Este documento apresenta o método de Aproximação Luderiana para calcular uma aproximação inicial para radicandos complexos. O método fornece fórmulas para determinar o valor inicial de "k" dependendo de se o valor absoluto de a ou b for maior e se os valores forem positivos ou negativos. Exemplos demonstram como aplicar o método para raízes de ordens diferentes.

1. Aproximação Luderiana para Radicando Complexo
Certamente, este método é tão fascinante quanto as Fórmulas Luderianas para Extração de
Raízes. Escrito em 2015, ele serve para determinar o valor inicial de “k” para radicando com-
plexo. Este método pode ser utilizado independentemente das fórmulas luderianas, ou seja, pode
ser aplicado ao Método de Newton, por exemplo. No documento “Fórmula Luderiana Racional
para Extração de Raiz Quadrada” este método já foi explicado para o caso particular da raiz
quadrada. Aqui irei generalizar, explicando como aplicá-lo para raízes n-ésimas.
Para calcularmos uma aproximação inicial (k) para a + bin
√
devemos proceder de acordo com o
seguinte algoritmo:
1) Se |a| |b| entao ...
a) Se a 0 então k = |a|n
. 1n√
b) Se a < 0 então k = |a|n
. −1n√
2) Se |b| > |a| entao ...
a) Se b 0 então k = |b|n
. in√
b) Se b < 0 então k = |b|n
. −in√
Os valores para 1n
√
, −1n
√
, in
√
e −in
√
aparecem na n-ésima linha da seguinte tabela. Obviamente,
esta tabela poderá possuir mais linhas porque sabe-se que n∈N
∗
Tabela para Radicando Complexo
1n
√
−1n
√
in
√
−in
√
1

2. Exemplos:
1) Calcular uma aproximação inicial (k) para 4745 − 881i8√
Caímos no caso 1a, ou seja, |a| > |b| e a > 0. Portanto,
k = |a|n
. 1n√
k = |4745|8
. 18
√
k = 2, 880908×1
k = 2, 8809
Se desejar tirar uma prova como esta aproximação converge rapidamente para a raiz, acesse a
página da WolframAlpha e digite a equação x8
= 4745 − 881i e a aproximação k = 2.8809
2) Calcular uma aproximação inicial (k) para 474 − 881i4√
Caímos no caso 2b, ou seja, |b| > |a| e b < 0. Portanto,
k = |b|n
. −in√
k = |−881|4
. −i4
√
k = 5, 448086×(0, 9238 − 0, 3826i)
k = 5, 0329 − 2, 0844i
Se desejar tirar uma prova como esta aproximação converge rapidamente para a raiz, acesse a
página da WolframAlpha e digite a equação x4
= 474 − 881i e a aproximação k = 5.0329 − 2.0844i
3) Calcular uma aproximação inicial (k) para −881 + 4745i17√
Caímos no caso 2a, ou seja, |b| > |a| e b > 0. Portanto,
k = |b|n
. in√
k = |4745|17
. i17
√
k = 1, 645315×i
k = 1, 6453i
2

3. Se desejar tirar uma prova como esta aproximação converge rapidamente para a raiz, acesse a
página da WolframAlpha e digite a equação x17
= −881 + 4745i e a aproximação k = 1.6453i
O método Aproximação Luderiana para Radicando Complexo, apresentado
neste documento, é de autoria de Ludenir Santos, Rio Grande - RS (Brazil),
2015.
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