1) Os sólidos platônicos são sólidos tridimensionais cujas faces são polígonos regulares iguais. 2) Platão descobriu esses sólidos no século V a.C. e eles têm sido estudados desde então por suas propriedades geométricas e significados místicos. 3) Existem exatamente cinco sólidos platônicos - tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro - como pode ser demonstrado considerando a soma dos ângulos em torno de cada vértice

1. Os sólidos platónicos são sólidos convexos cujas arestas formam
polígonos planos regulares congruentes. A sua designação deve-
se a Platão, que os descobriu em cerca de 400 a.C.. A existência
destes sólidos já era conhecida pelos pitagóricos, e os egípcios
utilizaram alguns deles na arquitetura e noutros objetos que
construíram.
Estes sólidos foram adquirindo ao longo dos tempos
diversos significados místicos. Por exemplo, Kepler sentia
uma grande admiração e reverência por eles (Porquê
apenas cinco?) e chegou mesmo a tentar explicar os
movimentos planetários a partir deles. Além disso,
interpretou, no Harmonices Mundi, as associações de
Platão da seguinte forma:

2. Uma demonstração de que são apenas cinco os sólidos
platónicos pode ser obtida através do processo da sua
construção, como Platão fez num seu texto incluído no
diálogo Timeu.
Para a construção dos sólidos platónicos, por definição, apenas
podemos utilizar polígonos regulares congruentes. Comecemos por
considerar o triângulo equilátero, que é o polígono regular com
menos lados. Quantos poliedros, cujas faces são apenas este
polígono, conseguimos construir? Para responder a esta pergunta,
centremos a nossa atenção nos vértices dos possíveis poliedros
(basta considerar apenas um, pois os restantes são idênticos).
Com dois triângulos equiláteros, não se consegue
constituir um vértice de um poliedro, pois um ângulo
sólido tem que ser constituído pelo menos por três planos.
Com três triângulos equiláteros é possível constituir um
vértice de um poliedro, que é concretamente o tetraedro.
Esta possibilidade prende-se com facto de a soma das
amplitudes dos ângulos internos dos diversos triângulos
adjacentes, no vértice, ser inferior a 360º, exatamente
180º.
Se considerarmos quatro triângulos equiláteros, cuja soma
das amplitudes dos ângulos internos adjacentes no vértice
é de 240º, obtemos o octaedro. Considerando cinco
desses triângulos num vértice, essa soma é de 300º,
ainda inferior a 360º, e obtemos o icosaedro. Passando
para seis triângulos equiláteros, chegamos a uma
impossibilidade. A soma das amplitudes dos ângulos
internos adjacentes no vértice é, neste caso, 360º, o que
não permite "fechar" o vértice, isto é, formar um ângulo
sólido, pois os triângulos ficam todos sobre o mesmo
plano (formando uma pavimentação do plano em torno do
suposto vértice). A consideração de um número maior de
triângulos equiláteros em torno de um vértice, obviamente
já não possibilita a construção de um poliedro.

3. O pressuposto de construção que tem estado a ser
utilizado é o de que a formação de um ângulo sólido no
vértice de um poliedro só é possível se a soma das
amplitudes dos ângulos internos dos polígonos
adjacentes no vértice for inferior a 360º.
Considerando o quadrado, e o pressuposto atrás
enunciado, chegamos à conclusão de que apenas
conseguimos construir o cubo. Com pentágonos,
apenas conseguimos construir o dodecaedro.
Com hexágonos não se consegue construir nenhum
sólido platónico. Basta verificar que três hexágonos
adjacente em torno de um ponto (supostamente um
vértice) pavimentam o plano, pois a soma das
amplitudes dos ângulos internos desses hexágonos é
precisamente 360º, o que não permite formar um
ângulo sólido. Um número maior de hexágonos,
obviamente, que também não permite a construção de
um sólido platónico. Analogamente, com polígonos com
um número maior de lados isso também não é possível.

4. Enumeremos então os sólidos que acabámos de
construir: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo e
dodecaedro. São precisamente cinco, como se queria
demonstrar.
Outra forma demonstrar a existência de apenas cinco
sólidos platónicos é através da fórmula de Euler,
considerando as restrições relativas aos vértices,
arestas e faces inerentes aos sólidos platónicos.