Cubos

Matemática
3º Ano do Ensino Médio
Geometria Espacial – Cubos
June, 10th, 2014
Escola Estadual Vilmar Vieira Matos
Professor: Cláudio Miranda
Estagiário: Dênis Rodrigues

Definições
• Iezzi (2004): Cubo é um paralelepípedo
retângulo cujas seis faces são
quadrados. Assim suas 12 arestas são
congruentes entre si.
• Brasil Escola: Cubo é um
paralelepípedo retângulo com todas
as arestas congruentes (a=b=c), dessa
forma as seis faces são quadrados.

Cálculo do comprimento da diagonal
Considere a figura abaixo:
dc=diagonal do cubo
db = diagonal da base

Na base ABCD, temos:

No triângulo ACE, temos:

Cálculo da Área Lateral (Al)
A área lateral (Al) é dada pela soma da
área dos quadrados de lado a:
Al= a2+a2+a2+a2
Al= 4a2

Cálculo da Área Total (S)
A área total (S) é dada pela área dos
seis quadrados de lado a, ou seja:
S= 6a2

Cálculo do Volume (V)
Obtemos o volume do cubo fazendo o
produto da área da base pela altura:
V= Ab x h = a2 x a = a3

Construções Arquitetônicas
Pedra Negra de Caaba
Meca , Arábia Saudita

Hotéis Casa
Flora, Tailândia

Biblioteca Municipal
Stuttgart, Alemanha

Casas Cubo
Vijf, Holanda

Cubo Mágico (de Rubik)
• Criado pelo Húngaro, Ernõ Rubik em
1974;
• Ganhou o prêmio jogo do ano;
• Seu criador demorou um mês para
resolve-lo;

• E um dos brinquedos mais populares
do mundo com um total aproximado
de 900 milhões de unidades vendidas;
• 3x3 possui 27 peças sendo 1 oculta e
26 entorno desta;
• Mats Valk solucionou o enigma deste
cubo em 5,55 segundos sendo este o
recorde mundial obtido em Março de
2013.

Outros Modelos
Pocket Clube (2x2x2)
Original (3x3x3)

Outros Modelos
A vingança de Rubik (4x4x4)
O Cubo do Professor (5x5x5)

Resolução
• Podemos permutar os oito vértices do
cubo, logo podemos arranjá-los de
8! formas diferentes.
• Também podemos permutar suas doze
arestas, existindo
assim 12! combinações para as
mesmas.

Entretanto, apenas metade das
possibilidades acima são verdadeiras,
uma vez que não é possível permutar
duas arestas sem trocar também a
posição de dois vértices, e vice-versa.

• Também é possível girar todos os
vértices do cubo, salvo um, sem que
nada mais mude no cubo. Uma vez
que a orientação do último vértice
será determinada pela orientação dos
demais, nós temos 37 orientações
distintas para os vértices.
• O mesmo vale para a orientação das
arestas. Sendo assim, temos
211 possibilidades para elas.

No total, o número de combinações
possíveis no cubo de Rubik é:
(8! X 12! X 37 X 211) /2
= 43 252 003 274 489 856 000

Se alguém pudesse realizar todas as
combinações possíveis a uma
velocidade de um movimento
por segundo, demoraria 1400 trilhões de
anos, supondo que nunca repetisse a
mesma combinação.

Variantes
Mega Mix Skewb Diamond

Colocando a teoria em prática
Vamos Praticar???

Exemplo 1
Calcule a diagonal, a área total e o
volume de um cubo:
a) De aresta 1 cm.
b) De aresta 2,5 cm.

Exemplo 2
Calcule a aresta de um cubo de 27 m3
de volume

Exemplo 3
Considere um peso feito de ferro em
formato de cubo, cuja área total é 150
cm2. Sabendo que a densidade do ferro
é 7,8 g/cm3, qual é a massa desse peso?

Exemplo 4
Considere dois cubos diferentes sendo
um de aresta a e o outro de aresta ka.
Determine a razão entre a área total do
menor cubo para o maior.

Referências
• http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial
/espacial13.php
• http://educacao.uol.com.br/matematica/aprende
ndo-a-medir-volumes.jhtm
• http://pt.wikipedia.org/wiki/Cubo_de_Rubik
• IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R.;
ALMEIDA, N. D.; Matemática: Ciência e Aplicações,
Vol 2, 2ºEdição, 2004, São Paulo – Brasil.

Considerações Finais
Agradeço pela atenção !!!

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