1. O documento apresenta instruções para construções geométricas envolvendo concordâncias. 2. É detalhado um problema específico sobre traçar uma concordância dadas duas retas paralelas e dois raios. 3. As etapas da solução incluem traçar perpendiculares às retas, arcos com os raios dados e a interseção destes para encontrar os pontos da concordância.

1. ´ ¸˜
Desenho Tecnico - Construcoes
´
Geometricas
Em´lio Eiji Kavamura
ı
ˆ
Eng. Mecanica
Universidade Positivo
7 de fevereiro de 2009
eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´
Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

2. ´
SUMARIO
1 ˆ
Concordancias
ˆ
Concordancias- 2 retas e r1 , r2
ˆ
Concordancias - 2 retas e r1
ˆ
Concordancias: 2 s e r
ˆ
Concordancias - 2 pontos e r
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Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

3. ´
TOPICOS
1 ˆ
Concordancias
ˆ
Concordancias- 2 retas e r1 , r2
ˆ
Concordancias - 2 retas e r1
ˆ
Concordancias: 2 s e r
ˆ
Concordancias - 2 pontos e r
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4. Problema no 17 - Concordancias
ˆ
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e
os raios r1 e r2
ˆ
Tracar a concordancia com
¸
dois arcos com raios r1 e
r2 .
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5. Problema no 17 - Concordancias
ˆ
C D
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e
os raios r1 e r2
A B ¸ ˆ
Tracar a concordancia com
dois arcos com raios r1 e
r2 .
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6. Problema no 17 - Concordancias
ˆ
C D
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e
os raios r1 e r2
A B ¸ ˆ
Tracar a concordancia com
dois arcos com raios r1 e
r2 .
r1
r2
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7. Problema no 17 - Concordancias
ˆ
C D
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e
os raios r1 e r2
A B ¸ ˆ
Tracar a concordancia com
dois arcos com raios r1 e
r2 .
r1
r2
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8. Problema no 17 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
C D n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
q ∩ n = {O};
3 α1 = {O, r1 + r2 };
A B 4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
r1 7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r2
8 {P, r2 };
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9. Problema no 17 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
C D n⊥CD;
m 2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
q ∩ n = {O};
3 α1 = {O, r1 + r2 };
A B n 4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
r1 7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r2
8 {P, r2 };
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10. Problema no 17 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
C D n⊥CD;
m 2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
r1
q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
p O q ∩ n = {O};
r2
q 3 α1 = {O, r1 + r2 };
A B n 4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
r1 7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r2
8 {P, r2 };
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11. Problema no 17 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
C D n⊥CD;
m 2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
r1
q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
p O q ∩ n = {O};
r2
q 3 α1 = {O, r1 + r2 };
A B n 4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
r1 7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r2
8 {P, r2 };
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12. Problema no 17 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
C D n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
r1
q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
P p O q ∩ n = {O};
r2
q 3 α1 = {O, r1 + r2 };
A B 4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
r1 7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r2
8 {P, r2 };
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13. Problema no 17 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
C D n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
r1
q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
P p O q ∩ n = {O};
r2
q 3 α1 = {O, r1 + r2 };
A B 4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
r1 7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r2
8 {P, r2 };
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14. Problema no 17 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
C D n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
r1
q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
P p O q ∩ n = {O};
r2
q 3 α1 = {O, r1 + r2 };
A Q B 4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
r1 7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r2
8 {P, r2 };
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15. Problema no 17 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
C D n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
r1
q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
P p R O q ∩ n = {O};
r2
q 3 α1 = {O, r1 + r2 };
A Q B 4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
r1 7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r2
8 {P, r2 };
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16. Problema no 17 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
C D n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
r1
q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
P p R O q ∩ n = {O};
r2
q 3 α1 = {O, r1 + r2 };
A Q B 4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
r1 7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r2
8 {P, r2 };
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17. Problema no 17 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
C D n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
P R O q ∩ n = {O};
3 α1 = {O, r1 + r2 };
A Q B 4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
r1 7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r2
8 {P, r2 };
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18. Revisando
C D
A B
r1
r2
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19. Revisando
C D
m
A B n
r1
r2
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20. Revisando
C D
m r1
p O
r2
q
A B n
r1
r2
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21. Revisando
C D
m r1
p O
r2
q
A B n
r1
r2
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22. Revisando
C D
r1
P p O
r2
q
A B
r1
r2
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23. Revisando
C D
r1
P p O
r2
q
A B
r1
r2
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24. Revisando
C D
r1
P p O
r2
q
A Q B
r1
r2
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25. Revisando
C D
r1
P p R O
r2
q
A Q B
r1
r2
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26. Revisando
C D
r1
P p R O
r2
q
A Q B
r1
r2
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27. Revisando
C D
P R O
A Q B
r1
r2
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28. ´
TOPICOS
1 ˆ
Concordancias
ˆ
Concordancias- 2 retas e r1 , r2
ˆ
Concordancias - 2 retas e r1
ˆ
Concordancias: 2 s e r
ˆ
Concordancias - 2 pontos e r
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29. Problema no 18 - Concordancias
ˆ
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e
os raios r = r1 = r2
ˆ
Tracar a concordancia com
¸
dois arcos com raio r .
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30. Problema no 18 - Concordancias
ˆ
C D
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e
os raios r = r1 = r2
A B ˆ
Tracar a concordancia com
¸
dois arcos com raio r .
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31. Problema no 18 - Concordancias
ˆ
C D
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e
os raios r = r1 = r2
A B ˆ
Tracar a concordancia com
¸
dois arcos com raio r .
r = r1 = r2
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32. Problema no 18 - Concordancias
ˆ
C D
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e
os raios r = r1 = r2
A B ˆ
Tracar a concordancia com
¸
dois arcos com raio r .
r = r1 = r2
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33. Problema no 18 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
n⊥CD;
C D 2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
q ∩ n = {O};
3 α1 = {O, r1 + r2 };
A B
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r = r1 = r2
8 {P, r2 };
9 {O, r1 };
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34. Problema no 18 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
n⊥CD;
C D 2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
m q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
q ∩ n = {O};
3 α1 = {O, r1 + r2 };
A B
4 α1 ∩ p = {P};
n 5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r = r1 = r2
8 {P, r2 };
9 {O, r1 };
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35. Problema no 18 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
n⊥CD;
C D 2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
m r q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
q ∩ n = {O};
p O
r 3 α1 = {O, r1 + r2 };
q
A B
4 α1 ∩ p = {P};
n 5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r = r1 = r2
8 {P, r2 };
9 {O, r1 };
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36. Problema no 18 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
n⊥CD;
C D 2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
m r q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
q ∩ n = {O};
p O
r 3 α1 = {O, r1 + r2 };
q
A B
4 α1 ∩ p = {P};
n 5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r = r1 = r2
8 {P, r2 };
9 {O, r1 };
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37. Problema no 18 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
n⊥CD;
C D 2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
r q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
q ∩ n = {O};
p P O
r 3 α1 = {O, r1 + r2 };
q
A B
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r = r1 = r2
8 {P, r2 };
9 {O, r1 };
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38. Problema no 18 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
n⊥CD;
C D 2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
r q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
q ∩ n = {O};
p P O
r 3 α1 = {O, r1 + r2 };
q
A B
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r = r1 = r2
8 {P, r2 };
9 {O, r1 };
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39. Problema no 18 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
n⊥CD;
C D 2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
r q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
q ∩ n = {O};
p P O
r 3 α1 = {O, r1 + r2 };
q
A Q B
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r = r1 = r2
8 {P, r2 };
9 {O, r1 };
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40. Problema no 18 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
n⊥CD;
C D 2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
r q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
R q ∩ n = {O};
p P O
r 3 α1 = {O, r1 + r2 };
q
A Q B
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r = r1 = r2
8 {P, r2 };
9 {O, r1 };
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41. Problema no 18 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
n⊥CD;
C D 2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
r q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
R q ∩ n = {O};
p P O
r 3 α1 = {O, r1 + r2 };
q
A Q B
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r = r1 = r2
8 {P, r2 };
9 {O, r1 };
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42. Problema no 18 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 m⊥AB;
n⊥CD;
C D 2 p⊥m, dist(p, AB) = r1 ;
q⊥n, dist(q, CD) = r2 ;
R q ∩ n = {O};
P O 3 α1 = {O, r1 + r2 };
A Q B
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;
7 {P, r2 } ∩ PO = {R};
r = r1 = r2
8 {P, r2 };
9 {O, r1 };
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43. ´
TOPICOS
1 ˆ
Concordancias
ˆ
Concordancias- 2 retas e r1 , r2
ˆ
Concordancias - 2 retas e r1
ˆ
Concordancias: 2 s e r
ˆ
Concordancias - 2 pontos e r
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44. Problema no 19 - Concordancias
ˆ
ˆ
Dados duas circunferencias
externas uma da outra, de
˜
raios r1 e r2 entao por meio
de arcos com raio r tracar¸
ˆ
a concordancia das circun-
ˆ
ferencias.
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45. Problema no 19 - Concordancias
ˆ
O1 α1
r1
ˆ
Dados duas circunferencias
externas uma da outra, de
˜
raios r1 e r2 entao por meio
de arcos com raio r tracar¸
ˆ
a concordancia das circun-
ˆ
ferencias.
α2 O2 r2
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46. Problema no 19 - Concordancias
ˆ
O1 α1
r1
ˆ
Dados duas circunferencias
externas uma da outra, de
˜
raios r1 e r2 entao por meio
de arcos com raio r tracar¸
ˆ
a concordancia das circun-
ˆ
ferencias.
α2 O2 r2
r
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47. Problema no 19 - Concordancias
ˆ
O1 α1
r1
ˆ
Dados duas circunferencias
externas uma da outra, de
˜
raios r1 e r2 entao por meio
de arcos com raio r tracar¸
M1 M2 ˆ
a concordancia das circun-
ˆ
ferencias.
α2 O2 r2
r
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48. Problema no 19 - Concordancias
ˆ
O1 α1
r1
ˆ
Dados duas circunferencias
externas uma da outra, de
˜
raios r1 e r2 entao por meio
de arcos com raio r tracar¸
M1 M2 ˆ
a concordancia das circun-
ˆ
ferencias.
α2 O2 r2
r
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49. Problema no 19 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
α1 1 β1 = {O1 , r1 + r };
O1
r1 β2 = {O2 , r2 + r };
2 β1 ∩ β2 = {M1 , M2 };
3 O1 M1 ∩ α1 = {A1 }
O1 M2 ∩ α1 = {A2 },
O2 M1 ∩ α2 = {B1 },
O2 M2 ∩ α2 = {B2 };
4 {M1 , M1 A1 };
{M2 , M2 A2 }
α2 O2 r2
r
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50. Problema no 19 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
α1 1 β1 = {O1 , r1 + r };
O1
r1 β2 = {O2 , r2 + r };
2 β1 ∩ β2 = {M1 , M2 };
3 O1 M1 ∩ α1 = {A1 }
O1 M2 ∩ α1 = {A2 },
O2 M1 ∩ α2 = {B1 },
O2 M2 ∩ α2 = {B2 };
4 {M1 , M1 A1 };
{M2 , M2 A2 }
α2 O2 r2
r
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51. Problema no 19 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
α1 1 β1 = {O1 , r1 + r };
O1
r1 β2 = {O2 , r2 + r };
2 β1 ∩ β2 = {M1 , M2 };
3 O1 M1 ∩ α1 = {A1 }
O1 M2 ∩ α1 = {A2 },
O2 M1 ∩ α2 = {B1 },
M1 M2 O2 M2 ∩ α2 = {B2 };
4 {M1 , M1 A1 };
{M2 , M2 A2 }
α2 O2 r2
r
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52. Problema no 19 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
α1 1 β1 = {O1 , r1 + r };
O1
β2 = {O2 , r2 + r };
2 β1 ∩ β2 = {M1 , M2 };
3 O1 M1 ∩ α1 = {A1 }
A1 A2 O1 M2 ∩ α1 = {A2 },
O2 M1 ∩ α2 = {B1 },
M1 M2 O2 M2 ∩ α2 = {B2 };
B1 B2
4 {M1 , M1 A1 };
{M2 , M2 A2 }
α2 O2
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53. Problema no 19 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
α1 1 β1 = {O1 , r1 + r };
O1
β2 = {O2 , r2 + r };
2 β1 ∩ β2 = {M1 , M2 };
3 O1 M1 ∩ α1 = {A1 }
A1 A2 O1 M2 ∩ α1 = {A2 },
O2 M1 ∩ α2 = {B1 },
M1 M2 O2 M2 ∩ α2 = {B2 };
B1 B2
4 {M1 , M1 A1 };
{M2 , M2 A2 }
α2 O2
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54. Problema no 19 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
α1 1 β1 = {O1 , r1 + r };
O1
β2 = {O2 , r2 + r };
2 β1 ∩ β2 = {M1 , M2 };
3 O1 M1 ∩ α1 = {A1 }
A1 A2 O1 M2 ∩ α1 = {A2 },
O2 M1 ∩ α2 = {B1 },
M1 M2 O2 M2 ∩ α2 = {B2 };
B1 B2
4 {M1 , M1 A1 };
{M2 , M2 A2 }
α2 O2
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55. ´
TOPICOS
1 ˆ
Concordancias
ˆ
Concordancias- 2 retas e r1 , r2
ˆ
Concordancias - 2 retas e r1
ˆ
Concordancias: 2 s e r
ˆ
Concordancias - 2 pontos e r
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56. Problema no 20 - Concordancias
ˆ
Dados dois pontos P e P
ˆ
de uma circunferencia de raio
Re
uma reta a externa
tracar a partir de P e P
¸
ˆ
a concordancia da circunfe-
ˆ
rencia com a reta a.
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57. Problema no 20 - Concordancias
ˆ
Dados dois pontos P e P
P P ˆ
de uma circunferencia de raio
Re
uma reta a externa
tracar a partir de P e P
¸
R ˆ
a concordancia da circunfe-
ˆ
rencia com a reta a.
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58. Problema no 20 - Concordancias
ˆ
Dados dois pontos P e P
P P ˆ
de uma circunferencia de raio
Re
a uma reta a externa
tracar a partir de P e P
¸
R ˆ
a concordancia da circunfe-
ˆ
rencia com a reta a.
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59. Problema no 20 - Concordancias
ˆ
Dados dois pontos P e P
P P ˆ
de uma circunferencia de raio
Re
a uma reta a externa
tracar a partir de P e P
¸
R ˆ
a concordancia da circunfe-
ˆ
rencia com a reta a.
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60. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
P P
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3 ;
AQ tangenteβ3 ;
a 6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
R 7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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61. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
4 OA⊥a;
P P 5 AQtangenteβ3 ;
AQ tangenteβ3 ;
6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
a
ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
R 7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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62. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
O 4 OA⊥a;
P P 5 AQtangenteβ3 ;
AQ tangenteβ3 ;
6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
a ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
R
7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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63. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
4 OA⊥a;
O 5 AQtangenteβ3 ;
AQ tangenteβ3 ;
P P
6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
a 7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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64. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
4 OA⊥a;
O 5 AQtangenteβ3 ;
AQ tangenteβ3 ;
P P
6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
A a 7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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65. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
4 OA⊥a;
O 5 AQtangenteβ3 ;
AQ tangenteβ3 ;
P P
6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
A a 7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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66. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
4 OA⊥a;
O 5 AQtangenteβ3 ;
AQ tangenteβ3 ;
P P
6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
A a 7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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67. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
4 OA⊥a;
O 5 AQtangenteβ3 ;
Q P Q AQ tangenteβ3 ;
P
6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
A a 7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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68. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
4 OA⊥a;
O 5 AQtangenteβ3 ;
Q P Q AQ tangenteβ3 ;
P
6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
A a 7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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69. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
4 OA⊥a;
O 5 AQtangenteβ3 ;
D1 Q P Q D2 AQ tangenteβ3 ;
P
6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
C1 A a C2 7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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70. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
4 OA⊥a;
O 5 AQtangenteβ3 ;
D1 Q P Q D2 AQ tangenteβ3 ;
P
6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
O1 O2
ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
C1 A a C2 7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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71. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
4 OA⊥a;
O 5 AQtangenteβ3 ;
D1 Q P Q D2 AQ tangenteβ3 ;
P
6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
O1 O2
ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
B1 A a B2 7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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72. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
4 OA⊥a;
O 5 AQtangenteβ3 ;
Q P Q AQ tangenteβ3 ;
P
6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
O1 O2
ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
B1 A a B2 7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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73. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
4 OA⊥a;
O 5 AQtangenteβ3 ;
Q P Q AQ tangenteβ3 ;
P
6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
O1 O2
ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
B1 A a B2 7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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74. Problema no 20 - Concordancias - solucao
ˆ ¸˜
1 β1 = {P, R};
β2 = {P , R};
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = {O, R};
4 OA⊥a;
O 5 AQtangenteβ3 ;
Q P Q AQ tangenteβ3 ;
P
6 ˆ
AD1 bissetriz de C1 AQ;
O1 O2
ˆ
AD2 bissetriz de C2 AQ ;
B1 a B2 7 AD1 ∩ OQ = {O1 };
AD2 ∩ OQ = {O2 };
8 O1 B1 ⊥a; O2 B2 ⊥a;
9 β4 = {O1 , O1 B1 };
β5 = {O2 , O2 B2 }
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