Este documento fornece um caderno de questões de matemática para o 3o bimestre do 2o ano do ensino médio. Contém 11 questões sobre álgebra, incluindo sistemas de equações, matrizes e probabilidades. O caderno inclui instruções para os alunos e um gabarito com as respostas detalhadas.

1. Caderno de Questões
Bimestre
3.o
Disciplina
Matemática – Álgebra
Turmas
2.o Bio
Questões
Testes
Páginas
11
Data da prova
19/09/2005
P 53028
Professor(es)
Gleney / Ricardo Sabo
11
Período
M
Verifique cuidadosamente se sua prova atende aos dados acima e, em caso negativo, solicite, imediatamente,
outro exemplar. Não serão aceitas reclamações posteriores.
Aluno(a)
Nota
Turma
Professor
N.o
Assinatura do Professor
Instruções:
1. A prova pode ser resolvida a lápis. Respostas finais somente com tinta azul ou preta.
2. É proibido o uso de bips, pagers, celulares, calculadoras (ou relógios que as contenham).
3. Resposta que não vier acompanhada de resolução não será considerada.
4. Escreva nome, número e turma em todos os espaços reservados para isso.
5. Seja educado: não escreva no tampo da mesa. Organizadamente utilize os espaços em branco da
prova para rascunhos (o verso da última página – inclusive – está em branco para isso).
, definida por aij = – 1 + 2i + j .
01. (valor: 0,5) Considere a matriz A = ( a ij )
2´2
Calcule o determinante de A.
Rascunho

2. P 53028
p2
é 3 -1 0 ù
é1 0 0 ù
02. (valor: 1,0) Dadas as matrizes A = ê
ú e B = ê 0 1 2 ú resolver o
ë 2 -3 -2 û
ë
û
ì X + Y = 2A + B
sistema í
î X - Y = - A - 2B
Rascunho

3. Aluno(a)
Turma
N.o
P 53028
p3
é 3 10 ù
03. (valor: 1,0) Sendo C = A–1 , determine C22 dado A = ê
ú
ë 5 17 û
Rascunho

4. P 53028
p4
é1 a ù
é2 1ù
04. (valor: 1,0) Sabendo-se que as matrizes A = ê
ú e B = ê b 0 ú comutam,
ë1 3 û
ë
û
calcular a e b .
Rascunho

5. Aluno(a)
Turma
N.o
P 53028
p5
é -5 -3 ù
–1
t
05. (valor: 1,0) (UNIRIO) Dada a matriz A = ê
ú , determine A + A – I2 .
ë 3 2û
Rascunho

6. P 53028
p6
06. (valor: 0,5) Sejam as matrizes A e B quadradas de ordem n . Expresse a matriz X em
função de A e B em cada equação:
a.
(X + A)t = B
b.
AXB = Bt
Rascunho

7. Aluno(a)
Turma
N.o
P 53028
p7
é 1 1ù
07. (UFRJ) Seja a matriz A = ê
ú
ë 0 1û
a. (valor: 0,5) Determine A3 .
b. (valor: 0,5) Se An denota o produto de A por A n vezes, determine o valor do
2
número natural k tal que A k - A 5k + A 6 = I , onde I é a matriz identidade.
Rascunho

8. P 53028
p8
08. (UERJ) Considere as matrizes A = ( a x j )
se x é ímpar e B = ( b x j )
n´p
n´n
em que ax j = 1 se x é par e ax j = –1
em que bx j = jx .
a. (valor: 0,5) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A .
b. (valor: 0,5) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto AB é
igual a 4094 . Calcule o número de linhas da matriz B .
n
æ
ç Dado: soma PG: S = a 1 q - a 1
ç
q -1
è
ö
÷
÷
ø
Rascunho

9. Aluno(a)
Turma
N.o
P 53028
p9
09. (valor: 1,0) (VUNESP / modificada) Dez amigos vão sentar-se em dez poltronas alinhadas
em um cinema, mas três deles desejam sentar-se juntos. Nestas condições, de quantas
maneiras distintas os dez amigos podem ocupar as poltronas referidas, considerando-se
distintas as posições em que pelo menos dois amigos ocupem poltronas diferentes?
Rascunho

10. P 53028
p 10
10. (FGV / modificada) Um dado de 6 faces é viciado de tal forma que a probabilidade de
sair a face 3 é o triplo da face 1 e as demais faces possuem a probabilidade de um
dado honesto.
a. (valor: 0,5) Lançando-se uma vez o dado, qual a probabilidade de sair a face 3?
b. (valor: 0,5) Lançando-se 2 vezes o dado, qual a probabilidade de sair exatamente
uma face 3?
Rascunho

11. Aluno(a)
Turma
N.o
P 53028
p 11
Rascunho
11. (valor: 0,5) (FGV / modificada)
a. Se um dado em forma de um octaedro regular (poliedro com 8 faces congruentes), com
suas faces numeradas de 1 a 8, for lançado duas vezes, qual a probabilidade de que a
soma dos números observados seja 5?
b. (valor: 0,5) Se este dado do item anterior é lançado n vezes, para que valores de n
a probabilidade que o número 8 apareça ao menos uma vez seja inferior a
2
?
3

12. P 53028
2.o Bio
Mat. – Álgebra
Ricardo Sabo / Gleney
19/09/2005
Gabarito
01. (valor: 0,5) Considere a matriz A = ( a ij )
, definida por aij = – 1 + 2i + j .
2´2
Calcule o determinante de A.
a ù
éa
é (–1 + 2 ×1 + 1) (–1 + 2 ×1 + 2) ù
é 2 3ù
A 2x2 = ê 11 12 ú = ê
ú = ê4 5ú
ëa 21 a 22 û
ë(–1 + 2 ×2 + 1) (–1 + 2 × 2 + 2) û
ë
û
Resposta: det(A) =
2 3
4 5
= 2 × 5 – 3 × 4 + 10 – 12 = – 2
é 3 -1 0 ù
é1 0 0 ù
02. (valor: 1,0) Dadas as matrizes A = ê
e B=ê
ú
ú resolver o
ë 2 -3 -2 û
ë0 1 2 û
ì X + Y = 2A + B
sistema í
î X - Y = - A - 2B
ì X + Y = 2A + B
í X – Y = – A – 2B +
î
0ù
é3 – 1
é1 0 0 ù
é2 – 1 0 ù
2X = A – B = ê
– ê
Þ 2X = ê
ú
ú
ú
ë2 – 3 – 2û
ë0 1 2 û
ë2 – 4 – 4 û
é6
Y = 2A + B – X Þ Y = ê
ë4
0ù
é1 –1 2
Resposta: X = ê
ú
ë1 – 2 – 2û
é1 – 1 0 ù
2
X = ê
ú
– 2ú
ê1 – 2
ë
û
–2 0 ù
0ù
é1 0 0 ù
é1 – 1 2
ú + ê0 1 2 ú – ê1 – 2 – 2ú
– 6 – 4û
ë
û
ë
û
e
Þ
é6 – 3 2 0 ù
Y = ê
ú
ë3 – 3 0 û
é6 – 3 2 0 ù
Y = ê
ú
ë3 – 3 0 û
é 3 10 ù
03. (valor: 1,0) Sendo C = A–1, determine C22 dado A = ê
ú
ë 5 17 û
é3 10 ù
éC 11 C 12 ù
é1 0 ù
AC = I2 Þ ê
ú × êC
ú = ê0 1ú
ë5 17 û
ë 21 C 22 û
ë
û
ì3C 12 + 10C 22 = 0
í
î 5C 12 + 17C 22 = 1
x (–5)
x (3)
Þ
Þ
é1 0 ù
é3C 11 + 10C 21 3C 12 + 10C 22 ù
ê5C + 17C
ú = ê0 1ú
21 5C 12 + 17C 22 û
ë
û
ë 11
ì –15C 12 – 50C 22 = 0
í 15C + 51C = 3
12
22
î
C22 = 3
Resposta: C22 = 3
+

13. é1 a ù
é2 1ù
04. (valor: 1,0) Sabendo-se que as matrizes A = ê
ú e B = ê b 0 ú comutam, calcular a e b .
ë1 3 û
ë
û
Se A e B comutam, então AB = BA:
é1 a ù é2 1ù
é2 1ù é1 a ù
ê1 3ú × êb 0 ú = êb 0 ú ê1 3ú
ë
û ë
û
ë
û ë
û
Þ
é2 + ab 1ù
é3 2a + 3ù
ê2 + 3b 1ú = êb
ba ú
ë
û
ë
û
ab = 1
2a + 3 = 1 Þ a = – 1
2 + 3b = b Þ b = – 1
Resposta: a = – 1 e b = – 1
é -5 -3 ù
05. (valor: 1,0) (UNIRIO) Dada a matriz A = ê
, determine A–1 + At – I2 .
3 2ú
ë
û
é – 5 3ù
At = ê
ú
ë – 3 2û
éa bù
–1
Sendo A–1 = ê
ú então A × A = I
ëc dû
é – 5 – 3ù éa bù
é1 0 ù
ê 3
ú êc dú = ê0 1ú
2û ë
ë
û
ë
û
ì – 5b – 3d = 0
ì – 5a – 3c = 1 x (2)
í
í
î 3b + 2d = 1
î 3a + 2c = 0 x (3)
x (2)
x (3)
ì –10b – 6d = 0
í 9b + 6d = 3
î
ì –10a – 6c = 2
í
î 9a + 6c = 0
–a=2
–b=3
a=–2 Þ C=3
b=–3 Þ d=5
é – 2 – 3ù
Então A–1 = ê
5ú
ë3
û
é – 2 – 3ù
é – 5 3ù
é1 0 ù
é- 8 0 ù
Logo: A–1 + At – I2 = ê
ú + ê – 3 2ú – ê0 1ú = ê 0 6 ú
5û
ë3
ë
û
ë
û
ë
û
é– 8 0 ù
Resposta: ê
ú
ë 0 6û
06. (valor: 0,5) Sejam as matrizes A e B quadradas de ordem n. Expresse a matriz X em função de A e
B em cada equação:
a. (X + A)t = B
(X + A)t = B Þ
[( X + A ) ]
t
t
= Bt
Þ
X + A = Bt
Þ
X = Bt – A
Resposta: X = B t – A
2

14. b. A X B = Bt
A X B = Bt Þ A–1 A X B = A–1Bt Þ
Þ I X B = A–1Bt Þ XB = A–1Bt Þ X B B–1 = A–1BtB–1 Þ
Þ XI = A–1BtB–1 Þ X = A–1BtB–1
Resposta: X = A–1BtB–1
é 1 1ù
07. (UFRJ) Seja a matriz A = ê
ú
ë 0 1û
a. (valor: 0,5) Determine A3 .
é1
A2 = A × A = ê
ë0
é1
A3 = A2 × A = ê
ë0
2ù
1ú
û
3ù
1ú
û
é 1 3ù
Resposta: A3 = ê
ú
ë0 1û
b. (valor: 0,5) Se An denota o produto de A por A n vezes, determine o valor do número natural k tal
2
que A k - A 5k + A 6 = I , onde I é a matriz identidade.
2
é1 k 2 ù
Ak = ê
ú
ë0 1 û
é 1 5k ù
A 5k = ê
ú
ë0 1 û
é1 6 ù
A6 = ê
ú
ë0 1û
2
é1 k 2 ù
é 1 5k ù
é1 6 ù
é1 0 ù
Então se Ak – Ak5 + A6 = I Þ ê
ú – ê0 1 ú + ê0 1ú = ê0 1ú
ë
û
ë
û
ë
û
ë0 1 û
Logo k2 – 5k + 6 = 0
(k – 2) (k – 3) = 0
k = 2 ou k = 3
Resposta: k = 2 ou k= 3
08. (UERJ) Considere as matrizes A = ( a x j )
se x é ímpar e B = ( b x j )
n´p
n´n
em que ax j = 1 se x é par e ax j = –1
em que bx j = jx .
a. (valor: 0,5) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A .
é –1 –1 –1 –1 –1
ê 1 1 1 1 1
ê
A = ê –1 –1 – –1 –1
ê 1 1 1 1 1
ê
M
M
ê M
ë
L –1ù
L 1ú
ú
L –1ú
L 1ú
ú
M
ú
û
Resposta: Se n é par a soma da diagonal principal é 0
Se n é ímpar a soma da diagonal principal é – 1
3

15. b. (valor: 0,5) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto AB é igual a 4094 .
Calcule o número de linhas da matriz B .
æ
a qn - a 1
ç Dado: soma PG: S = 1
ç
q -1
è
é11
ê2
ê1
ê3
1
B=ê
ê14
ê
êM
ê1n
ë
21
31
41
51
22
32
42
52
23
33
43
53
24
34
44
54
M
M
M
M
n
2
n
3
4
5n
n
ö
÷
÷
ø
1
L p ù
ú
2
L p ú
L p3 ú
ú
L p4 ú
M M ú
ú
L nú
p û
O elemento da 4.a linha e 2.a coluna da matriz AB será a 4.a linha da matriz A multiplicada pela 2.a
coluna da matriz B, então teremos:
1 × 2 + 1 × 22 + 1 × 23 + 1 × 24 + ... + 1 × 2n = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 2n = 4094
Isto é a soma da PG onde a1 = 2, q = 2
S =
a 1 × qn – a 1
q–1
Þ
2n – 1 = 2047
Þ
2 × 2n – 2
= 4094
2–1
Þ
2n = 2048
Þ
Þ
(
)
2 2n – 1 = 4094
Þ
n = 11
Resposta: O número de linhas da matriz B é 11.
09. (valor: 1,0) (VUNESP / modificada) Dez amigos vão sentar-se em dez poltronas alinhadas
em um cinema, mas três deles desejam sentar-se juntos. Nestas condições, de quantas
maneiras distintas os dez amigos podem ocupar as poltronas referidas, considerando-se
distintas as posições em que pelo menos dois amigos ocupem poltronas diferentes?
Vamos supor que as pessoas sejam A, B, C, D, E, F, G, H, I, J e que os amigos que querem sentar-se
juntos sejam A, B, e C.
Vamos analisar o problema como se A, B, C fossem um único “objeto”.
A B C , D, E, F, G, H, I, J
Então o número de maneiras que as 10 pessoas podem sentar-se é P8 × P3
Resposta: P8 × P3
10. (FGV / modificada) Um dado de 6 faces é viciado de tal forma que a probabilidade de sair a face 3 é o
triplo da face 1 e as demais faces possuem a probabilidade de um dado honesto.
a. (valor: 0,5) Lançando-se uma vez o dado, qual a probabilidade de sair a face 3?
P(1) = x
P(3) = 3x
P(2) = P(4) = P(5) = P(6) = 1
6
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1
x + 1 + 3x + 1 + 1 + 1 = 1
6
6
6
6
4

16. 4x + 4 = 1
6
x= 1
Þ P(3) = 3 = 1
12
12
4
Resposta: 1
4
b. (valor: 0,5) Lançando-se 2 vezes o dado, qual a probabilidade de sair exatamente uma face 3?
3
1
12 × 12 ×
face 3 face 1
3
4
12 ×
6
face 3 face 2, 4 , 5, 6
ou
P2
×
P2
3
1
3
4
×
×2 +
×
×2
122 12
12 6 2
1
8
9
+
=
24
24
24
Resposta: 9
24
11. (valor: 0,5) (FGV / modificada)
a. Se um dado em forma de um octaedro regular (poliedro com 8 faces congruentes), com suas faces
numeradas de 1 a 8, for lançado duas vezes, qual a probabilidade de que a soma dos números
observados seja 5?
Espaço amostral: 8 × 8 = 64 duplas de números
Evento: (1, 4) (4, 1) (2, 3) (3, 2)
4
1
P (soma = 5) =
=
64
16
Resposta:
1
16
b. (valor: 0,5) Se este dado do item anterior é lançado n vezes, para que valores de n a probabilidade
2
que o número 8 apareça ao menos uma vez seja inferior a ?
3
Probabilidade de não aparecer o n.o 8 em 1 lançamento: 7
8
7 ×7 =
Probabilidade de não aparecer o n.o 8 em 2 lançamentos:
8 8
Probabilidade de não aparecer o n.o 8 em 3 lançamentos:
M
M
M
M
M
M
Probabilidade de não aparecer o n.o 8 em n lançamentos:
( 8)
n
Em n lançamentos: P(8) + P(não 8) = 1 Þ P(8) + 7
mas P(8) < 2
Þ 1 <
3
3
( 8)
n
Þ 1– 7
(78)
n
Þ log
Resposta: n < log
1
3
7
1
3
7
<2
3
> n
8
( 8)
Þ – 7
então
n
1
3
7
2
(78)
3
(78)
n
( 8)
= 1 Þ P(8) = 1 – 7
< –1 Þ
3
n < log
(78)
(78)
n
n
> 1 Þ
3
com n Î IN
8
para n Î IN
8
5