1) O documento discute a proporcionalidade direta e inversa entre números. Exemplos mostram que números diretamente proporcionais aumentam juntos, enquanto números inversamente proporcionais são inversamente proporcionais ao tempo. 2) Problemas de aplicação exemplificam como determinar valores faltantes usando a proporcionalidade direta ou inversa. 3) O último problema divide 620 em partes inversamente proporcionais a 5, 2 e 3 para encontrar cada parte.

1. A TRIBULAÇÃO PRODUZ A PACIÊNCIA, A PACIÊNCIA PROVA A FIDELIDADE E A FIDELIDADE COMPROVADA, PRODUZ A ESPERANÇA. RM 5, 3

2. Números direta e Inversamente proporcionais

3. Números diretamente proporcionais Consideremos a seguinte situação: Uma torneira é aberta para encher um reservatório. De tempos em tempos, é medida a altura da água no reservatório, e o resultado dessa medição é colocada numa tabela: Tempo (em min.) Altura da água (cm) 15 12 15 18 20 24 25 30 30 36

4. Vamos observar o que ocorre quando consideramos um número da 1ª coluna e o seu correspondente na 2ª coluna: 10 = 15 = 20 = 25 = 30 = 5 18 24 30 36 6 Quando isso acontece, dizemos que os números da 1ª coluna são Diretamente proporcionais aos números correspondentes da 2ª coluna. Aplicações: Verificar se os números 4, 10 e 30 são diretamente proporcionais aos números 8, 20, 60. 4/8 = 10/20 = 30/60 = ½ Sim, os números são diretamente proporcionais.

5. 2. Os números 6, x e y são diretamente proporcionais aos números 4, 8 e 20. Nessas condições, determinar os valores de x e y. 6 = x = y 4 8 20 4x = 48 4y = 120 x = 12 y = 30 Portanto, x = 12 e y = 30

6. 3. Um barbante de 200m de comprimento é dividido em partes diretamente proporcionais aos números 3, 5, 2. Qual é o comprimento de cada pedaço? A + B + C = 200 A = B = C 3 5 2 A + B + C = A ou B ou C 3 + 5 + 2 3 5 2 200 = A 20 = B 20 = C 10 3 1 5 1 2 A = 60 B = 100 C = 40

7. 2. Números inversamente proporcionais Consideremos a seguinte situação: Uma bolinha deve se deslocar de um ponto A até um ponto B. A velocidade da bolinha e o tempo correspondente que ela gasta nesse deslocamento estão na tabela seguinte: Velocidade (m/s) Tempo (em s) 2 60 4 30 6 20 8 15

8. Vamos observar o que ocorre quando consideramos um número da 1ª coluna e o seu correspondente na 2ª coluna: 2 . 60 = 4 . 30 = 6 . 20 = 8 . 15 = 120 Quando isso acontece, dizemos que os números da 1ª coluna São inversamente proporcionais aos números correspondentes da 2ª coluna. Aplicações: Verificar se os números 120, 30 e 16 são inversamente proporcionais aos números 2, 8 e 15. 120 . 2 = 30 . 8 = 16 . 15 = 240 Sim, são inversamente proporcionais.

9. 2. Os números x, y , 2 e z são inversamente proporcionais aos números 6, 10, 15 e 60. Quais são os números x, y e z? x. 6 = y . 10 = 2 . 15 = z . 60 6x = 10y = 30 = 60z 6x = 30 10y = 30 60z = 30 x = 5 y = 3 z = 1/2

10. 3. Vamos repartir o número 620 em três parcelas que são inversamente proporcionais aos números 5, 2 e 3. Quais são os valores dessas parcelas? Vamos representar as parcelas por x, y e z, tais que: x . 5 = y . 2 = z . 3 = a (fator de proporcionalidade) Logo: 5x = a 2y = a 3z = a x = a/5 y = a/2 z = a/ 3 Como a soma das três parcelas deve dar 620, temos: x+ y + z = 620 Substituindo x, y e z encontramos:

11. x + y + z = 620 a + a + a = 620 2 3 6a + 15a + 10a = 18 600 30 30 31a = 18 600 a = 600 Logo: x = a = 600 = 120 5 5 y = a = 600 = 300 2 2 z = a = 600 = 200 3 3