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1.Introdução
O presente trabalho tem em vista apresentar e descrer assuntos referentes ao
RACIOCÍNIO LÓGICO APLICADO À RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
MATEMÁTICOS, com isso é de suma importância perceber que Resolver
problemas do cotidiano sempre foi elemento propulsor da pesquisa científica em todos os
tempos. No que diz respeito à sala de aula, notadamente na Educação Matemática, essa
perspetiva é bem mais recente. No ensino de Matemática “tradicional”, resolver um
problema era quase sempre no final de um conteúdo e como aplicação de alguma fórmula
ou algoritmo apresentado pelo professor. Ao observar o “ensinar” da Matemática, pode-
se dizer que ainda temos preparado o aluno para ser, quando muito, um calculista com
recursos memorizados que permitem aplicações de regras e resolução mecânica de
determinados tipos de exercícios. Como estratégia de intervenção “nestes modelos de
ensinar e aprender” defendemos a resolução de Problemas. Esta, tem se apresentado como
metodologia que favorece construção/reconstrução do conhecimento matemático. Ao
estimular o raciocínio lógico e o pensamento crítico cria condições efetivas para que
alunos/professores tornem-se sujeitos das “aulas” de Matemática e, mais importante
ainda, sintam prazer em aprender/ensinar a matemática. Objetivos do trabalho:
1.0.Objetivo Geral:
 Descrever o RACIOCÍNIO LÓGICO APLICADO À RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS MATEMÁTICOS,
1.1.Objetivos Específicos:
 Conceituar raciocínio lógico, raciocínio lógico matemático, problema, problema
matemático ;
 Apresentar e descrever o objetivo do estudo da Matemática, os tipos de problemas
e suas características;
 Indicar as etapas de resolução de problemas e os fatores que dificultam a
Resolução de Problemas matemáticos.
2.Metodologia
3.O RACIOCÍNIO LÓGICO APLICADO À RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
MATEMÁTICOS
3.0.Raciocínio lógico:
Segundo Diniz (2001) É um processo de estruturação do pensamento de acordo
com as normas da lógica que permite chegar a uma determinada conclusão ou resolver
um problema. Um raciocínio lógico requer consciência e capacidade de organização do
pensamento. Existem diferentes tipos de raciocínio lógico, como o dedutivo, indutivo e
abdução. No entanto, também pode ser aplicado na área da dialética.
Frequentemente, o raciocínio lógico é usado para fazer inferências, sendo que começa
com uma afirmação ou proposição inicial, seguido de uma afirmação intermediária e uma
conclusão. Assim, ele também é uma ferramenta analítica e sequencial para justificar,
analisar, argumentar ou confirmar alguns raciocínios. É fundamentado em dados que
podem ser comprovados, e por isso é preciso e exato, (Diniz 2001).
É possível resolver problemas usando o raciocínio lógico. No entanto, ele não pode ser
ensinado diretamente, mas pode ser desenvolvido através da resolução de exercícios
lógicos que contribuem para a evolução de algumas habilidades mentais.
3.1.Raciocínio lógico matemático ou quantitativo
O raciocínio lógico matemático ou quantitativo é o raciocínio usado para a resolução de
alguns problemas e exercícios matemáticos. Esses exercícios são frequentemente usados
no âmbito escolar, através de problemas matriciais, geométricos e aritméticos, para que
os alunos desenvolvam determinadas aptidões. Este tipo de raciocínio é bastante usado
em áreas como a análise combinatória, Polya (1997, p.2).
3.0.1.Resolução de problemas
A Resolução de Problemas é uma das Tendências em Educação Matemática, sendo parte
integrante da Matemática para o desenvolvimento do raciocínio lógico.
3.0.2.Problema
A Resolução de Problemas aprimora a inteligência, favorecendo o desenvolvimento do
pensar raciocinado, amadurecendo assim as estruturas cognitivas. Assim, é essencial que
se utilize a Resolução de Problemas nas aulas de matemática, pois propicia o raciocínio
e instiga a curiosidade.
Um problema “É qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la.”
(DANTE, 1991, p.9). Para resolver um problema, requer o raciocínio, uma reflexão sobre
qual seria o cálculo, algoritmo ou estratégia a ser utilizada.
Desta forma, Polya (1997, p.2) enfatiza que “Resolver problemas é a realização específica
da inteligência, e a inteligência é o dom específico do homem.”. Assim, resolver
problemas aprimora a inteligência, pois sugere que o aluno pense, interprete, elabore
estratégias e formule caminhos utilizando os algoritmos, levando-o à resolução.
“Entretanto, a inteligência é essencialmente a habilidade para resolver problemas:
 problemas do cotidiano, problemas pessoais, problemas sociais, problemas
científicos, quebra-cabeças, toda sorte de problemas.”
Segundo POLYA, (1997, p.2), Concorda-se com o autor, pois se entende que o
desenvolvimento da habilidade para resolver problema, aprimora cada vez mais a
inteligência e prepara o aluno para resolver vários tipos de problemas.
Todos os problemas, incentivam para que o aluno investigue, descubram quais os
algoritmos necessários para facilitar o desenvolvimento do seu cálculo. Neste contexto.
De acordo com Dante (1991) um problema para ser considerado como realmente
resolvido, não é só o aluno encontrar a resposta certa, mas saber o que fez para resolver,
como fez esta resolução e por que a sua ação para resolver o problema foi apropriada.
Estes procedimentos devem ser fundamentais na Resolução de Problemas para o
retrospeto e verificação.
Ensinar a resolver problemas é uma tarefa mais difícil do que ensinar conceitos,
habilidades e algoritmos matemáticos. Não é um mecanismo direto de ensino, mas
uma variedade de processos de pensamento que precisam ser cuidadosamente
desenvolvidos pelo aluno com o apoio e incentivo do professor. (1991, p.30).
Portanto, entende-se que os professores devem trabalhar com os alunos, a prática de
Resolução de Problemas, desenvolvendo habilidades e estratégias para que perante as
situações problemas possam encontrar as soluções.
3.0.3. Problema Matemático
Entende-se como qualquer situação-problema que exija para a sua resolução
conhecimentos matemáticos que já foram apreendidos anteriormente. Para se resolver um
problema é necessário ter adquirido os conhecimentos científicos, de acordo com o grau
de complexidade. Para Dante “É qualquer situação que exija a maneira matemática de
pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-las.” (DANTE, 1991, p.10). Assim
acredita-se que, o aluno só pode aperfeiçoar a sua Resolução de Problemas, praticando
suas interpretações e desenvolvendo as suas habilidades no cálculo.
3.0.4.Objetivo do ensino de matemática
“Um dos principais objetivos do ensino de Matemática é fazer o aluno pensar
produtivamente e, para isso, nada melhor que apresentar-lhe situações-problema que o
envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las.” (DANTE 1991, p.11). Portanto
o aluno se sentirá motivado se a ituação-problema estiver relacionada com a sua realidade
na vida, que o instigue a se interessar e querer encontrar a solução. Desta forma, uma
situação problema exige um trabalho mental raciocinado para ser solucionada. Quanto
mais o aluno tenha adquirido o conhecimento científico, mais este aluno terá facilidade
em formular algoritmos que lhe indique caminhos para chegar à solução do problema
proposto.
De acordo com Davis e Mckillip (1997) quando a situação problema é analisada, têm-se
uma visão maior dos dados a serem levantados e o aluno se sente mais a vontade para
resolver o problema proposto. Assim, o aluno poderá ter um maior esclarecimento em
relação à compreensão do problema, como também uma ajuda no desenvolvimento da
arte de fazer perguntas a si mesmo, como estas:
 o que sabemos com certeza?
 Mais alguma coisa?
 O que estamos tentando encontrar?
 O que nos ajudaria?
 Como podemos encontrar isso?
Percebe-se que ao analisar o problema através de perguntas, pode-se ter uma melhor
compreensão da situação-problema apresentada aos alunos, e instigar o interesse deles
em querer resolver o problema e encontrar a resposta.
4.Tipos de Problemas
Butts (1997) pontua os tipos de problemas em cinco: o primeiro tipo são os exercícios de
reconhecimento:
 Quando é necessário que o aluno reconheça os conteúdos apreendidos, recorde
uma definição ou um enunciado, para resolver o problema;
 o segundo tipo são os exercícios algorítmicos: que são exercícios que podem ser
resolvidos seguindo um passo a passo, utilizando no mínimo um algorítmico
numérico;
 o terceiro tipo são os problemas de aplicação: são denominados problemas
tradicionais, que necessitam de formulação do problema e utilização dos símbolos
através de algoritmos diversos;
 o quarto tipo são os problemas de pesquisa aberta: são aqueles problemas em que
o enunciado não necessita de uma estratégia para resolvê-los. São expressos por:
prove que..., encontre todos..., para quais..., é..., seja..., entre outros.
Sobre estes problemas de pesquisa aberta, Butts (1997, p.35) nos diz que, “Uma das
opiniões mais erradas envolvendo problemas de pesquisa aberta é que eles
necessariamente se relacionariam com conceitos matemáticos sofisticados.”. Neste tipo
de problema, o aluno necessita muito mais do conhecimento científico, quanto mais
conhecimento ele tiver adquirido, melhor será o desenvolvimento de suas estratégias e
consequentemente do seu desenvolvimento.
4.0.Etapas para a Resolução de Problemas
De acordo com Polya (1995), são quatro as principais etapas para a Resolução de
Problemas:
A primeira etapa é a compreensão do problema: Em que é necessário compreender o
problema, analisar a pergunta do enunciado e querer resolvê-la, verificar qual a incógnita
apropriada, fazer um levantamento de dados e determinar qual é a condicionante;
 A segunda etapa é o estabelecimento de um plano: Onde se deve sempre
chamar a atenção do aluno para encontrar a conexão entre os dados do problema
e a incógnita, verificar qual será a estratégia utilizada, para isto, recordar um
problema conhecido ou formular um problema como exemplo, que tenha a mesma
incógnita ou outra parecida que possa ajudar o aluno chegar à solução e resolver
o problema por partes;
 Terceira etapa é a execução do plano: é por em prática o plano elaborado,
verificar passo a passo e demonstrar se os passos estão corretos;
 A quarta etapa é o retrospeto: que informa ao aluno o que se deve examinar e
qual a solução encontrada, conferir os passos que foram desenvolvidos, verificar
o resultado, analisar se é possível chegar à solução utilizando outros algoritmos.
Deve-se indagar ao aluno se é possível perceber de imediato outro tipo de resolução, se
seria possível utilizar o mesmo método ou o resultado em outro problema.
4.1.Exercício e Problema
 Como distinguir exercício de um problema?
Os exercícios são atividades que tem por objetivo praticar os algoritmos já aprendidos,
conceitos que já foram elaborados e como forma de fechamento de conteúdo. Enquanto
que as situações-problema, o aluno interpreta o enunciado, vai buscar as estratégias de
resolução em que serão utilizados os algoritmos já aprendidos, além de analisar e verificar
as soluções encontradas.
“Exercício, como o próprio nome diz, serve para exercitar, para praticar um determinado
algoritmo ou processo. O aluno lê o exercício e extrai as informações necessárias para
praticar uma ou mais habilidades algorítmicas.” (DANTE, 1991, p. 43). Nos exercícios,
os alunos ao lerem o enunciado, já sabem qual algoritmo deverá ser utilizado. Já na
Resolução de Problemas, o aluno ao ler o enunciado, terá que interpretar para verificar
qual o algoritmo que ele irá recorrer, para efetuar o seu desenvolvimento e conseguir
resolver.
4.0.1.Características evidenciadas em um Problema
Dante (1991) pontua algumas características de um bom problema, como por exemplo:
a primeira é ser desafiador para o aluno: geralmente os problemas trabalhados com os
alunos são problemas-padrão que não os desafiam. Ao contrário, os problemas dados aos
alunos devem ser desafiadores, instigando a motivação, a curiosidade para querer
solucioná-los;
a segunda característica é ser real para o aluno: quando os problemas não são
relacionados com a vida real, tornam-se desmotivadores, fora do contexto da vida desses
alunos, tanto na veracidade das informações contidas, como nos valores numéricos
estabelecidos;
A terceira característica é ser interessante para o aluno: a motivação é considerada
fator preponderante no envolvimento dos alunos com o problema, sendo interiorizada
naturalmente quando os dados do problema fazem parte da vida cotidiana desses alunos
como: música popular, esportes, televisão.
A quarta característica é ser o elemento desconhecido de um problema realmente
desconhecido: o elemento desconhecido que se procura no problema, deve ser mesmo
desconhecido para que o aluno precise descobrir;
A quinta característica é não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais
operações aritméticas: é necessário que os problemas levem o aluno a processos de
pensamentos, de hipóteses e propicie várias estratégias para que se chegue à solução;
A sexta característica é um nível adequado de dificuldade: onde os problemas além
de serem motivadores, devem ser desafiadores, mas capazes de serem resolvidos pelos
alunos da série em que estão sendo aplicados, para não constituírem em frustrações,
desânimos que podem prejudicar a relação desses alunos não só com a resolução de
problemas, mas também com a Matemática no sentido geral e desmotivá-los até nas
atividades escolares.
5.Fatores que dificultam a Resolução de Problemas
Dante (1991) ressalta também como contornar fatores que dificultam um problema, são
eles:
linguagem usada na redação do problema: ressalta-se que a linguagem normalmente
usada nos problemas geralmente é diferente da utilizada no usual.
Em um único parágrafo são apresentadas muitas idéias e no usual quase sempre há uma
única idéia. É importante que a linguagem e o vocabulário sejam coerentes a série
trabalhada e de acordo com a realidade do aluno, sendo clara e simples a fim de uma
melhor compreensão;
o tamanho e estrutura das frases: as frases longas e complexas dispersam os alunos, é
conveniente separá-las em duas ou mais frases curtas e simples;
o vocabulário matemático específico: os problemas apresentam linguagem matemática
específica, os alunos necessitam da ajuda dos professores para saber distingui-las e
esclarecer o significado das palavras desconhecidas, para que este aluno saiba interpretar
corretamente o problema;
otamanho e complexidade dos números: quando o problema apresenta números muito
grandes, o aluno dispersa a atenção na interpretação do mesmo, se concentrando nesses
números e no algoritmo que irá utilizar. Já o problema com números pequenos, faz o
aluno focalizar o problema em si, facilitando assim o seu processo de pensamento para
chegar a sua resolução e não apenas fazer os cálculos;
como apresentar o problema: a maneira como o problema é apresentado, o aluno
apresentará maior ou menor dificuldade para resolvê-lo, como também poderá
desenvolver ou não a sua motivação;
número de condições a serem satisfeitas e sua complexidade: é quando o problema
apresenta duas ou mais condições que satisfaçam, ele se torna mais difícil, pois o aluno
quando satisfaz só uma das condições, ele pensa que o problema já está resolvido;
número e complexidade de operações e estratégias envolvidas: quando o problema
apresenta uma só operação, ele se apresenta mais simples do que necessitar de duas ou
mais operações para resolvê-lo.
No que se refere às estratégias, também há este enfoque, pois se os problemas requererem
somente algoritmos é mais simples, mas se necessitar de tentativa e erro, tabelas, gráficos
e sua interpretação, generalizações, a resolução dos problemas se tornará mais difícil.
Todos os fatores já citados podem ajudar a diminuir a dificuldade que os alunos
demonstram, ao resolver um problema e dese
matematica escolar.docx
6.Conclusão
Mediante a elaboração do presente trabalho, foi possível constatar, que a resolução de
problemas constitui, em matemática, um contexto universal de aprendizagem e deve, por
isso, estar sempre presente, associada ao raciocínio lógico e à comunicação, assim como
integrada naturalmente nas diversas atividades de ensino. Uma das grandes dificuldades
que os professores (as) encontram para desenvolver seu trabalho com desafios junto a
seus alunos é localizarem problemas adequados à faixa etária de sua série. Problemas que
desafiam o raciocínio estimulam a observação, a criação de hipóteses e analogias, a
tomada de decisões e a elaboração de justificativas e conclusões. Favorecem o bom
desempenho em todas as disciplinas e preparam para as situações simples ou complexas
da vida. A resolução de problemas, como metodologia de ensino, possibilita que os alunos
utilizem conhecimentos matemáticos adquiridos e desenvolvam a capacidade de
administrar as informações ao seu redor. Dessa forma, os alunos ampliam o
conhecimento, desenvolvem o raciocínio lógico e conhecem as aplicações da matemática.
O mesmo sucede com professor, pois trabalhar com a resolução de problemas torna sua
aula mais interessante e motivadora.
7.Bibliografia
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. 3. ed. São Paulo:
Ática, 1991.
BUTTS, T. Formulando problemas adequadamente. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org).
A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997. p. 32-48.
POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático.
Tradução de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: interciência, 1995. 196 p. Tradução
de: How to solve it.
DAVIS, E. J; MCKILLIP, W. D. Aperfeiçoando a resolução de problemas-história na
matemática da elementary school. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org). A resolução de
problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997. p. 114-130.
DINIZ, M.I. Resolução de Problemas e Comunicação. In: SMOLE, K. S e DINIZ, M.I
(org.). Ler, Escrever e Resolver Problemas. Porto Alegre, Artmed, 2001. Capítulo 4, p.
87-97.

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  • 2. 1.Introdução O presente trabalho tem em vista apresentar e descrer assuntos referentes ao RACIOCÍNIO LÓGICO APLICADO À RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS, com isso é de suma importância perceber que Resolver problemas do cotidiano sempre foi elemento propulsor da pesquisa científica em todos os tempos. No que diz respeito à sala de aula, notadamente na Educação Matemática, essa perspetiva é bem mais recente. No ensino de Matemática “tradicional”, resolver um problema era quase sempre no final de um conteúdo e como aplicação de alguma fórmula ou algoritmo apresentado pelo professor. Ao observar o “ensinar” da Matemática, pode- se dizer que ainda temos preparado o aluno para ser, quando muito, um calculista com recursos memorizados que permitem aplicações de regras e resolução mecânica de determinados tipos de exercícios. Como estratégia de intervenção “nestes modelos de ensinar e aprender” defendemos a resolução de Problemas. Esta, tem se apresentado como metodologia que favorece construção/reconstrução do conhecimento matemático. Ao estimular o raciocínio lógico e o pensamento crítico cria condições efetivas para que alunos/professores tornem-se sujeitos das “aulas” de Matemática e, mais importante ainda, sintam prazer em aprender/ensinar a matemática. Objetivos do trabalho: 1.0.Objetivo Geral:  Descrever o RACIOCÍNIO LÓGICO APLICADO À RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS, 1.1.Objetivos Específicos:  Conceituar raciocínio lógico, raciocínio lógico matemático, problema, problema matemático ;  Apresentar e descrever o objetivo do estudo da Matemática, os tipos de problemas e suas características;  Indicar as etapas de resolução de problemas e os fatores que dificultam a Resolução de Problemas matemáticos. 2.Metodologia
  • 3. 3.O RACIOCÍNIO LÓGICO APLICADO À RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS 3.0.Raciocínio lógico: Segundo Diniz (2001) É um processo de estruturação do pensamento de acordo com as normas da lógica que permite chegar a uma determinada conclusão ou resolver um problema. Um raciocínio lógico requer consciência e capacidade de organização do pensamento. Existem diferentes tipos de raciocínio lógico, como o dedutivo, indutivo e abdução. No entanto, também pode ser aplicado na área da dialética. Frequentemente, o raciocínio lógico é usado para fazer inferências, sendo que começa com uma afirmação ou proposição inicial, seguido de uma afirmação intermediária e uma conclusão. Assim, ele também é uma ferramenta analítica e sequencial para justificar, analisar, argumentar ou confirmar alguns raciocínios. É fundamentado em dados que podem ser comprovados, e por isso é preciso e exato, (Diniz 2001). É possível resolver problemas usando o raciocínio lógico. No entanto, ele não pode ser ensinado diretamente, mas pode ser desenvolvido através da resolução de exercícios lógicos que contribuem para a evolução de algumas habilidades mentais. 3.1.Raciocínio lógico matemático ou quantitativo O raciocínio lógico matemático ou quantitativo é o raciocínio usado para a resolução de alguns problemas e exercícios matemáticos. Esses exercícios são frequentemente usados no âmbito escolar, através de problemas matriciais, geométricos e aritméticos, para que os alunos desenvolvam determinadas aptidões. Este tipo de raciocínio é bastante usado em áreas como a análise combinatória, Polya (1997, p.2). 3.0.1.Resolução de problemas A Resolução de Problemas é uma das Tendências em Educação Matemática, sendo parte integrante da Matemática para o desenvolvimento do raciocínio lógico. 3.0.2.Problema A Resolução de Problemas aprimora a inteligência, favorecendo o desenvolvimento do pensar raciocinado, amadurecendo assim as estruturas cognitivas. Assim, é essencial que se utilize a Resolução de Problemas nas aulas de matemática, pois propicia o raciocínio e instiga a curiosidade.
  • 4. Um problema “É qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la.” (DANTE, 1991, p.9). Para resolver um problema, requer o raciocínio, uma reflexão sobre qual seria o cálculo, algoritmo ou estratégia a ser utilizada. Desta forma, Polya (1997, p.2) enfatiza que “Resolver problemas é a realização específica da inteligência, e a inteligência é o dom específico do homem.”. Assim, resolver problemas aprimora a inteligência, pois sugere que o aluno pense, interprete, elabore estratégias e formule caminhos utilizando os algoritmos, levando-o à resolução. “Entretanto, a inteligência é essencialmente a habilidade para resolver problemas:  problemas do cotidiano, problemas pessoais, problemas sociais, problemas científicos, quebra-cabeças, toda sorte de problemas.” Segundo POLYA, (1997, p.2), Concorda-se com o autor, pois se entende que o desenvolvimento da habilidade para resolver problema, aprimora cada vez mais a inteligência e prepara o aluno para resolver vários tipos de problemas. Todos os problemas, incentivam para que o aluno investigue, descubram quais os algoritmos necessários para facilitar o desenvolvimento do seu cálculo. Neste contexto. De acordo com Dante (1991) um problema para ser considerado como realmente resolvido, não é só o aluno encontrar a resposta certa, mas saber o que fez para resolver, como fez esta resolução e por que a sua ação para resolver o problema foi apropriada. Estes procedimentos devem ser fundamentais na Resolução de Problemas para o retrospeto e verificação. Ensinar a resolver problemas é uma tarefa mais difícil do que ensinar conceitos, habilidades e algoritmos matemáticos. Não é um mecanismo direto de ensino, mas uma variedade de processos de pensamento que precisam ser cuidadosamente desenvolvidos pelo aluno com o apoio e incentivo do professor. (1991, p.30). Portanto, entende-se que os professores devem trabalhar com os alunos, a prática de Resolução de Problemas, desenvolvendo habilidades e estratégias para que perante as situações problemas possam encontrar as soluções.
  • 5. 3.0.3. Problema Matemático Entende-se como qualquer situação-problema que exija para a sua resolução conhecimentos matemáticos que já foram apreendidos anteriormente. Para se resolver um problema é necessário ter adquirido os conhecimentos científicos, de acordo com o grau de complexidade. Para Dante “É qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-las.” (DANTE, 1991, p.10). Assim acredita-se que, o aluno só pode aperfeiçoar a sua Resolução de Problemas, praticando suas interpretações e desenvolvendo as suas habilidades no cálculo. 3.0.4.Objetivo do ensino de matemática “Um dos principais objetivos do ensino de Matemática é fazer o aluno pensar produtivamente e, para isso, nada melhor que apresentar-lhe situações-problema que o envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las.” (DANTE 1991, p.11). Portanto o aluno se sentirá motivado se a ituação-problema estiver relacionada com a sua realidade na vida, que o instigue a se interessar e querer encontrar a solução. Desta forma, uma situação problema exige um trabalho mental raciocinado para ser solucionada. Quanto mais o aluno tenha adquirido o conhecimento científico, mais este aluno terá facilidade em formular algoritmos que lhe indique caminhos para chegar à solução do problema proposto. De acordo com Davis e Mckillip (1997) quando a situação problema é analisada, têm-se uma visão maior dos dados a serem levantados e o aluno se sente mais a vontade para resolver o problema proposto. Assim, o aluno poderá ter um maior esclarecimento em relação à compreensão do problema, como também uma ajuda no desenvolvimento da arte de fazer perguntas a si mesmo, como estas:  o que sabemos com certeza?  Mais alguma coisa?  O que estamos tentando encontrar?  O que nos ajudaria?  Como podemos encontrar isso?
  • 6. Percebe-se que ao analisar o problema através de perguntas, pode-se ter uma melhor compreensão da situação-problema apresentada aos alunos, e instigar o interesse deles em querer resolver o problema e encontrar a resposta. 4.Tipos de Problemas Butts (1997) pontua os tipos de problemas em cinco: o primeiro tipo são os exercícios de reconhecimento:  Quando é necessário que o aluno reconheça os conteúdos apreendidos, recorde uma definição ou um enunciado, para resolver o problema;  o segundo tipo são os exercícios algorítmicos: que são exercícios que podem ser resolvidos seguindo um passo a passo, utilizando no mínimo um algorítmico numérico;  o terceiro tipo são os problemas de aplicação: são denominados problemas tradicionais, que necessitam de formulação do problema e utilização dos símbolos através de algoritmos diversos;  o quarto tipo são os problemas de pesquisa aberta: são aqueles problemas em que o enunciado não necessita de uma estratégia para resolvê-los. São expressos por: prove que..., encontre todos..., para quais..., é..., seja..., entre outros. Sobre estes problemas de pesquisa aberta, Butts (1997, p.35) nos diz que, “Uma das opiniões mais erradas envolvendo problemas de pesquisa aberta é que eles necessariamente se relacionariam com conceitos matemáticos sofisticados.”. Neste tipo de problema, o aluno necessita muito mais do conhecimento científico, quanto mais conhecimento ele tiver adquirido, melhor será o desenvolvimento de suas estratégias e consequentemente do seu desenvolvimento. 4.0.Etapas para a Resolução de Problemas De acordo com Polya (1995), são quatro as principais etapas para a Resolução de Problemas: A primeira etapa é a compreensão do problema: Em que é necessário compreender o problema, analisar a pergunta do enunciado e querer resolvê-la, verificar qual a incógnita apropriada, fazer um levantamento de dados e determinar qual é a condicionante;
  • 7.  A segunda etapa é o estabelecimento de um plano: Onde se deve sempre chamar a atenção do aluno para encontrar a conexão entre os dados do problema e a incógnita, verificar qual será a estratégia utilizada, para isto, recordar um problema conhecido ou formular um problema como exemplo, que tenha a mesma incógnita ou outra parecida que possa ajudar o aluno chegar à solução e resolver o problema por partes;  Terceira etapa é a execução do plano: é por em prática o plano elaborado, verificar passo a passo e demonstrar se os passos estão corretos;  A quarta etapa é o retrospeto: que informa ao aluno o que se deve examinar e qual a solução encontrada, conferir os passos que foram desenvolvidos, verificar o resultado, analisar se é possível chegar à solução utilizando outros algoritmos. Deve-se indagar ao aluno se é possível perceber de imediato outro tipo de resolução, se seria possível utilizar o mesmo método ou o resultado em outro problema. 4.1.Exercício e Problema  Como distinguir exercício de um problema? Os exercícios são atividades que tem por objetivo praticar os algoritmos já aprendidos, conceitos que já foram elaborados e como forma de fechamento de conteúdo. Enquanto que as situações-problema, o aluno interpreta o enunciado, vai buscar as estratégias de resolução em que serão utilizados os algoritmos já aprendidos, além de analisar e verificar as soluções encontradas. “Exercício, como o próprio nome diz, serve para exercitar, para praticar um determinado algoritmo ou processo. O aluno lê o exercício e extrai as informações necessárias para praticar uma ou mais habilidades algorítmicas.” (DANTE, 1991, p. 43). Nos exercícios, os alunos ao lerem o enunciado, já sabem qual algoritmo deverá ser utilizado. Já na Resolução de Problemas, o aluno ao ler o enunciado, terá que interpretar para verificar qual o algoritmo que ele irá recorrer, para efetuar o seu desenvolvimento e conseguir resolver. 4.0.1.Características evidenciadas em um Problema Dante (1991) pontua algumas características de um bom problema, como por exemplo:
  • 8. a primeira é ser desafiador para o aluno: geralmente os problemas trabalhados com os alunos são problemas-padrão que não os desafiam. Ao contrário, os problemas dados aos alunos devem ser desafiadores, instigando a motivação, a curiosidade para querer solucioná-los; a segunda característica é ser real para o aluno: quando os problemas não são relacionados com a vida real, tornam-se desmotivadores, fora do contexto da vida desses alunos, tanto na veracidade das informações contidas, como nos valores numéricos estabelecidos; A terceira característica é ser interessante para o aluno: a motivação é considerada fator preponderante no envolvimento dos alunos com o problema, sendo interiorizada naturalmente quando os dados do problema fazem parte da vida cotidiana desses alunos como: música popular, esportes, televisão. A quarta característica é ser o elemento desconhecido de um problema realmente desconhecido: o elemento desconhecido que se procura no problema, deve ser mesmo desconhecido para que o aluno precise descobrir; A quinta característica é não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas: é necessário que os problemas levem o aluno a processos de pensamentos, de hipóteses e propicie várias estratégias para que se chegue à solução; A sexta característica é um nível adequado de dificuldade: onde os problemas além de serem motivadores, devem ser desafiadores, mas capazes de serem resolvidos pelos alunos da série em que estão sendo aplicados, para não constituírem em frustrações, desânimos que podem prejudicar a relação desses alunos não só com a resolução de problemas, mas também com a Matemática no sentido geral e desmotivá-los até nas atividades escolares. 5.Fatores que dificultam a Resolução de Problemas Dante (1991) ressalta também como contornar fatores que dificultam um problema, são eles: linguagem usada na redação do problema: ressalta-se que a linguagem normalmente usada nos problemas geralmente é diferente da utilizada no usual.
  • 9. Em um único parágrafo são apresentadas muitas idéias e no usual quase sempre há uma única idéia. É importante que a linguagem e o vocabulário sejam coerentes a série trabalhada e de acordo com a realidade do aluno, sendo clara e simples a fim de uma melhor compreensão; o tamanho e estrutura das frases: as frases longas e complexas dispersam os alunos, é conveniente separá-las em duas ou mais frases curtas e simples; o vocabulário matemático específico: os problemas apresentam linguagem matemática específica, os alunos necessitam da ajuda dos professores para saber distingui-las e esclarecer o significado das palavras desconhecidas, para que este aluno saiba interpretar corretamente o problema; otamanho e complexidade dos números: quando o problema apresenta números muito grandes, o aluno dispersa a atenção na interpretação do mesmo, se concentrando nesses números e no algoritmo que irá utilizar. Já o problema com números pequenos, faz o aluno focalizar o problema em si, facilitando assim o seu processo de pensamento para chegar a sua resolução e não apenas fazer os cálculos; como apresentar o problema: a maneira como o problema é apresentado, o aluno apresentará maior ou menor dificuldade para resolvê-lo, como também poderá desenvolver ou não a sua motivação; número de condições a serem satisfeitas e sua complexidade: é quando o problema apresenta duas ou mais condições que satisfaçam, ele se torna mais difícil, pois o aluno quando satisfaz só uma das condições, ele pensa que o problema já está resolvido; número e complexidade de operações e estratégias envolvidas: quando o problema apresenta uma só operação, ele se apresenta mais simples do que necessitar de duas ou mais operações para resolvê-lo. No que se refere às estratégias, também há este enfoque, pois se os problemas requererem somente algoritmos é mais simples, mas se necessitar de tentativa e erro, tabelas, gráficos e sua interpretação, generalizações, a resolução dos problemas se tornará mais difícil. Todos os fatores já citados podem ajudar a diminuir a dificuldade que os alunos demonstram, ao resolver um problema e dese
  • 11. 6.Conclusão Mediante a elaboração do presente trabalho, foi possível constatar, que a resolução de problemas constitui, em matemática, um contexto universal de aprendizagem e deve, por isso, estar sempre presente, associada ao raciocínio lógico e à comunicação, assim como integrada naturalmente nas diversas atividades de ensino. Uma das grandes dificuldades que os professores (as) encontram para desenvolver seu trabalho com desafios junto a seus alunos é localizarem problemas adequados à faixa etária de sua série. Problemas que desafiam o raciocínio estimulam a observação, a criação de hipóteses e analogias, a tomada de decisões e a elaboração de justificativas e conclusões. Favorecem o bom desempenho em todas as disciplinas e preparam para as situações simples ou complexas da vida. A resolução de problemas, como metodologia de ensino, possibilita que os alunos utilizem conhecimentos matemáticos adquiridos e desenvolvam a capacidade de administrar as informações ao seu redor. Dessa forma, os alunos ampliam o conhecimento, desenvolvem o raciocínio lógico e conhecem as aplicações da matemática. O mesmo sucede com professor, pois trabalhar com a resolução de problemas torna sua aula mais interessante e motivadora.
  • 12. 7.Bibliografia DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. 3. ed. São Paulo: Ática, 1991. BUTTS, T. Formulando problemas adequadamente. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org). A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997. p. 32-48. POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: interciência, 1995. 196 p. Tradução de: How to solve it. DAVIS, E. J; MCKILLIP, W. D. Aperfeiçoando a resolução de problemas-história na matemática da elementary school. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org). A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997. p. 114-130. DINIZ, M.I. Resolução de Problemas e Comunicação. In: SMOLE, K. S e DINIZ, M.I (org.). Ler, Escrever e Resolver Problemas. Porto Alegre, Artmed, 2001. Capítulo 4, p. 87-97.