Ipaee capitulo 3_slides_3

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010

CAPÍTULO 3

INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE
E A INFERÊNCIA ESTATÍSTICA


OBSERVAÇÕES
AMOSTRAGEM ANÁLISE DESCRITIVA

PLANEJAMENTO DE E EXPLORATÓRIA DE

EXPERIMENTOS DADOS

PROBLEMA: VERIFICAÇÃO DAS
FORMULAÇÃO DE
HIPÓTESES HIPÓTESES
FORMULADAS

INFERÊNCIA
DESENVOLVIMENTO ESTATÍSTICA
DE NOVAS TEORIAS


INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
PONTUAL

ESTIMAÇÃO

DUAS GRANDES INTERVALAR
ÁREAS
TESTE DE
HIPÓTESES


TESTE DE HIPÓTESES:

Problemas em engenharia (e nas demais áreas do
conhecimento) exigem uma tomada de decisão entre
aceitar ou rejeitar uma afirmação a cerca de uma
característica populacional. A afirmação a ser investigada é
denominada de hipótese e o procedimento de tomada de
decisão sobre a hipótese é o que denominamos de teste de
hipótese.


EXEMPLO:
Suponha que estamos interessados na taxa de queima de um
propelente sólido, usado para fornecer energia aos sistemas de
escapamento de aeronaves. A taxa de queima é uma variável
aleatória que pode ser descrita por um modelo de
probabilidade. O interesse no problema consiste em verificar
se a taxa média de queima (parâmetro do modelo de
probabilidade) é ou não equivalente a 50 cm/s.



Um teste de HIPÓTESTES (ou de significância) é um
procedimento formal para comparar dados observados com
uma hipótese, cuja veracidade procura-se avaliar. A hipótese
constitui-se em uma afirmação que se faz sobre os parâmetros
de uma população ou de um modelo. Os resultados de um
teste são expressos em termos de uma probabilidade que
mede quão bem os dados e a hipótese concordam entre si


TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES

Definição 1:
Em estatística, uma hipótese, é uma afirmativa sobre uma
propriedade da população, ou ainda, uma afirmação sobre os
parâmetros de uma ou mais populações.

Definição 2:
Um teste de hipótese (ou teste de significâncias), é um
procedimento para se verificar a veracidade ou não de uma
hipótese estatística.



Consideremos o exemplo da taxa de queima de um propeleno sólido,
acima apresentado. Nesse problema a tomada de decisão significa
concluir por uma das duas seguintes alternativas.

H0 : A taxa média de queima do propeleno sólido é 50 cm/s.
H1 : A taxa média de queima do propeleno sólido não é 50 cm/s.



Sob ponto de vista estatístico, considerando que µ representa a taxa
média de queima populacional, as hipóteses acima são definidas
como.
H0 : µ = 50 cm/s
H1 : µ ≠ 50 cm/s
A Hipótese H0 é chamada de hipótese nula enquanto que a
hipótese H1 é chamada de hipótese alternativa.



Definição 4:
A Hipótese Alternativa é a afirmativa de que o parâmetro populacional tem
um valor que, de alguma forma, difere da hipótese nula.
No exemplo, temos que a hipótese alternativa especifica valores de µ que
podem ser maiores ou menores que 50 cm/s, nessa situação dizemos que a
hipótese alternativa é bilateral.
Em determinadas situações, podemos desejar formular uma hipótese
unilateral, ou seja verificar se o valor de µ é especificamente maior ou
menor que o valor definido pela hipótese nula.

H0 : µ = 50 cm/s H0 : µ = 50 cm/s H0 : µ = 50 cm/s
H1 : µ ≠ 50 cm/s H1 : µ > 50 cm/s H1 : µ < 50 cm/s



A partir de um teste de hipóteses verificamos se os dados provenientes da
amostra são consistentes com a hipótese em estudo. A medida que os
dados forem consistentes com a hipótese, concluiremos que a hipótese é
verdadeira; no entanto se essa informação for inconsistente com a
hipótese, concluiremos que a hipótese é falsa. Destacamos que a
veracidade ou falsidade de uma hipótese específica nunca pode ser
conhecida com certeza, exceto se toda população fosse observada, o que é
usualmente impossível na prática.



A estrutura de problemas de testes de hipóteses será idêntica em todas as
aplicações que iremos considerar.
1. A hipótese nula é aquela que se deseja testar.
2. A rejeição dessa hipótese leva a aceitação da hipótese alternativa.
3. Testar a hipótese envolve considerar uma amostra aleatória, calcular
uma estatística de teste a partir dos dados amostrais e, então a partir
da estatística de teste tomar uma decisão com respeito à hipótese
nula.



Definição 5:
Uma estatística de teste é um valor calculado a partir dos dados
amostrais e é usada para tomar a decisão sobre a rejeição ou não da
hipótese nula. Para isso, faz-se necessário a comparação da
estatística com um valor de referência a fim de ser possível a
tomada de decisão de rejeição ou não da hipótese.



Com o objetivo de ilustrar as definições e conceitos acima,
considere o problema da taxa de queima do propelente, introduzido
anteriormente. A hipótese nula é a taxa média de queima ser 50
cm/s; a alternativa é: essa taxa não é igual a 50 cm/s. Ou seja,
desejamos testar
H0 : µ = 50 cm/s
H1 : µ ≠ 50 cm/s



Suponha que uma amostra de n = 10 espécimes seja testada .
A média amostral é uma estimativa da média verdadeira µ da
população.
Um valor da média amostral que caia próximo ao valor da hipótese
de µ = 50 cm/s é uma evidência de que a média verdadeira µ é
realmente 50 cm/s.
Por outro lado, uma média amostral que seja consideravelmente
diferente de 50 cm/s evidencia de que a hipótese alternativa H1 é
válida.
Assim, a média amostral é a estatística de teste nesse caso.



A média amostral pode assumir muitos valores.
Suponha que se 48,5 < < 51,5, não rejeitaremos a hipótese nula
Ho: µ = 50.
Se < 48,5 ou > 51,5, rejeitaremos a hipótese nula em favor da
hipótese alternativa H1: µ ≠ 50.

Região Crítica 1 Região de não Rejeição de Ho Região Crítica 2



A região de não rejeição de Ho por convenção,
geralmente é chamada de região de aceitação. O limite entre as
regiões crítica e a região de aceitação é chamada de valores
críticos. Em nosso exemplo, os valores críticos são 48,5 e 51,5.
É comum estabelecer conclusões relativas a hipótese
nula Ho. Logo, rejeitaremos Ho em favor de H1 se a estatística
de teste cair na região crítica e deixamos de rejeitar H0 caso
contrário.



Definição 6: Região crítica é definida pelo conjunto de valores para
os quais a hipótese H0 é rejeitada.

Definição 7: Valor (ES) crítico (s) valor a partir do(s) qual(is) a
hipótese H0 é rejeitada, ou seja, valores limites da região crítica.



O procedimento de decisão acima estabelecido pode conduzir a uma
de duas conclusões erradas.
Por exemplo, a verdadeira taxa média de queima do propelente
poderia ser igual a 50 cm/s.
Entretanto, para os espécimes de propelente selecionados
aleatoriamente que são testados, poderíamos observar um valor da
estatística de teste dentro na região crítica.
Rejeitaríamos então a hipótese nula Ho em favor da alternativa H1
quando, de fato, Ho seria realmente verdadeira.



Definição 8:

O erro tipo I é definido quando rejeitamos a hipótese Ho,
quando ela é de fato verdadeira.



Agora, a verdadeira taxa média de queima do propelente é
diferentes de 50 cm/s.
Para os espécimes de propelente selecionados aleatoriamente
que são testados, poderíamos observar um valor de estatística
de teste dentro da região de aceitação.
Nesse caso, não rejeitaríamos H0, isto é, falharíamos em
rejeitar H0 quando ela de fato não é verdadeira.



Definição 9:

O erro tipo II é definido quando não rejeitamos a hipótese Ho,
quando ela é de fato falsa.



RESUMO:

D EC I SÃO BA SEA DA S ITUAÇÃO N A POPULAÇ ÃO

N A A MOSTRA H0 Verdadeira H0 Falsa

Não rejeitar H0 Decisão correta Erro Tipo II

Erro Tipo I Decisão correta
Rejeitar H0



A probabilidade de cometer o erro tipo I é, usualmente
denotada pela letra grega .

= P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 quando H0 é verdadeira)

Para alguns autores, a probabilidade do erro tipo I é chamada
de nível de significância ou tamanho do teste.



No exemplo:
O erro tipo I ocorrerá quando > 51,5 ou para a taxa
média de queima do propelente µ = 50 cm/s

= P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 quando H0 é verdadeira)

P X 48 | 50 P X 51 , 5 | 50

Suponha que o desvio-padrão da taxa de queima seja = 2,5
cm/s



P X 48 | 50 P X 51 , 5 | 50



Isso significa que 5,76% de todas as amostras aleatórias conduziriam
a rejeição da hipótese H0: µ = 50 cm/s, quando a verdadeira taxa
média de queima fosse realmente 50 cm/s.

Questões:
1. O valor desta probabilidade pode ser considerado adequado?
2. Este procedimento pode ser utilizado sem maiores riscos?



COMO REDUZIR ?
Aumentando a região de Aumentando o tamanho da
aceitação. Por exemplo, se amostra. Se n=16:
considerarmos os valores
críticos 48 e 52, o valor de
será:



D EC I SÃO BA SEA DA S ITUAÇÃO N A POPULAÇ ÃO

N A A MOSTRA H0 Verdadeira H0 Falsa

Não rejeitar H0 Decisão correta Erro Tipo II

Erro Tipo I Decisão correta
Rejeitar H0

Na avaliação de um procedimento de teste de hipóteses
também é importante examinar a probabilidade de um erro
tipo II.



Seja:
β= P(erro tipo II)
= P(não rejeitar Ho quando Ho é de fato falsa)

Importante:
O procedimento para cálculo de β é análogo ao cálculo de , exceto
que nesse caso faz-se necessário fixar diferentes valores de µ fora da
região crítica pré-estabelecida, considerando que a média amostral
ocorre dentro da região de não rejeição



Exemplo:
Podemos calcular β considerando µ=52. Nesse caso teríamos:



Valores de e β, calculados para diferentes regiões de
aceitação, com diferentes tamanhos de amostra são
apresentados na tabela:

Região não Tamanho da = Erro tipo β=Erro tipo II β=Erro tipo II
Rejeição Amostra I µ=52 µ=50.5
10 0.0576 0.2643 0.8923
10 0.0114 0.5000 0.9705
16 0.0164 0.2119 0.9445
16 0.0014 0.5000 0.9918



Importante:
1. O tamanho da região crítica, e conseqüentemente a
probabilidade do erro tipo I, , pode sempre ser reduzido através
da seleção apropriada dos valores críticos;
2. Os erros tipo I e tipo II estão relacionados. Uma diminuição na
probabilidade de um tipo de erro sempre resulta em um
aumento da probabilidade do outro, desde que o tamanho da
amostra n não varie;
3. Um aumento no tamanho da amostra reduzirá, geralmente, e
β, desde que os valores críticos sejam mantidos constantes;
4. Quando a hipótese nula é falsa, β aumenta à medida que o valor
do parâmetro se aproxima do valor usado na hipótese nula. O
valor de β diminui à medida que aumenta a diferença entre a
média verdadeira e o valor utilizado na hipótese.



Procedimento Usual:

Fixa-se a probabilidade a do erro tipo I determinado-se os valores
críticos.
Desta forma o analista estabelecer a probabilidade de erro tipo I em
(ou perto de) qualquer valor desejado. Uma vez que o analista pode
controlar diretamente a probabilidade de rejeitar erroneamente Ho,
sempre pensamos na rejeição da hipótese nula Ho como uma
conclusão forte.



Por outro lado, a probabilidade β do erro tipo II não é constante, mas
depende do valor verdadeiro do parâmetro. Ela depende também do
tamanho da amostra que tenhamos selecionado. Pelo fato de a
probabilidade β do erro tipo II ser uma função do tamanho da amostra
e da extensão com que a hipótese nula Ho é falsa, costumam-se
pensar na aceitação de Ho como uma conclusão fraca, a menos que
saibamos que β seja aceitavelmente pequena.



Conseqüentemente, em vez de dizer "aceitamos Ho", preferimos a
terminologia "falhamos em rejeitar Ho". Falhar em rejeitar H0, implica
que não encontramos evidência suficiente para rejeitar Ho, ou seja,
para fazer uma afirmação forte. Falhar em rejeitar H0, não significa
necessariamente que haja uma alta probabilidade de que Ho seja
verdadeira (isso pode significar simplesmente que mais dados são
requeridos para atingir uma conclusão forte.



Definição 10:
O Poder de um teste estatístico é a probabilidade de rejeitar a
hipótese nula H0, quando a hipótese alternativa é verdadeira.

O poder do teste é calculado como 1 - β e pode ser interpretada
como a probabilidade de rejeitar corretamente uma hipótese
nula falsa.



Por exemplo, considere o problema da taxa de queima de
propelente, quando estamos testando

Ho: µ = 50 cm/s contra H1: µ ≠ 50 cm/s.

Suponha que o valor verdadeiro da média seja µ = 52. Quando
n = 10, encontramos que β = 0,2643; assim, o poder deste teste
é 1 - β ~ 1 - 0,2643 = 0.7357.



SITUAÇÃO IDEAL:

Minimizar

Maximizar 1 -


PROCEDIMENTO GERAL PARA UM TESTE DE HIPÓTESES:

PROCEDIMENTO PADRÃO:
1. Estabelecer as hipóteses nula (H0) e alternativa (H1) de interesse
no problema;
2. Escolha um nível de significância (Probabilidade de erro tipo I)
para o problema;
3. Identifique a estatística apropriada às hipóteses estabelecidas
inicialmente;
4. Definir a forma da região crítica, ou seja, valores para os quais a
hipótese nula é rejeitada;
5. Calcule, a partir dos dados amostrais, o valor da estatística de
teste;
6. Decidir se H0 deve ser rejeitada ou não, ou seja, verificar se a
estatística de teste acima calculada pertence ou não a região
critica.


PROCEDIMENTO GERAL PARA UM TESTE DE HIPÓTESES:

PROCEDIMENTO ALTERNATIVO: USO DO VALOR “P” (P-VALUE)
no problema;
para o problema;
inicialmente;
teste e o seu respectivo valor p;
6. Decidir se H0 deve ser rejeitada ou não, ou seja, verificar se o
valor p é menor ou maior que o nível de significância . Se:
7. Valor p < rejeitar H0 Valor p > não rejeitar H0


TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:

PROBLEMA:
Uma máquina produz peças cujo controle de qualidade é
realizado com base no diâmetro da peça. Para a peça ser
considerada sob controle o diâmetro da mesma deve ser igual a

0.

QUESTÃO:
Como verificar se a produção diária da peça pode ser considerada
sob controle ou não?



CONDIÇÃO INICIAL:
Observar uma amostra aleatória de n peças da produção diária
registrando-se o valor do diâmetro de cada uma.
ETAPAS:
no problema;
Hipótese Nula: A produção diária de peças está sob controle.
Sob ponto de vista estatístico: O diâmetro médio das peças é igual a 0.

Possíveis Alternativas:
i) H1 : o ( o diâmetro médio é diferente de o – teste bilateral)
ii) H1 : > o (o diâmetro médio é maior que o – teste unilateral)
iii) H1 : < o (o diâmetro médio é menor que o – teste unilateral)


para o problema;

= (Probabilidade de erro tipo I) = probabilidade de rejeitar H0 , quando na
verdade ela é verdadeira. Valores Usuais = 1%, 5%, 10%

inicialmente;

Ho : = o




Ho : = o

Distribuição de Referência

Estatística de Teste



teste;

6. Decidir se H0 deve ser rejeitada ou não, ou seja, verificar se a
estatística de teste acima calculada pertence ou não a região
critica.



EXEMPLO 1:
Num determinado estudo foram examinadas 16 plantas de um
certo tipo, encontrando-se o seguinte conteúdo de ácido
ascórbico: 9.35; 8.68; 8.65; 11.68; 10.29; 12.77; 10.99; 8.81;
10.76; 9.52; 10.55; 12.61; 10.43; 9.87; 12.04; 9.82. Estudos
científicos mostram que o conteúdo de acido ascórbico deve
ser superior a 10 em plantas deste tipo. Com base na amostra
acima o que podemos afirmar em relação a estas plantas?



HIPÓTESES:
O conteúdo de acido ascórbico é superior a 10 em plantas deste
tipo

Teste
unilateral



DADOS DA AMOSTRA:
n = 16 Média Amostral= 10.426 Desvio Padrão Amostra: 1.3226

NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA: 5%

ESTATÍSTICA DO TESTE:


VALOR CRÍTICO:

1.29

CONCLUSÃO:
O valor de t calculado é 1,29
e o valor crítico de t para 15
g.l. e 0,05, conforme tabela
apresentada é 1,753, logo...



VALOR CRÍTICO: ALTERNATIVA : VALOR P
ESTATÍSTICA DO TESTE:
REGIÃO CRITICA:
0,14

0,12

HIPÓTESES: 0,1

0,08

0,06

0,04

0,02

Aceita H0 Rejeita H0
0
0 - 5 10
0
15 + 20

tc=1.29



COMO UTILIZAR O VALOR P:

Assim rejeita-se H0 se:

i) p-valor <
ii) (p-valor)/2 <

Aceita H0 Rejeita H0 Vantagem: Não é necessário o
- 5 10 15 + 20
0 conhecimento do valor de referência
tn-1; /2, tn-1; ou - tn-1; .
tc=1.29


VALOR CRÍTICO: ALTERNATIVA : VALOR P 1,074< t = 1,29 < 1,341
Desta forma
0.10 < p < 0.15



Para rejeitarmos Ho o nível de
1,074< t = 1,29 < 1,341
Desta forma significância deveria ser maior
0.10 < p < 0.15
que 10%, portanto……


Vantagem: Não é necessário o conhecimento do valor de
referência tn-1; /2, tn-1; ou - tn-1; .

Todo software que calcula a estatística do teste apresenta o respectivo valor p

CUIDADO:
Verifique como é calculado o p-valor no software que você
esta utilizando!!!!

P-Valor para Teste Bilateral ou P-Valor para Teste Unilateral??



EXEMPLO 2:
Um estudo foi conduzido com o objetivo de analisar
concentrações de oxigênio dissolvido em correntes de 20
barragens no Vale do Tennessee. Deseja-se averiguar se a
concentração média de oxigênio dissolvido difere de 4
miligramas por litro ao nível de significância de 1%. As
observações em miligramas por litro são: 5 ; 3,4; 3,9;1,3; 0,2; 0,9;
2,7; 3,7; 3,8; 4,1; 1,0; 1,0; 0,8; 0,4; 3,8; 4,5; 5,3; 6,1; 6,9 e 6,5 .



O parâmetro de interesse é a concentração média de oxigênio dissolvido .

Ho : =4 Estatística de Teste:
Hipóteses de interesse:
H1 : ≠4

Região crítica

-2,861 2,861

Rejeita-se H0 se tc< t0,005,19=-2,861 ou tc> t0,005,19 =2,861



Dados do problema:
2 2
média da amostra ; x 3 , 265 variância da amostra ;s ( 2 ,127 )

( 3 , 265 4)
Estatística de Teste Tc 2 ,127
1, 55
20

Uma vez que t0= -1,55 > -2,861, não
rejeitamos H0, ao nível de significância de
1%, e concluímos, com base nesta
-2,861 2,861
amostra, que a concentração média de
oxigênio dissolvido em barragens no Vale
do Tennessee não difere de 4
miligramas/litro.



Valor P (P-VALUE)

Valores críticos 0,257 0,688 1,328 1,729 2,093
Área da extremidade 0,40 0,25 0,10 0,05 0,025

Note que o valor |t0|=1,55 está entre os seguinte valores tabelados:
1,328 e 1,729. Deste modo, os limitantes inferior e superior para o
valor P seriam 0,10=2(0,05) e 0,20=2(0,10). Assim, esta hipótese só
seria rejeitada para qualquer 0,10 < Valor P < 0,20 < α. Desta forma não
rejeitamos H0 e concluímos, com base nesta amostra, que a
concentração média de oxigênio dissolvido em barragens no Vale do
Tennessee não difere de 4 miligramas/litro.


UMA SEGUNDA HIPÓTESE DE INTERESSE:
Medida Posição Teste para Média

Medida Dispersão Teste para Variância

Comportamento da
Variabilidade da Variável
de Interesse


HIPÓTESES:


TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA VARIÂNCIA

ESTATÍSTICA DE TESTE:

Distribuição de
Estatística de Referência
Teste “Valor Critico”

Valor da
Amostra


REJEITA-SE HO SE:



VALOR P

2
r 1

P-valor

0 X c r ít +



EXEMPLO 3
Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um
produto é controlar a sua variabilidade. Uma máquina de encher
pacotes de açúcar está regulada para enchê-los com média de 500g
e desvio padrão de 10g. O peso de cada pacote X segue uma
distribuição N(μ, σ2). Colheu-se uma amostra de 16 pacotes e
observou-se uma variância de S2=169g2 . Com esse resultado, você
diria que a máquina está desregulada com relação variabilidade?


EXEMPLO 3

HIPÓTESES
Ho : 2 = 100 vs
H1 : 2 > 100 vs


Fixado α=5% rejeitaremos Ho se:


CASO DE DOIS TRATAMENTOS:

OBJETIVO:

Comparar a eficiência de dois diferentes
tratamentos (grupos, populações) com
respeito a uma medida de interesse.



TIPOS DE ESTUDO:
Amostras Independentes
Principio:
Completamente Aleatorizado
Forma como são atribuídos os
tratamentos as unidades
Amostras Pareadas
experimentais.
Restrição na Aleatorização



AMOSTRAS INDEPENDENTES:
Tratamentos atribuídos de forma completamente aleatorizada as u.e.

a 1 -a 2 -a 3 -a 4 -a 5 -a 6 -a 7 -a 8 -a 9 -a 1 0

S o rte io A le a tó rio

a 1 -a 3 -a 6 -a 7 -a 1 0 a 2 -a 4 -a 5 -a 8 -a 9


TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:

PROBLEMA:

Dois diferentes métodos são submetidos aleatoriamente a
um grupo de unidades experimentais.

HIPÓTESE:

Unidades experimentais são completamente homogêneas para
fins do presente estudo!



HIPÓTESE CIENTÍFICA:
Qual dos métodos é mais eficiente?
Especificamente: B é mais eficiente que A?

HIPÓTESE ESTATÍSTICA:



CONSIDEREMOS:
Tratamentos
Estatísticas
A B
amostra ni 8 8
média y 5.0 7.0
variância S2 4.0 1.71

Média de B é 40% superior à de A.

Podemos concluir que B é mais eficiente que A??



ANÁLISE ESTATÍSTICA:
Sob as condições anteriores:

Comparação de Médias de
duas populações normais



DUAS DIFERENTES SITUAÇÕES:

VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS:

VARIÂNCIAS CONHECIDAS:


TESTE PARA IGUALDADE DE VARIÂNCIAS

HIPÓTESES:

ESTATÍSTICA DE TESTE

NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA
DISTRIBUIÇÃO DE REFERÊNCIA

REGIÃO CRÍTICA REGRA DE DECISÃO


TESTE PARA IGUALDADE DE VARIÂNCIAS: VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS

BÁSICO:

Suponha que temos duas amostras aleatórias independentes,
de tamanhos nA e nB, selecionadas de duas populações normais
com a mesma variância 2. Indiquemos os estimadores de 2

obtidos das amostras por e, respectivamente



HIPÓTESES:




nB-1
FnB-1, nA-1
nA-1

Distribuição de
Estatística Referência



DISTRIBUIÇÃO F:

1. É assimétrica;
2. Valores da distribuição F são positivos;
3. As distribuições F são umas famílias de distribuições com dois
parâmetros. Os parâmetros são os números de graus de liberdade das
variâncias amostrais no numerador e denominador da estatística F.



REGRA DE DECISÃO:



RETORNANDO AO EXEMPLO INICIAL:
Tratamentos
Estatísticas
A B
amostra ni 8 8
média y 5.0 7.0

Na Estatística de Teste Fc fez-se a razão da
maior variância pela menor variância



Tratamentos
Estatísticas
A B
amostra ni 8 8
média y 5.0 7.0

Não rejeitamos H0, isto,
podemos considerar que as
variâncias dos diferentes
grupos são iguais.



VARIÂNCIAS IGUAIS E DESCONHECIDAS:



HIPÓTESES:

ESTATÍSTICA DE TESTE

NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA
DISTRIBUIÇÃO DE REFERÊNCIA

REGIÃO CRÍTICA REGRA DE DECISÃO



HIPÓTESES:



ESTATÍSTICA DE TESTE: VARIÂNCIAS IGUAIS E DESCONHECIDAS:

N (0,1) n1+n2-2

t n1+n2-2


DECISÃO: REJEITA-SE H0 SE:
VARIÂNCIAS IGUAIS E DESCONHECIDAS:



Tratamentos
Estatísticas
A B
amostra ni 8 8
média y 5.0 7.0

Variância Combinada:



Tratamentos
Estatísticas
A B
amostra ni 8 8
média y 5.0 7.0

Estatística de Teste:




P-VALOR p valor P t14 2 . 368 0 . 0164

CONCLUSÃO:

Portanto rejeitamos H0, isto é
concluímos que o tratamento B é
mais eficiente que o tratamento A.



VARIÂNCIAS DIFERENTES E DESCONHECIDAS:

Qual a distribuição de referência?



VARIÂNCIAS DIFERENTES E DESCONHECIDAS:
Correção nos graus de Liberdade da Distribuição t

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