Pitágoras foi um importante filósofo e matemático grego que viveu no século VI a.C. Ele fundou uma escola em Crotona que foi a primeira universidade do mundo. Suas principais descobertas incluem os números figurados, números perfeitos e o Teorema de Pitágoras, que relaciona os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras teve uma grande influência no desenvolvimento da matemática e da filosofia ocidental.

1. Pitágoras
Turma/Ano :9ª ano “A”
Professora: Edmildo duarte

2. Quem foi Pitágoras
Bibliografia de Pitágoras
As suas principais descobertas
•Números figurados
•Números perfeito
•Teorema de Pitágoras
1. A formula
Reitor primeira universidade
A escola de Pitágoras
Pensamentos de Pitágoras
Sumári
o

3. Quem foi Pitágoras
Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego. Nasceu no
ano de 570 a .C na ilha de Samos, na região da Ásia Menor (Magna
Grécia). Provavelmente, morreu em 497 ou 496 a.C em Metaponto
(região sul da Itália). Embora sua biografia seja marcada por
diversas lendas e fatos não comprovados pela História, temos dados
e informações importantes sobre sua vida.
Com 18 anos de idade, Pitágoras já conhecia e dominava muitos
conhecimentos matemáticos e filosóficos da época. Através de
estudos astronômicos, afirmava que o planeta Terra era esférico e
suspenso no Espaço (idéia pouco conhecida na época). Encontrou
uma certa ordem no universo, observando que as estrelas, assim
como a Terra, girava ao redor do Sol.
Recebeu muita influência científica e filosófica dos filósofos gregos
Tales de Mileto, Anaximandro e Anaxímenes.

4. Enquanto visitava o Egito, impressionado com as pirâmides,
desenvolveu o famoso Teorema de Pitágoras. De acordo com
este teorema é possível calcular o lado de um triângulo
retângulo, conhecendo os outros dois. Desta forma, ele
conseguiu provar que a soma dos quadrados dos catetos é
igual ao quadrado da hipotenusa.
Atribui-se também a ele o desenvolvimento da tábua de
multiplicação, o sistema decimal e as proporções aritméticas.
Sua influência nos estudos futuros da matemática foram
enormes, pois foi um dos grandes construtores da base dos
conhecimentos matemáticos, geométricos e filosóficos que
temos atualmente.

6. Bibliografia de Pitágoras
Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi
objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como os referentes a
viagens e contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o
filósofo tenha nascido em 570 a.C. na cidade de Samos.
Fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônias gregas na
península itálica), cujos princípios foram determinantes para a evolução geral
da matemática e da filosofia ocidental sendo os principais temas a harmonia
matemática, a doutrina dos números e o dualismo cósmico essencial.
Acredita-se que Pitágoras tenha sido casado com a física e matemática grega
Theano, que foi sua aluna. Supõe-se que ela e as duas filhas tenham
assumido a escola pitagórica após a morte do marido.
Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para
eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e
ímpares - os números pares e ímpares expressando as relações que se
encontram em permanente processo de mutação -, era considerado como a
essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a
base da teoria da harmonia das esferas.
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7. Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A
observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo.
Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no
movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser
chamado de cosmos, termo que contém as idéias de ordem, de
correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram
que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor
de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação
da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus
discípulos (já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao
caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e
se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta
foi enunciada no teorema de Pitágoras.
Pitágoras foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde
morreu, provavelmente em 496 a.C. ou 497 a.C..

8. Suas principais descobertas
Além de grandes místicos, os
pitagóricos eram grandes
matemáticos. Eles descobriram
propriedades interessantes e
curiosas sobre os números.
1.Números figurados
2.Números perfeitos
3.Teorema de
Pitágoras

9. Números figurados
 Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias
propriedades dos números figurados. Entre estes o
mais importante era o número triangular 10,
chamado pelos pitagóricos de tetraktys, tétrada em
português. Este número era visto como um número
místico uma vez que continha os quatro elementos
fogo, água, ar e terra: 10=1 + 2 + 3 + 4, e servia de
representação para a completude do todo.
α
α α
α α α
α α α α

10. A tétrada, que os pitagóricos desenhavam
com um α em cima, dois abaixo deste,
depois três e por fim quatro na base, era
um dos símbolos principais do seu
conhecimento avançado das realidades
teóricas. Representação toda perfeita em
si de qualquer um dos lados que se
observe.

11. Números perfeitos
A soma dos divisores de determinado
número com exceção dele mesmo, é o
próprio número. Exemplos:
1. Os divisores de 6 são: 1,2,3 e 6. Então,
1 + 2 + 3 = 6.
2. Os divisores de 28 são: 1,2,4,7,14 e 28.
Então, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

12. Teorema de Pitágoras
Um problema não solucionado na época de
Pitágoras era determinar as relações entre os
lados de um triângulo retângulo. Pitágoras
provou que a soma dos quadrados dos
catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
O primeiro número irracional a ser descoberto
foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu
exatamente da aplicação do teorema de
Pitágoras em um triângulo de catetos valendo
1:
 1²+1²= x²=» x²=2 =» x=±√2

13. Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam
simplesmente: "o número que multiplicado por si mesmo é 2".
A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos
outros números irracionais.
O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados
construídos sobre os catetos (a e b) equivale à área do quadrado
construído sobre a hipotenusa (c).
O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os três
lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o
teorema afirma que:
Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os
catetos são os dois lados que o formam.
O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema
também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:

14. Para ambos os enunciados, pode-se equacionar:
onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a
e b representam os comprimentos dos outros dois
lados.
O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático
grego Pitágoras, que tradicionalmente é creditado
pela sua descoberta e demonstração,[1][2] embora
seja frequentemente argumentado que o
conhecimento do teorema seja anterior a ele (há
muitas evidências de que matemáticos babilônicos
conheciam algoritmos para calcular os lados em
casos específicos, mas não se sabe se conheciam
um algoritmo tão geral quanto o teorema de
Pitágoras).

16. Em formula
Sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b
os comprimentos dos outros dois lados, o
teorema pode ser expresso como a equação:
c²=b²+ a²
ou, isolando c:
c=√a²+ b²
Um corolário de c² = b² + a² é que a hipotenusa
(c) será sempre o maior lado, pois todos os
comprimentos são necessariamente números
positivos, e c² > b², logo c > b, e c² > a², logo c
> a.
Um triângulo retângulo

17. Se c já é conhecido, e precise-se encontrar o comprimento de um dos catetos,
as seguintes equações (que são corolários da primeira) podem ser usadas:
b²= c²- a²
Ou
a²= c²- b²
Essa equação fornece uma relação simples entre os três lados de um triângulo
retângulo de modo que se os comprimentos de quaisquer dois lados são
conhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser encontrado. Uma
generalização desse teorema é a lei dos cossenos, que permite o cálculo do
comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dado os comprimentos
dos dois lados e a medida do ângulo entre eles. Se o ângulo entre os lados é
um ângulo reto, reduz-se ao teorema de Pitágoras.

18. Reitor da primeira universidade
A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras,
que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento,
fulcrado em provas dedutivas.
Existem, no entanto, indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras
(c²= a²+b²) já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C. com escopo
empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medida
do tempo (1h=60min) e na medida dos ângulos (60º, 120º, 180º, 240º,
360º).
Pitágoras percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e
talvez a Índia e a Pérsia, onde acumulou ecléticos conhecimentos:
astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e religião. Ele foi
contemporâneo de Tales de Mileto, Buda, Confúcio e Lao-Tsé.
Quando retornou à sua cidade natal, Samos, indispôs-se com o tirano
Polícrates e emigrou para o sul da Itália, na ilha de Crotona, de
dominação grega. Aí fundou a Escola Pitagórica, a quem se concede
a glória de ser a "primeira Universidade do mundo".

19. A Escola Pitagórica e as atividades se viram desde então envoltas por um véu de
lendas. Foi uma entidade parcialmente secreta com centenas de alunos que
compunham uma irmandade religiosa e intelectual. Entre os conceitos que
defendiam, destacam-se:
 prática de rituais de purificação e crença na doutrina da metempsicose, isto é, na
transmigração da alma após a morte, de um corpo para outro. Portanto,
advogavam a reencarnação e a imortalidade da alma;
 lealdade entre os membros e distribuição comunitária dos bens materiais;
 austeridade, ascetismo e obediência à hierarquia da Escola;
 proibição de beber vinho e comer carne (portanto é falsa a informação que os
discípulos tivessem mandado matar 100 bois quando da demonstração do
denominado Teorema de Pitágoras);
 purificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia;
 classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos e fatoráveis;
 "criação de um modelo de definições, axiomas, teoremas e provas, segundo o
qual a estrutura intrincada da Geometria é obtida de um pequeno número de
afirmações explicitamente feitas e da ação de um raciocínio dedutivo rigoroso"
(George Simmons);

20.  grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágoras a respeito da
irracionalidade do 'raiz de 2'. Utilizando notação algébrica, os pitagóricos não
aceitavam qualquer solução numérica para x² = 2, pois só admitiam números
racionais. Dada a conotação mística atribuída aos números, comenta-se que,
quando o infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução para o impasse,
os outros discípulos o expulsaram da Escola e o afogaram no mar;
 na Astronomia, idéias inovadoras, embora nem sempre verdadeiras: a Terra é
esférica, os planetas movem-se em diferentes velocidades nas várias órbitas
ao redor da Terra. Pela cuidadosa observação dos astros, cristalizou-se a idéia
de que há uma ordem que domina o Universo;
 aos pitagóricos deve-se provavelmente a construção do cubo, tetraedro,
octaedro, dodecaedro e a bem conhecida "seção áurea";
 na Música, uma descoberta notável de que os intervalos musicais se colocam
de modo que admitem expressões através de proporções aritméticas.
Pitágoras - assim como outros filósofos gregos pré-socráticos - também
descreveu o poder do som e seus efeitos sobre a psique humana. Essa
experiência musicoterápica possivelmente foi utilizada mais tarde por
Aristóteles como base teórica para sua definição de música, que, segundo ele,
era uma "arte medicinal".

21. Pitágoras é o primeiro matemático puro. Entretanto é difícil separar o
histórico do lendário, uma vez que deve ser considerado uma figura
imprecisa historicamente, já que tudo o que dele sabemos deve-se à
tradição oral. Nada deixou escrito, e os primeiros trabalhos sobre o
mesmo deve-se a Filolau, quase 100 anos após a morte de Pitágoras.
Mas não é fácil negar aos pitagóricos - assevera Carl Boyer - "o papel
primordial para o estabelecimento da Matemática como disciplina
racional". A despeito de algum exagero, há séculos cunhou-se uma
frase: "Se não houvesse o 'teorema Pitágoras', não existiria a
Geometria".
Ao biografar Pitágoras, Jâmblico (c. 300 d.C.) registra que o mestre vivia
repetindo aos discípulos: “todas as coisas se assemelham aos
números”.
A Escola Pitagórica ensejou forte influência na poderosa verba de
Euclides, Arquimedes e Platão, na antiga era cristã, na Idade Média,
na Renascença e até em nossos dias com o Neopitagorismo.

22. A escola de Pitágoras
Segundo o pitagorismo, a essência, que é o
princípio fundamental que forma todas as coisas
é o número. Os pitagóricos não distinguem forma,
lei, e substância, considerando o número o elo
entre estes elementos. Para esta escola existiam
quatro elementos: terra, água, ar e fogo.
Assim, Pitágoras e os pitagóricos investigaram as
relações matemáticas e descobriram vários
fundamentos da física e da matemática.
O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama,
que, como descobriu Pitágoras, possui algumas
propriedades interessantes. Um pentagrama é
obtido traçando-se as diagonais de um pentágono
regular; pelas intersecções dos segmentos desta
diagonal, é obtido um novo pentágono regular,
que é proporcional ao original exatamente pela
razão áurea.

23. Pitágoras descobriu em que proporções uma corda deve ser
dividida para a obtenção das notas musicais no início, sem
altura definida, sendo uma tomada como fundamental
(pensemos numa longa corda presa a duas extremidades
que, quando tangida, nos dará o som mais grave - e a partir
dela, gerar-se-á a quinta e terça através da reverberação
harmônica. Os sons harmônicos. Prendendo-se a metade da
corda, depois a terça parte e depois a quinta parte
conseguiremos os intervalos de quinta e terça em relação à
fundamental. A chamada SÉRIE HARMÔNICA. À medida
que subdividimos a corda obtemos sons mais altos e os
interevalos serão diferentes. E assim sucessivamente.
Descobriu ainda que frações simples das notas, tocadas
juntamente com a nota original, produzem sons agradáveis.
Já as frações mais complicadas, tocadas com a nota original,
produzem sons desagradáveis.
O nome está ligado principalmente ao importante teorema que
afirma: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados
dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Além disto, os pitagóricos acreditavam na esfericidade da Terra
e dos corpos celestes, e na rotação da Terra, com o que
explicavam a alternância de dias e noites. A filosofia baseou
uma doutrina chamada Filosofia explanatória Cristo-
Pitagorica.

24. A escola pitagórica era conectada com concepções esotéricas e a moral
pitagórica enfatizava o conceito de harmonia, práticas ascéticas e
defendia a metempsicose.
Durante o século IV a.C., verificou-se, no mundo grego, uma
revivescência da vida religiosa. Segundo alguns historiadores, um dos
fatores que concorreram para esse fenômeno foi a linha política
adotada pelos tiranos: para garantir o papel de líderes populares e
para enfraquecer a antiga aristocracia, os tiranos estimulavam a
expansão de cultos populares ou estrangeiros.
Dentre estes cultos, um teve enorme difusão: o Orfismo (de Orfeu),
originário da Trácia, e que era uma religião essencialmente esotérica.
Os seguidores desta doutrina acreditavam na imortalidade da alma,
ou seja, enquanto o corpo se degenerava, a alma migrava para outro
corpo, por várias vezes, a fim de efetivar a purificação. Dioniso guiaria
este ciclo de reencarnações, podendo ajudar o homem a libertar-se
dele.
Pitágoras seguia uma doutrina diferente. Teria chegado à concepção de
que todas as coisas são números e o processo de libertação da alma
seria resultante de um esforço basicamente intelectual. A purificação
resultaria de um trabalho intelectual, que descobre a estrutura
numérica das coisas e torna, assim, a alma como uma unidade
harmônica. Os números não seriam, neste caso, os símbolos, mas os
valores das grandezas, ou seja, o mundo não seria composto dos
números 0, 1, 2, etc., mas dos valores que eles exprimem. Assim,
portanto, uma coisa manifestaria externamente a estrutura numérica,
sendo esta coisa o que é por causa deste valor.

25. Os pensamentos de Pitágoras
1. Educai as crianças e não será preciso punir os homens.
2. Não é livre quem não obteve domínio sobre si.
3. Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece
justo.
4. O que fala semeia; o que escuta recolhe.
5. Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a
carregues.
6. Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer
tudo e tudo fazer bem.
7. Todas as coisas são números.
8. A melhor maneira que o homem dispõe para se
aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus.
9. A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo,
a Unidade é a Lei de Deus.
10. A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e
sai-se.
11. A sabedoria plena e completa pertence aos deuses, mas
os homens podem desejá-la ou amá-la tornando-se
filósofos.
Anima-te por teres de suportar as injustiças; a verdadeira