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QUESTÕES PUC-RIO - CALCULANDO A MATRIZ
Claudio Buffara – Rio de Janeiro
No tópico de hoje veremos como calcular potência com expoente, essa foi uma
questão amplamente debatida no forum PUC-Rio.
Sendo a matriz A, calcule A elevado ao expoente 2003
Reescreva A = A^1 como:
Introdução
1/2 -raiz(3)/2
2 * =
raiz(3)/2 1/2
cos(Pi/3) -sen(Pi/3)
2 *
sen(Pi/3) cos(Pi/3)
Façamos a seguinte hipótese de indução:
cos(n*Pi/3) -sen(n*Pi/3)
A^n = 2^n *
sen(n*Pi/3) cos(n*Pi/3)
Assim, calculando A^(n+1) = A * A^n e usando as fórmulas para sen(x +/- y) e
cos(x +/- y), chegamos a conclusão de que:
cos((n+1)*Pi/3) -sen((n+1)*Pi/3)
A^(n+1) = 2^(n+1) *
sen((n+1)*Pi/3) cos((n+1)*Pi/3)
ou seja, A^n tem a forma acima para todo n natural.
Logo, fazendo n = 2003 na expressão para A^n, temos:
cos(2003*Pi/3) -sen(2003*Pi/3)
A^2003 = 2^2003 *
sen(2003*Pi/3) cos(2003*Pi/3)
Subtraindo 333*(2*Pi) = 666*Pi = 1998*Pi/3 de 2003*Pi/3, mantemos os
senos e cossenos iguais, logo:
cos(5*Pi/3) -sen(5*Pi/3)
A^2003 = 2^2003 * =
sen(5*Pi/3) cos(5*Pi/3)
1/2 raiz(3)/2
= 2^2003 *
-raiz(3)/2 1/2
1 raiz(3)
= 2^2002 *
-raiz(3) 1
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200303/msg00538.html

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QUESTÕES PUC-RIO - CALCULANDO A MATRIZ

  • 1. QUESTÕES PUC-RIO - CALCULANDO A MATRIZ Claudio Buffara – Rio de Janeiro
  • 2. No tópico de hoje veremos como calcular potência com expoente, essa foi uma questão amplamente debatida no forum PUC-Rio. Sendo a matriz A, calcule A elevado ao expoente 2003 Reescreva A = A^1 como: Introdução
  • 3. 1/2 -raiz(3)/2 2 * = raiz(3)/2 1/2 cos(Pi/3) -sen(Pi/3) 2 * sen(Pi/3) cos(Pi/3)
  • 4. Façamos a seguinte hipótese de indução: cos(n*Pi/3) -sen(n*Pi/3) A^n = 2^n * sen(n*Pi/3) cos(n*Pi/3) Assim, calculando A^(n+1) = A * A^n e usando as fórmulas para sen(x +/- y) e cos(x +/- y), chegamos a conclusão de que: cos((n+1)*Pi/3) -sen((n+1)*Pi/3) A^(n+1) = 2^(n+1) * sen((n+1)*Pi/3) cos((n+1)*Pi/3) ou seja, A^n tem a forma acima para todo n natural.
  • 5. Logo, fazendo n = 2003 na expressão para A^n, temos: cos(2003*Pi/3) -sen(2003*Pi/3) A^2003 = 2^2003 * sen(2003*Pi/3) cos(2003*Pi/3) Subtraindo 333*(2*Pi) = 666*Pi = 1998*Pi/3 de 2003*Pi/3, mantemos os senos e cossenos iguais, logo: cos(5*Pi/3) -sen(5*Pi/3) A^2003 = 2^2003 * = sen(5*Pi/3) cos(5*Pi/3)
  • 6. 1/2 raiz(3)/2 = 2^2003 * -raiz(3)/2 1/2 1 raiz(3) = 2^2002 * -raiz(3) 1 Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200303/msg00538.html