1) O documento discute vetores, incluindo sua representação gráfica, definição geométrica, operações como adição, subtração e multiplicação por escalar. 2) É explicado como decompor vetores em componentes cartesianas e realizar a soma de vetores através das projeções cartesianas. 3) Também são tratados vetores no espaço tridimensional R3, incluindo vetores unitários, componentes, cossenos diretores, produto escalar e produto vetorial.

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"Quando a soma de 2 + 2 pode até ser 4 !"
GRANDEZAS VETORIAIS ­ São aquelas que ficam
perfeitamente determinadas quando conhecemos seu módulo,
direção e sentido.
REPRESENTACÃO GRÁFICA DE UM VETOR – PROJEÇÃO CARTESIANA DE UM VETOR
Graficamente os vetores são representados por setas Qualquer vetor pode ser decomposto em suas componentes
DEFINICÃO GEOMÉTRICA DE UM VETOR ­ Vetor é um cartesianas
segmento de reta orientado. Possui módulo ou intensidade,
direção, e sentido.
DIRECÃO: A mesma da reta a qual pertence o segmento.
SENTIDO: Para onde aponta a flecha (A para B)
INTENSIDADE: Proporcional ao comprimento do vetor
VETOR OPOSTO ­ O vetor oposto a um dado vetor A é um
vetor com mesma direção e módulo, porém de sentido
contrário(inverso) ao de A. V = V x i + V y J V x = V Cos  e V y = V Sen 
OPERAÇÕES COM VETORES ou V x = V Sen  e V y = V Cos 
ADICÃO DE VETORES (métodos gráficos)
Representação vetorial S = A + B VETOR SOMA PELO MÉTODO DAS PROJECÕES
REGRA DO POLÍGONO: A soma de dois ou mais vetores pode CARTESIANAS
ser obtida graficamente unindo­se a extremidade de um a origem 1. Decompomos todos os vetores em suas componentes em "X" e
do outro, até ligarmos todos os vetores que desejamos somar. "Y" (Vx e Vy )
A resultante é obtida ligando­se o origem do primeiro vetor à 2. Somamos todas componentes em "x" ( Vx ).
extremidade do último que desejamos somar. 3. Somamos todas componentes em "y" ( Vy ).
REGRA DO PARALELOGRAMO: Para somar dois vetores, 4. Calculamos o módulo da resultante usando o teorema de Pitágoras
V2 = ( Som Vx )2 + ( Som Vy )2
usando­se esta regra, faz­se as seguintes operacões:
5. Achamos o ângulo que o vetor resultante faz com o eixo dos "x".
1 ­ Transladamos os vetores a serem somados para um ponto
comum, de modo que suas origens coincidam. tg = Som Vy / Som Vx
2 ­ Pela extremidade de cada vetor traça­se uma reta paralela ao
outro, de forma que se obtenha um paralelogramo.
3 ­ O vetor soma corresponde a diagonal desse paralelogramo,
com origem coincidente com à origem dos dois vetores.
SUBTRACÃO DE VETORES
Para efetuarmos a diferença de vetores, basta transformar a
diferença em uma soma através do uso de um vetor oposto ao vetor
que queremos subtrair.
R = A ­ B = A + (­B )
PRODUTO DE UM VETOR POR UM ESCALAR
R = K . V onde k pertence R ,se k > 0 o sentido do vetor não
muda, se k < 0 o sentido será invertido.
MÓDULO DO VETOR SOMA PARA DOIS VETORES
1o. CASO. Dois vetores perpendiculares (ortogonais);
R = ( A2 + B2 )1 / 2
2o CASO. Os dois vetores fazem um ângulo  qualquer entre eles.
R2 = A2 + B2 + 2 A B COS 

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VETORES NO R
3
1. VETORES UNITÁRIOS
i, j e k
V = Vx i + Vy j + Vz k e V = (Vx + Vy2 + Vz2 )1/2
2
2. COMPONENTES DE VETORES
DESLOCAMENTO.
O vetor de deslocamento “D” do ponto P1 = (x1,y1,z1) ao
ponto P2=(x2,y2,z2) é dado em componentes por
D = (x – x) i + (y – y) j + (z – z) k
3. COSSENOS DIRETORES l, m e n. São os cossenos
dos ângulos entre V e os eixos x, y e z. Assim,
l = Vx / V m = Vy / V e n = Vz / V 5. PRODUTO VETORIAL.
de modo que Definição geométrica
V = V ( l i + m j + n k ) Módulo: P X Q = PQ sen 
E l + m2 + n2 = 1
2
Direção: perpendicular ao plano formado pelos dois vetores.
z Sentido: é dado pela regra da mão direita.
A regra da mão direita: Coloque P e Q de modo que suas
V z
caudas coincidam e dobre os dedos de sua mão direita pelo
V menor dos dois ângulos entre P e Q; seu polegar aponta na
direção da normal n.
c Definição algébrica
k b Produto vetorial como determinante
V y
i j k
Y
j
i
a
P X Q = ∣Px Py Py ∣
V X
Qx Qy Qz
x
A área do paralelogramo formado por P e Q é igual ao produto
vetorial entre P e Q.
4. PRODUTO ESCALAR Definição geométrica
.
Módulo: P.Q = PQ cos 
Onde  é o menor ângulo entre P e Q.
Conseqüências da definição:
i.i = j.j = k.k = 1
i,j = j.i = i.k = k.i = j.k = k.j = 0
Definição algébrica
P.Q = (Px i + Py j + Pz k).(Qx i + Qy j + Qz k)
= PxQx + PyQy + PzQz
• Uma interpretação física do produto escalar: Trabalho.
Vetores perpendiculares ou ortogonais. Dois vetores não
nulos são perpendiculares ou ortogonais, se e só se
P.Q = 0