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![9
regiões das quais se conhece as áreas das seções nor-
mais. O uso do tubo em U para fazer a medida dessa di-
ferença, da forma como está representado na figura an-
terior, só é possível em tubos com gás. Com líquidos,
utilizam-se manômetros, instrumentos de medida dire-
ta da pressão que não são afetados pela passagem do
líquido. Podem-se usar manômetros localizados em di-
ferentes setores da tubulação (figura a seguir) ou manô-
metros para medir a diferença de pressão entre dois pon-
tos nos quais as áreas das seções normais são conhecidas
(foto abaixo).
b) Para S1 = 2,0 ؒ 10–2
m2
:
Φ = vS ⇒ Φ = v1S1 ⇒ 2,8 ؒ 10–2
= v1 ؒ 2,0 ؒ 10–2
⇒ v1 = 1,4 m/s
Para S2 = 5,00 ؒ 10–3
m2
:
Φ = vS ⇒ Φ = v2S2 ⇒ 2,8 ؒ 10–2
= v2 ؒ 5,0 ؒ 10–3
⇒ v2 = 5,6 m/s
Observação: O tubo de Ven-
turi é muito usado como va-
porizador. Veja a figura ao la-
do: a velocidade do ar sopra-
do no tubo horizontal torna a
pressão na extremidade supe-
rior do tubo vertical menor
do que a pressão atmosférica,
por isso o líquido contido no
recipiente sobe e, atingido pelo fluxo de ar, fragmenta-se em
gotículas.
Daí esse dispositivo ser chamado também de atomizador.
Muitos frascos de perfume, como o mostrado na foto a seguir,
funcionam dessa maneira.
x
y
Exercício resolvido
4 Suponha que o manômetro do tubo de Venturi mostrado na
foto anterior, instalado em uma canalização de água, meça a
diferença de pressão Δp = 1,5 ؒ 104
Pa. As áreas das seções nor-
mais desse tubo, correspondentes às pressões p1 (ramo
esquerdo do manômetro) e p2 (ramo direito do manômetro),
são, respectivamente, S1 = 2,0 ؒ 10–2
m2
e S2 = 5,0 ؒ 10–3
m2
.
Sendo dágua = 1,0 ؒ 103
kg/m3
e adotando g = 10 m/s2
, determine:
a) a vazão (Φ) da água;
b) os módulos v1 e v2 da velocidade do fluido ao passar por
S1 e S2.
Solução
a) Sendo Δp = p1 – p2 = 1,5 ؒ 104
Pa, da expressão do tubo de
Venturi:
Φ = S1S2
Ί
හහහහ
⇒
Φ = 1,0 ؒ 10–4
ؒ 2,8 ؒ 102
⇒ Φ = 2,8 ؒ 10–2
m3
/s ⇒ Φ = 28 L/s
Φ = ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ( ⋅ ) − ⋅
− −
− −
2,0 5,0
1,5
1,0 2,0 5,0
10 10
2 10
10 10 10
2 3
4
3 2 2 3[ ( )22]
⇒
2(p1 – p2)
d(S2
1 – S2
2)
B
A
Um atomizador bá-
sico se compõe ape-
nas de dois tubos em
ângulo reto e assim
pode ser encontrado
em lojas de produtos
para artistas. Veja as
imagens.
Atomizador básico.
A artista imerge o tubo maior do atomizador na tinta e sopra no bocal
do tubo horizontal para aspergi-la na tela. Podemos controlar a quan-
tidade de tinta variando a vazão e a velocidade do ar soprado.
EDUARDOSANTALIESTRA
www.french-home.com
EDUARDOSANTALIESTRA
EDUARDOSANTALIESTRA](https://image.slidesharecdn.com/hidrodinamica-160316061713/85/Hidrodinamica-9-320.jpg)
![12
fluidos tem de variar no interior dos tubos, o que,
em escoamentos laminares, ocorre como a figura
abaixo mostra.
Uma antiga reivindicação francesa pretende
dar ao Pa ؒ s o nome poiseuille, com o símbolo Pl,
para homenagear Jean Poiseuille. No entanto, até
hoje ela não foi acolhida.
velocidade
nula
velocidade
máxima
Variação da velocidade no interior de um fluido laminar em um
tubo: a curva em azul é o lugar geométrico da extremidade dos
vetores velocidade.
Por isso, quando nos referimos à velocidade
v= de um fluido no interior de um tubo, estamos
considerando como tal o vetor cujo módulo é a
média dos módulos das velocidades no interior
do fluido.
O módulo v da velocidade em um ponto P de
um fluido em escoamento laminar pode ser obtido
aproximadamente pela expressão a seguir, em que
r é o raio do tubo, d a distância do ponto ao eixo
desse tubo e C uma constante que depende do
tubo:
v = C(r2
– d2
)
Essa expressão é conhecida como Lei de
Poiseuille, pois foi estabelecida por Jean Poiseuille.
UNIDADE DE VISCOSIDADE
A unidade de viscosidade do SI pode ser obti-
da da sua definição. Se o módulo da força (F) é
medido em newtons (N), a distância (y) em metros
(m), a área (S) em metros quadrados (m2
), a veloci-
dade (v) em metros por segundo (m/s) e a pressão
em pascal [Pa = ], temos:
η = ⇒ η = ⇒
η = 5 6 ⇒ η = [Pa ؒ s]
Há uma antiga unidade prática ainda em uso,
denominada poise, cujos símbolos podem ser P, Ps
ou Po. A relação entre ela e Pa ؒ s é:
1 poise = 0,1 Pa ؒ s
N ؒ s
m2
[N ؒ m]
5m2
ؒ
m
6
s
Fy
Sv
N
m2
Atrito e viscosidade são fenômenos análogos e de
mesma origem, mas com características diferentes, que
podem ser delimitadas com clareza pela análise de ca-
racterísticas que diferenciam seus coeficientes.
O coeficiente de atrito é um número puro (adi-
mensional), depende do par de materiais em contato,
não caracteriza nenhuma substância e varia pouco com
a temperatura. O coeficiente de viscosidade tem unida-
de, caracteriza determinado fluido e varia drasticamen-
te com a temperatura. Veja o gráfico a seguir.
0 20
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,0
40 60 80 100
(и 10–3
Pa и s)
t (°C)
Se um fluido é arrastado por uma lâmina rígida,
como na figura a seguir, podemos concluir que a lâmi-
na e a película fluida nela aderida exercem sobre o res-
tante do fluido uma força resultante F=. Pelo Princípio
da Ação e Reação aparece na placa uma força de resis-
tência viscosa –F= aplicada pelo restante do fluido à placa
em movimento.
Gráfico coeficiente de viscosidade da água versus temperatura.
v=
F=–F=
Da definição do coeficiente de viscosidade pode-
mos expressar o módulo de F= assim:
F = ؒ v
S
y](https://image.slidesharecdn.com/hidrodinamica-160316061713/85/Hidrodinamica-12-320.jpg)
![14
junto em movimento retilíneo uniforme. Não levamos em
conta o trecho inicial porque nele a aceleração é variável e
no nível deste estudo não temos recursos de cálculo para
examinar essa situação. Além disso, a definição de viscosi-
dade e a expressão da força viscosa só podem ser aplicadas
em movimentos retilíneos com velocidade constante.
II. Note que não nos referimos ao atrito entre a placa e o líqui-
do, pois não existe atrito entre uma superfície rígida e um
fluido. A tração é exercida na placa rígida, mas a força de
reação viscosa do fluido é exercida na placa por intermé-
dio da película de fluido que a reveste e com ela se move
solidariamente.
III. Essa é uma situação experimental muito difícil de realizar,
principalmente pela impossibilidade de manter uniforme
a espessura da película de óleo. Por isso, apesar de seu for-
mato, este é um exercício teórico. Uma situação experi-
mental de fácil realização é apresentada no exercício
resolvido a seguir.
6 Uma esfera maciça de aço de 1,0 mm de raio cai verticalmen-
te com velocidade constante dentro de um tubo largo com óleo.
Verifica-se que ela desce 30 cm em 10 s. Dadas a densidade do
aço, daço = 7 800 kg/m3
, e a do óleo, dóleo = 800 kg/m3
, determi-
ne o coeficiente de viscosidade do óleo. Admita g = 10 m/s2
.
Solução
Na figura a seguir estão representadas as forças que atuam
sobre a esfera: o peso P=, o empuxo E= exercido pelo óleo sobre
a esfera e a força F= de resistência viscosa do óleo:
Sendo Vesfera = ؒ πr3
, r = 1,0 mm = 1,0 ؒ 10–3
m, uti-
lizando π = 3,1, temos:
Vesfera = ؒ 3,1(1,0 ؒ 10–3
)3
⇒ Vesfera = 4,1 ؒ 10–9
m3
Substituindo o valor de Vesfera em IV, obtemos o módulo F
da força de resistência viscosa:
F = (7 800 – 800)4,1 ؒ 10–9
ؒ 10 ⇒ F = 2,9 ؒ 10–4
N (V)
Para determinar o coeficiente de viscosidade do óleo apli-
cando a Lei de Stokes, precisamos saber qual é a velocida-
de de queda da esfera. Como ela é constante, Δx = 30 cm
= 0,30 m e Δt = 10 s:
v = ⇒ v = ⇒ v = 0,030 m/s
Então:
F = 6πηrv ⇒ 2,9 ؒ 10–4
= 6 ؒ 3,1η ؒ 1,0 ؒ 10–3
ؒ 0,030 ⇒
η = 0,52 Pa ؒ s
Observações:
I. Este exercício descreve uma atividade experimental relati-
vamente simples para determinar a viscosidade de um
líquido. A validade dessa determinação pode ser verifica-
da comparando o resultado obtido com valores tabelados
(veja a tabela da página 11). Para analisar corretamente os
resultados, três fatores devem ser considerados: a) os es-
treitos limites de validade da Lei de Stokes; por isso devem
ser utilizados líquidos de alto coeficiente de viscosidade
para que a queda da esfera ocorra a baixa velocidade (não
encontramos esses dados em relação à velocidade-limite
no óleo; estamos admitindo que o valor obtido aqui é viá-
vel por analogia ao da água); b) a largura do tubo deve ser
bem maior que o diâmetro da esfera; se o tubo for estrei-
to, as suas paredes vão interferir na resistência viscosa do
líquido, o que pode causar turbilhonamento e invalidar os
resultados; c) a temperatura do líquido deve ser anotada,
pois, como mostra o gráfico da página 12, o coeficiente de
viscosidade de um líquido varia significativamente com a
temperatura.
II. Quando a velocidade é nula, a força de resistência viscosa
também é nula; por isso o movimento de queda é acelera-
do no início e, à medida que a velocidade aumenta, a força
de resistência viscosa também aumenta, até que a resultan-
te das forças sobre a esfera se anule e o movimento passe a
ser retilíneo uniforme — essa é a velocidade-limite. Por essa
razão, as medidas das distâncias e dos tempos correspon-
dentes para a obtenção da velocidade da esfera só devem
ser feitas depois que ela já caiu por alguns segundos.
III. Assim como se pode determinar a viscosidade de um flui-
do conhecendo a velocidade-limite do corpo que o atraves-
sa, é possível determinar a velocidade-limite de um corpo
movendo-se através de um fluido conhecendo o coeficien-
te de viscosidade desse fluido. Foi a partir daí que o físico
experimental norte-americano Robert Millikan (1868-
-1953) pôde, em 1909, determinar a carga elétrica elemen-
tar e ganhar o prêmio Nobel de Física de 1923. O exercício
resolvido a seguir mostra uma etapa dessa experiência.
0,30
10
Δx
Δt
4
3
4
3
F=
P=
E=
Como a velocidade é constante, da Segunda Lei de Newton
em módulo, podemos escrever:
F + E = P ⇒ F = P – E (I)
Da definição de densidade [d = ], m = dV. Sendo P = mg,
o peso da esfera de aço pode ser expresso por:
P = daçoVesferag (II)
Da expressão do empuxo (E = dfluidoVfluido deslocadog), da
Hidrostática, podemos escrever:
E = dóleoVesferag (III)
Substituindo III e II em I:
F = daçoVesferag – dóleoVesferag ⇒ F = (daço – dóleo)Vesferag (IV)
m
V](https://image.slidesharecdn.com/hidrodinamica-160316061713/85/Hidrodinamica-14-320.jpg)
![15
7 Uma gota microscópica de óleo, de raio rgota = 4,0 μm, é aban-
donada no interior de uma câmara onde o ar está em repouso.
Sabendo que esse óleo tem densidade dóleo = 800 kg/m3
e que o
coeficiente de viscosidade do ar é ηar = 1,8 ؒ 10–5
Pa ؒ s, deter-
mine a velocidade-limite atingida por essa gota. Despreze o
empuxo do ar e admita g = 10 m/s2
.
Solução
Se o ar está em repouso e o empuxo por ele exerci-
do sobre a gota é desprezível, podemos afirmar que
sobre ela atuam duas forças: o seu peso P= e a força
de resistência viscosa F= exercida pelo ar.
Quando a velocidade-limite é atingida, essas duas
forças se equilibram, e a gota passa a cair com mo-
vimento retilíneo uniforme. Então, da Segunda Lei
de Newton em módulo, podemos escrever:
P – F = 0 ⇒ F = P (I)
Se a gota é esférica e não há turbulência, podemos aplicar a Lei
de Stokes:
F = 6πηarrgotav (II)
De I e II:
P = 6πηarrgotav ⇒ mgotag = 6πηarrgotav (III)
Da definição de densidade [d = ] e da expressão do
volume da esfera [V = ؒ πr3
], a massa da gota pode ser ex-
pressa na forma:
mgota = dóleoVgota ⇒ mgota = dóleo ؒ ؒ πr3
gota (IV)
Substituindo IV em III:
dóleo ؒ ؒ πr3
gotag = 6πηarrgotav ⇒ dóleo ؒ ؒ r2
gotag = 6ηarv
Sendo rgota = 4,0 μm = 4,0 ؒ 10–6
m e substituindo os demais
dados na expressão acima:
800 ؒ (4,0 ؒ 10–6
)2
10 = 6 ؒ 1,8 ؒ 10–5
v ⇒ v = 1,5 ؒ 10–2
m/s
Observações:
I. O valor obtido está dentro do limite para o movimento de
uma esfera sem turbulência no ar: v = 2 m/s. Se o resultado
ultrapassa esse valor, há turbulência e não podemos aplicar
a Lei de Stokes. Seria o caso de uma gota de óleo de 1,0 mm
de raio; obteríamos v = 100 m/s, valor que extrapola em
muito o limite de validade da Lei de Stokes para o ar.
II. Na experiência de Millikan borrifa-se óleo com um vapo-
rizador em uma câmara limitada por duas placas eletriza-
das e onde o ar está em repouso. Veja a figura a seguir.
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
m
V
Um orifício de entrada para a câmara seleciona as gotas de
raio compatível com os limites da Lei de Stokes. Eletri-
zadas por uma fonte externa ou na travessia do orifício, as
gotas são observadas por meio da ocular de um microscó-
pio. Escolhe-se uma gota de cada vez para análise. Por
recursos teóricos relativamente simples, mas ainda não
completamente estudados, determina-se a carga adquiri-
da por essa gota. A experiência é repetida dezenas ou cen-
tenas de vezes para outras tantas gotas. Obtêm-se, então,
dezenas ou centenas de valores da carga elétrica, mas
todos os valores obtidos são múltiplos de um mesmo va-
lor. Millikan concluiu que esse é o valor da carga elétrica
elementar — a carga do elétron —, menor carga elétrica
existente na natureza.
Para você resolver
5 A placa metálica plana representada na figura a
seguir tem área de 0,040 m2
e desliza sobre um
plano horizontal rígido apoiada em uma pelícu-
la de óleo de viscosidade η = 0,75 Pa ؒ s. Supõe-
-se que essa película seja contínua e uniforme e
tenha espessura y = 0,30 mm. O fio, inextensível
e de massa desprezível, é tracionado pelo bloco
B, de massa 60 g, e o atrito na roldana e a sua
massa são desprezíveis. Observa-se que o siste-
ma, ao ser posto em movimento, atinge rapida-
mente uma velocidade-limite. Qual é essa velo-
cidade? (Observação: Ao atingir a velocidade-
-limite, o sistema passa a se mover com veloci-
dade constante.) Adote g = 10 m/s2
.
P=
F=
(–)
ocular
placas
eletrizadas
orifício
raios X para
produzir carga
na gota de óleo
borrifo de pequenas
gotas de óleo
gota de óleo
carregada
sob análise
(+)
B
6 Uma esfera maciça de alumínio, de 2,0 mm de
raio, cai verticalmente em um tubo com gliceri-
na. Depois de atingir velocidade constante, veri-
fica-se que ela desce 18 cm em 20 s. Dadas a
densidade do alumínio, dAl = 2 700 kg/m3
, e a da
glicerina, dglicerina = 1300 kg/m3
, e admitindo
g = 10 m/s2
, determine:
a) a força de resistência viscosa exercida pela
glicerina;
b) o coeficiente de viscosidade da glicerina.
7 Sabendo que a velocidade-limite para a aplicação
da Lei de Stokes no ar é 2,0 m/s, qual deve ser o
valor limite do raio de uma gota de óleo para que
ela possa cair sem turbulência no ar em repouso?
(Dados: dóleo = 800 kg/m3
; ηar = 1,8 ؒ 10–5
Pa ؒ s;
g = 10 m/s2
; considere o empuxo do ar desprezível.)](https://image.slidesharecdn.com/hidrodinamica-160316061713/85/Hidrodinamica-15-320.jpg)
![20
Deduções
1a
) Equação de Continuidade
Reveja a última figura da página 3. Os trechos ha-
churados correspondem ao deslocamento de um fluido
ideal no mesmo intervalo de tempo ⌬t. Se o fluxo (Φ) é
constante e esse intervalo é suficientemente pequeno,
esses trechos podem ser considerados cilindros de áreas
S1 e S2. Nessas condições, vamos aplicar a esses dois
cilindros as definições de fluxo (Φ = vS) e de
velocidade média [v = ], nesse caso também cons-
tante, pois Φ e S são constantes. Para o cilindro de base S1:
Φ1 = ؒ S1
Como ⌬x1S1 = V1 (volume do cilindro de altura ⌬x1):
Φ1 = (I)
Por raciocínio análogo, para o cilindro de base S2:
Φ2 = (II)
Como Φ é constante e ⌬t é o mesmo, podemos
concluir de I e II que V1 = V2. Então, aplicando de novo
a expressão do volume do cilindro e lembrando que
⌬x = v⌬t:
V1 = V2 ⇒ S1⌬x1 = S2⌬x2 ⇒ S1v1⌬t = S2v2⌬t ⇒
S1v1 = S2v2 ou v1S1 = v2S2
2-a
) Equação de Bernoulli
Para esta dedução é preciso recordar as seguintes
expressões:
• densidade: d = e m = dV
• pressão: p = e F = pS (I)
• trabalho: τ = FΔx ؒ cos α (II)
• energia cinética: Ec = ؒ mv2
• energia potencial gravitacional: Epg = mg(h – h0)
Pela dedução anterior, sabemos que os dois cilin-
dros em cinza da primeira figura da página 5 têm o mes-
mo volume: V1 = V2. Como, tratando-se de um fluido
ideal, a densidade é constante, ambos têm a mesma mas-
sa m de fluido.
Ao deslocar-se pelo tubo do nível h1, com veloci-
dade de módulo v1, para o nível h2, com velocidade de
módulo v2, podemos afirmar que a massa de fluido con-
tida nesses cilindros sofre:
a) um acréscimo ΔEc de energia cinética:
ΔEc = ؒ m(v2
2
– v1
2
) ⇒ ΔEc = ؒ dV(v2
2
– v1
2
)
1
2
1
2
1
2
F
S
m
V
V2
⌬t
V1
⌬t
⌬x1
⌬t
⌬x
⌬t
Como V = V1 = Δx1S1 = v1ΔtS1 (ou V = V2 = v2ΔtS2):
ΔEc = ؒ dv1ΔtS1(v2
2
– v1
2
) (III)
b) um acréscimo ΔEp de energia potencial gravitacional:
ΔEp = mg(h2 – h1) ⇒ ΔEp = dv1ΔtS1g(h2 – h1) (IV)
Esses acréscimos de energia se devem ao trabalho
realizado por duas forças, uma decorrente da pressão
p1, de módulo F1 = p1S1, atuando em S1 no sentido do
movimento do fluido, e outra decorrente da pressão p2,
de módulo F2 = p2S2, atuando em S2 no sentido oposto.
Então, podemos escrever:
τF=1
+ τF=2
= ΔEc + ΔEp (V)
Da expressão da força em função da pressão e da
superfície (I), da definição de trabalho (II), lembrando que
em cada caso Δx = vΔt, e das expressões III e IV substituí-
das em V, temos:
p1S1v1Δt ؒ cos 0° + p2S2v2Δt ؒ cos 180° =
ؒ dv1ΔtS1(v2
2
– v1
2
) + dv1ΔtS1g(h2 – h1) ⇒
(p1 – p2)S1v1Δt = ؒ dv1ΔtS1(v2
2
– v1
2
) +
dv1ΔtS1g(h2 – h1) ⇒ p1 – p2 =
= ؒ d(v2
2
– v1
2
) + dg(h2 – h1)
3a
) Equação de Torricelli
Reveja a primeira figura da página 7. Vamos supor
que a área S do orifício seja muito menor que a área S0 da
superfície do tanque. Nesse caso, da Equação de Conti-
nuidade, podemos escrever:
v0S0 = vS ⇒ v0 = v ؒ
E concluir que v=0 também é muito menor que v=, ou
seja, que, em relação ao módulo de v=, podemos supor
v0 = 0.
Vamos admitir ainda que a pressão atmosférica, p0,
é a mesma na superfície do líquido e no orifício de saída
e que por ele o escoamento seja laminar. Nessas condi-
ções, aplicando a Equação de Bernoulli à superfície
(nível 1) e ao orifício (nível 2) e colocando o referencial
para as alturas no nível do orifício, temos:
p1 + ؒ dv1
2
+ dgh1 = p2 + ؒ dv2
2
+ dgh2 ⇒
p0 + ؒ dv0
2
+ dgh0 = p0 + ؒ dv2
+ dgh ⇒
p0 + ؒ d(0)2
+ dgh = p0 + ؒ dv2
+ dg(0) ⇒
dgh = ؒ dv2
⇒ v = Ίහහ2gh
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
S
S0
1
2
1
2
1
2
1
2](https://image.slidesharecdn.com/hidrodinamica-160316061713/85/Hidrodinamica-20-320.jpg)
![26
identificando como seus avanços foram modificando
as condições de vida e criando novas necessidades.
• Perceber o papel desempenhado pelo conhecimento
físico no desenvolvimento da tecnologia e a complexa
relação entre ciência e tecnologia ao longo da história.
Atividades interdisciplinares e de
contextualização
O assunto abordado aqui complementa os de
Hidrostática, que tratam dos líquidos em equilíbrio (os
gases em equilíbrio são objeto daTeoria Cinética dos Gases,
apresentada com o estudo da Termodinâmica).
Ter como temas principais a água, como líquido, e o ar,
como gás, possibilita a realização de inúmeras atividades
interdisciplinares e de contextualização. Esta pode ser tra-
balhada a partir da sua mais importante tecnologia — a
Aerodinâmica —, destacada na foto de abertura deste arti-
go. Além da sustentação de aviões e helicópteros, a
Aerodinâmica estuda a aderência dos veículos terrestres ao
solo e a redução da resistência do ar sobre eles. São assun-
tos que motivam extraordinariamente os adolescentes,
principalmente aqueles que gostam de corridas de auto-
móvel, área em que essa tecnologia é altamente desenvol-
vida — se o professor sugerir pesquisas nessa área, certa-
mente encontrará adesões entusiásticas.
O voo das aves e o movimento dos peixes, a forma
como esses animais se sustentam ou vencem a viscosidade
do ar ou da água e a função das penas nas aves e das esca-
mas nos peixes são também temas interessantíssimos que
podem proporcionar atividades interdisciplinares muito
motivadoras com a biologia.
Para você pensar
1. Por causa da aceleração da gravidade, a velocidade do
filete de água aumenta ao cair. Como a velocidade é in-
versamente proporcional à área da seção normal do tu-
bo de corrente, à medida que a velocidade aumenta
essa área diminui e o filete afina.
2. Em condições ideais, pelo Princípio da Conservação da
Energia, a água só pode atingir o mesmo nível da super-
fície. Portanto, mesmo nessas condições, a experiência
seria impossível. Na prática, como há perdas de energia
por causa da viscosidade da água e do ar, o esguicho fica
bem abaixo do nível da superfície.
3. a) Em I, sendo h1 = h2:
p1 + ؒ dv1
2
= p2 + ؒ dv2
2
⇒
p1 – p2 = ؒ dv2
2
– ؒ dv1
2
⇒ p1 – p2 = ؒ d(v2
2
– v1
2
)
Em II, como não há variação da seção normal
(S1 = S2 ⇒ v1 = v2):
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
p1 + dgh1 = p2 + dgh2 ⇒ p1 – p2 = dgh2 – dgh1 ⇒
p2 – p1 = dg(h2 – h1)
b) A diferença de pressões (p1 – p2) é responsável, em I,
só pela variação da energia cinética do líquido e, em
II, apenas pela variação da energia potencial gravita-
cional.
4. A afirmação é correta. Basta observar que a dedução da
expressão dessa lei (página 20) tem como ponto de par-
tida a identidade entre o trabalho realizado pelas forças
devidas às variações de pressão e as respectivas varia-
ções de energia cinética e potencial da água, conse-
quência do Princípio da Conservação da Energia Mecâ-
nica.
5. Como mostra a equação de Torricelli, a velocidade de saí-
da da água não depende da abertura do orifício, ou seja,
nesse caso apertar a saída da mangueirinha não aumenta
a velocidade de saída da água, o que invalida a ideia ini-
cial do aluno. Esse resultado não contraria a Equação de
Continuidade (v1S1 = v2S2), pois ela não se aplica a essa
situação porque a velocidade de abaixamento da super-
fície do recipiente foi considerada nula (desprezível).
Assim, cinematicamente, a altura máxima da água será
sempre igual à profundidade h do recipiente.
6. Não faz sentido falar em coeficiente de viscosidade está-
tico porque a viscosidade depende da existência do mo-
vimento relativo entre as diferentes camadas de um flui-
do. Não havendo esse movimento (v = 0), não existe vis-
cosidade e a expressão do coeficiente [η = ] perde o
seu significado.
7. A adesão viscosa do líquido ao bico do recipiente dirige
o líquido e o afina, tornando-o um filete laminar, o que
facilita o seu derramamento.
8. Ao cair através do ar, a curvatura da gota faz o fluxo de
ar curvar-se para contorná-la. Pelo Princípio da Ação e
Reação, a gota é puxada lateralmente para o fluxo e, por
isso, é ligeiramente achatada.
Para você resolver
1. a) Φ = ⇒ ΦE = ⇒ ΦE = 0,20 L/s ⇒
ΦE = 2,0 ؒ 10–4
m3
/s
b) rE = 0,50 cm = 5,0 ؒ 10–3
m ⇒ SE = πrE
2
⇒
SE = 3,1(5,0 ؒ 10–3
)2
⇒ SE = 7,8 ؒ 10–5
m2
ΦE = vESE ⇒ 2,0 ؒ 10–4
= vE ؒ 7,8 ؒ 10–5
⇒
vE = 2,6 m/s
c) rT = ⇒ rT = 1,3 cm = 1,3 ؒ 10–2
m ⇒
ST = πrT
2
⇒ ST = 3,1(1,3 ؒ 10–2
)2
⇒ ST = 5,2 ؒ 10–4
m2
2,5
2
12
60
V
Δt
Fy
Sv](https://image.slidesharecdn.com/hidrodinamica-160316061713/85/Hidrodinamica-26-320.jpg)
![27
5. Ao atingir a velocidade-limite, o sistema passa a se mo-
ver com velocidade constante. Logo, sendo mB = 0,060 kg
(reveja as figuras da bola na página 16):
T = PB ⇒ T = mBg ⇒ T = 0,060 ؒ 10 ⇒ T = 0,60 N
Esse é o módulo da força viscosa. Então, sendo
y = 0,30 mm = 3,0 ؒ 10–4
m, da expressão dessa força:
F = ؒ v ⇒ 0,60 = ؒ v ⇒
v = 6,0 ؒ 10–3
m/s
6. a) Reveja a figura da página 14. Como a velocidade é cons-
tante,daSegundaLeideNewtonemmódulo,podemos
escrever:
F + E = P ⇒ F = P – E ⇒
F = dAlVesferag – dglicerinaVesferag ⇒ F = (dAl – dglicerina)Vesferag
Vesfera = ؒ 3,1(2,0 ؒ 10–3
)3
⇒
Vesfera = 3,3 ؒ 10–8
m3
F = (2 700 – 1 300)3,3 ؒ 10–8
ؒ 10 ⇒ F = 4,6 ؒ 10–4
N
b) Sendo Δx = 18 cm = 0,18 m, Δt = 20 s e a velocidade
constante:
v = ⇒ v = ⇒ v = 9,0 ؒ 10–3
m/s
Então, da Lei de Stokes:
F = 6πηrv ⇒ 4,6 ؒ 10–4
=
6 ؒ 3,1η ؒ 2,0 ؒ 10–3
ؒ 9,0 ؒ 10–3
⇒ η = 1,4 Pa ؒ s
7. Reveja a primeira figura da página 15. Como a velocidade
é constante e o empuxo é desprezível, da Segunda Lei de
Newton em módulo podemos escrever:
P – F = 0 ⇒ F = P = mgotag (I)
Como a velocidade-limite é constante e a gota é esférica,
supondo não haver turbulência, podemos aplicar a Lei
de Stokes:
F = 6πηarrgotav (II)
De I e II:
mgotag = 6πηarrgotav (III)
Sendo d = e Vesfera = ؒ πr3
:
mgota = dóleoVgota ⇒ mgota = dóleo ؒ ؒ πr3
gota (IV)
Substituindo IV em III, sendo v = 2,0 m/s a velocidade-
-limite para o ar:
dóleo ؒ ؒ πr3
gotag = 6πηarrgotav ⇒
dóleo ؒ ؒ r2
gotag = 6ηarv ⇒
800 ؒ ؒ r2
gota ؒ 10 = 6 ؒ 1,8 ؒ 10–5
ؒ 2,0 ⇒
rgota = 1,4 ؒ 10–4
m
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
m
V
0,18
20
Δx
Δt
4
3
0,75ؒ0,040
3,0ؒ10–4
ηS
y
v1S1 = v2S2 ⇒ vESE = vTST ⇒
2,6 ؒ 7,8 ؒ 10–5
= vT ؒ 5,2 ؒ 10–4
⇒ vE = 0,39 m/s
2. a) Φ = 5,0 L/s = 5,0 ؒ 10–3
m3
/s
S1 = 1,2 ؒ 10–2
m2
⇒ Φ = v1S1 ⇒
5,0 ؒ 10–3
= v1 ؒ 1,2 ؒ 10–2
⇒ v1 = 0,42 m/s
S2 = 2,0 ؒ 10–3
m2
⇒ Φ = v2S2 ⇒
5,0 ؒ 10–3
= v2 ؒ 2,0 ؒ 10–3
⇒ v2 = 2,5 m/s
b) Fazendo p2 = p0 = 1,0 ؒ 105
Pa, da Equação de
Bernoulli:
p1 – p0 = ؒ d(v2
2
– v1
2
) + dg(h2 – h1) ⇒
p1 – 1,0 ؒ 105
= ؒ 1,0 ؒ 103
(2,52
– 0,422
) +
1,0 ؒ 103
ؒ 10(3,0 – 0) ⇒ p1 – 1,0 ؒ 105
=
3,1 ؒ 103
+ 3,0 ؒ 104
⇒ p1 = 1,3 ؒ 105
Pa
3. Da equação de Torricelli (v = ):
• para a profundidade hA = 0,080 m: vA = ⇒
vA = ⇒ vA = 1,3 m/s
• para hB = 0,16 m: vB = ⇒ vB = 1,8 m/s
• para hC = 0,24 m: vC = ⇒ vC = 2,2 m/s
Para um referencial em que a origem das alturas está fi-
xada no nível do solo, de acordo com a figura do item b,
exercício 3 da página 7:
• para as gotas que saem de A:
yA = 0,24 + 0,72 = 0,96 m
tempo de queda: y = y0 + v0yt + и gt2
⇒
0 = yA + 0 и tA + (–g)tA
2
⇒ 0 = 0,96 – 5,0tA
2
⇒
tA = 0,44 s
• para as gotas que saem de B:
yB = 0,16 + 0,72 = 0,88 m
0 = yB + 0 и tB + (–g)tB
2
⇒ 0 = 0,88 – 5,0tB
2
⇒
tB = 0,42 s
• para as gotas que saem de C:
yC = 0,080 + 0,72 = 0,90 m
0 = yC + 0 и tC + (–g)tC
2
⇒ 0 = 0,80 – 5,0tC
2
⇒
tC = 0,40 s
Portanto, os alcances serão:
• para as gotas que saem de A: x = x0 + vt ⇒
xA = x0 + vAtA ⇒ xA = 0 + 1,3 и 0,44 ⇒ xA = 0,57 m
• para as gotas que saem de B: xB = x0 + vBtB ⇒
xB = 0 + 1,8 и 0,42 ⇒ xB = 0,76 m
• para as gotas que saem de C: xC = x0 + vCtC ⇒
xC = 0 + 2,2 и 0,40 ⇒ xC = 0,88 m
4. Da expressão do tubo de Venturi:
Φ = S1S2Ί
හ හහහහ
⇒ p1 – p2 = ⇒
Δp = ⇒
Δp = 1,7 ؒ 103
Pa
(2,0ؒ10–2
)2
ؒ1,0 ؒ103
[(2,5ؒ10–2
)2
–(1,0ؒ10–2
)2
]
2(2,5 ؒ 10–2
ؒ 1,0 ؒ 10–2
)2
Φ2
d(S1
2
– S2
2
)
2(S1S2)2
2(p1 – p2)
d(S1
2
– S2
2
)
1
2
1
2
1
2
1
2
2 10⋅ ⋅0,24
2 10⋅ ⋅0,16
2 10⋅ ⋅0,080
2ghA
2gh
1
2
1
2](https://image.slidesharecdn.com/hidrodinamica-160316061713/85/Hidrodinamica-27-320.jpg)
![proporcional ao quadrado da sua velocidade – se ela
dobra (passa de 12 km/h a 24 km/h), a potência deve
tornar-se 4 (22
) vezes maior e passar de 6,0 kW para
24 kW (4 ؒ 6,0).
Resposta: alternativa a.
10. Como a massa específica da esfera é o dobro da massa
específica da água, podemos escrever
dágua = ؒ desfera. Então, pela expressão do empuxo
(E = dfluidoVfluido deslocadog), podemos determinar o empu-
xo dessa esfera inteiramente imersa na água:
Eesfera = dáguaVesferag ⇒ Eesfera = ؒ desferaVesferag ⇒
Eesfera = ؒ P
Como a velocidade é constante, a resultante sobre a
esfera é nula (reveja a figura da página 14). Da Segunda
Lei de Newton em módulo, sendo A a força viscosa:
A + Eesfera = P ⇒ A + ؒ P = P ⇒ P = 2A
Resposta: alternativa d.
11. Da Equação de Continuidade, sendo v1 = 1 m/s, onde
S1 = 500 m2
, obtemos S2, onde v2 = 2 m/s:
S1v1 = S2v2 ⇒ 500 ؒ 1 = S2 ؒ 2 ⇒ S2 = 250 m2
Resposta: alternativa a.
12. Até há pouco tempo esse fenômeno era associado à
Equação de Bernoulli (podemos afirmar que essa era a
resposta esperada pela banca). No entanto, a resposta
correta é o Efeito Coanda (curiosamente, essa mudança
de explicação foi divulgada pela primeira vez por físicos
da UFBA).
Supondo que o conjunto cartolina-prego seja sustenta-
do apenas pela diferença de pressão, o que não é mais
aceito como verdadeiro, a diferença de pressão média
mínima entre as faces da cartolina necessária para im-
pedir que o conjunto caia deve ser aquela que resulte
em uma força ascendente F= igual ao módulo P do peso
desse conjunto. Sendo m = 10 g = 1,0 и 10–2
kg a massa
do conjunto cartolina-prego e g = 10 m/s2
, o módulo da
força ascendente é:
F = P ⇒ F = mg ⇒ F = 1,0 и 10–2
и 10 ⇒ F = 0,10 N
Da definição de pressão, podemos escrever Δp = .
A área do disco de raio r = 2,0 cm = 2,0 ؒ 10–2
m é:
S = πr2
⇒ S = 3,1(2,0 ؒ 10–2
)2
= 1,2 ؒ 10–3
m2
Então:
Δp = ⇒ Δp = 83 Pa
0,10
1,2ؒ10–3
F
S
1
2
1
2
1
2
1
2
Preparação para o ingresso no ensino superior
1. Resposta: alternativa d.
2. Num escoamento laminar, a vazão é dada por Φ = vS.
Então, ela é diretamente proporcional à velocidade e à
área.
Resposta: alternativa d.
3. Da expressão dada podemos obter a dimensão de
C pela razão
5 6
. Portanto, a dimensão de C é 5 6 ou
m3
и s–1
.
Resposta: alternativa e.
4. Ainda dessa expressão, podemos determinar C usan-
do a expressão da velocidade do sangue (v = 0,28 m/s)
para um ponto P localizado no eixo central (d = 0) em
um vaso de raio r = 1,0 cm = 1,0 ؒ 10–2
m:
v = C(r2
– d2
) ⇒ 0,28 = C[(1,0 ؒ 10–2
)2
– 02
] ⇒
C = 2,8 ؒ 103
m3
ؒ s–1
Pela mesma expressão determinamos o valor de v para
d = 0,50 cm = 5,0 ؒ 10–3
m:
v = C(r2
– d2
) ⇒ v = 2,8 ؒ 103
[(1,0 ؒ 10–2
)2
–
(5,0 ؒ 10–3
)2
] ⇒ v = 0,21 m/s
Resposta: alternativa b.
5. Da Equação de Continuidade, chamando de A a área da
seção reta e sendo A2 = 3A1, podemos escrever:
A1v1 = A2v2 ⇒ A1v1 = 3A1v2 ⇒ v2 = [ ]v1
Logo, x = .
Resposta: alternativa d.
6. Da Equação de Continuidade, podemos concluir que, ao
passar de uma região de maior raio para outra de menor
raio, a velocidade da água aumenta. E, pela Equação de
Bernoulli, se a velocidade aumenta, a pressão diminui.
Resposta: alternativa c.
7. Chamando F de Fa, Fa + E = P (reveja o exercício resolvi-
do 6).
Resposta: alternativa c.
8. Resposta: alternativa c.
9. Da expressão da força viscosa (F = cv), lembrando a re-
lação entre a potência (P) e velocidade (v) de um mó-
vel em MRU (P = Fv), concluímos que P = cv2
. Logo, nas
condições dadas, a potência do barco é diretamente
1
3
1
3
m3
s
m
s
[m2
]
28](https://image.slidesharecdn.com/hidrodinamica-160316061713/85/Hidrodinamica-28-320.jpg)
Carregado porCharles Lima
Hidrodinamica
1. O documento discute a hidrodinâmica e túneis de vento, explicando que túneis de vento tornam visíveis as linhas de fluxo do ar ao redor de objetos em movimento, permitindo avaliar a resistência do ar. 2. A hidrodinâmica teve origem na pré-história, mas foi formalizada por cientistas como Arquimedes, Leonardo da Vinci e Daniel Bernoulli. Túneis de vento permitem estudar aerodinâmica de forma similar. 3. A equação de continuidade est
Mais conteúdo relacionado
Hidrodinamica
- 1. 1 fluxo. A configuraçãodessas linhas — forma, continui- dade, linearidade, separação e paralelismo — permite aos engenheiros uma avaliação imediata da intensidade da resistência do ar para cada velocidade. A aerodinâmica e o túnel de vento talvez sejam a face mais moderna do estudo da Hidrodinâmica (veja o boxe Gramática da Física: Hidrodinâmica ou Fluido- dinâmica), mas a sua origem vem desde a pré-história (veja o boxe História da Hidrodinâmica). GRAMÁTICA DA FÍSICA: HIDRODINÂMICA OU FLUIDODINÂMICA Assim como para hidrostática, palavra de ori- gem grega que significa água em equilíbrio, mas o seu estudo se aplica a outros fluidos em equilíbrio, hidrodinâmica significa água em movimento e o seu estudo também se destina a todos os fluidos em movimento. No entanto, ao contrário da hidrostática, em que essa é a denominação predo- minante, na hidrodinâmica é cada vez mais nítida a preferência pelo termo fluidodinâmica. É bem provável que a razão para essa prefe- rência venha da aerodinâmica, um dos seus obje- tos de estudo cuja importância tecnológica é cada vez maior — embora a aerodinâmica possa ser aplicada também ao movimento de veículos na água, o estudo dos veículos que se movem no ar é muito mais relevante. A resistência do ar ou da água é o principal limita- dor da velocidade de qualquer veículo que atravesse esses fluidos. Em princípio, se não houvesse a resistência do ar, qualquer carro, mesmo com motor de baixa potência, poderia atingir qualquer velocidade — bastaria manter a sua aceleração constante durante tempo suficiente. Mas isso não ocorre porque a intensidade da resistência do ar aumenta com a velocidade do carro. Assim, seja qual for a potência do motor de um carro, ele sempre vai atingir uma velocidade-limite quando a força exercida pelo motor se igualar à intensidade da resistência do ar — é essencial, portanto, reduzir ao máximo essa resistência. A vantagem dessa redução não está apenas em aumentar a velocidade máxima do carro, mas também em reduzir a força necessária para manter as velocidades habituais e, assim, diminuir o consumo de combustível. Essa é a finalidade do túnel de vento, extraordinário dispositivo tecnológico que permite ver direta ou indire- tamente as linhas de fluxo resultantes do movimento relativo de um carro através do ar. A intensidade da resistência do ar é calculada multiplicando a velocidade do ar ao quadrado por uma constante, que depende da forma do carro: quanto menor a constante, menor a resistência e melhor a aerodinâmica do carro. Como são muitos os fatores que intervêm no valor dessa constante, é quase impossível calculá-la, mesmo com os mais modernos computadores. Além disso, qualquer mudan- ça no design do carro, até da posição ou da forma de um espelho retrovisor externo, pode alterar essa constante, o que obrigaria os engenheiros a refazer o cálculo exausti- vamente; daí a vantagem da visualização das linhas de O túnel de vento cria linhas do fluxo de ar, que contornam o carro, e as torna visíveis por meio de sofisticados recursos ópticos. PAGANI
- 2. 2 HISTÓRIA DA HIDRODINÂMICA Poços degrande profundidade, canais de irri- gação, aquedutos e sistemas de distribuição de água existem há milênios e mostram quanto é an- tiga a preocupação do ser humano em dominar a tecnologia da obtenção e distribuição de água. A formulação de uma ciência da mecânica da água iniciou-se com os filósofos gregos — Arquimedes (287-212 a.C.) formulou seu primeiro conceito básico: o empuxo —, mas só muitos sécu- los depois ela começou a ser de fato construída. No fim do século XV, o gênio italiano Leonardo da Vinci (1452-1519) realizou um extraordinário estu- do sobre hidráulica e a ele se atribui a primeira for- mulação do Princípio da Continuidade. Mas seu trabalho, difícil de ler (Leonardo escrevia com caracteres invertidos, para serem lidos vistos pelo espelho), não chegou a ser conhecido na época e é pouco conhecido até hoje. Quase um século depois, em 1586, o enge- nheiro hidráulico alemão Simon Stevin (1548-1620) mostrou que o peso exercido por um líquido no fundo de um vaso depende apenas da sua profun- didade. No século XVII, Evangelista Torricelli (1608- -1647), discípulo de Galileu Galilei (1564-1642) e célebre pela medida da pressão atmosférica com um tubo de mercúrio, obteve a expressão da velo- cidade de escoamento de um líquido de um vaso em função da profundidade do furo de saída, tendo como fundamentação teórica o estudo dos projé- teis elaborado por seu mestre. Ainda naquele sécu- lo o sábio francês Blaise Pascal (1623-1662) apro- fundou os estudos de Torricelli e completou a teo- ria da Hidrostática. No século XVIII dois amigos e extraordinários matemáticos, o holandês Daniel Bernoulli (1700- -1782) e o suíço Leonhard Euler (1707-1783), cons- truíram praticamente toda a fundamentação teóri- ca da Hidrodinâmica, apresentada no tratado Hydrodynamica, publicado em 1738 por Bernoulli. A autoria da obra fez com que fosse atribuída a Bernoulli a equação mais importante da Hidrodi- nâmica, deduzida, na verdade, por Euler. Desde então a Hidrodinâmica foi se aprimo- rando, graças principalmente ao trabalho de cien- tistas franceses, como os físicos barão Augustin Louis de Cauchy (1789-1857) e Simeon Denis Poisson (1781-1840) e o médico Jean Louis Poi- seuille (1799-1869), interessado na dinâmica da cir- culação sanguínea. Merecem destaque ainda o ita- liano Giovanni Battista Venturi (1746-1822), o ale- mão Gotthilf Ludwig Hagen (1797-1884) e o inglês George Gabriel Stokes (1819-1903). As bases da moderna mecânica dos fluidos foram estabelecidas pelo engenheiro mecânico alemão Ludwig Prandtl (1875-1953), que, com alguns dos seus muitos alunos, formulou os princí- pios básicos dos aerofólios e da propulsão a jato. A foto mostra as linhas de fluxo do ar atravessando o perfil da asa de um avião —afumaçainjetadaemumcompartimentofechado,semelhanteaumtúnelde vento, torna-as visíveis. Iniciamos este assunto com a apresentação das bases para a compreensão da primeira e mais importante pro- priedade dos fluidos: as suas formas de escoamento. 1. Escoamento de um fluido A complexidade do estudo dos fluidos em movi- mento e os recursos matemáticos de que dispomos no nível do ensino médio exigem algumas limitações ini- ciais: não levar em conta variações de temperatura e considerar os fluidos incompressíveis, de densidade constante, são as duas primeiras. Mas a limitação essen- cial está relacionada às duas formas principais de escoa- mento de um fluido: laminar ou lamelar e turbulenta. Veja a imagem a seguir. Observe que a maior parte das partículas do ar descreve trajetórias praticamente invariáveis — as linhas de fluxo mantêm-se contínuas e separadas; esse é o escoamento laminar. Na parte traseira da asa essa regu- laridade deixa de existir — as partículas do fluido des- crevem trajetórias irregulares e imprevisíveis; esse é o escoamento turbulento. Com frequência, um fluido passa de um tipo de escoamento para outro e muitas vezes assume uma con- figuração que não se caracteriza nem como laminar nem como turbulenta. Veja as fotos a seguir. www.usfamily.net fluxo laminar fluxo turbulento
- 3. 3 Rua de vórtices(do inglês, vortex street), nome dado a essa configuração criada experimentalmente pelo movimento relativo de um fluido através do obstáculo cilíndrico girante (à esquerda). O escoamento turbulento não é passível de estudo, tal a sua irregularidade e imprevisibilidade. O escoa- mento em vórtices já dispõe de uma teoria bem estabe- lecida com aplicações à meteorologia e simulações ex- perimentais controladas, como a rua de vórtices, mos- trada na foto a seguir, cuja beleza só é superada pela complexidade do seu tratamento matemático. Duas seções normais ao tubo de corrente de áreas S1 e S2. S1 S2 S1 S2 v=1 v=2 De início, a fumaça tem um escoamento laminar, que se estreita e, depois, se torna turbulento. Enquanto o escoamen- to é laminar, as partículas da fumaça mantêm-se em trajetória ascendente. Quando passa a turbulento, a fumaça espalha-se, e suas partículas passam a descrever trajetórias caóticas — muitas descem, em vez de continuarem a subir. Uma pequena rotação na fonte que gera o fluido (a fumaça) ou no obstáculo pelo qualelepassapodeoriginarumasériede vórtices. Por essas razões, o estudo da Hidrodinâmica no nível médio só é possível para fluidos incompressíveis em escoamento laminar (veja o boxe Fluidos ideais). FLUIDOS IDEAIS Fluidos incompressíveis têm também densi- dade constante — acrescida a condição de viscosi- dade nula (o estudo da viscosidade está no tópico 4), eles são chamados de ideais. Os gases têm baixa viscosidade, mas alta com- pressibilidade e, por isso, densidade variável. Nos líquidos a viscosidade é um pouco maior, mas a sua compressibilidade é baixíssima (veja a figura a seguir). Por isso a sua densidade é pratica- mente constante. Assim, ao considerar um líquido fluido ideal, estamos mais próximos da realidade, o que não acontece com os gases. 100 kg O efeito da carga de 100 kg (1 000 N) no abaixamento do êmbolo no cilindro é quase imperceptível: ela comprime a água em apenas 0,75 mm! 2. Equação de Continuidade A trajetória de uma partícula de um fluido em es- coamento laminar constitui uma linha de corrente. Essas linhas nunca se cruzam, por isso um feixe delas forma um tubo de corrente. Seções normais às linhas do tubo de corrente são figuras planas. Veja a figura a seguir. Vamos supor que todas as partículas do fluido atra- vessem a seção de área S1 com velocidade de módulo v1 e a seção de área S2 com velocidade de módulo v2. Veja a figura abaixo. PETERWIENERROITHERhttp://serve.me.nus.edu.sghttp://easyweb.easynet.co.uk
- 4. 4 2 Com basena Equação de Continuidade, um cole- ga seu pensa em fazer a experiência descrita na figura a seguir. Ele argumenta que basta apertar a boca da mangueira o suficiente para que isso ocorra. Você acha que vai dar certo? Justifique. Observação: Por enquanto você pode argumen- tar apenas se baseando no Princípio da Conser- vação da Energia. Mais adiante terá condições para dar uma resposta mais detalhada (nesse momen- to esta questão será reapresentada). Nessas condições, podemos demonstrar que é váli- da a igualdade: v1S1 = v2S2 (veja a primeira dedução na página 20) Essa expressão é conhecida como Equação de Continuidade. Se em um tubo de corrente considerarmos seções normais S1, S2, S3, ..., Sn, atravessadas por velocidades de módulos v1, v2, v3, ..., vn, respectivamente, podemos escrever: v1S1 = v2S2 = v3S3 = ... = vnSn = constante Por definição, essa constante é a vazão (⌽) desse fluido, que pode ser expressa na forma: ⌽ = vS O produto da unidade de velocidade (m/s) pela de área (m2 ) dá a unidade da vazão no SI — m3 /s — e torna claro o seu significado físico e a forma mais frequente de defini-la: Vazão (⌽) de um fluido em um tubo de cor- rente é a razão entre o volume (V) desse fluido que atravessa uma seção normal do tubo e o corres- pondente intervalo de tempo (⌬t): ⌽ = A Equação de Continuidade implica vazão cons- tante. Assim, em um tubo de corrente, onde a área da seção normal é maior, a velocidade é menor, e vice-ver- sa. Por isso apertar a extremidade de uma mangueira, diminuindo a área de saída da água, faz a velocidade do esguicho aumentar. V ⌬t garrafa PET boca da mangueirinha espremida mangueirinha esguicho de água A água que sai da garrafa sobe e cai novamente dentro da garrafa — o sis- tema vai funcionar continua e eternamente... Para você pensar 1 Enquanto o escoamento da água de uma tor- neira é laminar, observa-se que o filete de água afina ao cair (veja a foto a seguir). Por quê? Exercício resolvido 1 Uma mangueira tem uma extremidade fixada à boca de uma torneira de 2,0 cm de diâmetro e a outra fixada a uma ponta de esguicho de 0,40 cm de diâmetro. Sabe-se que essa torneira enche um balde de 10 L em 40 s com vazão constan- te. Nessas condições, determine: a) a vazão da torneira; b) a velocidade da água na boca da torneira; c) a velocidade da água na boca do esguicho da mangueira. Solução a) Podemos calcular a vazão da torneira (ΦT) pelo tempo gasto para encher o balde. Sendo V = 10 L e Δt = 40 s: ΦT = ⇒ ΦT = ⇒ ΦT = 0,25 L/s ⇒ ΦT = 2,5 ؒ 10–4 m3 /s b) Sendo rT = 1,0 cm = 1,0 ؒ 10–2 m o raio da boca da tornei- ra, a sua área é: ST = πrT 2 ⇒ ST = 3,1(1,0 ؒ 10–2 )2 ⇒ ST = 3,1 ؒ 10–4 m2 Da definição de vazão, obtemos o módulo da velocidade v=T na saída da água da boca da torneira: ΦT = vTST ⇒ 2,5 ؒ 10–4 = vT ؒ 3,1 ؒ 10–4 ⇒ vT = 0,81 m/s 10 40 V ⌬t EDUARDOSANTALIESTRA
- 5. 5 c) Sendo rE= 0,20 cm = 2,0 ؒ 10–3 m o raio da abertura da ponta do esguicho, a sua área (SE) é: SE = πrE 2 ⇒ SE = 3,1(2,0 ؒ 10–3 )2 ⇒ SE = 1,2 ؒ 10–5 m2 Da Equação de Continuidade obtemos o módulo da velo- cidade v=E na saída da água da boca do esguicho: v1S1 = v2S2 ⇒ vTST = vESE ⇒ 0,81 ؒ 3,1 ؒ 10–4 = vE ؒ 1,2 ؒ 10–5 ⇒ vE = 21 m/s Observações: I. Utilizamos para π o valor 3,1 porque trabalhamos com dois algarismos significativos. II. A resposta ao item c pode ser obtida diretamente por con- siderações de proporcionalidade. Assim, da Equação de Continuidade conclui-se que a velocidade da água é inver- samente proporcional à área da seção de vazão. Como a área de um círculo é diretamente proporcional ao quadra- do do raio, a velocidade da água será inversamente propor- cional ao quadrado do raio. Logo, se o raio da boca do esguicho é 5 vezes menor que o raio da boca da torneira, a velocidade da água que o atravessa será 25 (52 ) vezes maior. Então, podemos escrever: vE = 52 vT ⇒ vE = 25 ؒ 0,81 ⇒ vE = 20 m/s A diferença entre os valores obtidos deve-se às aproxima- ções decorrentes do uso de dois algarismos significativos. Para você resolver 1 O bico do esguicho de uma mangueira de jar- dim tem 1,0 cm de diâmetro, e com ela é possí- vel encher um regador de 12 L em 1,0 min. Supondo que o fluxo seja ideal e a vazão cons- tante, determine: a) a vazão da água; b) a velocidade da água na boca do esguicho da mangueira; c) a velocidade da água na saída da torneira, on- de se engata a mangueira, sabendo que o diâ- metro dessa torneira é de 2,5 cm. e Δx2 com velocidade v=2 ao nível h2, no mesmo interva- lo de tempo Δt. Podemos demonstrar que é válida a equação: p1 – p2 = ؒ d(v2 2 – v1 2 ) + dg(h2 – h1) (veja a segunda dedução na página 20) Pela análise dessa expressão podemos explicitar o seu significado físico: • Lembrando a expressão da energia cinética — Ec = ؒ mv2 —, podemos dizer que o termo ؒ d(v2 2 – v1 2 ) é uma espécie de variação da energia cinética do fluido em que a sua densidade (d) substi- tui a massa (m); • Se o fluido estiver em repouso, v1 = v2 = 0, essa expressão assume a forma: p1 – p2 = dg(h2 – h1) ⇒ Δp = dgΔh que é a Lei de Stevin, da Hidrostática. Se, nessa expressão, substituirmos a densidade (d) do fluido pela massa (m), obtemos a expressão da variação da energia potencial gravitacional entre esses dois níveis. Assim, podemos dizer que a diferença de pressões entre dois níveis de um fluido em movimento é res- ponsável pela variação da sua energia cinética, repre- sentada pelo termo ؒ d(v2 2 – v1 2 ), e da sua energia potencial gravitacional, representada pelo termo dg(h2 – h1). Os termos da equação acima podem ser rearranjados assim: p1 + ؒ dv1 2 + dgh1 = p2 + ؒ dv2 2 + dgh2 (I) ou, como os níveis 1 e 2 podem ser quaisquer, na forma: p + ؒ dv2 + dgh = constante (II) As equações I e II são as duas formas em que se costuma apresentar a Equação de Bernoulli (quando nos referimos a essa equação, estamos nos referindo a qualquer uma delas). Para você pensar 3 Suponha que um fluido atravesse os tubos da figura abaixo em condições ideais: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 S1 p1 p2 v=1 v=2 h1 ⌬x1 S2 ⌬x2 h2 3. Equação de Bernoulli Suponha que, em um lugar onde o módulo da ace- leração da gravidade é g, um fluido ideal de densidade d se desloca por uma tubulação com vazão constante Φ, como mostra a figura a seguir. h1 h1 I II h1 = h2 h2 h2 Em decorrência da diferença entre as pressões p1 e p2, o fluido desloca-se Δx1 com velocidade v=1 ao nível h1
- 6. 6 Em I, ofluido sofre um estreitamento, mas não é elevado. Em II, ele é elevado, mas não sofre es- treitamento. a) Como se expressa a Equação de Bernoulli em cada caso? b) Interprete fisicamente cada termo dessa equa- ção em cada situação. 4 Muitos físicos fazem questão de lembrar que a Equação de Bernoulli não traz nada de novo à física, que se trata apenas de uma aplicação do Princípio da Conservação da Energia. Como você justifica essa afirmação? Exercício resolvido 2 Suponha que a tubulação representada na figura a seguir é atravessada por água com vazão constante. No nível 2, à altu- ra h2 = 1,8 m, a área da seção normal é S2 = 1,2 ؒ 10–3 m2 e o módulo da velocidade da água é v2 = 8,0 m/s. Em 1 (h1 = 0), a área da seção normal é S1 = 6,0 ؒ 10–3 m2 . to da água através do estrangulamento do tubo — se não houvesse o estrangulamento, as velocidades v=1 e v=2 seriam iguais, e essa parcela seria nula; b) a parcela 1,8 ؒ 104 Pa possibilita a elevação do fluido — se não houvesse esse desnível, essa parcela seria nula. II. Podemos supor que a saída S2 está aberta à pressão atmos- férica (p0). Nesse caso, p2 = p0. Sendo p0 = 1,0 ؒ 105 Pa (pressão atmosférica normal), a pressão em 1 é: p1 = p0 + Δp ⇒ p1 = 1,0 ؒ 105 + 4,9 ؒ 104 ⇒ p1 = 1,5 ؒ 105 Pa Não considerando o fato de o fluido não ser ideal e que o escoamento nem sempre é laminar, a figura a seguir mos- tra como esse caso pode ocorrer em uma situação real (o trecho dentro do retângulo tracejado corresponde ao caso proposto no exercício). S1 p1 p2 v=1 v=2 1 S2 2 h2 h1 = 0 Supondo o escoamento ideal, determine: a) a vazão da água nesse tubo; b) o módulo (v1) da velocidade da água em 1; c) a diferença de pressões (Δp = p1 – p2) necessária para man- ter esse escoamento constante. Dados: densidade da água: d = 1,0 ؒ 103 kg/m3 ; g = 10 m/s2 . Solução a) Sendo v2 = 8,0 m/s, da definição de vazão: Φ = vS ⇒ Φ = v2S2 ⇒ Φ = 8,0 ؒ 1,2 ؒ 10–3 ⇒ Φ = 9,6 ؒ 10–3 m3 /s b) Se o escoamento é ideal, a vazão é constante. Então: Φ = v1S1 ⇒ 9,6 ؒ 10–3 = v1 ؒ 6,0 ؒ 10–3 ⇒ v1 = 1,6 m/s c) Da Equação de Bernoulli: p1 – p2 = ؒ d(v2 2 – v1 2 ) + dg(h2 – h1) ⇒ Δp = ؒ 1,0 ؒ 103 (8,02 – 1,62 ) + 1,0 ؒ 103 ؒ 10(1,8 – 0) ⇒ Δp = 3,1 ؒ 104 + 1,8 ؒ 104 ⇒ Δp = 4,9 ؒ 104 Pa Observações: I. As duas parcelas antes da soma final mostram as duas in- terpretações físicas das consequências da diferença de pressão Δp: a) a parcela 3,1 ؒ 104 Pa possibilita o movimen- 1 2 1 2 h2 = 1,8 m h = 3,2 m h1 = 0 Para você resolver 2 A tubulação mostrada na figura a seguir é atra- vessada por água à vazão constante Φ = 5,0 L/s. Em 1 (h1 = 0), a área da seção normal do tubo é S1 = 1,2 ؒ 10–2 m2 ; em 2, na altura h2 = 3,0 m, a boca do tubo, aberta à atmosfera, tem área S2 = 2,0 ؒ 10–3 m2 . S1 p1 p2 v=1 v=2 1 S2 2 h2 h1 = 0 Dadas a pressão atmosférica local, p0 = 1,0 ؒ 105 Pa, e a densidade da água, d = 1,0 ؒ 103 kg/m3 , e ado- tando g = 10 m/s2 , determine: a) o módulo das velocidades v=1 e v=2 da água em 1 e 2; b) a pressão p1 da água ao nível do chão. Aplicações da Equação de Bernoulli Equação de Torricelli Suponha que um líquido escoe pe- lo orifício de um tanque a uma profun- didade h, como mostra a figura ao lado. h v= v0 = 0
- 7. 7 Se a áreaS do orifício é muito menor que a área S0 da superfície do tanque, a velocidade da água na saída do orifício inferior é dada pela expressão: v = √හහ2gh (veja a terceira dedução na página 20) Essa expressão é conhecida como Equação de Tor- ricelli. Note que nela não se considera a forma, a aber- tura, nem a posição do orifício. Assim, se dois orifícios estiverem voltados para cima, podemos concluir da Ci- nemática que, em condições ideais, o repuxo vai atingir a altura h igual à profundidade do orifício. Veja a figu- ra a seguir. Determine: a) os módulos vA, vB e vC da velocidade de saída da água em cada orifício; b) a que distância do recipiente o jato de água atinge o nível da sua base de apoio. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2 . Solução a) Nas condições dadas, é válida a Equação de Torricelli (v = √හ2හgh), em que h é a profundidade de cada furo: •para o furo A, à profundidade hA = 0,050 m: vA = √හහ2gහhA ⇒ vA = √හහහහහහ2 ؒ 10 ؒ 0,050 ⇒ vA = 1,0 m/s •para o furo B, à profundidade hB = 0,10 m: vB = √හ2gහhB ⇒ vB = √හහහහහහ2 ؒ 10 ؒ 0,10 ⇒ vB = 1,4 m/s •para o furo C, à profundidade hC = 0,15 m: vC = √හ2gහhC ⇒ vC = √හහහහහහ2 ؒ 10 ؒ 0,15 ⇒ vC = 1,7 m/s b) Um jato de água é um agregado de gotas que, neste caso, se comportam como pequeninos projéteis lançados horizon- talmente das alturas yA = 0,15 m, yB = 0,10 m e yC = 0,050 m. Para um referencial em que a origem das alturas está fixa- da no nível da base de apoio do recipiente (figura a seguir), temos:Como essas condições não existem — sempre há resistência viscosa no líquido dentro do recipiente e na saída do orifício, além da resistência do ar fora do reci- piente —, na prática os esguichos nunca vão atingir o mesmo nível da superfície. Para você pensar 5 Agora você pode aprofundar a sua resposta ao Para você pensar 2 e convencer o seu colega de que a ideia dele é inviável. O que mais você pode dizer para reforçar a sua argumentação anterior? Exercício resolvido 3 A figura a seguir representa um recipiente com água vazan- do por três furos: A, B e C. Os furos são suficientemente pequenos para que a velocidade de abaixamento do nível da superfície possa ser considerada desprezível. 5,0 cm 5,0 cm A B C 5,0 cm 5,0 cm 0,20 y (m) x (m) 0 0,050 0,10 0,15 0,20 0,15 0,10 0,050 A B C O tempo de queda das gotas que saem de A, obtido da fun- ção da posição y (altura) em relação ao tempo t da queda livre, é: y = y0 + v0yt + ؒ gt2 ⇒ 0 = yA + 0 ؒ tA + (–g)tA 2 ⇒ 0 = 0,15 – 5,0tA 2 ⇒ tA = 0,17 s Para as gotas que saem de B: y = y0 + v0yt + ؒ gt2 ⇒ 0 = yB + 0 ؒ tB + (–g)tB 2 ⇒ 0 = 0,10 – 5,0tB 2 ⇒ tB = 0,14 s E para as gotas que saem de C: y = y0 + v0yt + ؒ gt2 ⇒ 0 = yC + 0 ؒ tC + (–g)tC 2 ⇒ 0 = 0,050 – 5,0tC 2 ⇒ tC = 0,10 s Sendo desprezível a resistência do ar, o movimento de cada gota na direção do eixo x é retilíneo uniforme. Assim, para as gotas saídas de A: x = x0 + vt ⇒ xA = x0 + vAtA ⇒ xA = 0 + 1,0 ؒ 0,17 ⇒ xA = 0,17 m Para as gotas saídas de B: x = x0 + vt ⇒ xB = x0 + vBtB ⇒ xB = 0 + 1,4 ؒ 0,14 ⇒ xB = 0,20 m E para as gotas saídas de C: x = x0 + vt ⇒ xC = x0 + vCtC ⇒ xC = 0 + 1,7 ؒ 0,10 ⇒ xC = 0,17 m 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
- 8. 8 Observações: I. Ao contráriodo que se costuma afirmar, embora saia com velocidade maior, o jato do orifício mais baixo nem sempre tem o maior alcance, pois o seu tempo de queda é sempre menor que o dos jatos dos orifícios superiores. Para que tenha alcance maior, é preciso que ele caia abaixo da base do recipiente. Veja a figura a seguir. Se em uma canalização houver um estrangulamen- to, nele a área da seção normal é menor. Da Equação de Continuidade (v1S1 = v2S2), obtemos: S2 Ͻ S1 ⇒ v2 Ͼ v1 (II) De I e II concluímos que: S2 Ͻ S1 ⇒ p2 Ͻ p1 Portanto, para um fluido ideal em escoamento laminar, a pressão é menor onde a área da seção normal também é menor, e maior onde a área da seção normal é maior — é o Efeito Venturi, assim chamado em decorrência dos trabalhos realizados em 1791 pelo físi- co italiano Giovanni Battista Venturi. Tubos com um ou mais estrangulamentos, como os das figuras a seguir, são conhecidos como tubos de Venturi. 8,0 cm 8,0 cm A B C 8,0 cm 8,0 cm II. Agora pode ser entendida a razão do desnível de 3,2 m e das dimensões tão grandes da caixa-d’água da figura dada no fim do exercício resolvido 2 (página 6). A largura da caixa-d’água é necessária para que a velocidade de abaixa- mento de sua superfície seja desprezível, e, nessas condi- ções, esse desnível corresponde à velocidade v2 = 8,0 m/s. Para você resolver 3 Na figura acima, determine o alcance dos jatos de água que saem dos orifícios A, B e C sabendo que o banquinho tem 0,72 m de altura e que a profundidade correspondente a cada furo em relação à superfície é: hA = 0,080 m; hB = 0,16 m; hC = 0,24 m. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2 . Tubo de Venturi Uma consequência imediata da Equação de Ber- noulli é a relação inversa entre velocidade e pressão no interior de um fluido em escoamento laminar. Se h não varia, a Equação de Bernoulli assume a forma: p1 + ؒ dv1 2 = p2 + ؒ dv2 2 e podemos concluir que a velocidade é maior onde a pressão é menor: v2 Ͼ v1 ⇒ p2 Ͻ p1 (I) 1 2 1 2 Dispositivo de demonstração do Efeito Venturi: pela man- gueirinha amarela injeta-se um fluxo de ar no tubo hori- zontal com seção normal va- riável. Observa-se que o nível da água (coluna líquido lilás) sobe mais no tubo vertical ligado à região do tubo hori- zontalemqueaáreadeseção normal é menor, mostrando que a pressão do ar nessa região também é menor. v=2 p2 p1 v=1 ⌬h Esquema de um tubo de Venturi utilizado para medir a vazão (Φ) de um fluido por meio da diferença de pressões em uma tubulação. Assim, conhecendo as áreas das seções normais S1 e S2 do tubo onde se medem as pressões p1 e p2, pode- mos demonstrar que: Φ = S1S2 Ί හහහහහ (veja a quarta dedução na página 21) Com essa expressão é possível calcular a vazão em um tubo de Venturi pela diferença de pressões em duas 2(p1 – p2) d(S2 1 – S2 2) www.phys.vt.edu
- 9. 9 regiões das quaisse conhece as áreas das seções nor- mais. O uso do tubo em U para fazer a medida dessa di- ferença, da forma como está representado na figura an- terior, só é possível em tubos com gás. Com líquidos, utilizam-se manômetros, instrumentos de medida dire- ta da pressão que não são afetados pela passagem do líquido. Podem-se usar manômetros localizados em di- ferentes setores da tubulação (figura a seguir) ou manô- metros para medir a diferença de pressão entre dois pon- tos nos quais as áreas das seções normais são conhecidas (foto abaixo). b) Para S1 = 2,0 ؒ 10–2 m2 : Φ = vS ⇒ Φ = v1S1 ⇒ 2,8 ؒ 10–2 = v1 ؒ 2,0 ؒ 10–2 ⇒ v1 = 1,4 m/s Para S2 = 5,00 ؒ 10–3 m2 : Φ = vS ⇒ Φ = v2S2 ⇒ 2,8 ؒ 10–2 = v2 ؒ 5,0 ؒ 10–3 ⇒ v2 = 5,6 m/s Observação: O tubo de Ven- turi é muito usado como va- porizador. Veja a figura ao la- do: a velocidade do ar sopra- do no tubo horizontal torna a pressão na extremidade supe- rior do tubo vertical menor do que a pressão atmosférica, por isso o líquido contido no recipiente sobe e, atingido pelo fluxo de ar, fragmenta-se em gotículas. Daí esse dispositivo ser chamado também de atomizador. Muitos frascos de perfume, como o mostrado na foto a seguir, funcionam dessa maneira. x y Exercício resolvido 4 Suponha que o manômetro do tubo de Venturi mostrado na foto anterior, instalado em uma canalização de água, meça a diferença de pressão Δp = 1,5 ؒ 104 Pa. As áreas das seções nor- mais desse tubo, correspondentes às pressões p1 (ramo esquerdo do manômetro) e p2 (ramo direito do manômetro), são, respectivamente, S1 = 2,0 ؒ 10–2 m2 e S2 = 5,0 ؒ 10–3 m2 . Sendo dágua = 1,0 ؒ 103 kg/m3 e adotando g = 10 m/s2 , determine: a) a vazão (Φ) da água; b) os módulos v1 e v2 da velocidade do fluido ao passar por S1 e S2. Solução a) Sendo Δp = p1 – p2 = 1,5 ؒ 104 Pa, da expressão do tubo de Venturi: Φ = S1S2 Ί හහහහ ⇒ Φ = 1,0 ؒ 10–4 ؒ 2,8 ؒ 102 ⇒ Φ = 2,8 ؒ 10–2 m3 /s ⇒ Φ = 28 L/s Φ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( ⋅ ) − ⋅ − − − − 2,0 5,0 1,5 1,0 2,0 5,0 10 10 2 10 10 10 10 2 3 4 3 2 2 3[ ( )22] ⇒ 2(p1 – p2) d(S2 1 – S2 2) B A Um atomizador bá- sico se compõe ape- nas de dois tubos em ângulo reto e assim pode ser encontrado em lojas de produtos para artistas. Veja as imagens. Atomizador básico. A artista imerge o tubo maior do atomizador na tinta e sopra no bocal do tubo horizontal para aspergi-la na tela. Podemos controlar a quan- tidade de tinta variando a vazão e a velocidade do ar soprado. EDUARDOSANTALIESTRA www.french-home.com EDUARDOSANTALIESTRA EDUARDOSANTALIESTRA
- 10. 10 Para você resolver 4Suponha que um tubo de Venturi, semelhante ao da foto mostrada na página anterior, está ins- talado em uma canalização de água cuja vazão é de 20 L/s em fluxo laminar. As áreas correspon- dentes às pressões p1 e p2 são S1 = 2,5 ؒ 10–2 m2 e S2 = 1,0 ؒ 10–2 m2 , respectivamente. Determine a diferença de pressão medida pelo manômetro. (Dados: densidade da água dágua = 1,0 ؒ 103 kg/m3 ; g = 10 m/s2 .) Observação: De início, convém isolar a diferença de pressões (p1 – p2) da expressão do tubo de Venturi e trabalhar com a expressão assim obtida. Essas características são explicadas pela existência de forças de adesão de origem eletromagnética (veja o boxe Aprofundamento: A natureza elétrica da matéria). Nos exemplos desta página, essas forças aparecem entre as moléculas do líquido — óleo e mel — e entre elas e uma superfície rígida — o mel e o vidro (veja o boxe Gramática da física: Rígido ou sólido?). Nesta etapa do curso não há como aprofundar essa explicação. Podemos dizer que essas forças são as mes- mas que originam a tensão superficial e a capilaridade, já apresentadas no estudo da Hidrostática. APROFUNDAMENTO: A NATUREZA ELÉTRICA DA MATÉRIA Embora as moléculas dos líquidos e dos gases sejam eletricamente neutras por causa da soma das cargas de suas partículas, elas podem apresen- tar uma espécie de “ação elétrica” decorrente da assimetria na distribuição dessas partículas elétri- cas nessas moléculas, o que implica uma assimetria na distribuição das cargas elétricas. O exemplo mais notável dessa assimetria é a molé- cula de água. Veja a figura ao lado. Embora eletricamente neutra, a molécula de água tem regiões positivas e negativas separadas, o que a torna eletricamente ativa — os físicos dizem que essa distribuição torna essa molécula eletricamente polarizada: ela é um dipolo elétrico. A polarização elétrica faz as gotas de água grudarem nos vidros das janelas e dos parabrisas dos carros. Embora a estrutura molecular do mel seja muito mais complexa, ele também adere às placas de vidro por causa dessa atração elétrica. A Equação de Continuidade e a Equação de Ber- noulli costumam ser a fundamentação teórica para a explicação de outros fenômenos, como a sustentação da asa de um avião ou a flutuação de uma bola em um jato de ar. No entanto, ultimamente, essa fundamentação tem sido contestada e substituída por outra relativa- mente mais recente, que tem se mostrado mais adequa- da e correta. Para apresentá-la e torná-la fisicamente compreensível, o estudo da viscosidade é pré-requisito. 4. Viscosidade As fotos e as ilustrações a seguir mostram algumas características dos líquidos: O mel escorre sem formar gotas. Óleos diferentes fragmentam-se em gotas de tamanhos diferentes. O mel adere à superfície do vidro e a si próprio. O H+ + – – H RUBENSCHAVES EDUARDOSANTALIESTRA EDUARDOSANTALIESTRA
- 11. 11 Suponha que ofluido representado na figura este- ja entre duas placas paralelas separadas pela distância y. Quando a placa superior de área S é puxada para a direita com a força F=, ela (e a película fluida a ela aderi- da) adquire a velocidade v= constante (veja o boxe Apro- fundamento: A velocidade de um fluido em um tubo). Nessas condições, define-se o coeficiente de viscosida- de (letra grega “eta”) desse fluido pela expressão: = A unidade do coeficiente de viscosidade no SI é Pa ؒ s (veja o boxe Unidade de viscosidade). A tabela a seguir apresenta os valores do coeficiente de viscosida- de para alguns fluidos. Fy Sv GRAMÁTICA DA FÍSICA: RÍGIDO OU SÓLIDO? Preferimos falar em superfície rígida em vez de sólida porque o vidro, a rigor, não é sólido: al- guns o consideram um líquido cujo coeficiente de viscosidade tende ao infinito; outros, um sólido amorfo por não ter a estrutura cristalina caracterís- tica dos sólidos. O fenômeno resultante da adesão elétrica entre as partículas interiores de um fluido (líquido ou gás) e entre elas e uma superfície rígida origina a viscosidade. Como as imagens da abertura deste item ilustram, po- demos dizer que essa propriedade torna os fluidos resis- tentes à fragmentação e ao movimento. A resistência ao movimento se dá apenas entre partículas do próprio fluido, embora, em geral, tenha como causa a interação entre ele e a superfície rígida. A viscosidade é uma propriedade exclusiva dos fluidos. Um fluido não pode “raspar” em uma superfí- cie rígida, mas ambos — superfície e fluido — se inter- penetram e formam uma película solidária, uma espé- cie de revestimento temporário (pode ser também de longo prazo; nesse caso, o fluido torna-se uma tinta). Por isso não faz sentido considerar o atrito entre uma superfície rígida e um líquido ou gás. É impossível obter coeficientes de atrito entre o vidro e a água ou entre o vidro e o ar, por exemplo. Mas é possível definir um coe- ficiente de viscosidade relacionado exclusivamente ao fluido (veja o boxe Gramática da física: Viscosidade ou coeficiente de viscosidade). GRAMÁTICA DA FÍSICA: VISCOSIDADE OU COEFICIENTE DE VISCOSIDADE É muito raro encontrar tabelas com o título “Coeficientes de viscosidade de fluidos”. Em geral, elas se intitulam apenas “Viscosidade de fluidos”, o que, a rigor, não é adequado. Viscosidade é característica física, não uma grandeza ou constante que possa ser medida e tabelada. Por isso, assim como no estudo do atrito distinguimos o fenômeno (atrito) dos seus coefi- cientes, aqui também vamos nos referir sempre a coeficiente de viscosidade, em vez de viscosidade. Veja a figura a seguir. y S v= F= Líquidos Coeficiente de viscosidade (Pa ؒ s)* Gases Coeficiente de viscosidade (Pa ؒ s)* acetona 0,00032 ar 0,000018 água 0,0010 argônio 0,000021 álcool etílico 0,0012 dióxido de carbono 0,00015 gasolina 0,00060 hidrogênio 0,0000089 glicerina anidra 1,4 hélio 0,000019 mercúrio 0,0016 metano 0,000020 óleo fino 0,11 monóxido de carbono 0,00017 óleo grosso 0,66 nitrogênio 0,000018 plasma sanguíneo 0,0015 oxigênio 0,000020 sangue 0,0040 vapor de água 0,000013 * Os coeficientes foram medidos a 20 °C, exceto o do sangue e o do plasma san- guíneo, medidos a 37 °C, e o do vapor de água, medido a 100 °C. APROFUNDAMENTO: A VELOCIDADE DE UM FLUIDO EM UM TUBO Se os fluidos aderem às superfícies rígidas, junto às suas paredes todos os fluidos têm veloci- dade nula. Assim, conclui-se que a velocidade dos
- 12. 12 fluidos tem devariar no interior dos tubos, o que, em escoamentos laminares, ocorre como a figura abaixo mostra. Uma antiga reivindicação francesa pretende dar ao Pa ؒ s o nome poiseuille, com o símbolo Pl, para homenagear Jean Poiseuille. No entanto, até hoje ela não foi acolhida. velocidade nula velocidade máxima Variação da velocidade no interior de um fluido laminar em um tubo: a curva em azul é o lugar geométrico da extremidade dos vetores velocidade. Por isso, quando nos referimos à velocidade v= de um fluido no interior de um tubo, estamos considerando como tal o vetor cujo módulo é a média dos módulos das velocidades no interior do fluido. O módulo v da velocidade em um ponto P de um fluido em escoamento laminar pode ser obtido aproximadamente pela expressão a seguir, em que r é o raio do tubo, d a distância do ponto ao eixo desse tubo e C uma constante que depende do tubo: v = C(r2 – d2 ) Essa expressão é conhecida como Lei de Poiseuille, pois foi estabelecida por Jean Poiseuille. UNIDADE DE VISCOSIDADE A unidade de viscosidade do SI pode ser obti- da da sua definição. Se o módulo da força (F) é medido em newtons (N), a distância (y) em metros (m), a área (S) em metros quadrados (m2 ), a veloci- dade (v) em metros por segundo (m/s) e a pressão em pascal [Pa = ], temos: η = ⇒ η = ⇒ η = 5 6 ⇒ η = [Pa ؒ s] Há uma antiga unidade prática ainda em uso, denominada poise, cujos símbolos podem ser P, Ps ou Po. A relação entre ela e Pa ؒ s é: 1 poise = 0,1 Pa ؒ s N ؒ s m2 [N ؒ m] 5m2 ؒ m 6 s Fy Sv N m2 Atrito e viscosidade são fenômenos análogos e de mesma origem, mas com características diferentes, que podem ser delimitadas com clareza pela análise de ca- racterísticas que diferenciam seus coeficientes. O coeficiente de atrito é um número puro (adi- mensional), depende do par de materiais em contato, não caracteriza nenhuma substância e varia pouco com a temperatura. O coeficiente de viscosidade tem unida- de, caracteriza determinado fluido e varia drasticamen- te com a temperatura. Veja o gráfico a seguir. 0 20 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,0 40 60 80 100 (и 10–3 Pa и s) t (°C) Se um fluido é arrastado por uma lâmina rígida, como na figura a seguir, podemos concluir que a lâmi- na e a película fluida nela aderida exercem sobre o res- tante do fluido uma força resultante F=. Pelo Princípio da Ação e Reação aparece na placa uma força de resis- tência viscosa –F= aplicada pelo restante do fluido à placa em movimento. Gráfico coeficiente de viscosidade da água versus temperatura. v= F=–F= Da definição do coeficiente de viscosidade pode- mos expressar o módulo de F= assim: F = ؒ v S y
- 13. 13 Sendo o fatorconstante, essa expressão pode ser generalizada na forma: F = cv em que c é uma constante que depende do fluido e da geometria do corpo que arrasta ou atravessa esse fluido. Essa expressão só é válida se o fluido não sofrer turbulên- cia, o que implica velocidades de valores pequenos, determinados experimentalmente: para esferas em movi- mento, esse valor é de até 2 m/s no ar e 0,03 m/s na água. Se uma esfera de raio r atravessa um fluido de vis- cosidade , a constante c vale 6πr e a expressão da força viscosa fica assim: F = 6πrv Essa expressão é conhecida como Lei de Stokes, em homenagem a George Stokes, que a formulou pela primeira vez. Embora todas as gotas em movimento retilíneo uni- forme tenham forma praticamente esférica (veja o boxe Discussão: A forma de uma gota), só as gotas de dimen- sões microscópicas têm velocidades pequenas, e o estudo do seu movimento pode ser feito com a Lei de Stokes. Em líquidos de alta viscosidade, como a glicerina ou óleos automotivos, ela pode ser aplicada a esferas de dimensões um pouco maiores (veja o exercício resolvido 7). DISCUSSÃO: A FORMA DE UMA GOTA A forma como uma gota de água costuma ser desenhada, sobretudo informalmente (figura ao lado), só é cor- reta quando ela está prestes a despren- der-se do restante do líquido — o alon- gamento vertical e o bico superior, característicos nessas figuras, desapare- cem logo em seguida. Assim que adquire velocidade constante, o que ocorre muito rapidamente, a gota torna-se praticamente esférica, pois a resultante das forças que atuam sobre ela é nula (sequência de fotos abaixo). E, como comentamos no estudo da Hi- drostática, se a resultante das forças externas sobre um líquido é nula, ele assume a forma esférica. S y Para você pensar 6 No estudo do atrito definimos dois coeficientes: um para o atrito estático; outro para o atrito dinâmico. Por que isso não foi feito para o coefi- ciente de viscosidade? (Observação: Note que a expressão do coeficiente de viscosidade depen- de da velocidade da placa em relação ao fluido.) Exercícios resolvidos 5 A figura a seguir representa uma placa metálica plana de área 0,020 m2 , que desliza sobre um plano horizontal rígido, apoiada em uma película de óleo de espessura contínua e uni- forme de 0,25 mm, com velocidade constante de 0,010 m/s. O bloco B, de massa mB = 40 g, traciona a placa por meio de um fio inextensível. O atrito na roldana e a massa do fio e a da rol- dana são desprezíveis. Determine a viscosidade do óleo. Adote g = 10 m/s2 . Representação usual de uma gota. Foto múltipla da formação de uma gota da mistura água e glicerina. Logo depois de desprender-se, a gota torna-se praticamente esférica. B Solução Como a velocidade é constante, a aceleração é nula, e o módu- lo da tração T= exercida pelo fio sobre a placa é igual ao módu- lo PB do peso do bloco B, pendurado. Então, sendo mB = 0,040 kg: T = PB ⇒ T = mBg ⇒ T = 0,040 ؒ 10 ⇒ T = 0,40 N Esse é também o módulo F da força viscosa que atua sobre a placa. Veja a figura a seguir. F= T= PB = A espessura da película de óleo equivale à distância y entre as pla- cas (reveja a figura da página 11): y = 0,25 mm = 2,5 ؒ 10–4 m. Da definição de viscosidade: η = ⇒ η = ⇒ η = 0,50 Pa ؒ s Observações: I. Em uma situação real, no início a placa acelera até atingir a velocidade em que a força viscosa e a tração no fio se equi- libram. Nesse início, a massa da placa deve ser considerada, o que não foi necessário aqui, pois já consideramos o con- 0,40 ؒ 2,5 ؒ 10–4 0,020 ؒ 0,010 Fy Sv DEUTSCHEPHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT/INSTITUTE OFPHYSICS
- 14. 14 junto em movimentoretilíneo uniforme. Não levamos em conta o trecho inicial porque nele a aceleração é variável e no nível deste estudo não temos recursos de cálculo para examinar essa situação. Além disso, a definição de viscosi- dade e a expressão da força viscosa só podem ser aplicadas em movimentos retilíneos com velocidade constante. II. Note que não nos referimos ao atrito entre a placa e o líqui- do, pois não existe atrito entre uma superfície rígida e um fluido. A tração é exercida na placa rígida, mas a força de reação viscosa do fluido é exercida na placa por intermé- dio da película de fluido que a reveste e com ela se move solidariamente. III. Essa é uma situação experimental muito difícil de realizar, principalmente pela impossibilidade de manter uniforme a espessura da película de óleo. Por isso, apesar de seu for- mato, este é um exercício teórico. Uma situação experi- mental de fácil realização é apresentada no exercício resolvido a seguir. 6 Uma esfera maciça de aço de 1,0 mm de raio cai verticalmen- te com velocidade constante dentro de um tubo largo com óleo. Verifica-se que ela desce 30 cm em 10 s. Dadas a densidade do aço, daço = 7 800 kg/m3 , e a do óleo, dóleo = 800 kg/m3 , determi- ne o coeficiente de viscosidade do óleo. Admita g = 10 m/s2 . Solução Na figura a seguir estão representadas as forças que atuam sobre a esfera: o peso P=, o empuxo E= exercido pelo óleo sobre a esfera e a força F= de resistência viscosa do óleo: Sendo Vesfera = ؒ πr3 , r = 1,0 mm = 1,0 ؒ 10–3 m, uti- lizando π = 3,1, temos: Vesfera = ؒ 3,1(1,0 ؒ 10–3 )3 ⇒ Vesfera = 4,1 ؒ 10–9 m3 Substituindo o valor de Vesfera em IV, obtemos o módulo F da força de resistência viscosa: F = (7 800 – 800)4,1 ؒ 10–9 ؒ 10 ⇒ F = 2,9 ؒ 10–4 N (V) Para determinar o coeficiente de viscosidade do óleo apli- cando a Lei de Stokes, precisamos saber qual é a velocida- de de queda da esfera. Como ela é constante, Δx = 30 cm = 0,30 m e Δt = 10 s: v = ⇒ v = ⇒ v = 0,030 m/s Então: F = 6πηrv ⇒ 2,9 ؒ 10–4 = 6 ؒ 3,1η ؒ 1,0 ؒ 10–3 ؒ 0,030 ⇒ η = 0,52 Pa ؒ s Observações: I. Este exercício descreve uma atividade experimental relati- vamente simples para determinar a viscosidade de um líquido. A validade dessa determinação pode ser verifica- da comparando o resultado obtido com valores tabelados (veja a tabela da página 11). Para analisar corretamente os resultados, três fatores devem ser considerados: a) os es- treitos limites de validade da Lei de Stokes; por isso devem ser utilizados líquidos de alto coeficiente de viscosidade para que a queda da esfera ocorra a baixa velocidade (não encontramos esses dados em relação à velocidade-limite no óleo; estamos admitindo que o valor obtido aqui é viá- vel por analogia ao da água); b) a largura do tubo deve ser bem maior que o diâmetro da esfera; se o tubo for estrei- to, as suas paredes vão interferir na resistência viscosa do líquido, o que pode causar turbilhonamento e invalidar os resultados; c) a temperatura do líquido deve ser anotada, pois, como mostra o gráfico da página 12, o coeficiente de viscosidade de um líquido varia significativamente com a temperatura. II. Quando a velocidade é nula, a força de resistência viscosa também é nula; por isso o movimento de queda é acelera- do no início e, à medida que a velocidade aumenta, a força de resistência viscosa também aumenta, até que a resultan- te das forças sobre a esfera se anule e o movimento passe a ser retilíneo uniforme — essa é a velocidade-limite. Por essa razão, as medidas das distâncias e dos tempos correspon- dentes para a obtenção da velocidade da esfera só devem ser feitas depois que ela já caiu por alguns segundos. III. Assim como se pode determinar a viscosidade de um flui- do conhecendo a velocidade-limite do corpo que o atraves- sa, é possível determinar a velocidade-limite de um corpo movendo-se através de um fluido conhecendo o coeficien- te de viscosidade desse fluido. Foi a partir daí que o físico experimental norte-americano Robert Millikan (1868- -1953) pôde, em 1909, determinar a carga elétrica elemen- tar e ganhar o prêmio Nobel de Física de 1923. O exercício resolvido a seguir mostra uma etapa dessa experiência. 0,30 10 Δx Δt 4 3 4 3 F= P= E= Como a velocidade é constante, da Segunda Lei de Newton em módulo, podemos escrever: F + E = P ⇒ F = P – E (I) Da definição de densidade [d = ], m = dV. Sendo P = mg, o peso da esfera de aço pode ser expresso por: P = daçoVesferag (II) Da expressão do empuxo (E = dfluidoVfluido deslocadog), da Hidrostática, podemos escrever: E = dóleoVesferag (III) Substituindo III e II em I: F = daçoVesferag – dóleoVesferag ⇒ F = (daço – dóleo)Vesferag (IV) m V
- 15. 15 7 Uma gotamicroscópica de óleo, de raio rgota = 4,0 μm, é aban- donada no interior de uma câmara onde o ar está em repouso. Sabendo que esse óleo tem densidade dóleo = 800 kg/m3 e que o coeficiente de viscosidade do ar é ηar = 1,8 ؒ 10–5 Pa ؒ s, deter- mine a velocidade-limite atingida por essa gota. Despreze o empuxo do ar e admita g = 10 m/s2 . Solução Se o ar está em repouso e o empuxo por ele exerci- do sobre a gota é desprezível, podemos afirmar que sobre ela atuam duas forças: o seu peso P= e a força de resistência viscosa F= exercida pelo ar. Quando a velocidade-limite é atingida, essas duas forças se equilibram, e a gota passa a cair com mo- vimento retilíneo uniforme. Então, da Segunda Lei de Newton em módulo, podemos escrever: P – F = 0 ⇒ F = P (I) Se a gota é esférica e não há turbulência, podemos aplicar a Lei de Stokes: F = 6πηarrgotav (II) De I e II: P = 6πηarrgotav ⇒ mgotag = 6πηarrgotav (III) Da definição de densidade [d = ] e da expressão do volume da esfera [V = ؒ πr3 ], a massa da gota pode ser ex- pressa na forma: mgota = dóleoVgota ⇒ mgota = dóleo ؒ ؒ πr3 gota (IV) Substituindo IV em III: dóleo ؒ ؒ πr3 gotag = 6πηarrgotav ⇒ dóleo ؒ ؒ r2 gotag = 6ηarv Sendo rgota = 4,0 μm = 4,0 ؒ 10–6 m e substituindo os demais dados na expressão acima: 800 ؒ (4,0 ؒ 10–6 )2 10 = 6 ؒ 1,8 ؒ 10–5 v ⇒ v = 1,5 ؒ 10–2 m/s Observações: I. O valor obtido está dentro do limite para o movimento de uma esfera sem turbulência no ar: v = 2 m/s. Se o resultado ultrapassa esse valor, há turbulência e não podemos aplicar a Lei de Stokes. Seria o caso de uma gota de óleo de 1,0 mm de raio; obteríamos v = 100 m/s, valor que extrapola em muito o limite de validade da Lei de Stokes para o ar. II. Na experiência de Millikan borrifa-se óleo com um vapo- rizador em uma câmara limitada por duas placas eletriza- das e onde o ar está em repouso. Veja a figura a seguir. 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 m V Um orifício de entrada para a câmara seleciona as gotas de raio compatível com os limites da Lei de Stokes. Eletri- zadas por uma fonte externa ou na travessia do orifício, as gotas são observadas por meio da ocular de um microscó- pio. Escolhe-se uma gota de cada vez para análise. Por recursos teóricos relativamente simples, mas ainda não completamente estudados, determina-se a carga adquiri- da por essa gota. A experiência é repetida dezenas ou cen- tenas de vezes para outras tantas gotas. Obtêm-se, então, dezenas ou centenas de valores da carga elétrica, mas todos os valores obtidos são múltiplos de um mesmo va- lor. Millikan concluiu que esse é o valor da carga elétrica elementar — a carga do elétron —, menor carga elétrica existente na natureza. Para você resolver 5 A placa metálica plana representada na figura a seguir tem área de 0,040 m2 e desliza sobre um plano horizontal rígido apoiada em uma pelícu- la de óleo de viscosidade η = 0,75 Pa ؒ s. Supõe- -se que essa película seja contínua e uniforme e tenha espessura y = 0,30 mm. O fio, inextensível e de massa desprezível, é tracionado pelo bloco B, de massa 60 g, e o atrito na roldana e a sua massa são desprezíveis. Observa-se que o siste- ma, ao ser posto em movimento, atinge rapida- mente uma velocidade-limite. Qual é essa velo- cidade? (Observação: Ao atingir a velocidade- -limite, o sistema passa a se mover com veloci- dade constante.) Adote g = 10 m/s2 . P= F= (–) ocular placas eletrizadas orifício raios X para produzir carga na gota de óleo borrifo de pequenas gotas de óleo gota de óleo carregada sob análise (+) B 6 Uma esfera maciça de alumínio, de 2,0 mm de raio, cai verticalmente em um tubo com gliceri- na. Depois de atingir velocidade constante, veri- fica-se que ela desce 18 cm em 20 s. Dadas a densidade do alumínio, dAl = 2 700 kg/m3 , e a da glicerina, dglicerina = 1300 kg/m3 , e admitindo g = 10 m/s2 , determine: a) a força de resistência viscosa exercida pela glicerina; b) o coeficiente de viscosidade da glicerina. 7 Sabendo que a velocidade-limite para a aplicação da Lei de Stokes no ar é 2,0 m/s, qual deve ser o valor limite do raio de uma gota de óleo para que ela possa cair sem turbulência no ar em repouso? (Dados: dóleo = 800 kg/m3 ; ηar = 1,8 ؒ 10–5 Pa ؒ s; g = 10 m/s2 ; considere o empuxo do ar desprezível.)
- 16. 16 A natureza doescoamento determina a velocida- de-limite de um corpo atravessando um fluido. Se o es- coamento é laminar, a velocidade-limite do corpo é maior, condição do estudo feito até aqui. Quando o es- coamento é turbulento, essa velocidade se reduz, e a teoria aqui apresentada deixa de ter validade. Veja a figura a seguir: toda sua parede lateral —, a sua importância só foi expli- citada em 1932 pelo engenheiro aeronáutico romeno Henri-Marie Coanda (1885-1972). Desde então, esse fenômeno passou a denominar-se Efeito Coanda e na úl- tima década do século XX adquiriu maior importância quando passou a “substituir” a Equação de Bernoulli na maior parte das explicações de fenômenos de sustentação de corpos em movimento através de fluidos, provocando uma pequena revolução no estudo da aerodinâmica. 5. Efeito Coanda Veja as fotos a seguir: O mesmo corpo na mesma travessia pode provocar um escoamento laminar e turbulento (veja a foto a seguir). Como ocorre a adesão do fluido à superfície rígi- da de um corpo quando eles (fluido e corpo) se atraves- sam é muito complexo e pode ter consequências ex- traordinárias. Embora a adesão dos fluidos aos corpos rígidos es- teja muito presente em nossa vida cotidiana — a água que transborda de um copo não cai sem antes percorrer v=1 v=2 –F= (reação da colher sobre a água) F= (ação da água sobre a colher) Na região frontal do submarino, o escoamento é laminar. Logo atrás, torna-se turbulento. Para o mesmo chute (impulso inicial), a velocidade v==1 da bola de cima será sem- pre maior que a velocidade v==2 da segunda bola, pois o escoamento é laminar na primeira e turbulento na segunda. Ao encostar a face convexa da colher no filete de água, observa-se que ele adere à colher e tem o seu curso desviado, e a colher é puxada para ele. Esse fenômeno simples descreve o Efeito Coanda, cuja causa é a mesma da viscosidade: a interação eletro- magnética entre as moléculas do fluido (a água) e os átomos ou as moléculas da superfície rígida (o material de que é feita a colher). Assim, podemos dizer que a su- perfície da colher atrai a água do filete e faz com que ele acompanhe a sua curvatura, e, pelo Princípio da Ação e Reação, a água atrai a colher, que avança para o interior do filete. Veja a figura a seguir. escoamento turbulento escoamento laminar www.sfondideldesktop.com EDUARDOSANTALIESTRA EDUARDOSANTALIESTRA
- 17. 17 Um corpo sópode realizar uma trajetória curva se estiver sob a ação de uma força resultante centrípe- ta, o que nos permite aprofundar um pouco mais esta explicação. Considere um pequeno cubo imaginário de água do filete movendo-se em trajetória curva junto da su- perfície convexa da colher. Veja a figura abaixo. Para compreender o que ocorre é preciso perceber que, em ambos os casos, o papel só se eleva quando o fluxo de ar atinge a sua superfície, ou seja, o papel é ele- vado pela ação direta e viscosa do ar sobre a sua superfí- cie. Essa força resultante para cima atua também no perfil curvo da asa do avião, da mesma forma que a água atua sobre a superfície da colher na descrição ante- rior. Veja as figuras a seguir. F=cp –F=cp filete de água superfície da colher O fluxo de ar tira de papel fluxo de ar tira de papel O cubo descreve essa trajetória curva porque sobre ele atua a força resultante centrípeta, F=cp, de origem ele- tromagnética. Em consequência, aparece na colher a força de reação –F=cp, que empurra a colher para o filete de água. Uma situação análoga é ilustrada na foto a seguir: enquanto gira a esfera, a arremessadora exerce sobre ela a força de tração centrípeta T= através da corrente. Da mesma forma, a esfera exerce sobre a atleta a força –T= — a atleta só não se desloca se os seus pés estiverem bem presos ao chão, por atrito. O Efeito Coanda vale para qualquer fluido e, no caso do ar, permite entender a origem de uma das for- ças responsáveis pela sustentação da asa do avião. Veja as fotos a seguir. A moça faz a tira de papel subir soprando aci- ma dela, horizontalmente. Uma tira de papel é dobrada e modelada como o perfil da asa de um avião. O sopro por cima faz com que a asa suba. Como o fluxo de ar não atinge a tira de papel, nada acontece. Aoatingiropontomaisaltodacurvaturadopapel,ofluxode ar arrasta a tira para cima, como prevê o Efeito Coanda. KAZUHIRONOGI/AFP/GETTYIMAGESEDUARDOSANTALIESTRA EDUARDOSANTALIESTRAEDUARDOSANTALIESTRA
- 18. 18 Mas há aindaum efeito adicional. Suponha que o fluxo de ar acompanhe a tira de papel, que, em seguida, é forçada a curvar-se e a adquirir o formato aproxima- do da asa de um avião. Veja as figuras a seguir. DISCUSSÃO: A NOVA EXPLICAÇÃO DO EFEITO DA ASA DE UM AVIÃO A história da ciência apresenta momentos mar- cantes em que a interpretação de alguns fenôme- nos se modifica em razão da mudança de uma fun- damentação teórica — as hipóteses para explicar a natureza da luz são um exemplo dessa mudança. Mas o que se observa agora é diferente. Não se trata de revisão teórica; tampouco as equações de Continuidade e de Bernoulli perderam a valida- de. Elas continuam aceitas e corretas. O que mudou foi a percepção de que elas não podem ser aplicadas à explicação da sustentação da asa do avião nem à de alguns experimentos criados até explicitamente para ilustrá-las. É difícil saber por que um equívoco como esse aparece e sobrevive durante tanto tempo. Uma explicação óbvia é a dificuldade inerente à inter- pretação física dos fenômenos da natureza ou mesmo das próprias criações humanas — nada, nenhuma explicação, é trivial. Uma das ideias hoje comprovadamente errada, mas ainda apresentada como certa em muitas en- ciclopédias, sites e textos didáticos, é que, como consequência da Equação de Continuidade, as par- tículas do ar levam o mesmo tempo para percorrer a parte inferior e a superior da asa de um avião. Por isso, se o perfil curvo superior da asa é maior que o inferior, o ar passa em cima da asa com velocidade maior do que embaixo. Veja a figura a seguir. Na primeira figura, a região sombreada representa o espaço que essa curvatura abre para o fluxo de ar. Se esse espaço não fosse ocupado pelo fluxo de ar, essa região ficaria vazia; haveria vácuo nela. Mas isso não ocorre. A adesão viscosa do ar à superfície do papel faz com que as partículas de ar sejam puxadas para essa região (segunda figura) — elas são aceleradas no sentido da superfície encurva- da por ação da força viscosa que aparece no ar nessa região. Assim, ao atravessar uma superfície curva, o fluxo de ar tende a acompanhá-la e sofre uma diminuição de pressão; com isso, sua velocidade aumenta (reveja a foto da página 2: ela mostra como o fluxo de ar para essa re- gião de baixa pressão pode até tornar-se turbulento). Mas não é o aumento da velocidade do fluxo que pro- voca a redução da pressão; é esta que provoca aquele. Por essa razão, dependendo do perfil inferior da asa de um avião, a velocidade do ar em cima pode ser maior que embaixo. Nesse caso, essa diferença origina uma força adicional resultante da diferença de pressões e de veloci- dades, que pode ser calculada pela Equação de Bernoulli. Veja a figura a seguir: sobre a asa atuam as forças F=C, devi- da à ação viscosa do ar (Efeito Coanda), e F=B, devida à diferença de pressões entre o ar em movimento na parte superior da tira e o ar praticamente em repouso na parte inferior (Equação de Bernoulli). É difícil saber qual a con- tribuição de cada uma dessas forças, mas não há dúvida de que a origem primeira de ambas é o Efeito Coanda. fluxo de ar tira de papel tira de papel forças viscosas atuando sobre partículas de ar F=C F=B Essa é uma explicação relativamente nova desse fe- nômeno e vem sendo mais bem aceita do que a antiga baseada nas equações de Continuidade e de Bernoulli (veja o boxe Discussão: A nova explicação do efeito da asa de um avião). Por causa dessa diferença de velocidades, de acordo com a Equação de Bernoulli, aparece uma diferença de pressões, que resulta na força de sus- tentação do avião. Essa explicação é contestada por várias ra- zões. As principais são: a) Nem todas as asas têm esse perfil. Muitas são planas ou têm um perfil perfeitamente simétri- co, o que invalida a hipótese da “necessidade” de o ar ter velocidade maior em cima. b) Os aviões de acrobacia voam de cabeça para baixo, o que seria impossível se essa explicação fosse verdadeira. maior velocidade menor pressão menor velocidade maior pressão força resultante
- 19. 19 c) Quanto maioro percurso do ar em cima da asa em relação ao percurso de baixo, mais eficiente ela seria, o que é comprovadamente falso. d) As partículas de ar que passam por cima da asa não têm nenhum vínculo com as partículas de baixo, ou seja, elas não têm como“saber”se estão ou não acompanhando as de baixo. e) Simulações feitas em computador ou em túneis de vento mostram que as partículas de cima têm velocidade maior que a das suas hipotéticas par- ceiras de baixo (veja a figura a seguir). Veja as imagens abaixo. Esta última observação valida o uso da Equa- ção de Bernoulli como origem de uma força de sustentação, mas não é causa dela, como se expli- ca nas duas primeiras figuras da página anterior. Além disso, a força resultante para cima, decorren- te dessa diferença de pressões, não é suficiente para a sustentação da asa e muito menos do avião. Para aqueles que (como este autor) por muito tempo acreditaram e difundiram essa explicação, talvez sirva de consolo saber que Einstein, durante a Primeira Guerra Mundial, sugeriu que se cons- truísse uma asa com perfil orientado pelas equa- ções de Continuidade e de Bernoulli e, como hoje seria de esperar, sua sugestão foi um retumbante fracasso. Veja na figura abaixo o perfil da asa pro- posto por Einstein. Enquantooarnãoatravessaaasa,osblocosdelinhasdefluxoAeBtêmamesma velocidade,mas,porcausadoEfeitoCoanda,apassagempelaasafazcomqueos blocosCeDseadiantem.Aspartículasdeardecimanãoacompanhamaspartí- culasdeardebaixo,comoaantigaexplicaçãodasustentaçãodaasaafirmava. A C B D Por fim, é importante destacar que o Efeito Coanda isoladamente não explica o voo ou a susten- tação do avião. Apenas é causa parcial da força de sustentação exercida pela asa. Veja a figura a seguir. A B C D F=C F’=C Um avião em voo está sob a ação de quatro forças: A: força resultante de sus- tentação exercida pela asa (uma pequena parcela deve-se ao Efeito Coanda); B:forçadetraçãoexercidapelahéliceouturbina;C:peso,exercidopelaTerra; D: força viscosa exercida pelo ar. Na primeira, um sopro dirigido frontalmente para a garrafa apaga a vela colocada logo atrás. Essa experiência simples mostra que o ar também adere à superfície curva da garrafa e a acompanha, como a água, ou seja, ela com- prova que o Efeito Coanda também ocorre com o ar. A foto mostra uma experiência muito conhecida. Uma bolinha de isopor flutua presa a um jato de ar. A terceira imagem ilustra a nova explicação para essa ex- periência baseada no Efeito Coanda: a adesão do ar à curvatura da bolinha faz com que ela se mantenha presa ao jato de ar, como a colher se prende ao filete de água. Note que há duas forças resultantes decorrentes desse efeito — F=C e F=C’ —, mas a de maior intensidade atua no sentido do fluxo de ar mais curvo e mais intenso; por isso a bolinha sempre é puxada para o meio do fluxo de ar. A sustentação da bolinha continua sendo explicada como antes: ela se deve à ação direta do ar sobre a bolinha. Para você pensar 7 Muitos recipientes têm um bico para que se pos- sa verter o líquido neles contido sem que escorra pelas paredes. Justifique esse recurso com base no Efeito Coanda. 8 No boxe Discussão: A forma de uma gota (página 13) afirmamos que, ao adquirir velocidade cons- tante, a gota se torna praticamente esférica. Por que não perfeitamente esférica? O que pode im- pedir a gota de adquirir uma esfericidade perfei- ta? (Observação: Pense no que aconteceria com a bolinha flutuante da última figura acima se ela fosse deformável como uma esfera de água.) ALANRODRIGOMARRETTO
- 20. 20 Deduções 1a ) Equação deContinuidade Reveja a última figura da página 3. Os trechos ha- churados correspondem ao deslocamento de um fluido ideal no mesmo intervalo de tempo ⌬t. Se o fluxo (Φ) é constante e esse intervalo é suficientemente pequeno, esses trechos podem ser considerados cilindros de áreas S1 e S2. Nessas condições, vamos aplicar a esses dois cilindros as definições de fluxo (Φ = vS) e de velocidade média [v = ], nesse caso também cons- tante, pois Φ e S são constantes. Para o cilindro de base S1: Φ1 = ؒ S1 Como ⌬x1S1 = V1 (volume do cilindro de altura ⌬x1): Φ1 = (I) Por raciocínio análogo, para o cilindro de base S2: Φ2 = (II) Como Φ é constante e ⌬t é o mesmo, podemos concluir de I e II que V1 = V2. Então, aplicando de novo a expressão do volume do cilindro e lembrando que ⌬x = v⌬t: V1 = V2 ⇒ S1⌬x1 = S2⌬x2 ⇒ S1v1⌬t = S2v2⌬t ⇒ S1v1 = S2v2 ou v1S1 = v2S2 2-a ) Equação de Bernoulli Para esta dedução é preciso recordar as seguintes expressões: • densidade: d = e m = dV • pressão: p = e F = pS (I) • trabalho: τ = FΔx ؒ cos α (II) • energia cinética: Ec = ؒ mv2 • energia potencial gravitacional: Epg = mg(h – h0) Pela dedução anterior, sabemos que os dois cilin- dros em cinza da primeira figura da página 5 têm o mes- mo volume: V1 = V2. Como, tratando-se de um fluido ideal, a densidade é constante, ambos têm a mesma mas- sa m de fluido. Ao deslocar-se pelo tubo do nível h1, com veloci- dade de módulo v1, para o nível h2, com velocidade de módulo v2, podemos afirmar que a massa de fluido con- tida nesses cilindros sofre: a) um acréscimo ΔEc de energia cinética: ΔEc = ؒ m(v2 2 – v1 2 ) ⇒ ΔEc = ؒ dV(v2 2 – v1 2 ) 1 2 1 2 1 2 F S m V V2 ⌬t V1 ⌬t ⌬x1 ⌬t ⌬x ⌬t Como V = V1 = Δx1S1 = v1ΔtS1 (ou V = V2 = v2ΔtS2): ΔEc = ؒ dv1ΔtS1(v2 2 – v1 2 ) (III) b) um acréscimo ΔEp de energia potencial gravitacional: ΔEp = mg(h2 – h1) ⇒ ΔEp = dv1ΔtS1g(h2 – h1) (IV) Esses acréscimos de energia se devem ao trabalho realizado por duas forças, uma decorrente da pressão p1, de módulo F1 = p1S1, atuando em S1 no sentido do movimento do fluido, e outra decorrente da pressão p2, de módulo F2 = p2S2, atuando em S2 no sentido oposto. Então, podemos escrever: τF=1 + τF=2 = ΔEc + ΔEp (V) Da expressão da força em função da pressão e da superfície (I), da definição de trabalho (II), lembrando que em cada caso Δx = vΔt, e das expressões III e IV substituí- das em V, temos: p1S1v1Δt ؒ cos 0° + p2S2v2Δt ؒ cos 180° = ؒ dv1ΔtS1(v2 2 – v1 2 ) + dv1ΔtS1g(h2 – h1) ⇒ (p1 – p2)S1v1Δt = ؒ dv1ΔtS1(v2 2 – v1 2 ) + dv1ΔtS1g(h2 – h1) ⇒ p1 – p2 = = ؒ d(v2 2 – v1 2 ) + dg(h2 – h1) 3a ) Equação de Torricelli Reveja a primeira figura da página 7. Vamos supor que a área S do orifício seja muito menor que a área S0 da superfície do tanque. Nesse caso, da Equação de Conti- nuidade, podemos escrever: v0S0 = vS ⇒ v0 = v ؒ E concluir que v=0 também é muito menor que v=, ou seja, que, em relação ao módulo de v=, podemos supor v0 = 0. Vamos admitir ainda que a pressão atmosférica, p0, é a mesma na superfície do líquido e no orifício de saída e que por ele o escoamento seja laminar. Nessas condi- ções, aplicando a Equação de Bernoulli à superfície (nível 1) e ao orifício (nível 2) e colocando o referencial para as alturas no nível do orifício, temos: p1 + ؒ dv1 2 + dgh1 = p2 + ؒ dv2 2 + dgh2 ⇒ p0 + ؒ dv0 2 + dgh0 = p0 + ؒ dv2 + dgh ⇒ p0 + ؒ d(0)2 + dgh = p0 + ؒ dv2 + dg(0) ⇒ dgh = ؒ dv2 ⇒ v = Ίහහ2gh 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 S S0 1 2 1 2 1 2 1 2
- 21. 21 4a ) Tubo deVenturi Reveja o esquema de um tubo de Venturi na página 8. Seja S1 a área da seção normal onde a pressão é p1 e a velocidade do fluido é v1 e S2 a área da seção normal onde a pressão é p2 e a velocidade do fluido é v2. Da Equação de Continuidade e da definição de fluxo (Φ = vS): Φ = v1S1 = v2S2 ⇒ v1 = (I) e v2 = (II) Da Equação de Bernoulli, sendo h2 = h1, podemos escrever: p1 – p2 = ؒ d(v2 2 – v1 2 ) (III) Substituindo I e II em III: Φ = S1S2Ίහහහහහහ Atividades experimentais A Fluidodinâmica é riquíssima em atividades experimentais. Uma atividade simples e muito rica em conteúdo, sobretudo pela revisão que permite da Cinemática, é descrita na primeira figura do exercício resolvido 3* (página 7). As atividades mostradas nas duas últimas figuras da página 17 e na quarta figura e foto da página 19 tam- bém são muito fáceis e sugerimos ao professor que as faça. Na experiência da vela atrás da garrafa, o professor deve colocar água na garrafa pelo menos até a metade, para que ela não caia sobre a vela. A experiência da boli- nha flutuante é mais fácil de ser feita adaptando a um secador de cabelos uma boca fina e circular e usando uma bolinha de isopor de 2 cm a 3 cm de diâmetro, no máximo. Bolinhas de pingue-pongue são muito pesadas e exigem jatos de ar muito fortes, que nem todos os secadores de cabelo produzem. Com o advento das novas explicações, é importan- te que o professor também faça atividades que mostrem 2(p1 – p2) d(S1 2 – S2 2 ) 1 2 Φ S2 Φ S1 as falhas da antiga explicação, baseada na Equação de Bernoulli, e justifiquem a utilização do Efeito Coanda. Sugerimos as duas atividades ilustradas nas fotos a seguir. Improvise o encaixe de um disco rígido — um CD, por exemplo — na boca de um secador de cabelos, por exemplo, para que o jato de ar passe pelo furo central. Coloque outro disco de cartolina, de mesmo raio, sem o furo central, no chão; aproxime o disco rígido do disco no chão. Ele será puxado e vai prender-se ao disco rígi- do (três ou quatro apoios laterais, também de cartolina, colados na extremidade do disco inferior garantem que ele não escape lateralmente). Note que, como o disco está no chão, não há ar sob ele que justifique a explica- ção baseada na diferença de pressões. Faça um perfil de asa em isopor ou cartolina (o perfil mostrado nas fotos abaixo é de madeira balsa e foi montado com material adquirido em casa de aeromo- delismo). Faça dois furos no perfil e duas hastes verti- cais paralelas fixadas em uma base plana, pelas quais o perfil da asa possa se mover também verticalmente. Deixe o perfil apoiado na base, com uma película de ar de espessura desprezível sob ele, e faça incidir sobre ele o ar de um pequeno ventilador (na montagem das fotos utilizamos uma pequena turbina — para esse perfil o jato de ar precisa ser bem forte — e fizemos uma leve elevação na base para garantir que o ar não passasse abaixo do perfil). Você verá que o perfil da asa é puxa- do para cima, embora só haja fluxo de ar passando por cima dele, o que nos impede de explicar o fenômeno pela Equação de Bernoulli. * Essa atividade está descrita em detalhes nas páginas 82-84 do livro Experiências de ciências para o ensino fundamental, deste mesmo autor (São Paulo: Ática, 2005). ALANRODRIGOMARRETTO ALANRODRIGOMARRETTO ALANRODRIGOMARRETTOALANRODRIGOMARRETTO
- 22. 22 Preparação para oingresso no ensino superior Testes 1 (Unifra-RS) Num salto de paraquedas, verificamos que a velocidade do paraquedista pode ser conside- rada constante, ao menos depois de algum tempo que o paraquedas tenha sido aberto. Dessa forma, podemos considerá-lo como um movimento unifor- me. Dentre os itens abaixo, qual apresenta uma expli- cação plausível para esse fato? a) Com o movimento apropriado de pernas e bra- ços, o paraquedista consegue anular o efeito da gravidade. b) Na baixa atmosfera, o ar menos denso impede que a velocidade dos objetos continue aumentando. c) O ar menos aquecido vindo da região próxima à terra impulsiona o paraquedas para cima. d) A força de resistência do ar, em magnitude, é aproximadamente igual à força gravitacional da Terra, fazendo com que o paraquedista atinja uma velocidade terminal constante. e) No vácuo gerado pelo paraquedas em movimento, ele passa a se mover com velocidade constante. 2 (Unifra-RS) Para fazer chegar água a uma popula- ção cada vez maior das cidades grandes, é preciso, além de outras coisas, aumentar a vazão de água nas tubulações. Sendo v a velocidade da água na tubula- ção e A a área de seção reta do tubo, é possível con- cluir que: a) A vazão é diretamente proporcional a v e inversa- mente proporcional a A. b) A vazão é inversamente proporcional a v e direta- mente proporcional a A. c) A vazão é inversamente proporcional a v e inver- samente proporcional a A. d) A vazão é diretamente proporcional a v e direta- mente proporcional a A. e) A vazão não depende de A ou v. Para responder às questões de números 3 e 4 utilize as informações abaixo. De acordo com a Lei de Poiseuille, a velocidade v do sangue, em centímetros por segundo, num ponto P à distância d do eixo central de um vaso sanguíneo de raio r é dada, aproximadamente, pela expressão v = C(r2 – d2 ), em que C é uma constante que depen- de do vaso. 3 (PUCC-SP) A unidade da constante C no Sistema Internacional é: a) m–1 ؒ s–1 . d) m3 ؒ s. b) m ؒ s–1 . e) m3 ؒ s–1 . c) m2 ؒ s. 4 (PUCC-SP) Num dado instante, se a velocidade do fluxo sanguíneo num ponto do eixo central da aorta é de 28 cm/s e o raio desse vaso é 1 cm, a velocidade em um ponto que dista 0,5 cm desse eixo é, em cen- tímetros por segundo, igual a: a) 19. d) 25. b) 21. e) 27. c) 23. 5 (PUC-RS) Quando um fluido é incompressível (mas- sa específica constante), sua vazão em qualquer se- ção reta de uma tubulação de diâmetro variável é sempre a mesma e vale Av, em que A é a área da seção reta e v é o valor médio da velocidade do flui- do na seção. Considerando uma parte da tubulação onde a área da seção reta é A1 e a velocidade média do fluido é v1, e outra região onde a área da seção reta é A2 = 3A1 e a velocidade média é v2 = xv1, o valor de x é: a) 9. d) . b) 3. e) . c) 1. 6 (PUC-RS) Quando a água passa numa tubulação horizontal de uma seção de 4,0 cm de diâmetro para outra seção de 2,0 cm de diâmetro: a) sua velocidade diminui. b) sua velocidade não se altera. c) a pressão diminui. d) a pressão aumenta. e) a pressão não se altera. 7 (PUC-RS) Uma pequena esfera de vidro cai com ve- locidade constante num líquido em repouso contido num recipiente. Com relação aos módulos das forças que atuam sobre a esfera, peso P, empuxo E e força de atrito viscoso Fa, é correto afirmar que: a) P = E. d) P = E – Fa. b) P = Fa. e) P = Fa – E. c) P = E + Fa. 8 (PUC-RS) A figura abaixo representa um segmento de cano horizontal, com diâmetro variável, por onde flui água. Considerando as seções retas A e B, é corre- to afirmar que: a) a pressão da água é me- nor em A do que em B. 1 9 1 3 A B
- 23. 23 b) a velocidadeda água é maior em A do que em B. c) através das duas seções retas, A e B, a vazão de água é a mesma. d) a pressão da água é a mesma em A e em B. e) a velocidade de escoamento é a mesma em A e em B. 9 (PUC-RS) A força de atrito viscoso sobre um deter- minado barco é diretamente proporcional à sua ve- locidade em relação à água. Sob outro aspecto, a po- tência desenvolvida pela força motriz para deslocar o barco numa dada velocidade e em movimento retilí- neo pode ser calculada pelo produto entre os mó- dulos da força e da velocidade. Verifica-se que, para deslocar o barco com velocidade constante de mó- dulo 12 km/h, é necessária potência motriz de 6,0 kwatts (kW). Para deslocar o mesmo barco com velocidade constante de módulo 24 km/h, será ne- cessária potência motriz de: a) 24 kW. d) 14 kW. b) 18 kW. e) 10 kW. c) 16 kW. 10 (PUC-RS) Numa experiência de laboratório de Fí- sica, abandona-se uma esfera metálica no topo de um tubo de vidro cheio de água, na vertical. A esfera cai inicialmente em movimento acelerado, mas, após alguns centímetros, atinge velocidade constante, por isso chamada velocidade terminal ou velocidade-li- mite. Considerando a esfera com massa específica duas vezes a da água e sabendo que os módulos das únicas forças que agem sobre ela são o seu peso P, o empuxo E e a força de atrito viscoso A (também cha- mada força de arrasto), pode-se concluir que, quando atingida a velocidade-limite: a) P = E. d) P = 2A. b) E = 2A. e) P = A. c) A = 2E. 11 (UFPA) Não era novidade para ninguém que a ve- locidade de escoamento do rio mudava ao longo de seu curso. Para projetar uma ponte sobre determina- do trecho do rio Tuandeua, uma equipe de técnicos fez algumas medidas e João ficou sabendo que a área transversal ao rio, naquele trecho, media 500 m2 e a velocidade média da água na vazante era de 1 m/s. Como já sabia que em frente a sua casa a velocidade média na vazante era 2 m/s, fazendo aproximações para uma situação ideal, conclui-se que a área trans- versal do rio, em frente à casa de João, é igual a: a) 250 m2 . d) 750 m2 . b) 300 m2 . e) 1 000 m2 . c) 500 m2 . Questão discursiva 12 (UFBA) Um fenômeno bastante curioso associado ao voo dos pássaros e do avião pode ser visualizado através de um experimento simples, no qual se utiliza um carretel de linha para empinar pipa, um prego e um pedaço circular de cartolina. 2 cm O prego é colocado no centro da cartolina e inserido no buraco do carretel, conforme a figura. Soprando pelo buraco superior do carretel, verifica-se que o conjunto cartolina-prego não cai. Considere a massa do conjunto cartolina-prego igual a 10 g, o raio do disco igual a 2 cm e a aceleração da gravidade local 10 m/s2 . A partir dessas informações, apresente a lei física associada a esse fenômeno e calcule a diferença de pressão média mínima entre as faces da cartolina necessária para impedir que o conjunto caia.
- 24. Orientações para oProfessor e resolução dos exercícios
- 25. Comentários e sugestões Esteassunto apresenta uma rara novidade: a revisão da explicação clássica que a maioria dos físicos e engenheiros ainda dá em relação à sustentação da asa de um avião. É importante, em primeiro lugar, que o professor se convença de que ela está de fato errada e deve ser revista. Para isso, sugerimos a leitura de alguns textos. O primeiro é o artigo pioneiro, em português, que alerta para esse equívoco e apresenta o Efeito Coanda: A dinâmica dos fluidos comple- mentada e a sustentação da asa, de Klaus Weltner, Antonio Sergio Esperidião e Paulo Miranda, professores do Instituto de Física da Universidade Federal da Bahia, e Martin Ingel- man-Sundberg, da Suécia. Foi publicado na Revista Brasileira de Ensino de Física, volume 23, número 4, de dezembro de 2001, e pode ser acessado diretamente pela Internet na pági- na www.sbfisica.org.br/rbef/Vol23/Num4/. Há muitos outros, todos em inglês. Indicamos dois: Model airplanes, the Bernoulli Equation, and the Coanda Effect, de Jef Raskin, que pode ser acessado em http://jef. raskincenter.org/main/published/coanda_effect.html. O autor foi professor da Universidade da Califórnia, em San Diego, e se tornou muito conhecido por ter criado o com- putador Macintosh. O outro é uma página do excelente ma- terial educativo produzido pela Nasa para explicar o voo do avião — é um texto curto, claro e objetivo, que pode ser encontrado em www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/ wrong1.html. Se o professor se interessar, há na Internet farto material de boa qualidade a respeito, mas quase todo em inglês. Essas leituras e a realização das experiências descritas nas atividades propostas certamente vão convencer o pro- fessor da necessidade dessa revisão. Quanto ao aluno, é quase certo que a maioria não conhece a explicação ante- rior, mas nos parece importante que saibam dessa revisão, por dois motivos pelo menos. O primeiro, para mostrar o caráter humano da física e que as verdades nela, como em qualquer ciência, não são definitivas e podem ser revistas — essa é, aliás, uma das recomendações dos PCNs. O segun- do, para mostrar ao aluno que a física não é mesmo fácil, não só na sua construção conceitual, mas também na forma como ela é empregada para explicar os fenômenos tecno- lógicos ou do dia-a-dia. Alguns professores gostam de dizer que física é fácil, que tudo se resume a aplicar as fórmulas certas, uma falácia que só angustia e desestimula os alunos. É muito melhor para o aluno saber que não está sozinho nas dificuldades de compreensão e nos erros que comete, pois, como vimos, até Einstein os cometeu. Competências Representação e comunicação • Símbolos, códigos e nomenclaturas de ciência e tecno- logia 25 • Reconhecer e saber utilizar corretamente símbolos, có- digos e nomenclaturas de grandezas da física. • Ler e interpretar corretamente tabelas, gráficos, esque- mas e diagramas apresentados em textos. • Construir sentenças ou esquemas para a resolução de problemas. • Elaboração de comunicações • Descrever relatos de fenômenos ou acontecimentos que envolvam conhecimentos físicos, apresentando com clareza e objetividade suas considerações e fazendo uso apropriado da linguagem da física. • Elaborar relatórios analíticos, apresentando e discutin- do dados e resultados, seja de experimentos ou de ava- liações críticas de situações, fazendo uso, sempre que necessário, da linguagem física apropriada. Investigação e compreensão • Estratégias para enfrentamento de situações-problema • Frente a uma situação ou problema concreto, reco- nhecer a natureza dos fenômenos envolvidos, situan- do-os no conjunto de fenômenos da física, e identi- ficar as grandezas relevantes em cada caso. • Interações, relações e funções; invariantes e transforma- ções • Reconhecer a relação entre diferentes grandezas ou relações de causa-efeito para ser capaz de estabelecer previsões. • Identificar regularidades, associando fenômenos que ocorrem em situações semelhantes para utilizar as leis que expressam essas regularidades na análise e nas previsões de situações do dia-a-dia. • Reconhecer a existência de invariantes que impõem condições sobre o que pode e o que não pode aconte- cer em processos naturais para fazer uso desses inva- riantes na análise de situações cotidianas. • Relações entre conhecimentos disciplinares, interdis- ciplinares e interáreas • Construir uma visão sistematizada dos diversos tipos de interação e das diferentes naturezas de fenômenos da física para poder fazer uso desse conhecimento de forma integrada e articulada. • Identificar e compreender os diversos níveis de expli- cação física, microscópicos ou macroscópicos, utilizan- do-os apropriadamente na compreensão de fenôme- nos. Contextualização sociocultural • Ciência e tecnologia na história • Compreender o desenvolvimento histórico dos mode- los físicos para dimensionar corretamente os modelos atuais, sem dogmatismo ou certezas definitivas. • Compreender o desenvolvimento histórico da tecno- logia nos mais diversos campos e suas consequências para o cotidiano e as relações sociais de cada época,
- 26. 26 identificando como seusavanços foram modificando as condições de vida e criando novas necessidades. • Perceber o papel desempenhado pelo conhecimento físico no desenvolvimento da tecnologia e a complexa relação entre ciência e tecnologia ao longo da história. Atividades interdisciplinares e de contextualização O assunto abordado aqui complementa os de Hidrostática, que tratam dos líquidos em equilíbrio (os gases em equilíbrio são objeto daTeoria Cinética dos Gases, apresentada com o estudo da Termodinâmica). Ter como temas principais a água, como líquido, e o ar, como gás, possibilita a realização de inúmeras atividades interdisciplinares e de contextualização. Esta pode ser tra- balhada a partir da sua mais importante tecnologia — a Aerodinâmica —, destacada na foto de abertura deste arti- go. Além da sustentação de aviões e helicópteros, a Aerodinâmica estuda a aderência dos veículos terrestres ao solo e a redução da resistência do ar sobre eles. São assun- tos que motivam extraordinariamente os adolescentes, principalmente aqueles que gostam de corridas de auto- móvel, área em que essa tecnologia é altamente desenvol- vida — se o professor sugerir pesquisas nessa área, certa- mente encontrará adesões entusiásticas. O voo das aves e o movimento dos peixes, a forma como esses animais se sustentam ou vencem a viscosidade do ar ou da água e a função das penas nas aves e das esca- mas nos peixes são também temas interessantíssimos que podem proporcionar atividades interdisciplinares muito motivadoras com a biologia. Para você pensar 1. Por causa da aceleração da gravidade, a velocidade do filete de água aumenta ao cair. Como a velocidade é in- versamente proporcional à área da seção normal do tu- bo de corrente, à medida que a velocidade aumenta essa área diminui e o filete afina. 2. Em condições ideais, pelo Princípio da Conservação da Energia, a água só pode atingir o mesmo nível da super- fície. Portanto, mesmo nessas condições, a experiência seria impossível. Na prática, como há perdas de energia por causa da viscosidade da água e do ar, o esguicho fica bem abaixo do nível da superfície. 3. a) Em I, sendo h1 = h2: p1 + ؒ dv1 2 = p2 + ؒ dv2 2 ⇒ p1 – p2 = ؒ dv2 2 – ؒ dv1 2 ⇒ p1 – p2 = ؒ d(v2 2 – v1 2 ) Em II, como não há variação da seção normal (S1 = S2 ⇒ v1 = v2): 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 p1 + dgh1 = p2 + dgh2 ⇒ p1 – p2 = dgh2 – dgh1 ⇒ p2 – p1 = dg(h2 – h1) b) A diferença de pressões (p1 – p2) é responsável, em I, só pela variação da energia cinética do líquido e, em II, apenas pela variação da energia potencial gravita- cional. 4. A afirmação é correta. Basta observar que a dedução da expressão dessa lei (página 20) tem como ponto de par- tida a identidade entre o trabalho realizado pelas forças devidas às variações de pressão e as respectivas varia- ções de energia cinética e potencial da água, conse- quência do Princípio da Conservação da Energia Mecâ- nica. 5. Como mostra a equação de Torricelli, a velocidade de saí- da da água não depende da abertura do orifício, ou seja, nesse caso apertar a saída da mangueirinha não aumenta a velocidade de saída da água, o que invalida a ideia ini- cial do aluno. Esse resultado não contraria a Equação de Continuidade (v1S1 = v2S2), pois ela não se aplica a essa situação porque a velocidade de abaixamento da super- fície do recipiente foi considerada nula (desprezível). Assim, cinematicamente, a altura máxima da água será sempre igual à profundidade h do recipiente. 6. Não faz sentido falar em coeficiente de viscosidade está- tico porque a viscosidade depende da existência do mo- vimento relativo entre as diferentes camadas de um flui- do. Não havendo esse movimento (v = 0), não existe vis- cosidade e a expressão do coeficiente [η = ] perde o seu significado. 7. A adesão viscosa do líquido ao bico do recipiente dirige o líquido e o afina, tornando-o um filete laminar, o que facilita o seu derramamento. 8. Ao cair através do ar, a curvatura da gota faz o fluxo de ar curvar-se para contorná-la. Pelo Princípio da Ação e Reação, a gota é puxada lateralmente para o fluxo e, por isso, é ligeiramente achatada. Para você resolver 1. a) Φ = ⇒ ΦE = ⇒ ΦE = 0,20 L/s ⇒ ΦE = 2,0 ؒ 10–4 m3 /s b) rE = 0,50 cm = 5,0 ؒ 10–3 m ⇒ SE = πrE 2 ⇒ SE = 3,1(5,0 ؒ 10–3 )2 ⇒ SE = 7,8 ؒ 10–5 m2 ΦE = vESE ⇒ 2,0 ؒ 10–4 = vE ؒ 7,8 ؒ 10–5 ⇒ vE = 2,6 m/s c) rT = ⇒ rT = 1,3 cm = 1,3 ؒ 10–2 m ⇒ ST = πrT 2 ⇒ ST = 3,1(1,3 ؒ 10–2 )2 ⇒ ST = 5,2 ؒ 10–4 m2 2,5 2 12 60 V Δt Fy Sv
- 27. 27 5. Ao atingira velocidade-limite, o sistema passa a se mo- ver com velocidade constante. Logo, sendo mB = 0,060 kg (reveja as figuras da bola na página 16): T = PB ⇒ T = mBg ⇒ T = 0,060 ؒ 10 ⇒ T = 0,60 N Esse é o módulo da força viscosa. Então, sendo y = 0,30 mm = 3,0 ؒ 10–4 m, da expressão dessa força: F = ؒ v ⇒ 0,60 = ؒ v ⇒ v = 6,0 ؒ 10–3 m/s 6. a) Reveja a figura da página 14. Como a velocidade é cons- tante,daSegundaLeideNewtonemmódulo,podemos escrever: F + E = P ⇒ F = P – E ⇒ F = dAlVesferag – dglicerinaVesferag ⇒ F = (dAl – dglicerina)Vesferag Vesfera = ؒ 3,1(2,0 ؒ 10–3 )3 ⇒ Vesfera = 3,3 ؒ 10–8 m3 F = (2 700 – 1 300)3,3 ؒ 10–8 ؒ 10 ⇒ F = 4,6 ؒ 10–4 N b) Sendo Δx = 18 cm = 0,18 m, Δt = 20 s e a velocidade constante: v = ⇒ v = ⇒ v = 9,0 ؒ 10–3 m/s Então, da Lei de Stokes: F = 6πηrv ⇒ 4,6 ؒ 10–4 = 6 ؒ 3,1η ؒ 2,0 ؒ 10–3 ؒ 9,0 ؒ 10–3 ⇒ η = 1,4 Pa ؒ s 7. Reveja a primeira figura da página 15. Como a velocidade é constante e o empuxo é desprezível, da Segunda Lei de Newton em módulo podemos escrever: P – F = 0 ⇒ F = P = mgotag (I) Como a velocidade-limite é constante e a gota é esférica, supondo não haver turbulência, podemos aplicar a Lei de Stokes: F = 6πηarrgotav (II) De I e II: mgotag = 6πηarrgotav (III) Sendo d = e Vesfera = ؒ πr3 : mgota = dóleoVgota ⇒ mgota = dóleo ؒ ؒ πr3 gota (IV) Substituindo IV em III, sendo v = 2,0 m/s a velocidade- -limite para o ar: dóleo ؒ ؒ πr3 gotag = 6πηarrgotav ⇒ dóleo ؒ ؒ r2 gotag = 6ηarv ⇒ 800 ؒ ؒ r2 gota ؒ 10 = 6 ؒ 1,8 ؒ 10–5 ؒ 2,0 ⇒ rgota = 1,4 ؒ 10–4 m 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 m V 0,18 20 Δx Δt 4 3 0,75ؒ0,040 3,0ؒ10–4 ηS y v1S1 = v2S2 ⇒ vESE = vTST ⇒ 2,6 ؒ 7,8 ؒ 10–5 = vT ؒ 5,2 ؒ 10–4 ⇒ vE = 0,39 m/s 2. a) Φ = 5,0 L/s = 5,0 ؒ 10–3 m3 /s S1 = 1,2 ؒ 10–2 m2 ⇒ Φ = v1S1 ⇒ 5,0 ؒ 10–3 = v1 ؒ 1,2 ؒ 10–2 ⇒ v1 = 0,42 m/s S2 = 2,0 ؒ 10–3 m2 ⇒ Φ = v2S2 ⇒ 5,0 ؒ 10–3 = v2 ؒ 2,0 ؒ 10–3 ⇒ v2 = 2,5 m/s b) Fazendo p2 = p0 = 1,0 ؒ 105 Pa, da Equação de Bernoulli: p1 – p0 = ؒ d(v2 2 – v1 2 ) + dg(h2 – h1) ⇒ p1 – 1,0 ؒ 105 = ؒ 1,0 ؒ 103 (2,52 – 0,422 ) + 1,0 ؒ 103 ؒ 10(3,0 – 0) ⇒ p1 – 1,0 ؒ 105 = 3,1 ؒ 103 + 3,0 ؒ 104 ⇒ p1 = 1,3 ؒ 105 Pa 3. Da equação de Torricelli (v = ): • para a profundidade hA = 0,080 m: vA = ⇒ vA = ⇒ vA = 1,3 m/s • para hB = 0,16 m: vB = ⇒ vB = 1,8 m/s • para hC = 0,24 m: vC = ⇒ vC = 2,2 m/s Para um referencial em que a origem das alturas está fi- xada no nível do solo, de acordo com a figura do item b, exercício 3 da página 7: • para as gotas que saem de A: yA = 0,24 + 0,72 = 0,96 m tempo de queda: y = y0 + v0yt + и gt2 ⇒ 0 = yA + 0 и tA + (–g)tA 2 ⇒ 0 = 0,96 – 5,0tA 2 ⇒ tA = 0,44 s • para as gotas que saem de B: yB = 0,16 + 0,72 = 0,88 m 0 = yB + 0 и tB + (–g)tB 2 ⇒ 0 = 0,88 – 5,0tB 2 ⇒ tB = 0,42 s • para as gotas que saem de C: yC = 0,080 + 0,72 = 0,90 m 0 = yC + 0 и tC + (–g)tC 2 ⇒ 0 = 0,80 – 5,0tC 2 ⇒ tC = 0,40 s Portanto, os alcances serão: • para as gotas que saem de A: x = x0 + vt ⇒ xA = x0 + vAtA ⇒ xA = 0 + 1,3 и 0,44 ⇒ xA = 0,57 m • para as gotas que saem de B: xB = x0 + vBtB ⇒ xB = 0 + 1,8 и 0,42 ⇒ xB = 0,76 m • para as gotas que saem de C: xC = x0 + vCtC ⇒ xC = 0 + 2,2 и 0,40 ⇒ xC = 0,88 m 4. Da expressão do tubo de Venturi: Φ = S1S2Ί හ හහහහ ⇒ p1 – p2 = ⇒ Δp = ⇒ Δp = 1,7 ؒ 103 Pa (2,0ؒ10–2 )2 ؒ1,0 ؒ103 [(2,5ؒ10–2 )2 –(1,0ؒ10–2 )2 ] 2(2,5 ؒ 10–2 ؒ 1,0 ؒ 10–2 )2 Φ2 d(S1 2 – S2 2 ) 2(S1S2)2 2(p1 – p2) d(S1 2 – S2 2 ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 10⋅ ⋅0,24 2 10⋅ ⋅0,16 2 10⋅ ⋅0,080 2ghA 2gh 1 2 1 2
- 28. proporcional ao quadradoda sua velocidade – se ela dobra (passa de 12 km/h a 24 km/h), a potência deve tornar-se 4 (22 ) vezes maior e passar de 6,0 kW para 24 kW (4 ؒ 6,0). Resposta: alternativa a. 10. Como a massa específica da esfera é o dobro da massa específica da água, podemos escrever dágua = ؒ desfera. Então, pela expressão do empuxo (E = dfluidoVfluido deslocadog), podemos determinar o empu- xo dessa esfera inteiramente imersa na água: Eesfera = dáguaVesferag ⇒ Eesfera = ؒ desferaVesferag ⇒ Eesfera = ؒ P Como a velocidade é constante, a resultante sobre a esfera é nula (reveja a figura da página 14). Da Segunda Lei de Newton em módulo, sendo A a força viscosa: A + Eesfera = P ⇒ A + ؒ P = P ⇒ P = 2A Resposta: alternativa d. 11. Da Equação de Continuidade, sendo v1 = 1 m/s, onde S1 = 500 m2 , obtemos S2, onde v2 = 2 m/s: S1v1 = S2v2 ⇒ 500 ؒ 1 = S2 ؒ 2 ⇒ S2 = 250 m2 Resposta: alternativa a. 12. Até há pouco tempo esse fenômeno era associado à Equação de Bernoulli (podemos afirmar que essa era a resposta esperada pela banca). No entanto, a resposta correta é o Efeito Coanda (curiosamente, essa mudança de explicação foi divulgada pela primeira vez por físicos da UFBA). Supondo que o conjunto cartolina-prego seja sustenta- do apenas pela diferença de pressão, o que não é mais aceito como verdadeiro, a diferença de pressão média mínima entre as faces da cartolina necessária para im- pedir que o conjunto caia deve ser aquela que resulte em uma força ascendente F= igual ao módulo P do peso desse conjunto. Sendo m = 10 g = 1,0 и 10–2 kg a massa do conjunto cartolina-prego e g = 10 m/s2 , o módulo da força ascendente é: F = P ⇒ F = mg ⇒ F = 1,0 и 10–2 и 10 ⇒ F = 0,10 N Da definição de pressão, podemos escrever Δp = . A área do disco de raio r = 2,0 cm = 2,0 ؒ 10–2 m é: S = πr2 ⇒ S = 3,1(2,0 ؒ 10–2 )2 = 1,2 ؒ 10–3 m2 Então: Δp = ⇒ Δp = 83 Pa 0,10 1,2ؒ10–3 F S 1 2 1 2 1 2 1 2 Preparação para o ingresso no ensino superior 1. Resposta: alternativa d. 2. Num escoamento laminar, a vazão é dada por Φ = vS. Então, ela é diretamente proporcional à velocidade e à área. Resposta: alternativa d. 3. Da expressão dada podemos obter a dimensão de C pela razão 5 6 . Portanto, a dimensão de C é 5 6 ou m3 и s–1 . Resposta: alternativa e. 4. Ainda dessa expressão, podemos determinar C usan- do a expressão da velocidade do sangue (v = 0,28 m/s) para um ponto P localizado no eixo central (d = 0) em um vaso de raio r = 1,0 cm = 1,0 ؒ 10–2 m: v = C(r2 – d2 ) ⇒ 0,28 = C[(1,0 ؒ 10–2 )2 – 02 ] ⇒ C = 2,8 ؒ 103 m3 ؒ s–1 Pela mesma expressão determinamos o valor de v para d = 0,50 cm = 5,0 ؒ 10–3 m: v = C(r2 – d2 ) ⇒ v = 2,8 ؒ 103 [(1,0 ؒ 10–2 )2 – (5,0 ؒ 10–3 )2 ] ⇒ v = 0,21 m/s Resposta: alternativa b. 5. Da Equação de Continuidade, chamando de A a área da seção reta e sendo A2 = 3A1, podemos escrever: A1v1 = A2v2 ⇒ A1v1 = 3A1v2 ⇒ v2 = [ ]v1 Logo, x = . Resposta: alternativa d. 6. Da Equação de Continuidade, podemos concluir que, ao passar de uma região de maior raio para outra de menor raio, a velocidade da água aumenta. E, pela Equação de Bernoulli, se a velocidade aumenta, a pressão diminui. Resposta: alternativa c. 7. Chamando F de Fa, Fa + E = P (reveja o exercício resolvi- do 6). Resposta: alternativa c. 8. Resposta: alternativa c. 9. Da expressão da força viscosa (F = cv), lembrando a re- lação entre a potência (P) e velocidade (v) de um mó- vel em MRU (P = Fv), concluímos que P = cv2 . Logo, nas condições dadas, a potência do barco é diretamente 1 3 1 3 m3 s m s [m2 ] 28