Geometria Descritiva

1. GEOMETRIA
ANALÍTICA
Everton Coelho de Medeiros

2. Distâncias entre dois
pontos, ponto e reta
e ponto e plano, duas
retas e dois planos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
„
„ Descrever numericamente a distância entre dois pontos.
„
„ Identificar a devida expressão no cálculo da distância entre um ponto
e uma reta e entre duas retas.
„
„ Determinar a distância entre um ponto e um plano e entre dois planos.
Introdução
A partir do conhecimento e da definição de pontos, vetores, retas e planos
dispostos no espaço, junto do equacionamento, os quais definem cada
um desses elementos, podemos retirar relações dimensionais entre eles.
Neste capítulo, você verá os procedimentos de cálculos de distância entre
esses elementos da geometria analítica (pontos, retas e planos). Nesse
estudo, serão vistos exemplos da extração da distância no espaço de
elementos do mesmo tipo ou diferentes entre si.
Distância entre dois pontos
Dois pontos no espaço definem o que é um vetor, assim, se temos dois pontos
A e B, construímos o vetor AB. Entre suas características, um vetor possui
uma chamada de módulo, que constitui o comprimento do vetor (SANTOS;
FERREIRA, 2009). Com isso, quando pensamos em calcular uma distância
entre dois pontos, a melhor maneira é construir um vetor com esses pontos

3. e extrair o módulo dele, logo o comprimento entre dois pontos A e B é dado
pelo módulo de AB:
d = |AB|
Exemplo 1 – Qual é a distância entre os pontos A (0,1,2) e o ponto B (–1,2,0)?
Solução:
Construímos o vetor AB:
AB = B – A = (–1,2,0) – (0,1,2) = (–1,1,–2)
Com o vetor AB, extraímos o módulo dele e, assim, obtemos o valor da
distância entre A e B:
Exemplo 2 – Para que a distância entre os pontos A (2,3,1) e B (m,2m,1) seja
de 3 u ∙ m, qual é o valor de m necessário?
Solução:
Construindo novamente o AB:
AB = B – A = (m,2m,1) – (2,3,1) = (m – 2,2m – 3,0)
Com o vetor AB, para que a distância entre os pontos A e B seja de 3 u ∙ m,
o módulo dele deve ser igual a 3:
Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos
2

4. Para assumir tal valor, m deve ser obtido da equação de segundo grau
anterior:
Ao montar o vetor para calcular o módulo que representa a distância entre pontos, o
vetor AB é diferente de BA quando se olha do ponto de vista de direção e sentido, mas
no módulo, não, pois o comprimento será o mesmo. No entanto, caso no cálculo do
vetor alguma das posições seja subtraída de forma irregular, o valor do módulo não
estará coerente com a distância entre A e B.
Distância entre ponto e reta e entre retas
Distância entre ponto e reta
O cálculo da distância entre um ponto P e uma reta r depende do uso de
uma propriedade vista antes em produto de vetores, o uso do módulo do
3
Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos

5. produto vetorial para calcular a área de um paralelogramo (STEINBRUCH;
WINTERLE, 2014).
Dado um paralelogramo cuja base é descrita como o vetor diretor u de uma
reta r e com um ponto P, é feita a altura desse paralelogramo, como se vê na
Figura 1. Com um ponto da reta r (ponto A) e o ponto P, obtemos um segundo
vetor AP. O módulo do produto vetorial entre o vetor diretor u e AP resulta
na área do paralelogramo (SANTOS; FERREIRA, 2009). Como a área do
paralelogramo também é descrita como base vezes altura, e a altura consiste
no mesmo valor da distância da reta r até o ponto P, podemos dizer que:
Área paralelogramo = |u × AP| = base × altura
onde a base pode ser representada pelo módulo do vetor diretor u da reta r:
Base = |u|
Logo, a altura, que representa a distância d entre o ponto P e a reta r que
está na base do paralelogramo (Figura 1), será igual a:
Figura 1. Distância entre o ponto P e a reta r.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
A u
P
d
r
Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos
4

6. Exemplo 3 – Dados o ponto P (1,–1,2) e a reta r a seguir, qual é a distância
entre o ponto e a reta?
Solução:
Inicialmente montamos o vetor AP, retirando o ponto A da reta r:
A(2,0,2)
AP = P – A = (1,–1,2) – (2,0,2) = (–1,–1,0)
O vetor diretor u da reta r é dado por:
u = (–2,3,1)
Calculamos o produto vetorial entre u e AP:
A distância entre P e a reta é dada então pela fórmula:
5
Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos

7. Exemplo 4 – Dado o paralelogramo que possui no ponto P (2,4,1) um de seus
vértices, e de cuja base faz parte a reta r, correspondendo o comprimento do
seu vetor diretor à aresta de base, qual é a altura desse paralelogramo?
Solução:
Montando o vetor AP e extraindo o vetor diretor u da reta r:
AP = P – A = (2,4,1) – (–1,0,2) = (3,4,–1)
u = (3,–2,1)
Calculamos o produto vetorial entre u e AP:
A altura do paralelogramo é dada pela distância entre P e a reta r, e pode
ser calculada pela fórmula a seguir:
Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos
6
x= -1
y=0
z=2
valores para zerar cada
equação, onde o ponto A
encontra-se na reta.
ponto A

8. Distância entre retas
Retas podem ser vistas como um conjunto de infinitos pontos colineares,
dessa maneira, quando o cálculo da distância entre retas é feito, devemos ter
em mente qual é o tipo de relação que as retas possuem e quais são os pontos
utilizados para o cálculo da distância (SANTOS; FERREIRA, 2009).
Quando duas retas são concorrentes, a sua distância mínima será igual a
zero, pois há ponto de interseção entre elas. Se as retas são paralelas, a distância
será fixa ao longo de todo o comprimento das retas, como se vê na Figura 2.
E, caso as retas sejam reversas, há um valor mínimo de distância, no qual as
retas estão mais próximas (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014).
Figura 2. Distância entre duas retas r e s paralelas.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
P
d
s
r
Exemplo 5 – Dadas as retas r e s a seguir, qual é a distância entre elas?
7
Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos
u = (1t,2t,-1t)
u = 1,2-1
equações simetricas o vetor
é o denominador de cada
parte, portanto, vetor
v = 3,-2,1
equação paramétrica
pega os coeficientes do t

9. Solução:
Como não foi mencionado que tipo de relação há entre as retas, devemos
inicialmente descobri-la, verificando os vetores diretores u e v:
u = (1,2,–1)
v = (3,–2,1)
Os vetores não possuem relação escalar entre eles, logo não são paralelos
e nem coincidentes. Vamos verificar se a reta é concorrente ou reversa.
Substituindo r em s:
O valor de t que satisfaz a igualdade é igual a –1. Logo, percebemos que
as retas são concorrentes, e portanto terão distância mínima igual a zero, pois
há um ponto de interseção I igual a:
I(2,–1,3)
d = 0
Exemplo 6 – Dadas as retas r e s paralelas a seguir, qual é a distância entre elas?
Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos
8
para verificar se são
paralelas é só fazer a
razão entre cada valor,
se as razões forem iguais
são paralelas

10. Solução:
Como foi fornecido no enunciado que as retas são paralelas, não será neces-
sária a verificação da relação entre retas. O cálculo da distância entre retas
paralelas é dado pela distância de um ponto P na reta s até a reta r, pois todas
as distâncias serão iguais ao longo da reta, conforme mudamos o ponto P.
Sendo assim, para calcular a distância de um ponto a uma reta como já vimos,
inicialmente montamos o vetor AP, retirando o ponto A da reta r:
A(0,3,1)
Em seguida, pegamos um ponto P na reta s, que pode ser o ponto usado
na equação:
P(0,1,–2)
O vetor diretor u de r e o vetor AP serão:
u = (2,2,6)
AP = P – A = (0,1,–2) – (0,3,1) = (0,–2,–3)
Calculamos o produto vetorial entre u e AP:
A distância entre P e a reta é dada então pela fórmula:
9
Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos

11. Nesse caso, podemos simplificar, usando racionalização, como fizemos no
Exemplo 4, ou podemos resolver mais rapidamente utilizando a propriedade
da divisão de radicais:
Exemplo 7 – Dadas as retas r e s reversas a seguir, qual é a distância entre elas?
Solução:
Como foi fornecido no enunciado que as retas são reversas, não será necessária
a verificação da relação entre retas. O cálculo da distância entre retas paralelas
é dado pela fórmula:
Ou seja, a distância entre duas retas é dada pelo módulo do produto misto
entre os vetores diretores das retas e um terceiro vetor feito por dois pontos
A e B de cada reta, dividido pelo módulo do produto vetorial entre os vetores
diretores.
Inicialmente obtemos os valores dos vetores diretores u e v das retas:
Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos
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12. O vetor AB é obtido por meio de pontos A e B retirados das retas r e s:
AB = B – A = (0,–3,1) – (–1,3,–1)
AB = (1,–6,2)
Em seguida, calculamos o produto misto entre os três vetores:
Calculamos o produto vetorial entre os dois vetores diretores:
O valor da distância d é dado então por:
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Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos

13. Distância entre ponto e plano e entre planos
Distância entre ponto e plano
A distância entre um ponto P até um plano π é dada pelo módulo da projeção
de um vetor AP na direção do vetor normal n do plano π, como na Figura
3 (WINTERLE, 2014). Considerando que a equação do plano é dada por
ax + by + cz + d = 0, um ponto A no plano é dado pelas coordenadas (x1
, y1
, z1
)
e o ponto P para calcular distância de coordenadas (x0
, y0
, z0
), assim temos:
onde n é o vetor normal do plano.
Substituindo os valores:
Quando substituído o ponto A na equação do plano π, temos a forma
ax1
+ by1
+ cz1
+ d = 0, que pode ser reescrita como ax1
+ by1
+ cz1
+ –d = 0,
pois é um ponto que pertence ao plano. Então a fórmula pode ser reescrita:
Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos
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14. Figura 3. Distância entre ponto P e plano π.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
P
n
d
A
π
Exemplo 8 – Qual é a distância do ponto P(4,2,–3) até o plano descrito a seguir?
π: 2x + 3y – 6z + 3 = 0
Solução:
A distância é dada pela substituição do ponto P na equação do plano e, em
seguida, dividida pelo módulo do vetor normal. Esse procedimento está re-
sumido pela fórmula:
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Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos

15. Distância entre planos
Planos no espaço só podem ter relação de duas formas, ou são concorrentes
e possuem uma interseção que é representada pela equação de uma reta e,
portanto, terão distância igual a zero, ou então são paralelos. Para que planos
sejam paralelos, seus vetores diretores devem ser iguais ou possuir relação
escalar entre eles. Se os planos π1
e π2
são paralelos, a distância entre eles
é a distância entre π2
e um ponto qualquer de π1
, ou seja, a distância é dada
pela fórmula da distância de ponto a plano (BOULOS; CAMARGO, 1987).
Sendo assim:
Exemplo 9 – Determine a distância entre os planos paralelos:
π1
: 2x + y – 3z – 6 = 0
π2
: 2x + y – 3z + 12 = 0
Solução:
Da equação de π1
o ponto A que pertence ao plano é:
A(0,0,–2)
Distância:
Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos
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16. BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: Pe-
arson, 1987.
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson, 2014.
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.
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Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos