O documento descreve os principais conjuntos numéricos e tipos de intervalos. Define os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais, assim como o conjunto dos números reais formado pela união dos conjuntos racionais e irracionais. Descreve também desigualdades, tipos de intervalos como intervalos limitados e ilimitados, e operações com intervalos como união, interseção e diferença.

1. CONJUNTOS NUM´ERICOS E
INTERVALOS
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Conjuntos Num´ericos
CONJUNTO DOS N ´UMEROS NATURAIS
N = {0, 1, 2, 3, . . . }
N∗
= N − {0} = {1, 2, 3, . . . }
CONJUNTO DOS N ´UMEROS INTEIROS
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Z+
= {1, 2, 3, . . . } = N∗
Z−
= {. . . , −3, −2, −1}
CONJUNTO DOS N ´UMEROS RACIONAIS
O n´umeros racionais s˜ao aqueles que podem ser expressos na forma de uma
raz˜ao ou fra¸c˜ao a/b, onde a ∈ Z e b ∈ Z∗
. O conjunto dos n´umeros racionais
´e representado por Q.
Q =
a
b
a ∈ Z ∧ b ∈ Z∗
Exemplos:
• 3/4, onde a = 3 e b = 4
• 1, 21, onde a = 121 e b = 100 (1, 21 = 121/100).
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2. Todos os n´umeros racionais podem ser classificados em trˆes casos, se-
gundo a ocorrˆencia de casas decimais (as casas decimais s˜ao formadas pelos
algarismos do n´umero que pertence `a ordem das d´ecimas, que aparecem `a
direita da v´ırgula):
1. O n´umero n˜ao possui casas decimais. Neste caso, o denominador da
fra¸c˜ao a/b ´e 1 e o n´umero ´e tamb´em um inteiro. Por exemplo, 15/1 =
15;
2. O n´umero possui um certo n´umero finito de casas decimais. Por exem-
plo, 237/100 = 2, 37, que possui duas casas decimais, 2, 37;
3. O n´umero possui infinitas casas decimais que se repetem de tanto
em tando, formando as d´ızimas peri´odicas. Por exemplo 1706/333 =
5, 123123123 . . . , cuja d´ızima peri´odica ´e 123, 5, 123123123 . . . , com
per´ıodo 3.
CONJUNTO DOS N ´UMEROS IRRACIONAIS
O conjunto dos n´umeros irracionais ´e denotado por Q . Um n´umero irra-
cional ´e aquele que n˜ao pode ser expresso na forma de uma raz˜ao a/b, onde
a ∈ Z e b ∈ Z∗
.
Exemplos:
•
√
2 = 1, 414213562 . . .
• π = 3, 141592654 . . .
• e = 2, 718281828459 . . .
No caso dos n´umeros irracionais, as casas decimais se prolongam infini-
tamente, sem que ocorra uma d´ızima peri´odica.
CONJUNTO DOS N ´UMEROS REAIS
O conjunto dos n´umeros reais, denotado por R, ´e a uni˜ao dos n´umeros
racionais e dos irracionais:
R = Q ∪ Q
Observe que N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.
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3. Os n´umeros reais podem ser representados sobre uma reta, chamada de
reta R. Sobre ela podemos marcar alguns n´umeros reais que j´a conhecemos:
2 Desigualdades e Intervalos em R
DESIGUALDADES
< > ≤ ≥
Exemplos:
• 3 < 10
• 7 ≥ 2
• 2 > 5
INTERVALOS
Observe que
0 ≤ x < 8
´e satisfeito por todo x ∈ R que seja maior ou igual a 0 e menor que 8, o que
determina um intervalo em R.
3 Tipos de Intervalos em R
3.1 Intervalos Limitados
INTERVALO ABERTO
(a, b) =]a, b[= {x ∈ R|a < x < b}
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4. INTERVALO FECHADO
[a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
INTERVALO SEMI-ABERTO `A ESQUERDA
(a, b] =]a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}
INTERVALO SEMI-ABERTO `A DIREITA
[a, b) = [a, b[= {x ∈ R|a ≤ x < b}
3.2 Intervalos Ilimitados
[a, +∞) = {x ∈ R|x ≥ a}
(a, +∞) = {x ∈ R|x > a}
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5. (−∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a}
(−∞, a) = {x ∈ R|x < a}
Observe que (−∞, +∞) = R
4 Opera¸c˜oes com Intervalos
Exemplo: Sejam os intervalos A = (−3, 4) e B = [0, 6]. Determine A∪B,
A ∩ B e A − B.
Determina¸c˜ao de A ∪ B:
Logo, A ∪ B = (−3, 6] ou A ∪ B = {x ∈ R| − 3 < x ≤ 6}.
Determina¸c˜ao de A ∩ B:
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6. Logo, A ∩ B = [0, 4) ou A ∩ B = {x ∈ R|0 ≤ x < 4}.
Determina¸c˜ao de A − B:
Logo, A − B = (−3, 0) ou A − B = {x ∈ R| − 3 < x < 0}.
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