1) O documento discute habilidades e competências cognitivas, definindo-as e apresentando exemplos de cada. 2) É apresentada uma situação-problema envolvendo multiplicação que requer habilidades como comparar e calcular. 3) A resolução de problemas é definida e discutidas diferentes interpretações do termo no ensino da matemática.

1. Situações-problema envolvendo várias operações
(Coordenadoras: Gislene Munhoz dos Santos, KeitySuzana MunhosStoco, Luciana Aparecida dos Santos, Thaís Siqueira de Castro )
10/11/2014

2. Habilidades e Competências

3. O que são Habilidades ?
As habilidades possibilitam saber o que é necessário realizar para responder o que foi solicitado em determinada situação.
Descrevem as estruturas mais gerais da inteligência que evidenciarão o efetivo desenvolvimento dos alunos ao mover seus conhecimentos prévios e estabelecer conexões.

4. O que são Competências cognitivas?
São modalidades estruturais da inteligência: conjunto de ações e operações mentais que o sujeito utiliza para estabelecer relações com e entre os objetos, situações, fenômenos e pessoas.
Saber inferir;
Atribuir sentido;
Articular partes e todo;
Excluir;
Comparar;
Observar;
Identificar;
Tomar decisões;
Reconhecer;
Fazer correspondências.
Aspectos cognitivos:

5. GRUPO III
Esquemas Operatórios
GRUPO I
Esquemas Representativos
GRUPO II
Esquemas Procedimentais
Observar
Compreender
Realizar
Competências

6. HABILIDADES DO GRUPO I
•Observarparalevantardados,descobririnformaçõesnosobjetos,acontecimentos, situaçõesetc.esuasrepresentações.
•Identificar,reconhecer,indicar,apontar,dentrediversosobjetos,aquelequecorrespondeaumconceitoouaumadescrição.
•Identificarumadescriçãoquecorrespondeaumconceitoouàscaracterísticastípicasdeobjetos.
•Localizarumobjeto,descrevendosuaposiçãoouinterpretandoadescriçãodesualocalização,oulocalizarumainformaçãoemumtexto.
•Descreverobjetos,situações,fenômenos,acontecimentosetc.einterpretarasdescriçõescorrespondentes.
•Discriminar,estabelecerdiferenciaçõesentreobjetos,situaçõesefenômenoscomdiferentesníveisdesemelhança.
•Constataralgumarelaçãoentreaspectosobserváveisdoobjeto,semelhançasediferenças,constânciasemsituações,fenômenos,etc.
•Representargraficamente(objetos,desenhos,gráficosetc.)osobjetossituações, sequências,fenômenos,acontecimentosetc.
•Representarquantidadespormeiodeestratégiaspessoais,denúmerosedepalavras.

7. HABILIDADES DO GRUPO I
•Observarparalevantardados,descobririnformaçõesnosobjetos,acontecimentos, situaçõesetc.esuasrepresentações.
•Identificar,reconhecer,indicar,apontar,dentrediversosobjetos,aquelequecorrespondeaumconceitoouaumadescrição.
•Identificarumadescriçãoquecorrespondeaumconceitoouàscaracterísticastípicasdeobjetos.
•Localizarumobjeto,descrevendosuaposiçãoouinterpretandoadescriçãodesualocalização,oulocalizarumainformaçãoemumtexto.
•Descreverobjetos,situações,fenômenos,acontecimentosetc.einterpretarasdescriçõescorrespondentes.
•Discriminar,estabelecerdiferenciaçõesentreobjetos,situaçõesefenômenoscomdiferentesníveisdesemelhança.
•Constataralgumarelaçãoentreaspectosobserváveisdoobjeto,semelhançasediferenças,constânciasemsituações,fenômenos,etc.
•Representargraficamente(objetos,desenhos,gráficosetc.)osobjetossituações, sequências,fenômenos,acontecimentosetc.
•Representarquantidadespormeiodeestratégiaspessoais,denúmerosedepalavras.

8. HABILIDADES DO GRUPO II
•Classificar–organizar(separando)objetos,fatos,fenômenos, acontecimentosesuasrepresentações,deacordocomumcritérioúnico,incluindosubclassesemclassesdemaiorextensão.
•Seriar–organizarobjetosdeacordocomsuasdiferenças, incluindoasrelaçõesdetransitividade.
•Ordenarobjetos,fatos,acontecimentos,representações,deacordocomumcritério.
•Conservaralgumaspropriedadesdeobjetos,figurasetc.quandootodosemodifica.
•Comporedecomporfiguras,objetos,palavras,fenômenosouacontecimentos,acontecimentosemseusfatores,elementosoufasesetc.

9. HABILIDADES DO GRUPO II
•Fazerantecipaçõessobreoresultadodeexperiências,sobreacontinuidadedeacontecimentosesobreoprodutodeexperiências.
•Calcularporestimativaagrandezaouaquantidadedeobjetos,oresultadodeoperaçõesaritméticasetc.
•Medir,utilizandoprocedimentospessoaisouconvencionais.
•Interpretar,explicarosentidoquetêmparanósacontecimentos, resultadosdeexperiências,dados,gráficos,tabelas,figuras, desenhos,mapas,textos,descrições,poemasetc.eapreenderestesentidoparautilizá-lonasoluçãodeproblemas.

10. HABILIDADES DO GRUPO III
•Analisarobjetos,fatos,acontecimentos,situações,combaseemprincípios,padrõesevalores.
•Aplicarrelaçõesjáestabelecidasanteriormenteouconhecimentosjáconstruídosacontextosesituaçõesdiferentes;aplicarfatoseprincípiosanovassituações,paratomardecisões,solucionarproblemas,fazerprognósticosetc.
•Avaliar,istoé,emitirjulgamentosdevalorreferentesaacontecimentos,decisões,situações,grandezas,objetos,textosetc.
•Criticar,analisarejulgar,combaseempadrõesevalores,opiniões, textos,situações,resultadosdeexperiências,soluçõesparasituação-problema,diferentesposiçõesassumidasdiantedeumasituaçãoetc.

11. HABILIDADES DO GRUPO III
•Explicarcausaseefeitosdeumadeterminadasequênciadeacontecimentos.
•Apresentarconclusõesarespeitodeideias,textos,acontecimentos, situaçõesetc.
•Levantarsuposiçõessobreascausaseefeitosdefenômenos, acontecimentosetc.
•Fazerprognósticocombaseemdadosjáobtidossobretransformaçãoemobjetos,situações,acontecimentos,fenômenosetc.
•Fazergeneralizações(indutivas)apartirdeleisouderelaçõesdescobertasouestabelecidasemsituaçõesdiferentes,istoé,estenderdealgunsparatodososcasossemelhantes.
•Fazergeneralizações(construtivas)fundamentadasoureferentesàsoperaçõesdosujeito,comproduçãodenovasformasedenovosconteúdos.
•Justificaracontecimentos,resultadosdeexperiências,opiniões, interpretações,decisõesetc.

12. Situação-problema
Descritor 6
Multiplicação
( adição de parcelas iguais)
Analise asituação- problema:
Quaisfatores geram dificuldades ?
Quais habilidades e competências são necessárias para a resolução da situação- problema?
Oque será necessário modificar em nossa prática ?
a)Segundo nota da SABESP, Companhia de Água e Esgoto de São Paulo, em um banho de chuveiro uma pessoa gasta aproximadamente 9 litros de água a cada minuto. Se Júlia demorou 5 minutos no banho, quantos litros de água ela gastou?
SAREM 2013 -3º ANO

13. Comparar
a)Segundo nota da SABESP, Companhia de Água e Esgoto de São Paulo, em um banho de chuveiro uma pessoa gasta aproximadamente 9 litros de água a cada minuto. Se Júlia demorou 5 minutos no banho, quantos litros de água ela gastou?
a)Para a dança da festa junina, as professoras do terceiro ano organizaram os alunos em 4 filas com 8 alunos em cada fila. Quantos alunos participaram da dança?
Avaliação Externa
Unidade Escolar

14. Situação-problema
Descritores –menores índices
Questão 4
Classificar polígonos segundo critérios variados: como número de lados e medidas de lado.
Resolver situações- problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
Analise asituação- problema:
Quaisfatores geram dificuldades ?
Quais habilidades e competências são necessárias para a resolução da situação-problema?
Oque será necessário modificar em nossa prática ?
04-Seu Armando resolveu fazer um curral para criar gado em sua fazenda. Para isso irá fazer um cercado que mede 15 m de cada lado. Portanto, este curral tem a forma de um:
( ) retângulo e seu perímetro é de 60 m.
( ) quadrado e seu perímetro é de 60 m.
( ) quadrado e seu perímetro é de 225 m.
( ) triangulo e seu perímetro é de 60 m.
SAREM 5º ANO
Situação-problema

15. Comparar:
04-Seu Armando resolveu fazer um curral para criar gado em sua fazenda. Para isso irá fazer um cercado que mede 15 m de cada lado. Portanto, este curral tem a forma de um:
( ) retângulo e seu perímetro é de 60 m.
( ) quadrado e seu perímetro é de 60 m.
( ) quadrado e seu perímetro é de 225 m.
( ) triangulo e seu perímetro é de 60 m.
Avaliação Externa
Unidade Escolar
7-Observando a figura abaixo, podemos dizer que a casa é formada por:
a) 1 triângulo, 2 quadrados e 2 retângulos
(b) 1 triângulo, 4 quadrados
(c) 1 triângulo e 3 retângulos
(d) 1 triângulo, 3 quadrados e 1 retângulo

16. O QUE É RESOLVER UM PROBLEMA?
Para George Polya:
“Resolverumproblemaéencontrarosmeiosdesconhecidosparaumfimnitidamenteimaginado. Seofimporsisónãosugereosmeios,seporissotemosdeprocurá-losrefletindoconscientementesobrecomoalcançarofim,temosumproblema. Resolverumproblemaéencontrarumcaminhoondenenhumoutroéconhecidodeantemão, encontrarumcaminhoapartirdeumadificuldade, encontrarumcaminhoquecontorneumobstáculo, paraalcançarumfimdesejado,masnãoalcançávelimediatamente,pormeiosadequados.”

17. Nos PCNs(1998) podemos ler:
“Resolver um problema pressupõe que o aluno:
•Elaboreumouváriosprocedimentosderesolução(como,porexemplo,realizarsimulações,fazertentativas,formularhipóteses);
•Compareseusresultadoscomosdeoutrosalunos;
•Valideseusprocedimentos;”

18. “Resolverumproblemanãoseresumeemcompreenderoquefoipropostoeemdarrespostasaplicandoprocedimentosadequados.Aprenderadarumarespostacorreta,quetenhasentido,podesersuficienteparaqueelasejaaceitaeatésejaconvincente,masnãoégarantiadeapropriaçãodoconhecimentoenvolvido.Alémdisso,énecessáriodesenvolverhabilidadesquepermitampôràprovaosresultados,testarseusefeitos,compararseusdiferentescaminhos,paraobterasolução.Nessaformadetrabalho,ovalordarespostacorretacedelugaraovalordoprocessoderesolução.”(PCNs, 1998)-grifonosso.

19. “Ofatodeoalunoserestimuladoaquestionarsuaprópriaresposta,aquestionaroproblema,atransformarumdadoproblemanumafontedenovosproblemas,evidenciaumaconcepçãodeensinoeaprendizagemnãopelamerareproduçãodeconhecimentos,maspelaviadaaçãorefletidaqueconstróiconhecimentos”. (PCNs,1998)

20. As várias interpretações da expressão “formulação e resolução de problemas”
•Formulação e resolução de problemas como meta.
•Formulação e resolução de problemas como processo.
•Formulação e resolução de problemas como habilidade básica.
•Formulação e resolução de problemas como metodologia do ensino da matemática.

21. Formulação e resolução de problemas como meta
Essaprimeirainterpretaçãovêaformulaçãoearesoluçãodeproblemascomoomotivoprincipaldeseestudarmatemática.Nela,aformulaçãoearesoluçãodeproblemaséoobjetivoprimordialaseratingido.

22. Formulação e resolução de problemas como processo
Oqueimportaéoprocessodeformulaçãoeresoluçãodeproblemas,enãotantoaobtençãodaresposta.Éomodocomooalunoformulaeresolveumproblema,osmétodos,asestratégiaseosprocedimentosqueeleutiliza.
Nessaconcepção,aaprendizagemdamatemáticasedariaensinandoosprocessosdeformulaçãoeresoluçãodeproblemasaosalunos.

23. Formulação e resolução de problemas como habilidade básica
Éumacompetênciamínima,básica,quetodososalunosdevemterparaqueconstruamsuacidadaniaeusufruamplenamentedela.
Nessainterpretação,éinevitávellevaremcontaoconteúdoenvolvidonosproblemaseosmétodosdesolução,poissetratadealgoessencialquetodososindivíduosdevemdominarparaqueseinsiramnomundodoconhecimentoedotrabalho.

24. Formulação e resolução de problemas como metodologia do ensino da matemática
•Opontodepartidadoensinodamatemáticanãoéadefinição,masoproblema.Noprocessodeensinoeaprendizagem,conceitos,ideiasemétodosmatemáticosdevemserabordadosmedianteaexploraçãodeproblemas,ouseja,desituaçõesemqueosalunosprecisemdesenvolveralgumtipodeestratégiapararesolvê-las;

25. •Oproblemanãoéumexercícioaplicadodeformaquasemecânica.Sóháproblemaseoalunoforlevadoainterpretaroenunciadodaquestãoquelheépostaeaestruturarasituaçãoquelheéapresentada;
•Aproximaçõessucessivasaoconceitosãoconstruídaspararesolverumcertotipodeproblema;numoutromomento,oalunoutilizaoqueaprendeupararesolveroutros,oqueexigetransferências,retificações,rupturas,segundoumprocessoanálogoaoquesepodeobservarnahistóriadamatemática;

26. •Oalunonãoconstróiumconceitoemrespostaaumproblema,masconstróiumcampodeconceitosquetomamsentidonumcampodeproblemas.Umconceitomatemáticoseconstróiarticuladocomoutrosconceitos,pormeiodeumasériederetificaçõesegeneralizações;
•Aresoluçãodeproblemasnãoéumaatividadeparaserdesenvolvidaemparalelooucomoaplicaçãodaaprendizagem,masumaorientaçãoparaaaprendizagem,poisproporcionaocontextoemquesepodeapreenderconceitos, procedimentoseatitudesmatemáticas.

27. Objetivos da formulação e da resolução de problemas
•Fazeroalunopensarprodutivamente;
•Desenvolveroraciocíniodoaluno;
•Ensinaroalunoaenfrentarsituaçõesnovas;
•Daroportunidadeaosalunosdeseevolvercomasaplicaçõesdamatemática;
•Tornarasaulasdematemáticamaisinteressantesedesafiadoras;
•Equiparoalunocomestratégiaspararesolverosproblemas;
•Darumaboabasematemáticaàspessoas;
•Liberaracriatividadedoaluno;

28. Os vários tipos de problemas
•SãoConsideradosconvencionaisosproblemasque, geralmentesãopropostoscomafinalidadedetreinartécnicasoperatóriaseprocedimentosalgorítmicos.
•Noentanto,submeterosalunosaesseprocedimentotemtolhidoemmuitoacapacidadedecriaçãoeimaginaçãoetemgeradoasclássicasinterrogações:
Oproblemaéde“mais”oude“vezes”?

29. Problemas não convencionais
•Osproblemasnãoconvencionais:exigemdoalunoacapacidadedereflexãoconcernenteaoplanejamento,organizaçãodeestratégiasparaacompreensãodosproblemas,levantamentoetestagemdehipóteseseobrigam-noaumacoordenaçãodeexperiênciasanteriores.
•Tiposdeproblemas(nãoconvencionais)-Livro“Formulaçãoeresoluçãodeproblemasdematemática”,LuizRobertoDante,páginas24,25,26,27e28.

34. Como se resolve um problema
•SegundooesquemadePolya,sãoquatroasetapasprincipaispararesoluçãodeumproblema.Noentanto,essasetapasnãosãorígidas,fixaseinfalíveis.
•Oprocessoderesoluçãodeumproblemaéalgomaiscomplexoerico,quenãoselimitaaseguirinstruçõespassoapassoquelevarãoasolução, comosefosseumalgoritmo.

35. 1ª Etapa: compreender o problema
•Antesdecomeçararesolverumproblemaprecisamoscompreendê-lo,devemoslê-loequestionar:
a)Háalgumapalavracujosignificadonãoconheço?
Oquesepedenoproblema?
Oquesequerresolvernoproblema?
Oqueoproblemaestáperguntando?

36. B) Quais são os dados e as condições do problema?
O que está dito no problema e que podemos usar?
C)É possível fazer uma figura ou diagramação da situação?
D) É possível estimar a resposta?
1ª Etapa: compreender o problema

37. Agoraquecompreendestebemoproblema,tensqueimaginarumplanoparaoresolver.Esteéopassomaisdifícilporquerequeralgumascapacidades:criatividade,espíritodeorganizaçãoeacionarosconhecimentosprévios. Éprecisoquestionar:
Vocêjáresolveuumproblemacomoesteantes?
Épossívelutilizaralgumcaminhoquevocêjárealizouantespararesolveresseproblema?
2ª Etapa: elaborar um plano

38. É possível resolver o problema por partes?
É possível organizar os dados em tabelas, gráficos ou diagramas?
Planos:
a)Representação do problema;
b)Tentativas erros organizados;
2ª Etapa: elaborar um plano

39. Nesta etapa , é preciso executar o plano elaborado, verificando cada passo a ser dado
Questões:
Já tentei mais de um plano ?
Há outra possibilidade que ainda não tentei?;
3ª Etapa: executar um plano

40. Nesta etapa , é preciso analisar a solução obtida e fazer a verificação do resultado, isto é repassar todo o problema.
Questões:
O resultado encontrado é coerente com a estimativa realizada inicialmente ?
Existe outra maneira de resolver o problema?;
É possível usar plano empregado para resolver problemas semelhantes?
4ª Etapa: fazer o retrospecto ou verificação

41. Porqueseráqueosalunosresolvemosproblemasdequalquermaneira?
Porqueseráquequandoelesvãoresolverumproblemaperguntamsempreaoprofessor:Quecontadevemosfazer?
Porqueseráqueaoresolverumproblemaelesvãodandoqualquerrespostasemraciocinar?

42. Dinâmica da bomba

43. Percebemosqueosalunosnãoraciocinamaoresolverosproblemas,masseráqueelesraciocinamquandofazemcálculos?
Cálculo e Raciocínio

44. •Resolução de contas a partir de regras pré- definidas;
•Trabalho sistematizado que levam o aluno a obedecer regras;
Contradição
Quando chega na hora de pensar nos problemas é claro que eles não pensam.
Qual é a saída?

45. Saída
Tratar as contas como um problema.

46. •Oquecaracterizaumproblemanãoéaexistênciadeumenunciado(história)escrita,massimumasituaçãodesafiadora.
•Entãoépossíveltrabalharascontasdessamaneira. Bastaapresentaroscálculosdeumaformadesafiadora.
Atenção:Istosóserápossívelseocálculoaindanãofoiensinado.
•Porexemplo:Podemosperguntaremumaclassequemencontraumjeitodedescobrirquantoé13X10;

49. COMO PROPOR PROBLEMAS ADEQUADAMENTE
Estudar matemática é resolver problemas. Portanto, a incumbência dos professores de matemática, em todos os níveis, é ensinar a arte de resolver problemas. O primeiro passo nesse processo é colocar o problema adequadamente.
Thomas Butts

50. •Éprecisofazerumaclaradistinçãoentreoqueéexercícioeoqueéumproblema.Exercício,comoopróprionomediz,serveparaexercitar,parapraticar,determinadoalgoritmoouprocedimento.Oalunolêoexercícioeextraiasinformaçõesnecessáriasparapraticarumaoumaishabilidadesalgorítmicas.
Exemplo:
Efetue123÷3
Ou,naformadeproblema-padrão:Divida123balasigualmenteentre3crianças.
EXERCÍCIO
PROBLEMA

51. •Situação-problemaouproblema-processo,éadescriçãodeumasituaçãoemqueseprocuraalgodesconhecidoenãosetempreviamentenenhumalgoritmoquegarantasuasolução. Aresoluçãodeumproblema-processoexigeumacertadosedeiniciativaecriatividadealiadaaoconhecimentodealgumasestratégias.
Exemplo:
Foramconvidadas38criançasparaoaniversáriodePaulinho. Opaideleprecisaalugarmesasquadradasparafazerumalongafila,colocandoasmesasladoalado,umaencostadanaoutra.Elequerquecadaladodisponíveldamesasejaocupadoporumaúnicacriança.Qualéomenornúmeropossíveldemesasqueeledeveráalugar?
Observação:Éimportanteteremmenteque,duranteoanoletivo,devehaverumequilíbrioentreonúmerodeexercícioseodeproblemasquesãodadosaumaclasse.

52. •Emgeral,osexercíciosdereconhecimentosãodadosemformadetestesdotipoverdadeirooufalso(VouF),demúltiplaescolhaoudepreenchimentodelacunas.Essesexercíciospodemsermaisinteressantesesignificativosquandocolocadosnaformade“Dêumexemplode”.
Exemplo:
Dêumexemplode:
a)Doisnúmerosprimosentre10e20;
b)Umnúmeroemqueoalgarismodascentenassejapelomenos2,odasdezenassejapelomenos3eodasunidades,pelomenos5;
c)Umafraçãoprópriamaiordoque2/3;
d)Umpolígonodequatrolados;
e)Umnúmerodecimalentre0,01e0,1;
f)Umaoperaçãoentrenúmerosnaturaisquenãosejacomutativa.
•Estacolocaçãodámargemaváriasrespostasdiferentesecorretas,oqueestimuladiscussõesinteressantesnaclasse.Tambémosexercíciossobrealgoritmos(efetuar123+387,124-68,13x12,168÷3etc.)podemsetornarmaismotivadoresparaacriançaquandocolocadosdeformamaisinteressante.
Propondo exercícios adequadamente

53. •Ser desafiador para o aluno
Infelizmenteamaioriadosproblemasdadosaosalunosédeproblemas-padrão,quenãoosdesafiam.Osalunosdevemsercolocadosdiantedeproblemasqueosdesafiem,queosmotivem,queaumentemsuacuriosidadeemquererpensarneleseemprocurarsolucioná-los.
•Serrealparaoaluno;
•Serdointeressedoaluno;
•Ser o elemento desconhecido de um problema realmente desconhecido;
•Não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas.
Características de um bom problema

54. •Linguagem usada na redação do problema;
•Tamanho e estrutura das frases;
•Vocabulário matemático específico;
•“Tamanho” e complexidade dos números;
•Como apresentar o problema;
•Ordem em que as informações (dados e condições) são dadas;
•Número de condições a serem satisfeitas e sua complexidade;
•Número e complexidade de operações e estratégias envolvidas.
Como contornar fatores que dificultam um problema

55. Sugestões metodológicas aos professores
Mudando o método de ensino
Razõesdeamatemáticafazerpartedocurrículodoensinofundamental:saberlidarcomproblemascujassoluçõesenvolvamconceitosmatemáticos.
EnsinararesolverproblemasXensinaralgorítmoseequações.
Métodoheurístico:manterosalunospensandoegerandoideiasprodutivas.

56. Trabalhando com a classe toda
Apresentarumproblemadesafiador,realeinteressante.
Temporazoávelparaleituraecompreensão.
Facilitaradiscussãoentreosalunos.
Tempoparaascriançastrabalharemosproblemas.
Perguntasquesurgemnaturalmente:Esteproblemaédeumaoudeduascontas?...

57. Possíveisrespostasaessasperguntas:Vamospensarjuntos...
Enquantoascriançastrabalhamoprofessorpercorreascarteirasajudando.
Pediraalgunsalunospararealizaremnalousa.
Copiarnocadernoasdiversasmaneirasderesolveraqueleproblema.
Etapaderetrospectoeverificação.

58. Trabalhando com pequenos grupos
Dividirasalaempequenosgruposeapresentarumproblema.
Umrepresentantedecadagrupoiráreproduziraresoluçãodoproblemanalousa.

59. Ensinando algumas estratégias
1ªestratégia:tentativadeerrosorganizados.
Ex.Pedrinhoestápensandoemdoisnúmerosdedoisalgarismos.Essesnúmerossãoformadospelosmesmosalgarismos.Asomadosalgarismosé9eadiferençaentreosnúmerosé27.EmquaisnúmerosPedrinhoestápensando?

60. •Quaissãotodososnúmerosquerepresentam9comosomadeseusdoisalgarismos?
18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 e 81
•Quediferençasobtemosfazendoasubtraçãoentreosnúmerosquetêmosmesmosalgarismos?
81-18=63 63-36=27
72-27=45 65-56=9
Logo,osnúmerosprocuradossão36e63.

61. 2ªestratégia:procurarpadrõesouregularidadesparapodergeneralizar.
Ex.Qualéaformageral(padrão)paraasomadosnprimeirosnúmerosímpares?
1=1
1 + 3 = 4 = 22
duas parcelas
1 + 3 + 5 = 9 = 32
três parcelas
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
quatro parcelas
Generalizando, sem calcular a soma das parcelas, notamos que:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 82
oito parcelas

62. 3ªestratégia:resolverprimeiroumproblemamaissimples.
Ex.1.Quantosquadradostemosnafiguraabaixo?
Esteéumproblemadecontagem.Paradescobrirumaestratégiaquenosleveàsolução,vamosconsideraroproblemacomdadosmaissimples.

63. Temos 1 quadrado e 4 quadrados .
Total: 1 + 4 = 5 quadrados
12+ 22= 5
Ex. 2. Quantos quadrados temos na figura abaixo?
Temos 1 quadrado , , 4 quadrados e
9 quadrados .

64. Total: 1 + 4 + 9 = 14 quadrados
12+ 22+ 32= 14
Ex.3.Quantosquadradostemosnafiguraabaixo?
Total:12+ 22+ 32+ 42 = 30
1 + 4 + 9 + 16 = 30

65. Desafio: Quantos quadrados temos na figura abaixo?
12+ 22+ 32+ 42+ 52+ 62+ 72+ 82 = 204

66. 4ªestratégia:reduziràunidade.
Ex.DezmetrosdefitacustamR$8,00.Quantocustam25metros?
Nestecaso,reduziràunidadesignificacalcularopreçode1metro,queéaunidadeemquestão.Assim:8:10=0,80
Como1metrocustaR$0,80,então25metroscustam:25X0,80=20,00.(R$20,00)

67. Seforconveniente,podemosreduziraumaoutraunidadequenãoseja1metro.
Nessemesmoproblema,podemosusartambémaunidade5metros.Como10metroscustamR$8,00,5metroscustamametade:
8 : 2 = 4 (R$ 4,00)
E,se5metroscustamR$4,00,então25metroscustamcincovezesmais,pois...
25 = 5 X 5
Logo5X4=20(R$20,00).

68. 5ªestratégia:fazerocaminhoinverso.
Ex.Adivinhesepuder!Penseiemumnúmero, multipliquei-opor4eaoresultadosomei5. Resultou41.Vocêsaberiamedizeremquenúmeropensei?
•multiplicar por 4;
•somar 5 ao resultado.
(número em que pensei) X 4 + 5 resulta em 41.

69. transforma-se em:
41 –5 : 4 resulta no número em que pensei.
Portanto,onúmeroemquepenseié:
(41 –5) : 4
36 : 4 = 9
Conferindotemos:
(númeroemquepensei)X4+5=41
9X4+5=41
36+5=41
41=41(verdade)

70. 1.Osucessoemalgumaatividadenoslevaadesenvolveratitudespositivasemrelaçãoaela.Comecedandoproblemasbemfáceisaosalunos,detalmodoquetodososresolvam.Emseguida,apresentealgunsproblemasdeimpactoqueenvolvamascrianças,levando-asapensarneleseaquererresolvê-los. Lembre-sedequerepetidosfracassoslevamàdesmotivaçãoeàfrustração. Aordempoderiaser:problemasfáceis,umpoucomaisdifíceise, finalmente,osdesafios.
2.Longaslistasdeproblemasaborrecem.Emlugardedaressasextensaslistassódevezemquando,dêpoucosproblemasdesafiadores(doisoutrês)combastantefrequência(duasoutrêsvezesporsemana).
3.Aresoluçãodeproblemasnãodeveseconstituiremexperiênciasrepetitivas,pormeiodaaplicaçãodosmesmosproblemas(comoutrosnúmeros)resolvidospelasmesmasestratégias.Ointeressanteéresolverdiferentesproblemascomumamesmaestratégiaeaplicardiferentesestratégiaspararesolverummesmoproblema.Issofacilitaráaaçãofuturadosalunosdiantedeumproblemanovo.
Orientações metodológicas

71. 4.Devemosfocalizar,enfatizarevalorizarmaisaanálisedoproblema, asestratégiasutilizadas,osprocedimentosquepodemlevaràsuasoluçãoearevisãodasoluçãoobtida,doquesimplesmentearespostacorreta.
5.Aresoluçãodeproblemasnãoéumaatividadeisolada,paraserdesenvolvidaseparadamentedasaulasregulares,masdeveserparteinteligentedocurrículoecuidadosamentepreparadaparaquesejarealizadademodocontínuoeativoaolongodoanoletivo,usandoosconceitoseprocedimentosmatemáticosqueestãosendodesenvolvidos.Nãoseaprendearesolverproblemasderepente.Éumprocessovagarosoecontínuo,queexigeplanejamentoetempo.
6.Éprecisoreconhecerque,aoapresentar,porexemplo,váriosproblemasdeadição,logoapósoestudodessaoperação,estamosfazendoexercíciosdeaplicaçãoparafixaraideiadeadiçãoeoalgoritmodaadição.Nãoestamosapresentandoproblemas-processo, poisoalgoritmoaserusadojáéconhecido.Porisso,nãohádesenvolvimentodeestratégiasnempesquisaeexploração.Bastaapenasaplicaroalgoritmoestudadoanteriormente.

72. 7.Devemosincentivarosalunosa“pensaremalto”.Assim,nossafunçãodeorientadorefacilitadordaaprendizagemserealizarámaisfacilmente,poispoderemospercebercomoelesestãopensando, comoestãoencaminhandoasoluçãodoproblema,queestratégiasestãotentandousar,quedificuldadestentamsuperaretc.
8.Devemosmotivarascriançasareveroseuraciocínio,descrevendo-o, apensarcomopoderiamterresolvidodeoutramaneiraoproblema,atestarasoluçãoencontrada,ageneralizarosresultadoseacriarnovosproblemascombasenaqueleresolvido.
9.Devemoscriaroportunidadesparaascriançasusaremmateriaismanipulativos(blocos,palitos,tampinhasetc.),cartazes,diagramas, tabelasegráficosnaresoluçãodeproblemas.Aabstraçãodeideiastemsuaorigemnamanipulaçãoeatividadesmentaisaelaassociadas.
10.Nãopodemosprotegerdemaisacriançadoerro.Àsvezes,épercebendoumerrocometidoqueelacompreendemelhoroquedeveriaterfeito.Porisso,deveserencorajadaaprocuraroerroedescobrirporqueelefoicometido.Devemosusaroerrocomoalavancadaaprendizagem.

73. 11.Devemosmostraraoalunoanecessidadederesolverproblemasnavidadiária,ovalordeenfrentardesafiosqueexigemgrandeesforçoededicação,mesmoquenãoossolucionecorretamente,poisoatodetentarresolvê-loscomempenhojáéumgrandeaprendizado.
12.Éconvenienteformarumbancodeproblemasepedirqueosalunostragamproblemascuriosos,interessantesedifíceis.Todasegunda- feirapode-secolocarnomuralounalousaoproblemadasemanaerecolherassoluçõesnasexta-feiraseguinte.Nessemesmodia,ascriançasdevemexplicarassoluçõestrazidasefazercomentáriosarespeitodelas.
13.Nãodevemosdizeraoalunoaquiloqueelepodedescobrirporsisó. Suassugestõesempontoscríticosdevemserincentivosparamantê-lointeressadoemresolveroproblema.Aoincentivarosalunosnaresoluçãodeumproblema,devemosapresentarsugestõeseinsinuações,masnuncaapontarocaminhoaserseguido.Émelhortransformarasinformaçõesqueporventuraforneceríamosemdescobertasdoalunoorientadaspornós.Algunssegundosdeprazerdadescobertavalemmaisdoquemilinformaçõesquepossamsertransmitidasaoaluno.

74. 14.Éconvenienteapresentarproblemas:
a.numcontextoquemotiveacriança.Emvezdeperguntar:“QuaissãotodasasmaneiraspossíveisdetrocarR$50,00,usandoapenasnotas?”, podemoscolocaressemesmoproblemanumahistóriaqueelagostariaderesolver,quesejamaisinteressante,maiscuriosa,quefaçapartedoseudiaadia.
Exemplo:ElisaganhoudesuatiaumacarteiracontendoumanotadeR$50,00.Elaquertrocaressanotaporoutras,demodoqueacarteirafique“cheia”denotas.VamosajudarElisaaencontrartodasasmaneiraspossíveisdefazerisso?
b.quepossamserresolvidosapenasporcontagem.
Exemplo:Algumascriançasestãosentadasemvoltadeumamesa,eamãedeJoãozinholhesdáumsaquinhocom15balas.Cadacriançapegaumaepassaosaquinhoadiante.Joãozinhopegaaprimeiraeaúltimabala,epoderiapegarmaisdoqueessasduas.Quantascriançaspoderiamestarsentadasemvoltadamesa?
Nesseexemplo,osalunosdeverãodescobrirtodasaspossibilidades.

75. c.Quetenhamváriassoluções(comonoexemploanterior),bemcomoaquelesquenãotenhamnenhumasolução.
Exemplo:Existealgumnúmeronaturalque,multiplicadopor4,resulteem34?Seexiste,qualéele?Senão,porquê?
15.Éinteressantefornecerrespostasparaqueosalunosinventemproblemascorrespondentes.Esteéoembriãodaformulaçãodeproblemas.
Exemplo:Utilizesuaimaginaçãoeinventeumproblemacujarespostaseja:
•R$20,00;
•12(use,pelomenos,duasdasquatrooperações:adição,subtração, multiplicaçãoedivisão).
16.Podemostambémapresentarproblemassemnúmeros,fazendocomqueascriançascoloquemosnúmerosnosproblemaseosresolvam.
Exemplos:
a.Numaexcursãoaozoológicoirão_?_alunos.Cadaônibuspodelevaraté_?_alunos.Quantosônibusserãonecessários?

76. b.Numaclassehámeninosemeninas.Duranteumagincana,cadameninofezumcertonúmerodepontosecadameninaumoutronúmerodepontos.
–Quemfezmaispontos:osmeninosouasmeninas?
–Qualfoionúmerototaldepontosdaclasse?
Osalunosprecisarãodescobrirquetipodeinformaçãoseránecessáriapararesolveresseproblema.Nãotendonúmeros,elessãoobrigadosapensareaplanejarquedadosadequadoscolocarãoecomoresolverãooproblema.
17.Étambéminteressanteproporproblemassemperguntas.Porexemplo, descrevaumasituaçãoepeçaàclasseparafazerapergunta.
Exemplo:PedrinhofoiàpadariacomR$10,00comprarrosquinhasparasuamãe. CadarosquinhacustavaR$0,52.Possíveisperguntasqueosalunosfariam:
•Seelecomprasse3rosquinhas,qualseriaotroco?
•Odinheiroseriasuficienteparaqueelecomprasse8rosquinhas?
•Qualonúmeromáximoderosquinhasqueelepoderiacomprar?
•Comprandoomáximopossível,quantoreceberiadetroco?

77. 18.Outraformademotivaracriançaéproporproblemasextravaganteseirreais.
Exemplo:Umcasaldepolvoseseustrêsfilhosresolveramcolocarospésdepatoparanadar.Quantosparesdepédepatoprecisaramcomprar?
19.Éinteressanteapresentarproblemasemquefaltamdados,paraqueacriançaosdescubra.
Exemplo:Sandrotinhamuitoschaveiros.Guardou-osem3caixas, divididosemquantidadeigual.VocêécapazdedizerquantoschaveirosSandrotinha?Porquê?
20.Ascriançaspodeminventarosprópriosproblemas.Issoasmotivaráaler,compreendereresolverosproblemas,porquesãoseus.Saberformularumproblemaétãoimportantequantoresolvê-locorretamente.Nessaformulaçãoprecisa-secriarnãoapenasumtextoadequadocomotambémnúmeroscoerenteseperguntaspertinentes.
Umamaneiraémostrarumdesenho,umafotoouumafiguraàcriança.Elainventaumahistóriaefazumaoumaisperguntas.

78. Outramaneiraédarumasériededadosnuméricosparaqueascrianças,emgrupoouindividualmente,formulemproblemaseosresolvam.
Exemplo:Observeocardápiodalanchonetedaescola.Combasenele,inventeumproblemaeresolva:
Outromodo,ainda,édarumtemaaosalunos.Elescriamproblemasbaseadosnessetema,comdesenhoseosresolvem.

79. Referências
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto/INEP. Prova Brasil: avaliação do rendimento escolar. Disponível em http://provabrasil.inep.gov.br/. Acesso em 17/11/2009.
REVISTA NOVA ESCOLA. PROVA BRASIL. Edição Especial nº 26, Editora Abril. São Paulo, ago. 2009.
Dante, Luiz Roberto. Formulação e resolução de problemas de
matemática: teoria e prática. –1 ed. –São Paulo: Ática, 2009. 192p.:il.
BRASIL. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: Operações na
resolução de problemas / Ministério da Educação. Brasília: SEB, 2014.