Introducaoanalise

1 O Conjunto dos N´ meros Reais
u
O primeiro conjunto num´rico que consideramos ´ o Conjunto dos N´ meros
e e u
Naturais. Este conjunto est´ relacionado com a opera¸õ de contagem:
a ca

N = {0, 1, 2, 3, ...}.

Admitiremos conhecidas as opera¸˜es usuais adi¸õ e multiplica¸õ em N
co ca ca
bem como os conceitos de n´meros pares, ´
u ımpares e primos.
O processo de medi¸õ de grandezas f´
ca ısicas nos conduzir´ ao conjunto de
a
n´meros reais.
u

Problema: Medir um segmento AB.
Fixamos um segmento padrõ u e vamos chamar sua medida de 1.
a
Dado um segmento AB , se u couber um n´mero exato de vezes em AB,
u
digamos n vezes, entõ dizemos que a medida de AB ser´ n.
a a
Claramente isto nem sempre ocorre.

Defini¸õ: Dizemos que um segmento AB e o segmento padrõ u sõ
ca a a
´
COMENSURAVEIS se existir algum segmento w que caiba n vezes em u e
m vezes em AB.

Voltando ao nosso problema de medi¸õ, se o segmento AB e o segmento
ca
padrõ u forem comensur´veis , conforme a defini¸õ acima, diremos que a
a a ca
a n a a 1
medida de AB ser´ m . A medida do segmento w ser´ entõ n .
Isto nos motiva definirmos um conjunto num´rico que inclua todas estas
e
poss´ıveis medidas. Chamaremos este conjunto de Conjunto de N´ meros u
Racionais Positivos: Q+ = { m |m, n ∈ N, n = 0}.
n
Alguns racionais representam as mesmas medidas. Por exemplo 2 e 1 . De
4 2
fato, se existe um semento w que cabe 2 vezes no segmento unit´rio entõ
a a
a metade deste segmento cabe 2 vezes nele e 4 vezes no segmento unit´rio. a
Vamos entõ dizer que 1 = 2 . De um modo geral dizemos que m1 = m2 se
a 2 4 n
1
n
2

m1 n2 = n1 m2 .
Continuando com o problema da medi¸õ nos deparamos com um grande
ca
problema. Nem sempre dois segmentos sõ comensur´veis. De fato, considere-
a a
mos por exemplo a hipotenusa de um triˆngulo retˆngulo de catetos iguais a 1.
a a
Suponhamos que esta hipotenusa seja comensur´vel com o segmento unit´rio
a a
padrõ u.
a
Entõ existiriam naturais n e m tais que a medida da hipotenusa seria
a
igual a m . Vamos supor que m e n sejam primos entre si, isto ´ , ´ imposs´
n e e ıvel
simplificarmos mais esta expressõ. De acordo com o teorema de Pit´goras
a a
ter´
ıamos que
m2
12 + 12 = 2 .
n
2 2 2
Assim 2n = m e portanto m seria um n´mero par e portanto m tamb´m o
u e
seria. Logo existiria algum k ∈ N tal que m = 2k. Assim 4k 2 = 2n2 e portanto

1

n2 = 2k 2 o que implicaria que n tamb´m seria par. Note que isto ´ um absurdo.
e e
Este absurdo surgiu do fato de termos suposto que a medida da hipotenusa fosse
um n´mero racional.
u
No entanto esta hipotenusa existe e ´ muito bem determinada em cima da
e
reta. Ampliamos o conceito de n´mero de tal forma que todos os segmentos
u
possuam uma medida associada. Introduzimos os chamados N´ meros Ir-u
racionais, de tal modo que , fixando uma unidade de comprimento padrõ, a
qualquer segmento de reta tem uma medida num´rica.
e

1.1 A Reta Real
Fixamos uma reta e um ponto chamamos de origem 0. Escolhemos um outro
ponto A, a direita da origem. Fixamos 0A como unidade de comprimento.
Facilmente marcamos sobre a reta os n´meros naturais.
u
Na semi-reta da esquerda marcamos segmentos, com extremidade na origem,
com as mesmas medidas dos segmentos que definem os naturais e associamos
`s suas extremidades esquerdas n´meros com um sinal −. Formamos entõ o
a u a
chamado Conjunto dos N´ meros Inteiros:
u

Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}.

Em seguida marcamos todos os segmentos, com extremidade na origem,
comensur´veis com o segmento o segmento padrõ 0A. Os que ficarem ` direita
a a a
serõ associados aos racionais positivos e os que ficarem ` esquerda ganharõ
a a a
um sinal −. Definimos entõ o Conjunto dos N´ meros Racionais:
a u
m
Q == { |m ∈ Z, n ∈ N, n = 0}.
n
Como vimos acima esta constru¸õ nõ ocupa todo o espa¸o existente na
ca a c
reta. Se pararmos por aqui nossa reta ficar´ com v´rios ”buracos”. A cada
a a
um destes buracos associamos um n´mero, que chamaremos de irracional .
u
Finalmente definimos o Conjunto dos N´ meros Reais:
u

R = {x|x ∈ Q ou x eirracional}.
´

Existe uma correspondˆncia biun´
e ıvoca entre os n´meros reais e os pontos da
u
reta. Mais precisamente, a cada n´mero real est´ associado um e somente um
u a
ponto da reta e a cada ponto da reta est´ associado um e somente um n´mero
a u
real. No que segue, nõ distinguiremos pontos da reta e n´meros reais.
a u
´
E claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Dizemos que x ∈ R ´ positivo, e denotamos x > 0, se x estiver no lado
e
direito da reta; dizemos que x ´ negativo, e denotaremos x < 0 , se x estiver no
e
lado esquerdo da reta. As nota¸˜es ≥ e ≤ indicam, respectivamente maior ou
co
igual e menor ou igual.
Vamos introduzir as opera¸˜es adi¸õ e multiplica¸õ em R.
co ca ca

Defini¸õ:
ca

2

a) Sejam x1 ∈ R e x2 ≥ 0. Definimos x1 + x2 como o n´mero real associado
u
a ”ponta final” do segmento, orientado para direita, com extremidade inicial em
x1 , e com medida igual a medida do segmento associado a x2 .
b)Sejam x1 ∈ R e x2 ≤ 0. Marcamos na reta o seguinte ponto: com ex-
tremidade inicial em x1 e orientado para o lado esquerdo, com medida igual
a do segmento associado a x2 . O n´mero real associado a ”ponta final” deste
u
segmento ser´ chamado de x1 + x2 .
a

Defini¸õ:
ca
a) Se x > 0 e y > 0 definimos o produto xy da seguinte forma: Tra¸amos
c
uma reta l formando um ˆngulo inferior a 90o com a reta real e passando
a
pela origem. Na reta real marcamos a unidade 1 e o n´mero y. Na reta l
u
marcamos o x. Consideramos a reta que passa por 1 e por x e chamamos de s.
Da geometria sabemos que existe uma unica reta t paralela a s e que passa y.
´
Finalmente marcamos em l o ponto P , iterseçõ desta com t. Com a ponta
ca
seca do compasso em 0 e abertura igual a 0P marcamos na reta real o ponto
Q. O n´mero real associado a este ponto ser´ chamado de xy.
u a
b) Nos demais casos ´ s´ mudar o sinal xy convenientemente:
e o
x y xy
+ − +
− + −
− − +
Observa¸õ: Se fixarmos nossa aten¸õ para os n´meros racionais veremos
ca ca u
que as defini¸˜es acima coincidem com as tradicionais:
co
a c ad + bc
+ =
b d bd
a c ac
. = .
b d bd

O conjunto R munido das opera¸˜es definidas acima forma o que chamamos
co
de CORPO. Mais precisamente , satisfaz as seguintes propriedades:

1) Associatividade da Adi¸õ e da Multiplica¸õ:
ca ca
(x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ R
(xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R
2) Comutatividade da Adi¸õ e da Multiplica¸õ:
ca ca
x+y = y + x, ∀x, y ∈ R
xy = yx, ∀x, y ∈ R
3) Existˆncia de Elemento Neutro para a Adi¸õ e para a Multiplica¸õ:
e ca ca
x + 0 = x, ∀x ∈ R
x.1 = x, ∀x ∈ R

3

4) Existˆncia de Oposto para Adi¸õ:
e ca

∀x ∈ R, ∃(−x) ∈ R tal que x + (−x) = 0.

5) Existˆncia de Inverso para a Multiplica¸õ:
e ca

∀x ∈ R{0}, ∃y ∈ R tal que xy = 1.

6) Distributividade da Multiplica¸õ em Rela¸õ ` Adi¸õ:
ca ca a ca

x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ R.

Defini¸õ: Dizemos que x < y se y − x > 0.
ca

Dentro dos reais destacamos o conjunto dos reais positivos:

R+ = {x ∈ R|x > 0}.

Observe que as seguintes condi¸˜es sõ satisfeitas:
co a
a) A soma e o produto de elementos positivos sõ positivos. Ou seja
a

x, y ∈ R+ ⇒ x + y ∈ R+ e x.y ∈ R+ .

b) Dado x ∈ R ou x = 0 ou x ∈ R+ ou −x ∈ R+ .

As duas propriedades acima caracterizam o que chamamos de CORPO OR-
DENADO.
Como em qualquer outro corpo ordenado, rela¸õ de ordem ” < ” goza das
ca
seguintes propriedades:

1) Transitiva:
(x, y, z ∈ R, x < y, y < z) ⇒ x < z.
2) (Tricotomia) Quaisquer que sejam x e y ∈ R :

x < y ou y < x ou x = y.

3) Compatibilidade da Ordem com a Adi¸õ:
ca

(x, y, z ∈ R, x < y) ⇒ x + z < y + z.

4) Compatibilidade da Ordem com a Multiplica¸õ:
ca

(x, y, z ∈ R, x < y, 0 < z) ⇒ xz < yz.

Observa¸õ: Note que as propriedades de corpo e as propriedades de corpo
ca
ordenado tamb´m sõ satisfeiras para Q. Vamos agora destacar uma propriedade
e a
que ´ satisfeita por R mas nõ por Q.
e a

4

Defini¸õ:Dado um subconjunto A ⊂ R dizemos que A ´ limitado se existe
ca e
K > 0 tal que
x ∈ A ⇒ −K < x < K.
Defini¸õ:Dizemos que s ∈ R ´ o supremo de A se s for a menor das cotas
ca e
superiores de A :

x ≤ s, ∀x ∈ A;
x ≤ c, ∀x ∈ A ⇒ s ≤ c.

Defini¸õ:Dizemos que i ∈ R ´ o ´
ca e ınfimo de A se i for a maior das cotas
inferiores de A :

x ≥ i, ∀x ∈ A;
x ≥ c, ∀x ∈ A ⇒ i ≥ c.

O conjunto R satisfaz a propriedade:

Axioma do Supremo: Todo conjunto limitado e nõ vazio de n´meros
a u
reais possui um supremo e um ´
ınfimo real.

Observemos que esta propriedade nõ ´ satisfeita por Q. Considere o con-
a e
junto A = {x ∈ Q|0 < √2 < 2}.
x
O supremo de A ´ 2 que como vimos antes nõ ´ um n´mero racional.
e a e u

A propriedade acima nos diz que o conjunto dos n´meros reais ´ um CORPO
u e
ORDENADO COMPLETO.

Teorema dos Intervalos Encaixantes: Seja [a0 , b0 ] , [a1 , b1 ] , ..., [an , bn ] , ...
uma sequˆncia de intervalos satisfazendo:
e
a) [a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...
b) Para todo r > 0 existe um natural n tal que

bn − an < r.

Entõ, existe um unico real c tal que para todo natural n
a ´

an ≤ c ≤ bn .

Demonstra¸õ: Temos que A = {a0 , a1 , ...} ´ nõ vazio e limitado superi-
ca e a
ormente. Seja entõ
a
c = sup A.
´
E claro que
an ≤ c ≤ bn .
Suponhamos que exista d , diferente de c satisfazendo

an ≤ d ≤ bn .

5

Neste caso ter´
ıamos
|c − d| < bn − an , ∀n.
Como a distˆncia bn − an aproxima-se de zero , ter´
a ıamos que c = d.

Para completarmos esta se¸õ vamos provar :
ca

Teorema
a) Entre dois n´meros reais distintos sempre existe um n´mero irracional;
u u
b) Entre dois n´meros reais distintos sempre existe um n´mero racional.
u u

Demonstra¸õ: Provemos a primeira afirma¸õ. Sejam x e y dois n´meros
ca ca u
reais distintos. Sem perda de generalidade suponhamos x < y. Assim y − x > 0.
Observe que ´ poss´ encontrarmos n´meros naturais n, m tais que
e ıvel u

n (y − x) > 1
√
m (y − x) > 2

(este fato ´ conhecido como Princ´
e ıpio de Arquimedes). Desta forma temos que
1
x < x+ <y
n
√
2
x < x+ <y
n
√
e assim se x for irracional, assim ser´ x + n e se x for racional entõ x + n2
a 1
a
ser´ irracional. De qual quer forma conseguimos encontrar um irracional entre
a
x e y.
Provemos a segunda afirma¸õ. Sejam x e y dois n´meros reais distintos.
ca u
Inicialmente observemos que se x < 0 < y entõ nada temos para provar pois 0
a
´ racional. Suponhamos 0 < x < y. Assim y − x > 0. Novamente aplicando o
e
princ´ıpio de Arquimedes encontramos um natural n tal que

n(y − x) > 1
nx > 1

Seja j tal que
j j+1
≤x<
n n
Notemos que
j+1 j 1
= + < x + (y − x) = y
n n n
Logo basta tomarmos j+1 .
n
Se x < y < 0 entõ 0 < −y < −x e pelo primeiro caso encontramos um
a
racional entre −y e −x. O sim´trico deste racional ser´ o racional procurado.
e a

6

Exerc´ıcios: As propriedades que destacamos acima sõ suficientes para
a
deduzirmos uma s´rie de outras, conforme os exerc´
e ıcios abaixo.

1) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z

x + z = y + z ⇒ x = y.

2) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z, w

0≤x≤y
⇒ xz ≤ yw.
0≤z≤w

3) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z, w tem-se:

a)x < y ⇔ x + z < y + z.
b)z > 0 ⇔ z −1 > 0.
c)z > 0 ⇔ −z < 0.
d)z > 0, x < y ⇔ xz < yz.
e)z < 0, x < y ⇔ xz > yz.
0≤x<y
f) ⇒ xz < yw
0≤z<w
g)0 < x < y ⇒ 0 < y −1 < x−1
h)x < y ou x = y ou y < x.
i)xy = 0 ⇔ x = 0 ou y = 0.

4) Suponha x ≥ 0 e y ≥ 0. Prove que:

a)x < y ⇒ x2 < y 2 .
b)x ≤ y ⇒ x2 ≤ y 2
c)x < y ⇔ x2 < y 2 .

1.2 Sequˆncias de N´ meros Reais
e u
Nesta se¸õ estudaremos fun¸˜es reais de uma vari´vel real cujo dom´
ca co a ınio ´ um
e
subconjunto do conjunto dos n´meros naturais. Tais fun¸˜es recebem o nome de
u co
sequˆncias. Nõ daremos um tratamento anal´
e a ıtico completo ao assunto, apenas
iremos introduzir o conceito e provaremos as principais propriedades.

Defini¸õ: Uma sequˆncia de n´meros reais ´ uma fun¸õ
ca e u e ca

f :A⊂N →R

7

Nota¸õ: Denotamos (an ) onde f (n) = an . Em geral apresentaremos a
ca
sequˆncia pela lei de defini¸õ e consideraremos o dom´
e ca ınio como o maior sub-
conjunto de N onde tem sentido a lei de defini¸õ.
ca

Exemplos:
1) (an ) dada por an = n ´ a sequˆncia formada pelos n´meros 1, 1 , 3 , ...
1
e e u 2
1

2) (an ) dada por an = 2 ´ a sequˆncia constante 2, 2, 2, ...
e e
n
3) (an ) dada por an = (−1) ´ a sequˆncia 1, −1, 1, −1,...
e e

Defini¸õ: Diz-se que uma sequˆncia (an ) converge para um n´mero L ou
ca e u
tem limite L se , dado qualquer n´mero ε > 0 , ´ sempre poss´ encontrar um
u e ıvel
n´mero natural N tal que
u

n > N → |an − L| < ε.

Denotamos
lim an = L ou an → L.
n→+∞

Intuitivamente dizer que (an ) converge para L significa dizer que os termos
da sequˆncia aproximam-se de L quando n cresce .
e
Exemplo:
1
A sequˆncia (an ) dada por an = n converge para 0.
e
De fato, dado ε > 0, tomamos N o primeiro n´mero natural maior que 1 e
u ε
temos que
1 1
n>N →n> → < ε.
ε n
Defini¸õ: Quando uma sequˆncia nõ converge diz-se que ela diverge ou
ca e a
que ´ divergente.
e
Exemplos:
n
1) A sequˆncia (an ) dada por an = (−1) ´ divergente. De fato, seus termos
e e
oscilam entre −1 e 1.
2) A sequˆncia (an ) dada por an = n ´ divergente. De fato, seus termos
e e
crescem indefinidamente.

Defini¸õ: Uma sequˆncia (an ) ´ dita limitada se existir um n´mero real
ca e e u
K > 0 tal que
|an | ≤ K, ∀n.
Exemplos:
1
1) As sequˆncias dadas por an = n , an = cos n sõ exemplos de sequˆncias
e a e
limitadas.
2) A sequˆncia (an ) dada por an = n2 nõ ´ limitada.
e a e

Observa¸õ: Ser limitada nõ ´ o mesmo que ter limite. Se uma sequˆncia
ca a e e
for convergente entõ ela ser´ limitada mas nem toda sequˆncia limitada ´ con-
a a e e
n
vergente. De fato, considere por exemplo a sequˆncia (an ) dada por an = (−1) .
e

8

Defini¸õ:
ca
a e ´
1) Se a1 < a2 < a3 < ... entõ (an ) ´ dita MONOTONA CRESCENTE.
´ ˜
2) Se a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... entõ (an ) ´ dita MONOTONA NAO DECRES-
a e
CENTE.
a e ´
3) Se a1 > a2 > a3 > ... entõ (an ) ´ dita MONOTONA DECRESCENTE.
´ ˜
4) Se a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... entõ (an ) ´ dita MONOTONA NAO CRES-
a e
CENTE.

Teorema: Toda sequˆncia mon´tona limitada ´ convergente.
e o e
Demonstra¸õ:Vamos provar que toda sequˆncia nõ decrescente e limi-
ca e a
tada converge para seu extremo superior e deixaremos os demais casos como
exerc´
ıcio.
Seja K > 0 tal que
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ K
Assim temos que o conjunto

{an |n ∈ N }

´ limitado superiormente.Pela propriedade do supremo temos que existe L ∈ R
e
tal que
L = sup{an |n ∈ N }.
Afirmamos que
L = lim an .
n→+∞

De fato , dado ε > 0 temos que L − ε nõ ´ uma cota superior de {an |n ∈ N }
a e
e assim exite N > 0 tal que
aN > L − ε
e portanto

n > N → L − ε < aN ≤ an < L < L + ε → |an − L| < ε.

Uma importante aplica¸õ: O n´ mero e
ca u

Vamos provar que:
1) A sequˆncia dada por
e
n
1
an = 1+
n

´ crescente e limitada e portanto convergente.
e
2) Sendo (an ) convergente, escrevemos

e = lim an
n→∞

9

e provamos que 2 < e < 3.

1)
Inicialmente mostremos que a sequˆncia ´ crescente.
e e
Vamos provar que , para todo n temos
an+1
> 1.
an
Temos
n+1 n+1 n+1
1 n+2 n+2
1+ n+1 n+1 n+1
1 n
= n+1 n
= =
1+ n+1 n+1 n
n n n n+1
n+1 n+1
n+2 n n2 +2n
n+1 n+1 2
(n+1)
= n = n =
n+1 n+1
n+1 n+1
(n+1)2 −1 1
(n+1)2
1 − (n+1)2
= n = n =∗
n+1 n+1

Aplicando a desigualdade de Bernoulli em ∗ temos
−1
1 + (n + 1) (n+1)2 1− 1
n+1
∗> n = n = 1.
n+1 n+1

Logo a sequˆncia ´ crescente.
e e
Provemos agora que a sequˆncia ´ limitada. Temos
e e
n
1 1 n(n − 1) 1 n (n − 1) ... (n − (k − 1)) 1 1
1+ = 1 + n. + . 2 + ... + + ... + n =
n n 2 n k! nk n
1 1 1 1 2 k−1
= 1+1+ 1− + ... + (1 − )(1 − )... 1 − +
2 n k! n n n
1 1 2 n−1
... + (1 − )(1 − )... 1 −
n! n n n
Por indu¸˜o ´ f´cil provar que
ca e a
1 1
≤ n−1 , ∀n ∈ N.
n! 2
Assim
n n
1 1 1 1− 1
2
1+ ≤1+1+ + .... + n = 1 + < 3.
n 2 2 1− 1
2

Conclu´
ımos que
n
1
2< 1+ < 3.
n

10

2)
1 n
Como 1+ n ´ convergente escrevemos
e
n
1
e = lim 1+ .
n→∞ n

2 Limites de Fun¸˜es Reais Definidas em Inter-
co
valos
2.1 Introdu¸õ
ca

Neste cap´ıtulo introduziremos o conceito de limite. Restringiremos nosso es-
tudo para as fun¸˜es reais definidas em intervalos. Deixaremos para o curso de
co
An´lise Matem´tica o estudo de limites quando as fun¸˜es estõ definidas em
a a co a
um subconjunto qualquer da reta.
Todas as fun¸˜es que consideraremos neste cap´
co ıtulo sõ do tipo f : I → R
a
onde I ´ uma uniõ de intervalos.
e a

Defini¸õ: Dizemos que f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a de p,
ca a c
exceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que

(p − r, p) ⊂ I

e
(p, p + r) ⊂ I.
Exemplos:
1) Uma fun¸õ definida em um intervalo aberto f : (a, b) → R est´ definida
ca a
em uma vizinhan¸a de p, qualquer que seja p ∈ (a, b).
c
2) Uma fun¸õ definida em um intervalo fechado f : [a, b] → R est´ definida
ca a
em uma vizinhan¸a de p, qualquer que seja p ∈ (a, b). Note que f nõ est´
c a a
definida em uma vizinhan¸a de a e nem em uma vizinhan¸a de b. O mesmo
c c
permanece v´lido para qualquer outra combina¸õ de ( ou [.(verifique isso).
a ca
2
3) Consideremos f : R{1} → R dada por f (x) = x −1 . Observe que f
x−1
est´ definida em uma vizinhan¸a de 1, exceto no ponto 1.
a c

2.2 Defini¸õ de Limite
ca
Defini¸õ: Seja f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a de p,
ca ca c
exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a p ´ e
igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para 0 < |x − p| < δ
tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos

lim f (x) = L.
x→p

11

Intuitivamente a defini¸õ acima est´ nos dizendo que a medida que x
ca a
aproxima-se de p temos que f (x) aproxima-se de L :

∀ε > 0, ∃δ > 0, 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
Exemplos:
1) Seja k ∈ R uma constante e p ∈ R. Provemos que lim k = k. De fato,
x→p
dado ε > 0 existe δ = 1 tal que

0 < |x − p| < 1 ⇒ |k − k| = 0 < ε.
ε
2) Provemos que lim (2x − 4) = 2. De fato, dado ε > 0 existe δ = 2 tal que
x→3

ε
0 < |x − 3| < ⇒ |2x − 6| < ε ⇒ |(2x − 4) − 2| < ε.
2
3) Observe que o valor que a fun¸õ assume no ponto p nõ influencia seu
ca a
−x + 4, se x = 1
limite ao x tender a p. Seja f : R → R dada por f (x) = .
7, se x = 1
Temos que lim f (x) = 3. De fato, dado ε > 0 existe δ = ε tal que
x→1

0 < |x − 1| < ε ⇒ |−x + 4 − 3| < ε ⇒ |f (x) − 3| < ε.
16−x2
4) Seja f : R{−4} → R dada por f (x) = x+4 . Temos que para x = −4,
16−x2
x+4 = 4 − x e assim lim f (x) = lim (4 − x) = 8. De fato , dado ε > 0
x→−4 x→−4
tomamos δ = ε e temos

0 < |x − (−4)| < ε ⇒ 0 < |x + 4| < ε ⇒ |4 − x − 8| = |x + 4| < ε.

Podemos caracterizar o limite de fun¸˜es reais utilizando sequˆncias de
co e
n´meros reais.
u

Teorema : Sejam f uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R
ca c
exceto possivelmente em p e L ∈ R . Vale que lim f (x) = L se e somene se
x→p

∀ (xn ) tal que xn → p , xn = p , tem-se f (xn ) → L.

Demonstra¸õ: Suponhamos que lim f (x) = L. Seja xn tal que xn → p.
ca
x→p
Provemos que f (xn ) → L.
Seja ε > 0. Entõ existe δ > 0 tal que
a

0 < |x − p| < δ → |f (x) − L| < ε.

Como xn → p, xn = p temos que exite N natural tal que

n > N → 0 < |xn − p| < δ → |f (xn ) − L| < ε.

12

Reciprocamente, suponhamos que

∀ (xn ) tal que xn → p , xn = p , tem-se f (xn ) → L.

Provemos que lim f (x) = L.
x→p
Se isto nõ fosse verdade existiria ε > 0 tal que para qualquer δ > 0 existiria
a
x tal que
0 < |x − p| < δ e |f (x) − L| > ε.
1
Tomando δ = n existiria xn tal que
1
0 < |xn − p| < e |f (xn ) − L| > ε.
n
ı ıamos xn → p, xn = p e no entanto f (xn ) nõ estaria convergindo
Mas da´ ter´ a
para L.
Logo
lim f (x) = L.
x→p

2.3 Unicidade, Conserva¸õ de Sinal e Limita¸õ
ca ca
Come¸aremos esta se¸õ provando a unicidade do limite.
c ca

Teorema: Seja f uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R exceto
ca c
possivelmente em p. Se existe L ∈ R tal que lim f (x) = L entõ L ´ unico.
a e´
x→p

Demonstra¸õ:Suponhamos que lim f (x) = M .Vamos provar que L = M.
ca
x→p
Suponhamos que L = M. Sem perda de generalidade podemos supor L < M.
−L
Tomemos ε = M 2 . Assim existe δ1 > 0 tal que
M −L M +L
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ⇒ f (x) < .
2 2
Por outro lado existe δ2 > 0 tal que
M −L M +L
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |f (x) − M | < ⇒ f (x) > .
2 2
Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos que
M +L M +L
0 < |x − p| < δ ⇒ < f (x) <
2 2
e isto ´ um absurdo.
e
Logo L = M.

A seguir provaremos que a existˆncia de lim f (x) implicar´ na limita¸õ da
e a ca
x→p
fun¸õ em uma vizinhan¸a do ponto p.
ca c

13

Teorema: Seja f uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R exceto
ca c
possivelmente em p. Se existe L ∈ R tal que lim f (x) = L entõ existem δ > 0
a
x→p
e M > 0 tais que
0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x)| < M.

Demonstra¸õ: Tomando ε = 1 na defini¸õ de limite temos que
ca ca

∃δ > 0, 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < 1

Da desigualdade triangular temos

|f (x)| − |L| ≤ |f (x) − L|

e portanto
|f (x)| ≤ 1 + |L| .
Logo basta tomarmos M = 1 + |L| e δ como acima.

Vamos provar agora o teorema da conserva¸õ do sinal. Em suma o teorema
ca
ir´ nos dizer que o limite tem que ter o mesmo sinal da fun¸õ em uma vizinhan¸a
a ca c
do ponto ou ser nulo.

Teorema: Sejam f uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R,
ca c
exceto possivelmente em p, e L ∈ R tais que lim f (x) = L.
x→p
a) Se L > 0 entõ existe δ > 0 tal que
a

0 < |x − p| < δ ⇒ f (x) > 0.

b) Se L < 0 entõ existe δ > 0 tal que
a

0 < |x − p| < δ ⇒ f (x) < 0.

Demonstra¸õ: Vamos provar a) e deixaremos como exerc´ a prova de
ca ıcio
b).
L
Tomamos ε = 2 e temos que existe δ > 0 tal que

L
0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < .
2
L
Segue que f (x) > 2 > 0.

14

2.4 C´lculo de Limites
a
Nesta se¸õ demonstraremos algumas propriedades operacionais que facilitarõ
ca a
o c´lculo de limites.
a

Teorema: Sejam f e g fun¸˜es definidas em uma vizinhan¸a de um ponto
co c
p ∈ R , exceto possivelmente em p;L , M ∈ R tais que lim f (x) = L e
x→p
lim g(x) = M e k uma constante real.
x→p
Entõ:
a
a) Existe lim (f (x) + g(x)) e lim (f (x) + g(x)) = L + M.
x→p x→p
b) Existe lim (f (x) − g(x)) e lim (f (x) − g(x)) = L − M.
x→p x→p
c) Existe lim (f (x).g(x)) e lim (f (x).g(x)) = L.M .
x→p x→p
d) Existe lim kf (x) e lim kf (x) = kL.
x→p x→p
e) Se M = 0, existe lim f (x) e lim f (x)
= L
M.
x→p g(x) x→p g(x)

Demonstra¸õ:ca
a) Seja ε > 0. De acordo com nossa hip´tese temos que existem δ1 > 0 e
o
δ2 > 0 tais que
ε
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ,
2
ε
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |g(x) − M | < .
2
Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos que
0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) + g(x) − (L + M )| <
ε ε
< |f (x) − L| + |g(x) − M | < + = ε.
2 2
b) Deixamos como exerc´ ıcio.
d) Se k = 0 entõ ´ trivial. Suponhamos k = 0. Seja ε > 0. Da nossa hip´tese
a e o
temos que existem δ > 0 tal que
ε
0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < .
|k|
Assim temos
∃δ1 = δ > 0 tal que
ε
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |kf (x) − kL| = |k| |f (x) − L| < |k| = ε.
|k|

15

1
c) Inicialmente observemos que f (x).g(x) = 4 [(f (x)+g(x))2 −(f (x)−g(x))2 ].
Provemos que, dada uma fun¸õ h definida em uma vizinhan¸a de p, exceto
ca c
possivelmente em p, e satisfazendo lim h(x) = N temos lim h(x)2 = N 2 . De
x→p x→p
fato, de acordo com o teorema da limita¸õ, temos
ca
∃δ1 > 0, ∃K > 0 tais que
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |h(x)| < K.
Al´m disso, dado ε > 0, temos
e
∃δ2 > 0 tal que
ε
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |h(x) − N | < .
K + |N |
Tomamos δ satisfazendo δ = min{δ1 , δ2 } temos
0 < |x − p| < δ ⇒ h(x) − N 2 = |h(x) − N | |h(x) + N | <
ε ε
< (|h(x)| + |N |) < (K + |N |) = ε.
K + |N | K + |N |
Desta forma
1
lim (f (x).g(x)) = lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗
x→p x→p 4
Pela propriedade d) temos
1
∗= lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗∗
4 x→p
e pela propriedade b)
1 1
∗∗ = lim (f (x) + g(x))2 − lim (f (x) − g(x))2 = ∗ ∗ ∗
4 x→p 4 x→p
e aplicando o que acabamos de provar
1 1
∗∗∗= ( lim (f (x) + g(x)))2 − ( lim (f (x) − g(x)))2 = ∗ ∗ ∗∗
4 x→p 4 x→p
e voltando a aplicar a) e b) finalmente temos
1
∗ ∗ ∗∗ = [(L + M )2 − (L − M )2 ] = LM.
4
1 1
e) Para provarmos e) ´ suficiente provarmos que lim
e = M. De fato
x→p g(x)
f (x) 1
g(x) = f (x). g(x) e sabemos operar o produto por d).
Seja ε > 0. Como lim g(x) = M = 0 temos que
x→p

∃δ1 > 0 tal que
|M | |M |
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |g(x) − M | < ⇒ |g(x)| >
2 2

16

Por outro lado
∃δ2 > 0 tal que
2
|M |
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |g(x) − M | < ε
2
Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos
1 1 |g(x) − M |
0 < |x − p| < δ ⇒ − = <
g(x) M |g(x)| |M |
2
2 2 |M |
< 2 |g(x) − M | < 2 ε=ε
|M | |M | 2

O Teorema do Confronto (” Teorema do Sandu´ ıche”): Sejam f, g, h
fun¸˜es definidas em uma vizinhan¸a de p, exceto possivelmente em p, satis-
co c
fazendo:
a) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x nesta vizinhan¸a,
c
b) Existem os limites lim f (x), lim h(x) e
x→p x→p
c) lim f (x) = lim h(x) = L.
x→p x→p
Entõ existe lim g(x) e lim g(x) = L.
a
x→p x→p

Demonstra¸õ: Seja ε > 0. Por c) temos:
ca
∃δ1 > 0 tal que
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ε
e
∃δ2 > 0 tal que
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |h(x) − L| < ε
Tomamos δ = min{δ1 , δ2 } e temos
0 < |x − p| < δ ⇒ L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε ⇒
⇒ |g(x) − L| < ε

Exerc´
ıcio: Prove que
lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0.
x→p x→p

Exemplo: lim x cos x = 0.
x→0
De fato, vamos mostrar que lim |x cos x| = 0.
x→0
Temos que
0 ≤ |x cos x| ≤ |x|
e pelo teorema do confronto segue o resultado.

17

2.5 Limites Laterais

Nesta se¸õ iremos estudar limites quando x aproxima-se de um ponto p assu-
ca
mindo somente valores maiores (ou menores) que p.

Defini¸õ:
ca
a)Dizemos que f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a ` direita de p,
a c a
exceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que (p, p + r) ⊂ I.
b)Dizemos que f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de p,
a c a
exceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que (p − r, p) ⊂ I.

Exemplos:
1) Uma fun¸õ definida em um intervalo aberto f : (a, b) → R est´ definida
ca a
em uma vizinhan¸a ` direita de p e em uma vizinhan¸a ` esquerda de p, qualquer
c a c a
que seja p ∈ (a, b).
2) Uma fun¸õ definida em um intervalo fechado f : [a, b] → R est´ definida
ca a
em uma vizinhan¸a ` direita de p, qualquer que seja p ∈ [a, b) e est´ definida
c a a
em uma vizinhan¸a ` esquerda de p, qualquer que seja p ∈ (a, b]. Note que f
c a
nõ est´ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de a e nem em uma vizinhan¸a
a a c a c
a
` direita de b. O mesmo permanece v´lido para qualquer outra combina¸õ de
a ca
( ou [.(verifique isso).
´
3) E imediato verificarmos que uma fun¸õ f est´ definida
ca a em uma
vizinhan¸a de p se e somente se est´ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de
c a c a
p e em uma vizinhan¸a ` direita de p.
c a

Defini¸õ:
ca
a) Seja f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a ` direita de
ca c a
p, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a p
pela direita ´ igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para
e
x ∈ (p, p + δ) tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos lim f (x) = L.
x→p+
b) Seja f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de
ca c a
p, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a p
pela esquerda ´ igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para
e
x ∈ (p − δ, p) tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos limx→p− f (x) = L.

Observa¸õ: Todas as propriedades provadas nas se¸˜es anteriores com
ca co
rela¸õ a unicidade, conserva¸õ de sinal e limita¸õ permanecem v´lidas para
ca ca ca a
limites laterais, com as devidas altera¸˜es.Tamb´m permanecem v´lidas as pro-
co e a
priedades operacionais provadas na se¸õ anterior.
ca

18

Teorema: Seja f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a de um
ca c
ponto p exceto possivelmente em p. Vale que

∃ lim f (x) ⇔ ∃ lim+ f (x), ∃ lim− f (x) e lim− f (x) = lim+ f (x).
x→p x→p x→p x→p x→p

Deixamos a prova do resultado acima como exerc´
ıcio.

2.6 Limites no Infinito
Nesta se¸õ iremos estudar o comportamento de algumas fun¸˜es quando a
ca co
vari´vel assume valores arbitrariamente grandes.
a

Defini¸õ:
ca
a) Dizemos que uma fun¸õ f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a de
ca a c
+∞ se existir a ∈ R tal que (a, +∞) ⊂ I.
b) Dizemos que uma fun¸õ f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a de
ca a c
−∞ se existir a ∈ R tal que (−∞, a) ⊂ I.

Exemplos:
a) Qualquer fun¸õ f : R → R est´ definida em vizinhan¸as de +∞ e de
ca a c
−∞.
b) Qualquer fun¸õ f : [b, +∞) → R ou f : (b, +∞) → R est´ definida em
ca a
uma vizinhan¸a de +∞ mas nõ est´ definida em uma vizinhan¸a de −∞.
c a a c
c) Qualquer fun¸õ f : (−∞, b] → R ou f : (−∞, b) → R est´ definida em
ca a
uma vizinhan¸a de −∞ mas nõ est´ definida em uma vizinhan¸a de +∞.
c a a c

Defini¸õ:
ca
a) Seja f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a de +∞. Dizemos
ca c
que o limite de f (x) ao x tender a +∞ ´ L ∈ R e denotamos lim f (x) = L
e
x→+∞
se para todo ε > 0 existir x0 > 0 tal que

x > x0 ⇒ |f (x) − L| < ε.

b) Seja f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a de −∞. Dizemos
ca c
que o limite de f (x) ao x tender a −∞ ´ L ∈ R e denotamos lim f (x) = L
e
x→−∞
se para todo ε > 0 existir x0 < 0 tal que

x < x0 ⇒ |f (x) − L| < ε.

1
Exemplo: Vamos provar que lim = 0.
x→+∞ x
De fato, dado ε > 0 tomamos x0 = 1 e
ε temos

1 1 1
x > x0 ⇒ x > ⇒0< <ε⇒ < ε.
ε x x

19

ıcio: Sejam f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a de
Exerc´ ca c
+∞ e L ∈ R tal que lim f (x) = L. Prove que existem x0 > 0 e M > 0 tais
x→+∞
que
x > x0 ⇒ |f (x)| < M.

A seguir estabelecemos algumas propriedades operacionais dos limites no
infinito.

Teorema: Sejam f e g fun¸˜es definidas em uma vizinhan¸a de +∞ ; L ,
co c
M ∈ R tais que lim f (x) = L e lim g(x) = M e k uma constante real.
x→+∞ x→+∞
Entõ:
a
a) Existe lim (f (x) + g(x)) e lim (f (x) + g(x)) = L + M.
x→+∞ x→+∞
b) Existe lim (f (x) − g(x)) e lim (f (x) − g(x)) = L − M.
x→+∞ x→+∞
c) Existe lim (f (x).g(x)) e lim (f (x).g(x)) = L.M .
x→+∞ x→+∞
d) Existe lim kf (x) e lim kf (x) = kL.
x→+∞ x→+∞
e) Se M = 0, existe lim f (x) e lim f (x) = L
M.
x→+∞ g(x) x→+∞ g(x)

Demonstra¸õ:ca
a) Seja ε > 0. De acordo com nossa hip´tese temos que existem x1 > 0 e
o
x2 > 0 tais que
ε
x > x1 ⇒ |f (x) − L| <
2
ε
x > x2 ⇒ |g(x) − M | <
2
Tomando x0 = max{x1 , x2 } temos que

x > x0 ⇒ |f (x) + g(x) − (L + M )| <
ε ε
< |f (x) − L| + |g(x) − M | < + = ε.
2 2
b) Deixamos como exerc´ ıcio.
d) Se k = 0 entõ ´ trivial. Suponhamos k = 0.
a e
Seja ε > 0. Da nossa hip´tese temos que existem x0 > 0 tal que
o
ε
x > x0 ⇒ |f (x) − L| < .
|k|

Assim temos
ε
x > x0 ⇒ |kf (x) − kL| = |k| |f (x) − L| < |k| = ε.
|k|
1
c) Inicialmente observemos que f (x).g(x) = 4 [(f (x)+g(x))2 −(f (x)−g(x))2 ].

20

Provemos que, dada uma fun¸õ h definida em uma vizinhan¸a de +∞, e
ca c
satisfazendo lim h(x) = N temos lim h(x)2 = N 2 . De fato, pelo exerc´
ıcio
x→+∞ x→+∞
acima,
∃x1 > 0, ∃K > 0 tais que
x > x1 ⇒ |h(x)| < K
Al´m disso, dado ε > 0, temos
e
∃x2 > 0 tal que
ε
x > x2 ⇒ |h(x) − N | <
K + |N |
Tomamos x0 satisfazendo x0 = max{x1 , x2 } temos
x > x0 ⇒ h(x) − N 2 = |h(x) − N | |h(x) + N | <
ε ε
< (|h(x)| + |N |) < (K + |N |) = ε.
K + |N | K + |N |
Desta forma
1
lim (f (x).g(x)) = lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗
x→+∞ x→+∞ 4
Pela propriedade d) temos
1
∗= lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗∗
4 x→+∞
e pela propriedade b)
1 1
∗∗ = lim (f (x) + g(x))2 − lim (f (x) − g(x))2 = ∗ ∗ ∗
4 x→+∞ 4 x→+∞
e aplicando o que acabamos de provar
1 1
∗∗∗= ( lim (f (x) + g(x)))2 − ( lim (f (x) − g(x)))2 = ∗ ∗ ∗∗
4 x→+∞ 4 x→+∞
e voltando a aplicar a) e b) finalmente temos
1
∗ ∗ ∗∗ = [(L + M )2 − (L − M )2 ] = LM
4
e) Para provarmos e) ´ suficiente provarmos que
e lim 1 = 1
M. De fato
x→+∞ g(x)
f (x) 1
g(x) = f (x). g(x) e sabemos operar o produto por d).
Seja ε > 0.
Como lim g(x) = M = 0 temos que
x→+∞

∃x1 > 0 tal que
|M | |M |
x > x1 ⇒ |g(x) − M | < ⇒ |g(x)| >
2 2

21

Por outro lado

∃x2 > 0 tal que
2
|M |
x > x2 ⇒ |g(x) − M | < ε
2
Tomando x0 = max{x1 , x2 } temos
1 1 |g(x) − M |
x > x0 ⇒ − = <
g(x) M |g(x)| |M |
2
2 2 |M |
< 2 |g(x) − M | < 2 ε=ε
|M | |M | 2

Observe que o resultado acima continua v´lido se considerarmos x → −∞.
a

2.7 Limites Infinitos
Nesta se¸õ estudaremos os limites infinitos. Neste caso os valores de f (x) ´
ca e
que assumem valores arbitrariamente grandes a medida que x aproxima-se de
algum ponto p ou de ±∞.

Defini¸õ:
ca
a) Seja f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a ` direita de
ca c a
p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela direita ´ igual a +∞
a e
e denotamos
lim+ f (x) = +∞
x→p

se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que

x ∈ (p, p + δ) ⇒ f (x) > M.

b) Seja f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a ` direita de
ca c a
p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela direita ´ igual a −∞
a e
e denotamos
lim+ f (x) = −∞
x→p


x ∈ (p, p + δ) ⇒ f (x) < −M.

c) Seja f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de
ca c a
p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela esquerda ´ igual a
a e
+∞ e denotamos
lim f (x) = +∞
x→p−


x ∈ (p − δ, p) ⇒ f (x) > M.

22

d) Seja f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de
ca c a
p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela esquerda ´ igual a
a e
−∞ e denotamos
lim f (x) = −∞
x→p−


x ∈ (p − δ, p) ⇒ f (x) < −M.

e) Seja f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a de +∞. Dizemos
ca c
que o limite de f (x) ao x tender ` +∞ ´ igual a +∞ e denotamos
a e

lim f (x) = +∞
x→+∞

se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que

x > N ⇒ f (x) > M.

f ) Seja f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a de +∞. Dizemos
ca c
que o limite de f (x) ao x tender ` +∞ ´ igual a −∞ e denotamos
a e

lim f (x) = −∞
x→+∞


x > N ⇒ f (x) < −M.

g) Seja f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a de −∞. Dizemos
ca c
que o limite de f (x) ao x tender ` −∞ ´ igual a +∞ e denotamos
a e

lim f (x) = +∞
x→−∞


x < −N ⇒ f (x) > M.

h) Seja f : I → R uma fun¸õ definida em uma vizinhan¸a de −∞. Dizemos
ca c
que o limite de f (x) ao x tender ` −∞ ´ igual a −∞ e denotamos
a e

lim f (x) = −∞
x→−∞


x < −N ⇒ f (x) < −M.

Exemplos:
1
1) Provemos que lim+ x = +∞.
x→0

23

1
De fato, dado M > 0 existe δ = M tal que
1 1
x ∈ (0, ) ⇒ > M.
M x
1
2) Provemos que lim x−1 = −∞. De fato, dado M > 0 tomamos
x→1−

1
δ = min{ , 1}
M
e temos
1 1
x ∈ (1 − δ, 1) ⇒ x − 1 ∈ (−δ, 0) ⇒ < − < −M.
x−1 δ

A seguir apresentamos a ”aritm´tica do infinito” isto ´ , estabelecemos as
e e
rela¸˜es entre os limites infinitos e as opera¸˜es. Deixamos a prova do teorema
co co
como exerc´ıcio.

Teorema: Sejam f, g : I → R definidas numa vizinhan¸a de p ∈ R , exceto
c
possivelmente em p . Valem as seguintes tabelas:
TABELA I
lim f (x ) lim g(x ) lim (f (x ) + g(x )
x→p x→p x→p
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞ indetermina¸õ
ca
α∈R +∞ +∞
α∈R −∞ −∞
TABELA II
lim f (x ) lim g(x ) lim f (x ).g(x )
x→p x→p x→p
+∞ +∞ +∞
+∞ −∞ −∞
−∞ −∞ +∞
0 +∞ indetermina¸õ
ca
0 −∞ indetermina¸õ
ca
α>0 +∞ +∞
α>0 −∞ −∞
α<0 −∞ +∞
TABELA III
lim f (x ) lim g(x ) lim f (x)
g(x)
x→p x→p x→p
α∈R +∞ 0
α∈R −∞ 0
+∞ +∞ indetermina¸õ
ca
+∞ −∞ indetermina¸õ
ca
α>0 0+ +∞
α>0 0− −∞
α<0 0+ −∞
α<0 0− +∞

24

Observa¸õ: Indetermina¸õ significa que nada se pode afirmar sobre o
ca ca
limite em questõ. Depende de f e g em cada caso particular.
a
O teorema continua v´lido para
a

vizinhan¸a
c a
` direita de p x → p+
vizinhan¸a
c a
` esquerda de p x → p−
vizinhan¸a
c de +∞ x → +∞
vizinhan¸a
c de −∞ x → −∞

2.8 Limite de Fun¸˜es Compostas
co
Para encerrarmos este cap´
ıtulo veremos como procedermos o calculo de limite
de compostas de fun¸˜es.
co

Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R fun¸˜es definidas em uma
co
vizinhan¸a de p ∈ R e a ∈ R , respectivamente, satisfazendo:
c
a) f (I1 ) ⊂ I2 ;
b) lim f (x) = a;
x→p
c) lim g(u) = L;
u→a
d) Existe r > 0 tal que f (x) = a para 0 < |x − p| < r.
Entõ lim g(f (x)) = lim g(u) = L.
a
x→p u→a

Demonstra¸õ: Seja ε > 0. Como lim g(u) = L temos que existe δ1 > 0
ca
u→a
tal que
0 < |u − a| < δ1 ⇒ |g(u) − L| < ε.
Al´m disso, como lim f (x) = a existe δ2 > 0 tal que
e
x→p

0 < |x − p| < δ2 ⇒ |f (x) − a| < δ1 .

Tomando δ = min{δ2 , r} temos

0 < |x − p| < δ ⇒ 0 < |f (x) − a| < δ1 ⇒ |g(f (x)) − L| < ε.

O teorema acima permanece v´lido para limites laterais, com as devidas
a
adapta¸˜es. Fa¸a isso como exerc´
co c ıcio.

Exemplo: Observe a importˆncia da hip´tese d). Consideremos o seguinte
a o
exemplo:

f (x) = 1, ∀x ∈ R
u + 1, u = 1
g(u) =
3, u = 1

25

Temos

lim f (x) = 1
x→1
lim g(u) = 2
u→1

e no entanto
lim g(f (x)) = 3 = lim g(u).
x→1 u→1

Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R fun¸˜es definidas em uma
co
vizinhan¸a do +∞ e em uma vizinhan¸a de a ∈ R (exceto possivelmente em a),
c c
respectivamente, e L ∈ R satisfazendo:
a) f (I1 ) ⊂ I2 ;
b) lim f (x) = a;
x→+∞
c) Existe N1 > 0 tal que para x > N1 tem-se f (x) = a.
d) lim g(u) = L.
u→a
Entõ
a lim g(f (x)) = lim g(u) = L.
x→+∞ u→a

Demonstra¸õ: Seja ε > 0. Como lim g(u) = L temos que existe δ > 0
ca
u→a
tal que
0 < |u − a| < δ ⇒ |g(u) − L| < ε.
Como lim f (x) = a existe N2 > 0 tal que
x→+∞

x > N2 ⇒ |f (x) − a| < δ.

Tomando N = max{N1 , N2 } temos

x > N ⇒ 0 < |f (x) − a| < δ ⇒ |g(f (x)) − L| < ε.

O teorema permanece v´lido considerarmos x → −∞.
a

3 Continuidade de Fun¸˜es Reais de Vari´vel
co a
Real
3.1 Defini¸õ de Continuidade
ca
Neste cap´
ıtulo introduziremos o conceito de continuidade. Restringiremos nosso
estudo para as fun¸˜es reais definidas em intervalos. Deixaremos para o curso de
co
An´lise Matem´tica o estudo da continuidade quando as fun¸˜es estõ definidas
a a co a
em um subconjunto qualquer da reta.
Todas as fun¸˜es que consideraremos neste cap´
co ıtulo sõ do tipo f : I → R
a
onde I ´ uma uniõ de intervalos.
e a

26

Defini¸õ:
ca
a) Uma fun¸õ f : I → R ´ dita cont´
ca e ınua em p ∈ I se para todo ε > 0
existir δ > 0 tal que

x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < ε.

b) Uma fun¸õ f : I → R ´ dita cont´
ca e ınua se o for em todos os pontos de
seu dom´
ınio.
c) Uma fun¸õ f : I → R ´ dita descont´
ca e ınua em p ∈ I se f nõ ´ cont´
a e ınua
em p.

Observa¸˜es: A verifica¸õ da continuidade de fun¸˜es definidas em inter-
co ca co
valos (a, b) ou [a, b] ´ um pouco mais simples:
e
1) De acordo com a defini¸õ acima , temos que f : (a, b) → R ´ cont´
ca e ınua se
existir lim f (x) , para todo p ∈ (a, b) e ainda lim f (x) = f (p). Em particular,
x→p x→p
usando a caracteriza¸õ de limites por sequˆncias ter´
ca e ıamos que f ´ cont´
e ınua em
p se e somente se

∀ (xn ) tal que xn → p tem-se f (xn ) → f (p) .

2) De acordo com a defini¸õ acima , temos que f : [a, b] → R ´ cont´
ca e ınua se:
a) Existe lim f (x) , para todo p ∈ (a, b) e lim f (x) = f (p);
x→p x→p
b) Existe lim+ f (x) e lim+ f (x) = f (a);
x→a x→a
c) Existe lim− f (x) e lim− f (x) = f (b).
x→b x→b

3.2 Opera¸˜es com Fun¸˜es e Continuidade
co co
Os resultados que obteremos nesta se¸õ sõ demonstrados da mesma forma
ca a
que os an´logos para limites.
a

Teorema: Sejam f : I → R, g : I → R fun¸˜es cont´
co ınuas em p ∈ I e k ∈ R
uma constante. Entõ:
a
a) f + g ´ cont´
e ınua em p.
b) f − g ´ cont´
e ınua em p.
c) f.g ´ cont´
e ınua em p.
d) Se g(p) = 0 entõ f ´ cont´
a g e ınua em p.
e) kf ´ cont´
e ınua em p.

Uma consequˆncia imediata do resultado acima ´:
e e

Corol´rio:
a
a) Toda fun¸õ polinomial ´ cont´
ca e ınua.
b) Toda fun¸õ racional ´ cont´
ca e ınua.

Demonstra¸õ:
ca

27

a) De fato, se f ´ polinomial entõ existe um polinˆmio
e a o

p(x) = a0 + a1 x + ... + an xn

tal que f (x) = p(x), para todo x ∈ R.
Como as fun¸˜es dadas por xm , m ∈ N, sõ cont´
co a ınuas, segue do teorema
acima que as fun¸˜es dadas por aj xj , j ∈ {0, 1, ..., n}, tamb´m o sõ. Como
co e a
soma de fun¸˜es cont´
co ınuas ´ cont´
e ınua , segue que toda fun¸õ polinomial ´
ca e
cont´ınua.
b) De fato, se f ´ uma fun¸õ racional , entõ existem polinˆmios p, q tais
e ca a o
que f (x) = p(x) .
q(x)
Como o quociente de fun¸˜es cont´
co ınuas ´ cont´
e ınua, desde que o polinˆmio
o
do denominador nõ se anule, segue que toda fun¸õ racional ´ cont´
a ca e ınua pois o
´ em todos os pontos de seu dom´
e ınio.

Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R satisfazendo que f (I1 ) ⊂ I2 , f
ınua em p ∈ I1 e que g ´ cont´
´ cont´
e e ınua em f (p). Entõ g ◦ f ´ cont´
a e ınua em p.

Demonstra¸õ: Seja ε > 0. Como g ´ cont´
ca e ınua em f (p) temos que existe
δ1 > 0 tal que

u ∈ I2 ∩ (f (p) − δ1 , f (p) + δ1 ) ⇒ |g(u) − g(f (p))| < ε.

Como f ´ cont´
e ınua em p temos que existe δ > 0 tal que

x ∈ I1 ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) ∈ I2 , |f (x) − f (p)| < δ1 ⇒
⇒ f (x) ∈ I2 ∩ (f (p) − δ1 , f (p) + δ1 ) ⇒ |g(f (x)) − g(f (p))| < ε.

3.3 Algumas Propriedades das Fun¸˜es Cont´
co ınuas
Nesta se¸õ provaremos alguns resultados sobre a conserva¸õ de sinal e sobre
ca ca
a continuidade de fun¸˜es mon´tonas .
co o

Teorema: Seja f : I → R uma fun¸õ cont´
ca ınua em p ∈ I . Se f (p) > 0
entõ existe δ > 0 tal que
a

x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) > 0.

f (p)
Demonstra¸õ: Como f (p) > 0, tomamos ε =
ca 2 e temos que existe
δ > 0 tal que

f (p) f (p)
x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < ⇒ f (x) > > 0.
2 2

28

Teorema: Seja f : I → R uma fun¸õ cont´
ca ınua em p ∈ I . Se f (p) < 0
entõ existe δ > 0 tal que
a

x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) < 0.

Demonstra¸õ: Como f (p) < 0, tomamos ε = − f (p) e temos que existe
ca 2
δ > 0 tal que

f (p) f (p) f (p)
x ∈ I ∩(p−δ, p+δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < − ⇒ f (x) < f (p)− = < 0.
2 2 2

Teorema: Se f : I → R for crescente (ou decrescente) e al´m disso tanto
e
a imagem quanto o dom´ ınio de f forem intervalos entõ f ´ cont´
a e ınua.
Demonstra¸õ: Sem perda de generalidade vamos supor que f ´ crescente.
ca e
Dado p ∈ I, provemos a continuidade de f em p.
Seja ε > 0. Suponhamos tamb´m que f (p) nõ seja extremidade do intervalo
e a
que ´ a imagem.
e
Como f (I) ´ um intervalo entõ existem x1 , x2 ∈ I tais que f (x1 ) = f (p) − ε
e a
e f (x2 ) = f (p) + ε .
Assim basta tomarmos δ = min{p − x1 , x2 − p} e temos

|x − p| < δ ⇒ f (p) − ε = f (x1 ) < f (x) < f (x2 ) = f (p) + ε.

Deixamos como exerc´ o caso geral.
ıcio

Corol´rio: As fun¸˜es trigonom´tricas inversas sõ cont´
a co e a ınuas.
ca ´
Demonstra¸õ: E imediato pelo teorema acima, visto que localmente todas
as trigonom´tricas inversas sõ crescentes ou decrescentes e seus dom´
e a ınios e
imagens sõ intervalos.
a

3.4 O Teorema do Valor Intermedi´rio
a
Nesta se¸õ estudaremos o principal teorema relativo a continuidade. O seu
ca
enunciado ´ bastante simples mas as consequˆncias sõ extremamente impor-
e e a
tantes.
Imagine uma fun¸õ que seja cont´
ca ınua em um intervalo [a, b]. Suponhamos
que d est´ entre f (a) e f (b). Como a fun¸õ ´ cont´
a ca e ınua o seu gr´fico pode
a
ser desenhado sem que soltemos o l´pis. De fato, a continuidade impede que
a
o gr´fico apresente saltos. Desta forma nõ tem como sairmos de (a, f (a)) e
a a
chegarmos em (b, f (b)) sem que no caminho passemos por um ponto que tenha
ordenada d. Logo conclu´ ımos que deve existir algum ponto c em [a, b] tal que
f (c) = d. Esta ´ a conclusõ do Teorema do Valor Intermedi´rio.
e a a
Vamos enunciar este teorema.

Teorema do Valor Intermedi´rio: Sejam f : [a, b] → R cont´
a ınua e d
entre f (a) e f (b). Entõ existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = d.
a

29

Demonstra¸õ : Dividiremos a prova em dois casos.
ca
1o Caso:
Suponhamos que f (a) < 0 e que f (b) > 0 e mostremos que existe c ∈ [a, b]
tal que f (c) = 0.
Fa¸amos a0 = a e b0 = b. Consideremos c0 o ponto m´dio de [a0 , b0 ]. Calcu-
c e
lamos f (c0 ). Se f (c0 ) < 0 entõ definimos a1 = c0 e b1 = b0 ( se f (c0 ) = 0 nõ
a a
temos mais o que provar e se f (c0 ) > 0 entõ definimos a1 = a0 e b1 = c0 ).
a
Em seguida consideramos c1 o ponto m´dio de [a1 , b1 ] e repetimos o processo
e
acima.
Prosseguindo com este racioc´ ınio, construiremos uma sequˆncia de intervalos
e
encaixantes
[a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...
tais que f (an ) < 0 e f (bn ) > 0.
Al´m disso bn − an aproxima-se de zero quando n cresce indefinidamente.
e
O Teorema dos Intervalos Encaixantes nos que diz que existe um unico ´
c ∈ R tal que , para todo n, an ≤ c ≤ bn .
A continuidade da f nos garante que f (c) = 0 pois se fosse diferente de zero
o teorema da conserva¸õ do sinal implicaria que f (an ) e f (bn ) teriam o mesmo
ca
sinal para n suficientemente grande, j´ que a distˆncia de an a bn tende a zero.
a a
Da mesma forma, se f (a) > 0 e f (b) < 0 existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0.
Logo, se f for cont´ ınua em [a, b] e se f (a) e f (b) tiverem sinais contr´rios,
a
entõ existir´ pelo menos um c em [a, b] tal que f (c) = 0.
a a
2o Caso: Caso Geral.
Sem perda de generalidade, suponhamos que f (a) < d < f (b).
Consideremos a fun¸õ g(x) = f (x) − d.
ca
Obviamente g ´ cont´
e ınua e g(a) < 0, g(b) > 0.
Pelo 1o caso existe c ∈ [a, b] tal que g(c) = 0. Logo f (c) = d.

Exemplos:
1) Prove que x3 − 4x + 8 = 0 tem pelo menos uma raiz real.
Considere f : [−3, 0] → R dada por f (x) = x3 − 4x + 8.
Como f ´ polinomial segue que f ´ cont´
e e ınua. Al´m disso, f (−3) = −7 < 0,
e
f (0) = 8 > 0.
Logo pelo Teorema do Valor Intermedi´rio,
a

∃c ∈ [−3, 0] tal que f (c) = 0.

Logo o polinˆmio acima admite uma raiz real.
o
2) Todo polinˆmio de grau ´
o ımpar admite uma raiz real. De fato, seja

p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0

com n ´
ımpar. Suponhamos, sem perda de generalidade, que an > 0.
Provemos inicialmente que lim p(x) = +∞ e lim p(x) = −∞.
x→+∞ x→−∞

30

Temos

lim p(x) = lim (an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ) =
x→±∞ x→±∞
an−1 a1 a0
= lim an xn (1 + + .... + + )=
x→±∞ an x an xn−1 an xn
= ±∞.

Logo existem a e b tais que p(a) < 0, p(b) > 0.
Aplicando o TVI em [a, b] segue o resultado.

3.5 O Teorema de Weierstrass
Nesta se¸õ demonstraremos outra importante propriedade das fun¸˜es cont´
ca co ınuas.
Provaremos que se uma fun¸õ for cont´
ca ınua em um intervalo fechado [a, b] entõ
a
ela assumir´ um valor m´ximo e um valor m´
a a ınimo.

Teorema da Limita¸õ: Se f : [a, b] → R ´ cont´
ca e ınua entõ existe M > 0
a
tal que
|f (x)| < M, ∀x ∈ [a, b].

Demonstra¸õ: Suponhamos que nõ exista um M > 0 satisfazendo o
ca a
que ´ desejado.
e
Chamamos a1 = a, b1 = b.
Deve entõ existir x1 ∈ [a1 , b1 ] tal que |f (x1 )| > 1.
a
Seja c1 o ponto m´dio de [a1 , b1 ].
e
Como f nõ ´ limitada em [a1 , b1 ] entõ f nõ ser´ limitada em [a1 , c1 ] ou
a e a a a
em [c1 , b1 ].
Sem perda de generalidade, suponhamos que f nõ ´ limitada em [c1 , b1 ].
a e
Chamamos a2 = c1 , b2 = b1 .
Como f nõ ´ limitada em em [a2 , b2 ] existe x2 ∈ [a2 , b2 ] tal que |f (x2 )| > 2.
a e
Prosseguindo com este racioc´ ınio constru´ ımos uma sequˆncia
e

[a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...

satisfazendo que a distˆncia bn −an est´ se aproximando de zero quando n cresce
a a
e que, para todo natural n, existe xn ∈ [an , bn ] com |f (xn )| > n.
Pelo T. I. Encaixantes, existe c, o unico real tal que c ∈ [an , bn ], para todo
´
n ∈ N.
´
E claro que xn est´ convergindo para c e que |f (xn )| est´ divergindo para
a a
o infinito. Pela continuidade de f ter´ ıamos que lim |f (x)| = +∞. Observemos
x→c
que isto ´ um absurdo. Logo existe M > 0 tal que
e

|f (x)| < M, ∀x ∈ [a, b].

31

Teorema de Weierstrass: Se f : [a, b] → R ´ cont´ e ınua existem x1 e x2
em [a, b] tais que f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ), para qualquer x ∈ [a, b].
Demonstra¸õ : Sendo f cont´
ca ınua em [a, b], pelo teorema anterior f ser´
a
limitada em [a, b]. Assim o conjunto A = {f (x)|x ∈ [a, b]} admite supremo e
´
ınfimo.
Sejam M = sup A, m = inf A.
Est´ claro que m ≤ f (x) ≤ M.
a
Resta-nos provar que existem x1 e x2 tais que f (x1 ) = m e f (x2 ) = M.
Observe que se f (x) < M para todo x entõ a fun¸õ dada por
a ca
1
g(x) = , x ∈ [a, b]
M − f (x)

seria cont´
ınua mas nõ seria limitada. Logo existe x2 tal que f (x2 ) = M.
a
Analogamente provamos a existˆncia de x1 .
e

3.6 Potˆncias Irracionais
e
Na se¸õ 1.3 lembramos algumas propriedades das potˆncias racionais.
ca e
Dado m ∈ Q, a > 0 definimos
n
m √
m
b = an ⇔ bn = a.

O objetivo desta se¸õ ´ definirmos ax , x ∈ R.
ca e
√
O que significa 3 2 ?
Sabemos que os racionais nõ ocupam todo o espa¸o da reta mas mesmo
a c
assim eles estõ presentes em√
a qualquer intervalo, por menor que seja. Assim em
qualquer intervalo contendo 2 existem racionais e nestes sabemos calcular as
√
potˆncias. Seria natural entõ definirmos 3 2 como o limite de 3r , r ∈ Q, ao r
e √ a
tender a 2.
A d´vida que sobra ´ se esse limite realmente existe.
u e
O teorema que iremos enunciar a seguir nos garantir´ que existe uma unica
a ´
fun¸õ cont´
ca ınua em R tal que f (r) = 3r , para qualquer r ∈ Q. Em outras
palavras, existe uma unica maneira de completarmos o pontilhado do gr´fico
´ a
acima e obtermos uma fun¸õ cont´
ca ınua. Assim iremos definir
√ √
3 2 = f ( 2) = lim f (x).
√
x→ 2

Teorema: Dado a > 0, a = 1 temos que existe uma unica fun¸õ cont´
´ ca ınua
definida em R tal que
f (r) = ar , ∀r ∈ Q.

Para provarmos o teorema acima precisaremos de 3 resultados preliminares.

32

Lema 1: Seja a > 1 um real dado. Entõ para todo ε > 0, existe um natural
a
n tal que
1
an − 1 < ε
Demonstra¸õ: Pela desigualdade de Bernoulli
ca
n
(1 + ε) ≥ 1 + nε.
a−1
Basta tomarmos n > ε .

Lema 2: Sejam a > 1 e x dois reais dados. Para todo ε > 0 existem
racionais r e s , com r < x < s tais que

as − as < ε.

Demonstra¸õ: Tomamos t > x, racional; assim, para qualquer racional
ca
r < x, tem-se ar < at .Pelo lema 1, existe n natural tal que
1
at a n − 1 < ε.

1
Se escolhermos racionais r e s com r < x < s e satisfazendo s − r < n teremos
1
as − ar = ar (as−r − 1) < at a n − 1 < ε.

Lema 3: Seja a > 1 um real dado. Entõ , para todo x real dado , existe
a
um unico real γ tal que
´
ar < γ < as
para quaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s.
Demonstra¸õ: Como o conjunto
ca

{ar |r racional , r < x}

´ nõ vazio e limitado superiormente por todo as , s racional, tal conjunto admite
e a
um supremo que indicamos por γ. Segue que

ar < γ < as .

Falta provarmos que tal γ ´ unico. De fato, se γ1 for tal que
e´

ar < γ1 < as

quaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s ter´
ıamos

|γ − γ1 | < as − ar

e pelo lema 2 ter´
ıamos que

|γ − γ1 | < ε, ∀ε > 0

33

e da´ γ = γ1 .
ı

Prova do Teorema: Inicialmente vamos supor a > 1. Com rela¸õ ao lema
ca
anterior , se x for racional entõ γ = ax . O unico γ ser´ indicado por f (x) . Fica
a ´ a
constru´ıda, assim, uma fun¸õ f definida em R, e tal que f (r) = ar para todo
ca
racional r. Antes de provarmos a continuidade de f provemos que f ´ crescente.
e
Sejam x1 < x2 . Temos
ar1 < f (x1 ) < as1
e
ar2 < f (x2 ) < as2
quaisquer que sejam os racionais r1 , s1 , r2 e s2 tais que

r1 < x1 < s1 e r2 < x2 < s2 .

Assim , sendo s um racional com x1 < s < x2 temos

f (x1 ) < as < f (x2 )

o que prova que f ´ crescente.
e
Vamos provar a continuidade de f . Seja p ∈ R. Pelo lema 2 dado ε > 0
existem racionais r e s com r < p < s tais que

as − ar < ε.

Para todo x ∈ (r, s) temos

|f (x) − f (p)| < as − ar < ε

o que prova a continuidade da f em p. Segue que f ´ cont´
e ınua em R.
Finalmente se 0 < a < 1 basta considerarmos a fun¸õ dada por
ca
−x
1
f (x) = .
a

A fun¸õ f : R → R dada por f (x) = ax , a > 0, a = 1 ´ chamada de
ca e
¸˜
FUNCAO EXPONENCIAL.

4 Derivadas de Fun¸˜es Reais de Vari´vel Real
co a
4.1 Introdu¸õ e Defini¸õ de Derivada
ca ca
Defini¸õ: Seja f : I → R, uma fun¸õ definida em I ⊂ R uma uniõ de
ca ca a
intervalos abertos.
a) Dizemos que f ´ deriv´vel em p ∈ I se existe o limite
e a
f (p + h) − f (p)
lim .
h→0 h

34

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