O documento discute números proporcionais e divisão proporcional, fornecendo exemplos de cada tipo. Explica que números são diretamente proporcionais quando a razão entre eles é constante, e inversamente proporcionais quando o produto entre eles é constante. Também descreve seis tipos de divisão proporcional e resolve exemplos ilustrando cada um.

1. Prof.: Joaquim Rodrigues
1
NÚMEROS PROPORCIONAIS
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas sucessões de números são denominadas diretamente proporcionais ou, apenas,
proporcionais, quando a razão entre um número qualquer da primeira e seu correspon-
dente na segunda é constante.
Sejam as sucessões: (3, 5, 8, 11) e (9, 15, 24, 33)
Observe que:
3
1
33
11
24
8
15
5
9
3
====
O valor comum das razões 





=
3
1
k é denominado fator ou coeficiente de proporciona-
lidade.
NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas sucessões são denominadas inversamente proporcionais, quando o produto de
dois termos correspondentes é constante.
Sejam as sucessões: (30, 25, 20, 15) e (10, 12, 15, 20)
Observe que: 3002015152012251030 =×=×=×=×
Esses produtos também podem ser escritos na forma:
20
1
15
15
1
20
12
1
25
10
1
30
===
Assim, podemos dizer que duas sucessões são inversamente proporcionais, quando os
termos da primeira são diretamente proporcionais aos inversos dos termos da segunda.
DIVISÃO PROPORCIONAL
A divisão proporcional, como o próprio nome indica, tem por finalidade dividir
um número, ou uma quantia, em partes que sejam proporcionais a outros números da-
dos. São vários os tipos de divisão proporcional, os mais usados são:
1. Direta
2. Inversa
3. Direta x direta
4. Inversa x inversa
5. Direta x inversa
6. Inversa x direta

2. Prof.: Joaquim Rodrigues
2
Exemplos:
1. Dividir o número 180 diretamente proporcional aos números 2, 3 e 4.
Resolução
vamos chamar os números de a, b e c
se eles estão diretamente proporcionais a 2, 3 e 4, então temos
k
cba
===
432
(observe que tomamos uma constante k de proporcionalidade)
logo:
k
a
=
2
, k
b
=
3
e k
c
=
4
de onde podemos tirar:
kak
a
2
2
=⇒=
kbk
b
3
3
=⇒=
kck
c
4
4
=⇒=
também sabemos que a soma das partes resulta no todo, assim:
180=++ cba
Substituindo 201809180432 =⇒=⇒=++ kkkkk
agora que já sabemos o valor da constante k, é só substituir nos valores de a, b e c
402022 =⇒⋅=⇒= aaka
602033 =⇒⋅=⇒= bbkb
802044 =⇒⋅=⇒= cckc
2. Dividir o número 200 em partes proporcionais a 2, 3 e 5.
Resolução
quando o problema não mencionar se é diretamente ou inversamente fica subenten-
dido que é diretamente proporcional
k
cba
===
532
logo: k
a
=
2
, k
b
=
3
e k
c
=
4
de onde podemos tirar:
kak
a
2
2
=⇒= kbk
b
3
3
=⇒= kck
c
4
4
=⇒=
como a soma das partes resulta no todo, temos:
180=++ cba
Substituindo 201809180432 =⇒=⇒=++ kkkkk
agora que já sabemos o valor da constante k, é só substituir nos valores de a, b e c
402022 =⇒⋅=⇒= aaka
602033 =⇒⋅=⇒= bbkb
802044 =⇒⋅=⇒= cckc

3. Prof.: Joaquim Rodrigues
3
3. Dividir o número 80 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
Resolução
devemos dividir o número 80 em duas partes e inversamente proporcionais a 2 e 3
o inverso de 2 é
2
1
e o inverso de 3 é
3
1
, logo
k
ba
==
3
1
2
1
de onde teremos
22
1
2
1
k
akak
a
=⇒⋅=⇒=
33
1
3
1
k
bkbk
b
=⇒⋅=⇒=
e a soma das partes é igual ao todo 80=+ ba
80
32
=+
kk
(tirando o mmc dos dois lados da igualdade, temos que mmc = 6)
96480568023 =⇒=⇒⋅=+ kkkk
Substituindo em a e b, temos
48
2
96
2
=⇒== a
k
a e 32
3
96
3
=⇒== b
k
b
4. Dividir o número 360 diretamente proporcional a
3
2
e
4
3
e inversamente proporcio-
nal a
3
5
e
2
3
ao mesmo tempo.
Resolução
devemos multiplicar a parte direta pela parte inversa, nessa ordem
5
2
5
3
3
2
=⋅ e
2
1
3
2
4
3
=⋅
agora, trabalhamos os valores na ordem direta
k
ba
==
2
1
5
2 5
2
5
2
k
ak
a
=⇒= e
2
2
1
k
bk
b
=⇒=
360
25
2
360 =+⇒=+
kk
ba (mmc = 10) 1036054 ⋅=+ kk
400600.39 =⇒= kk
160
5
800
5
4002
5
2
=⇒=
⋅
=⇒= aa
k
a
200
2
400
2
=⇒=⇒= bb
k
b