O documento aborda o cálculo da matriz A elevada ao expoente 2003, discutindo a hipótese de indução para cos(n*pi/3) e sen(n*pi/3). Utilizando fórmulas trigonométricas, a conclusão é que a forma de A^n é válida para todo n natural. A expressão para A^2003 é derivada e simplificada utilizando relações trigonométricas.

1. QUESTÕES PUC-RIO - CALCULANDO A MATRIZ
Claudio Buffara – Rio de Janeiro

2. No tópico de hoje veremos como calcular potência com expoente, essa foi uma
questão amplamente debatida no forum PUC-Rio.
Sendo a matriz A, calcule A elevado ao expoente 2003
Reescreva A = A^1 como:
Introdução

3. 1/2 -raiz(3)/2
2 * =
raiz(3)/2 1/2
cos(Pi/3) -sen(Pi/3)
2 *
sen(Pi/3) cos(Pi/3)

4. Façamos a seguinte hipótese de indução:
cos(n*Pi/3) -sen(n*Pi/3)
A^n = 2^n *
sen(n*Pi/3) cos(n*Pi/3)
Assim, calculando A^(n+1) = A * A^n e usando as fórmulas para sen(x +/- y) e
cos(x +/- y), chegamos a conclusão de que:
cos((n+1)*Pi/3) -sen((n+1)*Pi/3)
A^(n+1) = 2^(n+1) *
sen((n+1)*Pi/3) cos((n+1)*Pi/3)
ou seja, A^n tem a forma acima para todo n natural.

5. Logo, fazendo n = 2003 na expressão para A^n, temos:
cos(2003*Pi/3) -sen(2003*Pi/3)
A^2003 = 2^2003 *
sen(2003*Pi/3) cos(2003*Pi/3)
Subtraindo 333*(2*Pi) = 666*Pi = 1998*Pi/3 de 2003*Pi/3, mantemos os
senos e cossenos iguais, logo:
cos(5*Pi/3) -sen(5*Pi/3)
A^2003 = 2^2003 * =
sen(5*Pi/3) cos(5*Pi/3)

6. 1/2 raiz(3)/2
= 2^2003 *
-raiz(3)/2 1/2
1 raiz(3)
= 2^2002 *
-raiz(3) 1
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200303/msg00538.html