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Caro Professor,

Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da
rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de
todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir
de 2010.

As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por
leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que
postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note
também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações
mais recentes.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise
as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas
no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010,
utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.

Bom trabalho!

Equipe São Paulo faz escola.




                                                                                     1
GABARITO

                Caderno do Aluno de Matemática – 6ª série/7º ano – Volume 1



 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

 INVESTIGANDO SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: DO EGITO AO
 COMPUTADOR




Página 4
1. Os “risquinhos” representam as unidades, o U de cabeça para baixo representa as
   dezenas, o rolo de papiro representa as centenas, e a flor de lótus os milhares. Dez
   “risquinhos” correspondem a um ∩, dez ∩ correspondem a um papiro, e dez papiros
   a uma flor de lótus. Por exemplo, o número 253, por ser formado por 3 unidades,
   5 dezenas e 2 centenas, será escrito no sistema egípcio com três “risquinhos”, cinco
   ∩ e dois rolos de papiros.


2. Não, como se pode ver no número 1 100, em que a centena foi escrita à esquerda do
   milhar. Isso indica que o sistema egípcio não é posicional, o que é uma diferença em
   relação ao nosso sistema.


3. 9 999 999.


4. Infinitos, sendo essa uma grande desvantagem desse sistema.




                                                                                     2
Página 4

     Alguns dos elementos da fauna e da flora do Egito são: camelos, dromedários,
acácias, figus. Na região desértica, são encontrados espécimes acostumados a viver em
ambientes de água escassa, como escorpiões, alguns tipos de aranhas, cactos, etc.



     Usando o símbolo  para 10 milhões e  para 100 milhões, a representação da
distância Terra-Sol seria:




Páginas 6 - 7
1.




2. Na posição da unidade, (1 = 60o) representaria o número 11; na posição do 60
     representaria 660; na posição do 60², o número 39 600, etc. Poderíamos ainda
     imaginar que cada um dos símbolos esteja ocupando uma posição diferente, o
     que implicaria em mais possibilidades. Por exemplo, se  ocupa a casa da unidade e
      a casa do 60, o número representado seria o 601. Para saber qual número estaria
     sendo representado, os mesopotâmicos levavam em consideração o contexto em que
     ele havia sido escrito, o que gerava muitos erros ou ambiguidades.
                                                                                     3
3. O zero. Por exemplo, o número 43 203 representado no sistema mesopotâmico não
   possui algarismos na posição do 60, o que só poderia ser corretamente indicado se o
   sistema dispusesse de um símbolo gráfico especial para representar a ausência de
   unidades naquela posição. É bem provável que os mesopotâmicos ignoraram o zero
   porque, segundo suas concepções, não fazia sentido representar o “nada” por
   “alguma coisa”. Uma primeira tentativa de resolver essa ambiguidade foi feita
   deixando-se um espaço maior entre os símbolos quando eles representavam posições
   diferentes, mas isso não se mostrou satisfatório porque muitas vezes um símbolo
   aparecia sozinho. Na prática, as ambiguidades eram resolvidas pelo contexto em que
   o número aparecia, identificando-se o que ele representaria pela ordem de grandeza
   que deveria ser considerada naquele contexto.




Páginas 7 - 8
1. Admitindo-se que o símbolo do zero seja , então teremos 11 = , 660 =  e
   36 001 = .




                                                                                    4

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2. Para operar no sistema decimal, 10 unidades transformam-se em 1 dezena, 10
  dezenas em 1 centena e assim por diante. No sistema sexagesimal, como o
  mesopotâmico, o “vai um” para a casa seguinte será feito em grupos de 60, e não de
  dez. A seguir estão as contas armadas:




3. O sistema hora–minuto–segundo de medição do tempo utiliza base 60, já que
  60 segundos formam 1 minuto e 60 minutos formam 1 hora. Esse é um resquício
  mantido até hoje desde o passado distante. As hipóteses sobre as razões pelas quais
  os mesopotâmicos estabeleceram um sistema de base 60 não estão comprovadas.
  Algumas delas relacionam o fato a aspectos da Astronomia (um ano tem,
  aproximadamente, 360 dias), outras admitem que tenha surgido da fusão de dois
  sistemas de numeração de povos antigos, um de base 10 e outro de base 6.




                                                                                   5
Página 9
1. O número é 37 453.


                            .360.201
                            .360.200
                            .201
                            .200


     5 . 7200 + 4 . 360 + 0 . 201 + 13 . 200 = 37 453




Páginas 11 - 12
1.
     15  XV (justificativa do erro pela regra “b”)
     49  XLIX (justificativa do erro pela regra “a”)
     1 500  MD (justificativa do erro pela regra “b”)
     999  CMXCIX (justificativa do erro pela regra “a”)


2.
     99  XCIX
     490  CDXC
     995  CMXCV


3. No sistema romano, os símbolos usados em cada posição não necessariamente
     definem o valor daquela posição, o que dificulta sua praticidade para fazer contas
     armadas. Na verdade, os próprios romanos utilizavam seu sistema de numeração
     apenas para o registro numérico, e não para as operações, que eram feitas com o
     ábaco. Fazer a conta armada DCXCVIII  CCLXXIX não é nada prático porque as
     “posições” de cada símbolo não marcam exatamente unidade, dezena, centena,
     milhar, etc.

                                                                                     6
4.
     •   O sistema romano não pode ser exatamente definido como decimal porque
         utiliza símbolos para os números 5, 50 e 500, que não são potências de 10.
     •   O sistema romano não possui as posições dos agrupamentos muito bem
         marcadas o que, dito de outra forma, significa que ele não é exatamente um
         sistema posicional, como o nosso (esse aspecto dificulta a operacionalidade do
         sistema para fazer contas).
     •   A escrita dos números em algarismos romanos é, em geral, mais extensa que a
         escrita dos números no sistema indo-arábico de numeração, o que também é um
         aspecto que torna menos práticos os registros numéricos.




Página 14




1.




     Observação:    outras   infinitas   possibilidades   poderiam   ser   elaboradas   se
incorporássemos espaçamentos com o significado de zero na posição correspondente ao
espaçamento.


2.




                                                                                        7
Páginas 15 - 17
1. Será um número par.


2. É um múltiplo de 4.


3. 1 . 128 + 1 . 64 + 0 . 32 + 0 . 16 + 1 . 8 + 1 . 4 + 0 . 2 + 1 . 1 = 205


4. 2 elevado a 8, ou seja, 256 possibilidades.


5. 11111011000


6. Aproximadamente, 1 509 949 B no disquete e 734 003 200 B no CD.


7.
     P  16
     E5
                               A sequência de formação da palavra PERIGO em
     R  18
                                            números no sistema binário é:
     I9
                                     10000 – 101 – 10010 – 1001 – 111 – 1111
     G7
     O  15

              24 = 16          23 = 8           22 = 4         21 = 2          20 = 1
                  1              0                0               0              0
      16
                                                  1               0              1
      5
                  1              0                0               1              0
      18
                                 1                0               0              1
      9
                                                  1               1              1
      7
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      15




                                                                                        8

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Desafio!

Página 18

   Em um sistema posicional de base 3, três símbolos são suficientes para representar
todos os números. No caso do exemplo dado, os símbolos são:  = 0,  = 1 e  = 2.
Usaremos na resolução do problema uma organização em tabela, como feito na
atividade anterior:

               34 = 81      33 = 27        32 = 9        31 = 3        30 = 1
                                             1             2             0
     15
                                             2             0             1
     19
                                             2             1             1
     22
                               1             0             0             0
     27
                  1            0             1             1             2
     95




                                                                                   9
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

 FRAÇÕES E DECIMAIS: UM CASAMENTO COM SIGNIFICADO




Páginas 19 - 20
1. Os três estão certos.

                                                                 3
Observação: Ana encaminhou o problema para o número misto 3 .
                                                                 5

2.




3.




     As malhas pintadas mostram que se tratam de frações equivalentes.




                                                                         10
4.




Página 21
1. Algumas possíveis soluções:
     a) 86 e 25; 430  125; 86  25
     b) 1 e 40; 5  200; 1  40
     c) 307 e 80; 1228  320; 307  80


2.
          34 17
     a)         
          10 100
              340 17
                     20
              100 100


          2 406 6 015
     b)              
           100 10 000
              240 600 6 015
                           40
              10 000 10 000




                                         11
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

 A MULTIPLICAÇÃO E A DIVISÃO COM FRAÇÕES




Página 22
1.
          3 1
     a)    .
          5 2
          1 2
     b)    .
          3 7
          3 5
     c)    .
          8 6
          4 1
     d)    
          5 3


2.
                      1                2                                  1  2
     a) Ao utilizar     da lata, restam . Como da última vez utilizou-se “ de ”, a
                      3                3                                  4  3
                            1 2
     operação procurada é    . .
                            4 3
     b)




                                                                                12

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Página 23

   Fazendo uma analogia com inteiros, se o problema se referisse a duas latas de tinta
dando para pintar seis paredes, com uma lata pintaríamos três paredes, o que pode ser
concluído por meio da conta 6  2 = 3. Transferindo-se essa interpretação para o caso
                                                                      3 2
do problema, nossa resposta pode ser obtida por meio da divisão         , que também
                                                                      4 3
                      3
                      4
pode ser denotada por 2 .
                      3

   Se dividirmos a lata de tinta em três partes iguais, o problema nos diz que duas delas
foram utilizadas. Dividindo-se a parede em quatro partes iguais (linhas horizontais na
figura a seguir), e subdividirmos cada parte da parede em dois (pois foram utilizadas
duas partes de tinta), a parede estará dividida em 4 . 2 = 8 partes. Podemos imaginar,
portanto, que cada parte de tinta permite pintar três dessas partes da parede. Logo, a lata
                                                                                       9
inteira, que tem três partes, permite pintar 3 . 3 = 9 das partes da parede, ou seja     da
                                                                                       8
parede.

                                                                          3
           9                                             3    2
   A fração representa, então, o resultado da divisão de   por , ou seja, 4 . Isto
           8                                             4    3           2
                                                                          3
pode ajudar a dar significado ao fato de que, para dividir uma fração por outra,
multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda:




                                                              3
                                                              4 339
                                                              2 4 2 8
                                                              3




                                                                                         13
Páginas 23 - 24
1.
      3        3
          12 .
      4       4  3 . 3  3.3  9
      2        2   4.2 4 2 8
          12 .
      3        3


2.

      3        3
          24 .
      4       4  6 . 3  6 . 3  18  9
      2        2 8 . 2 8 2 16 8
          24 .
      3        3


3.
                        a  c
     Dadas as frações     e , temos que:
                        b d
           a c a .c
     a)     . 
           b d b.d
           a c a d a.d
     b)       . 
           b d b c b.c




Páginas 24 - 25
1.
     3
       6 
     4
          3 1
           
          4 6
          3 1
           
          24 8




                                            14
2.
          1                                     1
     1      de horas ou, ainda, sabendo-se que    de 60 minutos são 5 minutos, 1h05.
         12                                    12


3.
     R$ 9,60.


4.
     2 7
       
     3 8
          2 8
           
          3 7
         16
     
         21




                                                                                       15
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

 NÚMEROS NEGATIVOS: DESVENDANDO AS REGRAS DE
 SINAIS




Página 28
1. O cliente tinha R$ 528,00 na conta; deu um cheque de R$ 145,00 e ficou, portanto,
   com R$ 383,00. Em seguida, ele deu um cheque de valor desconhecido e ficou com
   saldo de R$ 310,00. Fazendo a conta 383 – 310 = 73, descobre-se que o valor do
   cheque 346 foi de R$ 73,00 (com sinal negativo). Após o depósito de R$ 295,00 o
   cliente ficou com 310 + 295 = R$ 605,00. Após efetuar um saque de valor
   desconhecido, seu saldo parcial de R$ 605,00 ficou negativo em R$ 420,00, o que
   significa que o saque foi suficiente para esgotar os R$ 605,00 e ainda deixar negativa
   a conta em R$ 420,00. Segue, portanto, que o valor do saque foi de: 605 + 420 =
   = R$ 1 025,00. Esse valor (com sinal negativo) corresponde ao que deve ser
   colocado no segundo espaço borrado do extrato.


2. A análise desse extrato deve começar de baixo para cima, a partir do saldo negativo
   de R$ 250,00. Um depósito de R$ 560,00 e um cheque de R$ 380,00 equivalem a
   uma operação de saldo positivo de R$ 180,00. A pergunta que nos cabe responder
   agora é: qual é o saldo que, com um acréscimo de R$ 180,00 deixe como saldo final
   –R$ 250,00? Certamente o saldo inicial era negativo em um valor que, quando
   somado com R$ 180,00 resulta –R$ 250,00. O valor procurado é negativo e pode ser
   obtido através da conta 180 + 250 = R$ 430,00. Segue, portanto, que o primeiro
   valor borrado é –R$ 430,00. Partindo agora de um saldo negativo de R$ 250,00, o
   banco devolveu R$ 400,00 para o cliente por meio de uma correção, e o cliente deu
   um cheque de R$ 320,00, o que perfaz um saldo parcial de:
   –250 –(–400) – 320 = –R$ 170,00.
   Como o saldo final do cliente é negativo em R$ 80,00, segue que o depósito feito foi
   suficiente para reduzir seu saldo parcial negativo de R$ 170,00 para um saldo

                                                                                      16

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1) O texto descreve a origem da lenda da invenção do jogo de xadrez, onde um viajante criou o jogo para entreter o rei Jadava, que havia perdido seu filho em batalha. 2) O rei ficou tão encantado com o jogo que ofereceu qualquer recompensa ao viajante. Este pediu grãos de trigo em quantidade que dobravam a cada casa do tabuleiro. 3) O rei aceitou sem saber que assumia uma dívida impossível de pagar, devido à progressão geom

negativo de R$ 80,00. Fazendo a conta 170 – 80 = 90, descobrimos que o depósito
     indicado no segundo espaço borrado foi de R$ 90,00.




Páginas 29 - 31
1.
     a) –R$ 2 200,00 (vale comentar com os alunos que podemos nos referir ao valor
     negativo como “lucro negativo de R$ 2 200,00”, ou como “prejuízo de R$ 2 200,00”.
     b) (2 200) ÷ 8 = R$ 275,00.
     c) 2 200  12 000 = 14 200 (se o lucro em janeiro fosse zero, o saldo nos 8
     meses seria negativo em R$ 14 200,00). Queremos um lucro em janeiro que liquide o
     saldo negativo total de R$ 14 200,00, e que ainda deixe um lucro positivo no período
     de R$ 1 500,00, ou seja, o valor procurado é 14 200 + 1 500 = R$ 15 700,00.


2.
     Partida 1: –1
     Partida 2: 3
     Partida 3: – 2
     Partida 4: – 2
     Partida 5: 1
     Partida 6: – 2
     Partida 7: 0
     Partida 8: – 3
     Partida 9: 1
     Partida 10: – 3
     Saldo geral: – 8 gols




Páginas 32 - 35
1.
     a) Mantém-se constante.
                                                                                      17
b) Está diminuindo em uma unidade.
     c) O produto está aumentando em 3 unidades de uma linha para a seguinte (de cima
     para baixo na tabela).
     d)   –1.(–3) = 3


2. Se os segmentos são paralelos, os lados dos triângulos formados pelos segmentos e
                                                                              a    P
     pelos eixos são proporcionais. Chamando de P o ponto verde, temos que:          .
                                                                               1   b
     Multiplicando-se os dois membros da igualdade por (–b) concluímos que:
     P = (–a).(–b). Esse resultado sugere (–3).(–2) = 6




3. “Retirar uma torneira de vazão –1 L/min”  – (–1)
     “Acrescentar uma torneira de vazão 1 L/min”  +1
     Portanto, segue –(–1) = 1.


4.
     a) 1,05
     b)   3
          5
     c)
          3
               1
     d)   
              10




                                                                                     18
Páginas 36 - 38
1.
     a) –6
     b) –34
     c) –7,5
     d) –5
     e) –10
          5
     f)
          2
              7
     g)   
              6
              21
     h)   
              5




                                           AJUSTES

                   Caderno do Professor de Matemática – 6ª série/7º ano – Volume 1

     Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada
página.




                                                                                        19
4     3                                                               3
             calcular “     de    ”. Compreendidos esses       das colunas marcadas em            pelas linhas
                         5     4                                                               4
                                                                               4
             aspectos de linguagem, veremos agora como         marcadas em       , ou seja, pelo numerador da
                                                                               5
             justificar um algoritmo para o produto de         primeira fração e o numerador da segunda.
             frações por meio de argumentos geométricos        Raciocínio análogo justifica o denominador
                                                               da fração resultante, 20, obtido do produ-
             e, para isso, usaremos como exemplo o pro-
                    3     4                                    to de 4 por 5. A prática de situações seme-
             duto       ∙    .                                 lhantes a essa favorece a compreensão do
                    4     5
                 Utilizaremos retângulos para represen-        algoritmo do produto de frações e deve ser
             tar a unidade e, em seguida, os dividiremos       trabalhada, mesmo sabendo-se que o objeti-
             em 4 partes iguais (marcando 3) e em 5 par-       vo final ao longo do ano seja a mecanização
                                                    3    4     de procedimentos de cálculo sem o recurso
             tes iguais (marcando 4). Se queremos      ∙   ,
                                                    4    5     das barrinhas. É importante ainda destacar
             então estamos interessados em encontrar           que essa forma de abordagem também pode
                3       4                           4
             “     de     ”, ou seja, devemos pegar   da re-   ser feita com frações impróprias, bastando
                4       5                           5
                                               3               para isso iniciar o problema separando a par-
             presentação correspondente aos , o que pode
                                               4               te inteira da parte não inteira. Por exemplo, a
             ser obtido por uma intersecção, como mostra a              7
                                                               fração     , que corresponde a 2 inteiros mais
             sequência de figuras:                                      3
                                                                1
                                                                   , pode ser representada por dois retângu-
                                                                3
                                                                                   1
                                                               los inteiros mais     de outro retângulo. Com
                                                                                   3
                                                               essa representação, basta repetir os procedi-
                                                               mentos descritos anteriormente que pode-
                                                                                                        7
                                                               remos indicar o produto da fração           por
                                          .                                                             3
                                                               outra fração com o uso de figuras.
                                                                  Também no que diz respeito à divisão de
                                                               frações, muitas estratégias podem ser uti-
                                                               lizadas. Apresentaremos na sequência um
                                                               problema que favorece a utilização de ar-
                                                               gumentos geométricos para a compreensão
                                                               do algoritmo.
                                                                                   2
                Na contagem final de quadradinhos para             Problema: Se      de uma lata de tinta dão
                                                                                   3
             representar a fração resultante da operação,                     3
                                                                para pintar     de uma parede, que fração da
             12                                                               4
                , o numerador 12 foi obtido do produto           parede conseguirei pintar com 1 lata de tinta?
             20


    32


MAT_CP_6a_vol1_FINAL.indd 32                                                                                      4/16/09 4:35:29 PM

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Matemática – 6ª série, 1o bimestre
                                                                                                                         -




   3.	 O gráfico indica o lucro mensal da sorve-                                        4.	 O gráfico indica o número de gols que
       teria Ki-Fria ao longo dos oito primeiros                                            um time fez e sofreu em dez partidas
       meses de um ano. Analise o gráfico e res-                                            do Campeonato Brasileiro de Futebol.
       ponda as perguntas abaixo.                                                           Calcule o saldo de gols desse time por parti-
                                                                                            da, e o saldo geral de gols nas dez partidas.
            Lucro da sorveteria Ki-Fria
                   13 400
 15 000                                                                                         Gols Pró               Gols Contra
          12 000
                            7 500
                                                                                        6
 10 000
  5 000                             4 000                                               5
                                            2 400
                                                    Junho Julho Agosto
     0                                                                                  4
          Janeiro Fevereiro Março Abril     Maio




                                                                                 Gols
 –5 000                                                                                 3
                                                    –7 000
–10 000
                                                                                        2
–15 000
                                                             –16 500                    1
–20 000                                                                –18 000
                                                                                        0
      a)	 Qual o lucro total da Ki-Fria nos                                                 1   2   3      4   5   6     7       8   9   10

          oito meses?
                                                                                        Partida 1: −1 Partida 2: 3 Partida 3: −2
   –R$ 2 200,00 (vale comentar com os alu-                                              Partida 4: −2 Partida 5: 1 Partida 6: −2
   nos que podemos nos referir ao valor nega-                                           Partida 7: 0     Partida 8: –3 Partida 9: 1
   tivo como “lucro negativo de R$ 2 200,00”,
                                                                                        Partida 10: –3
   ou como “prejuízo de R$ 2 200,00”.
                                                                                        Saldo geral: –8 gols
      b)	 Qual o lucro médio mensal da sorve-
                                                                                    Quanto à multiplicação e à divisão de nú-
          teria no período analisado?
                                                                                 meros com sinais, caberá aqui uma análise
   (−2200) ÷ 8 = −R$ 275,00.                                                     mais detalhada e, de preferência, com o uso
      c)	 Sabe-se que o lucro de janeiro foi pu-                                 de abordagens diversificadas. Nós nos detere-
          blicado errado e que com a correção                                    mos em apresentar apenas algumas propostas
          o lucro nos oito meses analisados                                      para a discussão sobre o “produto de números
          passa a ser de R$ 1 500,00. Determine                                  negativos” tendo como resultado “um número
          qual seria o lucro correto de janeiro                                  positivo”, porque a divisão decorre natural-
          após a correção.                                                       mente desse resultado, levando-se em conside-
                                                                                 ração que toda divisão pode ser transformada
   −2 200 − 12 000 = −14 200 (se o lucro em                                      em uma multiplicação, como se pode observar
   janeiro fosse zero, o saldo nos oito meses                                    nos exemplos a seguir:
   seria negativo em R$ 14 200,00). Queremos
   um lucro em janeiro que liquide o saldo                                                                                   1
                                                                                                3 ÷ 2 = 3 . 0,5 ou 3 .
   negativo total de R$ 14 200,00 e que ain-                                                                                 2
   da deixe um lucro positivo no período de
                                                                                                                             1
   R$ 1 500,00, ou seja, o valor procurado                                                      5 ÷ 6 = 5 . 0,16 ou 5 .
                                                                                                                             6
   é 14 200 + 1 500 = R$ 15 700,00.

                                                                                                                                                39
Discutiremos três estratégias diferentes                                              y
     para a discussão sobre a regra de sinais na
     multiplicação de números negativos e, em se-                                                  1
                                                                                                            P
     guida, apresentaremos uma proposta lúdica                                                                     x
                                                                                    -a        0
     para a fixação de ideias relacionadas às ope-
     rações e à ordenação de números com sinais.                                              -b


     1ª estratégia: regularidades
      -                                                                    Se os segmentos são paralelos, os lados
                                                                           dos triângulos formados pelos segmentos e
        Investigando regularidades na sequência a
     seguir o aluno deve perceber que:                                     pelos eixos são proporcionais. Chamando de
                                                                                                       –a   P .
                                                                           P o ponto verde, temos que:    =       Multi-
           a)	 estamos diminuindo sempre uma unida-                                                     1   –b   
               de no primeiro fator da multiplicação;                      plicando-se os dois membros da igualdade
                                                                           por (–b), concluímos que P = (–a) . (–b).
           b)	 estamos mantendo constante o segun-
               do fator da multiplicação;                                  Esse resultado sugere que (–3) . ( –2)= 6.

           c)	 o produto aumenta sempre 3 unidades.                                      y

        Com isso, espera-se que ele preencha a lacu-
                                                                                              1          (–3) . (–2) = 6
     na e possa concluir que multiplicar dois núme-
                                                                                                                           x
     ros negativos resulta em um número positivo.                            –3           0

                                                                                         –2
          4 . (–3) = –12 3 . (–3) = –9 2 . (–3) = – 6
                                                                       3ª estratégia: busca de contexto
                                                                        -
          1 . (–3) = –3 0 . (–3) = 0 –1 . (–3) =
                                                                           Imagine um tanque que possa ser esvaziado
                                                                       por torneira de vazão –1 litro por minuto (o si-
                                                                       nal de menos indica que o líquido é retirado do
     2ª estratégia: plano cartesiano e
      -
                                                                       tanque) e enchido por torneiras de vazão 1 litro
     proporcionalidade8
                                                                       por minuto. Se podemos livremente colocar nes-
           1.	 Admita que os segmentos indicados em                    se tanque qualquer quantidade dessas torneiras,
               vermelho sejam paralelos. Determine a                   fica evidente que, para efeito de manutenção do
               localização do ponto marcado em ver-                    fluxo de água no tanque, “retirar uma torneira de
               de e, em seguida, repita o procedimento                 vazão –1 l/min” é equivalente a “acrescentar uma
               mostrando que –3 . (–2) = 6.                            torneira de vazão 1 l/min”.

     8
      	    A situação descrita nesta atividade necessita de dois pré-requisitos de conteúdo: conhecimento sobre o plano
           ordenado e a localização de pontos, e conhecimento sobre proporcionalidade. Ambos são temas da 6a série que, se
           já tiverem sido discutidos pelo professor, possibilitarão o uso dessa estratégia. Vale lembrar também que, para o uso
           dessa estratégia, o professor terá de estabelecer a proporcionalidade não com a ideia de “distância” (valor positivo),
           mas sim com a de segmento orientado, em que o sinal deve ser levado em consideração.


40
Matemática – 6ª série, 1o bimestre
                                                                                                     -




     Utilizando a linguagem numérica, teremos:                   que –1 . (–1) = 1, e da ideia de que – (–1) = 1,
“retirar uma torneira de vazão                                   essa apresentação também tem a vantagem de
–1 l/min” ⇒ –(–1)                                                constituir uma reformulação numérica da de-
                                                                 monstração formal de que (–a) . (–b) = a . b,
“acrescentar uma torneira de vazão                               encontrada em muitos livros.
1 l/min” ⇒ +1
                                                                    Como dissemos anteriormente, a regra de
     Portanto, segue que –(–1) = 1.
                                                                 sinais da divisão de números negativos sai au-
   O fluxo de zero torneira de vazão –1, que                     tomaticamente da regra de sinais do produto
é igual a zero, pode ser indicado da seguinte                    porque toda divisão pode ser convertida em
maneira: 0 . (–1) = 0.                                           multiplicação. Por exemplo, sabemos que
   Uma vez que podemos interpretar zero                          –12 ÷ (–4) = 3 porque –12 ÷ (–4) é equivalente
torneira como colocar e retirar uma torneira,                    a –12 . (–0,25), cujo resultado é 3 (trata-se de
podemos representar a nova expressão por:                        um produto de números negativos).
(1–1) . (–1) = 0.                                                    Na 6ª série, além de ampliar seus conhe-
                                                                           -
   Utilizando a propriedade distributiva no                      cimentos numéricos, o aluno aprende uma
produto, sabemos que a expressão é equiva-                       série de novas representações de números e
lente a: 1 . (–1) –1 . (–1) = 0.                                 operações numéricas. Em particular, as fra-
                                                                 ções negativas são responsáveis por algumas
   Uma vez que 1 . (–1) é igual a “um nega-
                                                                 confusões por unirem duas novas linguagens
tivo”9 e sabendo-se que o resultado da conta
                                                                 trabalhadas na série, a das frações e a dos nú-
que está do lado esquerdo do sinal de igual
                                                                 meros negativos.
tem de ser zero, então, necessariamente –1 . (–1)
                                                                                                             a
tem de ser igual a 1:                                                Assim, mostrar a equivalência entre –      ,
                                                                 –a      a                                   b
                                                                     e       torna-se necessário e é uma interes-
                                                                  b     –b
                 1 . (–1) – 1 . (–1) = 0                         sante oportunidade para retomar a ideia de
                    –1                                           fração como representação do resultado de
                                                                 uma divisão, e das regras de sinais nas opera-
     Como 1 . (–1) é igual a –1, então, –1
                                                                 ções com inteiros. Observe como isso pode ser
     (–1) tem que ser o simétrico de –1                          feito em termos numéricos:
     para que a igualdade seja nula. Ocorre
     que o simétrico de –1, que pode ser                       12 12                             −12 −12                 12    12
                                                           −      = −(12 ÷(12= −3 = −3
                                                                  − = − 4) ÷ 4)                      = −12 ÷ 412 ÷3 = −3
                                                                                                          =− =−4            = 12 ÷
     representado por –1 . (–1) é 1.                            4   4                             4    4                 −4 −4
      12                         −12                                            12
    − = −(12 ÷ 4) = −3                = −12 ÷ 4 = −3                               = 12 ÷ (−4) = −3
  Além de contextualizar o produto4de nú-
       4                                                                        −4
meros negativos por meio da verificação de
9
 	   A contextualização do produto de positivo por negativo foi citada no início da atividade.


                                                                                                                            41

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  • 1. Caro Professor, Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010. As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes. Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas. Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento. Bom trabalho! Equipe São Paulo faz escola. 1
  • 2. GABARITO Caderno do Aluno de Matemática – 6ª série/7º ano – Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 INVESTIGANDO SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: DO EGITO AO COMPUTADOR Página 4 1. Os “risquinhos” representam as unidades, o U de cabeça para baixo representa as dezenas, o rolo de papiro representa as centenas, e a flor de lótus os milhares. Dez “risquinhos” correspondem a um ∩, dez ∩ correspondem a um papiro, e dez papiros a uma flor de lótus. Por exemplo, o número 253, por ser formado por 3 unidades, 5 dezenas e 2 centenas, será escrito no sistema egípcio com três “risquinhos”, cinco ∩ e dois rolos de papiros. 2. Não, como se pode ver no número 1 100, em que a centena foi escrita à esquerda do milhar. Isso indica que o sistema egípcio não é posicional, o que é uma diferença em relação ao nosso sistema. 3. 9 999 999. 4. Infinitos, sendo essa uma grande desvantagem desse sistema. 2
  • 3. Página 4 Alguns dos elementos da fauna e da flora do Egito são: camelos, dromedários, acácias, figus. Na região desértica, são encontrados espécimes acostumados a viver em ambientes de água escassa, como escorpiões, alguns tipos de aranhas, cactos, etc. Usando o símbolo  para 10 milhões e  para 100 milhões, a representação da distância Terra-Sol seria: Páginas 6 - 7 1. 2. Na posição da unidade, (1 = 60o) representaria o número 11; na posição do 60 representaria 660; na posição do 60², o número 39 600, etc. Poderíamos ainda imaginar que cada um dos símbolos esteja ocupando uma posição diferente, o que implicaria em mais possibilidades. Por exemplo, se  ocupa a casa da unidade e  a casa do 60, o número representado seria o 601. Para saber qual número estaria sendo representado, os mesopotâmicos levavam em consideração o contexto em que ele havia sido escrito, o que gerava muitos erros ou ambiguidades. 3
  • 4. 3. O zero. Por exemplo, o número 43 203 representado no sistema mesopotâmico não possui algarismos na posição do 60, o que só poderia ser corretamente indicado se o sistema dispusesse de um símbolo gráfico especial para representar a ausência de unidades naquela posição. É bem provável que os mesopotâmicos ignoraram o zero porque, segundo suas concepções, não fazia sentido representar o “nada” por “alguma coisa”. Uma primeira tentativa de resolver essa ambiguidade foi feita deixando-se um espaço maior entre os símbolos quando eles representavam posições diferentes, mas isso não se mostrou satisfatório porque muitas vezes um símbolo aparecia sozinho. Na prática, as ambiguidades eram resolvidas pelo contexto em que o número aparecia, identificando-se o que ele representaria pela ordem de grandeza que deveria ser considerada naquele contexto. Páginas 7 - 8 1. Admitindo-se que o símbolo do zero seja , então teremos 11 = , 660 =  e 36 001 = . 4
  • 5. 2. Para operar no sistema decimal, 10 unidades transformam-se em 1 dezena, 10 dezenas em 1 centena e assim por diante. No sistema sexagesimal, como o mesopotâmico, o “vai um” para a casa seguinte será feito em grupos de 60, e não de dez. A seguir estão as contas armadas: 3. O sistema hora–minuto–segundo de medição do tempo utiliza base 60, já que 60 segundos formam 1 minuto e 60 minutos formam 1 hora. Esse é um resquício mantido até hoje desde o passado distante. As hipóteses sobre as razões pelas quais os mesopotâmicos estabeleceram um sistema de base 60 não estão comprovadas. Algumas delas relacionam o fato a aspectos da Astronomia (um ano tem, aproximadamente, 360 dias), outras admitem que tenha surgido da fusão de dois sistemas de numeração de povos antigos, um de base 10 e outro de base 6. 5
  • 6. Página 9 1. O número é 37 453. .360.201 .360.200 .201 .200 5 . 7200 + 4 . 360 + 0 . 201 + 13 . 200 = 37 453 Páginas 11 - 12 1. 15  XV (justificativa do erro pela regra “b”) 49  XLIX (justificativa do erro pela regra “a”) 1 500  MD (justificativa do erro pela regra “b”) 999  CMXCIX (justificativa do erro pela regra “a”) 2. 99  XCIX 490  CDXC 995  CMXCV 3. No sistema romano, os símbolos usados em cada posição não necessariamente definem o valor daquela posição, o que dificulta sua praticidade para fazer contas armadas. Na verdade, os próprios romanos utilizavam seu sistema de numeração apenas para o registro numérico, e não para as operações, que eram feitas com o ábaco. Fazer a conta armada DCXCVIII  CCLXXIX não é nada prático porque as “posições” de cada símbolo não marcam exatamente unidade, dezena, centena, milhar, etc. 6
  • 7. 4. • O sistema romano não pode ser exatamente definido como decimal porque utiliza símbolos para os números 5, 50 e 500, que não são potências de 10. • O sistema romano não possui as posições dos agrupamentos muito bem marcadas o que, dito de outra forma, significa que ele não é exatamente um sistema posicional, como o nosso (esse aspecto dificulta a operacionalidade do sistema para fazer contas). • A escrita dos números em algarismos romanos é, em geral, mais extensa que a escrita dos números no sistema indo-arábico de numeração, o que também é um aspecto que torna menos práticos os registros numéricos. Página 14 1. Observação: outras infinitas possibilidades poderiam ser elaboradas se incorporássemos espaçamentos com o significado de zero na posição correspondente ao espaçamento. 2. 7
  • 8. Páginas 15 - 17 1. Será um número par. 2. É um múltiplo de 4. 3. 1 . 128 + 1 . 64 + 0 . 32 + 0 . 16 + 1 . 8 + 1 . 4 + 0 . 2 + 1 . 1 = 205 4. 2 elevado a 8, ou seja, 256 possibilidades. 5. 11111011000 6. Aproximadamente, 1 509 949 B no disquete e 734 003 200 B no CD. 7. P  16 E5 A sequência de formação da palavra PERIGO em R  18 números no sistema binário é: I9 10000 – 101 – 10010 – 1001 – 111 – 1111 G7 O  15 24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1 1 0 0 0 0 16 1 0 1 5 1 0 0 1 0 18 1 0 0 1 9 1 1 1 7 1 1 1 1 15 8
  • 9. Desafio! Página 18 Em um sistema posicional de base 3, três símbolos são suficientes para representar todos os números. No caso do exemplo dado, os símbolos são:  = 0,  = 1 e  = 2. Usaremos na resolução do problema uma organização em tabela, como feito na atividade anterior: 34 = 81 33 = 27 32 = 9 31 = 3 30 = 1 1 2 0 15 2 0 1 19 2 1 1 22 1 0 0 0 27 1 0 1 1 2 95 9
  • 10. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 FRAÇÕES E DECIMAIS: UM CASAMENTO COM SIGNIFICADO Páginas 19 - 20 1. Os três estão certos. 3 Observação: Ana encaminhou o problema para o número misto 3 . 5 2. 3. As malhas pintadas mostram que se tratam de frações equivalentes. 10
  • 11. 4. Página 21 1. Algumas possíveis soluções: a) 86 e 25; 430  125; 86  25 b) 1 e 40; 5  200; 1  40 c) 307 e 80; 1228  320; 307  80 2. 34 17 a)   10 100 340 17    20 100 100 2 406 6 015 b)   100 10 000 240 600 6 015    40 10 000 10 000 11
  • 12. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 A MULTIPLICAÇÃO E A DIVISÃO COM FRAÇÕES Página 22 1. 3 1 a) . 5 2 1 2 b) . 3 7 3 5 c) . 8 6 4 1 d)  5 3 2. 1 2 1 2 a) Ao utilizar da lata, restam . Como da última vez utilizou-se “ de ”, a 3 3 4 3 1 2 operação procurada é . . 4 3 b) 12
  • 13. Desafio! Página 23 Fazendo uma analogia com inteiros, se o problema se referisse a duas latas de tinta dando para pintar seis paredes, com uma lata pintaríamos três paredes, o que pode ser concluído por meio da conta 6  2 = 3. Transferindo-se essa interpretação para o caso 3 2 do problema, nossa resposta pode ser obtida por meio da divisão  , que também 4 3 3 4 pode ser denotada por 2 . 3 Se dividirmos a lata de tinta em três partes iguais, o problema nos diz que duas delas foram utilizadas. Dividindo-se a parede em quatro partes iguais (linhas horizontais na figura a seguir), e subdividirmos cada parte da parede em dois (pois foram utilizadas duas partes de tinta), a parede estará dividida em 4 . 2 = 8 partes. Podemos imaginar, portanto, que cada parte de tinta permite pintar três dessas partes da parede. Logo, a lata 9 inteira, que tem três partes, permite pintar 3 . 3 = 9 das partes da parede, ou seja da 8 parede. 3 9 3 2 A fração representa, então, o resultado da divisão de por , ou seja, 4 . Isto 8 4 3 2 3 pode ajudar a dar significado ao fato de que, para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda: 3 4 339 2 4 2 8 3 13
  • 14. Páginas 23 - 24 1. 3 3 12 . 4  4  3 . 3  3.3  9 2 2 4.2 4 2 8 12 . 3 3 2. 3 3 24 . 4  4  6 . 3  6 . 3  18  9 2 2 8 . 2 8 2 16 8 24 . 3 3 3. a c Dadas as frações e , temos que: b d a c a .c a) .  b d b.d a c a d a.d b)   .  b d b c b.c Páginas 24 - 25 1. 3 6  4 3 1    4 6 3 1   24 8 14
  • 15. 2. 1 1 1 de horas ou, ainda, sabendo-se que de 60 minutos são 5 minutos, 1h05. 12 12 3. R$ 9,60. 4. 2 7   3 8 2 8    3 7 16  21 15
  • 16. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 NÚMEROS NEGATIVOS: DESVENDANDO AS REGRAS DE SINAIS Página 28 1. O cliente tinha R$ 528,00 na conta; deu um cheque de R$ 145,00 e ficou, portanto, com R$ 383,00. Em seguida, ele deu um cheque de valor desconhecido e ficou com saldo de R$ 310,00. Fazendo a conta 383 – 310 = 73, descobre-se que o valor do cheque 346 foi de R$ 73,00 (com sinal negativo). Após o depósito de R$ 295,00 o cliente ficou com 310 + 295 = R$ 605,00. Após efetuar um saque de valor desconhecido, seu saldo parcial de R$ 605,00 ficou negativo em R$ 420,00, o que significa que o saque foi suficiente para esgotar os R$ 605,00 e ainda deixar negativa a conta em R$ 420,00. Segue, portanto, que o valor do saque foi de: 605 + 420 = = R$ 1 025,00. Esse valor (com sinal negativo) corresponde ao que deve ser colocado no segundo espaço borrado do extrato. 2. A análise desse extrato deve começar de baixo para cima, a partir do saldo negativo de R$ 250,00. Um depósito de R$ 560,00 e um cheque de R$ 380,00 equivalem a uma operação de saldo positivo de R$ 180,00. A pergunta que nos cabe responder agora é: qual é o saldo que, com um acréscimo de R$ 180,00 deixe como saldo final –R$ 250,00? Certamente o saldo inicial era negativo em um valor que, quando somado com R$ 180,00 resulta –R$ 250,00. O valor procurado é negativo e pode ser obtido através da conta 180 + 250 = R$ 430,00. Segue, portanto, que o primeiro valor borrado é –R$ 430,00. Partindo agora de um saldo negativo de R$ 250,00, o banco devolveu R$ 400,00 para o cliente por meio de uma correção, e o cliente deu um cheque de R$ 320,00, o que perfaz um saldo parcial de: –250 –(–400) – 320 = –R$ 170,00. Como o saldo final do cliente é negativo em R$ 80,00, segue que o depósito feito foi suficiente para reduzir seu saldo parcial negativo de R$ 170,00 para um saldo 16
  • 17. negativo de R$ 80,00. Fazendo a conta 170 – 80 = 90, descobrimos que o depósito indicado no segundo espaço borrado foi de R$ 90,00. Páginas 29 - 31 1. a) –R$ 2 200,00 (vale comentar com os alunos que podemos nos referir ao valor negativo como “lucro negativo de R$ 2 200,00”, ou como “prejuízo de R$ 2 200,00”. b) (2 200) ÷ 8 = R$ 275,00. c) 2 200  12 000 = 14 200 (se o lucro em janeiro fosse zero, o saldo nos 8 meses seria negativo em R$ 14 200,00). Queremos um lucro em janeiro que liquide o saldo negativo total de R$ 14 200,00, e que ainda deixe um lucro positivo no período de R$ 1 500,00, ou seja, o valor procurado é 14 200 + 1 500 = R$ 15 700,00. 2. Partida 1: –1 Partida 2: 3 Partida 3: – 2 Partida 4: – 2 Partida 5: 1 Partida 6: – 2 Partida 7: 0 Partida 8: – 3 Partida 9: 1 Partida 10: – 3 Saldo geral: – 8 gols Páginas 32 - 35 1. a) Mantém-se constante. 17
  • 18. b) Está diminuindo em uma unidade. c) O produto está aumentando em 3 unidades de uma linha para a seguinte (de cima para baixo na tabela). d) –1.(–3) = 3 2. Se os segmentos são paralelos, os lados dos triângulos formados pelos segmentos e a P pelos eixos são proporcionais. Chamando de P o ponto verde, temos que:  . 1 b Multiplicando-se os dois membros da igualdade por (–b) concluímos que: P = (–a).(–b). Esse resultado sugere (–3).(–2) = 6 3. “Retirar uma torneira de vazão –1 L/min”  – (–1) “Acrescentar uma torneira de vazão 1 L/min”  +1 Portanto, segue –(–1) = 1. 4. a) 1,05 b) 3 5 c) 3 1 d)  10 18
  • 19. Páginas 36 - 38 1. a) –6 b) –34 c) –7,5 d) –5 e) –10 5 f) 2 7 g)  6 21 h)  5 AJUSTES Caderno do Professor de Matemática – 6ª série/7º ano – Volume 1 Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada página. 19
  • 20. 4 3 3 calcular “ de ”. Compreendidos esses das colunas marcadas em pelas linhas 5 4 4 4 aspectos de linguagem, veremos agora como marcadas em , ou seja, pelo numerador da 5 justificar um algoritmo para o produto de primeira fração e o numerador da segunda. frações por meio de argumentos geométricos Raciocínio análogo justifica o denominador da fração resultante, 20, obtido do produ- e, para isso, usaremos como exemplo o pro- 3 4 to de 4 por 5. A prática de situações seme- duto ∙ . lhantes a essa favorece a compreensão do 4 5 Utilizaremos retângulos para represen- algoritmo do produto de frações e deve ser tar a unidade e, em seguida, os dividiremos trabalhada, mesmo sabendo-se que o objeti- em 4 partes iguais (marcando 3) e em 5 par- vo final ao longo do ano seja a mecanização 3 4 de procedimentos de cálculo sem o recurso tes iguais (marcando 4). Se queremos ∙ , 4 5 das barrinhas. É importante ainda destacar então estamos interessados em encontrar que essa forma de abordagem também pode 3 4 4 “ de ”, ou seja, devemos pegar da re- ser feita com frações impróprias, bastando 4 5 5 3 para isso iniciar o problema separando a par- presentação correspondente aos , o que pode 4 te inteira da parte não inteira. Por exemplo, a ser obtido por uma intersecção, como mostra a 7 fração , que corresponde a 2 inteiros mais sequência de figuras: 3 1 , pode ser representada por dois retângu- 3 1 los inteiros mais de outro retângulo. Com 3 essa representação, basta repetir os procedi- mentos descritos anteriormente que pode- 7 remos indicar o produto da fração por . 3 outra fração com o uso de figuras. Também no que diz respeito à divisão de frações, muitas estratégias podem ser uti- lizadas. Apresentaremos na sequência um problema que favorece a utilização de ar- gumentos geométricos para a compreensão do algoritmo. 2 Na contagem final de quadradinhos para Problema: Se de uma lata de tinta dão 3 representar a fração resultante da operação, 3 para pintar de uma parede, que fração da 12 4 , o numerador 12 foi obtido do produto parede conseguirei pintar com 1 lata de tinta? 20 32 MAT_CP_6a_vol1_FINAL.indd 32 4/16/09 4:35:29 PM
  • 21. Matemática – 6ª série, 1o bimestre - 3. O gráfico indica o lucro mensal da sorve- 4. O gráfico indica o número de gols que teria Ki-Fria ao longo dos oito primeiros um time fez e sofreu em dez partidas meses de um ano. Analise o gráfico e res- do Campeonato Brasileiro de Futebol. ponda as perguntas abaixo. Calcule o saldo de gols desse time por parti- da, e o saldo geral de gols nas dez partidas. Lucro da sorveteria Ki-Fria 13 400 15 000 Gols Pró Gols Contra 12 000 7 500 6 10 000 5 000 4 000 5 2 400 Junho Julho Agosto 0 4 Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Gols –5 000 3 –7 000 –10 000 2 –15 000 –16 500 1 –20 000 –18 000 0 a) Qual o lucro total da Ki-Fria nos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 oito meses? Partida 1: −1 Partida 2: 3 Partida 3: −2 –R$ 2 200,00 (vale comentar com os alu- Partida 4: −2 Partida 5: 1 Partida 6: −2 nos que podemos nos referir ao valor nega- Partida 7: 0 Partida 8: –3 Partida 9: 1 tivo como “lucro negativo de R$ 2 200,00”, Partida 10: –3 ou como “prejuízo de R$ 2 200,00”. Saldo geral: –8 gols b) Qual o lucro médio mensal da sorve- Quanto à multiplicação e à divisão de nú- teria no período analisado? meros com sinais, caberá aqui uma análise (−2200) ÷ 8 = −R$ 275,00. mais detalhada e, de preferência, com o uso c) Sabe-se que o lucro de janeiro foi pu- de abordagens diversificadas. Nós nos detere- blicado errado e que com a correção mos em apresentar apenas algumas propostas o lucro nos oito meses analisados para a discussão sobre o “produto de números passa a ser de R$ 1 500,00. Determine negativos” tendo como resultado “um número qual seria o lucro correto de janeiro positivo”, porque a divisão decorre natural- após a correção. mente desse resultado, levando-se em conside- ração que toda divisão pode ser transformada −2 200 − 12 000 = −14 200 (se o lucro em em uma multiplicação, como se pode observar janeiro fosse zero, o saldo nos oito meses nos exemplos a seguir: seria negativo em R$ 14 200,00). Queremos um lucro em janeiro que liquide o saldo 1 3 ÷ 2 = 3 . 0,5 ou 3 . negativo total de R$ 14 200,00 e que ain- 2 da deixe um lucro positivo no período de 1 R$ 1 500,00, ou seja, o valor procurado 5 ÷ 6 = 5 . 0,16 ou 5 . 6 é 14 200 + 1 500 = R$ 15 700,00. 39
  • 22. Discutiremos três estratégias diferentes y para a discussão sobre a regra de sinais na multiplicação de números negativos e, em se- 1 P guida, apresentaremos uma proposta lúdica x -a 0 para a fixação de ideias relacionadas às ope- rações e à ordenação de números com sinais. -b 1ª estratégia: regularidades - Se os segmentos são paralelos, os lados dos triângulos formados pelos segmentos e Investigando regularidades na sequência a seguir o aluno deve perceber que: pelos eixos são proporcionais. Chamando de –a P . P o ponto verde, temos que: = Multi- a) estamos diminuindo sempre uma unida- 1 –b    de no primeiro fator da multiplicação; plicando-se os dois membros da igualdade por (–b), concluímos que P = (–a) . (–b). b) estamos mantendo constante o segun- do fator da multiplicação; Esse resultado sugere que (–3) . ( –2)= 6. c) o produto aumenta sempre 3 unidades. y Com isso, espera-se que ele preencha a lacu- 1 (–3) . (–2) = 6 na e possa concluir que multiplicar dois núme- x ros negativos resulta em um número positivo. –3 0 –2 4 . (–3) = –12 3 . (–3) = –9 2 . (–3) = – 6 3ª estratégia: busca de contexto - 1 . (–3) = –3 0 . (–3) = 0 –1 . (–3) = Imagine um tanque que possa ser esvaziado por torneira de vazão –1 litro por minuto (o si- nal de menos indica que o líquido é retirado do 2ª estratégia: plano cartesiano e - tanque) e enchido por torneiras de vazão 1 litro proporcionalidade8 por minuto. Se podemos livremente colocar nes- 1. Admita que os segmentos indicados em se tanque qualquer quantidade dessas torneiras, vermelho sejam paralelos. Determine a fica evidente que, para efeito de manutenção do localização do ponto marcado em ver- fluxo de água no tanque, “retirar uma torneira de de e, em seguida, repita o procedimento vazão –1 l/min” é equivalente a “acrescentar uma mostrando que –3 . (–2) = 6. torneira de vazão 1 l/min”. 8 A situação descrita nesta atividade necessita de dois pré-requisitos de conteúdo: conhecimento sobre o plano ordenado e a localização de pontos, e conhecimento sobre proporcionalidade. Ambos são temas da 6a série que, se já tiverem sido discutidos pelo professor, possibilitarão o uso dessa estratégia. Vale lembrar também que, para o uso dessa estratégia, o professor terá de estabelecer a proporcionalidade não com a ideia de “distância” (valor positivo), mas sim com a de segmento orientado, em que o sinal deve ser levado em consideração. 40
  • 23. Matemática – 6ª série, 1o bimestre - Utilizando a linguagem numérica, teremos: que –1 . (–1) = 1, e da ideia de que – (–1) = 1, “retirar uma torneira de vazão essa apresentação também tem a vantagem de –1 l/min” ⇒ –(–1) constituir uma reformulação numérica da de- monstração formal de que (–a) . (–b) = a . b, “acrescentar uma torneira de vazão encontrada em muitos livros. 1 l/min” ⇒ +1 Como dissemos anteriormente, a regra de Portanto, segue que –(–1) = 1. sinais da divisão de números negativos sai au- O fluxo de zero torneira de vazão –1, que tomaticamente da regra de sinais do produto é igual a zero, pode ser indicado da seguinte porque toda divisão pode ser convertida em maneira: 0 . (–1) = 0. multiplicação. Por exemplo, sabemos que Uma vez que podemos interpretar zero –12 ÷ (–4) = 3 porque –12 ÷ (–4) é equivalente torneira como colocar e retirar uma torneira, a –12 . (–0,25), cujo resultado é 3 (trata-se de podemos representar a nova expressão por: um produto de números negativos). (1–1) . (–1) = 0. Na 6ª série, além de ampliar seus conhe- - Utilizando a propriedade distributiva no cimentos numéricos, o aluno aprende uma produto, sabemos que a expressão é equiva- série de novas representações de números e lente a: 1 . (–1) –1 . (–1) = 0. operações numéricas. Em particular, as fra- ções negativas são responsáveis por algumas Uma vez que 1 . (–1) é igual a “um nega- confusões por unirem duas novas linguagens tivo”9 e sabendo-se que o resultado da conta trabalhadas na série, a das frações e a dos nú- que está do lado esquerdo do sinal de igual meros negativos. tem de ser zero, então, necessariamente –1 . (–1) a tem de ser igual a 1: Assim, mostrar a equivalência entre – , –a a b e torna-se necessário e é uma interes- b –b 1 . (–1) – 1 . (–1) = 0 sante oportunidade para retomar a ideia de –1 fração como representação do resultado de uma divisão, e das regras de sinais nas opera- Como 1 . (–1) é igual a –1, então, –1 ções com inteiros. Observe como isso pode ser (–1) tem que ser o simétrico de –1 feito em termos numéricos: para que a igualdade seja nula. Ocorre que o simétrico de –1, que pode ser 12 12 −12 −12 12 12 − = −(12 ÷(12= −3 = −3 − = − 4) ÷ 4) = −12 ÷ 412 ÷3 = −3 =− =−4 = 12 ÷ representado por –1 . (–1) é 1. 4 4 4 4 −4 −4 12 −12 12 − = −(12 ÷ 4) = −3 = −12 ÷ 4 = −3 = 12 ÷ (−4) = −3 Além de contextualizar o produto4de nú- 4 −4 meros negativos por meio da verificação de 9 A contextualização do produto de positivo por negativo foi citada no início da atividade. 41