(2
cos
x
cos
-
x)
(
cos
x
cos
-
x)
-
(
cos







s
Identidade

26. Relação fundamental da trigonometria
1
cos
cos
1
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2










sen
sen
OP
PP
OP

27. Relações importantes
C
B
B
C
B
C
ˆ
90
ˆ
ˆ
90
ˆ
90
ˆ
ˆ









)
ˆ
(90
cos
B̂
)
ˆ
(90
sen
Ĉ
cos
B̂
ˆ
cos
ˆ
ˆ
cos
B
sen
C
sen
C
a
b
B
sen
a
b
C








