1. O documento apresenta 7 exercícios de álgebra linear sobre normas, produto interno e desigualdade de Cauchy-Schwarz em espaços vetoriais euclidianos.

1. Universidade Federal de Alagoas- UFAL
Lista 5 - Parte 1 - Produto Interno
Álgebra Linear
Prof. Marcos Ranieri
Nome:
1. Seja V um espaço vetorial euclidiano. Mostre que
(a) ||αu|| = |α|.||u|| para todo α ∈ R e u ∈ V .
(b) ||u|| ≥ 0, para todo u ∈ V . Além disso, ||u|| = 0 se, e somente se u = 0.
2. Mostre que se o produto interno u, v = 0, para todo vetor v, então u = 0.
3. Em R4
, seja u = (1, 2, 0, 1) e v = (3, 1, 4, 2). Determine u, v , ||u||, ||v||, d(u, v) e o cosseno
do ângulo de u e v.
4. Seja V um espaço euclidiano. Mostre que vale a lei do paralelogramo:
||u + v||2
+ ||u − v||2
= 2||u||2
+ 2||v||2
para todo u, v ∈ V .
5. Sejam u, v vetores em um espaço euclidiano V . Determine o cosseno do ângulo de u e v,
sabendo que ||u|| = 5, ||v|| = 8 e ||u + v|| =
√
129.
6. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz em R3
para mostrar que dados os números reais x >
0, y > 0, z > 0 vale a desigualdade:
(x + y + z).
1
x
+
1
y
+
1
z
≥ 9.
7. Sabendo que ||u|| = 3 e ||v|| = 5, determine α ∈ R de maneira que u + αv, u − αv = 0.
Loucura é fazer a mesma coisa
várias e várias vezes e esperar
um resultado diferente.