03 números proporcionais

Emerson Marcos Furtado
Mestre em Métodos Numéricos pela Univer-
sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado
em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino
Médio nos estados do Paraná e Santa Catari-
na desde 1992. Professor do Curso Positivo de
Curitiba desde 1996. Professor da Universidade
Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos
destinados a concursos públicos nas áreas de ma-
temática, matemática financeira, raciocínio lógico
e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes-
quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a
2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join-
ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore-
ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde
2005. Autor de material didático para sistemas de
ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-
fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC)
desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí-
nio lógico, estatística, matemática e matemática
financeira. Consultor da Empresa Result – Con-
sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.
Consultor em Estatística Aplicada com projetos de
pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi-
ca, qualidade, educacional, industrial e eleições
desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de
Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde
2008. Autor de questões para concursos públicos
no estado do Paraná desde 2003.
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A.,
mais informações www.iesde.com.br

25
Números proporcionais
Razão e proporção
O escambo é a mais antiga prática comercial do mundo. Nela, as pesso-
as trocam um produto por outro considerando uma equivalência subjetiva
de valor. Assim, por exemplo, quando uma criança troca com o colega um
brinquedo caro por outro de menor valor, apenas por desejá-lo muito, está
praticando uma forma de escambo.
Algumas palavras que hoje nos são familiares são provenientes dessa prá-
tica. Apenas para registrar, podemos citar o termo capital (patrimônio) deri-
vado do latim capita, que significa cabeça, e a palavra salário, que provém da
utilização do sal, em Roma, como pagamento de serviços prestados.
Razão
A razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo.
Dessa forma, a razão entre os números a e b, nessa ordem, em que b é dife-
rente de zero, é o quociente,
a
b
O termo a é chamado de antecedente e o termo b é chamado de conse-
quente da razão.
Lê-se a razão a
b
como“a está para b”.
Proporção
Denomina-se proporção a igualdade entre duas ou mais razões.
A igualdade
a
b
=
c
d
é uma proporção. Os termos a e d são os extremos, enquanto os termos b
e c são os meios da proporção.

26
Propriedades de uma proporção
As propriedades destacadas a seguir são verificadas em qualquer proporção.
1.ª Propriedade
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios:
a
b
=
c
d
⇒ a . d = b . c
2.ª Propriedade
Em toda proporção, a razão não se altera quando se adicionam (ou se
subtraem), na mesma ordem, os antecedentes e os consequentes correspon-
dentes.
a
b
=
c
d
=
a + c
b + d
ou
a
b
=
c
d
=
a – c
b – d
Regra de três
Regra de três simples
A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas
que envolvem duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Esse
processo consiste dos seguintes passos:
reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma
unidade de medida;
analisar as grandezas e classificá-las como diretamente ou inversa-
mente proporcionais;
obter a proporção correspondente e solucioná-la.
Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são classificadas como diretamente proporcionais
quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas, a outra aumenta (ou di-
minui) na mesma proporção.

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Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são classificadas como inversamente proporcionais
quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas, a outra diminui (ou au-
menta) na proporção inversa.
Exemplo 1:
Se 10m de tecido custam R$ 600,00, qual o preço de 25m de tecido?
Tecido Custo
10 m 600
25 m x
As grandezas são diretamente proporcionais, logo:
10
25
=
600
x
10x = 25 . 600
x = 1 500
Portanto, o custo de 25m de tecido seria R$1.500,00.
Exemplo 2:
Uma obra é construída por 12 operários em 90 dias. Em quantos dias essa
obra será construída por 36 operários?
Operários Tempo
12 90 dias
36 x
As grandezas são inversamente proporcionais, ou seja:
36
12
=
90
x
36x = 12 . 90
x = 30
Assim, a obra será construída em 30 dias.

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Regra de três composta
A regra de três composta é um processo prático utilizado na resolução de
problemas que envolvem mais de duas grandezas, inversa ou diretamente
proporcionais. Esse processo consiste nos seguintes passos:
reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma
unidade de medida;
analisar as grandezas duas a duas, em relação à que possui a incógnita,
a fim de verificar se são direta ou inversamente proporcionais;
obter a proporção correspondente e solucioná-la.
Exemplo:
Uma casa é construída em 12 dias por 40 operários que trabalham 9 horas
por dia. Em quantos dias 24 operários, trabalhando 5 horas por dia, poderão
construir a mesma casa?
Dias Operários Horas
12 40 9
x 24 5
12
x
=
24
40
. 5
9
12
x
=
120
360
120x = 4 320
x = 36
Assim, serão necessários 36 dias.
Porcentagem
Razão centesimal
As razões cujos consequentes são iguais a 100 são chamadas razões
centesimais.

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Porcentagem
Porcentagem ou percentagem é uma razão centesimal representada pelo
símbolo“%”, que significa por cento.
Exemplos:
37% =
37
100
= 0,37
100% =
100
100
= 1
119% =
119
100
= 1,19
Os números anteriores foram representados por meio de uma taxa por-
centual, uma razão centesimal e um número decimal, nessa ordem. Qualquer
uma dessas formas pode ser utilizada para representar uma porcentagem.
Observação:
Os problemas que envolvem porcentagem são resolvidos pelo mesmo
processo de regra de três simples, onde as grandezas são diretamente
proporcionais.
Exemplo:
Um objeto foi comprado por R$3.100,00 e revendido por R$3.472,00. De-
termine o percentual de lucro em relação ao custo.
R$ %
3.100 100
372 x
3 100
372
=
100
x
3 100x = 372 . 100
x = 12
Portanto, o percentual de lucro sobre o custo foi de 12%.

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Observação:
Para aumentar (ou diminuir) certa quantidade genérica x, sem utilizar ne-
cessariamente uma regra de três, basta multiplicar x por um fator de acordo
com o aumento (ou redução).
Exemplos:
Para aumentar x em 37%, basta multiplicar x por 1,37:
x + 37% . x = (1 + 0,37) . x = 1,37 . x → aumento de 37%.
Para reduzir x em 6%, basta multiplicar x por 0,94:
x – 6% . x = (1 – 0,06) . x = 0,94 . x → redução de 6%.
Dica de estudo
A primeira ideia que deve ser dominada quando estudamos regra de três
é identificar se duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcio-
nais. Uma vez dominado esse conceito, procure praticar resolvendo muitos
exercícios. Não apenas os problemas que envolvem números proporcionais,
mas, sobretudo, os relacionados à porcentagem serão resolvidos com mais
facilidade.
Resolução de questões
1. (FCC) Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade ope-
racional, são capazes de montar 100 aparelhos em 10 dias, se funciona-
rem ininterruptamente 10 horas por dia. Nessas condições, o número de
aparelhos que poderiam ser montados por 20 daquelas máquinas, em 20
dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento ininterrupto, é:
a) 100
b) 200
c) 400
d) 600
e) 800

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2. (FCC) Três analistas judiciários – Aurélio, Benício e Custódio – foram in-
cumbidos de implantar um sistema informatizado de processamento
de informações. Sabe-se que, individualmente, Aurélio levaria 3 horas
para cumprir tal tarefa, enquanto que, sozinho, Benício levaria 6 horas.
Então, considerando que, juntos, os três gastaram 1 hora e 30 minutos
para implantar o sistema, quantas horas Custódio, sozinho, levaria para
implantá-lo?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
3. (FCC) Das 96 pessoas que participaram de uma festa de confraternização
dos funcionários do Departamento Nacional de Obras Contra as Secas,
sabe-se que 75% eram do sexo masculino. Se, num dado momento an-
tes do término da festa, foi constatado que a porcentagem dos homens
havia se reduzido a 60% do total das pessoas presentes, enquanto que o
número de mulheres permaneceu inalterado, até o final da festa, então a
quantidade de homens que haviam se retirado era:
a) 36
b) 38
c) 40
d) 42
e) 44
4. (FCC) Um comerciante comprou 94 microcomputadores de um mesmo
tipo e, ao longo de um mês, vendeu todos eles. Pela venda de 80 desses
micros ele recebeu o que havia pago pelos 94 que havia comprado e cada
um dos 14 micro restantes foi vendido pelo mesmo preço de venda de
cada um dos outros 80 . Relativamente ao custo dos 94 micros, a porcen-
tagem de lucro do comerciante nessa transação foi de:

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a) 17,5%
b) 18,25%
c) 20%
d) 21,5%
e) 22%
5. (FCC) Um escritório dispõe de duas copiadoras A e B, tais que operando
sozinha, A é capaz de tirar n cópias de um texto em 8 horas de trabalho
ininterrupto e B tem 80% da capacidade operacional de A. Essas máquinas
foram acionadas simultaneamente num mesmo instante, a fim de tirar as
n cópias de tal texto e, após funcionarem juntas e ininterruptamente por
4 horas, foram desligadas. É correto afirmar que, ao serem desligadas,
a) o trabalho estava concluído.
b) haviam sido tiradas 4/5 das n cópias.
c) 20% das n cópias ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse
concluído.
d) haviam sido tiradas 3/8 das n cópias.
e) 10% das n cópias ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse
concluído.
6. (Esaf) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos
alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primei-
ro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A se-
guir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que
fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava
fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobri-
nha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso.
Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, vi-
sita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de
Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso
imediatamente anterior ao início dessa sequência de visitas, ficou:
a) exatamente igual.
b) 5% maior.

33
c) 5% menor.
d) 10% menor.
e) 10% maior.
7. (FCC) Na compra de um lote de certo tipo de camisa para vender em sua
loja, um comerciante conseguiu um desconto de 25% sobre o valor a ser
pago. Considere que:
se não tivesse recebido o desconto, o comerciante teria pago R$20,00
por camisa;
ao vender as camisas em sua loja, ele pretende dar ao cliente um des-
conto de 28% sobre o valor marcado na etiqueta e, ainda assim, obter
um lucro igual a 80% do preço de custo da camisa.
Nessas condições, o preço que deverá estar marcado na etiqueta é:
a) R$28,50
b) R$35,00
c) R$37,50
d) R$39,00
e) R$41,50
8. (Cesgranrio) Certa loja ofereceu, de 1 a 10 de fevereiro, 20% de desconto
em todas as mercadorias, em relação ao preço cobrado em janeiro. Pen-
sando em vender mais, o dono da loja resolveu aumentar o desconto e,
de 11 a 20 de fevereiro, este passou a ser de 30% em relação ao preço
de janeiro. Uma pessoa pagou, no dia 9 de fevereiro, R$72,00 por certa
mercadoria. Quanto ela pagaria, em reais, pela mesma mercadoria se a
compra fosse feita em 12 de fevereiro?
a) 27,00
b) 56,00
c) 61,20
d) 63,00
e) 64,80

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9. (Cesgranrio) João vendeu dois rádios por preços iguais. Um deles foi ven-
dido com lucro de 20% sobre o preço de custo e o outro com prejuízo
de 20% sobre o preço de custo. No total, em relação ao capital investido,
João:
a) lucrou 4%.
b) lucrou 2%.
c) perdeu 4%.
d) perdeu 2%.
e) não lucrou nem perdeu.
10. (Cesgranrio) Em um estado onde três candidatos concorreram ao cargo
de governador, as pesquisas realizadas antes do primeiro turno das elei-
ções apresentaram os resultados a seguir.
Intenção de voto – 1.º turno
Candidato A 32% 34% 38% 36% 35% 35%
Candidato B 24% 22% 25% 25% 26% 27%
Candidato C 14% 19% 21% 22% 26% 22%
Data 01/ago. 17/ago. 31/ago. 07/set. 21/set. 29/set.
Em brancos/nulos = 11%
Indecisos = 5%
Considerando-se que, na pesquisa de 29/set. foram entrevistadas 2 000
pessoas, quantas disseram que pretendiam votar no candidato B?
a) 700
b) 660
c) 540
d) 440
e) 350

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Referências
BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda.,
1996.
GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blu-
menau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.)
LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)
LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2001. v. 1.
LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.
TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.
Gabarito
1. Vamos organizar as informações em colunas de acordo com as diferentes
grandezas envolvidas:
Máquinas Aparelhos Dias Horas/dia
10 100 10 10
20 x 20 20
As grandezas aparelhos e máquinas são diretamente proporcionais, pois
ao aumentarmos a quantidade de máquinas teríamos, em correspondên-
cia, aumento no número de aparelhos. Logo, vamos indicar essa relação
direta por meio de duas flechas no mesmo sentido, sendo que o sentido
é arbitrário.
10 100 10 10
20 x 20 20
As grandezas aparelhos e dias são diretamente proporcionais, pois ao
aumentarmos a quantidade de dias teríamos, em correspondência, au-
mento no número de aparelhos. Assim, vamos indicar essa relação direta

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por meio de duas flechas no mesmo sentido, sentido esse já escolhido na
relação anterior.
10 100 10 10
20 x 20 20
As grandezas aparelhos e horas por dia são também diretamente propor-
cionais, pois ao aumentarmos a quantidade de horas por dia de trabalho
teríamos, em correspondência, aumento no número de aparelhos. Des-
sa forma, vamos indicar essa relação direta por meio de duas flechas no
mesmo sentido.
10 100 10 10
20 x 20 20
Com as relações já destacadas, vamos montar a proporção:

100
x
=
10
20
. 10
20
. 10
20

100
x
=
1
8
x = 800
Logo, 800 aparelhos seriam montados.
Resposta: E
2. Se Aurélio consegue sozinho implantar o sistema em 3 horas, então a
cada hora, 1/3 do sistema seria implantado. Benício consegue sozinho
implantar o sistema em 6 horas. Assim, a cada hora 1/6 do sistema se-
ria implantado. Vamos supor que Custódio consiga implantar sozinho o
sistema em x horas, ou seja, a cada hora ele conseguiria implantar 1/x
do sistema. Se os três juntos conseguiriam implantar o sistema em 1h e
30min, ou seja, 1,5h, então a cada hora os três conseguiriam implantar
1/1,5. Dessa forma, pode-se escrever:

37
1/3 + 1/6 + 1/x = 1/1,5
Multiplicando todos os termos por 6x, temos:
2x + 1x + 6 = 4x
4x – 3x = 6
x = 6
Logo, Custódio conseguiria sozinho implantar o sistema em exatamente
6 horas.
Resposta: C
3. Inicialmente 75% das 96 pessoas eram do sexo masculino, ou seja, 0,75.
96 = 72 pessoas. Logo, 96 – 72 = 24 eram do sexo feminino. Se em de-
terminado momento o percentual de pessoas do sexo masculino se re-
duziu a 60%, então 40% das pessoas eram do sexo feminino. Se a quan-
tidade de pessoas do sexo feminino se manteve inalterada durante a
festa, então as 24 pessoas do sexo feminino devem corresponder a 40%
das pessoas presentes no momento. Sendo P a quantidade de pessoas
após a saída de algumas pessoas do sexo masculino, então:
40% 24
100% P
40 . P = 100 . 24
40P = 2 400
P = 60
Assim, a quantidade total de pessoas era igual a 60.
Logo, 96 – 60 = 36 pessoas do sexo masculino haviam se retirado.
Resposta: A
4. Se os 80 microcomputadores foram vendidos pelo mesmo preço dos 94,
então o ganho foi de 94 – 80 = 14 computadores em relação aos 80 com-
putadores, ou seja:
80 100%
14 x

38
80x = 14 . 100
x = 1 400/80
x = 17,5
Logo, 17,5% foi a porcentagem de lucro.
Resposta: A
5. Se a copiadora A sozinha realiza o trabalho em 8 horas, então em 4 horas
exatamente 4/8 do trabalho haviam sido realizados, ou seja, 50%.
A copiadora B tem 80% da capacidade operacional de A. Logo, nessas
mesmas 4 horas, B realizou 80% do trabalho de A, ou seja, 0,80. 50% =
40%.
Portanto, ambas as copiadoras realizaram em 4 horas exatamente 50% +
40% = 90% do trabalho a ser realizado, de modo que 10% das n cópias
ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse concluído.
Resposta: E
6. Seja P o peso inicial de Alice. Então se ela:
ganha 20% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por
(1 + 0,20) = 1,20;
perde 20% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por
(1 – 0,20) = 0,80;
perde 25% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por
(1 – 0,25) = 0,75;
ganha 25% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por
(1 + 0,25)= 1,25.
Assim, se ela iniciou com peso P, ganhou 20%, perdeu 20%, perdeu 25% e,
finalmente, ganhou 25%, nessa ordem, então o peso final dela é igual a:
P . 1,20 . 0,80 . 0,75 . 1,25 = 0,90 . P
Assim, como 1P – 0,90P = 0,10P, conclui-se que o peso final é 10% menor
do que o inicial.
Resposta: D

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7. Se o comerciante teria pago R$20,00 por camisa, sem desconto, então
com o desconto de 25% o preço pago por camisa deve ser igual a:
(1 – 0,25) . 20 = 0,75 . 20 = 15 reais
Se o lucro deve ser de 80% do preço de custo, então o valor de venda
deveria ser igual a:
15 . (1 + 0,80) = 15 . 1,80 = 27 reais
Entretanto, como ele ainda gostaria de dar um desconto de 28% sobre o
preço da etiqueta, então o preço de etiqueta deve ser X tal que:
X . (1 – 0,28) = 27
X . 0,72 = 27
X = 27/0,72
X = 37,50
Resposta: C
8. O valor pago igual a R$72 foi obtido após desconto de 20%. Assim, o valor
sem desconto, representado por A, é igual a:
A . (1 – 0,20) = 72
0,80 . A = 72
A = 72/0,80
A = 90
Se a compra fosse efetuada dia 12 de fevereiro, o desconto seria igual
a 30% sobre 90 reais. Logo, o valor da compra com o desconto de 30%,
representado por B, é igual a:
B = 90 . (1 – 0,30)
B = 90 . 0,70
B = 63
Assim, essa pessoa pagaria R$63.
Resposta: D

40
9. Vamos supor que João tenha gasto cem reais em cada rádio. Se um deles
foi vendido com um lucro de 20% sobre o preço de custo, então foi vendi-
do por:
(1 + 0,20) . 100 = 120 reais
Se o outro foi vendido com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo,
então foi vendido por:
(1 – 0,20) . 100 = 80 reais
O total arrecadado com os dois rádios foi 120 + 80 = 200, mesmo valor
desembolsado para a compra dos dois rádios. Logo, João não lucrou nem
perdeu.
Resposta: E
10. O candidato B, na pesquisa de 29/set., apresentou 27% das intenções de
voto em um universo de 2 000 eleitores. Logo, a quantidade de pessoas
que disseram votar em B é dada por:
0,27 . 2 000 = 540
Resposta: C

03 números proporcionais

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