1. Raciocínio Lógico
Matemático
Conjuntos
Prof. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Unidade de Ensino: 4
Competência da Unidade: Conhecer métodos e técnicas de operações matemáticas
para desenvolver raciocínio lógico, crítico e analítico de apoio à tomada de decisão.
Resumo: Proporcionar ao aluno uma introdução às ideias básicas sobre a teoria de
conjuntos. Introduzir conceitos básicos importantes para o conteúdo. Evidenciar a
ideia intuitiva de conjunto, igualdade de conjuntos, conjunto vazio, inclusão e
pertinência.
Palavras-chave: elemento; conjunto; pertinência; inclusão;
conjunto de conjuntos; conjunto vazio.
Título da Teleaula: Conjuntos
Teleaula nº: 4
Contextualização
Canva.com
Em que situações
podemos utilizar a teoria
dos conjuntos?
Raciocínio Lógico
Matemático
Conjuntos
Prof. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Conjuntos
Noção intuitiva
Conjunto de todos os alunos de uma sala.
Conjunto de todas as casas de um quarteirão.
Conjunto dos números pares.
Conjunto de grupos de animais.
Conceito intuitivo
de conjunto
Qualquer reunião de
elementos que possui alguma
característica em comum pode
ser considerada um conjunto.
1 2
3 4
5 6
2. Representação
Para representar conjuntos, utilizamos chaves "{ " e " }" e uma letra maiúscula
do nosso alfabeto para efetuar a identificação do conjunto. Assim, falamos nos
conjuntos A, B, C, D.
Conjunto dos números pares: 𝐴 = {2,4,6,8,10 … }
Conjunto das vogais: 𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}
Infinito
Finito
Conjunto
Conjunto universo: é o conjunto que contém todos os elementos.
Conjunto unitário: é todo conjunto que contém somente um
elemento.
Conjunto vazio: é todo conjunto que não contém elementos.
Representado por
∅ ou { }
Relação de pertinência
Para representar que o elemento 𝑥 pertence ao conjunto 𝐴, utilizamos o
símbolo ∈ (pertence), escrevemos 𝑥 ∈ 𝐴 e lemos 𝑥 pertence ao conjunto 𝐴.
1
3
5
7 9
A
1 ∈ 𝐴 .
2 ∉ 𝐴
Relação de continência
Considere dois conjuntos A e B. Dizemos que o conjunto B esta contido no
conjunto A se todos os elementos do conjunto B pertencem ao conjunto A.
Representamos a relação de continência utilizando o símbolo ⊂ . Para
representar que o conjunto B esta contido no conjunto A, escrevemos 𝐵 ⊂ 𝐴.
𝐵 ⊂ 𝐴
A
8 12
4 16
2
6
10
14
18
B Dizemos que B é um
subconjunto de A
Exemplo
Dado o conjunto 𝐴 = {3,4, 5, 6, 7, 8, 9,10},𝐵 = {9,10, 11, 12} e 𝐶 =
{5, 7, 9, 11, 13}, os elementos do conjunto (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 são?
Solução:
𝐴 ∩ 𝐵 = {9,10}
𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = 9,10 ∪ 5, 7, 9, 11, 13 = {5, 7, 9, 10, 11, 13}
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7 8
9 10
11 12
3. Operação com
conjuntos
União de conjuntos
Considere 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos. A união dos conjuntos 𝐴 e 𝐵, representada
por 𝐴 ∪ 𝐵 , é dada pelos elementos que pertencem ao conjunto 𝐴 ou ao
conjunto 𝐵, ou seja, 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}
Seja
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} e o conjunto 𝐵 = {1,2, 3, 4, 5}
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑎, 𝑏,𝑐, 𝑑, 𝑒,1,2,3,4,5}
as posições dos elementos
não importam e a união entre os conjuntos
Interseção entre conjuntos
Considere dois conjuntos 𝐴 e 𝐵. O
conjunto intersecção 𝐴 ∩ 𝐵 é o conjunto
formado pelos elementos que pertencem
ao mesmo tempo aos dois conjuntos, ou
seja, 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵} .
Seja
A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}
𝐵 = {4,8,12,16,20,24}
𝐴 ∩ 𝐵 = {4,8,12,16}
A
8 12
4 16
2
6
10
14
18
B
20
24
Exemplo
Considere os conjuntos A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18} e 𝐵 = {4,8,12,16,20,24} e 𝐶 =
{16}.Determine 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶
A
8 12
4
2
6
10 14
18
B
20
24
16
C
𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {16}
Diferença entre conjuntos
Considere dois conjuntos 𝐴 e 𝐵. O conjunto diferença 𝐴 − 𝐵 é dado pelos
elementos que pertencem ao conjunto 𝐴 e não pertencem ao conjunto 𝐵,
ou seja, 𝐴 − 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵} .
Considere os conjuntos 𝐴 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} e 𝐵 = 8,9,10,11,12,13
A
8
12
13
2
6
7 3
1
B
11
4
5
9
10
𝐴 − 𝐵 = 1,2,3,4,5,6,7
A
8
12
13
2
6
7 3
1
B
11
4
5
9
10
𝐵 − 𝐴 = {11,12,13}
13 14
15 16
17 18
4. Complementar de um conjunto
Considere dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 tais que 𝐵 ⊂
𝐴. Define-se como complementar de 𝐵 em
relação a 𝐴 o conjunto 𝐴 − 𝐵 . Representa-
se o complementar de 𝐵 em relação a 𝐴 por
𝐶 = 𝐴 − 𝐵.
Considere os conjuntos
𝐴 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} e 𝐵 = 8,9,10
A
2
6
7 3
1
4
5 8
9
10
B
𝐶 = 𝐴 − 𝐵 = {1,2,3,4,5,6,7}
Atenção!
𝐶 = 𝐴 − 𝐵 𝐶 = 𝐵 − 𝐴
𝐵 ⊂ 𝐴. Define-se
como complementar
de 𝐵 em relação a 𝐴
o conjunto 𝐴 − 𝐵
Considere dois conjuntos 𝐴 e 𝐵
𝐴 ⊂ 𝐵. Define-se como
complementar de A em
relação a 𝐵 o conjunto
B − 𝐴
Organizando
informações de uma
pesquisa
Você foi designado para determinar o total de alunos de uma escola de
idiomas. A direção da escola passou as seguintes informações
57 alunos cursam Inglês
42 cursam Francês
37 cursam Espanhol.
21 alunos estudam Inglês, Francês e Espanhol
23 estudam Inglês e Francês
25 estudam Francês e Espanhol
28 estudam Inglês e Espanhol.
1) Determinar os conjuntos:
A = alunos que cursam Inglês
B = alunos que cursam Francês
C = alunos que cursam Espanhol
2) Identificamos a interseção entre os três conjuntos
A B
C
A B
C
21
3) Identificamos as demais interseções considerando que 21 alunos curso os
três cursos ao mesmo tempo
A B
C
21
2
23 estudam Inglês e Francês
25 estudam Francês e Espanhol
28 estudam Inglês e Espanhol.
4
7
19 20
21 22
23 24
5. 3) Identificamos as quantidades de alunos que estudam inglês, francês e
espanhol
A B
C
21
2 57 alunos cursam Inglês
42 cursam Francês
37 cursam Espanhol.
4
7
27 15
5
Total de alunos:
27 + 7 + 2 + 21 + 4 + 15 + 5 = 81
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Matemático
Conjuntos
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Conjuntos numéricos
IRRACIONAIS
É um número cuja representação
decimal tem infinitas casas não
periódicas depois da vírgula.
Por exemplo:
2 = 1,414213562
𝜋 = 3,141592654
Nomenclatura
ℕ: números naturais
ℤ: números inteiros
ℤ∗
: inteiros, exceto o zero
ℚ : racionais não negativos
ℚ : racionais não positivos
ℝ∗
: reais positivos
ℝ∗
: reais negativos
Conjunto dos Números Inteiros
Quando adicionamos ou subtraímos números
inteiros o resultado ainda será um inteiro.
Operações com números inteiros:
Adição/ subtração→ Sinais iguais: conserva
o sinal e soma os números.
Adição/ subtração→ Sinais diferentes:
conserva o sinal que acompanha o maior
número em módulo e subtrai os termos
numéricos.
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27 28
29 30
6. Conjunto dos Números Inteiros
Operações com números inteiros:
Multiplicação/ divisão→ Sinais iguais: resultado
positivo
Multiplicação/ divisão → Sinais diferentes:
resultado negativo
Propriedades do Conjunto dos números reais
Propriedades: Adição
Elemento neutro: 0 + 𝑎 = 𝑎
Comutativa: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
Associativa: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏
+ 𝑐
Propriedades: Multiplicação
Elemento neutro: 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎
Comutativa: 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎
Associativa: 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐
Distributiva na adição: 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐
Distributiva na subtração: 𝑎 ⋅ 𝑏 − 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 − 𝑎 ⋅ 𝑐
Exemplo
Considerando o conjunto dos números Reais, analise as
afirmações:
I – O número raiz de sete é um número irracional, portanto é
também um número real.
II – O número 3/5 é um número racional, portanto é também
um número real.
III – Todo número natural é inteiro, todo número inteiro é
também racional e todo número racional é também um número
real.
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Produto Cartesiano e
plano Cartesiano
Par ordenado
Representa-se um par ordenado por (𝑎, 𝑏) , em que 𝑎 é o primeiro elemento e 𝑏
é o segundo elemento. Observamos que para pares ordenados vale a
propriedade de igualdade:
(𝑎, 𝑏) = (𝑐,𝑑) ⇔ 𝑎 = 𝑐 e 𝑏 = 𝑑 .
31 32
33 34
35 36
7. Produto cartesiano
Sejam 𝑋 e 𝑌 dois conjuntos, denomina-se produto cartesiano produto
cartesiano de 𝑋 por 𝑌 e representa-se 𝑋 × 𝑌 ao conjunto formado pelos pares
ordenado, de modo que o primeiro elemento pertence ao conjunto 𝑋 e o
segundo elemento pertence ao conjunto 𝑌.
𝑋 × 𝑌 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝑋 e 𝑦 ∈ 𝑌}
Produto cartesiano
Seja 𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {4, 5} .Determine o produto
cartesiano de 𝐴 por 𝐵.
𝐴 × 𝐵 = { 1,4 , 1,5 , 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5 }
1
2
3
4
5
4
5
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
Seja 𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {4, 5} .Determine o
produto cartesiano de 𝐵 por A.
𝐵 × 𝐴 = { 4,1 , 4,2 , 4,3 , 5,1 , 5,2 , 5,3 }
Plano Cartesiano
Como cada eixo está associado ao conjunto dos números reais, temos o que
se denomina de sistema de coordenadas cartesianas (ou plano cartesiano).
Assim, é possível localizar cada ponto do plano cartesiano por meio de um
par de números, conhecido como coordenadas, sendo um desses números no
eixo 𝑥 e o outro no eixo 𝑦.
Plano Cartesiano
Vamos considerar dois eixos 𝑥 e 𝑦 perpendiculares entre si, que se
encontram em um ponto 𝑂
𝒙
𝒚
𝑶
Eixo das abscissas
Eixo das ordenadas
Plano Cartesiano
𝒙
𝒚
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
𝒙
𝒚
(+, +)
(−, +)
(−, −) (+, −)
𝟎
+ + + +
+
+
+
+
- - - - -
-
-
-
-
-
+
+
+
+
- - - - - + + + +
-
-
-
-
-
(𝒙, 𝒚)
(2,3)
(−4,2)
(−5, −3)
(7,0)
Localização de coordenadas no plano cartesiano
37 38
39 40
41 42
8. Raciocínio Lógico
Matemático
Conjuntos
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Recapitulando
https://bit.ly/3wvwJQZ
Conjuntos Operação com
conjuntos
Conjuntos
Numéricos
Produto cartesiano
Relação
Plano Cartesiano
43 44
45
