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GUIDG.COM – PG. 13                            Não confundir com:         t Congruente                            Para info...
GUIDG.COM – PG. 14                                 Exemplo                                  Os segmentos de reta       e  ...
GUIDG.COM – PG. 15                      Portanto não cometa mais esse erro, existem dois números que elevados             ...
GUIDG.COM – PG. 16                       3ww                        ww                        w                        w  ...
GUIDG.COM – PG. 17                            e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287...e     Número de Euler       Lê-se “n...
GUIDG.COM – PG. 18                                          * Para melhor entender verifique a definição de função.       ...
GUIDG.COM – PG. 19                                               Este método é chamado Pesquisa de raízes, por que raramen...
GUIDG.COM – PG. 20                   f (x) =2x³-11x²+17x-6=0                   De acordo com o teorema B, as raízes possív...
GUIDG.COM – PG. 21                          2) Diferença de Quadrados:                           a @b = a+ b A a@b        ...
GUIDG.COM – PG. 22                   r = a2 @ a1                  Termo geral de uma PA:                   an = a1 + n @ 1...
GUIDG.COM – PG. 23                                            … , an @ 1 , an , an + 1 , …                                ...
GUIDG.COM – PG. 24                                        Geometria Analítica, Álgebra Linear.                            ...
GUIDG.COM – PG. 25                                            n                                          X f i = f m + f m...
GUIDG.COM – PG. 26                                   Representa em geometria e trigonometria, ou em geral. A formação de u...
GUIDG.COM – PG. 27                                        É o ângulo que se forma acima da linha horizontal. Neste caso o ...
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Apostila matematica notacao formulas simbolos

  1. 1. GUIDG.COM – PG. 15/6/2011 – MAT: Notação Matemática, Símbolos Matemáticos.As principais notações utilizadas em Matemática: Dicionário, manual, tabela, conceitos, notação, números, formulário, fórmulas,operadores matemáticos, simbologia, símbolos, sinais, letras, abreviações, definições, teoremas, regras e etc.ESTE ARTIGO DEVE SER USADO COMO UM GUIA, NÃO UTILIZE COMO FONTE ÚNICA DE ESTUDOS.Palavras e conceitos importantes:Notação matemática: (1) é o conjunto de símbolos do qual o matemático utiliza para expressar, resumir,esclarecer e aplicar na resolução de um problema. (2) é uma linguagem cuja grafia e semântica se utiliza dossímbolos matemáticos e da lógica matemática, respectivamente. É com base nessa notação que são construídas assentenças matemáticas (Wiki).Notação científica / Notação exponencial: veja a definição completa na seção MEF (medidas físicas). É umaforma de escrever números astronômicos ou microscópicos, utilizando um número simples multiplicado por umapotência de base decimal.Ex: 990.000.000.000 = 9,9 B1011Ciência (do Latim scientia, significando "conhecimento”): Conjunto sistematicamente organizado de proposiçõesevidentes ou aceitas, necessárias e universais, capaz de dar sobre seu objeto o conhecimento pelas causas.Matemática: ciência que tem por objetivo determinar as medidas, propriedades e relações de quantidades egrandezas. É a ciência do raciocínio lógico e abstrato.(Wiki), do grego µάθηµα (máthēma) que significa: ciência, conhecimento, aprendizagem; e µαθηµατικός,(mathēmatikós): apreciador do conhecimento.Número (Wiki): É um objeto da Matemática usado para descrever quantidade, ordem ou medida; É a relação entrea quantidade e a unidade (Newton).Calculus do latim: “pedra, pedrinha” (Onde começou a ser aplicado o processo de contagem, e as operações). Pelahistória as primeiras contagens do homem foram feitas com pedrinhas (tais que pudessem ser carregadas, a fim deexpressar a quantidade que se tinha de alguma coisa).Cálculo: Efeito de calcular, resolver problemas matemáticos ou do mundo real, utilizando métodos matemáticos.O interessante neste ponto é o método de cálculo, pois é o procedimento matemático que nos ajuda a resolverproblemas do cotidiano.Álgebra: Parte da matemática que ensina a calcular, generalizando e simplificando as questões aritméticas, pormeio de letras de um ou mais alfabetos.A palavra Al-jabr da qual álgebra foi derivada significa "reunião", "conexão" ou "complementação". A palavra Al-jabr significa, ao pé da letra, a reunião de partes quebradas. E foi o título de um trabalho do matemático Al-Khowarizmi (considerado o fundador da álgebra como nós conhecemos hoje).Razão: A relação existente entre grandezas da mesma espécie. A palavra razão vem do latim “ratio” e significadivisão ou o quociente entre dois números A e B.Axioma: Definição admitida como verdadeira (verdade absoluta), que não necessita de provas....
  2. 2. GUIDG.COM – PG. 2 Na coluna “Notação”, “ou” será utilizado para variação do alvo.Notação: Significado: Definição / Descrição: Utilizado na matemática, física e entre muitas outras áreas do conhecimento, o Alfabeto Grego. Na coluna à esquerda as letras minúsculas ao lado das maiúsculas á direita com seus respectivos nomes. α, β, γ, δ, ε, ζ, α Α Alfa ι Ι Iota ρ Ρ Rô η, θ, ι, κ, λ, µ, β Β Beta κ Κ Kapa σ Σ Sigma Alfabeto Grego γ Γ λ Λ τ Τ ν, ξ, ο ,π, ρ, σ, Gama Lambda Tau τ, υ, φ, χ, ψ, ω δ ∆ Delta µ Μ Mi υ Υ Ipsilon ε Ε Epsilon ν Ν Ni φ Φ Fi ζ Ζ Zeta ξ Ξ Csi χ Χ Qui η Η Eta ο Ο Ômicron ψ Ψ Psi θ Θ Theta π Π Pi ω Ω Omega Algarismos ou dígitos são símbolos usados na representação de números inteiros ou reais em sistemas numerais posicionais. O sistema decimal. 0, 1, 2, 3, 4, Utiliza-se estes dez símbolos, que chamamos de algarismos (por Algarismos homenagem ao matemático Al-Khowarizmi) para representar 5, 6, 7, 8, 9 Indo-Arábicos quantidades, objetos... 0 para nenhuma unidade, 1 para uma unidade, 2 para duas unidades... É usado internacionalmente na ciência e na maioria dos países. Conjuntos numéricos: N é o conjunto dos números naturais. São os números que vão de 0, 1, 2, 3 ... à +∞ (lê-se mais infinito). Todo número natural é seguido imediatamente por outro número natural chamado sucessor, ou seja: N = {0,1,2,3,4, ...}. N Naturais O antecessor de 1 é 0, e a definição é o número que antecede, isto é que vem antes (sinônimo: predecessor). O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de números naturais sem o zero, ou seja: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} O conjunto dos números inteiros é o conjunto dos números naturais acrescido dos seus opostos (os naturais negativos). É representado pela letra Z, devido ao fato da palavra Zahl em alemão significar "número". Z = {... ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros, sem o zero: Z Inteiros Z* = {... , -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...} O símbolo Z+ é usado para indicar o conjunto de números inteiros não negativos: Z+ = {0,1,2,3,4,...} O símbolo Z@ é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não- positivos: Z@ = {..., -3, -2, -1, 0}
  3. 3. GUIDG.COM – PG. 3 C O símbolo Z+ é usado para indicar o conjunto de números inteiros positivos: C Z+ = {1,2,3,4,5, ...} C O símbolo Z@ é usado para indicar o conjunto de números negativos: C Z@ = {-1, -2, -3, -4, -5...} Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z: N Z. Fração: f= fffffffffff nf fffffffffff f fffffffffff f numerador f fffffffff d denominador Fração: Número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro. Numerador: o numero superior do traço que separa os termos da fração, indica quantas partes da unidade foram tomadas, enquanto o denominador indica em quantas partes foi dividida a mesma unidade. Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos um número racional. Todo número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária. A letra Q deriva da palavra inglesa Quotient , que significa Quociente, já que um número racional é um quociente de dois números inteiros. Quociente: Número que indica quantas vezes o divisor se contém no dividendo; resultado de uma divisão. Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a = 1 e b = 2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata. Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. PorQ Racionais exemplo, a = 1 e b = 3 nos dá o número racional 0,33333... É a chamada dízima periódica. Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros. T U af f ff C Q= |a 2 Z e b 2Z b Lembre-se que não existe divisão por zero. Por quê? Zero é o que nos indica a ausência, o vazio, o nada. Logo se estamos dividindo por zero não estamos dividindo, e por isso a divisão não pode ser efetuada. Assim consideramos a inexistência da divisão por zero. O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto dos números racionais sem o zero: R S C Q = x 2 Q | x ≠0 O símbolo Q+ é usado para indicar o conjunto de números racionais não- negativos: R S Q+ = x 2 Q | x ≥ 0 O símbolo Q- é usado para indicar o conjunto de números racionais não- positivos:
  4. 4. GUIDG.COM – PG. 4 R S Q@ = x 2 Q | x ≤ 0 O símbolo Q*+ é usado para indicar o conjunto de números racionais positivos sem o zero: R S C Q+ = x 2 Q | x > 0 O símbolo Q*- é usado para indicar o conjunto de números racionais negativos sem o zero: S R C Q@ = x 2 Q | x < 0 Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com I ℑ infinitas casas depois da vírgula, que não se repetem periodicamente, Irracionais obtemos um número chamado irracional. ou O número irracional mais famoso é o PI ( π ). O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por R. Indicamos por R* o conjunto dos números reais sem o zero. C R =R@ 0 PQ O símbolo R+ é usado para indicar o conjunto de números reais não- negativos: R S R+ = x 2 R | x ≥ 0ℜ R ou Reais O símbolo R- é usado para indicar o conjunto de números reais não- positivos: R S R@ = x 2 R | x ≤ 0 O símbolo R*+ é usado para indicar o conjunto de números reais positivos: R S C R+ = x 2 R | x > 0 O símbolo R*- é usado para indicar o conjunto de números reais negativos: R S C R@ = x 2 R | x < 0 Um número complexo é representado na forma: a + bi , sendo a a parte real e b a parte imaginária.C C ou Complexos A unidade imaginária é representada pela letrawwe significa a raiz iw ww ww ww , ww ww w p@ 1 . quadrada de -1. Pode-se escrever então: i = Em N (naturais) Número Primo: (1) Aquele que só é divisível por si e pela unidade. (2)2, 3, 5, 7 ... Primos Número divisível por um e por ele mesmo. Observação: o número 1 não é primo nem composto, é o único número divisível apenas por um número, ele mesmo. O número 2 é o único primo
  5. 5. GUIDG.COM – PG. 5 par. As unidades comuns (isto é todo primo termina em) são: 1, 3, 7, 9. Até hoje não se sabe se existe uma regra, função ou lei de seqüência, que permita calcular qual o próximo número primo. Tabela dos 100 primeiros Números Primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541 ... O último número primo calculado (por computador): 243.112.609 − 1 , este é o primo “Mersenne” de número 46 e tem 12.978.189 dígitos. Em N (naturais). Compostos Número composto: Aquele que é divisível por mais de dois números distintos. Significa que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio. C = { } ou C = Ø Ex: A={1,2,3}Ø {} ou Vazio B={4,5,6} A B={} ou A B= Ø Obs: representação errada de um conjunto vazio: E= ∅ P Q Isto é, dessa forma o conjunto contém um elemento. AUB ∪ Lê-se: "A união com B" União Ex: A={5,7,10} , B={3,6,7,8} A B = {3,5,6,7,8,10} Lê-se como "A interseção B" ∩ Ex: Interseção A={1,3,5,7,8,10} B={2,3,6,7,8} A B={3,7,8} ∈ Pertence Indica relação de pertinência. Ex: 5 N . Significa que cinco pertence aos Naturais.
  6. 6. GUIDG.COM – PG. 6∉ Não pertence Ex: -1 N. Significa que o número -1 não pertence aos números Naturais. Ex: N Z⊂ Esta contido Significa que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. Ex: R N⊄ Não esta contido Significa que o conjunto dos números reais não está contido no conjunto dos números naturais. Ex: Z N,⊃ Contém Significa que o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais. Barra reta (vertical) R S Ex: R+ = x 2 R | x ≥ 0| Tal que Leitura: Reais positivos são todos os “x pertencentes a R tais que x é maior ou igual a zero”. Barra para esquerda. Teoria dos conjuntos (Complemento teórico) A B, significa que é o conjunto que contém todos os elementos de A menos os elementos de B. Menos, sem Ex: A={1,2,3,4,5} e B={1,3,5} Então A B = {2,4} OBS: A barra pra direita ( / ) indica divisão. se...então p: José vai ao mercado q: José vai fazer compras→ Se, ... Então p q Se José vai ao mercado então ele vai fazer compras. A: São Paulo é capital de um estado brasileiro B: São Paulo é uma cidade brasileira⇒ Implica A B Ex: sendo verdadeira a afirmação que está antes dele, então também será verdadeira a afirmação à sua direita. Por exemplo, “São Paulo é capital de
  7. 7. GUIDG.COM – PG. 7 um estado brasileiro” implica que “São Paulo é uma cidade brasileira”. *Deve-se tomar cuidado na utilização deste sinal, para não aplica-lo desnecessariamente. Exemplos: w w w w ww x 2 + 2 = 4 [ x 2 = 2 [ x = F p2 (certo, usar em linha) w w w w ww x 2 + 2 = 4 [ F p2 ? (errado, quatro implica em...) x2 + 2 = 4 w w ? (errado, não pular a linha) w w ww [ x = F p2 Se, e somente se. Ex: ⇔ Se, e somente se p: Maria vai para a praia q: Maria vai tirar notas boas p q Maria vai para a praia se, e somente se ela tirar notas boas. Indica existência. 9 x 2 Z | x >3 Lê-se: Existe x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x é Existe + maior que 3.9 e 9 e Não existe (O “existe” pode aparecer ainda, como um “E” ao contrario e cortado, que representa inexistência. + Ex: 9 x → B. (não existe x em B) Sendo B={0,1,2,3}, e x = 9, não existe x no conjunto B. A aplicação, depende do caso: 1 - Pode representar o período de um numero racional ou irracional. (Período: parte que se repete). Ex: 1,222... (Neste caso indica que o período, é 2) 2 – Pode representar a continuidade de uma seqüência numérica, ou uma Período , a ... “reticência” soma. 3 – Pode ocorrer mais aplicações. Ex: Seja o conjunto Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } E isto indica que os números seguem indefinidamente para o infinito. Verifique a definição de infinito. Veja a definição do dicionário português:
  8. 8. GUIDG.COM – PG. 8 reticência : s. f. Omissão daquilo que se devia ou podia dizer; silêncio voluntário. S. f. pl. Pontos (...) que, na escrita, indicam aquela omissão. Utilizado em expressões, equações, e etc. Especialmente quando for apresentar o resultado final de um cálculo. Exemplo em logaritmos:∴ Portanto log 2 4 = x ^ 2 x = 4 2x = 4 2x = 22 # x=2 É um A de cabeça para baixo.∀ Significa "Para todo" ou "Para qualquer que seja". Para todo Ex: x > 0, x é positivo. Leitura: para todo x maior que zero, x é positivo. Por ordem de resolução é o primeiro a se resolver. O parênteses na matemática pode ter várias aplicações, vamos citar algumas: 1 – f(x) = 3x+2 Aqui está representando a função de 1ºgrau, ou função afim, o parênteses neste caso, guarda o espaço para valores que serão substituídos no lugar de “x”. Ex: supondo que x = 3/2 + 4 f(3/2+4) = 3(3/2 + 4) + 2 Para resolver você pode aplicar a propriedade distributiva, ou tirar o Parênteses - I mínimo antes de multiplicar, os dois caminhos levam a mesma resposta.( ) Substituindo f(x) por y. y = 3(11/2) + 2 = 33/2 + 2 = (33+4)/2 = 37/2 Pode também representar um intervalo aberto (igualmente o colchetes para fora). Veja: x tal que x, está entre 3 e 4, inclusive 3 e exclusive 4. Ou x 2 R | 3 ≤ x<4 . Ou [ 3 , 4 ) = [ 3 , 4 [ O parênteses aqui tem o mesmo papel que o colchetes para fora Ou seja representa um intervalo aberto, no qual os valores tendem a esse valor, mas não o atinge. Como se fosse o seu limite.[] Colchetes - II Por ordem de resolução é o segundo a se resolver.
  9. 9. GUIDG.COM – PG. 9 Em funções/intervalos, representa inclusão; exemplo: [0;1] Entre 0 e 1. (inclusive o 0 e 1) 0 ≤ x ≤ 1 (Lê-se: x maior ou igual a zero e menor ou igual a 1) ]2;4] Entre 2 e 4. (exclusive 2 e inclusive 4) 2 < x ≤ 4 (Lê-se: x maior que dois e menor ou igual a 4) ]-6;2[ Entre -6 e 2. (exclusive -6 e exclusive 2) -6 < x < 2 (Lê-se: x maior que menos seis e menor que 2) Por ordem de resolução é o terceiro a se resolver. {} Chaves - III o conjunto de... Ex: {a,b,c} representa o conjunto composto por a, b e c. Lê-se: "mais" + Adição Ex: 2+3 = 5 (Lê-se: dois mais três é igual a cinco). Significa que se somarmos 2 e 3 o resultado é 5. Indicação de um valor “x” com duplo sinal. x = F 5 [ x1 = + 5 e x 2 = @ 5 Isto é pode ser um ou pode ser outro, e ainda pode ser os dois, a conclusão ± Mais ou Menos é feita com a prova ou teste dos valores. Isto é melhor entendido no assunto equações de segundo grau e raízes de eq. de 2º grau. Quando delta é maior que zero, a equação de segundo grau apresenta duas raízes devido a presença do sinal “mais ou menos” contida na “fórmula para as raízes da equação de segundo grau” (fórmula atribuída à Báskara). Lê-se como "menos" Ex: 5-3 = 2, significa que se subtrairmos 3 de 5, o resultado é 2. - Subtração O sinal - também denota um número negativo. Por exemplo: (-6) + 2 = -4. Significa que se somarmos 2 em -6, o resultado é -4. Lê-se: "multiplicado" ou “vezes” Ex: 8*2 = 16, significa que se multiplicarmos 8 por 2, o resultado é 16. 2*3 = 3*2 (Lê-se duas vezes três é igual a três vezes dois)* ou B ou . Multiplicação Propriedade Comutativa: “A ordem dos fatores não altera o produto” 2 e 3 são fatores, 6 é o resultado da multiplicação, também chamado de produto. *Fator: Cada uma das quantidades que são objetos de uma multiplicação
  10. 10. GUIDG.COM – PG. 10 Lê-se: "dividido" Ex: Vamos representar a divisão: 6 por 2: 6 / 2 = f= 6 D 2 = 6 : 2 6ff 2/ ÷ : ou ou Divisão Todas essas notações significam que se dividirmos 6 por 2, o resultado é 3. 6f ff =3 . Neste caso temos uma fração (que é uma divisão). 2 Lê-se: Seis sobre dois é igual à três. Fração: f= fffffffffff ; nf fffffffffff f fffffffffff f numerador f fffffffff Leitura de frações: d denominador 1/1 = 1 = Um inteiro 1/11 = Um onze avos ½ = Um meio 1/12 = Um doze avos 1/3 = Um terço 1/13 = Um treze avos ¼ = Um quarto 1/14 = Um quatorze avos 1/5 = Um quinto 1/15 = Um quinze avos 1/6 = Um sexto 1/16 = Um dezesseis avos 1/7 = Um sétimo 1/17 = Um dezessete avos 1/8 = Um oitavo 1/18 = Um dezoito avos 1/9 = Um nono 1/19 = Um dezenove avos 1/10 = um dez avos = um décimo 1/20 = um vinte avos = um vigésimo 1/30 = um trinta avos = um trigésimo 1/40 = um quarenta avos = um quadragésimo 1/50 = um cinqüenta avos = um qüinquagésimo 1/60 = um sessenta avos = um sexagésimo 1/70 = um setenta avos = um septuagésimo 1/80 = um oitenta avos = um octogésimo nf f ff 1/90 = um noventa avos = um nonagésimo Fração 1/100 = um cem avos = um centésimo d 1/1000 = um mil avos = um milésimo 1/10000 = um dez mil avos = um décimo milésimo 1/100000 = um cem mil avos = um centésimo milésimo 1/1000000 = um milhão avos = um milionésimo 2/3 = dois terços 10/11 = dez onze avos, 10 sobre 11 3/2 = três meios 13/20 = treze vinte avos, 13 sobre 20 4/5 = quatro quintos 60/7 = sessenta sétimos, 60 sobre 7 5/4 = cinco quartos 73/21 = setenta e três vinte e um avos 6/7 = seis sétimos π/e = pi sobre e 7/8 = sete oitavos n/m = n sobre m 8/9 = oito nonos 9/8 = nove oitavos ... A Fração é uma representação da divisão, isto é uma simplificação devido as divisões não exatas: Ex: Como expressar a divisão 2 por 3: 2f ff = 2 D3 = 2A f 1ff 0,666666666... = 2/3 = 3 3
  11. 11. GUIDG.COM – PG. 11 Tipos de frações: Fração própria: n < d (numerador menor que o denominador, isto é a parte tomada dentro do inteiro). Fração imprópria: n > d (numerador maior que o denominador, isto é a parte tomada é maior que o inteiro). Fração aparente: n é múltiplo de d . Ex: 0/3 = 0 , 4/2 = 2 Fração equivalente: são frações que representam a mesma parte do inteiro. Ex: ½ = 2/4 = 3/6 = 4/8 Fração composta: quando n é uma fração e d é outra fração, tais que se apresentem na forma: ef ff f f ff ff ff f f nf f ff ef ff ff gf nf gf ef hf f f ff ff f f f ff f f f f f f f |n = e d = , = = A d f h d h f g Portanto as frações do tipo ( e/f ) / ( g/h ) , são denominadas frações compostas. Simplifica-se aplicando a regra de multiplicação: “a primeira pela inversa da segunda”. Isto é: ( e/f ) / ( g/h ) = ( e.h )/( f.g ) Um número misto, é aquele que é constituído por uma parte inteira (i) mais a fração n/d. O número misto não é o produto i . n/d . Transformações: Ex, número misto para uma fração: nf f ff 4 f= 4 + f= ff+ f= ff 1f ff 1f 16f 1f 17f f ff f ff f ff f ffi Número Misto 4 4 4 4 4 d Lê-se: quatro e um quarto; quatro mais um quarto; ou quatro inteiros e um quarto; Quatro inteiros mais um quarto; Ex: fração para um número misto: 19f 13f 6f ff ff ff ff ff ff f f f = f+ ff 1 + ff= 1 ff 6f ff ff 6f ff ff = 13 13 13 13 13 ... 1%, 2%, 3% ... 100% ... Lê-se: Um por cento, dois por cento ...% Percentagem Do latim, Per Centum = a cada centena ou Porcentagem É definido como uma medida de razão de base cem (100). Isto é a proporção que o número a está para b (base), sendo a o numerador e b o denominador.
  12. 12. GUIDG.COM – PG. 12 af f ff b Indicador de fração por cento (100). Porcentagem = Por cento, ou seja um número por 100 (Sobre 100, dividido por cem). 10% = 10/100 = 0,1 20% = 20/100 = 0,2 Lê-se como "igual a" Igual, = Igualdade Ex: x = y, significa que x e y possuem o mesmo valor. Por exemplo: 3+5 = 7+1 Ex: 13 ≠ 31 (13 é diferente de 31). ≠ Diferente Ex: x=5, y=2 Logo x ≠ y Este símbolo é empregado em casos particulares. Exemplo em física: Considere o gráfico abaixo de um movimento uniforme: = N Numericamente igual Neste caso dizemos que a área A do gráfico representa o deslocamento escalar ∆s do móvel, então: + ff vfffff ffv 0 fffff fffff ∆s = A = A ∆t N 2 Para o matemático: Cerquilha é o sinal que definimos como o símbolo de número. Isto é ele indica o número de algo. Cerquilha #1, #2 ... pode ser lido como: número um, número dois. Pode ser empregado na construção de tabelas, enumeração de exemplos, # ou Cardinal exercícios, ordem etc. Nome oficial: Octothorpe (Bell Labs) Este símbolo é muito comum e pouco valorizado, com isso adquiriu vários nomes e agora esta como um símbolo de multi-significado (ou seja, o significado depende do caso de aplicação). Alguns exemplos de nomes comuns. Ex: jogo-da- velha, chiqueirinho, tralha, cerquinha, e etc. Tanto faz a utilização de um ou de outro, mas não confunda com Congruente.≈ Aproximadamente Usamos para arredondamento de um valor muito grande, periódico ou irracional. Alguns exemplos de aplicação: ou w w w w ww π ≈ 3,14 ; e ≈ 2,72 ; p2 ≈ 1,41 ou Aproximadamente igual ww w w w w p3 ≈ 1,73 1f ff ; ≈ 1,3 3
  13. 13. GUIDG.COM – PG. 13 Não confundir com: t Congruente Para informações sobre como arredondar um valor corretamente veja o artigo: MEF: (1) Um curso de Medidas, Algarismos significativos, Notação científica e Unidades SI Depende o caso ou assunto. 1 - Em Álgebra Linear e Geometria Analítica: Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. A eqüipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD . Eqüipolente ; ~ Negação, (Lógica) ; Semelhança 2 – Em lógica, podem ser os símbolos: ~ : e (Trigonometria) Ex: p: Os alunos irão passear. ~p ou : p : Os alunos não irão passear. 3 – Veja o uso do til para a semelhança de triângulos (mais abaixo). 4 – Podem existir outras aplicações. Ex: p: Cláudia tem um cachorro ∧ q: Cláudia tem um gato e (Lógica) p q Cláudia tem um cachorro e um gato. Ex: p: José gosta de jogar futebol ∨ q: José gosta de jogar tênis ou (Lógica) p q José gosta de jogar futebol ou tênis. Exemplos: 2/4 ≡ 1/2 Lê-se: “é equivalente à” ou “é idêntico à”.≡ a e6 Equivalente ou Idêntico x= 16 , y = 4 logo x ≡ y O sinal cortado significa “não equivalente” ou “não equivale”. Ângulos Congruentes:t Congruente à Dois segmentos de reta são chamados congruentes quando tiverem a mesma medida, na mesma unidade.
  14. 14. GUIDG.COM – PG. 14 Exemplo Os segmentos de reta e , da figura, têm medida 4 cm, portanto são congruentes. Indica-se: Desigualdade Estrita. <> Comparação É menor que, é maior que x < y significa que x é menor que y x > y significa que x é maior que y Desigualdade não estrita. ≤≥ Comparação é menor ou igual a, é maior ou igual a x ≤ y significa: x é menor ou igual a y; x ≥ y significa: x é maior ou igual a y Definição dos termos da potenciação Lê-se: x elevado à enésima potência é igual ao produto de x, “n” vezes, que é igual a y. xn = x Ax Ax … = y x = base n = expoente ou potência (determina o número de fatores) x.x.x... = produto de fatores (é determinado pelo expoente) y = produto (em alguns livros é definido como potência)xn = x Ax Ax Exemplos: Potenciação…= y … a@ 2 fffff 1f fffff f f1 fff f ffff f =` a2 = 9 ` @3 @3 a@ 1 fffff fffff ffff ffff 1 1f ff =` a1 = @ 2 ` @2 @2 1 =1 0 2 =2 1 3 = 3A3 = 9 2 … Existem várias propriedades, consulte Propriedades da Potenciação. É comum alunos terem dúvidas nesse caso, por isso destacamos com um exemplo: x =n x ao quadrado é 2 igual a n x² = 9 ? Aqui vem a seguinte pergunta, que número elevado ao quadrado é igual a nove? E você responde 3! (certo), mas esquece que pode ser (-3) também.
  15. 15. GUIDG.COM – PG. 15 Portanto não cometa mais esse erro, existem dois números que elevados ao quadrado são iguais a nove. Isto é: x2 = 9 x2@ 9 = 0 então:x 2 @ 3 = 0 2 diferença de quadrados: veja a forma fatorada: x + 3 x @3 = 0 ` a` a portanto x + 3 = 0 ou x @ 3 = 0 x = @ 3 ou x = 3 Podendo ser escrita da seguinte forma: x2 = n então : x = ± n exemplo : x 2 = 9 então : x = ± 9 = ±3 S = {−3,3} O Símbolo / Sinal de exclamação na matemática é definido como fatorial. Fatorial que vêm da palavra fator. A definição de n fatorial é a seguinte: n! = n.(n-1).(n-2)(n-3)...3.2.1 Definimos também: 0! = 1 1! = 1 Exemplos:! Fatorial , n fatorial (n!) Para n = 6, teríamos: n! = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 4!=4.3.2.1 = 24 ff ffffAffff 20!f 20.19fffff fff ffffffff ff ffff 18! f = fff ffff= 20.19 = 380 18! 18! (n+2)! = (n+2).(n+1).(n).(n-1)(n-2)! f+ f ! f+ f A n A n @ 1 ! ` a ` a` a` a n ff1ff n ff1 ffffffffffff fffffff ffffffffffffffff ` ffffff ffffffffffffffff ffffff fffffffffffffff a = = n + 1 n = n2 + n a ` ` a n@1 ! n@1 ! O símbolo radical deriva da letra r devido ao nome em latim radix quadratum (raiz quadrada), interpreta-se geometricamente como o lado do quadrado.√ n Radical x Lê-se: Raiz enésima de x. OBS: quando não houver número no índice esta será sempre quadrada, não existe em R raízes de índice par de números negativos. Existem em R raízes de índices impares de números negativos. Ex: 16 = +4 (Raiz quadrada de 16)
  16. 16. GUIDG.COM – PG. 16 3ww ww w w ww w w w p27 = 3 3www www www ww ww ww ww ww ww (Raiz cúbica) p@ 27 = @ 3 4 16 = +2 (Raiz quarta de 16) iww we w w ww w w w ... p r =z ( √ ) Radical (sinal) ( i ) Índice (fora) ( r ) Radicando (dentro) ( e ) Expoente de r ( z ) Raiz (resultado) Importante: A raiz quadrada de um número é sempre positiva. x2 = | x | A segunda notação para raízes é a o expoente fracionário. Então ef fff f Exemplo: z=r i A raiz quadrado de x ao cubo: ww ww ww w w ww w 3f ff ff qx 3 = x 2 A raiz quinta de x ao quadrado: ww ww ww w w ww w 2f ff ff qx 2 = x 5 5 Decoreba: para escrever corretamente, “quem esta por dentro esta por cima, e quem esta por fora esta por baixo”. (dentro da raiz, fora da raiz, por cima na fração (numerador), por baixo na fração (denominador). Ex: log28 = 3log Logaritmo O logaritmo de 8 na base 2 é 3, pois elevando 2 ao expoente 3 obtemos 8. Nunca esqueça, se não tiver base no logarítmo, definimos como sendo na base 10. Logarítmo natural logen = y (l) Logaritmoln (n) neperiano Logarítimo neperiano é o logarítmo cuja base é o numero "e". e = 2,718281828.... Ex: log e 8 = 2,079441542... porque e 2,079441542... = 8
  17. 17. GUIDG.COM – PG. 17 e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287...e Número de Euler Lê-se “número de Óilar” ou também: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial. Publicado em 1618 por John Napier. À teoria dos números. Constante de Euler-γ Mascheroni γ = 0,577215664901532860606512090082402431... *letra grega “Gama” A sexta constante matemática importante, foi calculado com centenas de minúscula casas decimais. Não se sabe se γ é um número irracional. ww ww ww ww ww ww ww ww i = p@ 1i Unidade imaginaria i é utilizado para representar a raiz de menos um Consulte Números Complexos. π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288... O número π é definido como a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro.π Pi (Minúsculo) *letra grega Mas este número tem outras personalidades. É também um número irracional e um número transcendente. Em trigonometria π = 180º Também é conhecido como constante de Arquimedes ou número de Ludoph. *Raiz quadrada de dois.www w w w Constante de w ww w w wp2 Pitágoras p2 = 1.41421 35623 73095 04880 16887 …φ Número de Ouro À razão Áurea, Proporção Áurea. Letra grega Fi minúscula φ =1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811...
  18. 18. GUIDG.COM – PG. 18 * Para melhor entender verifique a definição de função. Ex: y = 0,5x + 1 m é o coeficiente angular, e intercepta o eixo das abscissas (Ox). n é o coeficiente linear e intercepta o eixo das ordenadas (Oy). Função do primeiro y = ax + b grau. Ou ou Equação da reta y = mx + n Ou. Se n e m forem diferentes de zero chama-se função afim, Se n for igual a zero chama-se função linear. Se m for maior que zero a função é crescente. Se m for menor que zero a função é decrescente. Se f(x) = y = x, chama-se função identidade. Equação geral daax + by + c = 0 GEOMETRIA ANALITICA reta @ff fff fff fa f f cf Equação reduzida f ffy= x@ GEOMETRIA ANALITICA b b da reta Ocorre de escrevermos Báskara, mas o certo é Bhaskara. É apenas aqui no Brasil, que comum tornou-se atribuir créditos ao Matemático Bhaskara, e o método para extrair as raízes, como fórmula de Bhaskara. (Consulte a história). Essa fórmula se obtém quando fatora-se a equação de segundo grau, completa-se os quadrados e isola-se a variável (x). Viète também propôs A equação de outro método para extração das raízes (devem existir mais), mas essa é a ax 2 + bx + c = 0 segundo grau forma mais fácil mesmo, e como na matemática trabalha-se repetidamente com equações de segundo grau, será fácil a memorização. e e a fórmula para Essa é a equação de segundo grau igualada à zero: wwwww wwwww wwww wwww wwww wwww wwww qb2 @4ac @bfffffffffff ffFffffffff fffffffffff fff fffffff fff fffffff f ff As Raízes da ax 2 + bx + c = 0x= Equação de 2a a, b, c são os coeficientes (também chamados de “parâmetros”), e x a Segundo Grau variável. E foi a partir dela que surgiu a fórmula, o problema consistia em achar os valores de x para os quais tornam a equação verdadeira, ou seja que valores de x tornam a equação nula. Publicamos um artigo demonstrando essa fórmula, verifique o índice de Matemática Básica.
  19. 19. GUIDG.COM – PG. 19 Este método é chamado Pesquisa de raízes, por que raramente na primeira tentativa se acha uma solução para o problema. No entanto ele sugere um caminho, resumimos a definição abaixo. (A) Raízes Racionais: Seja a função polinomial P(x) = 0 de grau n. a 0 x n + a1 x n + 1 + …+ a n @ 2 x 2 + a n @ 1 x + a n = 0 b c an ≠ 0 e a0 ≠ 0 As possíveis raízes são o(s) número(s) x = p/q (p e q números primos), onde p é divisor Inteiro de a n (termo independente) e q é divisor Inteiro de a 0 (coeficiente do termo de maior grau). (B) Raízes Inteiras: Um caso particular é se a n divisível por a 0 , for um número inteiro. Então obtemos sem tantas tentativas as raízes, que são os divisores inteiros de a n . (Mas o teorema que abrange mais amplamente é o primeiro mesmo). Exemplo para (A): Determinar em C as raízes da função polinomial: f (x) = 2x3 + x2 + x – 1 Solução. I ) 2x3 + x2 + x – 1 = 0 Raízes da equaçãoPesquisa de Raízes polinomial quando o II) As raízes possíveis são x = p/q, onde p é divisor inteiro de -1 e q é Racionais divisor inteiro de 2 . grau é maior que 2. III) D(-1) = { ±1} = p D(2) = {±1, ±2} = q IV) Raízes possíveis: x = p/q { ±1 , ±1/2 } V) Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio e testar as possíveis raízes. VI) Verifica-se que 1/2 é raiz do polinômio, e a função polinomial é dividida sem resto, assim re-escrevemos P(x): P(x) = (2x²+2x+2)(x-1/2) VII) Com o Método para extração das raízes da eq. De segundo grau temos o conjunto solução, com duas raízes imaginárias: Exemplo para (B): Determinar as raízes:
  20. 20. GUIDG.COM – PG. 20 f (x) =2x³-11x²+17x-6=0 De acordo com o teorema B, as raízes possíveis, já que -6 é divisível por 2, são apenas os divisores inteiros de -6. D(-6) = {±1, ±2, ±3, ±6} Pesquisando as raízes pelo dispositivo de Briot-Ruffini: Vemos que 2 é raiz, simplificando a função: f (x) = (x – 2) (2x2 – 7x + 3) S = {1/2, 2, 3} Logo notamos também que existe outra raiz inteira, 3. E aqui se esclarece que se utilizarmos o teorema A, a raiz já seria sugerida, no entanto o conjunto das raízes possíveis aumentaria de oito raízes possíveis para doze. Utilizando o método A, o conjunto das raízes possíveis é: x = p/q={ -½, ½ , ±1, ±3/2, -2, 2, 3, -3, ±6} Portanto esteja consciente de utilizar o método adequado.~ Teorema Auxiliar: O Teorema de Bolzano sugere duas implicações e resumimos abaixo omitindo a demonstração: Considere a função polinomial de coeficientes Reais: f x a 0 x n + a1 x n + 1 + …+ a n @ 2 x 2 + a n @ 1 x + a n ` a E dois números tais que a < b , f (a) . f (b) ≠ 0 1 – Se f (a) . f (b) < 0 , Então em f (x) existe um número impar de raízes no intervalo (a, b). Dependendo do grau do polinômio. (se for três, então uma ou três raízes). 2- Se f (a) . f (b) > 0 , Então em f (x) não existe, ou existe um número par de raízes no intervalo (a, b). Dependendo do grau do polinômio. (se for seis, então não existem raízes, ou há duas, ou quatro ou seis raízes). Este teorema resolve questões de análise, por exemplo: Analise a função polinomial e verifique quantas raízes há no intervalo (0, 1). f(x) = x5 – 2x2 + 3x +1 . Solução: Pelo teorema P(0).P(1) > 0 , então não há raízes, ou há duas, ou quatro raízes no intervalo dado. (isto porque o polinômio é de quinto grau). 1) Quadrado da soma ou diferença de dois termos:Produtos Notáveis ` a + b a 2 = a 2 + 2ab + b 2 = a 2 @ 2ab + b ` a2 2 a@b
  21. 21. GUIDG.COM – PG. 21 2) Diferença de Quadrados: a @b = a+ b A a@b 2 2 ` a ` a 3) Cubo da soma ou diferença de dois termos: a+b = a + 3a b + 3ab + b ` a3 3 2 2 3 = a 3 @ 3a 2 b + 3ab @ b ` a3 2 3 a@b 4) Soma ou diferença de Cubos: a b 2 c a + b = a + b A a @ ab + b 3 3 ` 2 a b c a 3 @ b = a @ b A a 2 + ab + b 3 ` 2 Não se assuste com a seguinte fórmula, pois ela é muito simples, e foi desenvolvida com a intenção de facilitar o cálculo. A forma x + a 8 n > 1 2 Z , é expandida da seguinte ` an maneira e aplicável a todas as formas demonstradas anteriormente em Produtos notáveis. ` a A n@1 nffffffff x + a = x + ffx n @ 1 A a + ffffffff x n @ 2 A a 2 + … ` annf f f n fffffff fffffff A A 1! 2! ` a` a nfffffffAfffffff n @ 3 3 A n @ 1 fn @ 2 ffffffffffffff ffffffffffffff fffffff ffffff …+ Ax Aa +… 3! n @ 1 n @ 2 …2 ` a` a nffffffffffffffff ffffffffffffffff ffffffffffffffff ffffffffffffffff …+ ` a A x A an @ 1 + an n@1 ! Binômio de Newton Procedimento, para o lado direito da igualdade: 1 – o primeiro termo (x) é sempre elevado ao expoente n. 2 – o segundo termo, é o expoente vezes x elevado a uma unidade a menos que o n inicial. Multiplique isso por a. 3 – o terceiro é o produto de n pelo expoente de x do segundo termo, ou seja: n e (n – 1). Divida isso pelo número de termos escritos, ou seja, dois. Multiplique por x elevado a duas unidades reduzidas do n inicial. Multiplique por a elevado a uma unidade a mais que a do segundo termo. A dica é memorizar os passos, deduzir os produtos notáveis (que possam ser) pelo Binômio de Newton, e por último demonstrar a fórmula até o quarto termo. Depois disso é repetição. PA, Progressão Aritmética. É uma seqüência numérica, tal que o termo posterior é o termo anterior mais a razão. PA = a1 , a2 , a3 , … ,an P Q ProgressãoPA Aritmética A Razão de uma PA r é a razão, numa PA determina-se fazendo a diferença do termo posterior pelo termo anterior, isto é:
  22. 22. GUIDG.COM – PG. 22 r = a2 @ a1 Termo geral de uma PA: an = a1 + n @ 1 r ` a Formula de recorrência: Termo qualquer, sendo n ≠ m : an = am + n @ m r ` a Exemplo: Determinar r sendo a4 = 25 e a10 = 43 : an = am + n @ m r [ a10 = a4 + 10 @ 4 r ` a ` a 43 = 25 + 6r 6r = 18 [ r = 3 Conseqüência: A soma dos extremos de uma PA é sempre um número constante. Considere a PA = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} então: a1 = 2, a2 = 4, … a9 = 18 a1 + a9 = a2 + a8 = a3 + a7 = a4 + a6 = a5 + a5 2 + 18 = 4 + 16 = 6 + 14 = 8 + 12 = 10 + 10 = 20 Termo médio, Média aritmética: Sendo a1 , a2 , a3 uma PA então: +a f afffff ff + a +f afffffffff a2 = ffff3f [ an = ffffffff1f 1f ff ffff ff ff1fffffff n @ f f nf f f f 2 2 Soma dos termos da PA: Sendo a1 e an então a soma dos n termos da PA: b c + an n a1fffffff ffffffff ffffffff ffffffff f Sn = 2 PG, Progressão Geométrica. É uma seqüência numérica, tal que o termo posterior é o termo anterior vezes a razão. Ex: PG = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...} é uma PQ de razão 2. q é a razão, e obtém-se dividindo o termo posterior pelo anterior. ffff ffff anff fff f q= an @ 1 ProgressãoPG Geométrica Termo geral: an = a1 A q n @ 1 Termo qualquer: an = am A q n @ m Termo médio, Média Geométrica:
  23. 23. GUIDG.COM – PG. 23 … , an @ 1 , an , an + 1 , … ` a Seja a PG: an = an @ 1 A an + 1 ` a2 ` a` a wwwwwwww wwwwwwww wwwwwwwa wwwwwww wwww`www ` wwwwww wwwwwww wwww ww w aw an = F q an @ 1 A an + 1 ` a Isto é: o termo do meio é a raiz quadrada do produto: termo anterior vezes termo posterior (depende o sinal da seqüência também). Soma dos termos da PG: f n g f g @f @ qn S n = a1 A fffff qfffff fff1f ffff S n = a1 A fffff 1fffff fffff ffff ou q@1 1@q Apesar da troca de sinal, as duas fórmulas são iguais. Soma dos termos da PG, quando -1 < q < 1 , e n → +∞ . Isto é a soma dos termos de uma Progressão Geométrica Convergente. a1 S n = ffff ffff ffff ffff 1@q 1f 1f 1f f f f f f f f Ex: Qual o valor da soma s=1+ + + +… ? 2 4 8 1f f ff 1f f f 2f 1f f f f f f ffff 1f ffff f ffff f ffff 1 q = = , S1 = = =2 1@ f 2 1 2 1f ff 2 Dados dois pontos distintos, chamamos de segmento de reta a figura (*) constituída por eles e por todos os pontos que estão entre eles. fff fff ff ff fff fff ff ff Exemplo: O segmento de reta determinado por A e B é representado por AB , dizemos que A e B são suas extremidades, e representamos por AB a AB Segmento de reta medida de . Geometria Analítica, Álgebra Linear. Vetor, verifique a definição formal. Segmento de reta orientado.jk kjj jjj jjj j j j j j j Vetor k jk j jj j jj j jj j j j j j u = AB = B @ AAB u ou ` a Ex: se A x1 ,y1 ,z1 e B x2 ,y2 ,z2 ` a jk jj jj jj j j j j j então AB = B @ A = x 2 @ x1 , y 2 @ y1 ,z 2 @ z1 ` a
  24. 24. GUIDG.COM – PG. 24 Geometria Analítica, Álgebra Linear. Esta notação implica que devemos multiplicar as coordenadas do vetor u pelas de v, e então obter o produto escalar. Também representasse por: kk jj jj jj uA v k k j j j j j j< u, v> Produto escalar Exemplo: k j u = 1,2,3 e k = 4,5,6 j j j j j b c b c v então < k , k > =kAk = 1,2,3 A 4,5,6 = 4 + 10 + 18 = 32 j j j j j j jj jj jj b cb c ` a u v u v L M c Lax0 + by0 + cz0 + dM ffffffffffffffff fffffffffffffff fffffffffffffff fffffffffffffff b L M d P,π = wwwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww qa 2 + b 2 + c 2 a,b,c são as coordenadas do vetor normal do plano x0 ,y0 ,z0 são as cordenadas do ponto qualquer d = @ ax1 @ by1 @ cz1 onde x1 ,y1 ,z1 são as coordenadas ` a b c Distância de um de um ponto pertencente ao plano Ad P,π ponto a um Plano Ex: A distância entre o ponto P(-4,2,5) ao plano π : 2x + y + 2z + 8 = 0 L ` M c L2 @ 4 + 1 2 + 2 5 + 8M L a ` a ` a M fffffffffffffffffffff fffffffffffffffffffff ffffffffffffffffffff ffffffffffffffffffff b d P,π = wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww q2 2 + 12 + 2 2 b c d P,π = 4uc GEOMETRIA ANALÍTICA Utilizando como base o teorema de Pitágoras, pode-se calcular a facilmente a distancia entre dois pontos no plano cartesiano. ` a ` a seja: P1 x1 , y1 ,z1 e P2 x2 ,y2 ,z2 b c jjj jjj jj jj jj jj jj k então a distância d P1 ,P2 =| P1 P2 | b c wwwwwwwwwwwwwww wwwwwwwwwwwwwww wwwwwwwwwwwwwww wwwwwwwwwwwwwww wwwwwwwwwwwwwww wwwwwwwwwwwwwww wwwwwwwwwwwwww w b c d P1 ,P = q x @x a2 +` y @y a2 +` z @z a2 ` Distância entre dois 2 2 1 2 1 2 1 d P1 , P2 pontos jjj jjj jjj jj jj jj jj k Ou seja a distância é o módulo do vetor P1 ,P2 Ex. A distância wwwwwwwwwwww entre wwwwwwwww wwP(7,3,4)wQ(1,0,6)ww wwwwwewwww ww wwwwwwwwwww wwwww wwww ww wwwww wwww ww wwwwwww ww ww wwwww www b c a2 ww ww w ww w w d P,Q =q 1@7 + 0@3 + 6@4 =p49 =7 u.c. ` a2 ` a2 ` u.c. : unidades de comprimento
  25. 25. GUIDG.COM – PG. 25 n X f i = f m + f m + 1 + f m + 2 + …f n `a ` a ` a ` a ` a i=m Notação Sigma i é o índice da soma (é um símbolo arbitrário, pode assumir o valor de n qualquer letra)Xf i `a “Somatório" m é o limite inferiori=m *Σ letra grega n é o limite superior f (i) é a função Sigma maiúscula 5 X k =1 + 2 + 3 + 4 + 5 2 2 2 2 2 2 Ex: k=1 Produto em, até, de... Produto, Π Produtório. (Aritmética) *letra grega Pi Maiúsculo |-5| = 5 Lê-se: o módulo de menos cinco é igual à cinco. Significa geometricamente a distancia do valor de x até zero. (veja a definição de módulo para mais informações). www www ww ww ww ww ww ww |x| = q x ` a2 www ww ww ww ww ww ww ww Módulo / Valor |9| = q`9a2 = 9 |x| absoluto de x Definição: O módulo de x é x se x for maior ou igual a zero ou o módulo de x é -(x) se x for menor que zero. Definição em linguagem matemática: x, se x ≥ 0 V |x| = @ x, se x <0 Análise funcional. (verificar definição e teoria) ||x|| é a norma do elemento x de um espaço vetorial Norma de / ||x|| comprimento de Ex: || x + y || ≤ || x || + || y || Perpendicular ou Se r e s, são retas perpendiculares indicamos por r ⊥ s . ⊥ Ortogonal Lê-se: r é perpendicular à s . Ou r é ortogonal à s . Retas Retas perpendiculares / ortogonais são aquelas que possuem um único Perpendiculares ponto em comum e formam entre si um ângulo de 90º.
  26. 26. GUIDG.COM – PG. 26 Representa em geometria e trigonometria, ou em geral. A formação de um Ângulo reto ângulo de noventa graus (90º) entre duas retas ou planos, independente se∟ ou 90º a primeira(o) estiver disposta(o) de forma horizontal, vertical ou diagonal. Um ângulo reto é a metade de um ângulo raso. Se r e s são duas retas paralelas indicamos por r // s. // Paralelo Lê-se: r é paralela(o) à s . Retas paralelas Retas paralelas são aquelas que não possuem ponto em comum, ou seja não se cruzam, não são concorrentes. Um ângulo raso mede 180º, e é a metade do ângulo de uma volta completa (360º). Ângulo raso Ângulo raso Raso: Adj.: De superfície plana; liso. É o ângulo cuja medida esta entre 0º e 90º. Ou o mesmo que 0º < x < 90º Ângulo agudo Ângulo agudo Agudo: Adj.: Terminado em gume ou em ponta. (gume: lado afiado de um instrumento cortante) É aquele cuja medida situa-se entre 90º e 180º. Ou o mesmo que 90º < x < 180ºÂngulo obtuso Ângulo obtuso Obtuso: Adj.:Que não é aguçado ou agudo; que não é bicudo; arredondado, rombo. São aqueles cujas medidas somam 90º, e diz-se que um é o complemento do outro. Ângulos Ânguloscomplementares complementares Ex: 34º é o complemento de 56º e vice-versa, pois 34º + 56º = 90º Complemento: s. m. 1. Ato ou efeito de completar. São aqueles cujas medidas somam 180º e diz-se que um é o suplemento do outro. Ângulos Ângulos Ex: 48º é o suplemento de 132º e vice-versa, pois 48º + 132º = 180ºsuplementares suplementares Suplemento: s. m. Aquilo que serve para suprir qualquer falta. Ângulo de Ângulo de É o ângulo que se forma abaixo da linha horizontal. Neste caso o ângulo depressão depressão alfa "α"
  27. 27. GUIDG.COM – PG. 27 É o ângulo que se forma acima da linha horizontal. Neste caso o ângulo alfa "α"Ângulo de elevação Ângulo de elevação Bissetriz de um ângulo – é a semi-reta que partindo do vértice, determina dois ângulos congruentes ( ou seja, de mesma medida). Bissetriz de um Bissetriz de um ângulo angulo Obs: todo ângulo possui uma única bissetriz Indicação para ângulos e coordenadas em geometria / trigonometria, temperatura em graus Celsius e etc. Tempo: 1 grau é igual a 60 minutos que é igual a 3600 segundos. º Grau 1º = 60’ = 3600” MAT: Por definição, 1 grau é o arco equivalente a (um trezentos e sessenta avos) da circunferência, ou seja, em um arco de volta completa, ou de uma volta, cabem 360° (graus). Indicação abreviada de minuto. ‘ Minuto Ex: 1’ = 60” (Um minuto igual a sessenta segundos). Indicação abreviada de segundo. “ Segundo Ex: 20 segundos = 20” Definimos como 1 grado o arco equivalente a da circunferência, isto é, em uma circunferência ou arco de uma volta cabem 400 gr (grados). gr Grado Esse sistema não é tão eficaz quanto ao sistema grau, por isso caiu em desuso.

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