O documento discute o uso de um jogo de dados e resolução de problemas para ensinar raciocínio combinatório em alunos do ensino médio. O jogo envolve lançar dois dados e somar os valores para obter uma pontuação. Problemas são propostos para que os alunos determinem o número de pontuações possíveis e maneiras de jogar. A abordagem visa desenvolver habilidades matemáticas por meio de situações concretas em vez de definições formais.

1. Raciocínio combinatório por meio da resolução de problemas
José Marcos Lopes
Departamento de Matemática – FEIS/UNESP
15385-000, Ilha Solteira, SP
E-mail: jmlopes@mat.feis.unesp.br
Introdução precisam desenvolver algum tipo de estratégia
para resolvê-los. A situação-problema deve
Apresentamos neste artigo, através da
expressar aspectos chaves para o conceito que se
utilização de um jogo de dados e da metodologia
quer estudar, o aluno deve ser levado a interpretar
de resolução de problemas, uma proposta para o
o enunciado da questão, estruturar a situação que
desenvolvimento do raciocínio combinatório em lhe é apresentada, utilizar o que aprendeu para
alunos do ensino médio ou do quarto ciclo do resolver outros problemas, o que exige
ensino fundamental. O jogo proposto é uma
transferências, retificações e rupturas. Assim, um
versão modificada daquele apresentado em Lopes
conceito matemático se constrói articulado com
(2007), p. 34-8.
outros conceitos através de uma série de
Procuramos desenvolver um trabalho em generalizações.
acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais Segundo os PCNs – [8], “a resolução de
( [7], p. 126-7), os quais estabelecem que a
problemas não é uma atividade para ser
contagem permite uma nova forma de pensar em
desenvolvida em paralelo ou como aplicação da
Matemática denominada raciocínio combinatório.
aprendizagem, mas uma orientação para a
A contagem dos casos possíveis não deve ser
aprendizagem, pois proporciona o contexto em
apreendida como uma lista de fórmulas, mas que se pode aprender conceitos, procedimentos e
como um processo que exige a construção de um atitudes matemáticas”. (BRASIL, MEC/SEF,
modelo simplificado e explicativo da situação,
1997, p. 43).
deve-se evitar a teorização excessiva e estéril.
Quando se pretende ensinar matemática
A pesquisa em Resolução de Problemas
através da resolução de problemas, o problema
apresenta uma evolução desde a clássica obra de deve ser cuidadosamente escolhido e servirá
Polya (1945). Tradicionalmente, os problemas como um elemento para disparar o processo de
eram utilizados apenas como forma de aplicação
construção do conhecimento, este deverá
e verificação de conhecimentos adquiridos
contribuir para a formação dos conceitos que se
anteriormente. Neste caso, a concepção de ensino
pretender estudar, antes mesmo de sua
e aprendizagem se dava por um processo de
apresentação em linguagem matemática formal, o
reprodução/imitação. foco está na ação por parte dos alunos. Vários
Na perspectiva atual, o que se pretende é
problemas deverão ser propostos e resolvidos
ensinar matemática através da resolução de
livremente pelos próprios alunos. Para a
problemas. A resolução de problemas como uma
utilização da metodologia de resolução de
metodologia de ensino é relativamente recente e
problemas, é de fundamental importância o
segundo Onuchic (1999, p. 207) é a abordagem trabalho em grupo. Ao professor cabe o papel de
mais consistente com as recomendações dos propor, mediar, controlar e incentivar a
PCNs.
aprendizagem através da resolução do problema.
A situação problema é o ponto de partida
A interação entre alunos é também importante na
da atividade matemática e não a definição. Assim
formação das capacidades cognitivas e afetivas.
na análise dessas situações pode-se utilizar Um aluno, por si só, provavelmente não tenha
recursos abordados na Matemática, lançar mão de coragem de defender a solução que apresentou
situações-problema para a construção e aplicação
para determinado problema, mas depois de
de conceitos matemáticos. Em termos
socializar e discutir esta solução com os
metodológicos, relativos ao ensino do conteúdo,
elementos do grupo, se sentirá mais seguro para
conceitos, idéias e métodos matemáticos devem
defender suas idéias.
ser abordados mediante a exploração de Os problemas iniciais serão utilizados
problemas, isto é, de situações em que os alunos para a introdução e a sistematização dos

2. conceitos, assim deverão ser problemas simples e A literatura sobre jogos e resolução de
de fácil interpretação. Sempre que possível, problemas para o ensino fundamental é
materiais concretos e problemas contextualizados razoavelmente extensa. Já para o ensino médio,
deverão ser utilizados. Só depois da resolução de esta literatura é bastante escassa. Este trabalho é
vários problemas é que o conceito, definições e fruto de nossa experiência de vários anos
propriedades deverão ser sistematizados, através ministrando cursos de formação continuada para
do rigor e do formalismo característicos da professores do ensino médio, dentro dos
matemática. programas Pró-Ciências e Teia do Saber, este
Brosseau (1996), desenvolveu uma teoria último, um programa da Secretaria de Estado da
para a educação matemática, a qual denominou Educação de São Paulo. Em Lopes (2006 e 2007),
de situação didática. Neste caso, se estabelece duas propostas são apresentadas para o ensino dos
uma relação entre um grupo de alunos e um conceitos básicos de probabilidade, utilizando-se
professor que usa um meio didático, incluindo jogos e a metodologia de resolução de problemas.
problemas, materiais e instrumentos, com a
finalidade de ajudar seus alunos a reconstruir um O JOGO
certo conhecimento. Para obtenção da
O jogo consiste no lançamento de dois
aprendizagem, o aluno deve interessar-se
dados, um vermelho e um branco (com faces
pessoalmente pela resolução do problema
equiprováveis) e é disputado por dois jogadores,
estabelecido na situação didática. De acordo com
digamos João e Maria. A pontuação corresponde
este autor, “o trabalho intelectual do aluno deve
ao número formado pelas faces superiores dos
ser em certos momentos comparável ao dos
dados vermelho e branco, nesta ordem. Cada
próprios matemáticos. O aluno deve ter a
jogador poderá efetuar até dois lançamentos e
oportunidade de investigar sobre problemas ao
escolhe se lança novamente os dois dados ou
seu alcance, formular, provar, construir modelos,
reserva um deles e lança novamente apenas o
linguagens, conceitos, teorias, intercambiar suas
outro dado. Vence o jogo quem obtiver a maior
idéias com os outros, reconhecer as que são
pontuação. Em caso de empate, a rodada é
adequadas com a cultura matemática e adotar as
repetida.
idéias que sejam úteis. Pelo contrário, o trabalho
do professor é de certa maneira inverso ao Comentários sobre o jogo. Num primeiro
trabalho do matemático profissional. Em lugar de momento todos os alunos deverão jogar. O
“inventar” métodos matemáticos adequados para objetivo desta ação é fazer com que tenham pleno
resolver problemas, deve “inventar” problemas conhecimento e domínio das regras do jogo. A
interessantes que conduzem a um certo face do dado vermelho corresponde a posição das
conhecimento matemático (BROSSEAU, 1996 dezenas, enquanto a face do dado branco
apud BATANERO, 2001, p. 124-25)”. (grifo corresponde a posição das unidades do número
nosso). formado. Em todos os lançamentos, o jogador
Como uma forma de tornar a utilização obterá uma pontuação válida. A menor pontuação
da resolução de problemas mais atraente para os é 11 e a maior é 66. A pontuação é obtida através
alunos, propomos neste artigo a utilização de um de um número de dois algarismos. Caso o jogador
jogo. O jogo deve ser olhado como um elemento obtém a face 1 no dado vermelho e a face 3 no
que pode disparar o processo de construção do dado branco, sua pontuação será 13, enquanto
conhecimento e deve expressar aspectos-chave do que, se obtém a face 3 no dado vermelho e a face
tópico matemático que se deseja estudar. Assim o 1 no dado branco, sua pontuação será 31. Assim,
jogo é utilizado como um ponto de partida e um como estamos considerando a ordem (dado
meio para se ensinar matemática. vermelho; dado branco), o resultado (1 ; 3) é
A atividade de jogar desempenha papel diferente de (3 ; 1); isto é; se mudamos a ordem
importante no desenvolvimento: de habilidades dentro do agrupamento, alteramos o valor da
de raciocínio lógico, dedutivo e indutivo; da pontuação.
linguagem; da criatividade; da atenção e da Primeiramente, João efetua um ou dois
concentração. Habilidades estas, essenciais para o lançamentos, posteriormente é a vez de Maria.
aprendizado em Matemática. Durante a realização Assim, Maria está numa posição melhor, já
do jogo, o aluno passa a ser um elemento ativo do conhece a pontuação obtida por João. Para tornar
seu processo de aprendizagem, vivenciando a o jogo mais justo é conveniente uma alternância
construção do seu saber e deixando de ser um entre João e Maria como primeiro jogador.
ouvinte passivo.

3. Se João obteve (1; 1) – 11 pontos, no Problema 2. Quantas são as pontuações possíveis
primeiro lançamento, então obviamente ele deste jogo, se não são permitidas faces iguais nos
deverá lançar os dois dados novamente, pois não dois dados?
é possível neste caso diminuir sua pontuação. Se Solução
João obteve (5; 2) – 52 pontos, no primeiro Da mesma forma que no problema 1,
lançamento, será mais conveniente que reserve o existem 6 possibilidades de escolha para o dado
dado vermelho e lance novamente apenas o dado vermelho e 5 possibilidades de escolha para o
branco; neste caso terá 5 chances em 6 de dado branco, pois a face do dado branco não pode
melhorar ou manter sua pontuação e apenas uma ser igual a face do dado vermelho. Portanto, pelo
chance em 6 de diminuir sua pontuação. Se João Princípio Multiplicativo temos 6 x 5 = 30
obteve (4; 5) – 45 pontos, no primeiro pontuações possíveis, considerando-se faces não
lançamento, será mais prudente não aproveitar o iguais.
seu possível segundo lançamento. 
Para a resolução dos problemas, o João pode aproveitar o seu segundo
trabalho deverá ser realizado em grupo. Um lançamento de três formas diferentes:
grupo deve ser escolhido para apresentar sua • lança novamente os dois dados;
solução. Posteriormente, uma pequena plenária • lança novamente apenas o dado
pode ser realizada para discutir a solução vermelho, ou;
apresentada, bem como outras soluções • lança novamente apenas o dado branco.
alternativas. Num primeiro momento, os alunos Vamos supor nos problemas a seguir que
deverão propor uma solução usando de sua João tenha adotado a seguinte estratégia: “repete
própria linguagem, apenas no final dos trabalhos o lançamento do(s) dado(s) vermelho, ou branco,
é que o professor deverá sistematizar o conceito ou ambos se obteve face menor ou igual a três no
estudado, através de definições, propriedades e primeiro lançamento”.
teoremas.
Estamos considerando que os Princípios Problema 3. De quantas maneiras diferentes,
Multiplicativo e Aditivo já foram anteriormente João poderá efetuar o seu jogo?
estudados, Morgado et alli, 2004 p. 18. Solução
Quatro casos devem ser considerados:
Problema 1. Quantas são as pontuações possíveis (a) Se João obtém no primeiro lançamento uma
deste jogo? das 9 pontuações: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32
Solução ou 33, então lança novamente os dois dados e
Para o dado vermelho temos 6 resultados poderá obter uma das seguintes 36 pontuações:
possíveis, uma das faces: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Da 11, ..., 16, 21, ..., 26, 31, ..., 36, 41, ..., 46, 51, ...,
mesma forma para o dado branco temos os 6 56, 61, ..., 66. Assim, pelo Princípio
resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Assim, Multiplicativo temos 9 x 36 = 324 maneiras.
para formar a pontuação (número) devemos
considerar a face do dado vermelho e a face do (b) Se João obtém no primeiro lançamento uma
dado branco nesta ordem. Portanto, pelo Princípio das 9 pontuações: 14, 15, 16, 24, 25, 26, 34, 35
Multiplicativo temos 6 x 6 = 36 pontuações ou 36, então lança novamente apenas o dado
possíveis; a saber: 11, ..., 16, 21, ..., 26, 31, ..., 36, vermelho e poderá obter uma das 6 faces: 1, 2, 3,
41, ..., 46, 51, ..., 56, 61, ..., 66. 4, 5 ou 6. Assim, pelo Princípio Multiplicativo
 temos 9 x 6 = 54 maneiras.
Observar que independentemente do fato (c) Se João obtém no primeiro lançamento uma
do jogador aproveitar ou não o segundo das 9 pontuações: 41, 42, 43, 51, 52, 53, 61, 62
lançamento sempre teremos 36 pontuações ou 63, então lança novamente apenas o dado
possíveis. branco e poderá obter uma das 6 faces: 1, 2, 3, 4,
Em problemas de contagem estamos 5 ou 6. Assim, pelo Princípio Multiplicativo
interessados no número de casos possíveis. Para a temos 9 x 6 = 54 maneiras.
maioria dos problemas de interesse será
praticamente impossível descrever todos os casos (d) Se João obtém no primeiro lançamento uma
possíveis, assim devemos ter mecanismos para das 9 pontuações: 44, 45, 46, 54, 55, 56, 64, 65
saber o número de casos possíveis sem ter a ou 66, então ele pára e não aproveita o seu
necessidade de descreve-los. segundo possível lançamento. Assim, temos neste
caso 9 maneiras.

4. Portanto, pelo Princípio Aditivo João Problema 5. De quantas maneiras diferentes,
possui 324 + 54 + 54 + 9 = 441 maneiras João poderá obter como pontuação um número
diferentes de efetuar o seu jogo. divisível por 3?
 Solução
Problema 4. De quantas maneiras diferentes, Para o jogo aqui considerado, a
João poderá obter como pontuação um número pontuação será um número divisível por 3 se a
par? soma de seus algarismos for igual a 3, 6, 9 ou 12.
Solução Assim, de modo análogo ao problema 3, quatro
Lembrando que João sempre joga para casos devem ser considerados para que João
obter a maior pontuação possível e da estratégia obtenha como pontuação um número divisível
anteriormente estabelecida, quatro casos devem por três:
ser considerados para que João obtenha como
(a) obtém no primeiro lançamento uma das 9
pontuação um número par:
pontuações: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32 ou 33, e
(a) se obtém no primeiro lançamento uma das 9 para cada uma dessas, obtém no segundo
pontuações: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32 ou 33, lançamento dos dois dados, uma das 12
então lança novamente os dois dados e deverá pontuações: 12, 21, 15, 51, 24, 42, 33, 36, 63, 45,
obter uma das 18 pontuações: 12, 14, 16, 22, 24, 54 ou 66. Assim, pelo Princípio Multiplicativo
26, 32, 34, 36, 42, 44, 46, 52, 54, 56, 62, 64 ou temos 9 x 12 = 108 maneiras.
66. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos
(b) obtém no primeiro lançamento uma das 9
9 x 18 = 162 maneiras.
pontuações: 14, 15, 16, 24, 25, 26, 34, 35 ou 36 e
(b) se obtém no primeiro lançamento uma das 6 para cada uma dessas 9 pontuações existem dois
pontuações: 14, 16, 24, 26, 34, ou 36, então lança casos possíveis. Como exemplo, se obteve 14 no
novamente apenas o dado vermelho e poderá primeiro lançamento, então deverá obter no
obter qualquer uma das 6 faces: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. segundo lançamento do dado vermelho uma das
Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos faces: 2 ou 5. Assim, pelo Princípio
6 x 6 = 36 maneiras. Multiplicativo temos 9 x 2 = 18 maneiras.
(c) se obtém no primeiro lançamento uma das 9 (c) obtém no primeiro lançamento uma das 9
pontuações: 41, 42, 43, 51, 52, 53, 61, 62 ou 63, pontuações: 41, 42, 43, 51, 52, 53, 61, 62 ou 63 e
então lança novamente apenas o dado branco e para cada uma dessas 9 pontuações existem dois
deverá obter uma das 3 faces: 2, 4 ou 6. Assim, casos possíveis. Como exemplo, se obteve 41 no
pelo Princípio Multiplicativo temos 9 x 3 = 27 primeiro lançamento, então deverá obter no
maneiras. segundo lançamento do dado branco uma das
faces: 2 ou 5. Assim, pelo Princípio
(d) se obtém no primeiro lançamento uma das 6
Multiplicativo temos 9 x 2 = 18 maneiras.
pontuações: 44, 46, 54, 56, 64, ou 66, então ele
pára e não aproveita o seu segundo lançamento. (d) se João obtém no primeiro lançamento uma
Assim, temos neste caso 6 maneiras. das 3 pontuações: 45, 54 ou 66, então ele pára e
não aproveita o seu segundo lançamento. Assim,
Portanto, pelo Princípio Aditivo João
temos neste caso 3 maneiras.
possui 162 + 36 + 27 + 6 = 231 maneiras
diferentes de obter como pontuação um número Portanto, pelo Princípio Aditivo João
par. possui 108 + 18 + 18 + 3 = 147 maneiras
 diferentes de obter como pontuação um número
Se João obtém como resultado de seu divisível por 3.
primeiro lançamento as pontuações: 15, 25, 35, 
45, 55 ou 65, então não poderá obter nestes casos Se João obtém como resultado de seu
uma pontuação como sendo um número par. Por primeiro lançamento as pontuações: 44, 46, 55,
isso, estes 6 casos não foram considerados na 56, 64 ou 65, então ele pára e não obteve nestes
solução do problema 4. casos uma pontuação como sendo um número
Das soluções dos problemas 3 e 4, João divisível por 3. Por isso, estes 6 casos não foram
poderá obter como pontuação um número impar considerados na solução do problema 5.
de 441 − 231 = 210 maneiras diferentes. Da mesma forma que João, Maria poderá
aproveitar o seu segundo lançamento de três
maneiras diferentes: lança apenas o dado

5. vermelho, lança apenas o dado branco ou lança os De maneira análoga ao problema 6,
dois dados. Agora, como já conhece a pontuação Maria perde o jogo em qualquer um dos três
obtida por João, então sua estratégia está casos abaixo:
condicionada aos pontos obtidos por João, está
(a) se obtém no primeiro lançamento uma das 12
assim em situação melhor para definir sua jogada.
pontuações: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32,
Se Maria obtém em seu primeiro
33 ou 34, e para cada uma dessas, obtém no
lançamento uma pontuação maior do que a de
segundo lançamento dos dois dados uma das 16
João então ela pára, pois já venceu o jogo; se
pontuações: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24,
obtém uma pontuação menor ou igual a de João,
25, 26, 31, 32, 33 ou 34. Assim, pelo Princípio
vamos considerar para os três problemas
Multiplicativo temos 12 x 16 = 192 maneiras.
seguintes que Maria adote a seguinte estratégia:
“tanto para o dado vermelho como para o dado (b) se obtém no primeiro lançamento uma das
branco, se obteve em seu primeiro lançamento duas pontuações: 16 ou 26, e para cada uma
uma pontuação menor do que aquela obtida por dessas, obtém no segundo lançamento do dado
João, então lança novamente este(s) dado(s). Se vermelho uma das 2 faces: 1 ou 2. Assim, pelo
obteve empate, lança novamente o(s) dado(s) se e Princípio Multiplicativo temos 2 x 2 = 4
só se João obteve face menor ou igual a três”. maneiras.
Problema 6. Se João marcou 35 pontos, de (c) se obtém no primeiro lançamento uma das 3
quantas maneiras diferentes Maria poderá vencer pontuações: 15, 25 ou 35, e para cada uma dessas,
o jogo? obtém no segundo lançamento do dado vermelho
Solução uma das 2 faces: 1 ou 2. Assim, pelo Princípio
Maria vence o jogo em qualquer um dos Multiplicativo temos 3 x 2 = 6 maneiras.
quatro casos abaixo: Portanto, pelo Princípio Aditivo Maria
(a) se obtém no primeiro lançamento uma das 19 possui 192 + 4 + 6 = 202 maneiras diferentes de
pontuações: 36, 41, ..., 46, 51, ..., 56, 61, ..., 66. perder o jogo se João marcou 35 pontos.
Temos assim 19 maneiras. 
Se Maria obtém como resultado de seu
(b) se obtém no primeiro lançamento uma das 12
primeiro lançamento uma das 19 pontuações: 36,
pontuações: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32,
41, ..., 46, 51, ..., 56, 61, ..., 66, então ela pára e
33, 34 e para cada uma dessas, obtém no segundo
não poderá perder o jogo nestes casos. Por isso,
lançamento dos dois dados, uma das 19
estes 19 casos não foram considerados na solução
pontuações: 36, 41, ..., 46, 51, ..., 56, 61, ..., 66.
do problema 7.
Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos
12 x 19 = 228 maneiras. Problema 8. Se João marcou 35 pontos, de
quantas maneiras diferentes Maria poderá
(c) se obtém no primeiro lançamento uma das
empatar o jogo?
duas pontuações: 16 ou 26, e no segundo
Solução
lançamento do dado vermelho obtém uma das 4
De maneira análoga ao problema 6,
faces: 3, 4, 5 ou 6. Assim, pelo Princípio
Maria empata o jogo em qualquer um dos dois
Multiplicativo temos 2 x 4 = 8 maneiras.
casos abaixo:
(d) se obtém no primeiro lançamento uma das 3
(a) se obtém no primeiro lançamento uma das 12
pontuações: 15, 25 ou 35, e no segundo
pontuações: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32,
lançamento do dado vermelho obtém uma das 3
33 ou 34, e para cada uma dessas, obtém no
faces: 4, 5 ou 6. Assim, pelo Princípio
segundo lançamento dos dois dados a pontuação
Multiplicativo temos 3 x 3 = 9 maneiras.
35 (1 caso). Assim, pelo Princípio Multiplicativo
Portanto, pelo Princípio Aditivo Maria temos 12 x 1 = 12 maneiras.
possui 19 + 228 + 8 + 9 = 264 maneiras
(b) se obtém no primeiro lançamento uma das 3
diferentes de vencer o jogo se João marcou 35
pontuações: 15, 25 ou 35, e para cada uma dessas
pontos.
obtém no segundo lançamento do dado vermelho
Problema 7. Se João marcou 35 pontos, de a face 3 (1 caso). Assim, pelo Princípio
quantas maneiras diferentes Maria poderá perder Multiplicativo temos 3 x 1 = 3 maneiras.
o jogo?
Solução

6. Portanto, pelo Princípio Aditivo Maria [6] G. Polya, “A arte de resolver problemas”,
possui 12 + 3 = 15 maneiras diferentes de Primeira reimpressão. Tradução e adaptação de
empatar o jogo se João marcou 35 pontos. Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro:
 Interciências, 1986.
Se Maria obtém como resultado de seu
[7] Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
primeiro lançamento uma das 21 pontuações: 16,
Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN+:
26, 36, 41, ..., 46, 51, ..., 56, 61, ..., 66, então ela
Matemática. MEC, Brasília, 1997.
não poderá empatar o jogo nestes casos. Por isso,
estes 21 casos não foram considerados na solução [8] _______ . Parâmetros Curriculares Nacionais:
do problema 8. Ensino Fundamental - Matemática. MEC,
Brasília, 1997.
Considerações finais
Vários outros problemas podem ser
formulados. Após o trabalho com problemas do
tipo dos anteriormente apresentados, o professor
poderá ter mais facilidade para sistematizar os
conceitos básicos da Análise Combinatória. As
fórmulas de contagem devem aparecer
naturalmente como conseqüência do Princípio
Multiplicativo e nunca serem “jogadas” no início
dos estudos, como tradicionalmente é feito.
Na metodologia de resolução de
problemas, os alunos tornam-se ativos na
construção de seu próprio conhecimento e o que
buscamos é o desenvolvimento do raciocínio
dedutivo do aluno e não a memorização de
fórmulas. A memorização pode ser temporária,
mas o desenvolvimento do raciocínio é para toda
a vida.
Mudar a forma de se ensinar matemática
é tarefa árdua e lenta; mas só depende de nós,
professores.
Referências bibliográficas
[1] C. Batanero, “Didáctica de la Estadística”,
Granada. Uninersidad de Granada, ESP, 2001.
[2] J. M. Lopes, Conceitos básicos de
probabilidade com resolução de problemas, Rev.
do Prof. de Mat., SBM, vol. 59, pp. 41-5, (2006).
[3] _______ . Probabilidade Condicional Através
da Metodologia de Resolução de Problemas, Rev.
do Prof. de Mat., SBM, vol. 62, pp. 34-8, (2007).
[4] A. C. O. Morgado et alli, “Análise
Combinatória e Probabilidade”, SBM, Coleção do
Professor de Matemática, Rio de Janeiro, 2004.
[5] L. R. Onuchic, Ensino-aprendizagem de
Matemática através da resolução de problemas.
In: Bicudo, M.A.V. (org). Pesquisa em Educação
Matemática: Concepções & Perspectivas, São
Paulo: Editora UNESP, pp. 199-218, 1999.