O documento descreve um estudo de álgebra do 6o ano que abrange os sistemas de numeração egípcio, babilônico, romano e indo-arábico, assim como números naturais, propriedades matemáticas e algoritmos básicos.

1. Estudo de Álgebra
– 6°ano – 2012 - fevereiro, março e abril (1°Trimestre)
Prof. Thiago Matos
Conteúdo
 Sistemas de numeração:
- Egípcio
- Babilônico
- Romano
- Indo-arábico
 Números naturais
 Propriedades
- Associativa
- Comutativa
- Existência do elemento neutro
- Distributiva
 Algoritmos
- Da adição
- Da subtração
- Da multiplicação
- Da divisão
 Sistema de numeração é uma maneira de
representar, organizar e identificar os
números através de símbolos. É uma
identidade numérica.

2. Sistema de numeração egípcio
Símbolos representativos:
Obs.
 É um sistema decimal.
 Não é posicional.
 É um sistema aditivo.
Exemplo:
= 101.021

3. Sistema de numeração babilônico
= Equivale a 1 ou a 60
= Equivale a 10 ou 60
Obs.
 É considerado o primeiro sistema numérico posicional
 É um sistema “hexagenário” (com base de 60)
 É um sistema aditivo
Exemplos
2=
4=
9=
12=
20 =
50=

4. 60 =
61 =
123=
600 =
Portanto
= 1 ou 60
= 2 ou 120
...
= 10 ou 600
Sistema de numeração romano
Representação Valores
I 1
V 5
X 10
L 50

5. C 100
D 500
M 1.000
Obs.
 É um sistema representativo, mas não é de base.
 É posicional
 Aditivo
 Subtrativo
Exemplos:
II = 2
IV= 4
VII= 7
IX = 9
XIX= 19
XLIX = 49
XCIX = 99
CDXC= 490
CDXCIX= 499
Propriedades do sistema romano
Propriedade 1
- O sistema romano também é subtrativo: as quantidades
podem subtrair outras, ou seja, só podemos subtrair com as
seguintes quantidades: I, X, C.

6. Propriedade 2
-A) Só podemos retirar I das quantidades V e X.
-B) Só podemos retirar X das quantidades L e C.
- C) Só podemos retirar C das quantidades D e M.
Propriedade 3
MMM = 3000
3999 = MMMCMXCIX
5000 = V
6000 = VI
4000 = IV
194. 949= CXCIV CMXLIX
Sistema de numeração indoarábico
Obs.
 É um sistema de numeração decimal
 É um sistema de numeração posicional de base (base “dez”)
 É um sistema aditivo
 O uso do “zero” para representar a ausência de quantidade
 Foram criados “dez” símbolos primitivos para
representar todas as quantidades.
o 0 – representa nenhuma quantidade, ausência de quantidade.
o 1 – representa “uma” quantidade.
o 2 – 1+1
o 3 – 1+1+1
o 4 – 1+1+1+1
o 5 – 1+1+1+1+1
o 6 – 1+1+1+1+1+1
o 7 – 1+1+1+1+1+1+1

7. o 8 – 1+1+1+1+1+1+1+1
o 9 – 1+1+1+1+1+1+1+1+1
 O sistema de numeração idoarabico é organizado da
seguinte maneira:
- Sempre fazemos agrupamentos de “dez” em “dez”.
Ex.:
a) = 3 = 1+1+1 = três
b)
Como eu escrevo este número?
1 3
___ ___
3
3 UNIDADES
Um agrupamento de
“dez”UNIDADES. 2°Posição:
Ou seja, 1 quantidade de DEZENA. Quantidade 1° Posição:
de dezenas. quantidade
de unidades.

8. c)
Como eu escrevo este número?
3 6
___ ___
2°Posição:
DEZENAS
1°Posição:
UNIDADES

9.  Como fazer para representar quantidades acima de dez
quantidades de DEZENAS?
100
50
1 5 2
______ _______ _______ _______ 2
1° posição: número de
unidades.
4°posição:
quantidad
3°posição:
e de dez
quantidade 2°posição:
“caixotes”
de dez
centenas, número de
“pacotinhos”
ou seja o dezenas.
de dezenas,
milhar.
ou seja, a
centena.

10.  Classe e ordem de um número
Ex.:
1 4 3 . 7 3 0 . 2 5 9
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
Classe dos bilhões Classe dos milhares Classe das unidades simples
EXEMPLO COM TABELA,COMPLETE COM OS NÚMEROS NA CASA
CERTA:
Classe dos Classe dos Classe dos milhares Classe das
bilhões milhões unidades simples
Ordem 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
C D U C D U C D U C D U
N
Ú
M
E
R
O
 Os números naturais
Vimos até agora que nosso sistema numérico é composto por
dez símbolos primitivos chamados de algarismos.
Algarismos= símbolo primitivo, estes são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8 ,9.
 Podemos definir uma “relação” que permite
acumular as quantidades associadas a cada símbolo

11. do sistema decimal. Indicaremos essa relação pelo
símbolo +.
 O: não representa quantidade
 1: representa uma única quantidade, ou seja, um único
objeto de contagem.
 2: 1+1 = é o acúmulo de duas quantidades.
 3: 1+1+1 ou 1+2
 4: 1+ 1+1 +1 ou 1+3
 ...
Sequencia dos números naturais
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,...
...
+1 +1 +1 +1 +1
Não conseguimos adicionando dessa maneira
chegar, por exemplo, ao número “3,5”, porque 3,5 não
é um número natural.
Obs.
 Esta sequencia não tem fim, ela é infinita.
 Todos os números desta sequência são números inteiros
(naturais), por isso formam o que chamamos de
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS.
Representamos este conjunto assim:
IN 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12, 13...
Representação do conjunto, símbulo de representação.
O 0 é o mínimal, isto é, o menor número do conjunto.

12. Operações fundamentais nos naturais
Quais são?
Adição: (+) operação que acumula quantidades, relação entre duas ou
mais “quantidades de objetos”, estes objetos são os mesmos, ou seja, são
homogêneos.
Multiplicação: (x ou .) operação que repete quantidades acumuladas.
Representa dois diferentes objetos, sendo o primeiro o índice ( indica as
vezes que o número irá se repetir), e o outro é a quantidade ( objeto)
repetida pelo índice.
Uma operação é fundamental no conjunto quando todas
as suas respostas sempre estarão dentro do conjunto. Ex.: 13+10=
33, este número está no conjunto. 13-10= -3, este número não está no
conjunto.
 As propriedades
São axiomas, ou seja, leis da matemática que não se
questionam, se aceitam.
1°propriedade- Associativa
Ex.:
(2+3) + 7 = 2 + (3+7)
(2x3) x 7 = 2 x (3 x 7)
Obs.
 A ordem em que eu somo ou multiplico não altera o
resultado final.
 A propriedade é válida apenas quando há somente
multiplicação ou só adição.

13. 2°propriedade – Comutativa
Ex.:
12+5 = 5+12
12x5 = 5x12
Obs.
Nas operações que envolvam somente adição
ou somente multiplicação tanto faz a ordem em
que os números aparecem, ou seja, eu posso trocar a
ordem dos números.
3°propriedade – Existência do Elemento Neutro
Qual é o número que A+?= A, ou seja, o número neutro da adição,
Ex.:
que mesmo quando somo este número mais outro número, o
resultado sempre será o outro número.
a) 27+? = 27
b) 9+? = 9 Este número, ou seja, o elemento neutro da adição, é o
número 0 (zero). Porque (ex.):
 27+0 = 27
 9+ 0 = 9
 A+0 = A
Qual é o número que A ×?= A, ou seja, o número neutro da
multiplicação, que mesmo quando somo este número mais outro
número, o resultado sempre será o outro número.
c) 103×? = 103
Este número, ou seja, o elemento neutro da multiplicação, é
d) ?×1234 = 1234 o número 1 (um). Porque (ex.):
 103×1= 103
 1×1234= 1234
 A×1 = A
Mas quanto vale A?? Não importa, porque qualquer coisa
multiplicada ou adicionada pelo elemento neutro
permanece o mesmo número, ou seja, A.

14. 4°propriedade – Distributiva
3
EX.:
a) 3 x (7 x 15) = ( 7 + 15) + (7 + 15) + (7 + 15)
 7 + 15 + 7 + 15 + 7 + 15
 Como a conta virou apenas adição, podemos aplicar
as propriedades associativa e comutativa, por isso
podemos fazer algo assim:
 7 + 7 + 7 + 15 + 15 +15
 (3 x 7) + ( 3 x 15)
 21 + 45
 66
Com isso nós dividimos, isto é, distribuímos o x3 em
(7+15) + (7+15) + (7+15). E assim vai o processo.
Se você não entendeu, tente acompanhar este outro
processo distributivo:
b) 2 x ( 9 + 29) =
 9 + 9 + 29 + 29
 (2x9) + (2x29)
 18 + 58
 76
Por isso podemos afirmar que a propriedade
distributiva realiza isso:
a) A x (B + C) = A x B + A x C
b) A x (B + C + D) = A x B + A x C + A x D
c) (A+B) x (C+D) = A x C + A x D + B x C + B x D

15. Outro exemplo em que é usada a propriedade
Distributiva:
a) 2 x 38 = 2 x ( 30 x 8)
2 x 30 + 2 x 8
 Algoritmos
Algoritmo= sequência de procedimentos que levam a um
objetivo, maneira de efetuar contas grandes, é como uma “receita
de bolo” é necessário seguir todos os procedimentos para chegar a
um resultado.
Algoritmo da adição
O que é adição?
Adição é um acúmulo de quantidades homogêneas.
Soma= relação dentre quantidade de um determinado objeto,
elemento. Ou seja, a soma é a relação entre quantidades de
MESMOS objetos, ou seja de quantidades homogêneas.
135 + 389
Para entender melhor o processo, vamos criar uma nova
simbologia para expressar quantidades decimais, para entender o
que é somar 135 + 389.
= pacote de centenas = pacote de dezenas
= pacote de unidades
Ou seja:
A cada 10 =1
A cada 10 =1
Por isso:
o 135 = 1x100 (1x ) + 3 x 10 ( 3x ) + 5x1 ( 5x )

16. o 389 = 3x100 (3x ) + 8x10 (8x )+ 9x1 (9x )
Vamos transformar isso em um algoritmo:
135 + 389
v v v
v v
v v
v v
v v
v c
v
v c
v
v v
v
v
v
v
v
v
C D U
v
¹1 ¹3 5
3 8 9
5 2 4
Algoritmo da subtração
Indicaremos o símbolo da subtração assim: - (menos).
 Agora nós vamos fazer o contrário do
que estávamos fazendo, em vez de

17. adicionar, isto é, acumular quantidades
homogêneas, em vez de ganha-las
perdê-las.
 A subtração além de ser um algoritmo
que exerce a perda de quantidades,
também pode nos ajudar a comparar
quantidades, ou seja, ver quanto elas
têm de diferença. Quanto um número
é maior que outro. Ex.:
Comparação
 6-3= 3. Para chegar em seis de três só me
falta 3 algarismos.
Perda
 7-3= 4.Comprei 7 balas e dei 3 para
minha irmã. Fiquei apenas com 4
balas.
Quando um número é maior que outro, como eu sei que “este”
número é maior que “este”?
Um número é menor que outro quando ele consegue, com outro número
ou com ele mesmo alcançar a quantidade maior. Ex.: 3 ≥ 2, por quê?
Porque 2+1= 3.
Algoritmo da multiplicação
Vamos representar a multiplicação assim: x ou . (vezes).
Multiplicação= relação entre uma quantidade de objetos e
quantidade de repetições, probabilidades e disposição retangular.
 Repetições:
EX.:
2 x 3= 3+3
Este número é
Elemento (objeto)
o índice, ou
seja, ele indica
OU a ser repetida
a quantidade pelo índice,
de repetições 3x2= 2+2+2 quantidade de
do objeto, objetos,
elemento. elementos.

18. Outros exemplos:
a) 3x14 = 14 + 14 + 14 = 42
b) 2x10= 10 + 10 = 20
c) 3x5 = 5 + 5 + 5 = 15
d) 3x140 = 140 + 140 +140 = 420
o Multiplicação com 0 como último algarismo
Ex.:
 Tente entender estas relações:
a) 2x1= 1+1 = 2
b) 2x10 = 10+10 = 20
c) 2x100 = 100+100 = 200
d) 2x1000 = 2.000
e) 3x14 = 14 + 14+ 14 = 42
f) 3x140 = 140+140+140 = 420
g) 30x14 = 3x10x14 = 3x14x10 = 42x10 = 420
Preste atenção nos exemplos e, f, g. Perceba que só
acrescentando o zero nos fatores, no resultado também é
acrescido zero, portanto se sei fazer, por exemplo, 3x14, sei
fazer 30x14 ou 3x140 ou 3x1400 ou 300x14...
O número vai apenas ganhando posições, que tende a
ser completadas por zero. Quando principalmente,
multiplico por 10, 100 ou 1000. Quando multiplico por 10,
ganho uma posição; quando multiplico por 100, ganho
duas posições e quando multiplico por 1000, ganho três
posições... Porque o zero não está indicando quantidades,
apenas posição. Ele “empurra” o número.

19. Probabilidade
Para entender melhor, seguiremos com alguns exemplos. Esta parte de
probabilidade é extra e nós ainda não aprendemos.
-Considere cinco meninas: Laura, Júlia, Márcia e Cláudia disputando um
campeonato de xadrez. Quais e quantos são todos os possíveis resultados
deste campeonato?
Este é um exemplo de permutação, em que a ordem IMPORTA e altera
o resultado.
______ ______ _____ ______ ______ ______
1° lugar 2°lugar 3°lugar 4°lugar 5°lugar TOTAL
5 4 3 2 1 possiblidade
possibilidades possibilidades possibilidades possibilidades 120
possibilidades
5x 4x 3x 2x 1x 5x4x3x2x1
- Cinco amigas (Marcela, Teresa, Jéssica, Elga e Eleonor) podem fazer
quantas duplas para participar de um campeonato de tênis de mesa.
Este é um exemplo de combinação, pois a ordem não importa, não
altera o resultado.
Devemos multiplicar 2x5 (cinco amigas que cada qual faz uma
dupla e isso não importa a ordem). Ao invés de fazer:
Marcela e Teresa Teresa e Eleonor
Marcela e Jéssica Jéssica e Elga
Marcela e Elga Jéssica e Eleonor
Marcela e Eleonor Elga e Eleonor
Teresa e Jéssica
Teresa e Elga

20. Disposição retangular 5
×
Ex.:
5x8= 40, ao invés de contarmos cada
quadradinho, simplesmente
multiplicamos o número de colunas vezes
o número de linhas.
8
Porém, observe que parte foi tirada, não
existe mais, por isso devemos fazer isso 5x8-4= 36.