1) O documento apresenta a resolução de 5 questões sobre medidas de dispersão, incluindo desvio médio, desvio padrão e variância.
2) As resoluções seguem os passos de calcular a média, construir o conjunto de desvios e aplicar as fórmulas corretas.
3) Os valores de resposta variam entre 2,4 e 11,6 de acordo com os conjuntos de dados e medidas de dispersão especificadas em cada questão.
Este documento apresenta um resumo de algumas questões de estatística respondidas pelo professor Sérgio Carvalho em uma aula online. O professor se desculpa por não poder apresentar o conteúdo completo da aula devido a problemas pessoais e promete repor o conteúdo posteriormente. Em seguida, ele responde brevemente 8 questões dos alunos sobre tópicos como média, mediana e moda.
1) O documento é parte de uma aula de estatística sobre média salarial.
2) A aula discute como calcular a média salarial após um aumento de 10% nos salários.
3) A conclusão é que a nova média salarial será a média anterior multiplicada por 1,10, que é 99.000 reais.
O documento apresenta a resolução de três questões de estatística. Na primeira questão, o professor calcula a frequência populacional de salários inferiores a R$7.000 na população da empresa, encontrando o valor de 180. Na segunda questão, ele estima a frequência relativa de observações menores que 145, encontrando o valor de 62,5%. Na terceira questão, ele calcula o número de indivíduos na população com valores entre 50,5 e 95,5, encontrando o valor de 7.
Exercícios de Aprendizagem - Velocidade média e escalar média.UFPB
O documento apresenta 7 exercícios de aprendizagem sobre cálculo de velocidade escalar média. Os exercícios envolvem o cálculo da velocidade de objetos, pessoas e veículos que percorrem determinadas distâncias em intervalos de tempo dados, expressando os resultados em unidades como m/s e km/h.
Gabarito das atividades para o 2 ano em Espelhos PlanosRose Figueiredo
Este documento contém 22 questões sobre propriedades de espelhos planos, incluindo ângulos de incidência e reflexão, localização e tipo de imagens formadas por espelhos. As questões abordam tópicos como número de imagens formadas por dois espelhos em ângulos diferentes e localização da imagem de um passarinho vista através de um periscópio com dois espelhos.
1) O documento discute conceitos básicos de funções matemáticas, incluindo domínio, imagem, composição e função inversa.
2) Apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos, como determinar se uma relação é uma função, calcular imagem e composição de funções.
3) Explica como determinar a função inversa de uma função bijetora, trocando a variável independente pela dependente e isolando-a.
Estatística, Medidas descritivas para as distribuições de frequêncianelsonpoer
1. O documento apresenta exercícios sobre medidas descritivas para distribuições de frequência e medidas de posição. Inclui cálculos de média aritmética para diferentes séries de dados.
2. São fornecidos exemplos de cálculo de média para distribuições de frequência já agrupadas em classes, utilizando a fórmula da média ponderada.
3. O documento mostra como calcular a média de uma amostra de dados pelo processo abreviado, agrupando os valores em classes e determinando a média geométrica para sé
Este documento apresenta um resumo de algumas questões de estatística respondidas pelo professor Sérgio Carvalho em uma aula online. O professor se desculpa por não poder apresentar o conteúdo completo da aula devido a problemas pessoais e promete repor o conteúdo posteriormente. Em seguida, ele responde brevemente 8 questões dos alunos sobre tópicos como média, mediana e moda.
1) O documento é parte de uma aula de estatística sobre média salarial.
2) A aula discute como calcular a média salarial após um aumento de 10% nos salários.
3) A conclusão é que a nova média salarial será a média anterior multiplicada por 1,10, que é 99.000 reais.
O documento apresenta a resolução de três questões de estatística. Na primeira questão, o professor calcula a frequência populacional de salários inferiores a R$7.000 na população da empresa, encontrando o valor de 180. Na segunda questão, ele estima a frequência relativa de observações menores que 145, encontrando o valor de 62,5%. Na terceira questão, ele calcula o número de indivíduos na população com valores entre 50,5 e 95,5, encontrando o valor de 7.
Exercícios de Aprendizagem - Velocidade média e escalar média.UFPB
O documento apresenta 7 exercícios de aprendizagem sobre cálculo de velocidade escalar média. Os exercícios envolvem o cálculo da velocidade de objetos, pessoas e veículos que percorrem determinadas distâncias em intervalos de tempo dados, expressando os resultados em unidades como m/s e km/h.
Gabarito das atividades para o 2 ano em Espelhos PlanosRose Figueiredo
Este documento contém 22 questões sobre propriedades de espelhos planos, incluindo ângulos de incidência e reflexão, localização e tipo de imagens formadas por espelhos. As questões abordam tópicos como número de imagens formadas por dois espelhos em ângulos diferentes e localização da imagem de um passarinho vista através de um periscópio com dois espelhos.
1) O documento discute conceitos básicos de funções matemáticas, incluindo domínio, imagem, composição e função inversa.
2) Apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos, como determinar se uma relação é uma função, calcular imagem e composição de funções.
3) Explica como determinar a função inversa de uma função bijetora, trocando a variável independente pela dependente e isolando-a.
Estatística, Medidas descritivas para as distribuições de frequêncianelsonpoer
1. O documento apresenta exercícios sobre medidas descritivas para distribuições de frequência e medidas de posição. Inclui cálculos de média aritmética para diferentes séries de dados.
2. São fornecidos exemplos de cálculo de média para distribuições de frequência já agrupadas em classes, utilizando a fórmula da média ponderada.
3. O documento mostra como calcular a média de uma amostra de dados pelo processo abreviado, agrupando os valores em classes e determinando a média geométrica para sé
Proposições e designações, equivalência, implicação, negação, linguagem corrente e linguagem simbólica, tautologia, tabelas de verdade, quantificadores universal e existencial
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidostrigono_metria
(1) O documento apresenta exemplos resolvidos de fatoração algébrica, incluindo fatoração de trinômios quadrados perfeitos, diferenças de quadrados, trinômios de Stevin e diferenças de cubos.
(2) É dada uma observação importante sobre o uso do sinal de identidade ao invés de igualdade em casos de fatoração e produtos notáveis.
(3) Exercícios propostos de fatoração algébrica são divididos em sete categorias e uma resposta é solicitada.
O documento apresenta uma aula sobre contabilidade em exercícios, com questões comentadas e resolvidas. A questão 153 trata de determinar o custo total de fabricação do quarto trimestre para uma produção de 6.500 unidades, utilizando o método maior-menor para classificar custos fixos e variáveis. A questão 154 pede para calcular o valor do passivo circulante da arrendatária após o reconhecimento de um contrato de arrendamento mercantil de 5 anos.
Estatística é a ciência dos dados e envolve coleta, organização, análise e interpretação de dados para tirar conclusões. A estatística descritiva organiza e descreve os dados calculando médias e variâncias, enquanto a estatística indutiva estima parâmetros e testa hipóteses. A amostragem é fundamental para obter os dados de uma população.
As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de retas no espaço, incluindo equações vetoriais, paramétricas e simétricas de retas.
2) Inclui exemplos de como encontrar equações de retas passando por pontos dados e com direções dadas.
3) Também aborda conceitos como retas paralelas, ortogonais, coplanares e sua interseção.
O documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais tópicos incluem provas por contraposição, contradição e indução para validar conjecturas sobre números primos, funções e sequências.
Questões Corrigidas, em Word: Momento de uma Força (Torque) e Equilíbrio de u...Rodrigo Penna
O documento apresenta 10 questões corrigidas sobre momentos e equilíbrio de forças. A primeira questão calcula a distância x para equilibrar uma barra com massas em suas extremidades. A segunda questão calcula a massa m1 necessária para equilibrar uma balança com massas m2 e d2 fixas. A terceira questão analisa as forças exercidas por estacas em um trampolim para manter o equilíbrio.
O documento descreve o que é estatística, explicando que envolve técnicas para coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar dados. A estatística é usada para responder perguntas do mundo real através de dados e informações que levam a decisões. Ela estuda a variabilidade inerente a todas as medidas e observações.
O documento apresenta o jogo Fishbanks, uma simulação de gerenciamento de pesca. O jogo coloca os participantes no papel de empresas pesqueiras que competem entre si explorando três áreas de pesca (porto, águas costeiras e profundas) sujeitas a variações nas populações de peixes e capturas. O objetivo é maximizar o patrimônio líquido no fim do jogo por meio de estratégias de aquisição de barcos, alocação entre áreas e gestão dos custos e receitas da pesca.
1. O documento apresenta exercícios resolvidos sobre estatística descritiva de uma disciplina de probabilidade e estatística. 2. Os exercícios abordam conceitos como população, amostra, estatística descritiva, distribuição de frequência e gráficos. 3. As questões pedem para identificar conceitos, sugerir tipos de amostragem, construir tabelas e gráficos de distribuição de frequência e analisar dados.
Exemplo de cálculo média,moda e mediana com distribuição frequenciaRenato Ribeiro Soares
1) A média aritmética da distribuição é 170.
2) A mediana é 170,44, que está na classe entre 166-174.
3) A moda é 170,96, que corresponde à classe com maior frequência entre 166-174.
O documento explica os passos para resolver problemas usando a regra de três simples, incluindo construir uma tabela comparando valores conhecidos, identificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, e montar uma proporção para determinar o valor desconhecido. Exemplos ilustram como aplicar os passos para calcular energia solar, tempo de viagem, preço de compras, prazo para conclusão de obra e produção de pães.
O documento explica sobre a notação científica, que é uma forma de representar números muito grandes ou pequenos usando potências de 10. Ele descreve como transformar números para esta notação através de deslocar a vírgula e como realizar operações matemáticas com números nesta notação, preservando os expoentes. Também apresenta o Sistema Internacional de Unidades e seus prefixos para expressar quantidades maiores ou menores que as unidades padrão.
O documento fornece 10 exemplos resolvidos de problemas envolvendo taxas relacionadas em 3 etapas: 1) analisar os dados e objetivo, 2) encontrar a função apropriada, 3) substituir valores e encontrar a solução. Os exemplos variam de situações como pipas voando e tanques enchendo a balões inflando e carros se aproximando.
O documento apresenta 30 questões sobre funções matemáticas. As questões abordam conceitos como conjunto domínio e imagem, gráficos de funções, identificação de relações que definem funções e cálculo de valores de funções.
O documento discute correlação, regressão linear e não linear em estatística. Estabelece como medir a força da relação entre variáveis e ajustar modelos de regressão para prever valores com base em dados observados. Inclui exemplos passo a passo de como calcular a correlação e determinar equações de regressão linear, quadrática e exponencial.
O documento define e explica o conceito de progressão aritmética (PA), onde a diferença entre os termos consecutivos é constante. Apresenta a notação para PA e propriedades como o termo geral e a soma dos termos de uma PA finita. Explica como calcular o termo geral, interpolar termos e a soma total de uma PA.
1) A soma dos n primeiros números pares é n(n-1) e a soma dos n primeiros ímpares é n2.
2) A soma dos quadrados dos primeiros n números é n(2n+1)(n+1)/6.
3) A soma dos cubos dos primeiros n números é 1/2n(n+1)2 e a soma de potências crescentes dos primeiros n números tem uma fórmula recursiva.
1) O documento descreve o que são progressões aritméticas e como elas funcionam. Uma progressão aritmética é uma sucessão de números que segue um ritmo definido de acrescer ou decrescer em relação ao número anterior.
2) Para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética, usa-se a fórmula an = a1 + (n - 1)r, onde a1 é o primeiro termo, n é a posição do termo procurado, e r é a razão da progressão.
3) O valor da soma dos n primeiros termos
O documento apresenta 10 exercícios de estatística envolvendo distribuição de frequência, medidas de tendência central, probabilidade e outros conceitos. Os exercícios solicitam o cálculo de medidas como média, mediana, moda, quartis, probabilidades e índices numéricos com base em tabelas de dados sobre pesos de jogadoras, notas de alunos, vendas de produtos, salários e outros.
O documento apresenta orientações metodológicas para o desenvolvimento de um capítulo sobre o Binômio de Newton e probabilidade. O capítulo aborda tópicos como números binomiais, a fórmula de Newton, representação do termo geral do binômio e exercícios complementares. As sugestões incluem definir números binomiais, apresentar propriedades e a relação de Stiffel, desenvolver (x + a)n usando a fórmula de Newton e representar o termo geral.
O documento discute a relação entre juros compostos e o aumento do valor aplicado ao longo do tempo. Conclui-se que uma pessoa que aplicou R$10.000 a 1% ao mês durante 3 meses receberá R$10.303,01 no resgate.
[SUMÁR
Proposições e designações, equivalência, implicação, negação, linguagem corrente e linguagem simbólica, tautologia, tabelas de verdade, quantificadores universal e existencial
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidostrigono_metria
(1) O documento apresenta exemplos resolvidos de fatoração algébrica, incluindo fatoração de trinômios quadrados perfeitos, diferenças de quadrados, trinômios de Stevin e diferenças de cubos.
(2) É dada uma observação importante sobre o uso do sinal de identidade ao invés de igualdade em casos de fatoração e produtos notáveis.
(3) Exercícios propostos de fatoração algébrica são divididos em sete categorias e uma resposta é solicitada.
O documento apresenta uma aula sobre contabilidade em exercícios, com questões comentadas e resolvidas. A questão 153 trata de determinar o custo total de fabricação do quarto trimestre para uma produção de 6.500 unidades, utilizando o método maior-menor para classificar custos fixos e variáveis. A questão 154 pede para calcular o valor do passivo circulante da arrendatária após o reconhecimento de um contrato de arrendamento mercantil de 5 anos.
Estatística é a ciência dos dados e envolve coleta, organização, análise e interpretação de dados para tirar conclusões. A estatística descritiva organiza e descreve os dados calculando médias e variâncias, enquanto a estatística indutiva estima parâmetros e testa hipóteses. A amostragem é fundamental para obter os dados de uma população.
As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de retas no espaço, incluindo equações vetoriais, paramétricas e simétricas de retas.
2) Inclui exemplos de como encontrar equações de retas passando por pontos dados e com direções dadas.
3) Também aborda conceitos como retas paralelas, ortogonais, coplanares e sua interseção.
O documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais tópicos incluem provas por contraposição, contradição e indução para validar conjecturas sobre números primos, funções e sequências.
Questões Corrigidas, em Word: Momento de uma Força (Torque) e Equilíbrio de u...Rodrigo Penna
O documento apresenta 10 questões corrigidas sobre momentos e equilíbrio de forças. A primeira questão calcula a distância x para equilibrar uma barra com massas em suas extremidades. A segunda questão calcula a massa m1 necessária para equilibrar uma balança com massas m2 e d2 fixas. A terceira questão analisa as forças exercidas por estacas em um trampolim para manter o equilíbrio.
O documento descreve o que é estatística, explicando que envolve técnicas para coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar dados. A estatística é usada para responder perguntas do mundo real através de dados e informações que levam a decisões. Ela estuda a variabilidade inerente a todas as medidas e observações.
O documento apresenta o jogo Fishbanks, uma simulação de gerenciamento de pesca. O jogo coloca os participantes no papel de empresas pesqueiras que competem entre si explorando três áreas de pesca (porto, águas costeiras e profundas) sujeitas a variações nas populações de peixes e capturas. O objetivo é maximizar o patrimônio líquido no fim do jogo por meio de estratégias de aquisição de barcos, alocação entre áreas e gestão dos custos e receitas da pesca.
1. O documento apresenta exercícios resolvidos sobre estatística descritiva de uma disciplina de probabilidade e estatística. 2. Os exercícios abordam conceitos como população, amostra, estatística descritiva, distribuição de frequência e gráficos. 3. As questões pedem para identificar conceitos, sugerir tipos de amostragem, construir tabelas e gráficos de distribuição de frequência e analisar dados.
Exemplo de cálculo média,moda e mediana com distribuição frequenciaRenato Ribeiro Soares
1) A média aritmética da distribuição é 170.
2) A mediana é 170,44, que está na classe entre 166-174.
3) A moda é 170,96, que corresponde à classe com maior frequência entre 166-174.
O documento explica os passos para resolver problemas usando a regra de três simples, incluindo construir uma tabela comparando valores conhecidos, identificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, e montar uma proporção para determinar o valor desconhecido. Exemplos ilustram como aplicar os passos para calcular energia solar, tempo de viagem, preço de compras, prazo para conclusão de obra e produção de pães.
O documento explica sobre a notação científica, que é uma forma de representar números muito grandes ou pequenos usando potências de 10. Ele descreve como transformar números para esta notação através de deslocar a vírgula e como realizar operações matemáticas com números nesta notação, preservando os expoentes. Também apresenta o Sistema Internacional de Unidades e seus prefixos para expressar quantidades maiores ou menores que as unidades padrão.
O documento fornece 10 exemplos resolvidos de problemas envolvendo taxas relacionadas em 3 etapas: 1) analisar os dados e objetivo, 2) encontrar a função apropriada, 3) substituir valores e encontrar a solução. Os exemplos variam de situações como pipas voando e tanques enchendo a balões inflando e carros se aproximando.
O documento apresenta 30 questões sobre funções matemáticas. As questões abordam conceitos como conjunto domínio e imagem, gráficos de funções, identificação de relações que definem funções e cálculo de valores de funções.
O documento discute correlação, regressão linear e não linear em estatística. Estabelece como medir a força da relação entre variáveis e ajustar modelos de regressão para prever valores com base em dados observados. Inclui exemplos passo a passo de como calcular a correlação e determinar equações de regressão linear, quadrática e exponencial.
O documento define e explica o conceito de progressão aritmética (PA), onde a diferença entre os termos consecutivos é constante. Apresenta a notação para PA e propriedades como o termo geral e a soma dos termos de uma PA finita. Explica como calcular o termo geral, interpolar termos e a soma total de uma PA.
1) A soma dos n primeiros números pares é n(n-1) e a soma dos n primeiros ímpares é n2.
2) A soma dos quadrados dos primeiros n números é n(2n+1)(n+1)/6.
3) A soma dos cubos dos primeiros n números é 1/2n(n+1)2 e a soma de potências crescentes dos primeiros n números tem uma fórmula recursiva.
1) O documento descreve o que são progressões aritméticas e como elas funcionam. Uma progressão aritmética é uma sucessão de números que segue um ritmo definido de acrescer ou decrescer em relação ao número anterior.
2) Para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética, usa-se a fórmula an = a1 + (n - 1)r, onde a1 é o primeiro termo, n é a posição do termo procurado, e r é a razão da progressão.
3) O valor da soma dos n primeiros termos
O documento apresenta 10 exercícios de estatística envolvendo distribuição de frequência, medidas de tendência central, probabilidade e outros conceitos. Os exercícios solicitam o cálculo de medidas como média, mediana, moda, quartis, probabilidades e índices numéricos com base em tabelas de dados sobre pesos de jogadoras, notas de alunos, vendas de produtos, salários e outros.
O documento apresenta orientações metodológicas para o desenvolvimento de um capítulo sobre o Binômio de Newton e probabilidade. O capítulo aborda tópicos como números binomiais, a fórmula de Newton, representação do termo geral do binômio e exercícios complementares. As sugestões incluem definir números binomiais, apresentar propriedades e a relação de Stiffel, desenvolver (x + a)n usando a fórmula de Newton e representar o termo geral.
O documento discute a relação entre juros compostos e o aumento do valor aplicado ao longo do tempo. Conclui-se que uma pessoa que aplicou R$10.000 a 1% ao mês durante 3 meses receberá R$10.303,01 no resgate.
[SUMÁR
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
O documento descreve o binômio de Newton, definindo-o como um binômio da forma (a + b)n, onde n é um número natural. Ele apresenta exemplos do desenvolvimento de binômios para diferentes valores de n, mostrando a fórmula para o termo genérico e regras para calcular os coeficientes. Exercícios resolvidos ilustram como aplicar essas noções para encontrar termos específicos ou propriedades do desenvolvimento.
O documento discute conceitos estatísticos como:
1) Índices e notação por índices para representar valores de variáveis;
2) Notação de somatório para representar a soma de valores;
3) Médias como medidas de tendência central de distribuições de dados.
Este documento apresenta 3 problemas de raciocínio quantitativo resolvidos. O primeiro problema envolve uma regra de três composta para calcular quantos dias seriam necessários para montar 500 veículos trabalhando 10 horas por dia. O segundo problema trata de áreas de triângulos eqüiláteros. O terceiro problema calcula uma porcentagem sobre o preço de custo.
O documento explica como resolver equações de 2o grau através do método de completar os quadrados e apresenta a fórmula de Bhaskara. Aplica os métodos para resolver exemplos como encontrar as raízes de X2 -14x + 13 =0 e -6m2 + 12m = 0.
Este documento apresenta uma prova-modelo de exame de Matemática A do 12o ano. Inclui dois cadernos com itens de escolha múltipla e resposta aberta sobre vários tópicos de Matemática, como probabilidades, trigonometria, limites e derivadas. Fornece também um formulário com fórmulas úteis para a resolução dos problemas.
O documento apresenta a resolução de seis questões de concursos públicos. A primeira questão trata de uma progressão aritmética e a soma dos dez primeiros termos. A segunda questão calcula a hora em que um computador foi ligado anteriormente com base no tempo total de uso. A terceira questão calcula a probabilidade de selecionar uma bola branca após transferir bolas entre duas urnas.
1. Um documento sobre raciocínio quantitativo contém 12 questões de múltipla escolha sobre diferentes tópicos matemáticos como regra de três, porcentagem, sistemas de equações e probabilidade.
2. As questões são resolvidas passo a passo com explicações detalhadas das soluções.
3. O documento fornece exemplos resolvidos de diferentes tipos de problemas matemáticos para auxiliar no aprendizado de conceitos.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre funções quadráticas, incluindo: (1) como identificar os coeficientes a, b e c; (2) como determinar os zeros ou raízes; (3) como determinar o vértice. Exemplos são fornecidos para ilustrar cada conceito.
1) O documento discute funções polinomiais do primeiro grau, também chamadas de funções afins. Apresenta exemplos, gráficos, zeros, crescimento, decrescimento e sinal de funções afins.
2) Aborda tipos particulares de funções afins como funções lineares, identidade e constantes.
3) Propõe exercícios sobre funções afins para identificar sua lei, representar graficamente, calcular zeros e raízes, estudar sinal e analisar variação.
Este documento apresenta resoluções de questões de matemática, probabilidade e estatística, com explicações detalhadas dos raciocínios e cálculos envolvidos.
O capítulo apresenta 12 questões de matemática resolvidas, incluindo cálculos com somas, fatoriais e equações. As questões subsequentes (13 a 21) também tratam de tópicos matemáticos como relações entre classes e solução de equações.
A aula aborda três tópicos principais: 1) a propriedade visual do desvio padrão, que mostra que 68%, 95% e 99% dos elementos de um conjunto estão dentro de 1, 2 e 3 desvios padrão da média, respectivamente; 2) o Teorema de Tchebychev, que relaciona a média, desvio padrão e proporções máxima e mínima de elementos fora e dentro de um intervalo; 3) a variância relativa, definida como o quadrado do coeficiente de variação.
Este documento apresenta a resolução de questões de matemática de uma prova da Petrobrás realizada pelo CESGRANRIO em 2017. São resolvidas sete questões que envolvem lógica, probabilidade, geometria e álgebra. O professor Arthur Lima explica detalhadamente cada passo para chegar à resposta correta de cada questão.
1. O documento contém 15 problemas de matemática envolvendo conjuntos numéricos, divisibilidade, porcentagem, restos de divisão e geratrizes de dízimas.
2. As respostas incluem determinar valores para que dois conjuntos sejam iguais, obter conjuntos de valores inteiros satisfazendo certas condições, e calcular quantidades relacionadas a porcentagens e restos de divisão.
3. Muitos problemas envolvem aplicar propriedades dos números inteiros como divisibilidade, decompor em fatores primos, e usar propriedades
O documento descreve as etapas do vestibular da FGV-SP para o curso de Economia, que consiste em duas fases. A primeira fase contém oito provas de múltipla escolha, e a segunda fase contém três provas discursivas. Os candidatos são classificados de acordo com as médias obtidas em cada fase.
Este documento apresenta exemplos de funções quadráticas e explica como identificar os coeficientes a, b e c, além de discutir zeros, vértice e aplicações destas funções.
O documento apresenta exemplos de funções quadráticas e explica como identificar os coeficientes a, b e c nessas funções. Também discute a representação algébrica e gráfica de funções quadráticas e conceitos como vértice, raízes e domínio.
El documento presenta una lista de 34 temas principales para concursos públicos en portugués. La lista incluye temas de ortografía, uso de palabras, verbos, acentuación, crase y puntuación. Cada tema se explica de forma concisa en una o dos oraciones. El documento fue publicado el 8 de marzo de 2008 y fue creado por Terezinha Rego.
Este documento presenta un índice de 38 temas principales para concursos públicos. Los temas incluyen ortografía, uso de palabras, hífen, plural de palabras compuestas, verbos (modos, conjugación, voz pasiva), y acentuación gráfica. El documento proporciona reglas y ejemplos para cada uno de estos temas ortográficos y gramaticales importantes para concursos públicos en portugués.
1) O documento descreve as principais classes de palavras da língua portuguesa.
2) São descritas as classes de substantivos, artigos, adjetivos, advérbios e preposições.
3) Para cada classe são fornecidos exemplos e subclasses como gênero, número, formação etc.
O documento fornece um resumo dos principais tópicos de matemática para escriturários do Banco do Brasil, incluindo números, medidas, proporções, equações, funções, sequências, probabilidade e finanças.
O documento apresenta um sumário de conteúdos sobre língua portuguesa para concurso de escriturário do Banco do Brasil, incluindo interpretação de textos, tipologia textual, paráfrase e resumo, significação de vocábulos, processos coesivos, coordenação e subordinação, classes de palavras e seus empregos, estrutura e formação de palavras, ortografia, pontuação, concordância e regência.
1) O documento descreve a história e o desenvolvimento do Mercosul, incluindo suas etapas de criação desde 1986 até os desafios atuais.
2) Também discute os eventos geopolíticos que precederam os ataques de 11 de setembro de 2001, como a política externa isolacionista dos EUA e ataques terroristas anteriores.
3) Por fim, apresenta brevemente a Guerra do Vietnã e sua influência na política externa dos EUA.
O documento descreve as principais características do Sistema Financeiro Nacional brasileiro, incluindo sua estrutura e evolução histórica, assim como as funções do Conselho Monetário Nacional, Banco Central do Brasil e Comissão de Valores Mobiliários.
Este texto descreve detalhadamente uma pessoa de forma muito visual, destacando suas características físicas como cabelo, olhos, lábios, nariz, voz e mãos. A descrição é feita de maneira a criar uma imagem vívida da pessoa retratada por meio de detalhes perceptíveis aos sentidos.
O documento apresenta um conjunto de exercícios resolvidos de raciocínio lógico ministrados pelo professor Vilson Cortez. O primeiro exercício é resolvido em detalhes como exemplo e as alternativas são analisadas logicamente. Os demais exercícios contém apenas a resolução lógica para encontrar a alternativa correta.
1) A aula tratará sobre diagramas lógicos ao invés de associação lógica, apenas trocando a ordem dos assuntos.
2) Será colocada uma síntese dos métodos de diagramas lógicos no fórum do curso.
3) Iniciará resolvendo o dever de casa pendente da aula passada sobre questões lógicas.
Raciocínio lógico aula 5-6 - estruturas lógicas 2J M
O documento apresenta a resolução de um dever de casa sobre estruturas lógicas. A resolução é feita em dois passos: 1) considerar as premissas como verdadeiras e descobrir o valor lógico de cada proposição simples usando tabelas-verdade; 2) analisar as opções de resposta à luz dos valores lógicos obtidos no primeiro passo.
Raciocínio lógico aula 3-6 - lógica de argumentaçaoJ M
O documento discute lógica de argumentação e corrige erros em tabelas verdades de aulas anteriores. Resolve questões de um dever de casa sobre representações lógicas de sentenças e equivalências proposicionais.
Raciocínio lógico aula 1-6 - conceitos iniciais 1J M
1) O documento apresenta os conceitos básicos de lógica, incluindo proposições, valores lógicos verdadeiro e falso, e conectivos lógicos.
2) Os principais conectivos lógicos discutidos são "e" (conjunção), onde uma proposição composta é verdadeira se todas as partes forem verdadeiras, e "ou" (disjunção), onde uma proposição composta é falsa apenas se ambas as partes forem falsas.
3) Também é introduzido o conectivo "ou...ou" para dis
Raciocínio lógico aula 0-6 - orientaçoes iniciais - questoes sem gabaritoJ M
O documento apresenta as orientações iniciais para um curso online de raciocínio lógico. O curso será dividido em módulos abordando conceitos como proposições, tabelas-verdade, estruturas lógicas e questões de associação. O objetivo é preparar os alunos para as provas de raciocínio lógico presentes em diversos concursos públicos.
1) O documento apresenta um concurso público para os cargos de consultor legislativo e consultor de orçamentos no Senado Federal, com instruções sobre a aplicação das provas objetivas da primeira etapa.
2) Entre as instruções, destacam-se a duração da prova, a proibição de uso de materiais de consulta não fornecidos e as consequências de desobedecer às determinações.
3) O cronograma inclui a divulgação dos gabaritos preliminares, o recebimento de recursos e a data prevista para o resultado
Ministério público (12 anos de provas em concurso)J M
O documento resume 12 anos de questões de provas de concursos para ingresso na carreira do Ministério Público, abrangendo 1372 questões de diversas matérias do direito. Inclui também 103 questões discursivas, 22 temas para dissertação e 22 peças práticas. O objetivo é servir de estudo para candidatos a concursos e para o magistério.
Este documento apresenta a resolução de uma prova de matemática aplicada para concurso público do primeiro grau da Universidade de Brasília (UnB). A prova contém 15 questões sobre porcentagem, juros, conversão de unidades, proporcionalidade e outras operações matemáticas. As respostas estão no final do documento.
O manual fornece informações sobre como elaborar um currículo eficaz, se preparar para entrevistas de emprego e encontrar novas oportunidades. Ele inclui seções sobre como criar um currículo atraente, se destacar nas entrevistas e testes, e utilizar sua rede de contatos para apoio na busca por emprego.
A apostila apresenta os conceitos básicos de estatística para concursos públicos. O documento discute definições importantes como população, amostra, variável, experimento, variáveis aleatórias e as principais partes da estatística. Além disso, aborda a natureza dos dados, os níveis de mensuração e a estatística descritiva, com foco em tabulação. O autor é Luciano Barbosa da Silva e a apostila é destinada aos estudos para o concurso da ESAF.
Direito constitucional provas receita federal - 130 quesJ M
1. O documento contém 20 questões sobre direito constitucional brasileiro, incluindo questões sobre hierarquia das normas, controle de constitucionalidade, organização do poder público, direitos e garantias fundamentais.
2. As questões abordam tópicos como competências legislativas da União e Estados, regime de intervenção federal, organização e funcionamento do Congresso Nacional, competências do Presidente da República e sucessão presidencial.
3. São listadas algumas assertivas sobre cada questão para que o candidato assinale a resposta correta de acordo com o
Direito constitucional provas receita federal - 130 ques
Estatistica regular 9
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PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
AULA 09 – MEDIDAS DE DISPERSÃO – PARTE 3
Olá, amigos!
Hoje é o dia de resolvermos todas as questões pendentes de Medidas de Dispersão! Por
meio destas resoluções, veremos como o assunto costuma ser cobrado em prova! Ok? Espero
que todos já tenham ao menos tentado resolvê-las! Vamos lá!
Dever de Casa
01. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o
valor do desvio médio é:
a) 2,1 d) 2,8
b) 2,4 e) 3,1
c) 2,6
Sol.: Quando a questão fala em desvio médio, está, na verdade, falando em Desvio Médio
Absoluto, ou em Desvio Absoluto Médio. Vimos que estes nomes são todos sinônimos!
Começaremos por onde? Pela fórmula! É sempre assim: a fórmula é o ponto de partida
da resolução!
Uma vez que nosso conjunto é representado por um rol, teremos que:
DAM para ROL: DAM =
∑ Xi − X
n
Assim, olhando para o numerador, vemos que a Média ( X ) ainda não é nossa conhecida!
Vamos, pois, calcular a Média. Teremos:
X=
∑ Xi = (3 + 5 + 7 + 9 + 11) = 35 = 7
n 5 5
Agora, ainda de olho no numerador, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos:
(Xi- X )={(3-7), (5-7), (7-7), (9-7), (11-7)} = {-4, -2, 0, 2, 4}
Ocorre que a fórmula não pede apenas (Xi- X ). Ela pede o módulo de (Xi- X ).
Assim, teremos:
(Xi- X ) ={4, 2, 0, 2, 4}
E a soma destes elementos será:
∑ Xi − X = (4 + 2 + 0 + 2 + 4) = 12
Com isso, chegamos ao numerador da fórmula do Desvio Absoluto Médio! E quanto ao
denominador? O que significa esse n? Ora, significa número de elementos do conjunto! E
quantos são? São 5. Assim, concluindo a resolução, diremos que:
DAM=12/5 DAM=2,4 Resposta!
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02. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) O desvio padrão do conjunto de dados A={2,
4, 6, 8, 10} é, aproximadamente:
a) 2,1 b) 2,4 c) 2,8 d) 3,2 e) 3,6
Sol.: Este enunciado fala agora em Desvio Padrão! Uma vez que nosso conjunto é um rol, e
que não foi dito em momento algum que se tratava de uma amostra, calcularemos o S da
seguinte forma:
∑ (Xi − X )
2
Desvio Padrão Populacional para Rol: S =
n
O primeiro passo será descobrir o valor da Média do conjunto. Teremos:
X=
∑ Xi = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) = 30 = 6
n 5 5
Agora, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos:
(Xi- X )={(2-6), (4-6), (6-6), (8-6), (10-6)} = {-4, -2, 0, 2, 4}
O numerador da fórmula pede que nós encontremos agora o conjunto dos quadrados de
(Xi- X ). Fazendo isso, teremos:
(Xi- X )2={(-4)2, (-2)2, (0)2, (2)2, (4)2} = {16, 4, 0, 4, 16}
Continuando a análise do numerador, teremos agora que somar os elementos do
conjunto construído acima. Teremos:
∑ (Xi − X ) = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) = 40
2
Este é o nosso numerador! E o denominador é n (número de elementos do conjunto).
Assim, teremos, finalmente, que:
∑ (Xi − X )
2
40
S= S= = 8 =2,8 Resposta!
n 5
03. (AFC-94) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma
amostra de dez indivíduos. Os números que representam as ausências ao trabalho
registradas para cada um deles, no último ano, são: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6
e 10. Sendo assim, o valor do desvio padrão desta amostra é:
a) 3 c) 10
b) 9 d) 30
Sol.: Novamente aqui o enunciado quer saber o valor do desvio padrão do rol. Mas,
diferentemente do exemplo anterior, por duas vezes é dito que o conjunto representa uma
amostra. O que significa isso, em termos práticos? Significa que nossa fórmula terá que ser
corrigida, com um acréscimo de menos 1 no denominador. Lembrados? A equação será a
seguinte:
∑ (Xi − X )
2
S=
n −1
O primeiro passo será o cálculo da Média. Teremos:
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X=
(0 + 0 + 0 + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 + 6 + 10) = 30 = 3,0
10 10
Na seqüência, construiremos o conjunto (Xi- X ). Fazendo isso, teremos:
(Xi- X )={(0-3), (0-3), (0-3), (2-3), (2-3), (2-3), (4-3), (4-3), (6-3), (10-3)}
Assim:
(Xi- X )={(-3), (-3), (-3), (-1), (-1), (-1), (1), (1), (3), (7)}
Elevando todo mundo ao quadrado, teremos:
(Xi- X )2={(-3)2, (-3)2, (-3)2, (-1)2, (-1)2, (-1)2, (1)2, (1)2, (3)2, (7)2}
Daí:
(Xi- X )2={9, 9, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 49}
O numerador da fórmula pede que somemos esses elementos. Faremos:
∑ (Xi − X )
2
= (9+9+9+1+1+1+1+1+9+49)=90
O denominador, por sua vez, será (n-1), uma vez que estamos diante de uma amostra.
Assim, sendo que n=10, então (n-1)=9.
Aplicando a fórmula inteira, teremos:
∑ (Xi − X )
2
90
S= S= = 10 Resposta!
n −1 9
Repare apenas que se nos esquecêssemos de pôr o -1 no denominador (por conta da
amostra!), chegaríamos a uma outra opção de resposta, que não seria a correta!
Adiante!
04. (Fiscal de Rendas RJ 2003 FJG) O desvio-padrão populacional dos valores 30,
40 e 50 é igual, aproximadamente, a:
A) 8 B) 8,16 C) 10 D) 10,16
Sol.: Questão semelhante à segunda. O conjunto é uma população e está representado por um
rol. Comecemos pela fórmula. Teremos:
∑ (Xi − X )
2
Desvio Padrão Populacional para Rol: S =
n
Descubramos logo o valor da Média do conjunto. Teremos:
X = ∑ Xi = (30 + 40 + 50) = 120 = 40
n 3 3
Agora, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos:
(Xi- X )={(30-40), (40-40), (50-40)} = {-10, 0, 10}
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O numerador da fórmula pede que nós encontremos agora o conjunto dos quadrados de
(Xi- X ). Fazendo isso, teremos:
(Xi- X )2={(-10)2, (0)2, (10)2} = {100, 0, 100}
Continuando a análise do numerador, teremos agora que somar os elementos do
conjunto construído acima. Teremos:
∑ (Xi − X ) = (100 + 0 + 100) = 200
2
Este é o nosso numerador! E o denominador é n (número de elementos do conjunto).
Assim, teremos, finalmente, que:
∑ (Xi − X )
2
200
S= S= = 66,67 =8,16 Resposta!
n 3
05. (AFC-94) Uma empresa que possui 5 máquinas copiadoras registrou em cada
uma delas no último mês (em 1000 unidades): 20, 23, 25, 27 e 30 cópias,
respectivamente. O valor da variância desta população é:
a) 5 b) 11,6 c) 14,5 d) 25
Sol.: Esta questão pede o cálculo da Variância Populacional de um Rol. Começaremos, como
sempre, pondo a fórmula no papel. É a seguinte:
Fórmula da Variância Populacional para Rol: S 2
=∑
(Xi − X )
2
n
Como primeiro passo, teremos que descobrir a Média do conjunto. Teremos:
X=
∑ Xi = (20 + 23 + 25 + 27 + 30) = 125 = 25
n 5 5
Agora, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos:
(Xi- X )={(20-25), (23-25), (25-25), (27-25), (30-25)} = {-5, -2, 0, 2, 5}
O numerador da fórmula pede que nós encontremos agora o conjunto dos quadrados de
(Xi- X ). Fazendo isso, teremos:
(Xi- X )2={(-5)2, (-2)2, (0)2, (2)2, (5)2} = {25, 4, 0, 4, 25}
Continuando a análise do numerador, teremos agora que somar os elementos do
conjunto construído acima. Teremos:
∑ (Xi − X )
2
= 58
Este é o nosso numerador! E o denominador é n (número de elementos do conjunto).
Assim, teremos, finalmente, que:
∑ (Xi − X )
2
58
S 2
= S 2= =11,6 Resposta!
n 5
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06. (Controlador de arrecadação RJ 2004 FJG ) Os valores de uma amostra de
cinco elementos são: 4, 3, 3, 5 e 5. A variância dessa amostra é de:
A) 4,00 b) 3,00 c) 2,33 d) 1,00
Sol.: A questão agora pede o cálculo da Variância Amostral. Ou seja, nosso conjunto agora
representa não mais a população, e sim apenas uma amostra! Isso influencia nossas contas,
como já sabemos! O denominador da fórmula terá que receber o menos 1. Assim:
Fórmula da Variância Amostral para Rol: S 2
=∑
(Xi − X )2
n −1
Antes de mais nada, convém que coloquemos esses elementos em ordem crescente, para
que se configure realmente o rol. Teremos:
(3, 3, 4, 5, 5)
Agora, sim! Na seqüência, descobriremos a Média do conjunto. Teremos:
X=
∑ Xi = (3 + 3 + 4 + 5 + 5) = 20 = 4,0
n 5 5
Agora, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos:
(Xi- X )={(3-4), (3-4), (4-4), (5-4), (5-4)} = {-1, -1, 0, 1, 1}
O numerador da fórmula pede que nós encontremos agora o conjunto dos quadrados de
(Xi- X ). Fazendo isso, teremos:
(Xi- X )2={(-1)2, (-1)2, (0)2, (1)2, (1)2} = {1, 1, 0, 1, 1}
Continuando a análise do numerador, teremos agora que somar os elementos do
conjunto construído acima. Teremos:
∑ (Xi − X )
2
=4
Este é o nosso numerador! E o denominador é n (número de elementos do conjunto).
Assim, teremos, finalmente, que:
∑ (Xi − X )
2
4
S 2
= S 2= =1,0 Resposta!
n −1 4
07. (AFPS-2002/ESAF) Dada a seqüência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a
opção que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos.
a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0
Sol.: Novamente se pede o cálculo da Variância de um Rol. Embora não tenha sido usada a
palavra amostra de forma expressa, o enunciado indica que devemos calcular a Variância
Amostral, no instante em que determina que deveremos usar o denominador 4 nos nossos
cálculos. Ora, se o conjunto tem n=5 elementos, e usaremos 4 no denominador, é porque está
sendo feita a correção da fórmula para o caso da amostra!
Colocando a fórmula no papel, teremos:
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Fórmula da Variância Amostral para Rol: S 2
=∑
(Xi − X )2
n −1
Antes de mais nada, convém que coloquemos esses elementos em ordem crescente, para
que se configure realmente o rol. Teremos:
(2, 3, 4, 4, 7)
Agora, sim! Na seqüência, descobriremos a Média do conjunto. Teremos:
X=
∑ Xi = (2 + 3 + 4 + 4 + 7 ) = 20 = 4,0
n 5 5
Agora, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos:
(Xi- X )={(2-4), (3-4), (4-4), (4-4), (7-4)} = {-2, -1, 0, 0, 3}
O numerador da fórmula pede que nós encontremos agora o conjunto dos quadrados de
(Xi- X ). Fazendo isso, teremos:
(Xi- X )2={(-2)2, (-1)2, (0)2, (0)2, (3)2} = {4, 1, 0, 0, 9}
Continuando a análise do numerador, teremos agora que somar os elementos do
conjunto construído acima. Teremos:
∑ (Xi − X )
2
= 14
Este é o nosso numerador! E o denominador é n (número de elementos do conjunto).
Assim, teremos, finalmente, que:
S 2
=∑
(Xi − X ) 2
S 2=
14
=3,5 Resposta!
n −1 4
08. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram
obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa
de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9,
9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15,
16, 16, 18, 23
Os valores seguintes foram calculados para a amostra:
Σi Xi = 490 e Σi Xi2 – (Σi Xi )2/ 50 = 668
Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral,
respectivamente (com aproximação de uma casa decimal)
a) (9,0 13,6) d) (8,0 13,6)
b) (9,5 14,0) e) (9,0 14,0)
c) (8,0 15,0)
Sol.: Esta questão pede duas coisas: a Mediana e a Variância Amostral. O conjunto, como
vemos, está representado por um rol.
Comecemos pela Mediana. Ora, se o conjunto é um rol, então faz diferença se o n é o
número par ou ímpar! Neste caso, temos que n=50, logo, um número par.
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E se n é um número par, significa que haverá duas posições centrais no conjunto! Estas
serão determinadas assim:
1ª Posição central: (n/2) = 50/2 = 25ª posição!
2ª Posição central: a vizinha posterior = 26ª posição.
Pronto! De resto, basta descobrir agora quais são os elementos que ocupam,
respectivamente, estas duas posições; e depois fazer a média deles dois, ou seja, somá-los e
dividir por dois o resultado da soma.
Esta média nem será necessária, uma vez que as duas posições centrais são, ambas,
ocupadas por um mesmo elemento (9). Assim, chegamos à primeira resposta:
Md=9,0.
E quanto à Variância Amostral? Ora, percebamos que o enunciado nos forneceu um dado
adicional. Foi dito que:
Σi Xi2 – (Σi Xi )2/ 50 = 668
Será que esse dado vai servir de alguma coisa?
Para saber disso, precisamos colocar no papel as duas fórmulas: a básica e a
desenvolvida. Teremos:
Fórmula Básica da Variância Amostral para Rol:
S 2
=∑
(Xi − X )2
n −1
Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Rol:
⎛ 1 ⎞⎡ (∑ Xi )2 ⎤
S =⎜ ⎟.⎢∑ Xi − ⎥
2 2
⎝ n −1⎠ ⎢
⎣
n ⎥
⎦
Ora, se bem observarmos, perceberemos que o dado adicional da questão aparece na
fórmula desenvolvida da variância! Sim! Todos enxergaram? Ele é o colchete da fórmula! Já todo
calculado para nós, de bandeja! Assim, ficou evidenciado que adotaremos a equação
desenvolvida para resolver essa questão, e com imenso benefício para nós!
Teremos:
⎛ 1 ⎞⎡ (∑ Xi )2 ⎤ ⎛ 1 ⎞
⎟.[668] =
668
S =⎜ ⎟.⎢∑ Xi − ⎥ S2 = ⎜ = 13,6
2 2
Resposta!
⎝ n −1⎠ ⎢
⎣
n ⎥
⎦ ⎝ 50 − 1 ⎠ 49
Essa questão foi da prova do Fiscal da Receita de 1998. Foi a minha primeira tentativa
(frustrada) de virar fiscal. Lembro como se fosse hoje, que eu olhava para esse dado adicional e
pensava comigo: tenho certeza que isso serve para alguma coisa... Infelizmente, à época, eu
não conhecia ainda a fórmula desenvolvida da variância. Uma pena!
Adiante!
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8. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA – CURSO REGULAR
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09. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma
empresa eram de $285.000 e 1,1627x1010, respectivamente. O valor da variância
do conjunto dos salários após o corte de três zeros na moeda é:
a) 1,1627x107 c) 1,1627x105
6
b) 1,1627x10 d) 1,1627x104
Sol.: Aqui vem uma questão fácil, mas interessante! Ela explora uma propriedade da variância:
a propriedade do produto e divisão!
Foi dito que haverá um corte de 3 zeros na moeda.
Assim, quem ganhava 1000, com esses três zeros a menos, passará a ganhar 1. Quem
ganhava 2000 vai ganhar 2; quem ganhava 3000 vai ganhar 3.
Concordam?
E qual é a operação matemática que faz com que 1000 vire 1, 2000 vire 2, e 3000 vire 3?
Dividir por 1000, claro! E 1000 é o mesmo que 103.
Tudo bem até aqui?
Assim, concluímos: todos os elementos do conjunto original (salários originais) foram
divididos por uma mesma constante (103).
O que diz a propriedade da Variância sobre isso? Diz que a nova variância, ou seja, a
variância do novo conjunto, será igual à variância do conjunto original dividida pelo quadrado da
constante!
Quem é o quadrado de 103? É 106.
Isso é uma propriedade da potenciação. Potência de potência! Repete a base e
multiplicam-se os expoentes. Lembrados? O que fizemos foi isso:
(103)2 = 10(3x2) = 106
Melhorou?
Assim, a nova variância será dividida por 106. Teremos:
1,1627 x1010
Nova Variância = = 1,1627x104 Resposta!
106
Nesta última conta foi usada uma outra propriedade da potenciação: a divisão de
potencia de mesma base. O que se faz neste caso? Repete-se a base, e subtraem-se os
expoentes! A base é 10. Foi repetida. Os expoentes eram 10 e 6. Foram subtraídos. E o que
restou? 10 elevado a 4.
Entendido? Adiante!
10. (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio
padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento
de 10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de:
a) $ 10.000,00 d) $ 10.900,00
b) $ 10.100,00 e) $ 11.000,00
c) $ 10.500,00
Sol.: Todos os salários receberam um aumento de 10%. Como traduzir esta informação para
uma operação matemática? Esse é o X da questão!
Aumento de 10% significa um produto! Por quanto? Por 1,10.
Se o aumento fosse de 15%, multiplicaríamos por 1,15.
Se fosse por 30%, multiplicaríamos por 1,30.
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9. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA – CURSO REGULAR
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E assim por diante!
E se, ao invés de aumento, fosse redução de 10%? O que faríamos? Multiplicaríamos por
0,90.
Se fosse redução de 20%, multiplicaríamos por 0,80.
Se fosse redução de 30%, multiplicaríamos por 0,70. E assim por diante!
Pois bem! Se todos os elementos do conjunto foram multiplicados por uma mesma
constante (1,10), o que ocorrerá ao novo desvio padrão? De acordo com a propriedade, o novo
desvio padrão será também multiplicado pela mesma constante!
Assim: Novo Desvio Padrão = 10.000 x 1,10 = 11.000 Resposta!
11. (FISCAL DO TRABALHO-94) Do estudo do tempo de permanência no mesmo emprego
de dois grupos de trabalhadores (A e B), obtiveram-se os seguintes resultados
para as médias X a e X b e desvios-padrão Sa e Sb.
Grupo A: X a = 120 meses e Sa=24 meses
Grupo B: X b = 60 meses e Sb=15 meses
É correto afirmar que:
a) a dispersão relativa no grupo A é maior que no grupo B
b) a média do grupo B é 5/8 da média do grupo A
c) a dispersão absoluta do grupo A é o dobro da dispersão absoluta do grupo B
d) a dispersão relativa do grupo A é 4/5 da dispersão relativa do grupo B
e) a média entre os dois grupos é de 180 meses
Sol.: Essa questão é meramente conceitual!
Precisamos saber o que é Dispersão Absoluta e o que é Dispersão Relativa. E isso já
aprendemos:
Dispersão Absoluta = Desvio Padrão;
Dispersão Relativa = Coeficiente de Variação.
Sabendo disso, podemos criar uma pequena tabela, para organizar melhor os dados da
questão. Teremos:
Média Desvio Padrão CV
(Dispersão Absoluta) (Dispersão Relativa)
Grupo A 120 24 (24/120)=0,20
Grupo B 60 15 (15/60)=0,25
Pronto! Chegamos à resposta! Vejam aí a opção D: A dispersão relativa de A é 4/5 da
dispersão relativa de B.
É verdade isso? 0,20 = (4/5)x0,25 ??
Sim! Então aí está! Letra D Resposta!
12. (TCU-93) O quadro abaixo apresenta a renda mensal per capita das
localidades A e B:
Localidade Média Desvio Padrão
A 50 10
B 75 15
Assinale a opção correta:
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10. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA – CURSO REGULAR
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a) O intervalo semi-interquartílico é dado por [10, 15]
b) A renda da localidade A é mais homogênea que a renda na localidade B
c) O coeficiente de variação é 50/75
d) A renda da localidade B é mais homogênea que a da localidade A
e) Os coeficientes de variação de renda nas localidades A e B são iguais
Sol.: Questão semelhante à anterior!
Façamos o quadro completo. Teremos:
Média Desvio Padrão CV
Grupo A 50 10 (10/50)=0,20
Grupo B 75 15 (15/75)=0,20
De imediato, morreu a questão! Basta verificar o texto da opção E, a qual nos diz que os
dois coeficientes de variação são iguais!
Uma observação: o CV é indicativo de homogeneidade do conjunto:
Quanto menor o CV, mais homogêneo é o conjunto;
Quanto maior o CV, menos homogêneo é o conjunto.
Ok? Adiante!
13. (TCDF-1995) Uma pesquisa de preços de determinado produto, realizada em
dois mercados, produziu os resultados mostrados na tabela abaixo:
Mercado Preço Médio (R$/kg) Desvio Padrão (R$/kg)
I 5,00 2,50
II 4,00 2,00
Com base nesses resultados, é correto afirmar que
a) no mercado I, a dispersão absoluta dos preços é menor que no mercado II.
b) o mercado I apresenta uma dispersão relativa (de preços) maior que a do
mercado II.
c) no mercado I, a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta.
d) no mercado I, a dispersão relativa dos preços é igual a do mercado II.
e) considerando os mercados I e II como se fossem um único mercado, a dispersão
absoluta da distribuição resultante é igual a 4,5.
Sol.: Outra questão na mesma linha!
Façamos o quadro completo. Teremos:
Média Desvio Padrão CV
Grupo I 5,0 2,5 (2,5/5,0)=0,5
Grupo II 4,0 2,0 (2,0/4,0)=0,5
Como já sabemos o que é dispersão absoluta e dispersão relativa, resta-nos analisar as
opções de resposta, para concluir que a correta é a letra D, que diz que os dois CV são iguais!
Adiante!
14. (AFRF-2002.2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi
observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes:
Grupo Média Desvio padrão
A 20 4
B 10 3
Assinale a opção correta.
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11. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA – CURSO REGULAR
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a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta.
b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa.
c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo
A.
d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da
diferença de desvios padrão pela diferença de médias.
e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa
nos grupos.
Sol.: Uma curiosidade: as três questões anteriores, que traziam rigorosamente o mesmo
modelo desta aqui, caíram em provas de 1993, 1994 e 1995. Ora, qual não foi a surpresa de
muita gente, minha inclusive, ao encontrar novamente o mesmo enunciado numa prova de
2002! Moral da história: a Esaf reutiliza questões antigas, vez por outra! De sorte que vale a
pena, muitíssimo, conhecer bem as provas passadas! Quanto mais, melhor!
Façamos o quadro completo. Teremos:
Média Desvio Padrão CV
Grupo A 20,0 4,0 (4/20)=0,20
Grupo B 10,0 3,0 (3/10)=0,30
Vemos, sem maiores dificuldades, que o CV do grupo B é maior que o CV do grupo A. É o
que está sendo dito na alternativa c.
Logo: Letra C Resposta!
15. (AFC-94) Seja X uma variável aleatória com média aritmética x = 10 e
desvio-padrão S = 3. Considere as variáveis: y = 2x +1 e z = 2x. A
única afirmação errada é:
a) as variáveis y e z tem a mesma média aritmética.
b) o desvio padrão de y é 6.
c) as variáveis y e z têm o mesmo desvio padrão.
d) a média de y é 21.
e) as variáveis x e z têm o mesmo coeficiente de variação.
Sol.: Aqui começa uma seqüência de questões que envolvem a variável transformada!
Questões muito fáceis, diga-se de passagem!
A variável original é a X.
Neste enunciado, há duas variáveis transformadas: Y e Z, assim definidas:
Y=2X+1 e Z=2X
Conhecemos a média e o desvio padrão da variável original X.
Fazendo o desenho de transformação da variável para a variável Y, teremos:
1º)x2 2º)+1
Xi Yi
Agora, aplicando a propriedade da média, que é influenciada pelas quatro operações,
teremos:
1º)x2 2º)+1
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x =10 y = (10x2)+1=21
Xi Yi
Aplicando a propriedade do desvio padrão, que só é influenciado por produto e divisão
(multiplica-se ou divide-se pela própria constante), teremos:
1º)x2 2º)+1
Sx=3,0 Sy=(3x2)=6,0
Xi Yi
Temos ainda que a variável Z é definida por: Z=2.X
Construindo o caminho de transformação da variável e aplicando as mesmas
propriedades acima, teremos que:
1º)x2
x =10 Z = (10x2)=20
Xi Zi
Aplicando a propriedade do desvio padrão, que só é influenciado por produto e divisão
(multiplica-se ou divide-se pela própria constante), teremos:
1º)x2
Sx=3,0 Sz=(3x2)=6,0
Xi Zi
Com isso, chegamos a quatro resultados. Os seguintes:
Média de Y=21 ;
Desvio Padrão de Y = 6,0
Média de Z=20;
Desvio Padrão de Z=6,0
Analisando as opções de resposta, concluiremos que Y e Z tem o mesmo desvio
padrão. É o que nos diz a alternativa C.
Logo: Letra C Resposta!
16. (FTE-PA-2002/ESAF) Um certo atributo W, medido em unidades apropriadas,
tem média amostral 5 e desvio-padrão unitário. Assinale a opção que
corresponde ao coeficiente de variação, para a mesma amostra, do atributo
Y = 5 + 5W.
a) 16,7% b) 20,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,2%
Sol.: Começarmos fazendo o desenho de transformação da variável. Teremos:
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1º)x5 2º)+5
Wi Yi
O enunciado nos forneceu elementos da variável W, e pediu resultados da variável Y.
Precisamos achar o CV da variável Y. Para tanto, precisaremos conhecer a sua média e o
seu desvio padrão. Trabalhando com essas duas medidas, e explorando as suas propriedades,
teremos:
1º)x5 2º)+5
w =5 y = (5x5)+5=30
Wi Yi
Aplicando a propriedade do desvio padrão, que só é influenciado por produto e divisão
(multiplica-se ou divide-se pela própria constante), teremos:
1º)x5 2º)+5
Sw=1,0 Sy=(1x5)=5,0
Wi Yi
Conhecedores desses resultados, teremos agora condições de calcular o CV de Y.
Teremos:
CV=Desvio Padrão/Média CVy=5/30=0,167 = 16,7% Resposta!
17. (AFRF-2003/ESAF) O atributo Z= (X-2)/3 tem média amostral 20 e variância
amostral 2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação
amostral de X.
a) 12,9% d) 31,2%
b) 50,1% e) 10,0%
c) 7,7%
Sol.: Novamente, começarmos fazendo o desenho de transformação da variável. Teremos:
1º)-2 2º)÷3
Xi Zi
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2º)+2 1º)x3
Conhecemos a Média e o Desvio Padrão da variável transformada Z, e a questão nos
pede o cálculo do CV da variável original X.
Para chegarmos à resposta, precisaremos conhecer o valor da Média e do Desvio Padrão
de X. Faremos o seguinte:
1º)-2 2º)÷3
Xi Zi Z = 20 e S2z=2,56
2º)+2 1º)x3
Daí: X =(20x3)+2 X =62,00
O problema da média está resolvida! Agora, a respeito do desvio padrão tem um chapéu!
Precisamos do Desvio Padrão de X, e a questão nos forneceu a Variância de Z. Ora, para
chegarmos ao Desvio Padrão de X, precisamos partir do Desvio Padrão de Z.
Assim, sabendo que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, faremos:
Sz= Sz 2 = 2,56 =1,6
Agora, sim! Aplicando a propriedade do desvio padrão, teremos:
Sx=1,6x3=4,8
Finalmente, teremos que:
CVx= Desvio Padrão de X/Média de X = 1,6/62=0,077
CVx=7,7% Resposta!
18. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a
receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média
amostral M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5.
Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X.
a) 3,0% b) 9,3% c) 17,0% d) 17,3% e) 10,0%
Sol.: Questão idêntica à anterior. Façamos o desenho de transformação. Teremos:
1º)-200 2º)÷5
Xi Zi Z = 100 e Sz=13,00
2º)+200 1º)x5
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Conhecemos a Média e o Desvio Padrão da variável transformada, e queremos calcular o
CV da variável original X. Aplicando as propriedades devidas, faremos:
X =(100x5)+200 X =700,00
Sx=13x5=65,00
Daí, finalmente, diremos que:
CVx=65/700 CV=0,093 =9,3% Resposta!
19. (AFRF-2002) Um atributo W tem média amostral a≠ 0 e desvio padrão positivo
b≠1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta.
a) A média amostral de Z coincide com a de W.
b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário.
c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido.
d) A média de Z é a/b.
e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem.
Sol.: Uma questão bem simples. Convém, para facilitar mais ainda nosso raciocínio, que
adotemos a nomenclatura com a qual estamos acostumados! Assim, quando a questão diz que a
média de W é a, diremos que é W . O enunciado diz também que o desvio padrão de W é b.
Diremos que é Sw.
Assim, faremos agora o desenho de transformação sugerida pelo enunciado. Teremos:
1º)- W 2º)÷Sw
Wi Zi
Agora, se partirmos com W , chegaremos à Média de Z. Teremos:
Z =( W - W )÷Sw Z =0,
Ora, se é verdade que Z =0, então, também concluiremos que:
Sw Sw
CVw= =
Z 0
E qualquer divisão por zero, na linguagem da Esaf, resulta em um valor indefinido!
É o que diz a alternativa C.
Logo: Letra C Resposta!
20. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de
um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a
tabela de freqüências seguinte:
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Classe de mi fi
Preços
[ 5 – 9) 7 3
[ 9 – 13) 11 5
[13 – 17) 15 7
[17 – 21) 19 6
[21 – 25) 23 3
[25 – 29) 27 1
As quantidades mi e fi representam o ponto médio e a freqüência da classe de
preços i. Sabendo-se que: Σi(fi mi2) – (Σi fi mi)2 / 25 ≈ 694
assinale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral.
a) 0,5 (347/3)0.5
b) 6
c) 0,9 (345/3)0.5
d) 28,91
e) 8
Sol.: A questão pede o cálculo do desvio padrão amostral.
Pela informação adicional do enunciado, resta evidenciado que devemos trabalhar com a
fórmula desenvolvida do desvio padrão amostral. Como o conjunto está em formato de uma
Distribuição de Freqüências, teremos que:
Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de
Freqüências:
⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.PM )2 ⎤
S= ⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM − ⎥
2
⎝ n −1⎠ ⎢
⎣
n ⎥
⎦
Reparem que o dado adicional da questão já é o próprio colchete da fórmula acima.
Assim, sabendo ainda que n=25 elementos, teremos que:
⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.PM )2 ⎤ ⎛ 1 ⎞
S = ⎜ ⎟.[694]
⎛ 694 ⎞
S= ⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM − ⎥ S= ⎜ ⎟
2
⎝ n −1⎠ ⎢
⎣
n ⎥
⎦ ⎝ 24 ⎠ ⎝ 24 ⎠
O que é preciso agora é transformar esse resultado ao qual chegamos acima em uma das
alternativas de resposta! Usaremos um pouco de álgebra.
Se fatorarmos o denominador, teremos que: 24=2x2x2x3=22x12
Assim:
⎛ 694 ⎞ ⎛ 694 ⎞ 1 694 1 347
S= ⎜ S= ⎜ 2 ⎟= . = . = 0,5 x(347 / 3)
0,5
⎟ Resposta!
⎝ 24 ⎠ ⎝ 2 x12 ⎠ 2 6 2 3
21. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de
uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna
Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa
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a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os
extremos das classes.
Classes P (%)
70-90 5
90-110 15
110-130 40
130-150 70
150-170 85
170-190 95
190-210 100
Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se
∑
7
f Z2
i =1 i i
= 1680 , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de
classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X.
a) 720,00 b) 840,20 c) 900,10 d) 1200,15 e) 560,30
Sol.: Essa questão é das boas! Envolve uma transformação da variável original. Esta
transformação foi fornecida pelo próprio enunciado, e está expressa pela seguinte conta: Z=(X-
140)/10.
A variável original é a Xi, e está sendo transformada na Zi por meio de duas operações:
uma subtração por 140 e depois uma divisão por 10.
Pois bem! O que nos pede a questão? Que encontremos a variância amostral.
Reparemos que quando se trata de variância, faz toda diferença se estamos trabalhando
com uma amostra ou com uma população!
As fórmulas para cálculo da variância amostral, conforme já sabemos, são as seguintes:
∑ ( PM − X ) . fi
2
⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.PM )2 ⎤
= S =⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM − ⎥
2 2 2
S ou
n −1 ⎝ n −1 ⎠ ⎢ n ⎥
⎣ ⎦
Como decidir por uma delas? Ora, ambas nos fazem chegar ao mesmo resultado, porém
haverá sempre uma que será mais conveniente para nossa resolução, de acordo com os dados
adicionais fornecidos pelo enunciado!
∑i =1 Z i2 f i = 1680
7
Neste caso, o dado adicional foi o seguinte:
Onde Zi é o ponto médio transformado, ou seja, o ponto médio da variável Z.
Dica: sempre que a questão trouxer em seu enunciado uma transformação da variável, é
interessante que nós façamos de pronto um desenho que a represente. Trata-se do desenho de
transformação da variável.
Teremos:
1ª)-140 2ª)÷10
X Z
2ª)+140 1ª)x10
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∑i =1 Z i2 f i = 1680
7
Voltemos ao dado adicional trazido pelo enunciado:
Comparemos esse dado com as duas fórmulas passíveis de serem usadas:
∑ ( PM − X ) . fi
2
⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.PM )2 ⎤
= S =⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM − ⎥
2
ou
2 2
S
n −1 ⎝ n −1 ⎠ ⎢ n ⎥
⎣ ⎦
Pronto! Já temos condição de afirmar que a fórmula boa para essa resolução é a fórmula
desenvolvida! A maior! Para ficar melhor de enxergar, troquemos PM (Ponto Médio) por Zi (que
é o ponto médio da variável Z), e teremos:
⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.Zi )2 ⎤
S =⎜ ⎟.⎢∑ fi.Zi − ⎥
2 2
⎝ n −1 ⎠ ⎢
⎣
n ⎥
⎦
Viram? Daquele colchete, já conhecemos o valor da primeira parcela, que é igual a 1680.
Sabemos também que para essa distribuição de freqüências, n=200, conforme dito na segunda
linha do enunciado (...foram examinados 200 itens...).
Daí, até agora, substituindo os valores conhecidos na fórmula, teremos:
⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.Zi )2 ⎤
S =⎜ ⎟.⎢1680 − ⎥
2
⎝ 200 − 1 ⎠ ⎢
⎣
200 ⎥
⎦
Em suma: só nos resta descobrir o valor do numerador da segunda parcela do colchete,
ou seja, o valor de (∑fi.Zi)2.
Vamos trabalhar as colunas de freqüência da nossa distribuição. A coluna P(%)
representa neste caso, conforme já é do nosso conhecimento, a freqüência relativa acumulada
crescente (Fac). Daí, construiremos primeiro a coluna da Freqüência Relativa Simples (Fi) e
depois a da freqüência absoluta simples (fi).
Esse trabalho com as colunas de freqüência é algo cujo conhecimento é imprescindível
para nós! E estou contando que todos nós já saibamos fazer isso! O resultado deste trabalho
será o seguinte:
Classes Fac Fi fi
70-90 5% 5% 10
90-110 15% 10% 20
110-130 40% 25% 50
130-150 70% 30% 60
150-170 85% 15% 30
170-190 95% 10% 20
190-210 100% 5% 10
n=200
Do que precisamos mesmo? Da parcela (∑fi.Zi)2. Ora, a coluna fi já é nossa conhecida!
Resta, pois, encontrarmos quem é o Zi. Sabemos que Zi=(Xi-140)/10, e que este Xi
representa o Ponto Médio da variável original. Daí, precisamos logo construir a coluna do Xi.
Teremos:
Classes Fac Fi fi Xi
70-90 5% 5% 10 80
90-110 15% 10% 20 100
110-130 40% 25% 50 120
130-150 70% 30% 60 140
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150-170 85% 15% 30 160
170-190 95% 10% 20 180
190-210 100% 5% 10 200
n=200
Agora, sim: nosso próximo passo é construir a coluna do Zi. Teremos:
Classes Fac Fi fi Xi ⎛ Xi − 140 ⎞
Zi= ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
70-90 5% 5% 10 80 -6
90-110 15% 10% 20 100 -4
110-130 40% 25% 50 120 -2
130-150 70% 30% 60 140 0
150-170 85% 15% 30 160 2
170-190 95% 10% 20 180 4
190-210 100% 5% 10 200 6
n=200
Voltemos agora para nosso objetivo: (∑fi.Zi)2. Próximo passo? Construir a coluna (fi.Zi),
e somar seus valores. Teremos:
Classes Fac Fi fi Xi ⎛ Xi − 140 ⎞ fi.Zi
Zi= ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
70-90 5% 5% 10 80 -6 -60
90-110 15% 10% 20 100 -4 -80
110-130 40% 25% 50 120 -2 -100
130-150 70% 30% 60 140 0 0
150-170 85% 15% 30 160 2 60
170-190 95% 10% 20 180 4 80
190-210 100% 5% 10 200 6 60
n=200 (∑fi.Zi)=-40
Quase lá! O que queremos? (∑fi.Zi)2. Daí, teremos: (-40)2=1600. Agora só precisamos
completar a fórmula e fazer as contas. Ficaremos com:
⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.Zi )2 ⎤ ⎛ 1 ⎞⎡ 1600 ⎤ 1672
Sz = ⎜ ⎟.⎢1680 − ⎥ Sz 2 = ⎜ ⎟.⎢1680 − Sz 2 =
2
⎝ 200 − 1 ⎠ ⎢ 200 ⎥ ⎝ 199 ⎠ ⎣ 200 ⎥
⎦ 199
⎣ ⎦
E: SZ2=8,4020
Bem que esta poderia ser nossa resposta! Só que ainda não é! Claro que não! O que
encontramos foi a variância da variável transformada! E o que a questão pede é a variância
da variável original.
É aí que entra aquele tal desenho de transformação da variável.
O resultado que temos até aqui (8,4020) está do lado da variável Z. Teremos:
1ª)-140 2ª)÷10
X Z Sz2=8,4020
2ª)+140 1ª)x10
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Para chegarmos à variância do lado de cá, ou seja, da variável original X, teremos que
percorrer o caminho de baixo, lembrando das propriedades da variância.
Variância é influenciada por produto ou divisão? Sim! Multiplicaremos (ou dividiremos) a
variância pelo quadrado da constante!
Logo, se a primeira operação do caminho de baixo é uma multiplicação por dez, então
faremos com a variância um produto pelo quadrado de dez, ou seja, multiplicaremos por 100
(cem).
Já no tocante à segunda operação do caminho de baixo, lembraremos que a variância
não é influenciada por operações de soma ou subtração. Ou seja, a segunda operação (soma
com 140) não será realizada! Teremos:
1ª operação) 8,4020 x 100 = 840,20
2ª operação) Não realizaremos!
Daí: Variância da Variável Original = Sx2=840,20 Resposta!
22. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro,
numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos,
produziu a tabela de freqüências seguinte:
Classes Freqüência
(f)
29,5-39,5 4
39,5-49,5 8
49,5-59,5 14
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10
Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X.
a) 16,0 d) 18,1
b) 17,0 e) 13,0
c) 16,6
Sol.: O ponto de partida da resolução, como sabemos, é a fórmula! Neste caso, a nossa é a
seguinte:
DMA =
∑ PM − X . fi
n
O enunciado chamou a medida de desvio absoluto médio. Poderia ser também desvio
médio absoluto ou simplesmente desvio absoluto. São sinônimos.
Esta nunca foi uma medida muito explorada em provas de estatística, embora sempre
tenha figurado entre os programas!
Os passos de resolução serão determinados, obviamente, pela fórmula. Olhando para a
equação, veremos aquilo que já dispomos, e o que ainda não temos e precisamos encontrar.
Voltemos a olhar para a nossa distribuição de freqüências e para a fórmula:
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Classes Freqüência
(f)
29,5-39,5 4
39,5-49,5
49,5-59,5
8
14
DMA =
∑ PM − X . fi
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26
n
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10
O que já temos? Olhemos para a equação! Temos os Pontos Médios? Ainda não! Então é
nosso primeiro passo: construir a coluna dos Pontos Médios. Teremos:
Classes fi PM
29,5-39,5 4 34,5
39,5-49,5 8 44,5
49,5-59,5 14 54,5
59,5-69,5 20 64,5
69,5-79,5 26 74,5
79,5-89,5 18 84,5
89,5-99,5 10 94,5
A fórmula agora pede a Média. Já a temos? Ainda não! Então é nosso próximo passo está
definido: calcular a Média! É como se fossem duas questões em uma! Usaremos o método da
variável transformada. Teremos:
Classes fi PM (PM − 34,5) = Yi Yi.fi
10
29,5-39,5 4 34,5 0 0
39,5-49,5 8 44,5 1 8
49,5-59,5 14 54,5 2 28
59,5-69,5 20 64,5 3 60
69,5-79,5 26 74,5 4 104
79,5-89,5 18 84,5 5 90
89,5-99,5 10 94,5 6 60
∑Yi.fi=350
Daí, encontrando a média da variável transformada Y, teremos:
Y=
∑Yi. fi Y=
350
= 3,50
n 100
Agora, fazendo as operações do caminho de volta da transformação da variável, teremos:
1º) 3,5 x 10 = 35,0
2º) 35 + 34,5 = 69,5 X =69,5
A equação do Desvio Médio Absoluto pede agora a diferença (PM- X ). Teremos:
Classes fi PM (PM- X )
29,5-39,5 4 34,5 -35
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39,5-49,5 8 44,5 -25
49,5-59,5 14 54,5 -15
59,5-69,5 20 64,5 -5
69,5-79,5 26 74,5 5
79,5-89,5 18 84,5 15
89,5-99,5 10 94,5 25
Reparando melhor na fórmula, veremos que ela pede o valor absoluto da coluna que
acabamos de construir. O módulo! E o efeito do módulo é, senão outro, transformar em positivo
quem estiver negativo. Daí, tomando a última coluna construída, faremos:
Classes fi PM (PM- X ) |(PM- X )|
29,5-39,5 4 34,5 -35 35
39,5-49,5 8 44,5 -25 25
49,5-59,5 14 54,5 -15 15
59,5-69,5 20 64,5 -5 5
69,5-79,5 26 74,5 5 5
79,5-89,5 18 84,5 15 15
89,5-99,5 10 94,5 25 25
A fórmula agora pede que multipliquemos essa coluna por fi. Teremos:
Classes fi PM (PM- X ) |(PM- X )| |(PM- X )|.fi
29,5-39,5 4 34,5 -35 35 140
39,5-49,5 8 44,5 -25 25 200
49,5-59,5 14 54,5 -15 15 210
59,5-69,5 20 64,5 -5 5 100
69,5-79,5 26 74,5 5 5 130
79,5-89,5 18 84,5 15 15 270
89,5-99,5 10 94,5 25 25 250
n=100 ∑|(PM- X )|.fi=1300
Agora, sim! Já temos tudo para aplicarmos a fórmula do DMA. Teremos, enfim, que:
DMA =
∑ PM − X . fi DMA =
1300
DMA=13,00 Resposta!
n 100
23. (AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ... , Xn com média
aritmética M e variância S , onde M = (X1 + ... + Xn )/ n e S2 = (1/ n) Σi
2
( Xi – M )2 . Seja θ a proporção dessas mensurações que diferem de M, em
valor absoluto, por pelo menos 2S. Assinale a opção correta.
a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente,
mas sabe-se que 0,25 ≥ θ.
b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na
realidade tem-se θ = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
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c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na
realidade tem-se θ = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na
realidade tem-se θ = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na
realidade tem-se θ = 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
Sol.: O enunciado nos fala que para um dado conjunto o valor da média vale M e a variância
vale S2. Ora, sabemos que variância é o quadrado do Desvio-Padrão. Logo, se variância é S2,
então o Desvio-Padrão será apenas S (a raiz quadrada da variância).
Fala também acerca de uma proporção θ, que é a proporção dos elementos do conjunto
que diferem da Média M, em valor absoluto, por pelo menos 2S. Quando se diz “em valor
absoluto” queremos dizer uma diferença para mais e para menos.
Nosso intervalo está, pois, estabelecido: (Média-2S a Média+2S). Teremos:
M-2S M M+2S
Pois bem! O que a questão quer saber? A proporção dos elementos que diferem da média
por pelo menos 2S. Esse pelo menos significa no mínimo. E no mínimo vai significar além de 2S.
Ou seja: queremos saber a proporção dos elementos que estão fora do intervalo (M-2S a
M+2S).
Essa proporção fora do intervalo será uma proporção máxima ou uma proporção mínima?
Máxima, conforme já aprendemos!
Seria mínima caso fosse a proporção dos elementos dentro do intervalo.
Sabendo disso tudo, só nos resta seguir os passos aprendidos acima. Teremos:
1º Passo) Calculamos o valor D que é a diferença entre qualquer dos limites do intervalo e a
média do conjunto.
M-2S M M+2S
D D
Daí, encontramos que a distância D=2S.
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2º Passo) Calcular a fração K. Teremos:
D
K= k=(2S/S) k=2
S
3º Passo) Aplicar o Teorema de Tcheb. Teremos:
1
PMÁXIMA= PMÁXIMA=(1/4)=0,25
K2
Ora, a questão chamou esta proporção de θ. Daí, se θ é uma proporção máxima, é
porque seu valor será menor ou igual a 0,25. Esta é a nossa resposta. Vejamos o que diz a
opção a:
“Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente, mas
sabe-se que 0,25 ≥ θ”
É exatamente o que encontramos! Letra A Resposta!
24. (AFRF-2003) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com
N empregados produziram as estatísticas
N
1
X=
N
∑X
i =1
i = R$14.300,00
0,5
⎡1 ⎤
∑ (X i − X ) ⎥
N
2
S=⎢ = R$1.200,00
⎣N i =1 ⎦
Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo [R$ 12.500,00; R$
16.100,00]. Assinale a opção correta.
a) P é no máximo 1/2 d) P é no máximo 1/2,25
b) P é no máximo 1/1,5 e) P é no máximo 1/20
c) P é no mínimo 1/2
Sol.: Esta questão já foi resolvida na aula passada! Desculpem!
25. (AFPS 2002/ESAF) Sejam X1, X2, X3, ... , Xn observações de um atributo X.
Sejam
1 n
x= ∑ xi
n i =1
1 n
s2 = ∑ (xi − x )
2
n i =1
Assinale a opção correta.
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a) Pelo menos 95% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.
b) Pelo menos 99% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.
c) Pelo menos 75% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.
d) Pelo menos 80% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.
e) Pelo menos 90% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.
Sol.: Esta questão pergunta, em outras palavras, qual a proporção de elementos localizados
dentro do intervalo que vai de (Média–2S) até (Média+2S).
Ora, na questão 23 (duas atrás), descobrimos a proporção dos elementos que ficam fora
deste mesmo intervalo. Lá, por ser proporção do lado de fora, era uma proporção máxima!
E aqui, por ser uma proporção dentro do intervalo, será uma proporção mínima!
Aprendemos, na aula passada, que: Pmínima = 1 – Pmáxima
Assim: Pmínima=1-0,25 Pmínima=0,75
É o que diz a letra C das alternativas: pelo menos (=no mínimo) 75% das observações de
X diferem da média, em valor absoluto, por menos que 2S.
Prestem atenção para o seguinte:
...diferem por menos que... = proporção dentro!
...diferem por pelo menos... = proporção fora!
Logo: Letra C Resposta!
(AFC-94) Para a solução das três próximas questões considere os dados da tabela
abaixo, que representa a distribuição de freqüências das notas em uma prova de
estatística aplicada em três turmas de 100 alunos cada.
Classes Freqüências das Notas na Prova de Estatística
de Notas TURMA 01 TURMA 02 TURMA 03
0 |— 2 20 10 5
2 |— 4 40 15 10
4 |— 6 30 50 70
6 |— 8 6 15 10
8 |— 10 4 10 5
Total 100 100 100
26. (AFC-94) Assinale a afirmação correta:
a) Moda (turma 2) < Moda (turma 3) d) Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2)
b) Média (turma 1) > Média (turma 2) e) Mediana (turma 2) > Mediana (turma 3)
c) Média (turma 2) < Média (turma 3)
Sol.: Uma seqüência muito interessante de questões! O enunciado apresenta, em uma única
tabela, três distribuições de freqüência. Separadamente, seriam elas as seguintes:
A primeira:
Classes Turma 01
fi
0–2 20
2–4 40
4–6 30
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6–8 6
8 – 10 4
A segunda:
Classes Turma 02
fi
0–2 10
2–4 15
4–6 50
6–8 15
8 – 10 10
A terceira:
Classes Turma 03
fi
0–2 5
2–4 10
4–6 70
6–8 10
8 – 10 5
Ora, a primeira coisa que procuraremos enxergar numa distribuição de freqüências é se
ela é simétrica ou não! Como saber se uma distribuição é simétrica? Usando a técnica do
elevador! No que consiste? Vamos aplicar a técnica na segunda tabela fornecida pela questão.
Basta seguir os seguintes passos:
1º) Identificamos qual é a fi da classe intermediária!
Classes Turma 02
fi
0–2 10
2–4 15
4–6 50 Classe intermediária!
6–8 15
8 – 10 10
2º) Subimos um andar e descemos um andar, e comparamos as duas fi encontradas!
Teremos:
Classes Turma 02
fi
0–2 10
2–4 15
4–6 50
6–8 15
8 – 10 10
São iguais essas novas fi? Sim! Daí, prossegue a técnica, novamente subindo e descendo
um andar! Teremos:
Classes Turma 02
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fi
0–2 10
2–4 15
4–6 50
6–8 15
8 – 10 10
Iguais novamente? Sim! Ainda tem para onde subir ou descer? Não! Então, acabou a
nossa análise, e nossa conclusão é a seguinte: estamos diante de uma distribuição simétrica!
Se em qualquer momento dessa análise, ao subir e descer um andar, tivéssemos
encontrado fi diferentes, diríamos então que a distribuição não seria simétrica, mas assimétrica.
Qual a razão de estarmos fazendo esse estudo? Muito simples: quando a distribuição de
freqüências é simétrica, teremos sempre que a Média será igual à Moda, e será igual à
Mediana! E essas três medidas serão calculadas da seguinte forma: somaremos o limite inferior
da primeira classe com limite superior da última classe, e este resultado dividiremos por dois.
Da seguinte forma:
Classes Turma 02
Fi
0–2 10
2–4 15
4–6 50
6–8 15
8 – 10 10
X = Mo = Md =
(0 + 10) = 5,0
2
E não precisamos fazer mais nenhum cálculo!
Vamos agora descobrir se a distribuição de freqüências da Turma 03 é simétrica ou não.
Teremos:
Classes Turma 03
fi
0–2 5
2–4 10
4–6 70
6–8 10
8 – 10 5
E aí? Simétrica! Daí, concluiremos que:
X = Mo = Md =
(0 + 10) = 5,0
2
E a distribuição de freqüências da Turma 01? Vejamos:
Classes Turma 01
fi
0 – 2 20
2 – 4 40
4 – 6 30
6 – 8 6
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8 – 10 4
Logo no primeiro salto, concluímos que a distribuição é assimétrica!
Daí, até o presente momento, já descobrimos que:
X TURMA 02 = Mo TURMA 02 = Md TURMA 02
= 5,0
X TURMA 03 = Mo TURMA 03 = Md TURMA 03
Sabendo disso, já descartamos as opções a, c e e, as quais comparam medidas relativas
às turmas 02 e 03.
Restam, portanto, as opções b e d.
Analisemos a opção d: Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2)
A Mediana da Turma 02 já sabemos que vale 5,0. Agora, observemos melhor a Tabela da
turma 01:
Classes Turma 01
fi
0–2 20
2–4 40
4–6 30
6–8 6
8 – 10 4
Uma análise atenta nos fará ver que esse conjunto tem 100 elementos (n=100). Para
isso, basta somar a coluna da fi. Também vemos, sem maiores esforços, que só as duas
primeiras classes já somam 60 elementos! Sendo 20 na primeira classe e 40 na segunda. Ou
seja: mais da metade dos elementos do conjunto estão nas duas primeiras classes. Ora, a
Mediana é exatamente aquele elemento que está no meio do conjunto, dividindo-o em duas
partes iguais.
Daí, concluímos que a Classe Mediana será a segunda (2 a 4). De sorte que a Mediana
dessa distribuição será um valor qualquer inserido nesta classe!
Mesmo sem calcular essa Mediana da turma 01, vemos que não haveria como esta
medida ser maior que 5, uma vez que 5 é um valor que faz parte da terceira classe (e não da
segunda)!
Conclusão: Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) Resposta!
27. (AFC-94) A única opção errada é:
a) 1º quartil (turma 1) > 1º quartil (turma 3)
b) desvio-padrão (turma 2) > desvio-padrão (turma 3)
c) média (turma 2) = média (turma 3)
d) coeficiente de variação (turma 2) > coeficiente de variação (turma 3)
e) na turma 3: média = mediana = moda
Sol.: Aqui procura-se pela opção errada!
Observemos que a opção c compara a média das turmas 02 e 03. Já sabemos que são
iguais! Descartada está, pois, esta opção!
A opção e afirma que a média, moda e mediana da turma 03 são iguais. Perfeito! Já
sabíamos disso, uma vez que se trata de uma distribuição simétrica! Descartamos mais essa
opção de resposta!
Restaram as opções a, b e d.
Essas duas últimas comparam duas medidas – Desvio-Padrão e Coeficiente de Variação –
das turmas 02 e 03. Acerca dessas turmas, já sabemos que:
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X TURMA 02 = Mo TURMA 02 = Md TURMA 02
= 5,0
X TURMA 03 = Mo TURMA 03 = Md TURMA 03
S
Vejamos qual é o conceito do Coeficiente de Variação: CV =
X
Ora, uma vez que as duas médias são iguais, temos que os denominadores dos
Coeficientes de Variação das turmas 02 e 03 são os mesmos!
Se os denominadores são iguais, o que vai definir se um CV é maior que o outro será
apenas o numerador, ou seja, o Desvio-Padrão!
Daí, apenas por hipótese, consideremos que seja verdadeiro o que está dito na opção b:
Desvio-Padrão (Turma 02) > Desvio-Padrão (Turma 03)
Ora, se isto acima for verdadeiro, então, resta que será também necessariamente
verdadeiro o que está dito na opção d:
coeficiente de variação (Turma 2) > coeficiente de variação (Turma 3)
Perceberam? Claro! Se o denominador (média) é o mesmo para as duas turmas!
Da mesma forma, se considerarmos que o que está dito na opção b é falso, resta que
será também necessariamente falsa a opção d. Em suma: uma vez que a média das turmas 02
e 03 são iguais, então as duas opções b e d estão amarradas: ou ambas serão verdadeiras, ou
ambas serão falsas.
Como só há uma opção falsa, concluímos (sem precisar fazer uma só conta!) que não
podem ser nem a b e nem a d. E o que resta? Resta a Opção A Resposta!
28. (AFC-94) A distribuição de notas é simétrica em relação à média aritmética:
a) Nas três turmas c) Nas turmas 1 e 3 e) Nas turmas 2 e 3
b) Nas turmas 1 e 2 d) Somente na turma 1
Sol.: Esta já foi resolvida acima! As distribuições simétricas são as turmas 2 e 3.
Assim: Letra E Resposta!
É isso, meus queridos!
Na próxima aula, avançaremos na matéria! Ok?
Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus!
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