Apostilamatconcursos 111209123909-phpapp01

Matemática para Concursos 1
?
Índice
Conjuntos numéricos..........2
Intervalos reais..........4
Razão..........5
Escalas..........6
Proporção..........6
Números diretamente e proporcionais..........7
Grandezas diretamente e inversamente proporcionais..........9
Regra de três..........10
Procentagem..........14
Equações de 1º grau..........15
Equações de 2º grau..........18
Inequações de 1º grau..........22
Inequações de 2º grau..........23
Sistemas lineares..........24
Funções..........26
Função de 1º grau..........32
Função de 2º grau..........33
Equação exponencial..........38
Função exponencial..........38
Logaritmos..........39
Sistema de medidas de tempo.........41
Sistema decimal de medidas.........41
Progressão aritmética (P.A.)..........42
Progressão geométrica (P.G.)..........47
Princípios de contagem..........55
Arranjo simples..........55
Permutação simples..........56
Combinação simples..........57
Noções de probabilidade..........58
Noções de estatística..........62
Gráficos de barras e colunas..........62
Médias..........63
Mediana..........65
Moda..........65
Desvio..........65
Variância..........65
Desvio padrão..........65
Geometria plana..........66
Teorema de Tales..........66
Razões trigonométricas..........67
Semelhança de polígonos..........69
Quadriláteros..........70
Geometria espacial..........73
Poliedros..........76
Prismas..........77
Paralelepípedo..........78
Cilindro..........81
Cone..........82
Pirâmide..........83
Troncos..........84
Esfera..........85
Juros simples..........91
Descontos simples..........97
Juros compostos..........98
Descontos compostos..........101
Rendas certas..........104
Sistemas de amortização..........106

“Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta ciência acabam tomados de uma espécie de paixão pela
mesma. Em verdade, o que proporciona o máximo prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem, não é a posse, mas a aquisição, não é
a presença, mas o ato de atingir a meta.”
Carl Friedrich Gauss
CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( IN )
N= {0,1,2,3,4,5,...}
Um subconjunto importante de IN é o conjunto N* :
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ..}
o zero foi excluído do conjunto N.
Podemos considerar os números naturais ordenados sobre
uma reta, conforme o esquema abaixo.
7 1211109861 54320
Importante:
O asterisco (*) representa a eliminação do elemento zero (0)
do conjunto.
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( Z )
Z = {... –3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, ...}
Além do conjunto IN, convém destacar os seguintes
subconjuntos de Z:
Z* = Z – { 0 }
Z + = conjunto dos números inteiros não negativos
= {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Z _ = conjunto dos números inteiros não positivos
= {..., - 4, -3, -2, -1, 0}
*
Z = conjunto dos números inteiros positivos
={1, 2, 3, 4, 5, ...}
*
Z = conjunto dos números inteiros negativos
= {..., -4, -3, -2, -1}
Observe que Z + = IN
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre
uma reta conforme abaixo.
1 654320-5 -1-2-3-4-6
Importante:
1) A _ parte não positiva do conjunto
2) A + parte não negativa do conjunto
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Vamos acrescentar as frações positivas e negativas aos
números inteiros e teremos os números racionais.
Entao: -2, -5/4 , -1, -1/3, 0, 3/5, 1, 3/2, por exemplo, são
números racionais.
Todo número racional pode ser colocado em forma
a
b
com a
Z, b Z e b 0.
Exemplos:
-2 = -2/1 = -4/2 = -6/3 0 = 0/1 = 0/2 = 0/3
-5/4 = 5/-4 1 = 1/1 = 2/2 = 3/3
Assim, podemos escrever:
Q = {x | x =
a
b
, com a Z, b Z e b 0}
É interessante considerar a representação decimal de um
número racional
a
b
, que se obtém dividindo-se a por b:
Então, toda decimal exata ou periódica pode ser representada
na forma de número racional
a
b
.
1 5 3
0 5
2 10 6
,
1 3 12
0 3333
3 9 36
, ....
Podemos representar geometricamente os números racionais
sobre uma reta, conforme o esquema abaixo.
1 654320-5 -1-2-3-4-6
1
2
1
3
- 12
5
37
10
- 21
5
28
5
8
3
-
É importante lembrar que:
entre dois inteiros nem sempre existe outro inteiro ;
entre dois racionais sempre existe outro racional.
1
0 5
2
,
5
1 25
4
,
75
3 75
20
,
Estes exemplos se referem às decimais exatas ou
finitas.
1
0 3333 0 3
3
, .... ,
7
11666 116
6
, ... ,
6
0 857142857142 0 857142
7
, ... ,
Estes exemplos se referem às decimais periódicas
ou infinitas.

Exemplos:
entre 1 e 5/4 existe 6/5
entre 6/5 e 3/2 existe 5/4
Dizemos que o conjunto dos números racionais é denso. Isso
não significa que preencha todos os pontos da reta, conforme
veremos a seguir.
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ( I )
Consideremos, por exemplo, os números 2 e 3 .
Vamos determinar a sua representação decimal:
2 = 1,4142135...
3 = 1,7320508 ...
Observamos então, que existem decimais infinitas não
periódicas, às quais damos o nome de números irracionais
,que não podem ser escritos na forma
a
b
.
Observe a seguinte construção que nos mostra a
representação geométrica de um número irracional :
1 2
1
Outros exemplos :
- 2 = -1,414213...
- 5 = -2,236068....
e = 2,718...(base do logaritmo Natural)
= 3,1415926535...
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ( R )
Dados os conjuntos dos números Racionais ( Q ) e irracionais
( I ), define-se o conjunto dos números reais como:
-
ouIR Q I x / x Q x I
Assim, são números reais:
os números naturais (N);
os números inteiros (Z) ;
os números racionais(Q) ;
os números irracionais ( I ).
Como subconjuntos importantes de R, temos:
*
R = R – {0} (reais não nulos)
R = conjunto dos números reais não negativos.
R = conjunto dos números reais não positivos.
*
R = conjunto dos números reais positivos.
*
R = conjuntos dos números reais negativos.
Como os números reais resultam da união dos números
racionais com os números irracionais, pode-se estabelecer
uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta e os
números reais: cada ponto representará um único número
real e cada número real será representado por um único
ponto.
A esta reta nos referimos como reta real.
Atenção:
Existem 2 exceções nos R ,a saber:
a) divisão por zero;
b) raízes de índice par com radicando negativo.
O diagrama abaixo ilustra a disposição dos
conjuntos.
INTERVALOS
Intervalos são subconjuntos de R, determinados por dois
números reais a e b, com ba . Os intervalos podem ser:
Fechados
Quando suas extremidades pertencem ao conjunto. A
representação de intervalo fechado é feita com colchetes
virados para dentro.
Ex: 5,252/ xIRx
Abertos
Quando suas extremidades não pertencem ao conjunto. A
representação deste intervalo pode ser feita de duas
maneiras: com colchetes virados para fora ou com
parênteses.
Ex: 5,25,252/ xIRx
Semi-Abertos (à direita ou à esquerda)
Quando apenas uma das extremidades não pertence ao
conjunto.
Ex: 5,25,252/ xIRx
5,25,252/ xIRx
Infinitos
Quando uma das extremidades é infinito.
Ex: ,55/ xIRx
2,2/ xIRx

Obs:
Subconjuntos importantes de IR
1. IRxIRx ,00/ Conjunto dos números
reais não negativos
2. IRxIRx 0,0/ Conjunto dos números
reais não positivos
3.
*
,00/ IRxIRx Conjunto dos números
reais positivos
4.
*
0,0/ IRxIRx Conjunto dos números
reais negativos
OPERAÇÕES COM INTERVALOS
Em alguns casos, como na resolução de inequações, se faz
necessário à união ou intersecção de intervalos. Nestes
casos, é sempre interessante que se faça uma representação
geométrica para realizar a operação, lembrando sempre que
os intervalos também são conjuntos e por isso as definições
das operações entre conjuntos continuam valendo.
Exemplos:
Sejam os intervalos 8,0A , 9,4B e
93/ xIRxC determine:
a) CBA
0 8
0 9
A
4 9
B
AUB
3 9
C
3 9
(A B)U C
b) BCA
0 8
A
3 9
C
0 3
A-C
4 9
B
4 90 3
(A-C)UB
c) ACB
3 9
C
4 9
B
4
B
0 8
A
C
B C( )-A
9
8 9
Exercícios
01) Se 0 1 2 3 4 5 6 7A , , , , , , , ,.... , então a é equivalente a:
a)
*
x Q
b) x R
c) 0 7x N / x
d) x Z
e) 0 7x I / x
02) Resolva:
a)
1 2
2 3
b) 0
6 =
c) 1
3
d)
3
1
2
e)
23
a
f)
5 3
a a
g)
2
2
h) 2 3
5 5
i)
2
1
3
j)
3
0 4
5
,
l)
23
2
m)
0
7
9
n)
1
2
o)
2
1 3 1
1
3 10 3
p)
1 1
4 5 1 0 1
2 4
, . ,
q)
2 3
3 1 1
2 1
4 5
.
r)
1 2
3
2 2
2
s)
1 2
2 31 1
2 2
2 2
.
03)Dados os números racionais
12 22 16
5 3
5 9 3
; ; e ,
podemos afirmar que:
a)
22 12
9 5
b)
22 12
9 5
c)
12 22
5 9
d)
12 22
5 9

04) O maior entre os números
2 2 2 3
3 3 2 2
4 4 5 5
e, , é:
a)
2
3
4
b)
2
3
4
c)
2
2
5
d)
3
2
5
05) Transformando 6000 em potência de 10, temos:
06) Resolva:
a)
1
0 1
3
,
b)
2 1
3 2
.
c)
1
1
2
1 1
3 2
07) O valor da expressão
81 49
81 49
08) Calcule o valor de x, na proporção
3 1 4
2 1 3 2 5
x /
/ ,
RAZÃO
Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo
segundo, com o segundo número diferente de zero.
Numa razão
a
b
, “a” é o primeiro termo, ou antecedente, e “b”
é o segundo termo, ou conseqüente.
A razão inversa de
a
b
é
b
a
, com a ≠ 0 e b ≠ 0.
Exemplos:
a)
4
5
= = 0,8
b)
7
4
= =
4 3 7
1 75
4 4 4
,
c) A razão de 10 para certo número é 2. Qual é esse
número?
10
2 5x
x
Exercícios
09) (CESPE/UnB) Se uma corda de 30 metros de
comprimento é dividida em duas partes, cujos comprimentos
estão na razão 2:3, então o comprimento da menor parte, em
metros, é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
10) (CESPE/UnB) Em uma loja, o preço x da resma de papel
ofício é maior que o preço y da resma do mesmo papel
vendido em outra loja. Sabendo que estes preços estão na
razão de 101:99, assinale a opção correta:
a) A razão
x y
x y
é igual a
100
99
b) Se 10 00x y , , então 5 05x ,
c) Se 0 10x y , , então 11 00x y ,
d) Se 3 30y , , então x é maior que 3,40
e) A razão
x
x y
é igual a
1
2
11) A razão entre dois números é de 3 para 8. Se a soma do
maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é?
12) O valor de x e y na proporção
3 2
x y
, sabendo que x
– y = 5
13) Numa caixa há bolas brancas e bolas pretas num total de
360. Se o número de brancas é o quádruplo do número de
pretas, então o número de bolas brancas é?
14) Se a razão entre os números a e b, nesta ordem, é 0,75,
então a razão entre os números a + b e b é:
15) Em uma sala de aula há 19 rapazes e 23 moças. Que
razão pode ser estabelecida entre o total de rapazes e o total
de alunos da sala?
16) A razão entre 20 minutos e uma hora é:
17) A diferença entre dois números racionais é 30 e a razão
entre o dobro do maior e o menor é 6. Determine o número
maior.
18) Sabendo que a diferença entre dois números racionais é
igual a 28 e que a razão entre o dobro do maior e o triplo do
menor é 1, calcule o menor número.
19) Qual é a razão igual a
3
7
, cujo antecedente é igual a 6 ?
20) Numa cidade, há uma bicicleta para cada 4 jovens.
a) Qual a razão entre o número de bicicletas e o de jovens?
b) Qual a razão inversa?
21) Marcelo levantou uma bola de ferro pesando 15 Kg, e
Mateus, outra pesando 20 Kg. Qual a razão entre os pesos
levantados por Marcelo e Mateus?

22) Qual a razão igual a razão
2
5
, cujo antecedente é igual a
8?
23) Qual a razão igual a razão
1
4
, cujo conseqüente é igual a
12?
24) Quem tem maior razão de acertos : Antônio, que, em 40
exercícios, acertou 32, ou Paulo, que, em 36 exercícios,
acertou 28?
25) A razão da terça parte de um número para o triplo desse
mesmo número é?
a)
1
9
b)
1
3
c) 3
d) 9
26) O produto de duas razões inversas é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
27) Chama-se densidade demográfica a razão entre o
número de habitantes de uma região e a área da mesma.
Assim sendo, se a área do distrito federal for de 5.800 2
Km
aproximadamente e sua densidade demográfica for de 203
hab/ 2
Km , então o numero de habitantes deverá ser:
a) superior a
6
1 5 10,
b) inferior a 6
11 10,
c) superior a
6
1 3 10,
d) exatamente 6
1 3 10,
e) aproximadamente
6
1 2 10,
28) Multipliquei o antecedente de uma razão por 5 e dividi
seu conseqüente por 2. a Razão ficou:
a) dividida por 2
b) multiplicada por 5
c) dividida por 10
d) multiplicada por 10
ESCALAS
Na vida prática, utiliza-se a ESCALA, porque nem sempre é
possível desenhar os objetos em tamanho natural.
Escala é a relação que existe entre as dimensões dos objetos
reais e as de sua representação.
Na escala natural o desenho tem as mesmas dimensões do
objeto real, 1: 1 ( 1 para 1), 1 cm normal do desenho é igual a
1 cm do objeto.
Na escala de Redução a representação gráfica é menor que
a dimensão do objeto, 1: 2 ( 1 para 2), 1 cm normal do
desenho equivale a 2 cm do objeto.
Na escala de aumento a representação gráfica tem dimensão
maior que a do objeto, 2 : 1 ( 2 para 1) 2 cm do desenho
equivalem a 1 cm do objeto.
ESCALA
1comprimento do desenho
comprimento real correspondente n
1: n
Exemplo:
A planta de uma casa está na escala 1 : 50, ou seja, uma
medida no desenho representa uma outra 50 vezes maior.
Assim, um comprimento de 8 cm na planta corresponde a
quantos metros na realidade?
1 8 1
50 50
comp. na planta
comp. real x
x = 400 cm ou 4 m
Exercícios
29) Na planta de uma casa, um muro de 2 metros está
representado por um segmento de 4 centímetros. Qual é a
escala dessa planta?
Obs:
comprimento no desenho
escala
comprimento real
30) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas.
Escala do desenho Medida do desenho Medida Real
1:250 10cm X
1:400 25cm Y
1:600 25cm 150m
As medidas X e Y são respectivamente?
31) Num mapa, cuja escala é
1
3 000 000. .
, a estrada Belém –
Brasília tem 67 cm. Calcular, em Km , a distância real.
a) 1.010 Km.
b) 2.010 Km.
c) 510 Km.
d) 1000 Km.
PROPORÇÃO
Proporção é a igualdade entre duas razões.
a c
b d
( b 0 e d 0 )
(Lê-se a está para b, assim como c está para d )
Escrevendo a, b, c e d, chamamos a e d de extremos da
proporção e b e c são os meios da proporção.
Exemplo:
1 2
2 4

Exemplo:
2 12
4
3 6 3
x
x x
Outras Propriedades
a c a c a c
b d b d b d
Exercícios
32) Zeca possui em seu sítio 26 porcos, 10 vacas e 24
frangos. A fração que representa os animais mamíferos em
relação ao total de animais é:
a)3/5
b)1/4
c)2/3
d)5/3
e)2/5
33) A razão entre o preço de um aparelho de som e o preço
de uma televisão é de 2 para 9. Se o aparelho de som custou
R$ 5.796,00 , qual o preço da televisão ?
34) Numa cidade 3/16 dos moradores são de nacionalidade
estrangeira. Se o total de habitantes é 30.000, o número de
brasileiros na cidade é:
a) 23.865.
b) 24.375.
c) 25.435.
d) 25.985.
e) 26.125.
35) Na partida final de um campeonato de basquete, a equipe
campeã venceu o jogo com uma diferença de 8 pontos.
Quantos pontos assinalou a equipe vencedora, sabendo que
os pontos assinalados pelas duas equipes estão na razão de
23 para 21 ?
36) Uma indústria prepara combustível, utilizando álcool e
gasolina em quantidades proporcionais a 3 e 7. Com 3600
litros de álcool, quantos litros de gasolina devem ser
misturados?
37) O comprimento e a largura de uma lanchonete são
proporcionais a 4 e 3. O comprimento é 10 metros. Qual a
largura da lanchonete?
38) A razão entre a terça parte de 0,27 e o dobro de 0,2,
nessa ordem, é equivalente a:
a) 2,25%
b) 4,75%
c) 22,5%
d) 27,5%
e) 47,5%
39) Uma mistura contém ferro e chumbo na razão de 3 para
7. Quantos quilogramas de ferro há em 960 quilogramas
dessa mistura ?
40) Determine uma fração equivalente a 2/3 que, adicionada
de uma unidade no numerador e subtraída de uma unidade
no denominador resulte em uma fração equivalente a ¾ .
41) Para o transporte de valores de certa empresa são
usados dois veículos, A e B. Se a capacidade de A é de 2,4
toneladas e a de B é de 32 000 quilogramas, então a razão
entre as capacidades de A e B, nessa ordem, equivale a:
a) 0,0075 %
b) 0,65 %
c) 0,75 %
e) 6,5 %
f) 7,5 %
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo:
Determine x e y nas seguintes sucessões, sabendo que elas
são diretamente proporcionais:
( 2, 3, x ) e ( 6, y, 15 )
Resolução:
2 3
6 15
x
y
2 3
6 y
9y
2
6 15
x
5x
Exercícios
42) Determine x e y nas seguintes sucessões, sabendo que
elas são diretamente proporcionais:
a) ( 6, x, 9 ) e ( 18, 12, y )
b) ( x, y, 4 ) e ( 12, 10, 8 )
DIVISÃO DE UM NÚMERO “N” EM PARTES
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo:
Divida 70 em partes diretamente proporcionais a 3 e 7.
Resolução:
a) Deve-se representar os números procurados por x e y.
b) Considera-se as sucessões (x, y) e (3, 7) como
diretamente proporcionais
Propriedade Fundamental das Proporções
“Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios”
Os números a, b e c são diretamente proporcionais aos
números x, y e t quando se tem:
a b c a b c
x y t x y t

Logo:
3 7
x y
e sabe-se que x + y = 70
Então:
3 7 3 7
x y x y
ou ;
Assim:
70
10 3
x
21x
70
10 7
y
49y
Exercícios
43) Dividir 1830 em partes diretamente proporcionais a 1/3,
1/4 e 1/7.
44) Dividir R$ 4.000,00 em partes diretamente proporcionais
a 0,4 ; 1,2 e 3,4.
45) Um prêmio, no valor de R$ 4650,00, deve ser dividido
entre três funcionários de uma empresa, na razão direta de
seus tempos de trabalho na mesma. Se um trabalha há 4
anos, outro há 5 anos e o terceiro há 6 anos e meio, a maior
das partes a ser distribuída será no valor de:
a) R$ 2000,00
b) R$ 1950,00
c) R$ 1750,00
d) R$ 1600,00
46) Dois irmãos jogaram na loto, sendo que o primeiro entrou
com R$ 140,00 e o segundo com R$ 220,00. Ganharam um
prêmio de R$ 162.000,00.O prêmio recebido pelo segundo
jogador foi:
a) R$ 6.300,00
b) R$ 8.900,00
c) R$ 10.800,00
d) R$ 11.200,00
e) R$ 99.000,00
47) Um terreno, de forma quadrangular, tem a medida dos
lados proporcionais aos números 2, 3, 4 e 5. Se o perímetro
desse terreno é 70m, a medida, em metros, do maior lado é ?
48) Três amigos fizeram um bolão para concorrer na Mega
Sena. Antônio entrou com R$ 4,00 , Luís com R$ 6,50 e
Paulo com R$ 2,00. Foram sorteados e ganharam
R$100.000,00. Quanto deve receber cada um ?
49) Três amigas resolveram trabalhar em sociedade. Porém,
o tempo que elas dispunham era desigual. Ao entregar uma
encomenda, elas verificaram que Maria das Graças havia
trabalhado 9/10 do total de sessões de trabalho, Carla
compareceu a 4/5 e Fernanda a 3/4 das sessões. Tendo
recebido R$ 2.450,00 pelo trabalho, quanto deve receber
cada uma?
50) A quantia de R$ 1320,00 foi dividida entre Marcos e
Carlos, na razão direta de suas idades. Se Marcos tem 29
anos e Carlos 26 anos, a parte que coube a Carlos
corresponde a:
a) R$ 486,00
b) R$ 528,00
c) R$ 624,00
d) R$ 686,00
51) (CESPE/UnB) O encarregado de uma escavação de uma
rede de esgotos dispõe de 540 litros de combustível para
distribuir entre os operadores de dois tratores e de uma
escavadeira. Um dos tratores consome 18 litros de
combustível por hora, enquanto que outro, por ser mais novo,
consome apenas 16 litros por hora. Já a escadeira tem um
consumo de 26 litros de combustível por hora. Se os
encarregado distribui todo o combustível de tal forma que
todas as máquinas possam trabalhar pelo mesmo período de
tempo, operador da escavadeira receberá uma quantidade de
combustível igual a:
a)228
b)234
c) 240
d)244
e)248
52) (CESPE/UnB) Considere que os operários Pedro, Carlos
e Paulo tenham sido contratados para fazer reparos em um
edifício. Pedro trabalhou durante 20 horas, Carlos trabalhou
durante 25 horas e Paulo, durante 32 horas. Eles dividiram
uma quantia de R$ 616,00, valor combinado pelo serviço,
proporcionalmente ao número de horas que cada um
trabalhou. Assinale a alternativa falsa:
a) Paulo recebeu menos que Pedro e Carlos juntos
b) Carlos recebeu mais de 6/5 do que Pedro recebeu
c) Pedro Recebeu R$100,00
53) (CESPE/UnB) Considere que para a vigilância de um
depósito de material bélico, um turno de 60 horas é dividido
entre os agentes de segurança Paulo, Pedro e Mário, e que
o número de horas de serviço de cada um deles é
diretamente proporcional aos números 3, 4 e 8,
respectivamente. Então o número de horas de serviço de
Paulo é:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo:
Verifique se as sucessões são inversamente proporcionais:
( 2, 6, 9 ) e ( 18, 6, 4 )
Resolução:
Os números a, b e c são inversamente proporcionais aos
números x, y e t, quando se tem:
1 1 1
a b c
a.x b.y c.t
x y t

2 6 9
2 18 6 6 9 4 36 36 36
1 1 1
18 6 4
. . .
Logo, as sucessões são inversamente proporcionais.
Exercícios
54) Verifique se as seqüências são inversamente
proporcionais: ( 4, 5, 3 ) e ( 15, 12, 20 )
55)Determine x e y nas seguintes sucessões, sabendo – se
que elas são inversamente proporcionais :
a) ( x, 8, 6 ) e ( 12, 3, y )
b) ( 5, 6, x ) e ( 30, y, 2 )
DIVISÃO DE UM NÚMERO “N” EM PARTES
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo:
Dividindo 52 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4;
obtém-se:
Resolução:
a) Deve-se representar os números procurados por x, y e t.
b) Considera-se as sucessões ( x, y, t ) e ( 2, 3, 4 ) como
inversamente proporcionais.
Logo:
1 1 1
2 3 4
x y t
e sabe-se que x + y + t = 52
Então:
1 1 1 1 1 1
2 3 4 2 3 4
x y t x y t
ou ou
52 52 12
52 48
6 4 3 13 13
12 12
1
48 48 24
1 2
2
x
x x
1
48 48 16
1 3
3
y
y y
1
48 48 12
1 4
4
t
t t
Exercícios
56) Reparta 36 em partes inversamente proporcionais aos
números 3 e 6.
57) Divida 33 em partes inversamente proporcionais aos
números 1/3 e 1/8.
58) Uma empresa distribuiu um prêmio de R$ 900,00 entre
três funcionárias. Cada uma receberá uma gratificação cujo
valor é inversamente proporcional ao número de faltas dadas
no ano anterior. Cristina faltou 8 dias, Gláucia faltou 6 dias e
Juliane 3 dias. Quanto receberá cada uma?
59) Um tio ofereceu R$ 60,00 para ser repartido entre três
sobrinhos, em partes inversamente proporcionais ao número
de faltas que eles deram no semestre anterior. Se dois deles
faltaram duas vezes e o outro 5, quanto cada um recebeu?
60) Dividir 380 em partes inversamente proporcionais aos
números 2, 4 e 5.
61) Dividir 6.500 em três partes inversamente proporcionais
aos números: 2,5 ; 5/6 e 5/17.
62) O perímetro de um terreno é de 72 metros. As medidas
de seus lados são inversamente proporcionais a 2, 3, 5 e 6. A
medida, em metros, do menor lado desse terreno é?
63) (CESPE/UnB) Três marceneiros receberam R$ 6000,00
pela execução conjunta de uma reforma de certo prédio. Um
dos artífices trabalhou 5 dias; o outro 4 dias e meio; e o
terceiro , 8 dias. Tinham respectivamente a idade de 20 anos,
22 anos e seis meses, 26 anos e oito meses. Eles haviam
acertado repartir, entre si, a remuneração global em partes
diretamente proporcionais ao tempo de trabalho de cada um
e inversamente proporcionais às respectivas idades.
Com base na situação acima, assinale a alternativa
verdadeira.
a) O marceneiro que trabalhou 5 dias, recebeu 2/3 da quantia
recebida pelo marceneiro que trabalhou 8 dias;
b) O marceneiro mais jovem foi o que recebeu a menor
quantia;
c) O marceneiro que trabalhou 8 dias recebeu 1/4 da
remuneração global;
d) A soma das quantias recebidas pelo marceneiro mais
jovem e pelo marceneiro mais velho perfaz 11/15 da
remuneração global.
GRANDEZAS
Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido,
contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas
ou diminuídas. s
Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a
superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o
tempo, o custo e a produção.
É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos
duas ou mais grandezas. Por exemplo:
Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto
maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa
prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.
Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum,
quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de
ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são classificadas como diretamente
proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra
aumenta na mesma proporção em que a primeira.
Exemplo:
Um carro percorre, com velocidade constante, em uma hora,
60 Km e, em duas horas, 120 Km.
TEMPO DISTÂNCIA PROPORÇÃO
1h 60 km 1 60
2 1202h 120 km

Podemos notar que quando duplicado o tempo a distância
também duplicou-se.
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando,
aumentando uma delas, a outra diminui na proporção inversa
em que a primeira cresce.
Exemplo:
Um carro percorre uma distância fixa em quatro horas com
velocidade constante de 100 Km/h. Com 50 Km/h de
velocidade a distância é percorrida em oito horas.
TEMPO VELOCIDADE PROPORÇÃO
4 h 100 Km/h 4 50
8 100
8 h 50 km/h
Neste exemplo, quando a velocidade é reduzida à metade o
tempo de percurso dobra.
REGRA DE TRÊS
Simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver
problemas que envolvam quatro valores dos quais
conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um
valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma
espécie em colunas e mantendo na mesma linha as
grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2
,
uma lancha com motor movido a energia solar consegue
produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa
área para 1,5m
2
, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m
2
) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 X
Identificação do tipo de relação:
Área Energia
1,2
1,5
400
X
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que
contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia
solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta),
podemos afirmar que as grandezas são diretamente
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no
mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a
proporção e resolvendo a equação temos:
Área Energia
1,2
1,5
400
X
1 2 400
1 5
1 2 600
600
500
1 2
,
, x
, x
x
,
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de
400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em
quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade
utilizada fosse de 480km/h?
Velocidade
(Km/h)
Tempo
(h)
400 3
480 x
Velocidade Tempo
400
480
3
X
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do
percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui),
podemos afirmar que as grandezas são inversamente
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no
sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a
proporção e resolvendo a equação temos:
Velocidade Tempo
400
480
3
X
3 480
400
480 1200
1200
2 5
480
x
x
x ,
=
=
= =
Os termos foram
invertidos
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas
e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto
ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e
preço?
Camisetas Preço(R$)
3 120
5 X
Camisetas Preço
3
5
120
X

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço
também aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta),
podemos afirmar que as grandezas são diretamente
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a
equação temos:
Camisetas Preço
3
5
120
X
3 120
5
3 600
600
200
3
x
x
x
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
Composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com três
ou mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3
de areia.
Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para
descarregar 125m3
?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas
de espécies diferentes que se correspondem:
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Identificação dos tipos de relação:
Horas Caminhões
8
5
20
X
Volume
160
125
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela
onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos
diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é
inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número
de caminhões. Portanto a relação é diretamente
proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos
igualar a razão que contém o termo x com o produto das
outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Horas Caminhões
8
5
20
X
Volume
160
125
Os termos foram
invertidos
20 160 5
125 8
20 800 8 4
1000 10 5
4 100
100
25
4
.
x
x
x
x
=
= = =
=
= =
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20
carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4
homens em 16 dias?
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
Identificação dos tipos de relação:
Homens Carrinhos
8
4
20
X
Dias
5
16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos
aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não
precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos
aumenta. Portanto a relação também é diretamente
proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos
igualar a razão que contém o termo x com o produto das
outras razões.
Homens Carrinhos
8
4
20
X
Dias
5
16
20 8 5
4 16
20 40 10 5
64 16 8
5 160
160
32
5
.
x
x
x
x
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com
2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura
para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse
muro?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas
de espécies diferentes que se correspondem.
Pedreiros Dias Altura
2 9 2
3 x 4
contém o x.
Pedreiros Dias
2
3
9
X
Altura
2
4
Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas
diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes
para as inversamente proporcionais, como mostra a figura
abaixo:

Pedreiros Dias
2
3
9
X
Altura
2
4
Os termos foram
invertidos
9 2 3
4 2
9 6 3
8 4
3 36
36
12
3
.
x
x
x
x
=
= =
=
= =
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Exercícios
64) Se 5 torneiras enchem um tanque em 7h 30min, 9
torneiras encherão o mesmo tanque em quanto tempo?(Dê a
resposta em horas)
65) Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo
trabalho, quantos operários farão esse mesmo trabalho em 6
dias?
66) Um relógio atrasa 4 minutos a cada 24 horas. Quantos
minutos atrasará em 120 horas?
67) Seis operários gastam 20 dias para construir uma casa.
Quanto tempo gastaria 10 operários para construir a mesma
casa?
68) Para fazer um carregamento de areia, 6 caminhões de
5 3
m de capacidade fizeram 30 viagens. O número de viagens
necessárias para que 10 caminhões de 6 3
m façam o mesmo
carregamento será ?
69) Uma pessoa dá 90 passos por minuto, com passos de 70
cm, faz um trajeto de treinamento em 4h 20min. Quanto
tempo levará para percorrer essa mesma distância com
passos de 65cm, dando 100 passos por minuto?
70) Um circo pode ser armado, por 15 homens, em 3 dias de
trabalho de 10 horas por dia. Em quantos dias 25 homens
armariam o circo, trabalhando 9 horas por dia?
71) Em uma empresa, 8 funcionários produzem 2000 peças,
trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O número de
funcionários necessários para que essa empresa produza
6000 peças em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia, é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 8
e) 16
72) Para asfaltar 1 Km de estrada, 30 homens gastaram 12
dias trabalhando 8 horas por dia. 20 homens, para asfaltar 2
Km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia
gastarão quantos dias?
73) 15 teares, trabalhando 6 horas por dia, durante 20 dias,
produzem 600 m de pano. Quantos teares são necessários
para fazer 1.200 m do mesmo pano, em 30 dias, com 8 horas
de trabalho por dia?
74) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600
Km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro,
para percorrer 840 Km, consumirá quantos litros ?
75) Para fazer uma toalha quadrada de renda com 1 m de
lado, uma rendeira utiliza 16 novelos de linha. Para fazer uma
outra toalha quadrada com 2 m de lado, com o mesmo ponto
e a mesma linha, ela utilizará uma quantidade de novelos
igual a:
a) 256
b) 128
c) 64
d) 32
e) 28
76) Um reservatório contendo 120 litros de água apresentava
um índice de salinidade de 12%. Devido a evaporação, esse
índice subiu para 15%. Determine, em litros o volume de
água evaporada.
77) Um ciclista percorreu 3/10 de uma prova em 1/4 de hora.
Mantendo a mesma velocidade, determine o tempo gasto, em
minutos, para completar o restante da prova.
78) Um motociclista percorre 200 Km em 2 dias, se rodar
durante 4 horas por dia. Em quantos dias esse motociclista
percorrerá 500 Km, se rodar 5 horas por dia ?
79) Em 3 horas 3 torneiras despejam 3600 litros de água.
Quantos litros despejam 5 dessas torneiras em 5 horas ?
80) Fiz meus cálculos: durante 25 dias de férias eu precisaria
ler 12 páginas por dia para terminar a leitura pedida pela
escola. Infelizmente, eu nem peguei o livro. Agora, só restam
15 dias de férias. Quantas páginas terei de ler por dia, para
completar a leitura no último dia de férias?
81) Um livro tem 120 páginas de 40 linhas, cada linha com 12
cm de comprimento. Quantas páginas teria esse livro se
houvesse 60 linhas em cada página, e as linhas tivessem 10
cm de comprimento?
82) Em 30 dias, uma frota de 34 táxis consome 85.000 litros
de combustível. Um pequeno incêndio no estacionamento da
frota destruiu 4 táxis. Calcule agora para quantos dias serão
suficientes os 100.000 litros de combustível que a frota tem
em estoque, supondo que os táxis restantes continuem
rodando normalmente.
83) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100 2
m em
3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto
tempo limpará uma área de 11900 2
m ?
84) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias
3 Kg de pão. Quantos quilos serão necessários para
alimentá-los durante 5 dias, estando ausente 2 pessoas?
85) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor
mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica
realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de
mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou
fazer uma nova encomenda. Desta vez, sessenta mil
folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava

quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a
trabalhar doze horas por dia, executando o serviço em:
a) 5 dias
b) 8 dias
c) 10 dias
d) 12 dias
e) 15 dias
86) Com a velocidade média de 42 Km/h um carro percorre
uma distância em 6 horas e 30 minutos. Que velocidade
deverá desenvolver para fazer o mesmo trajeto em 5 horas e
15 minutos?
87) Uma tinturaria paga a quantia de R$ 750,00 pelo
consumo de energia elétrica, durante 6 dias, de um ferro
elétrico que funciona 5 horas por dia. A despesa que esse
ferro dará mensalmente, se funcionar 9 horas por dia será de:
a) R$ 3750,00
b) R$ 4500,00
c) R$ 6759,00
d) R$ 7250,00
88) Um supermercado dispõe de 20 atendentes que
trabalham 8 horas por dia e custam R$ 3.600,00 por mês. Se
o supermercado passar a ter 30 atendentes trabalhando 5
horas por dia, eles custarão, por mês:
a) R$ 3.375,00.
b) R$ 3.400,00.
c) R$ 3.425,00.
d) R$ 3.450,00.
e) R$ 3.475,00.
89) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram
incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total
na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus
respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27
anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está
há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre
os números de processos que cada um arquivou é:
a) 48
b) 50
c) 52)(())
d) 54
e) 56
90) Um determinado serviço é realizado por uma única
maquina em 12 horas de funcionamento ininterrupto e, em 15
horas, por uma outra máquina, nas mesmas condições. Se
funcionarem simultaneamente, em quanto tempo realizarão
esse mesmo serviço?
a) 3 horas.
b) 9 horas.
c) 25 horas.
d) 4 horas e 50 minutos.
e) 6 horas e 40 minutos.
91) Considere que uma máquina específica seja capaz de
montar um livro de 400 páginas em 5 minutos de
funcionamento ininterrupto. Assim sendo, outra máquina, com
50% da capacidade operacional da primeira, montaria um
livro de 200 páginas após funcionar ininterruptamente por um
período de:
a) 2 minutos e 30 segundos.
b) 5 minutos.
c) 6 minutos e 15 segundos.
d) 7 minutos.
e) 7 minutos e 30 segundos.
92) Na construção de 6 Km de uma ponte, foram empregados
30 operários, durante 60 dias, trabalhando 8 horas por dia.
Nas mesmas condições, 50 operários, trabalhando 6 horas
por dia, em quantos dias construirão 10 Km dessa ponte?
93) (CESPE/UnB) Com velocidade constante de 65 Km/h, um
veículo vai de uma cidade a outra em 3 horas e 7 minutos.
Então, se a velocidade for aumentada em 20 km/h e mantida
constante, o intervalo de tempo para que o veículo faça o
mesmo trajeto será de:
a) 2h 19min
b) 2h 20min
c) 2h 21min
d) 2h 22min
e) 2h 23min
94) CESPE/UnB) Se 6 pessoas trabalhando 8 horas por dias
cumprem uma determinada tarefa em 9 dias, então 12
pessoas, trabalhando 9 horas nas mesmas condições,
concluirão a mesma tarefa em:
a) 8 dias
b) 7 dias
c) 6 dias
d) 5 dias
e) 4 dias
95) (CESPE/UnB) Considere que 8 copiadoras igualmente
produtivas, trabalhando 4 horas por dia, produzem em 5 dias
160.000 cópias. Então, em 5 dias de trabalho, 7 dessas
copiadoras, trabalhando seis horas por dia produzirão:
a) 205.000 cópias
b) 207.000 cópias
c) 208.500 cópias
d) 210.000 cópias
e) 210.900 cópias
96) (CESPE/UnB) Para o tratamento de água de um
reservatório de 45000 litros, recomendam-se 180g de cloro.
Seguindo a proporcionalidade recomendada, para um
reservatório de 215000 litros de capacidade, mas que esta
somente com 4/5 de sua capacidade, a quantidade de cloro a
ser adicionada a água deverá ser:
a) Inferior a 0,5 kg
b) Maior que 0,5 kg e menor que 0,6 kg
c) Maior que 0,6 kg e menor que 0,7 kg
d) Maior que 0,7 kg e menor que 0,8 kg
e) Superior a 0,8 kg
97) (CESPE/UnB) Com o regime de trabalho de 8 horas
diárias, 12 empregados são necessários para dar proteção
aos recursos hídricos de uma empresa, em uma área de 100
Km2
. Tendo passado a adotar o regime de trabalho de 6
horas diárias e necessitando ampliar a área a ser protegida
para 200 Km
2
, a empresa terá de aumentar o número desses
empregados para:
a)18
b)24
c) 28
d)32
e)36

98) (CESPE/UnB) Considerando que todos os consultores de
uma empresa desempenhem as suas atividades com a
mesma eficiência e que todos os processos que eles
analisam demandem o mesmo tempo de análise, se 10
homens analisam 400 processos em 9 horas, então 8
homens analisariam 560 processos em quantas horas?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
99) (CESPE/UnB) Os 33 alunos formandos de uma escola
estão organizando a sua festa de formatura e 9 desses
estudantes ficaram encarregados de preparar os convites.
Esse pequeno grupo trabalhou durante 4 horas e produziu
2343 convites. Admitindo-se que todos os estudantes sejam
igualmente eficientes, se todos os 33 formandos tivessem
trabalhado na produção desses convites, o número de
convites que teriam produzido nas mesmas 4 horas seria
igual a:
a) 7987
b) 8591
c) 8737
d) 8926
e) 9328
PORCENTAGEM
É toda razão na qual o denominador é 100, ou seja,
100
N
N .
Exemplos:
a)
35
35 0 35
100
% ,
b)
25
25 500 500 125
100
% de
Exercícios
100) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do
valor de cada venda efetuada.
a) Um apartamento foi vendido por R$ 62.400,00.
Determine a comissão recebida pelo corretor.
b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$
79.800,00, já descontada a comissão do corretor. Determine
o valor da comissão.
101) Quanto é 18% de a + b, quando a = 7/3 e b = 5?
102) Se 0,6% de
1
3 3 1
3
x , então o valor de x é:
a) 3,4%
b) 9,8%
c) 34%
d) 54%
e) 98%
103) Paulo ganha 70 salários mínimos mensais. Joaquim
ganha 30% a menos do que ganha Paulo. Quantos salários
mínimos mensais ganha Joaquim?
104) Trinta por cento da quarta parte de 6400 é igual a:
a) 480
b) 640
c) 240
d) 160
e) 180
105) Em Florianópolis, com suas 42 praias, são esperados
para a temporada de 1998, 60% de turistas estrangeiros e um
total de 150000 turistas nacionais. A previsão de estrangeiro
é:
a) 375000
b) 250000
c) 400000
d) 150000
e) 225000
106) Seja
26
9 5 4 8
5
x , . Então, o valor de 0,3% de x
é:
a) 0,66
b) 0,066
c) 2,2
d) 6,6
e) 3,3
107) O preço de um carro “zero Km” é de R$ 10.000,00.
Sabe-se que ele sofre uma desvalorização anual de 20%.
Decorridos 3 anos de uso, seu preço será de:
a) R$ 17.280,00
b) R$ 6.740,00
c) R$ 5.120,00
d) R$ 4.000,00
e) R$ 3.806,00
108) Com 20% de desconto, paguei R$ 64,00 por uma capa.
O preço sem desconto é:
a) R$ 90,00
b) R$ 76,80
c) R$ 80,00
d) R$ 66,00
109) Uma fábrica tem 350 operários. O número de mulheres
corresponde a 40% do número de homens. O número de
homens, é:
a) 280
b) 250
c) 220
d) 210
e) 140
110) Um comerciante marcou o preço de venda de uma
mercadoria computando um lucro de 18% sobre o preço de
custo. Se em uma promoção, ele der 18% de desconto sobre
o preço de venda, concluímos que:
a) ganhará dinheiro
b) perderá dinheiro
c) empatará

d) é impossível determinar se perderá, ganhará ou
empatará, pois não se conhece o preço de venda da
mercadoria.
e) é impossível determinar se perderá, ganhará ou
empatará, pois não se conhece o preço de compra da
mercadoria.
111) Um comerciante comprou uma peça de tecido de 50m
por R$ 1.000,00. Se ele vender 20m com lucro de 60%, 20m
com lucro de 35% e 10m pelo preço de custo, o seu lucro
total na venda dessa peça será de:
a) 38%
b) 15%
c) 5%
d) 12%
e) 25%
112) Se eu tivesse mais 20% da quantia que tenho, poderia
pagar uma dívida de R$ 92,00 e ainda ficaria com R$ 8,80. A
quantia que possuo é:
113) As promoções do tipo ``leve 3 e pague 2`` comuns no
comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade
vendida, de:
a) 50/3 %
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 100/3 %
114) A organização de uma festa distribuiu 200 ingressos
para 100 casais. Outros 300 ingressos foram vendidos, 30%
dos quais para mulheres. As 500 pessoas com ingresso
foram à festa.
a) Determine o percentual de mulheres na festa.
b) Se os organizadores quisessem ter igual número de
homens e de mulheres na festa, quantos ingressos a mais
eles deveriam distribuir apenas para pessoas do sexo
feminino?
115) Um comerciante adquire uma mercadoria por um preço
P e paga um imposto no valor de 15% de P. Ao revendê-la, o
comerciante cobrou um valor 75% superior ao preço P. O
lucro deste comerciante, em relação ao custo total, é
aproximadamente de:
a) 45%
b) 52%
c) 55%
d) 59%
e) 60%
116) Ao vender um artigo por R$ 2000,00, obtive um lucro de
25%. O valor do meu lucro corresponde, na unidade
monetária em uso, a:
a) 250,00
b) 400,00
c) 500,00
d) 1500,00
e) 1600,00
117) No custo industrial de um livro, 60% é devido ao papel e
40% à impressão. Sendo que num ano o papel aumentou
259% e a impressão, 325%, o aumento percentual no custo
do livro foi de:
a) 278,1%
b) 280,5%
c) 283,7%
d) 285,4%
e) 287,8%
118) Após um aumento de 20%, um livro passa a custar R$
180,00. O preço antes do aumento era:
a) R$ 170,00
b) R$ 144,00
c) R$ 160,00
d) R$ 150,00
119) Uma loja realiza uma liquidação vendendo certa
mercadoria por R$ 950,00, com prejuízo de 5% sobre o preço
de custo. De quanto foi o prejuízo?
a) R$ 50,00
b) R$ 60,00
c) R$ 70,00
d) R$ 80,00
120) O preço de uma geladeira é de R$ 1200,00. Como vou
comprá-la a prazo, o preço sofre um acréscimo de 10% sobre
o preço à vista. Dando 30% de entrada e pagando restante
em duas prestações iguais, o valor de cada prestação será
de:
a) R$ 302,00
b) R$ 402,00
c) R$ 450,00
d) R$ 462,00
121) Num lote de 1000 peças, 65% são do tipo A e 35% são
do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo A e 4% do tipo B são
defeituosas, quantas peças devem ser rejeitadas neste lote?
a) 66
b) 70
c) 42
d) 80
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1° E 2° GRAUS
EQUAÇÃO
É toda a sentença aberta expressa por uma igualdade.
EQUAÇÃO DE 1º GRAU
É toda equação que pode ser reduzida a forma 0ax b ,
com a 0 e a e b R.
A solução é dada quando isolamos x.
Assim:
a x + b = 0 x = -b/a
S = {-b/a }.
Exemplos:
01 - Resolva as equações do 1º grau:
a) 2 8 3 10x x
b) 2 6 12x
c)
2
2
x
x
d) 3 5x

Resolução:
a) 2 8 3 10 8 10 3 2 2x x x x x
b) 2 6 12 2 12 6 2 6 3x x x x
c)
2
2 2 2 2 2 2
x
x x x x x
x
d) 3 5 5 3 2x x x
02 - Problema:
Em uma cidade A uma corrida de táxi custa R$ 5,00 pela
bandeirada e R$ 0,20 por quilômetro rodado. Na cidade B a
bandeirada custa R$ 2,00 mais R$ 0,30 o quilômetro.
Quantos quilômetros uma pessoa pode rodar para pagar o
mesmo nas duas cidades?
Resolução:
Chamando de X a quantidade de quilômetros rodados,
temos:
Custo de uma corrida na cidade A.
5,00 + 0,20x
Custo de uma corrida na cidade B.
2,00 + 0,30x
Como queremos gastar o mesmo em ambas as cidades,
devemos igualar os custos. Daí:
5,00 0,20 2,00 0,30
0,20 0,30 2,00 5,00
0,10 3,00
3,00
0,10
30
x x
x x
x
x
x
Logo, para que os custos de ambas as corridas seja igual,
devemos rodar 30 quilômetros.
Exercícios
Nos exercícios de 122 a 126 resolva as equações.
122) 3 5 2 8x x
123) 4 1 2 5x x
124)
4 1
5
3
x
125)
4
1 5
3
x
126)
1 5
2 1 12x
Problemas do 1° grau
127) O dobro de um número diminuído de 3 é igual a 11.
Qual é o número?
128) A soma de um número com a sua quinta parte é 2. Qual
é esse número?
129) A soma de dois números consecutivos é 25. Calcule os
números.
130) Um fazendeiro repartiu 240 reses entre seus três
herdeiros na seguinte forma: o primeiro recebeu 2/3 do
segundo e o terceiro tanto quanto o primeiro e o segundo
juntos. A parte recebida pelo primeiro herdeiro foi?
131) A soma das idades de duas pessoas é 42 anos e a
diferença é 6 anos. Quais são as idades?
132) A soma de dois números é 44 e a diferença é 4. Quais
são esses números?
a) 20 e 24
b) 18 e 6
c) 18 e 20
d) 26 e 20
133) Atualmente, quando um empregado sai de férias tem
direito a 1/3 do salário como abono. João, ao sair de férias,
disse: “Estou ganhando muito pouco. O abono mais R$ 600 (
de horas extras e atrasados) equivale a três vezes o meu
salário”. João ganha em reais:
a) R$ 175,00
b) R$ 200,00
c) R$ 225,00
d) R$ 300,00
134) A minha idade é, hoje, o triplo da sua. E daqui a 5 anos,
será o dobro da sua.Qual é, hoje, a soma das nossas idades?
a) 10
b) 15
c) 25
d) 30
e) 20
135) Hoje, um pai tem o dobro da idade de um filho. Dez
anos atrás, o pai tinha o triplo da idade que o filho tinha. Hoje,
a idade do pai é:
a) 20
b) 25
c) 40
d) 30
136) A diferença entre o quádruplo de um número e a terça
parte desse mesmo número é 187. Este número é:
a) primo
b) múltiplo de 3.
c) divisível por 4.
d)múltiplo de 5.
137) Se a soma de três números pares consecutivos é 402, o
menor dos três é divisível por:
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
138) As idades de Carlos e Felipe somam, hoje, 45 anos e há
6 anos passados, a idade de Carlos era o dobro da idade de
Felipe. A idade atual de Carlos é:
a) 20

b) 22
c) 26
d) 28
139) Dois quintos do meu salário são reservados para o
aluguel, e a metade do que sobra, para a alimentação.
Descontados o dinheiro do aluguel e o da alimentação,
coloco um terço do que sobra na poupança, restando então
R$ 1.200,00 para gastos diversos. Qual é o meu salário?
140) Cada filha de Luiz Antônio tem o número de irmãs igual
a quarta parte do número de irmãos. Cada filho de Luiz
Antônio tem o número de irmãos igual ao triplo do número de
irmãs. O total de filhas de Luiz Antônio é:
a)5
b)6
c)11
d)16
e)21
141) Resolva os sistemas:
a)
3 10
5 2 16
x y
x y
b)
4 3 2
8 5 26
x y
x y
c)
4 3 6 1 60
3 5
24
2 3
( x ) ( y )
x y
142) Marcelo e Renato têm juntos 360 figurinhas. Se Marcelo
der 40 figurinhas para Renato, eles ficarão com igual número
de figurinhas. O número de figurinhas de Renato,
inicialmente, era:
a) 140
b) 160
c) 200
d) 220
143) Num grupo de cavalos e patos, num total de 100
animais, o número de pés excede o número de cabeças em
150 unidades. O número de cavalos é:
a) 25
b) 30
c) 50
d) 75
144) (CESPE/UnB) Um grupo composto de x empregados de
uma empresa pretende comprar um presente de R$ 70,00
para o chefe, dividindo esse valor em partes iguais. Devido à
desistência de dois colegas em participarem do evento, o
encarregado da compra solicitou mais R$ 4,00 de cada
participante restante. Com base nas informações acima,
assinale a alternativa correta.
a) A equação
70 74
4 2x x
permite determinar o número x
de empregados da empresa
b) Inicialmente, o grupo de empregados era composto por
mais de 8 participantes
c) Cada empregado participante do evento contribuirá com
mais de R$ 10,00 para a compra do presente
145) (CESPE/UnB) Ao fazer o controle de entrada e saída de
veículos de garagem de uma empresa, o encarregado de
segurança registrou a saída de 10 veículos, alguns com
capacidade de transporte de 7 passageiros, outros com
capacidade de transporte de 3 passageiros. Sabendo que
todos os veículos deixaram a garagem com sua lotação
máxima e que 54 passageiros foram transportados, a
quantidade de veículos com capacidade de 7 passageiros
que saiu da garagem foi igual a:
a) 3
b) 5
c) 6
d) 8
e) 10
146) Uma criança comprou n canetas por 300 reais e n+4
lapiseiras por 200 reais. Sabendo que o preço de uma caneta
é o dobro do preço de uma lapiseira, o número de canetas e
lapiseiras, respectivamente, que ele comprou é:
a) 8 e 12
b) 10 e 14
c) 12 e 16
d) 16 e 12
e) 12 e 8
147) O número
110
3
foi dividido em três parcelas de modo
que
10
3
da primeira é igual à segunda, e a terceira é o dobro
da segunda. A menor parcela é:
a)
10
3
b)
20
3
c) 10
d) 100
e)
100
3
148) Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro
por R$1.000,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar
4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então,
o número original de garrafas de vinho na caixa é:
a) 42
b) 33
c) 30
d) 24
e) 18
149) Maria e Manuel disputaram um jogo no qual são
atribuídos 2 pontos por vitória e é retirado um ponto por
derrota. Inicialmente cada um tinha 5 pontos. Se o Manuel
ganhou exatamente 3 partidas, e a Maria no final ficou com
10 pontos, quantas partidas eles disputaram?
a)3
b)4
c) 5
d)6
e)7

150) (CESPE/UnB) Um juiz tem quatro servidores em seu
gabinete. Ele deixa uma pilha de processos para serem
divididos igualmente entre seus auxiliares. O primeiro
servidor conta os processos e retira a quarta parte para
analisar. O segundo, achando que era o primeiro, separa a
quarta parte que encontrou e deixa 54 processos para serem
divididos entre os outros dois servidores. Quantos foram os
processos deixados pelo juiz?
a) 96
b) 97
c) 98
d) 99
e) 100
151) (CESPE/UnB) Um ciclista deseja percorrer 800 km em
cinco dias. Se, no primeiro dia, ele consegue percorrer 1/5 do
total e, no segundo dia, ele percorre 1/4 do restante do
percurso, então, nos três dias subseqüentes, ele deverá
percorrer:
a) 240 km
b) 360 km
c) 400 km
d) 440 km
e) 480 km
152) (CESPE/UnB) Marcos e Pedro receberam, no início de
abril, mesadas de valores iguais. No final do mês, Marcos
havia gastado 4/5 de sua mesada e Pedro 5/6 da sua.
Sabendo que Marcos ficou com R$ 10,00 a mais que Pedro,
o valor da mesada recebida por cada um deles é:
a) Inferior a R$ 240,00
b) Superior a R$ 240,00 e inferior a R$ 280,00
c) Superior a R$ 280,00 e inferior a R$ 320,00
d) Superior a R$ 320,00 e inferior a R$ 360,00
e) Superior a R$ 360,00
EQUAÇÃO DE 2º GRAU
É toda equação na forma ax2
+ bx + c = 0, com a 0 e a, b e
c R .
Equações completas e incompletas
Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são
diferentes de zero.
Exemplos:
2
9 20 0x x e 2
10 16 0x x são equações
completas;
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual
a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero.
Exemplos:
2
36 0
0
x
b
2
10 0
0
x x
c
2
4 0
0
x
b c
Raízes de uma equação de 2º grau
Resolver uma equação de 2º grau significa determinar
suas raízes.
Raiz é um número real que, ao substituir a incógnita de uma
equação, transforma-a numa sentença verdadeira.
O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-
se conjunto verdade ou conjunto solução.
Resolução de equações incompletas
Quando a equação tem c = 0 as sua raízes são do tipo:
0x e
b
x
a
Quando a equação tem b=0 suas raízes são simétricas (um
número é o oposto do outro) e as mesmas só serão reais se
0
c
a
, caso contrário a equação não tem solução no
conjunto dos reais.
Resolução de equações completas
Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos
à fórmula de Bhaskara.
2
4
2
b b ac
x
a
, e podemos representar as duas raízes
reais por 'x e "x , assim:
2
2
4
'
2
4
"
2
b b ac
x
a
b b ac
x
a
Discriminante
Denominamos discriminante o radical 2
4b ac que é
representado pela letra grega (delta).
2
4b ac
Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:
x
2
b
a
De acordo com o discriminante temos três casos a
considerar:
1º Caso - 0 - O valor de é real e a equação tem
duas raízes reais diferentes.
2º Caso - 0 - O valor de é nulo e a equação tem
duas raízes reais e iguais.
3º Caso - 0 - O valor de não existe no conjunto dos
reais, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da
equação são números complexos.
Exemplos:
01 – Resolva as equações do 2º grau abaixo:
a) 2
5 6 0x x

Temos:
1
5
6
a
b
c
Assim:
2
2
4
5 4 1 6
25 24 1
b ac
. .
2
5 1
3
5 1 2
5 12
2
2
b
x
a
x'
x
x"
3 2S ,
b) 2
4 4 0x x
Temos:
1
4
5
a
b
c
Assim:
2
2
4
4 4 1 4
16 16 0
b ac
. .
2
4 0
2
4 0 2
4 02
2
2
b
x
a
x'
x
x"
2S
c) 2
2 3 0x x
Temos:
1
2
3
a
b
c
Assim:
2
2
4
2 4 1 3
4 12 8
b ac
. .
Como 0 a equação não possui soluções reais. Ou
seja, S Ø
02 - Problema:
João comprou um terreno de forma retangular com área e
igual a 300 m
2
. Se um lado é 5 m maior que o outro, qual as
dimensões do terreno de João?
Resolução:
Chamando o lado menor do retângulo de x, o outro medirá
(x+5), já que um é maior do que o outro em 5m.
Se a área é 300 m
2
, então o produto entre as dimensões dos
lados deve ser igual a 300.
2
2
5 300
5 300
5 300 0
' 20
" 15
x x
x x
x x
x
x
Como procuramos à dimensão de um terreno, o valor (-20)
não nos serve. Então um lado do terreno mede 15m. Por
conseqüência o outro mede 20m. (15+5).
Relação entre coeficientes e as raízes de uma equação
do 2° grau
Estas relações entre as raízes tabém são conhecidas como
relações de Girard, ou simplesmente, regra da Soma e
Produto.
Então, se uma equação da forma 2
0ax bx c , com
coeficientes reais a , b e c , admite x' e x" como suas
raízes reais, podemos escrever:
b
x' x" soma
a
c
x' x" produto
a
Exemplos:
01 – Determinar as raízes das equações do 2ª grau,
utilizando soma e produto.
a) 2
11 18 0x x
Resolução:
Devemos procurar dois números x' e x" tais que:
11
11
1
18
18
1
x' x"
x' x"
Vamos determinar inicialmente, os pares de números
(inteiros) em que o produto é igual a 18.
1 18 18
2 9 18
3 6 18
Agora, devemos identificar se existe um destes pares que
verifique a soma. Assim:
1 18 19
2 9 11
3 6 9
(não verifica)
(verifica)
(não verifica)

Então, o conjunto solução é 2 9S , .
b) 2
5 24 0x x
Resolução:
5
5
1
24
24
1
x' x"
x' x"
(inteiros) em que o produto é igual a (- 24). É importante
observar que o produto tem sinal negativo, assim os fatores
devem ter sinais opostos, porém nos preocuparemos com os
sinais apenas no passo seguinte.
1 24 24
2 12 24
3 8 24
4 6 24
1 24 23
1 24 23
2 12 10
2 12 10
3 8 5
3 8 5
4 6 2
4 6 2
(não verifica)
(não verifica)
(não verifica)
(não verifica)
(não verifica)
(verifica)
(não verifica)
(não verifica)
c) 2
10 16 0x x
Resolução:
10
10
1
16
16
1
x' x"
x' x"
(inteiros) em que o produto é igual a 16. É importante
observar que o produto tem positivo, assim os fatores devem
ter sinais iguais, porém a soma é negativa e isso nos diz que
se existirem raízes reais elas serão também negativas.
1 16 16
2 8 16
4 4 16
1 16 17
2 8 10
4 4 8
(não verifica)
(verifica)
(não verifica)
Exercícios
153) 2
5 4 0x x
154) 2
8 15 0x x
155) 2
5 14 0x x
156) 2
7 6 0x x
157) 2
11 10 0x x
158) 2
2 8 0x x
159) 2
6 16 0x x
160) 2
6 0x x
161) 2
2 5 2 0x x
162) 2
4 17 15 0x x
163) 2
2 6 0x x
164) 2
10 19 6 0x x
165) 2
7 18 9 0x x
166) 2
5 7 0x x
167) 2
10 24 0x x
168) 2
5 24 0x x
169) 2
11 30 0x x
170) 2
5 36 0x x
171) 2
5 13 6 0x x
172) 2
3 8 16 0x x
173) 2
16 16 3 0x x
174) 2
6 7 10 0x x
175) 2
6 10 0x x
176) 2
12 27 0x x
177) 2
2 35 0x x
178) 2
8 12 0x x
179) 2
2 99 0x x
180) 2
8 29 15 0x x
181) 2
9 41 20 0x x
182) 2
12 29 15 0x x
183) 2
4 25 6 0x x
184) 2
2 3 0x x
185) 2
6 5 0x x
186) O conjunto verdade da equação
2
1
2 2
x x
x x
é:

187) A raiz da equação de 1o
grau
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
x x x x
é:
a) 2
b) 5
c)-5
d) 3
e) 1
188) Resolva a equação:
1 3 7
1 1 2 1
x
x x ( x )
3 1 2 1 2
4 8 2 3
( x ) ( x ) x x
a) 1
b) 2
c) –2
d) –1
e) n.r.a.
190) Resolva a equação
1 3
0 4 0 2 1
2 2
, x , x :
191) Resolva a equação
2
4 1 25 4
2 4
x
( x ) x
192) Na equação (x - b)²- (x - a)² = a² - b2
, a afirmativa correta
é:
a) Se a b a equação é determinada.
b) Se a b a equação é impossível.
c) Se a b a equação é indeterminada.
d) Se a = b a equação é impossível.
e) Se a = b a equação é determinada.
193) A equação 4 8
1 3
x x
a
a a
é indeterminada para:
a) a = l ou a = 3
b) a = 2
c) a = 3
d) a 1;a 2;a 3
e) a = -2
194) Calcule a soma e o produto das raízes da equação 2x² -
8x = 0.
195) Qual é o valor de m, sabendo-se que a equação x
2
- 7x +
m = 0 admite uma raiz igual a 3?
196) A soma das raízes da equação 2x² - 3x + 1 = 0 é:
a) 3/2
b) –3/2
c) 1/2
d) –1/2
e) 1
197) Qual é o valor de m em x² – mx +12 = 0, se uma raiz é o
triplo da outra raiz?
198) Calcule o valor de “81m” de modo que a equação x² -
(2m+1) x + m – 1 = 0, admita 2 como raiz.
199) O valor de “a + b”, sabendo que 1 e 2 são raízes
da equação x² – ax + b = 0 é:
a) 4
b) 5
c) – 4
d) -5
e) N.r.a.
200) O valor de m para o qual a equação
2
7 3 0
2
m
x x tenha uma raiz nula é:
a) 7
b) 6
c) 0
d)-6
201) A equação do 2
o
grau a.x² - 4x - 16 = 0 tem uma raiz
cujo valor é 4. A outra raiz é:
a)
b) 2
c) -1
d) -2
e) 0
202) O valor do “c” na equação 64x²- 160x + c = 0, de modo
que uma raiz seja o triplo da outra é:
a) 15
b) 25
c) 3
d) 75
e) n.r.a.
203) Calcule o valor de “3m”, de modo que a diferença entre
as raízes da equação x² - 15x + 6m +2 = 0, seja 3.
204) Valor de “p”, sabendo que a diferença entre as raízes da
equação 2x2
- (p-1)x + p +1 = 0, é igual a l é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
205) O valor e k para que a equação
2 2
300 299 42 1( k k )x x tenha -6 e 7 como raízes é:
a) -1
b) 0
c)
3
2
d)
3
3
e) n.d.a
Problemas do 2° grau
206) O quadrado de um número diminuído do seu quádruplo
é igual a 12. Qual é esse número?
a) -2 ou 6
b) 2 ou -6
c) 1 ou 3
d) 3 ou 2

207) Um número natural diminuído do seu inverso é igual a
3/2. Qual é esse número?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
208) A soma dos quadrados de dois números naturais
consecutivos pares é 20. A soma desses números é:
a) 10
b) 8
c) 6
d) 4
209) Um número é tal que se do seu quadrado subtrairmos o
triplo do seu antecedente obtemos a unidade. Calcule o
número.
210) Determine três números inteiros, positivos e
consecutivos, tais que o quadrado do maior seja igual à soma
dos quadrados dos outros dois.
211) Há oito anos o quadrado da minha idade era
exatamente igual ao décuplo da idade que terei daqui a doze
anos. Qual a minha idade?
212) A raiz quadrada de um número diminuído do seu próprio
número é igual a -2. Qual é esse número?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 8
213) A soma das idades de Leonardo e Mauricio é 27 anos.
Sabe-se ainda que há dois anos o produto de suas idades
era 126 anos. Calcule suas idades.
214) Um número é tal que, dividindo-o pela soma de seus
dois algarismos obtém-se 4. Calcule-o sabendo-se ainda que
o produto desses algarismos é 8.
215) Deseja-se repartir 25 moedas entre dois irmãos de tal
modo que diferença dos quadrados das partes de cada um
seja 175. Quantas moedas deverá receber cada um?
INEQUAÇÕES
Denominamos inequação toda sentença aberta por uma
desigualdade.
INEQUAÇÕES DE 1o
GRAU
As inequações de 1º grau com uma variável podem ser
escritas numa das seguintes formas: 0ax b , 0ax b ,
0ax b , 0ax b , com a e b R 0a .
Para resolvermos uma inequação do 1
o
grau, basta isolarmos
a variável.
Atenção:
Se multiplicarmos ou dividirmos uma desigualdade por um
número negativo, a desigualdade se inverte.
Exemplos:
01 - Resolver a inequação 4x – 1 + 2(1 – 3x) 0.
Isolando a variável temos:
4 1 2 6 0
2 1 0
2 1 1
2 1
x x
x
x
x
x
S x R x ou
1
2
1 1
/ [ ,+ [
2 2
02 - Determinar o conjunto verdade da inequação
1 4 1 2
3 2 4 6
4 4 24 24 3 4 2
12 12
20 20 4
21 16 1
21 16
16
21
x ( x ) x x
x x x x
- x x
- x - -
x
x
16 16
21 21
S x R | x ou - ,] [
Exercícios
216)Quais são os valores de x, no conjunto dos números
naturais (N), que satisfazem a inequação 7x – 8 < 4x + 1?
217) Resolvendo a inequação 2x + 4(x – 1) x +16, encontra-
se o conjunto solução :
a) S = (- ; 4 [
b) S = ( - ; 4 ]
c) S = ] 4 ; + )
d) S = [4 ; + )
e) n.r.a
218) Resolva as inequações:
a) 1
2 3
x x
b)
3 1 1 1
2 4 2
( x ) x
c)
5 3 1 3 5 1 3 18
2 4 8 3
( x ) x ( x )
219) O conjunto solução da inequação
1 2 1
0
5 2 10 1 2( a ) ( a )
é o intervalo:

220) O maior número inteiro “x” que satisfaz a inequação 2,1x
+ 1,1 < 10,9 – 2,8x é:
221) Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente
as desigualdades 4 6 2 14x x e 2 10 6 2x x .
222) (CESPE/UnB) A intersecção entre os conjuntos-
soluções das desigualdades 2 3 7 100x e
10 2 80 30x contém exatamente quantos números
naturais?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DE 1º GRAU
A solução de um sistema de inequações é encontrada
através da intersecção dos conjuntos solução de cada uma
das inequações que compõem o sistema.
Exercícios
223) O conjunto solução do sistema:
1 0
2 2
x
x x
224) Resolver o sistema
4 9
3
7
3 10
2 5
4
x
x
x
x
225) O conjunto solução do sistema do sistema.
1 0
2 0
x
x
a) S = {x R / x > 2}
b) S = {x R / x < 2}
c) S = {x R / x > 1}
d) S = {x R / x < 1}
Problemas
226) O dobro de um número diminuído da sua metade é
maior que 6. O conjunto verdade dessa sentença é:
227) A diferença entre o dobro de um número e 10 é maior
que zero. O conjunto verdade dessa sentença é:
228) A soma de um número com sua terça parte é maior que
6. O conjunto verdade dessa sentença é:
INEQUAÇÕES DO 2
o
GRAU
São desigualdades do tipo : ax² + bx + c 0 , ax² + bx + c >
0 , ax² + bx + c 0 e ax² + bx + c < 0 , sempre com a 0.
Para resolvermos essas inequações , devemos analisar o
estudo do sinal da inequação do 2o
grau , seguindo os
seguintes passos:
1
o
passo: Determina-se as raízes (esta vai ser assumida ou
não , dependendo do sinal da desigualdade)
Desigualdade do tipo:
a) > ou < não assume
b) ou assume.
2
o
passo: Analisando-se o estudo do sinal , temos:
a) Se > 0 x’ x”
entre as raízes sinal contrário de a;
para fora das raízes mesmo sinal de a;
b) Se = 0 x’ = x” à esquerda e à direita da raiz mesmo
sinal de a;
c) Se < 0 x R toda ela tem o sinal de a;
3
o
passo: Dar a solução conforme a desigualdade fornecida.
Assim temos:
1- Se > 0
x' x"
Mesmo sinal
de “a”
Mesmo sinal
de “a”
Sinal contrário
de “a”
2- Se = 0
x' x"=
Mesmo sinal
de “a”
Mesmo sinal
de “a”
3- Se < 0
Mesmo sinal
de “a”
Exemplos:
01 - Resolver a inequação x² - 3x + 2 > 0.
Inicialmente iremos achar as raízes (não serão assumidas
pois a inequação é > 0).
x² - 3x + 2 > 0.
S = 3 x’= 2
P = 2 x”=1
Como temos duas raízes reais e diferentes :
Mesmo sinal
de “a”
Mesmo sinal
de “a”
Sinal contrário
de “a”
1 2
Como a inequação está pedindo valores > 0 temos :
S = (- ; 1[ ] 2 ; + )
02 - Determinar o conjunto solução da inequação x² -
10x + 25 0.

Inicialmente iremos achar as raízes (serão assumidas pois a
inequação é 0.)
x² - 10x + 25 0
S = 10 x’ = 5
P = 25 x”= 5
Como temos duas raízes reais e iguais:
Mesmo sinal
de “a”
Mesmo sinal
de “a”
5
Como a inequação está pedindo valores 0 temos :
S = R ou
S = (- ; + ).
03 - Determinar o conjunto solução da inequação x² - x
+ 1 0
Inicialmente iremos achar as raízes (serão assumidas pois a
inequação é 0.)
x² - x + 1 0
S = 1 x R , < 0
P = 1
Como não temos raízes reais:
Mesmo sinal
de “a”
Como a inequação está pedindo valores 0 temos:
S = .
Atenção:
A única maneira do trinômio ax² + bx + c , se sempre positivo
ou negativo (conforme o sinal de “a” ) ocorrerá quando < 0.
Exercícios
229) Resolva as seguintes inequações:
a) x² - 2x – 3 > 0
b) – 4x² + 11x – 6 0
c) 9x² - 6x + 1 > 0
d) x² - 5x < 0
e) x² + 4x + 7 > 0
f) - x² + 10x – 25 > 0
g) - x² + 9x – 8 0
h) x² – 3 < 0
i) - x² - x – 6 < 0
j) 2x² > 3x
k) 1 x²
l) x < x²
m) ( x –1 )² 3 – x
n) x(x + 4) > - 4 ( x + 4 )
230) O conjunto solução da inequação x² - 9x + 18 0 é o
intervalo:
a) ]3;6[
b) [3;6]
c) ( - ;3] [6;+ )
d) ( - ;3[ ]6;+ )
e) n.r.a.
231) O único valor real “x”que não satisfaz a inequação:
- x² + 8x - 16 < 0 é :
232) Resolvendo a inequação x² - 3x + 20 > 0 , encontra-se o
conjunto solução:
a) S = ( - ; 3]
b) S = [3; + )
c) S = ]3 ; + )
d) S = (- ; 5 ]
e) (- ; + )
233) Resolver, em R, o sistema:
2
2
0
3 2 0
x x
x x
234) Dê o conjunto da inequação : 2 2
2 6x x x
OBS: A solução da inequação simultânea é feita através de
um sistema de inequações.
Problemas
235) A soma de um número com seu quadrado é menor que
6. O conjunto solução dessa sentença é:
236) A diferença entre o quadrado de um número e o seu
dobro é maior que zero. O conjunto solução dessa sentença
é:
237) A diferença entre o quadrado de um número e a sua
metade é maior que zero. O conjunto solução dessa sentença
é:
SISTEMAS LINEARES
Chama-se de sistema linear ao conjunto formado por
equações lineares.
Exemplos:
a)
5
1
x y
x y
é um sistema linear que possui 2 equações e 2
variáveis.
b)
3
1
2 4
x y z
x y z
x y z
é um sistema linear que possui 3 equações
e 3 variáveis.
Classificação de um Sistema Linear

det ermi n ado(uma única solução)
possível
Sistema Linear in det er min ado(inf initas soluções)
impossível(não tem solução)
RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
ESCALONAMENTO
Escalonar um sistema é fazer, através da transformação do
sistema em outro equivalente, com que o número de
coeficientes nulos em cada equação do sistema aumente de
equação para equação. Esta transformação pode ser feita
aplicando as propriedades abaixo descritas.
Propriedades:
1. A troca de posições das equações dentro do sistema,
determina um sistema equivalente ao original;
2. A multiplicação de uma ou mais equações do sistema por
um número k k IR , determina um sistema equivalente;
3. A adição de uma equação do sistema com outra equação
do sistema multiplicada por um número k k IR ,
determina um sistema equivalente.
Técnica do escalonamento
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte
procedimento:
a) Fixamos como primeira equação do sistema aquela que
tiver como coeficiente da primeira incógnita igual a 1. Se
nenhuma das equações satisfizer esta condição, devemos
escolher uma delas pra multiplicar por k k IR ,
escolhendo k de modo que após a multiplicação, o coeficiente
da primeira incógnita seja 1.
b) Feito isso, através de operações de adição entre a primeira
e as demais equações anulamos os coeficientes da primeira
incógnita abaixo da primeira equação.
c) Repete-se o processo, agora realizando operações entre a
segunda e as demais (a primeira não deverá ser mais
utilizada), a fim de anular os coeficientes da segunda
incógnita abaixo da segunda equação;
d) O processo segue até que o sistema esteja escalonado.
Exemplos:
01 – Determine, se possível, o conjunto solução de cada um
dos sistemas lineares abaixo:
a)
3 2 2 12
10
4 2 3 29
x y z
x y z
x y z
Primeiramente, vamos trocar de posição as duas primeiras
linhas, fazendo com que o primeiro coeficiente da primeira
incógnita do sistema seja igual a 1.
10
3 2 2 12
4 2 3 29
x y z
x y z
x y z
Fazendo 1 2
3L L (multiplicamos a primeira linha por (-3)
e adicionamos o resultado a segunda) e 1 3
4L L ,
obtemos:
10
0 18
0 2 11
x y z
y z
y z
Fazendo 2 3
2L L , obtemos:
10
0 18
0 0 25
x y z
y z
z
Assim:
25
18 18 18 25 7
10 10 10 7 25 8
z
y z y z y
x y z x y z x
8 7 25S , , - O sistema tem solução única, ou seja, é
possível e determinado.
b)
4 3 5
2 6 4 4
5 15 10 10
x y z
x y z
x y z
Fazendo 1 2
2L L e 1 3
5L L obtemos:
4 3 5
0 2 2 6
0 5 5 15
x y z
y z
y z
Fazendo 2 3
5
2
L L vem:
4 3 5
0 2 2 6
0 0 0 0
x y z
y z
O sistema tem menos equações do que incógnitas. Assim,
dizemos que tem uma variável livre e por isso é dito possível
e indeterminado. Neste caso, podemos escrever a solução
em função da variável livre.
7 3S z , z,z ;z IR

c)
2 3 6
4 5 4 38
8 10 18 20
x y z
x y z
x y z
Fazendo 1 2
4L L e 1 3
8L L obtemos:
2 3 6
0 3 5 14
0 6 6 28
x y z
y z
y z
Fazendo 2 3
2L L obtemos:
2 3 6
0 3 5 14
0 0 0 56
x y z
y z
Como é absurda a igualdade encontrada 0 56 , dizemos
que o sistema é impossível. Isto é, não tem solução.
S Ø
REGRA DE CRAMER
Resolver um sistema linear pela Regra de Cramer onde a
solução é obtida pelas relações:
yx z
DD D
x ; y ;z
D D D
...
Sendo:
D é o determinante da matriz incompleta;
x y z
D ;D ;D ..., são os determinantes obtidos da matriz
incompleta, substituindo-se a coluna dos coeficientes pela
coluna dos termos independentes.
Exercícios
238) Resolver o sistema
0
2 1
x y
x y
239) Resolva o sistema
0
2 1
2
x y z
x y z
x y z
Discussão de um Sistema Linear
- Sistema possível e determinado : D ≠ 0 ( tem uma só
solução )
- Sistema possível e indeterminado : D = 0 e
0x y z n
D D D ... D (infinitas soluções)
- Sistema impossível : D = 0 e ( 0x
D ou 0y
D ou ...
0n
D ) ( não tem solução )
Exercícios
240) Para que valor de m o sistema
2
1
x my
x y
é possível e
determinado.
241) Calcule o valor de a para que o sistema
2 3
3 9
x y
x ay
seja indeterminado.
242) Para que o sistema
2 1
1 3 2
x ky
x y
seja impossível, o
valor de K deve ser?
SISTEMAS HOMOGÊNEOS
Um sistema linear é homogêneo quando todos os termos
independentes de todas as equações são iguais a zero.
Exemplos:
a)
2 0
2 0
x y
x y
b)
2 0
4 2 0
2 0
x y z
x y z
x y z
Discussão de um Sistema Homogêneo
Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial ( 0;
0; 0; ...;0)
Se D ≠ 0 : o sistema é possível e determinado.
Se D = 0 : o sistema é possível e indeterminado.
Exercícios
243) As soluções a; b; c do sistema
1
5 4 3 1
6 3 2 1
a b c
a b c
a b c
.
244) Dê o conjunto solução do sistema
2 3
8
1 1
1
x y
x y
.
245) O sistema
4
3
x my
x y k
é possível e determinado.
Então, temos sempre:
a) m = 0
b) m ≠ k
c)
1
3
m
d)
1
3
m
246) Para que valores de m e p o sistema é possível e
indeterminado.

3 2
2 6 3
mx y
x y p
FUNÇÕES
Definição:
Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A
em B, essa relação f é uma função de A em B quando a
cada elemento x do conjunto A está associado um e um só
elemento y do conjunto B.
Pode-se escrever:
f:A B (lê-se: f é uma função de A em B) ou f (x) = y
OBS: Podemos usar a seguinte notação para a lei de
associação que define uma função:
y = x + 5 ou f (x) = x + 5
y = x² ou f (x) = x²
A lei da função pode ser indicada de uma forma ou de outra,
pois y e f(x) significam o mesmo na linguagem matemática.
Exemplos:
01 - Dados os conjuntos A = {0, 5, 15} e B = {0, 5, 10, 15, 20,
25}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +
5, com x A e y B.
x = 0 y = 0 + 5 = 5
x = 5 y = 5 + 5 = 10
x = 15 y = 15 + 5 = 20
Observamos que:
todos os elementos de A estão associados a elementos de
B;
cada elemento de A está associado a um único elemento
de B.
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula
5y x é uma função de A em B.
02 - Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5}e B = {0, 2, 5, 10, 20},
seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x, com x
A e y B.
Este exemplo NÃO expressa uma função de A em B, pois
ao elemento – 2 do conjunto A não está associado nenhum
elemento de B.
03 - Dados os conjuntos A = {-3, -1, 1, 3} e B = {1, 3, 6, 9},
seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x²,
A relação expressa pela fórmula y = x², neste caso,
representa uma função de A em B , pois:
todos os elementos de A estão associados a elementos de
B;
cada elemento de A está associado a um único elemento
de B.
04 - Dados os conjuntos A = {16, 81} e B = {-2, 2, 3}, seja a
relação de A em B expressa pela fórmula
4
y = x , com x A
e y B.
Este exemplo NÃO representa uma função de A em B, pois
ao elemento 16 do conjunto A estão associados dois
elementos (- 2 e 2) do conjunto B.
Outros exemplos:
a)
É função
b)
É função
c)
Não é função, pois, o elemento 5 do conjunto “A” não está
associado a nenhum elemento de “B”.
d)

Não é função, pois, o elemento -1 do conjunto “A” não está
associado a dois elementos do conjunto “B”.
Exercícios
247) Observe os digramas abaixo, que representam relações
de A em B. Assinale com F aquelas que são funções e com a
letra R as que não são funções.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
248) Resolva os problemas:
a) Seja f uma relação de A = { 0, 1, 2} em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5,
6} expressa pela fórmula y = x + 3, com x A e y B. Faça
um diagrama e diga se f é uma função de A em B.
b) Seja f uma relação de A = {- 1, 0, 1, 2} em B = {0, 2, 4, 6,
8} expressa pela fórmula y = 2x. Faça um diagrama e diga se
f é uma função de A em B.
c) Dados A = {- 2, - 1, 1, 2} e B = {- 8, - 4, -1, 0, 1, 4, 8}, e
uma relação f de A em B expressa pela fórmula y = x³, com x
A e y B, faça o diagrama e verifique se f é uma função de
A em B.
249) Dado A = {x N | x 6}, determine os pares ordenados
da relação
R = {(x, y) A² | x + 2y = 6} e diga se R é função ou não.
250) A tabela a seguir representa o consumo em Km/l de um
carro em movimento.
Velocidade
(km/h)
Consumo
(km/l)
40 8
60 10
80 13
90 10
100 9
120 8
Faça um diagrama de flechas e diga se a tabela representa
ou não uma função.
251) Observe os gráficos abaixo e assinale com F aqueles
que são funções e com a letra R os que não são funções.
a)
X
Y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
-1
-2
-3
-4
b)

X
Y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
5
6
7
8
c)
X
Y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
5
6
7
8
d)
X
Y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
e)
X
Y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
8
7
6
5
0
DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; vamos
considerar a função f : A B definida por 1y x ou
1f ( x ) x .
Observando o diagrama da função, vamos definir:
O conjunto A é denominado DOMÍNIO DA FUNÇÃO, que
indicamos por D. No exemplo acima, D = {0, 1, 2}.
O domínio de uma função é, também, chamado campo de
definição ou campo de existência da função.
O conjunto {1, 2, 3}, que é um subconjunto de B, é
denominado CONJUNTO IMAGEM da função, que indicamos
por Im = {1, 2, 3}.
No exemplo acima:
1 é a imagem de 0 pela função ; indica-se f (0) = 1;
2 é a imagem de 1 pela função ; indica-se f (1) = 2;
3 é a imagem de 2 pela função ; indica-se f (2) = 3.
O conjunto B, tal que Im B, é denominado
CONTRADOMÍNIO da função.
Outro exemplo:
Sendo A = {-3, -1, 1, 3, 5} e B = {- 4, -2, 0, 2, 4, 6, 8}, na
função: f : A B; y = x + 1
Temos:
D(f) = {-3, -1, 1, 3, 5} = A
CD(f) = { - 4, -2, 0, 2, 4, 6, 8} = B
Im(f) = {-2, 0 2, 4, 6}
VALOR NUMÉRICO DA FUNÇÃO
Para se obter, o valor numérico da função, devemos substituir
na lei fornecida o valor de x indicado; assim obtendo o valor
de f (x) = y.
Exemplos:
01 - Dados os conjuntos A = {-3, -1, 0, 2} e B = { -1, 0, 1, 2, 3,
4}, determinar o conjunto imagem da função f: A B definida
por f (x) = x + 2.
Resolução:
f(-3) = (-3) + 2 = -1
f(-1) = (-1) + 2 = 1
f(0) = 0 + 2 = 2
f(2) = 2 + 2 = 4

Observando o diagrama, temos:
Im = {-1, 1, 2, 4}
02 - Seja a função f : R R definida por f(x) = x² - 10x + 8.
Calcular os valores reais de x para que se tenha f(x) = -1, ou
seja, tenha imagem –1 pela função f dada.
Resolução:
f(x) = x² - 10x + 8
f(x) = -1
x² - 10x + 8 = -1
x² - 10x + 8 + 1 = 0
x² - 10x + 9 = 0
x’ = 9
x” = 1
Logo : x = 9 ou x = 1.
03 - Dada a função f : R R definida por f(x) = ax + b, com
a, b R, calcular a e b, sabendo-se que f(1) = 4 e f(-1) = -2.
Resolução:
f(x) = ax + b f(1) = a(1) + b 4 = a + b
f(x) = ax + b f(-1) = a . (-1) + b -2 = - a + b
Vamos, então, resolver o sistema:
4
2
a b
a b
-a + b = -2
b = -2 + a
a + b = 4
a + (-2 + a) = 4
2a = 6
a = 3
b = -2 + a
b = -2 + 3
b = 1
logo: a = 3 e b = 1
OBS: Se o problema pedisse a lei que define a função f,
teríamos: f (x) = 3x + 1
04 - Sejam as funções f : R R definida por f (x) = 2x – 1 e
g: R R, definida por g (x) = x + m. Determinar o valor de m
para que se tenha f (2) + g (-1) = 7.
Resolução:
f (x) = 2x – 1
f (2) = 2.(2) – 1
f (2) = 3
g (x) = x + m
g (-1) = (-1) + m
g (-1) = m – 1
f (2) + g (-1) = 7
3 + (m – 1) = 7
m + 2 = 7
m = 5.
Exercícios
252) Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1} e B = {-3, -2, -1, 0,
1, 2, 3, 4}, determine:
a)o conjunto imagem da função f : A B definida por
f ( x ) x²
b)o conjunto imagem da função f : A B definida por
2 2f ( x ) x
c) o conjunto imagem da função f: A B definida por
1f ( x ) x² -
253) Sendo f : R R uma função definida por
2
3 10f x x x , calcule:
a) f(-2)
b) f(0)
c) f(5)
d) f(-1)
e) f(3)
f) f(1/2)
254) Dada a funçâo f : R R definida por f (x) = x² - 5x + 6,
calcule os valores reais de x para que se tenha:
a)f(x) = 0 b)f(x) = 12 c)f(x) = 6
255) Dados A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}e a função
f = {(x. y) A X B | y = x2
+ 1}, determine:
a)a imagem do -1 pela função f.
b)se 4 é imagem de algum elemento de A pela função f.
c) o valor de x para o qual a função f tem imagem igual a 5.
256) Dadas as funções definidas por f (x) = 2x + (1/2) e g(x) =
(2x/5) + 1,determine o valor de f(2) + g(5).
257) Sejam as funções definidas por f(x) = 2x + a e g(x) = 5x -
b. Calcule o valor de a e de b de modo que se tenha f(3) = 9 e
g(1) = 3
258) Seja a função definida por f(x) = mx + n, com m, n R.
Se f (2) = 3 e f(-1) = -3, calcule m e n.
ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
Quando definimos uma função, o domínio D, que é o conjunto
de todos os valores possíveis da variável independente x,
pode ser dado explícita ou implicitamente.
Assim:
1o
- Funções sem restrição:
Se é dado apenas f(x) = 2x - 5, sem explicitar o domínio D,
está implícito que x pode ser qualquer número real, ou seja,
D = R.
Exemplos:
a) f (x) = 3x + 1

b) f (x) = 2x² - 7x + 3
c) f (x) = x³ - 4
Regra geral D = R
2° - Funções com restrição:
a)
1
f x
x
Aqui, devemos notar que podemos aplicar qualquer valor real
de x em f, exceto o 0 (zero), pois não podemos escrever uma
fração com denominador zero. Logo, *
0D f R R .
b)
2
3
x
f x
x
Observe que ao aplicarmos (- 3) a função, encontramos:
2 3 6
3
3 3 0
f . Como vimos anteriormente, não
podemos escrever uma fração com denominador nulo. Então,
3D f R .
Generalizando: sempre que a variável x aparece no
denominador de uma função devemos escrever que
a expressão do denominador deve ser diferente de
zero 0 .
c) f x x
Neste caso, devemos lembrar que não podemos extrair a raiz
quadrada de números negativos. Então D f R
d) 4f x x
Devemos encontrar os valores de x que fazem a expressão
4 x se tornar um número real não negativo. Ou seja,
devemos fazer 4 0x . Resolvendo a desigualdade temos:
4x . Assim / 4D f x R x
Generalizando: quando a variável x encontra-se no
interior de um radical de índice par, devemos fazer
com que o valor da expressão seja sempre maior ou
igual a zero 0 .
OBS: Se houver mais de uma restrição em uma mesma
função, devemos fazer a intersecção entre esses conjuntos.
Exercícios
259) Determine o domínio das funções abaixo:
a)
5
x
f ( x )
x
b)
2
2
x
f ( x )
x
c)
1
3
f ( x )
x
d)
2
4
x
f ( x )
x
e)
1
1
f ( x )
x
f) 2f ( x ) x
g) 3f ( x ) x
h)
1
2
f ( x )
x
i) 2
3 2y x x
j) 2
6 9f ( x ) x x
l) 2
4
x
f ( x )
x
m) 2
1
6 5
f ( x )
x x
n) 2
4
x
f ( x )
x
o)
2 1
x
f ( x )
x
p) 2
1
9 20
f ( x )
x x
q)
1
3
x
f ( x )
x x
r) 2
1
3 2
y
x x
s) 2
2
2
f ( x )
x x
t) 2
2 5
6 5
x
y
x x
u) 3
1f ( x ) x
v) 3
3
8
y
x
260) Calcule o domínio das funções:
a) 2 7f ( x ) x
b) 3f ( x ) x
c) 1f ( x ) x

d) 4
1f ( x ) x
e)
2
5 6f ( x ) x x
f) 4
1 2f ( x ) x
261) Determine o domínio de cada função:
a)
7
3
x
f ( x )
x
b) 2
5
7 12
x
y
x x
c)
2
1
2 6
x
f ( x )
x
d) 2
3 7
4
x
f ( x )
x
e)
4
x
f ( x )
x
f)
2 6
4
x
f ( x )
x
FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU: FUNÇÃO LINEAR
Toda função :f R R definida por f x ax b , com
*
a R e b R , é chamada de função polinomial do 1° grau
ou função afim, onde:
- “ a” é o coeficiente angular da função;
- “b ” é o coeficiente linear da função.
O gráfico cartesiano de uma função polinomial do 1° grau é
uma reta. O coeficiente angular ( a ) nos mostra a inclinação
desta reta, ou seja, se 0a a reta é crescente, se 0a a
reta é decrescente e o coeficiente linear b da função é o
ponto onde a reta intercepta o eixo “y”.
Particularmente quando 0b , ela é chamada de função
linear, e a sentença matemática que a define é f x ax .
Exemplos:
São funções polinomiais do 1° grau:
a) 2 3f x x
2
3
a
b
b) 4 3f x x
3
4
a
b
c) 5
2
x
f x
1
2
5
a
b
d)
4 1
5
x
f x
4
5
1
5
a
b
Gráfico Cartesiano de uma Função Polinomial do 1° Grau.
Como vimos anteriormente o gráfico cartesiano de uma
função polinomial do 1° grau é uma reta, logo para que
possamos determinar sua representação no plano cartesiano
necessitamos definir dois pontos (par ordenado (x, y))
quaisquer no plano que podem ser determinados a partir da
escolha de qualquer valor de x, que aplicados na função
determinarão os valores de y.
Exemplos:
01 – Construir o gráfico da função 2y x .
0 2
1 1
x y
x y
x y
0 2
1 1
1
0
1
2
x
y
Um outro modo de traçar o gráfico da função é utilizando-se
os pontos dados pelo coeficiente linear e a raiz ou zero da
função, respectivamente os pontos de intersecção da reta
com os eixos y e x.
Lembrete:
Como a raiz ou zero da função é o ponto de intersecção da
reta com o eixo x, o valor de y neste ponto é igual a zero.
Logo para determinarmos a raiz da função, devemos
substituir y por zero e resolver a equação.
02 – Um móvel se desloca em uma rodovia da cidade A para
B, segundo a função 80 100s t t , sendo s (espaço) em
Km e t (tempo) em horas. Sabendo que A esta localizada no
km 100 desta rodovia e B dista 350 Km de A, pede-se:
a)mO gráfico da função s:
100
600
500
400
300
200
1 65432
0
( )t h
( )s km
b)mA posição do móvel para t=3 horas;

3 100 80 3 100 80 3 340t s t t s
O móvel está no Km 340 da rodovia.
c)mO tempo de viagem gasto pelo móvel para chegar ao
destino;
O móvel chega ao destino quando 450s t . Isto porque
ele partiu da cidade A, localizada no Km 100 da rodovia e a
cidade B dista 350 Km de A.
Logo,
35
450 450 100 80 350 80
8
s t t t t h
d)mA posição do móvel para t=0. Explique o significado disso.
0 100 80 0 100 80 0 100t s t t s
100s t é a cidade A, o início do deslocamento.
Exercícios
262) Faça o gráfico das funções, indicando os coeficientes e
suas raízes.
a) 2 1f ( x ) - x
b) 2f ( x ) x -
c) 1
2
x
f ( x ) -
d)
1
2 3
x
f ( x ) -
e)
1
2
2
f ( x ) x -
f)
2 1
3 2
x
f ( x ) -
263) O gráfico de f(x) = ax + b, com a ≠ 0 e b ≠ 0 é uma:
a) reta horizontal contida no primeiro e segundo quadrantes.
b) reta vertical.
c) figura não conhecida.
d) reta não passando pela origem e nem paralela a nenhum
dos eixos.
e) n.r.a
264) Qual função corresponde ao gráfico:
X
Y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
265) Sendo a > 0 e b > 0, a única representação gráfica
correta para a função f ( x ) ax b é:
a)
X
Y
b)
X
Y
c)
X
Y
d)
X
Y
266) (CESPE/UnB) O custo mensal da conta de água
de uma residência corresponde a fórmula
5
100
x
C x , em que C representa a quantidade de
reais e x, o consumo mensal em litros. Para que a
conta não ultrapasse R$ 25,00, o consumo mensal, em
litros, deverá ser, no máximo de:
a) 1900
b) 2000
c) 2100
d) 2200
e) 2300

267) Ao chegar em um aeroporto, um turista informou-se
sobra a locação de automóveis e organizou as informações
na seguinte tabela:
Opções Diária (R$) Preço por
Km rodado
LOCADORA 1 50,00 0,20
LOCADORA 2 30,00 0,60
LOCADORA 3 60,00 Km livre
Determine a partir de quantos Km rodados é mais vantajoso
utilizar a locadora 3.
a) 40
b) 45
c) 50
d) 55
e) 60
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU ou FUNÇÃO
QUADRÁTICA
Uma função :f R R dada por
2
f x ax bx c , em
que , ,a b c R e 0a é chamada função polinomial do 2°
grau ou função quadrática.
Exemplos:
São funções polinomiais do 2° grau:
2
2
2 3 4
2 1
f x x x
f x x x
2
4f x x
2
2
3
3 4
f x x x
f x x
Gráfico Cartesiano
O gráfico cartesiano de uma função quadrática
2
y ax bx c de :f R R é uma curva denominada
parábola.
Para traçá-lo, devemos construir uma tabela atribuindo
valores para x e determinando o valor de y correspondente
pela função.
Exemplos:
01 – Traçar o gráfico da função
2
8 12f x x x .
x 2
8 12y x x y
0
2
0 8 0 12y . 12
2
2
2 8 2 12y . 0
4 2
4 8 4 12y . -4
6
2
6 8 6 12y . 0
8
2
8 8 8 12y . 12
02 – Traçar o gráfico da função
2
8 12f x x x .
x 2
8 12y x x y
0
2
0 8 0 12y . -12
2 2
2 8 2 12y . 0
4
2
4 8 4 12y . 4
6 2
6 8 6 12y . 0
8
2
8 8 8 12y . -12
Traçados esses dois gráficos podemos analisar alguns
coeficientes importantes nas funções quadráticas.
Coeficiente “a” - Concavidade da Parábola
Podemos observar nos gráficos traçados anteriormente que
as parábolas têm concavidades distintas, no 1° exemplo com
a concavidade para cima e no 2° com a concavidade para
baixo. Isto se dá pelo sinal do coeficiente “a”, ou seja:
- Se 0a , ou seja, positivo, a concavidade da parábola é
para cima. Como no exemplo 01.
- Se 0a , ou seja, negativo, a concavidade da parábola é
para baixo. Como no exemplo 02.
Coeficiente “c” - Intersecção da Parábola com o eixo “y”
Para determinar esta intersecção basta substituir o valor de x
por zero na função.
22
0 0 0f x ax bx c f a b c y c
Observando os gráficos dos exemplos anteriores,
encontramos, respectivamente (0, 12) e (0, -12) como pontos
de intersecção das funções com o eixo y.
Zeros ou Raízes da Função
Para se determinar os zeros de
2
f x ax bx c , basta
fazer 0f x .
Então: 2
0ax bx c
Utilizando-se a fórmula de Bhaskara temos:
1
2
2
2
2
b
x
b a
x
a b
x
a
em que 2
4b ac
Assim, x1 e x2 são as abscissas nas quais a parábola
intercepta o eixo x, ou seja, (x1, 0) e (x2, 0) são os pontos de
intersecção da parábola com eixo x.
Quando 0 , a função tem duas raízes reais
distintas 1 2
x x e a parábola intercepta o eixo x
em dois pontos diferentes.
Quando 0 , a função tem duas raízes reais
iguais 1 2
x x e a parábola intercepta o eixo x em
um ponto.

Quando 0 , a função não tem raízes reais e a
parábola não intercepta o eixo x.
Ainda observando os gráficos construídos anteriormente
temos que:
- No exemplo 1, as raízes são x1=2 e x2=6
- No exemplo 2, as raízes são x1=2 e x2=6
Exemplos:
01 – Determinar o número de raízes de cada uma das
funções abaixo, bem como seus valores.
a)
2
6 8f x x x
Calculando temos:
2
2
4
6 4 1 8
36 32
4
b ac
Como 0 , a função tem duas raízes reais e distintas.
Logo:
1
2
6 4
4
6 4 2
2 2 1 6 4
2
2
x
b
x
a
x
b)
2
4 4f x x x
Calculando temos:
2
2
4
4 4 1 4
16 16
0
b ac
Como 0 , a função tem duas raízes reais e iguais. Logo:
1
2
4 0
2
4 0 2
2 2 1 4 0
2
2
x
b
x
a
x
c)
2
5 2 2f x x x
Calculando temos:
2
2
4
2 4 5 2
4 40
36
b ac
Como 0 , a função não tem raízes reais e não se faz
necessário continuar com os cálculos.
02 – Encontrar os valores de “k” para que a função
2
3 4 1f x x x k tenha duas raízes reais e iguais.
Para que a função tenha duas raízes reais e iguais é
necessário que 0 . Logo:
2
2
0 4 0
4 4 3 1 0
16 12 1 0
16 12 12 0
4 12 0
12 4
4 1
12 3
b ac
k
k
k
k
k
k
Interpretação Geométrica das Raízes da Função
Quadrática
Abaixo, um quadro esquemático relacionando a concavidade
da parábola e as raízes de uma função do 2° grau.
( ) 0f x <
( ) 0f x > ( ) 0f x >
x' x" x ( ) 0f x <
( ) 0f x >
( ) 0f x <
x"x'
x
0a > 0a <
( ) 0f x >( ) 0f x >
x
( ) 0f x < ( ) 0f x < x
( ) 0f x > ( ) 0f x >
xx' x"=
( ) 0f x < ( ) 0f x < x
x' x"=
Vértice da Parábola
O vértice da parábola é uma importante ferramenta para a
resolução de problemas envolvendo as funções do 2° grau. O
vértice ,v v
V x y é composto por duas coordenadas o xv e yv
que podem ser calculados a partir das fórmulas.
2
v
b
x
a 4
v
y
a
A coordenada do vértice em x determina o eixo de simetria da
parábola.
A coordenada do vértice em y determina o valor máximo
(quando a concavidade é voltada para baixo) ou mínimo
(quando a concavidade é voltada para cima).
Obs:

1 - Podemos encontrar as coordenadas do vértice sem a
utilização das fórmulas, encontrando primeiramente o valor
da coordenada x, fazendo a média aritmética simples entre
as raízes, e com este valor aplicado a função encontrar o
valor da coordenada y.
2 – Além dos valores máximos e mínimos da função, a
coordenada de y do vértice, também nos ajuda a encontrar a
imagem da função:
Se 0a , a função tem valor mínimo e a imagem é
Im ,f v
y
Se 0a , a função tem valor máximo e a imagem é
Im ,f v
y
Exemplo:
01 – Uma pedra é lançada para cima e sua trajetória é dada
pela função
2
40 5h t t t , onde h é a altura da pedra em
metros em função do tempo t decorrido. A partir dos dados
acima responda:
a) Com quantos segundos a pedra volta a tocar o solo?
A pedra toca o solo quando sua altura é igual a zero, ou seja,
independente do tempo 0h t .
Substituindo h t por zero temos:
2
40 5 0t t
Resolvendo a equação do 2° grau obtida encontramos:
1
0t - a pedra esta sendo lançada.
2
8t - a pedra volta a tocar o solo.
b) Em que tempo a pedra atinge sua altura máxima?
A pedra atinge a altura máxima na metade do tempo em que
demora a tocar o solo, ou seja, no eixo de simetria da
parábola, coordenada do eixo x.
Logo:
40 40
4
2 2 5 10
v
b
x
a
Obs:
Observe que fazendo a média entre as raízes da função
( 1
0t e 2
8t ) também se obtém x = 4.
c) Qual é a altura máxima?
Como a pedra é lançada para cima, a trajetória descrita é
uma parábola com concavidade voltada para baixo, tem
ponto de máximo, que é obtido calculando-se o coordenada
do vér4tice em y.
2
40 4 5 0 1600
80
4 4 5 20
vy
a
Obs:
Veja que se aplicarmos o valor do vértice em x na função
também obteremos y = 80.
d) qual o tempo decorrido quando a pedra esta a 60 metros
de altura?
Substituindo h t por 60 temos:
2
40 5 60t t
Igualando a zero.
2
5 40 60 0t t
Encontrando as raízes.
1
2
2
6
t
t
Como visto no item c, a altura máxima é 80m, então a pedra
atinge 60 metros tanto na subida com 1
2t como na
descida com 2
6t . É importante notar que estes tempos
são simétricos, 2 segundos antes e depois do tempo médio.
Estudo do Sinal da Função
Sabemos que estudar o sinal de uma função, significa
determinar os valores de x que tornam a função:
Positiva 0f x ou 0y
Negativa 0f x ou 0y
Nula 0f x ou 0y
No estudo da função quadrática vamos estudar três casos
relacionando a concavidade da parábola e os zeros da
função.
1° caso: 0
Neste caso a função admite duas raízes reais e distintas e o
esboço do gráfico para o estudo do sinal da função é o
seguinte:
x' x" x
x"x'
x
0a > 0a <
( )
( )
( )
0
0
0
para ou
para
para ou
f x x x' x x"
f x x' x x"
f x x x' x x"
> < >
< < <
= = =
( )
( )
( )
0
0
0
para
para ou
para ou
f x x' x x"
f x x x' x x"
f x x x' x x"
> < <
< < >
= = =
x' x" x xx' x"
( ) 0f x > ( ) 0f x < ( ) 0f x <( ) 0f x < ( ) 0f x >( ) 0f x >
2° caso: 0
Neste caso a função admite duas raízes reais e iguais e o
esboço do gráfico para o estudo do sinal da função é o
seguinte:

x x
0a > 0a <
x x
( ) 0f x > ( ) 0f x < ( ) 0f x <( ) 0f x >
x' x"=
x' x"=
x' x"=
x' x"=
( )
( )
( )
0
0
0
para ou
não existe real
para
f x x x' x x"
f x x
f x x x' x"
> < >
<
= = =
( )
( )
( )
0
0
0
para ou
não existe real
para
f x x x' x x"
f x x
f x x x' x"
< < >
>
= = =
3° caso: 0
Neste caso a função não admite raízes reais e o esboço do
gráfico para o estudo do sinal da função é o seguinte:
x
x
0a > 0a <
x x
( ) 0f x <( ) 0f x >
( )
( )
( )
0
0
0
para todo real
não existe real
não existe real
f x x
f x x
f x x
>
<
=
( )
( )
( )
0
0
0
para todo real
não existe real
não existe real
f x x
f x x
f x x
<
>
=
Exercícios
268) Faça o gráfico das funções.
a)
2
1f ( x ) x
b)
2
1f ( x ) x
c)
2
f ( x ) x x
d)
2
3 2f ( x ) x x
e)
2
12 20f ( x ) x x
269) Seja a função quadrática
2
f ( x ) ax bx c , (a; b; c
R e a ≠ 0). Quando a < 0 e 0, a função poderá ter, por
gráfico:
a)
X
Y
b)
X
Y
c)
X
Y
d)
Y
270) Sabe-se que o gráfico abaixo representa uma função do
segundo grau. Esta função é?
X
Y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
-1
-2
-3
-4
271) (CESPE/UnB) Considerando que o número de altas de
um hospital pode ser expresso pela função
2
14f t t t ,
em que t = 1, 2, 3, 4, ... 12 correspondente aos meses de
janeiro, fevereiro, março, ...., dezembro, respectivamente,
então o número máximo de altas nesse período foi de:
a) 48
b) 49
c) 50
d) 51
e) 52
272) (CESPE/UnB) O consumo de água, em litros, de uma
repartição durante um dia de experiente é expresso pela
função
2
22 105f t t t , em que 0y , é dado em
litros e t é o tempo, em horas. Supondo que (a, 0) e (b, 0) são
os pontos de intersecção do gráfico da função y com o eixo
Ot. Com base nas informações acima assinale a afirmativa
correta.
a) a + b = 15.
b) O maior consumo de água foi de 16 litros.
c) O consumo de água foi superior a 12 litros no intervalo
de tempo 9 14t .
273) (CESPE/UnB) Considere que, em reais, o lucro mensal
de uma empresa na venda de x unidades de determinado
produto seja dado por 1000 L x , em que
2
22 48L x x x . A partir dessas informações,
assinale a alternativa correta:
a) O lucro dessa empresa é sempre superior a R$
72000,00

b) O lucro mensal será maior que R$ 37000,00, se a
empresa vender entre 5 e 17 unidades desse produto
c) O lucro máximo mensal se dá quando são
comercializadas 1200 unidades do produto
d) A empresa nunca terá prejuízo em um mês para
qualquer quantidade x de produtos vendidos.
274) A função cujo gráfico se encontra totalmente abaixo do
eixo x é:
a)
2
400 1y x x
b)
2
111y x x
c)
2
100 100 1y x x
d)
2
400y x x
e)
2
400 100y x x
275) (CESPE/UnB) A figura abaixo apresenta os gráficos
apresenta os gráficos das funções do 2° grau definidas por
2
f x ax bx c e
2
g x px qx r . A partir desses
dados, assinale a alternativa correta.
( )f x
( )g x
x
y
a)O produto ap é negativo
b)Existe, no máximo, um valor x0 tal que 0 0
f x g x
c) Os gráficos permitem concluir que 2
4b ac
276) (CESPE/UnB) O número de ocorrências policiais no dia
x do mês é dado pelo valor da função
2
12 27f x x x , e nos dias em que ocorrências foram
registradas são aqueles que 0f x . Com base nas
informações acima, assinale a alternativa falsa.
a) O maior número de ocorrências em um único dia foi
inferior a 10
b) Do dia 3 ao dia 5, a cada dia que passa, o número de
ocorrências registradas vai aumentando
c) O número de dias em que foram registradas ocorrências é
superior a 9
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual
a incógnita aparece em expoente.
Exemplos:
1)3
x
=81 (a solução é x=4)
2)2
x-5
=16 (a solução é x=9)
3)16
x
-4
2x-1
-10=2
2x-1
(a solução é x=1)
4)3
2x-1
-3
x
-3
x-1
+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1)
Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois
passos importantes:
1º) redução dos dois membros da equação a potências de
mesma base;
2º) aplicação da propriedade:
0 1m n
a a m n, a ,a
Exemplos:
1) 3
x
=81
Resolução:
Como 81=3
4
, podemos escrever 3
x
= 3
4
E daí, x=4.
2)
3 81
4 256
x
Resolução:
Fazendo
44
4
81 3 3
256 4 4
temos:
4
3 3
4 4
x
Logo, 4x
3) 4
3 27x
Resolução:
Fazendo
3
344 4
27 3 3 , temos:
3
4
3 3x
Logo,
3
4
x
4) 2
3x-1
= 32
2x
Resolução:
2
3x-1
= 32
2x
2
3x-1
= (2
5
)
2x
2
3x-1
= 2
10x
; daí 3x-1=10, de
onde x=-1/7.
5) Resolva a equação 3
2x
–6.3
x
–27=0.
Resolução:
Vamos resolver esta equação através de uma transformação:
3
2x
–6.3
x
–27 = 0 (3
x
)
2
-6.3
x
–27 = 0
Fazendo 3
x
= y, obtemos:
y
2
-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos y’ = -3 e y’’
= 9
Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação
auxiliar 3
x
= y:
y’=-3 3
x’
= -3 não existe x’, pois potência de base
positiva é positiva
y’’=9 3
x’’
= 9 3
x’’
= 3
2
x’’ = 2
Portanto a solução é x = 2
Exercícios
222) Resolva as equações abaixo:
a) 4 32x
b) 1 3
9 27x x
c) 1 1
2 2 5 2 46x x x
.
d) 2
3 12 3 27 0x x
.

FUNÇÃO EXPONENCIAL
Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais
temos a variável aparecendo em expoente.
A função f:IR IR
+
definida por
x
f ( x ) a , com a IR
+
e
a 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio
dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR
+
(reais positivos, maiores que zero).
Gráfico da função exponencial
Temos 2 casos a considerar:
quando a>1;
quando 0<a<1.
Acompanhe os exemplos seguintes:
01. 2x
y (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os
correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico
abaixo:
x -2 -1 0 1 2
y 1/4 ½ 1 2 4
-2 -1 21
0
3
2
1
-1
x
y
4
02.
1
2
x
y (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
abaixo:
x -2 -1 0 1 2
y 4 2 1 1/2 1/4
-2 -1 21
x0
3
2
1
-1
y
4
Nos dois exemplos, podemos observar que:
a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função
não tem raízes;
b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);
c) os valores de y são sempre positivos (potência de base
positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR
+
.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
1a > 0 1a< <
IR IR
xx
yy
xx
yy
Exercícios
223) Esboce os gráficos das funções abaixo:
a)
1
3
x
y
b) 3x
y
279)
A figura acima ilustra duas cópias do sistema cartesiano xOy,
em que, no eixo Ox de cada um desses sistemas, foi utilizada
a mesma unidade de medida. No sistema da esquerda, está
representado o gráfico da função f(x) = 2
x
, no qual estão
marcados os pontos de abscissas x = k e x = 2k. No sistema
da direita, está representado o gráfico da função g(x) = x e os
pontos que têm as mesmas ordenadas daqueles marcados
no gráfico do sistema da esquerda. Sabe-se que a distância
entre as abscissas dos pontos marcados no gráfico à direita é
igual a 56. Considerando essas informações, julgue o item
abaixo.
a)Na situação apresentada, o valor do número real k é tal que
3
30 1 32k k
LOGARITMOS
Definição de logaritmo
0 1 0x
a
a b x log b a ;a ;b
Onde:
a= base do logaritmo
b= logaritmando ou antilogaritmo

x= logaritmo
Exemplos:
01.
5
2
32 5 2 32log
02.
2
4
16 2 4 16log
03.
0
5
1 0 5 1log
Conseqüências da definição
Sendo b>0 ,a>0 e a 1 e m um número real qualquer, temos a
seguir algumas conseqüências da definição de logaritmo:
1 0a
log
1a
log a
m
a
log a m
log ba
a b
a a
log b log c b c
Propriedades operatórias dos logaritmos
Logaritmo do produto
a a a
log ( x.y ) log x log y
Logaritmo do quociente
a a a
x
log log x log y
y
Logaritmo da potência
m
a a
log x m.log x
Caso particular:
Como
m
mn n
b b temos:
mn
a a
m
log b log b
n
Mudança de base
c
a
c
log b
log b
log a
Exercícios
280) Calcule:
a) 2
4
256
log
b) 3
81 729log .
c) 2 2
2 8log log
d) 3 4 5
5 3 4log .log .log
281) Sabendo que 2a
log x , 3a
log y e 5a
log z ,
calcule
2 3
4a
x y
log
z
.
282) Calcule 16
log x sabendo que 2
log x y .
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função f:IR
+
IR definida por f(x)=logax, com a 1 e a>0, é
chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa
função é o conjunto IR
+
(reais positivos, maiores que zero) e
o contradomínio é IR (reais).
Gráfico cartesiano da função logarítmica
Temos 2 casos a considerar:
quando a>1;
quando 0<a<1.
Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico
em cada caso:
1) 2
y log x (nesse caso, a=2, logo a>1)
abaixo:
x 1/4 1/2 1 2 4
y -2 -1 0 1 2
x
y
-1 0 1 2 4
-1
-2
1
2
2) 1
2
y log x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
abaixo:
x 1/4 1/2 1 2 4
y 2 1 0 -1 -2

x
y
-1 0 1 2 4
-1
-2
1
2
Nos dois exemplos, podemos observar que:
o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;
o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da
função é x=1;
y assume todos os valores reais, portanto o conjunto
imagem é Im=IR.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
1a > 0 1a< <
f(x) écrescenteeIm=IR
Paraquaisquer x ex dodomínio: x >x y >y
(as desigualdades têmmesmosentido)
1 2 2 1 2 1
f(x) édecrescenteeIm=IR
Paraquaisquer x ex dodomínio: x >x y <y
(as desigualdades têmsentidos opostos)
1 2 2 1 2 1
x
y
x
y
Exercícios
283) Calcule o domínio das funções abaixo:
a) 2
2y log x
b) 1
2x
y log x
c)
2
3
9x
y log x
284) Esboce os gráficos das funções:
a) 2
y log x
b) 1
2
y log x
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Chamamos de equações logarítmicas toda equação que
envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no
logaritmando, na base ou em ambos.
Exemplos:
1) log3x =5 (a solução é x=243)
2) log(x
2
-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2)
3) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4)
4) logx+1(x
2
-x)=2 (a solução é x=-1/3)
Exemplos resolvidos:
1) log3(x+5) = 2
Resolução:
Condição de existência: x+5>0 => x>-5
log3(x+5) = 2 => x+5 = 3
2
=> x=9-5 => x=4
Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto
solução é S={4}.
2) log2(log4 x) = 1
Resolução:
Condição de existência: x>0 e log4x>0
log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então
log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 4
2
= x => x=16
Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o
conjunto solução é S={16}.
3) Resolva o sistema:
7
3 2 1
log x log y
log x log y
Resolução:
Condições de existência: x>0 e y>0
Da primeira equação temos:
log x+log y=7 => log y = 7-log x
Substituindo log y na segunda equação temos:
3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x
= 15 => log x =3 => x=10
3
Substituindo x= 10
3
em log y = 7-log x temos:
log y = 7- log 10
3
=> log y = 7-3 => log y =4 => y=10
4
.
Como essas raízes satisfazem as condições de existência,
então o conjunto solução é S={(10
3
;10
4
)}.
Exercícios
285) Resolva as equações abaixo:
a) 2
6 3log x
b) 3 3
3 2 1log x log x
c) 2 2
2 5 3 2 1log x log x
SISTEMA DE MEDIDAS DE TEMPO
1 dia = 24 horas
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
1 ano = 365 dias
1 mês = 30 dias
286) Quanto é ¼ do número de minutos de uma hora?
287) Quantos minutos são 5/12 de uma hora?
SISTEMA DECIMAL DE MEDIDAS
a) Unidades de Comprimento
1 Km (quilômetro) = 1.000 m
1 hm (hectômetro) = 100 m
1 dam (decâmetro) = 10 m

1 m = 10 dm (decímetro)
1 m = 100 cm (centímetro)
1 m = 1000 mm (milímetro)
b) Unidades de superficie
1 Km
2
(quilômetro quadrado) = 1.000.000 m
2
1 hm
2
(hectômetro quadrado) = 10.000 m
2
1 dam
2
(decâmetro quadrado) = 100 m
2
c) Unidades de Volume
1 Km
3
(quilômetro cúbico) = 1.000.000.000 m
3
1 hm
3
(hectômetro cúbico) = 1.000.000 m
3
1 dam
3
(decâmetro cúbico) = 1.000 m
3
1 m
3
= 1.000 dm
3
(decímetro cúbico)
1 m
3
= 1000.000 cm
3
(centímetro cúbico)
1 m
3
= 1.000.000.000 mm
3
(milímetro cúbico)
d) Unidades de Massa
1 Kg (quilograma) = 1000 g
1 hg (hectograma) = 100 g
1 dag (decagrama) = 10 g
1 g = 10 dg (decigramas)
1 g = 100 cg (centigramas)
1 g = 1000 mg (miligramas)
e) Unidade de Capacidade
1 Kl (quilolitro) = 1000 l
1 hl (hectolitro) = 100 l
1 dal (decalitro) = 10 l
1 l = 10 dl (decilitro)
1 l = 100 cl (centilitro)
1 l = 1000 ml (mililitro)
Relação entre medidas de Volume e Capacidade
3
3
3
1 1000
1 1
1000 1
m l
dm l
cm l
Exercícios
288) Transforme:
a) 1,32 hm em m
b) 0,1 km em dam
c) 231,12 mm em cm
d) 1,03 cm em m
e) 1,02 hm
2
em dam
2
f) 0,05 m
2
em c m
2
g) 1,36 mm
2
em cm
2
h) 4,1 dm
2
em dam
2
289) Transformar:
a) 0,015 m em dm
b) 2,5 hm em dam
c) 121,6 cm em dm
d) 0,04mm em cm
290) Resolva a expressão abaixo, dando o resultado em m
2
.
2 2 2
0 12 1 6 2, hm , m dam é igual a ?
SEQUÊNCIAS
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A)
É uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do
segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo,
chamado razão da progressão.
Exemplos:
a) (4, 10 , 16 , 22 , 28)
Nesta seqüência, observamos que:
10 = 4 + 6
16 = 10 + 6
22 = 16 + 6
28 = 22 + 6
Número fixo = razão = 6
b) ( 12, 7 ,2 , -3 , -8 , -13)
7 = 12 + (-5)
2 = 7 + (-5)
-3 = 2 + ( -5)
-8 = -3 + ( - 5)
- 13 = - 8 + (-5)
Número fixo = razão = -5
c) ( a + 1 , a + 2, a + 3)
a + 2 = a + 1 + 1
a + 3 = a + 2 + 1
d) (5,5,5,5,....)
5 = 5 + 0
Dada a P.A ( a1 , a2 , a3 , ... , a n , a n + 1 , ...) de razão r ,
podemos determinar esta razão assim :
r = a2 - a1 = a4 - a3 = ... = a n + 1 - a n = ...
Classificação de uma P.A
Uma progressão aritmética pode ser: crescente,
decrescente ou constante.
Exemplos:
(3, 4,5 ,6 ,7) é uma P.A crescente ; r = 1 r > 0
(10, 8 ,6) é uma P.A decrescente ; r = -2 r < 0
(5, 5, 5, 5) é uma P.A constante ; r = 0
Fórmula do Termo Geral de uma P.A.
an = a1 + ( n -1) .r

Onde: a1 é o primeiro termo;
n é o número de termos;
r é a razão;
an é o enésimo termo ( termo geral ou último termo).
Exemplos:
01 - Encontrar o termo geral da P.A.( 4,7,....).
a1 = 4
r = 7 – 4 = 3
n = n
an = a1 + ( n -1) .r
an = 4 + ( n- 1) . 3
an = 4 + 3n - 3
an = 3n + 1
02 - Qual é o vigésimo termo da P.A. (3,8,...)?
a1 = 3
r = 8 – 3 = 5
n = 20
an = a1 + ( n -1) .r
a20 = 3 + ( 20 – 1). 5
a20 = 3 + 95
a20 = 98
03 - Determinar o número de termos da P.A. (-3, 1 , 5 ,....,
113).
r = 1 – (-3) = 1 + 3 = 4
an = a1 + ( n -1) .r
113 = -3 + ( n – 1).4
113 = - 3 + 4n – 4
120 = 4n
n = 30
04 - Achar o número de múltiplos de 5 , compreendidos entre
21 e 623.
O maior múltiplo de 5 antes de 623 é 620
Então an = 620
O menor múltiplo de 5 depois de 21 é 25
Então a1 = 25
Como serão os múltiplos de 5 a razão será 5.
an = a1 + ( n -1) .r
620 = 25 + ( n – 1) 5
620 = 25 + 5n – 5
600 = 5n
n = 120
Exercícios
291) Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4 , 10 , ....) ?
292) Hoje um atleta nada 500 m e, nos próximos dias, ele
deverá nadar uma mesma distância a mais do que nadou no
dia anterior . No 15
o
dia, ele quer nadar 3.300 metros.
Determine:
a) A distância que ele deverá nadar a mais por dia ?
b) A distância que deverá nadar no 10
o
dia ?
293) Calcule o número de termos da P.A. (5,10,...,785).
294) Quantos múltiplos de 9 exitem entre os números 105 e
1000?
Propriedades da P.A.
1
a
propriedade : Seja P.A (a,b,c). Podemos dizer que b é a
média aritmética de a e c. Assim:
2
a c
b
Exemplo:
Na P.A ( 5, 8, 11, 14)
8 = (11 + 5) / 2
11 = ( 14 + 8) / 2
2
a
propriedade : Em toda P.A finita , a soma de dois termos
eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Exemplo:
Na P.A. ( 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10) temos :
10 + 0 = 10
8 + 2 = 10
6 + 4 = 10
3
a
propriedade : Fórmula do termo geral :
an = ak + ( n -k) .r
Exemplo:
a10 = a6 + (10 – 6).r
a10 = a6 + 4r
Exemplos:
01 - O valor de x de modo que x-3 ; x + 1; 3x + 3 sejam
termos consecutivos de uma P.A., é:
Pela 1
a
propriedade:
x +1 = [(x-3) + (3x + 3)] /2
x + 1 = 4x /2
2x +2 = 4x
2x = 2
x = 1
02 - Numa P.A. onde o a1 = 7 e a7 = 19 , qual a sua razão ?
Pela 3
a
propriedade:
an = ak + ( n -k) .r
a7 = a1 + ( 7-1) .r
a7 = a1 + 6r
19 = 7 + 6r
12 = 6r
r = 2
03 - Sabendo-se que uma P.A. a3 = - 3 e a10 = 32, o valor de
a8 é?
Pela 3
a
propriedade:
an = ak + ( n -k) .r an = ak + ( n -k) .r
a10 = a3 + (10 – 3) .r a8 = a3 + (8 –3) r
a10 = a3 + 7r a8 = a3 + 5r
32 = - 3 + 7r a8 = -3 + 5.5
35 = 7r a8 = 22
r = 5

04 - Numa P.A a3 + a6 = 29 e a4 + a7 =35 . Escreva essa
P.A.
Temos:
a4 = a3 + r e a7 = a6 + r
a4 + a7 =35
(a3 + r) + (a6 + r) = 35
(a3 + a6 )+ 2r = 35
Sabemos que : a3 + a6 = 29. Logo,
29 + 2r = 35
2r = 35 – 29
2r = 6
r = 3
Temos:
a3 + a6 = 29
(a1 + 2r) + ( a1 + 5r) = 29
2a1 + 7r = 29
2a1 + 7. 3 = 29
2a1 + 21 = 29
2a1 = 8
a1 = 4
Então a P.A é (4, 7 , 10 , 13.....)
Exercícios
295) Numa P.A., a4 = 12 e a9 = 27. Calcule a3
296) Numa progressão aritmética, o oitavo termo é igual a 16
e o décimo termo é igual a 20 . Calcule o primeiro termo e a
razão dessa progressão .
297) Determine a razão de uma P.A. com 10 termos,
sabendo que a soma dos dois primeiros é 5 e a soma dos
dois últimos é 53.
298) Determine a progressão aritmética em que:
a1 + a2 + a3 = 12
a3 + a4 + a5 = 30
299) Numa P.A. crescente de 6 termos, a soma dos termos
de ordem ímpar é 27 e a soma dos termos de ordem par é
36. Escreva essa P.A.
300) Em uma P.A , a soma do primeiro com o terceiro termo
é 16 e a razão é igual aos 5/3 do primeiro termo. Calcule o
primeiro termo e a razão dessa P.A.
a1 + 3a2 = 5
4a3 - 2a6 = - 8
a) 2a1 + a2 = 11
a1 - a4 = -3
b) 6a1 + a3 = 9/2
a4 - a7 = -3/2
303) Determine x de modo que os números reais 10/x ; x – 3
e x + 3 , nesta ordem , formem uma P.A
304) O valor de x para que a seqüência ( x – 5; 8 ; 2x – 6)
seja uma P.A é um número:
a) par
b) maior que 10
c) primo
d) múltiplo de 7
e) quadrado perfeito
305) Sabendo que a seqüência ( 1 – 3x , x – 2 , 2x + 1) é
uma P.A , determine o valor de x.
a) –2
b) 0
c) 2
d) 4
e) 6
Representações especiais de uma P.A
Podemos utilizar as seguintes representações de P.A., que
facilitam a resolução de exercícios:
P.A de 3 Termos :
( x – r , x , x + r ) razão = r
P.A. de 4 Termos :
( x – 3r , x – r , x + r , x + 3r) razão = 2r;
P.A de 5 Termos :
(x – 2r , x – r , x , x + r , x + 2r) razão = r.
Exemplos:
01 - Três números estão em P.A. crescente, de tal forma que
a soma entre eles é 18 e o produto é 66. Calcular os três
números.
3 números em P.A. = ( x – r , x , x + r)
(x- r) + (x) + ( x + r) =18
3x = 18
x = 6
(x- r).(x).( x + r) = 66
(6-r) (6) . (6 + r) = 66
(6 – r) (6 + r) = 66/6
36 + 6r – 6r - r² = 11
36 - r² = 11
36 – 11 = r²
r² = 25
r = 25
r = 5
Como a P.A. deve ser crescente utilizaremos r = 5.
1
o
termo = 6-(5) = 1
2
o
termo = 6
3
o
termo = 6 + 5 = 11
Logo a P.A é (1 ; 6 ; 11)
02 - Num triângulo, as medidas dos ângulos internos estão
em P.A. e o menor dos ângulos mede 40
o
. Calcule as
medidas dos outros dois ângulos do triângulo.
3 ângulos em P.A. ( x – r ; x ; x + r )
O menor dos ângulos = x – r = 40
o
A soma dos ângulos internos de um triângulo = 180
o
x – r + x + x + r = 180
o
3x = 180
o
x = 60
o

x – r = 40
o
60
o
– r = 40
o
60
o
– 40
o
= r
r = 20
o
x + r = 20
o
+ 60
o
= 80
o
Os ângulos são: (40
o
; 60
o
; 80
o
)
Exercícios
306) A soma de três números em P.A. crescente é 21 e a
soma de seus quadrados é 165. Ache os três números.
307) Determine a razão de uma progressão aritmética
crescente de três termos não nulos, em que o termo médio é
igual ao produto dos extremos e o produto dos três termos é
igual à soma deles.
308) A soma de cinco números, reais e inteiros, em
progressão aritmética é 25 e o produto, -880. Determine
esses números.
309) Ache três números em P.A. crescente, sabendo que o
seu produto é igual à soma dos três e que o maior vale a
soma dos dois menores.
310) O perímetro de um triângulo retângulo mede 24 cm.
Calcule as medidas dos lados, sabendo que elas estão em
P.A.
311) (Unicamp-SP) Os lados de um triângulo retângulo estão
em progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo
é 150, calcule as medidas dos lados desse triângulo.
312) Determine cinco números em P.A. crescente, sabendo
que sua soma vale 5 e o produto dos termos extremos é -99
313) Ache quatro números em P.A. crescente, sabendo que
a soma entre eles é 34 e o produto dos meios vale 66
314) Determine quatro números, em progressão aritmética,
sabendo-se que sua soma é 26 e que a soma de seus
quadrados é 214.
Interpolação Aritmética
Neste item vamos aprender a intercalar números reais entre
dois números dados, de tal forma que todos passem a
construir uma progressão aritmética.
Exemplos:
01 - Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30.
6,__,__,__,__,__,30
a1 = 6
an = a7 = 30
n = k + 2 = 5 + 2 = 7
an = a1 + ( n -1) .r
30 = 6 + (7-1). r
30 = 6 + 6r
24 = 6r
r = 4
S = (6,10,14,18,22,26,30).
02 - Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 100
e 124 para que a razão seja 4?
r = 4
a1 = 100
an = 124
an = a1 + ( n -1) .r
124 = 100 + (n – 1) 4
124 – 100 = 4n – 4
24 + 4 = 4n
4n =28
n = 7
Como o n = 7 é o número total de termos, devemos interpolar
7 – 2 = 5 meios.
S = 5 meios
Exercícios
315) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37
316) Insira 6 meios aritméticos entre 100 e 184
317) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e
66 para que a razão da interpolação seja 8?
318) Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos
que podem ser interpolados entre 10 e 500
319) Determine o número mínimo de meios que se deve
inserir entre 20 e 70 para que se tenha uma P.A. de razão r <
2
320) Numa estrada existem dois telefones instalados no
acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles serão
colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois
telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determine
em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos
telefones.
321) Interpolam-se n meios aritméticos entre 10 e 20, e (n + 1)
meios aritméticos entre 40 e 50. O quociente entre a razão da
progressão formada no primeiro caso e a razão do segundo é
igual a 8/7. Quantos termos têm cada uma das progressões?
Soma dos Termos de uma P.A. FINITA
Pela segunda propriedades das P.A’s. vista anteriormente, a
soma n primeiros termos de uma P.A. é dada por:
1
2
n
n
a a n
S
Onde: a1 = é o primeiro termo;
an = é o enésimo termo;
n = é o número de termos;
Sn = é a soma dos n termos.
Exemplos:
01 - Achar a soma dos 30 primeiros termos da P.A.( 2,5,....).
a1 = 2
r = 3
n = 30
Inicialmente encontraremos a30, pois, precisaremos para a
fórmula da soma:
an = a1 + ( n -1) .r
a30 = 2 + (30 – 1 ) . 3

a30 = 2 + (29) .3
a30 = 89
Calculo da soma :
1
2
n
n
a a n
S
S30 = (2 + 89) 30 / 2
S30 = 1365
02 - Resolver a equação 1 + 7 + ... + x = 280, sabendo-se
que os termos do 1
o
membro formam uma P.A.
a1 = 1
an = x
Sn = 280
r = 6
Inicialmente acharemos an;
an = a1 + ( n -1) .r
x = 1 + ( n – 1) 6
x = 1 + 6n – 6
x = 6n – 5
Substituiremos x na fórmula da soma:
Sn = (a1 + an ) n /2
280 = (1 + x) n /2
280 = ( 1 + 6n – 5) n / 2
280 = (6n – 4) n /2
280 = (6n² - 4n) / 2
560 = 6n² - 4n
6n² - 4n – 560 = 0.(1/2)
3n² - 2n – 280 = 0
n’ = 30/3 = 10
n” = -28/3
Como n não pode ser negativo temos n = 10
Substituindo temos:
x = 6n – 5
x = 6 . (10) – 5
x = 60 – 5
x = 55
03 - A soma dos seis termos consecutivos de uma P.A é 12 e
o último termo é 7. Calcule os termos da P.A..
S6 = 12
a6 = 7
Sn = (a1 + an ) n /2 an = a1 + ( n -1) .r
S6 = (a1 + a6 ) 6/2 a6 = a1 + (6 –1).r
12 = (a1 + 7). 3 7 = -3 + 5 r
12 = 3 a1 + 21 10 = 5r
3a1 = 12 – 21 r = 2
3a1 = -9
a1 = - 3
A P.A é ( -3;-1;1;3;5;7)
04 - Foi feita uma rifa com cartões numerados de 1 a 20.
Quem tirar o cartão de número 1 paga R$ 1, 00; quem tirar o
cartão de número 2 paga R$ 2, 00 e assim por diante. Quanto
renderá a rifa?
Temos que:
n = 20
a1 = 1
a2 = 2
a3 = 3
....
a20 = 20
S20 = ?
Sn = (a1 + an ) n /2
S20 = (1 + a20) 20 / 2
S20 = (1 + 20) 10
S20 = 210
A rifa renderá R$ 210,00
05 - Calcule a soma de todos os números naturais entre 20 e
400, cujo algarismo das unidades é 2.
a1 = 22
a2 = 32
r = 10
an = 392
an = a1 + ( n -1) .r
392 = 22 + ( n – 1). 10
370 = 10n – 10
380 = 10n
n = 38
Sn = (a1 + an ) n /2
S38 = (22 + 392) 38/2
S38 = (414) 19
S38 = 7866
06 - A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é
n² + 2n , n .Escreva essa P.A..
Sn = n² + 2n S2 = a1 + a2
S1 = a1 8 = 3 + a2
S1 = (1)² + 2.(1) a2 = 5
S1 = 3 r = a2 - a1
a1 = 3 r = 5 - 3
S2 = a1 + a2 r = 2
S2 = (2)² + 2. (2)
S2 = 8
P.A = (3,5,7,9,...)
Exercícios
322) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (2, 6,
...)
323) Ache a soma dos 40 primeiros termos da P.A. (8, 2, ...)
324) Qual é a soma dos 50 primeiros termos da seqüência (-
1/2;0;1/2;1;....)
325) 0s dois primeiros termos de uma seqüência são 2 e 1/2.
Calcule a soma dos 20 primeiros termos, supondo que se
trata de uma progressão aritmética.
326) Numa P.A.,a1 = - 3 e r = 5. Calcule a soma dos 20
primeiros termos dessa P.A.
327) Se x = (1 + 3 + ... + 49) é a soma dos ímpares de l a
49,se y = (2 + 4 +...+ 50) é a soma dos pares de 2 a 50,
calcule x - y.
328) Ao se efetuar a soma de 50 parcelas da P.A.
(202,206,210, ...), por distração não foi somada a 35
a
parcela. Qual foi a soma encontrada?
329) Determine a soma dos 60 primeiros termos da

progressão aritmética em que:
2a1 + a3 = -11
a2 - 3a5 = -12
330) Seja S1 a soma dos n primeiros termos da P.A. (8, 12,
...) e seja S2 a soma dos n primeiros termos da P.A. (17, 19,
...), sendo n 0. Determine n para que S1 = S2.
331) Numa progressão aritmética onde a3 = 17 e a13 = 87,
calcule a soma dos 19 primeiros termos.
332) Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50
e 300.
333) Calcule a soma dos números inteiros positivos inferiores
a 501 e que não sejam divisíveis por 7.
334) Qual é a soma dos múltiplos de 7 com dois, três ou
quatro algarismos?
335) A soma de dez termos consecutivos de uma P.A. é 200
e o primeiro termo é 2. Calcule os termos dessa P.A.
336) Em uma progressão aritmética, a soma do 3
o
com o 7
o
termo vale 30, e a soma dos 12 primeiros termos vale 216.
Determine essa progressão.
337) (FEI-SP) Se Pn representa a soma dos n primeiros
números pares (excluído evidentemente o zero) e se In
representa a soma dos n primeiros números ímpares, calcule
Dn = Pn – In.
338) Resolva a equação 2 + 5 + 8 + ... + x = 77, sabendo que
os termos do primeiro membro estão em P.A.
339) Uma seqüência é tal que a1 = 8 e an = an - 1 + 12, com n
2. Calcule a soma dos vinte primeiros termos dessa
seqüência.
340) Seja a progressão aritmética (a1, a2, ..., a10), onde a1 = 4
e a2 = 4k. Determine k, para que a soma dos termos da P.A.
seja 250.
341) Calcule o 1
o
termo e a razão de uma P.A cuja soma dos
n primeiros termos é n² + 4n para todo n natural .
342) O primeiro termo de uma progressão aritmética é 7 , a
razão vale 1/3 e a soma de todos eles , 85. Calcule:
a) o número de termos da progressão ;
b) o último termo da progressão .
1 3 5 2 1 50
2 4 6 2 51
... ( x )
... x
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
É uma seqüência de números não nulos em que cada termo
posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado
por um número fixo chamado razão da progressão(q).
Exemplos:
01 - (4, 8, 16, 32, 64) Nesta seqüência, observamos que:
8 = 4 . 2
16 = 8 . 2
32 = 16 . 2
64 = 32 . 2
Número fixo ( razão = 2)
02 - ( 6, -18, 54, - 162) Nesta seqüência , observamos que:
-18 = 6 . (- 3)
54 = -18 . (- 3)
-162 = 54 . (- 3)
Número fixo ( razão = -3)
03 - (8, 2, ½ , 1/8 , 1/32) Nesta seqüência , observamos que:
2 = 8 . (¼)
½ = 2 . (¼)
1/8 = ½ . (¼)
1/32 = 1/8 . (¼)
Número fixo ( razão = 1/4)
04 - (4,4,4,4,4, ....) Nesta seqüência , observamos que:
4 = 4 . (1)
..................
Número fixo ( razão = 1)
Dada a P.G. ( a1 , a2 , a3 , ... , a n , a n + 1 , ...) de razão q ,
podemos determinar esta razão assim :
32 4
1 2 3 1
n
n
a aa a
q ...
a a a a
, para uma P.G de termos não
nulos .
Classificação de uma P.G
Crescente: cada termo é maior que o anterior.
Exemplos:
a) (4, 8, 16, 32, 64, ...) a1 > 0 e q > 1
b) ( - 64, - 32, -16, - 8, - 4, ....) a1 < 0 e 0 < q < 1
Decrescente: cada termo é menor que o anterior.
Exemplos:
a) (256. 64 , 16 , ...) a1 > 0 e 0 < q < 1
b) ( - 2 , - 10 , - 50 , ....) a1 < 0 e q > 1
Constante: todos os termos são iguais 1
0a .
Exemplos:
a) (2,2,2,2, ....) q = 1
b) (4,4,4,4,...) q = 1
Oscilante ou Alternante: cada termo tem o sinal contrário ao
anterior.
Exemplos:
a) ( 2 , -6 , 18 , - 54 , ...) q < 0
b) ( - 4 , 8 , - 16 , 32 ) q < 0
Fórmula do Termo Geral de uma P.G.
Seja a P.G. ( a1 , a2 , a3 , ... , a n , a n + 1 , ...) de razão q.

a1 = a1 . qº
a2 = a1 . q¹
a3 = a2 . q = a1 . q²
a4 = a3 . q = a1 . q³
an = an - 1 .q = a1 .q ⁿ‫¹־‬ an = a1 .q ⁿ ‫¹־‬
Exemplos:
01 - Encontrar o termo geral da P.G. ( 2 , 4 , ....) .
Temos:
a1 = 2
q = 4/2 = 2
n = n
an = a1 .q ⁿ ‫;¹־‬ substituindo temos:
an = 2. 2 ⁿ ‫¹־‬
an = 2ⁿ
02 - Achar o décimo termo da P.G.(2, 6 ,...).
Temos:
a1 = 2
q = 3
n = 10
an = a1 .q ⁿ ‫;¹־‬
Substituindo temos:
a10 = 2 . 3¹º ‫¹־‬
a10 = 2 . 3
9
03 - Numa P.G. de quatro termos, a razão é 5 e o último
termo é 375. Calcular o primeiro termo desta P.G.
Temos:
n = 4
q = 5
a4 = 375
an = a1 .q ⁿ ‫;¹־‬
Substituindo temos:
a4 = a1 .q³
375 = a1 . 5³
375 = 125 a1
a1 = 3
04 - Numa P.G de 6 termos , o primeiro termo é 2 e o último
termo é 486. Calcular a razão dessa P.G..
Temos:
n = 6
a1 = 2
a6 = 486
an = a1 .q ⁿ ‫;¹־‬
Substituindo temos:
a6 = a1 . q
5
486 = 2 . q
5
q
5
= 243
q = 5
243
q = 3
05 - Calcule o número de termos da P.G. (243, 81, ... , 1/729
).
Temos:
a1 = 243
an = 1/729
q = 1/3
an = a1 .q ⁿ ‫;¹־‬
Substituindo temos:
1/729 = 243 . (1/3) ⁿ ‫¹־‬
1/3
6
= 3
5
. (3)
- n + 1
3
–6
= 3
5 – n +1
3
–6
= 3
6 – n
-6 = 6 – n
n = 6 + 6
n = 12
Exercícios
344) Escreva uma P.G. de quatro termos onde
a1 = x / y³ e q = y²
345) Encontre o termo geral da P.G. ( 2, 1, ... ).
346) Calcule o 10
o
termo da P.G. ( 1, 5, ...).
347) Qual é o 6
o
termo da P.G.(512, 256, ...)?
348) Qual é o 7
o
termo da P.G. ( ½ , -1, ...)?
349) Numa P.G. ,tem-se : a1 = 1 , q = 3 , calcule a7 .
350) Calcule o 9
o
termo da P.G. ( 1/9, 1/3,...).
351) Em uma P.G. , a4 = 128 e q = 4. Ache a1 .
352) Determine o número de termos da P.G. ( 1 , 2 , ... , 256).
353) Qual é o primeiro termo de uma P.G., na qual o 11
o
termo é 3072 e a razão é 2?
354) Uma P.G. tem 6 termos , sendo 2 o último termo e ¼ a
razão . Qual é o primeiro termo desta P.G.?
355) Numa P.G., a1 = ¼ e a7 = 16. Calcule a razão desta
P.G.
356) Numa P.G., o primeiro termo é 4 e o quarto termo é
4000 . Qual é a razão desta P.G.
357) Hoje uma editora produz 20000 livros e , a cada dia ,
deve produzir 30% a mais do que produziu no dia anterior .
a) Quanto deverá produzir daqui a 5 dias?
b) Em quantos dias deverá produzir 33800 livros?
Interpolação Geométrica.
Assim como vimos na interpolação aritmética, a interpolação
geométrica nada mais é do que a inserção de elementos
entre dois extremos, fazendo com que estes formem um
P.G..
Exemplo:
Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.
Temos:
(3 , _ , _ , _ , 48)
a1 = 3
a5 = 48
n = 3 + 2 = 5
an = a1 .q ⁿ ‫;¹־‬ substituindo temos:

48 = 3 . q
5 - 1
3q
4
= 48
q
4
= 16
q = 4
16
q = 2
Então, teremos:
Para q = 2 ( 3 , 6 , 12 , 24 , 48)
Para q = - 2 ( 3 , - 6 , 12 , - 24 , 48)
Observações que podem auxiliar na resolução dos
problemas de P.G.
Em alguns problemas, é sempre conveniente colocarmos os
termos em função de a1 e q, lembrando que a2 = a1 . q ; a3 =
a1 . q² ; a4 = a1 . q³ ; ... , a10 = a1 .q
9
, e assim por diante.
Exemplos:
01 - Numa P.G. . o 2
o
termo é 8 e o 5
o
termo é 512. Escrever
essa P.G.
Temos:
a2 = 8
a5 = 512
Como:
a2 = a1 . q
a5 = a1 . q
4
Isolando a1 temos :
a1 = a2 /q
a1 = a5 / q
4
Igualando:
a2 /q = a5 / q
4
4
8 512
q q
512q = 8 q
4
q
3
= 512 / 8
q
3
= 64
q = 3
64
q = 4
Substituindo q = 4 na equação a1 = a2 /q
a1 = 8/4
a1 = 2
A P.G. é (2, 8, 32, 128, 512)
02 - Em uma P.G. , a soma do segundo termo com o terceiro
é 18 e a soma do sexto com o sétimo é 288. Calcular a razão
dessa P.G.
2
12 3 1 1
5 6 5
6 7 1 1 1
1 1818 18
288 288 1 288
a q q eq.Ia a a q a q
a a a q a q a q q eq.II
Dividindo a (eq.II pela eq. I) temos:
5
1 4
1
1 288
16 2
1 18
a q q
q q
a q q
03 - Ache a progressão geométrica em que:
1 2 3
4 5 6
7
56
a a a
a a a
Escrevendo em função de a1 e q temos:
2
1 2 3 1 1 1
3 4 5
4 5 6 1 1 1
7 7
56 56
a a a a a q a q
a a a a q a q a q
22
1 1 11 1 1
3 23 4 5
1 1 11 1 1
77
5656
a a q a qa a q a q
q a a q a qa q a q a q
Logo,
3 3
7 56 8 2q q q
Assim e P.G. é (1, 2, 4, 8,...)
Exercícios
358) Insira 4 meios geométricos entre 1 e 243.
359) entre os números 18 e b foram inseridos 2 termos ,
obtendo-se uma P.G. de razão 3. Qual é o valor de b?
360) Insira dois meios geométricos reais entre – 3 e 24.
361) Interpole cinco meios geométricos entre ¾ e 48.
362) Numa P.G., a5 = 32 e a8 = 256. Calcule q e a1 .
363) O terceiro termo de uma P.G. crescente é 2 e o sétimo
512. Calcule o quinto termo dessa progressão.
364) Em uma P.G. de termos reais, sabe-se que a4 = 48 e a7
= 16/9. Calcule a razão dessa progressão.
365) Calcule uma P.G. de quatro termos, sabendo que a
soma do primeiro com o terceiro vale 150 e a soma do
segundo com o quarto vale 1.050.
366) São dados quatro números em P.G. crescente. A soma
dos extremos é 27 e a soma dos meios é 18. Determine-os.
367) Numa P.G. de 5 termos , a soma dos dois primeiros é
32 e a soma dos dois últimos é 864 . Qual o terceiro termo da
P.G.?
368) Numa progressão geométrica, a diferença entre o 2
o
e o
1
o
termo é 9 e a diferença entre o 5
o
e o 4
o
termo é 576.
Calcule o 1
o
termo dessa progressão.
369) Ache a progressão geométrica em que:
1 2 3
4 5 6
6
48
a a a
a a a
370) Numa P.G. crescente, de quatro termos, o primeiro
termo é o quíntuplo da razão e a diferença entre o segundo e
o primeiro termos vale 30. Escreva a P.G.
371) A soma do 2
o
, 4
o
e 7
o
termos de uma P.G. é 370; a
soma do 3
o
, 5
o
e 8
o
termos é 740. Calcule o primeiro termo e
a razão da P.G.
Propriedades da P.G.
1
a
propriedade: Dada a P.G.(a,b,c), nesta ordem , temos que
b é a média geométrica de a e c.
2
b a c b a c
Exemplo:

Dada a P.G. ( 2 , 6 , 18 , 54 , ...) podemos notar que:
6² = 2 . 18
18² = 6 . 54
2
a
propriedade: Em toda P.G. finita , o produto de dois
termos eqüidistantes do extremos é igual ao produto dos
extremos .
Exemplo:
Dada a P.G. (2 , 6 , 18 ,54 ,...) podemos notar que:
2 . 54 = 108
6 . 18 = 108
Exemplos:
01 - O valor de x para que ( 1 + x ) , (13 + x) e ( 49 + x),
sejam termos consecutivos de uma P.G..
( 13 + x )² = (1 + x ) ( 49 + x )
13² + 2. (13).x + x² = 49 + x + 49x + x²
169 + 26x + x² = 49 + 50x + x²
169 + 26x = 49 + 50x
169 – 49 = 50x – 26x
120 = 24x
x = 5
02 - Sabendo que x , x + 9 e x + 45 formam , nessa ordem ,
uma P.G. de termos não- nulos , determine x.
( x + 9)² = x . ( x + 45)
x² + 2 x 9 + 9² = x² + 45 x
18x + 81 = 45x
81 = 45x – 18x
81 = 27x
x = 81/27
x = 3
Exercícios
372) A seqüência 1, 3a – 4 , 9a² - 8 é uma progressão
geométrica . Calcule a.
373) Determine o valor de x , de modo que os números x + 1 ,
x + 4 , x + 10 formem , nesta ordem , uma P.G.
374) Dados os números 1, 3 e 4 , nesta ordem , determine o
número que se deve somar a cada um deles para que se
tenha uma P.G.
375) Que número deve ser somado a – 2 ,7 e 43 para que os
números obtidos estejam em P.G.?
376) Que número deve ser somado a 1 , 4 e 10 para que os
resultados fiquem em P.G.?
Representações especiais de uma P.G.
Podemos utilizar as seguintes representações de P.G. , que
facilitam a resolução de exercícios.
P.G. de 3 termos : (x/q, x , x.q) razão = q;
P.G. de 4 termos : (x/q
4
, x/q
2
, x , x.q
2
) razão = q
2
;
P.G. de 5 termos : (x/q
2
, x/q , x , x.q , x.q
2
) razão = q
Exemplo:
Numa P.G. crescente de 3 termos , sabendo que o produto
dos termos é 27 e a diferença entre os extremos é 8 . O valor
do 3
o
termo é:
P.G de 3 termos (x/q , x , x.q)
(x/q).x.x.q = 27
x³ = 27
x = 3
8
x
( x.q )
q
2
8
( x.q ) x
q
3 q² - 3 = 8q
3 q² - 8q - 3 = 0
q’= 9/3 = 3 como a P.G é crescente a razão não pode ser
negativa.
q” = -1/3
q = 3
A P.G. é ( 1 , 3 , 9)
O terceiro termo é 9.
Exercícios
377) A soma de três números em P.G. crescente é 195 e a
diferença entre o terceiro e o primeiro é 120. Qual o 1
o
termo
da P.G.?
378) A soma de três números em P.G. é 42 e o produto entre
eles é 512. Calcule os três números .
379) A soma de 3 números em P.G. crescente é 26 e o termo
do meio é 6 . O maior desses números é dado por:
a) 36
b) 18
c) 24
d) 12
e) n.d.a.
380) Os ângulos de um quadrilátero formam uma P.G..
Sabendo-se que a medida , em graus , do último ângulo é
nove vezes maior que a do segundo ângulo, este segundo
ângulo mede:
Soma dos Termos de uma P.G. Finita.
1 1
1
n
a ( q )
Sn
q
, q 1
ou
1
1
n
a .q a
Sn
q
, q 1
Soma dos Termos de uma P.G. infinita.
Lim n
1
1
a
Sn
q
; com –1 < q < 1
Exemplos:

01 - Dada a progressão geométrica (1 , 3 , 9 , 27, ...) calcular:
a) a soma dos 6 primeiros termos .
b) o valor de n para que a soma dos n primeiros termos
seja 29.524.
a) temos:
a1 =1
q = 3
n = 6
1 1
1
n
a ( q )
Sn
q
6
6
1 3 1
3 1
( )
S
6
729 1
2
S
S6 = 364
b) 1 1
1
n
a ( q )
Sn
q
1 3 1
29524
3 1
n
( )
3
n
- 1 = 59048
3
n
= 59049
3
n
= 3
10
n = 10
02 - Dar o valor de x na igualdade x + 3x + ... + 729x = 5 465,
sabendo-se que os termos do 1
o
membro formam uma P.G.
Temos:
a1 = x
q = 3x / x = 3
an = 729x
Sn = 5465
Inicialmente acharemos o valor de n.
an = a1 .q ⁿ ‫¹־‬
729x = x . 3ⁿ ‫¹־‬
729 = 3ⁿ ‫¹־‬
3
6
= 3ⁿ ‫¹־‬
n = 7
1 1
1
n
a ( q )
Sn
q
7
3 1
5465
3 1
x.( )
2187 1
5465
2
x( )
5465 1093
5
x
x
03 - Calcular a soma dos termos da P.G.(1, ¼,1/16,...)
Temos:
P.G. infinita
a1 = 1
q = ¼
1
1
a
Sn
q
1
1
1
4
Sn
1
3
4
Sn
4
3
Sn
04 - Determine x na equação: 80x + 40x + 20x + ... = 320
Temos:
a1 = 80x
q = 1/2
1
1
a
Sn
q
80
320
1
1
2
x
80
320
1
2
x
160 80
2
x
x
Exercícios
381) Ache a soma dos 10 primeiros termos das progressões:
a)(2,4,8,...)
b)( -1 , 4 , - 16,...)
382) Obtenha a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (7, 14,
...).
383) Qual será a soma dos 20 primeiros termos de uma P.G.
onde a1 = 1 e q = 2?
384) Calcule a soma dos termos da PG (5, 50, ..., 500 000)
385) Numa progressão geométrica crescente, o 2
o
termo é
igual a 2 e o terceiro termo é o dobro do primeiro.
a) Escreva uma expressão designatória do termo geral da
progressão.
b) Calcule a soma dos 12 primeiros termos da progressão.
386) Numa P.G., a soma dos termos é 728. Sabendo-se
que an = 486 e q = 3, calcule o primeiro termo dessa P.G.
387) Ache a soma dos termos da P.G. (1, 10,... 10
15
)
388) Quantos termos devemos considerar na P.G. (3, 6,
...) para se obter uma soma de 765?
389) Numa P.G., a2 6 e a4 = 54. Ache a soma dos 5
primeiros termos.
390) Resolva a equação l0x + 20x + 40x + ... + 1280x =
7650,sabendo que os termos do 1
o
membro estão em
progressão geométrica.
391) Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações

crescentes, de modo que a primeira prestação é de 100000
unidades monetárias e cada uma das seguintes é o dobro da
anterior. Qual é o preço do automóvel?
392) Ache o valor para o qual converge cada uma das
seguintes séries :
a) 20 + 4 + (4/5) + (4/25) + ...
b) 1 – (1/2) + (1/4) – ( 1/8) + ...
c) 8 + 2 + (1/2) + (1/8) + ...
393) Os raios de infinitos círculos são dados pelos termos da
progressão (6, 3, 3/2,...). Calcule a soma das áreas desses
círculos.
394) Resolva as equações onde o primeiro membro
representa a soma dos termos de uma P.G. infinita:
a)x + (x/3) + (x/9) + ... = 12
b)x² - (x²/2) + (x²/4) – (x²/8) + ... = 6
c) 2
1 + x
+ 2
1 + 2x
+ 2
1 + 3x
+ ... = 2/3
395) (ITA-SP) Partindo de um quadrado Q1 , cujo lado mede a
, consideramos os quadrados Q2 , Q3 , Q4 , ... , Qn , tais que os
vértices de cada um são os pontos médios dos lados do
quadrado anterior. Calcule a soma das áreas dos quadrados
Q1 , Q2 , Q3 ,..., Qn .
396) Resolva o sistema :
12
2 8 32
10 7
x y x y x y
...
x y
397) (Fuvest-SP) Ao escalar uma trilha de montanha , um
alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 m na segunda
hora, 64 m na terceira hora e assim sucessivamente .
Determine o tempo ( em horas) necessário para completar
um percurso de :
a) 480 m
b) 500 m
c) 600 m
398) (UE-Maringá) Determine o valor de x R , x > 0 , que
satisfaça a igualdade:
1 + x + x² + (x²/2) + (x²/4) + (x²/8) + ... + (x²/2
n - 1
) + ... = 56.
399) (Vunesp) O limite da soma dos termos de uma P.G.
decrescente ilimitada , cujo primeiro termo é q, vale 7 vezes
o limite da soma dos cubos dos termos dessa mesma
progressão geométrica. Calcule os valores possíveis de q.
Produto dos Termos de uma P.G.
Pn = (a1)
n
.q
n (n – 1) / 2
Exemplo:
Calcular o produto dos 7 primeiros termos da P.G. (1, -3, 9,
...)
Temos :
a1 = 1
q = - 3
a7 = a1 q
6
a7 = 1.(-3)
6
a7 = + 729
n = 7
Pn = (a1)
n
.q
n (n – 1) / 2
P7 = ( 1 )
7
. (–3)
7 ( 7 – 1 )/ 2
P7 = 1 . (-3)
21
P7 = (-3)
21
Exercícios
400) Calcule o produto dos 7 termos iniciais da P.G.(2, 1, ...)
401) Numa progressão geométrica , temos : a1 = 8 e q = -1/2 .
Calcule o produto dos seus :
a) 8 primeiros termos.
b) 11 primeiro termos.
402) Calcule o produto dos termos da P.G.
(1/8, 1/4, 1/2, 1, ..., 8, 16, 32)
403) Se o oitavo termo de uma progressão geométrica é ½ e
a razão é ½. O primeiro termo dessa progressão é:
a) 2
–1
b) 2
c) 2
6
d) 2
8
e)
1
8
2
404) Em uma progressão geométrica o primeiro termo é 4 e o
quinto termo é 324. A razão dessa progressão geométrica é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 2
e) 1/2
405) Se os números a ; a + 1 ; a – 3 formam nessa ordem
uma P.G. , então a razão dessa P.G. é :
a) - 4
b) -2
c) -1
d) 1
e) 4
406) O quarto termo da seqüência geométrica (3/1 , 1 , 2/3, ...
) é:
a) 2/9
b) 1/3
c) 9/4
d) 4/9
e) 1
407) O número dos termos da P.G. ( 1/9 , 1/3 , 1 , ... , 729) é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 81
e) 4
408) (PUC – SP) Se a seqüência (4x , 2x + 1, x – 1) é uma
P.G, então o valor de x é :
a) – 1/8
b) –8
c) –1
d) 8

e) n.d.a
409) Numa progressão geométrica de cinco termos, a soma
do terceiro termo com o quinto termo é 60, e a soma do
segundo com o quarto é 30. O produto do primeiro termo pelo
razão é:
a) 15
b) 10
c) 3
d) 2
e) n.r.a.
410) (Fuvest - SP) O quinto e o sétimo termos de uma P.G.
de razão positivo valem respectivamente 10 e 16.O sexto
termo dessa P.G. é:
a) 13
b) 10 6
c) 4
d) 4 10
e) 10
411) A soma do segundo, quarto e sétimo termos de uma
P.G. é 370; a somo do terceiro, quinto e oitavo termos é 740.
Podemos afirmar que o primeiro termo e o razão da PG. são:
a)3 e 2
b) 4 e 2
c) 5 e 2
d)6 e 1,5
e) n.r.a.
412) A média aritmética dos seis meios geométricos que
podem ser inseridos entre 4 e 512 é :
a) 48
b) 84
c) 128
d) 64
e) 96
413) Numa progressão geométrica, a soma do quarto termo
com o sexto termo é 160, e a soma do sétimo com o nono
termo é 1280. Então o primeiro termo e a razão dessa
progressão geométrica valem, respectivamente:
a)4 e 2
b)2 e 4
c) 4 e 4
d)2 e 2
e) n.r.a.
414) Em um certo tipo de jogo, o prêmio pago a cada
acertador é 18 vezes o valor de sua aposta. Certo apostador
resolve manter o seguinte esquema de jogo: aposta Cr$ 1, 00
na primeira tentativa e, nas seguintes, aposta sempre o dobro
da aposta anterior. Na 11º tentativa ele acerta. Assinale a
alternativa que completa a frase: “O apostador...”:
a) nessa tentativa apostou Cr$ 1 .000,00.
b) investiu no jogo Cr$ 2.048,00.
c) recebeu de prêmio Cr$ 18.430,00.
d) obteve um lucro de Cr$ 16.385,00.
e) teve um prejuízo de Cr$ 1 .024,00.
415) Sabendo que as medidas dos lados de um triângulo
retângulo estão em P.G., determine
a razão dessa progressão. (Sugestão: aplicar o teorema de
Pitágoras.)
416) A soma dos seis primeiros termos da P.G.
(1/3,1/6,1/12,...) é
a) 12/33
b) 15/32
c) 21/33
d) 21/32
e) 2/3
417) Qual a razão de uma P.G. de três termos em que a
soma dos termos é 14 e o produto 64?
a) q = 4
b) q = 2
c) q = 2 ou q = 1/2
d) q = 4 ou q = 1
e) n.r.a.
418) (Fuvest-SP) Numa progressão geométrica de quatro
termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma
dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão.
419) A soma da série infinita 1 + (1/5) + (1/25) + (1/125) + ...
é:
a) 6/5
b) 7/5
c) 5/4
d) 2
e) 7/4
420) O valor de x na equação x + (x/2) + (x/4) + (x/8) + ... =
40 é :
a) -10
b) 10
c) -20
d) 20
e) 25
421) A seqüência (a, 2b - a, 3b, ... ) é uma progressão
aritmética e a seqüência
(a, b, 3a + b - 1, ...) é uma progressão geométrica. Calcule
a e b
422) Um funcionário de uma repartição pública inicia um
trabalho. Conseguindo despachar no primeiro dia 210
documentos, percebe que seu trabalho no dia seguinte tem
um rendimento de 90% em relação ao dia anterior, repetindo-
se o fato dia após dia. Se para terminar o trabalho tem de
despachar 2100 documentos, pode-se concluir que:
a) o trabalho estará terminado em menos de 20 de dias.
b) o trabalho estará terminado em menos de 26 dias.
c) o trabalho estará terminado em 58 dias.
d) o funcionário nunca terminará o trabalho.
e) o trabalho estará terminado em 60 dias.
423) Sabe-se que numa P.G. a3 = 16 e a6 = 1024. Escreva
essa P.G.
424) Calcule x e y, sabendo que a sucessão x, y, 9 é
uma P.A. crescente e a sucessão x, y, 12 é uma P.G.
crescente.
425) Numa P.G. crescente, com 5 termos, a5 = 810 e a3 = 90.

Escreva essa P.G.
426) A soma dos termos da PA..: a1, a2 , a3 , é 15.
Adicionando-se 3, 7 e 17, respectivamente, ao primeiro,
segundo e terceiro termo, obtém-se uma P.G. de razão maior
do que 1. A P.G. é:
a) (6, 12, 24)
b) (5, 15, 45)
c) (4, 12, 36)
d) (24, 12, 6)
e) não sei
427) Sabendo que numa P.G. Sn = 1456, q = 3 e n = 6,
calcule a1
428) Quais as medidas dos ângulos internos de um
quadrilátero, sabendo-se que elas estão em P.G. de razão 2?
429) (Fuvest-SP) Seja Sn, a soma dos n primeiros termos da
seqüência infinita:
a) Calcule S5.
b) Qual o valor de Sn, quando n tende a ?
430) Um micróbio (de tamanho desprezível) parte da origem
de um sistema de coordenadas. Inicialmente ele se desloca
uma unidade e chega no ponto (1, 0). Aí ele vira 90
o
no
sentido anti-horário e anda ½ unidade até o ponto (1 , ½) Ele
continua desta maneira, sempre
descrevendo ângulos de 90
o
no sentido anti-horário e
andando a metade da distância da vez anterior. Continuando
indefinidamente, ele vai se aproximar cada vez mais de um
determinado ponto. Quais são as coordenadas desse ponto?
431) Consideremos a equação 3x + 2x + (4x/3) +... = 288, na
qual o primeiro membro é a soma dos termos de uma P.G.
infinita. Então, o valor de x é:
a) 32
b) 24
c) 16
d) 14
e) 12
432)Calcule o 10
o
termo da progressão ( 2
– 6
, 2
–5
, ... )
433) O 20
o
termo da P.G.(5,1,1/5,...)é :
434) Numa P.G. de 6 termos, a razão é 5, O produto do1º
termo com o último é 12500. Determine o valor do 3
o
termo.
OBS : considere a P.G. de termos positivos.
435) Sejam x e y números positivos. Se os números 3, x e y
formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, e se os
números x, y e 9 formam, nessa ordem, uma progressão
aritmética, então x + y é igual a:
a)43/4
b)45/4
c) 47/4
d)49/4
436) Numa P.G. a soma do 2
o
e 4
o
termos é 60 e a soma do
5
o
e 7
o
é 1620. A soma da razão com o 1
o
termo é :
437) Em uma progressão geométrica, o terceiro termo é 16/9
e o sétimo termo é 144. Determine o seu quinto termo.
438) (F.C. Chagas-RJ) Os números reais a e b são tais que a
seqüência (-6; a; b) é uma P.A. de razão r, e (a; b; 48) é uma
P.G. de razão q. O número de divisores positivos do produto
r. q é:
a)9
b)8
c)6
d)4
e)3
439) A soma de três números positivos em P.A. é 30. Se a
esses números forem acrescentados 1, 4 e 14,
respectivamente, os novos números estarão em P.G. Ache
aqueles números.
440) Seja (b1, b2, b3) uma progressão geométrica de razão
maior do que 1. Se b1 + b2 + b3 = 91 e (b1 + 25 , b2 + 27, b3 +
1) é uma progressão aritmética, calcule b1, b2 e b3
441) Seja x, 6, y uma progressão aritmética, onde x e y são
dois números positivos, a sucessão x, 10, y + 40 é uma
progressão geométrica. O valor numérico de 11y - 7x é:
442) Dada uma P.A. de 5 termos, com r 0 (razão):
a) determine-os, sabendo que o 1
o
, o 2
o
e o 4
o
termos,
nesta ordem, formam uma P.G. cujá soma é 14.
b) calcule o 5
o
termo da P.G.
443) Três números cuja soma é 18 estão em P.A.; se
somarmos 1 ao terceiro, sem alterar os outros dois, eles vão
constituir uma P.G. Ache os três números (em P.A.).
444) O lado de um triângulo eqüilátero mede 5 cm. Unindo-se
os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo
eqüilátero. Unindo-se os pontos médios do novo triângulo,
obtém-se outro triângulo eqüilátero, e assim sucessivamente.
Calcule o limite das somas dos perímetros de todos os
triângulos assim obtidos.
445) São dados 3 números inteiros em progressão
geométrica cuja soma é 26. Determine esses números,
sabendo que o primeiro, o dobro do segundo e o triplo do
terceiro formam uma progressão aritmética.
446) A soma de três termos em P.A. crescente é 12. Se
somarmos 2 ao terceiro termo, a nova seqüência constitui
uma P.G.. Calcule o produto dos três termos da progressão
geométrica.
447) O número 57 foi dividido em três partes que estão em
P.G. de razão 2/3. O termo médio dessa P.G. é:
448) Na progressão geométrica (10, 2, 2/5 , 2/25 , ...), a
posição do termo 2/625 é:
449) (Santo André-SP) Inserindo-se 5 meios geométricos
entre 8 e 5832, obtém-se uma seqüência. Determine o 5
o
termo dessa seqüência.
450) Os números positivos a e b são tais que (a, b, 10) é uma
progressão aritmética de razão r e (2/3, a, b) é uma
progressão geométrica de razão q. Calcule o valor de q/r .
451) Se a, b, c são termos consecutivos de uma P.A. de
razão 5 e (a + 2), b, (c - 1) são termos consecutivos de uma
P.G., então o valor de a + b + c é:
452) Determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) VERDADEIRA(S)

01) A razão de P.A.em que a1 = -8 e a20 = 30 é r = 2.
02) A soma dos termos da P.A. (5,8,..., 41) é 299.
04) O primeiro termo da P.G. em que a3 = 3 e a7 = 3/16 é 12.
08) A soma dos termos da P.G. (5, 5/2 , 5/4...) é 10.
453) Sejam quatro números representados por: 2x -1, x + 2 ,
x
2
+ 4x , y + (1/3). Calcule x, y N sabendo que os três
primeiros estão em P.A. e os três últimos estão em P.G.
454) O lado de um triângulo equilátero mede 3 cm. Unindo-se
os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo
eqüilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados do novo
triângulo, obtém-se um outro triângulo eqüilátero, e assim
sucessivamente.
a) Determine a soma dos perímetros de todos os
triângulos.
b) Determine a soma das áreas de todos os triângulos.
455) Numa progressão geométrica, o 1
o
e o 2
o
termos são,
respectivamente, iguais a 8 e 4. Calcule a soma dos cinco
termos consecutivos da progressão a partir do 3
o
(inclusive).
456) Um micróbio (de tamanho desprezível) parte da origem
de um sistema de coordenadas. Inicialmente ele se desloca
uma unidade e chega no ponto (1, 0). Aí ele vira 90
o
no
sentido anti-horário e anda ½ unidade até o ponto (1 , ½) Ele
continua desta maneira, sempre
descrevendo ângulos de 90
o
no sentido anti-horário e
andando a metade da distância da vez anterior. Continuando
indefinidamente, ele vai se aproximar cada vez mais de um
determinado ponto. Quais são as coordenadas desse ponto?
457) Se a seqüência (x, 2, y) é uma P.A. e a seqüência (x,
3 , y) é uma P.G., calcule x e y.
458) Sabendo que a seqüência (1- 3x, x- 2,2x +1)é uma P.A.
e que a seqüência (4y, 2y - 1, y + 1) é uma P.G., determine a
soma dos números associados à(s) proposição(ões)
verdadeira(s):
01) O valor de x é 2.
02) A P.A. é crescente.
04) A soma dos termos da P.A. é zero.
08) –3/2 é a razão da P.G.
16) O valor de y é 1/8.
459) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao solo, de
uma altura h. Cada vez que bate no solo, ela sobe até a
metade da altura de que caiu. Determine a distância total per-
corrida pela bola em sua trajetória até atingir o repouso.
460) Se n é um número natural e x = 2
n
, a soma dos divisores
de x é:
01) 2 (2
n
– 1)
02) 2
n + 1
- 1
04) 2
n
- 1
08) 2
n
- 2
16) 2
n - 1
461) Determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) verdadeira(s):
01) Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500.
02) O valor de x que satisfaz a equação (x + 1) + (x + 4) + (x +
7) +...+ (x + 28) = 155 é x =1
04) O oitavo termo da P.G.( 2 ,2,...) é a8 = 12.
08) A soma dos termos da P.G.(1/3 , 2/9 , 4/27 ,...) é igual a
1.
462) Uma pessoa A chega às 14 horas para um encontro que
havia marcado com uma pessoa B. Como B não chegara
ainda, A resolveu esperar um tempo t1 igual a meia hora e,
após isto, um tempo t2 = (½)t1 e, após um tempo, t3 = (1/2)t2 e
assim por diante. Se B não veio ao encontro, quanto tempo A
esperou até ir embora?
463) O número 38 é dividido em três parcelas positivas
formando uma progressão geométrica, de tal modo que, se
for adicionada uma unidade à segunda parcela, obtém-se
uma progressão aritmética. Ache a maior das parcelas.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM
Se um acontecimento é composto de duas etapas
sucessivas, independentes uma da outra e se a primeira
pode ocorrer de n modos e a segunda etapa pode ocorrer de
m modos, então, o número de possibilidades de ocorrência
do acontecimento é m x n.
Exemplo:
01) Dispomos de cimento, três tipos de areia e quatro tipos
de brita. Determine a quantidade de tipos diferentes de
concreto que poderia ser feita, aparecendo os três elementos
na sua formação.
1
2
1
3
4
1
2
2
3
4
1
2
3
3
4
B
B
A
B
B
B
B
C A 1.3.4 12
B
B
B
B
A
B
B
ARRANJO SIMPLES
Definição:
É um tipo de agrupamento, sem repetição, em que um grupo
é diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos
elementos componentes.
Exemplos:
01 - Seja o conjunto , ,A a b c . Quantos agrupamentos
de dois elementos podemos construir?
Resolução:
Podemos construir os seguintes pares de elementos:
ab, ac, ba, bc, ca e cb
Podemos notar que ab ba pela ordem dos elementos e
ab bc pela natureza dos elementos.
Estes agrupamentos são chamados de arranjos simples.
Para o cálculo do Arranjo Simples podemos utilizar a
seguinte fórmula:

p
n n,p
n!
A A
n p !
Onde (n) é o número de elementos distintos do conjunto e (p)
é um número natural menor que (n).
Lê-se arranjo de “n” elementos tomados “p” a “p”.
02 - Utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 quantos números
de 4 algarismos distintos podemos escrever?
Resolução:
Vamos escrever números com quatro algarismos da forma:
1234, 1235, 1236, 1243, 1245, 1246, ..., 2134,...note que os
números 1234 e 2134 são diferentes pela ordem e 1234 e
1235 são diferentes pela natureza.
Desta forma para calcularmos o número de possibilidades
para escrevermos os números de quatro algarismos vamos
usar a fórmula do Arranjo Simples.
p
n
n!
A
n p !
4
6
6 6 5 4 3 2
6 4
! !
A
! 2!
360
03 - Em um campeonato de futebol participam 10 clubes,
todos com a mesma possibilidade de vencer. De quantas
maneiras diferentes podemos ter a classificação para os três
primeiros lugares?
Resolução:
Se nomearmos 10 times de A, B, C, D, E, F, G, H, I e J eles
podem se classificar das seguintes maneiras:
1º Lugar 2º Lugar 3º Lugar Agrupamento
A B C ABC
A B D ABD
A B E ABE
B C A BCA
B A C BAC
M M M M
Podemos notar que os agrupamentos são distintos tanto pela
ordem quanto pela natureza. Logo temos um problema de
arranjos simples.
p
n
n!
A
n p !
3
10
10 10 9 8 7
10 3
! !
A
! 7!
720
São 720 possibilidades de agrupamentos dos 3 primeiros
colocados.
04 - Quantos números de 3 algarismos distintos podemos
formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
Resolução:
Devemos formar números do tipo: 123, 132, 124, 142,...
De modo que 132 123 pela ordem e 132 143 pela
natureza.
Então temos um problema de arranjo simples onde:
9 3en p .
Logo
p
n
n!
A
n p !
3
9
9 9 8 7 6
9 3
! !
A
! 6!
504
É possível escrever 504 números de três algarismos distintos
05 - Em um grupo de 6 pessoas, de quantas maneiras
podemos formar comissões com um presidente, um vice-
presidente e um tesoureiro?
Resolução:
Chamando as pessoas de A, B, C, D, E e F.
Vamos formar grupos de 3 pessoas, onde a posição, ou seja,
a ordem que ela ocupa dentro do grupo faz diferença. E
também, grupos com elementos de natureza diferente são
diferentes entre si.
Portanto temos um problema de Arranjos Simples, onde
6 3en p
p
n
n!
A
n p !
3
6
6 6 5 4 3
6 3
! !
A
! 3!
120
Podemos formar 120 comissões.
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Definição:
São arranjos simples de “n” elementos tomados “n” a “n”. Ou
seja, as permutações são agrupamentos formados pelos
mesmos elementos, portanto só diferem entre si pela ordem
dos mesmos.
Exemplos:
01 - Quantos ANAGRAMAS (palavras diferentes com ou sem
significado) podemos formar com as letras da palavra AMOR.
Resolução:
Vamos formar palavras de 4 letras distintas.
Podemos escolher qualquer das quatro letras para a primeira
posição, 3 letras (não podemos repetir a primeira) para a
segunda posição, 2 letras para a terceira posição (não
podemos repetir as duas anteriores) e apenas uma escolha
para a quarta posição.
Então o número de ANAGRAMAS é:
4 3 2 1 24
Para calcularmos uma permutação simples podemos utilizar
a seguinte fórmula:
n
P n!
Onde “n” é o número de elementos do conjunto.
Lê-se permutação de “n” elementos.
02 - Quantos ANAGRAMAS podem ser formados com a
palavra VESTIBULAR, em que as três letras VES, nesta
ordem, permaneçam juntas?
Resolução:
A palavra VESTIBULAR tem dez letras, se fossemos
permutar todas as letras de modo aleatório estaríamos
fazendo uma permutação de dez elementos. Mas pelo
enunciado precisamos que as letras VES estejam sempre
juntas e nesta ordem, ou seja, podemos considerar que estas
três letras estarão “empacotadas” e que não trocam de lugar
dentro deste pacote.
Então vamos permutar apenas 8 elementos (as letras T, I, B,
U, L, A, R e o pacote VES).

8
8 8 7 6 5 4 3 2 1 40320n
P n! P !
Logo o número de anagramas da palavra VESTIBULAR onde
as letras VES aparecem sempre juntas nesta ordem é 40320.
03 - Quantos números de quatro algarismos distintos podem
ser formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5 e 7?
Resolução:
Dispomos de quatro algarismos para formarmos números
também com quatro algarismos, ou seja, apenas vamos
permutar (trocar) os elementos dentro do agrupamento.
Logo, 4
4 4 3 2 1 24n
P n! P !
Podemos ainda utilizar o Princípio Fundamental da
Contagem pois, temos 4 possibilidades de escolha para o
primeiro algarismo, 3 para o segundo algarismo (já que não
podemos repetir o primeiro), 2 para a escolha do terceiro (já
que não podemos repetir os dois anteriores) e 1 escolha para
o quarto algarismo.
Fazendo o produto 4 3 2 1 obtemos 24 possibilidades.
04 - Quantos são os ANAGRAMAS (palavras com ou sem
sentido) da palavra EDITORA:
a) que começam por A?
Resolução:
Vamos formar anagramas do tipo: AEDITOR, AEDITRO,
AEDIRTO, AEDIROT..., ou seja, com o “A” fixo na primeira
posição, podemos permutar os demais elementos da palavra
EDITORA. Então temos uma permutação de seis elementos.
6
6 6 5 4 3 2 1 720n
P n! P !
Portanto podemos formar 720 ANAGRAMAS da palavra
EDITORA que iniciam por “A”
b) que começam por A e terminam por E?
Resolução:
Vamos formar anagramas do tipo: ADITORE, ADITROE,
ADIRTOE, ADIROTE..., ou seja, com o “A” e o “E” fixos na
primeira e última posição respectivamente, podemos
permutar os demais elementos da palavra EDITORA. Então
temos uma permutação de cinco elementos.
5
5 5 4 3 2 1 120n
P n! P !
Portanto podemos formar 120 ANAGRAMAS da palavra
EDITORA que iniciam por “A” e terminam em “E”.
05 - Numa prateleira existem cinco livros de Matemática, três
de Física e dois de Química.
a) De quantos modos diferentes podemos arrumá-los?
Resolução:
Chamando os livros de Matemática de
1 2 3 4 5
, , , eM M M M M , os de Física de 1 2 3
, eF F F e os de
Química de 1 2
eQ Q , podemos ordená-los na estante da
seguinte maneira:
1 2 3 4 5 1 2 3 1 2
1 2 3 4 5 1 2 3 2 1
1 2 3 4 5 1 3 2 2 1
1 2 3 4 5 1 3 2 1 2
M M M M M F F F Q Q
M M M M M F F F Q Q
M M M M M F F F Q Q
M M M M M F F F Q Q
M
Estamos apenas trocando a ordem dos livros na estante, ou
seja, estamos permutando os dez livros.
10
10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3628800n
P n! P !
Existem 3628800 maneiras diferentes de arrumá-los na
estante.
b) De quantos modos podemos arrumá-los de modo que os
livros de cada matéria fiquem juntos?
Resolução:
Aqui vamos organizar os livros desta forma:
1 2 3 4 5 1 2 3 1 2
1 2 3 4 5 1 2 1 2 3
1 2 3 1 2 1 2 3 4 5
1 2 3 1 2 3 4 5 1 2
M M M M M F F F Q Q
M M M M M Q Q F F F
F F F Q Q M M M M M
F F F M M M M M Q Q
M
Considerando que os livros estivessem “empacotados” por
disciplina, bastaria então permutar os três pacotes.
3
3 3 2 1 6n
P n! P !
Mas, dentro de cada “pacote” os livros podem estar dispostos
de várias maneiras.
Como são cinco livros de Matemática, temos uma
permutação de cinco elementos.
5
5 5 4 3 2 1 120n
P n! P !
Como são três livros de Física, temos uma permutação de
três elementos.
3
3 3 2 1 6n
P n! P !
Como são dois livros de Química, temos uma permutação de
dois elementos.
2
2 2 1 2n
P n! P !
Como cada permutação é independente da outra temos:
{ { { {3 5 3 2 6 120 6 2 8640
"pacotes" QuímicaMatemática Física
P P P P
Existem 8640 maneiras diferentes de agrupar os livros.
c) De quantos modos podemos arrumá-los de modo que os
livros de física fiquem sempre juntos?
Resolução:
Vamos considerar agora que apenas os livros de Física estão
“empacotados”, ou seja, vamos permutar oito elementos (5
livros de Matemática, 2 de Química e um “pacote” de Física).

8
8 8 7 6 5 4 3 2 1 40320n
P n! P !
Mas devemos lembrar que os livros de Física podem ser
permutados dentro do “pacote”.
3
3 3 2 1 6n
P n! P !
E depois fazendo 8 3
40320 6 241920P P
COMBINAÇÃO SIMPLES
É o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é
diferente de outro apenas pela natureza dos elementos
componentes.
Exemplos:
01 - Quantas comissões de duas pessoas podem ser
formadas com cinco alunos (A, B, C, D e E) de uma classe?
Resolução:
Vamos formar comissões do tipo AB, AC, AD, AE, BA, BC,
BD, BE, CA, CB, CD, CE, DA, DB, DC, DE, EA, EB, EC e
ED.
Mas, AB=BA, AC=CA, ..., DE=ED, ou seja, representam a
mesma comissão.
Devemos observar que precisamos apenas das comissões
que diferem pela natureza (componentes), sendo a ordem em
que aparecem desprezível.
Logo, temos pela frente um problema de Combinação
Simples e podemos utilizar a seguinte fórmula:
2
5
5 5 4 3
2 5 2
p
n
n! ! !
C C
p! n p ! ! ! 2 3! !
10
02 - Por que um cartão para aposta da Mega-Sena com 6
números marcados custa R$ 1,50, com 7 números marcados
custa R$ 10,50 e com oito números marcados custa R$
42,00? Como são determinados esses valores?
Resolução:
Imagine que você marque no cartão 7 dezenas, que vamos
representar por A, B, C, D, E, F, e G. Lembre que serão
sorteadas apenas 6 dezenas, ou seja, em seu cartão sempre
estará sobrando uma dezena.
Logo você pode formar diversos agrupamentos com essas
dezenas.
Exemplo: ABCDEF, ABCDEG, ABCEFG....
Note que os cartões onde estão marcadas as dezenas
ABCDEF e FABCDE, são diferentes apenas pela ordem e,
isso os torna iguais. Já os cartões ABCDEF e ABCDEG são
diferentes pela natureza dos elementos. Temos um problema
de Combinação Simples de sete elementos tomados seis a
seis.
6
7
7 7 6
6 7 6
p
n
n! ! !
C C
p! n p ! ! ! 6!
7
1!
Portanto quando marcamos sete números em um cartão, na
verdade estamos preenchendo o equivalente a sete cartões.
E, aplicando o mesmo raciocínio para a marcação de oito
números temos:
6
8
8 8 7 6
6 8 6
p
n
n! ! !
C C
p! n p ! ! ! 6!
28
2!
Por isso o cartão com sete dezenas custa R$ 10,50 (7 x R$
1,50) e o com oito dezenas R$ 42,00 (28 x R$ 1,50).
03 - Quantas comissões constituídas de três pessoas podem
ser formadas com cinco pessoas?
Resolução:
Vamos chamar as pessoas de A, B, C, D e E.
Precisamos formar grupos de três pessoas.
O grupo ABC é igual ao grupo CBA pois a ordem neste caso
não tem importância, mas os grupos ABC e ABD são
diferentes pela natureza dos elementos.
Portanto temos um problema de combinação simples, onde
5 3en p
3
5
5
3 5 3
5 4 3 2
p
n
n! !
C C
p! n p ! ! !
!
3 2! !
5 4 3
3
10
2
Podemos formar 10 comissões.
04 - Uma classe tem dez alunos e cinco alunas, formam-se
comissões de quatro alunos e duas alunas. Quantas
comissões diferentes posso formar?
Resolução:
Vamos dividir o nosso problema em duas partes. O de formar
comissões de quatro alunos e o de formar comissões de duas
alunas.
Desta forma, de dez alunos vamos formar grupos de quatro
alunos, lembrando que a ordem dos alunos dentro dos
grupos não é importante, mas grupos com alunos diferentes
são diferentes entre si.
Portanto vamos resolver um problema de combinação
simples onde 10 4en p
4
10
10 10 9 8 7 6
4 10 4
p
n
n! ! !
C C
p! n p ! ! ! 4 6! !
10 9 8 7
4 3 2
630
210
3
E analogamente, vamos formar grupos de duas alunas dentre
as cinco.
2
5
5 5 4 3
2 5 2
p
n
n! ! !
C C
p! n p ! ! ! 2 3! !
10
Agora, devemos lembrar que a cada comissão de alunos,
teremos dez comissões de alunas. Logo o total de comissões
será dado por
4 2
10 5
210 10 2100C C
Podemos formar 2100 comissões diferentes.
Exercícios
464) Quantos números com quatro algarismos distintos
podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
465) Para a diretoria de um clube concorrem dois candidatos
a presidente, 3 a vice-presidente, 4 a secretário e 10 a
tesoureiro. Quantas chapas podem ser formadas?

466) De quantos modos distintos podemos entrar numa casa
que tem 2 portões e 3 portas?
467) Quatro times de futebol disputam um torneio. Quantas
são as possibilidades de classificação para os três primeiros
lugares?
468) Quantos números de três algarismos distintos podem
ser formados usando-se os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
469) Para ir da cidade “A” para uma cidade “B” existem 3
estradas, e de “B” para “C” existem duas estradas. De
quantas maneiras diferentes podemos ir de “A” até “C”,
passando por “B”?
470) Para ir de uma cidade A para outra cidade B dispomos
de quatro empresas de ônibus, três de aviões e duas de
navios. De quantos modos podemos viajar de A até B?
471) As linhas telefônicas de certa cidade começam todas
pelo algarismo 6 e possuem seis dígitos. Quantas linhas,
nessas condições, podem ser instaladas?
472) (CESPE/UnB) Em uma reunião social, cada convidado
cumprimentou uma única vez todos os outros com um aperto
de mão, o que resultou em 45 desses cumprimentos. Nesse
contexto, é correto afirmar que:
a) Apenas 9 pessoas participaram da reunião
b) Apenas 10 pessoas participaram da reunião
c) Apenas 11 pessoas participaram da reunião
d) Apenas 12 pessoas participaram da reunião
e) Apenas 13 pessoas participaram da reunião
473) (CESPE/UnB) Em geral, empresas públicas ou privadas
utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de
documentos e processos. Considere que se deseja gerar
códigos cujos caracteres pertençam ao conjunto das 26 letras
de um alfabeto, que possui 5 vogais. Com base nessas
informações, assinale a alternativa verdadeira.
a)Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras,
sendo permitida a repetição de caracteres, então podem ser
gerados menos de 400.000 protocolos distintos.
b)Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus
códigos, que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a
repetição dos caracteres, então é possível obter mais de
11.000 códigos distintos.
c) O número total de códigos diferentes formados por três
letras distintas é superior a 15.000.
474) (CESPE/UnB) Considere que em um escritório
trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm o
nível médio e 2 são de nível fundamental. Será formada, com
esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar
um trabalho de pesquisa. Com base nessas informações,
a)Se essa equipe for formada somente com empregados de
nível médio e fundamental, então ela poderá ser formada de
mais de 60 maneiras distintas.
b)Se essa equipe incluir todos os empregados de nível
fundamental, então ela poderá ser formada de mais de 40
maneiras distintas.
c) Formando-se a equipe com dois empregados de nível
médio e dois de nível superior, então essa equipe poderá ser
formada de, no máximo, 40 maneiras distintas.
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
Experimento Aleatório
Chama-se experimento aleatório todo aquele cujo resultado é
imprevisível, mesmo que esse experimento, em condições
semelhantes, possa ser repetido um número qualquer de
vezes.
Espaço Amostral:
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório. Indicaremos por U ou .
Exemplos:
1) No lançamento de um dado, os resultados possíveis são:
1, 2, 3, 4, 5, 6.
Logo neste caso U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(U) será o número de
elementos do conjunto U, no caso do dado, n(U) = 6.
2) No lançamento de uma moeda, os resultados possíveis
são: cara ou coroa.
Logo neste caso U = { cara, coroa}
3) No lançamento de duas moedas, os resultados possíveis
são: (cara, cara) , (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa).
Logo neste caso U = {(cara, cara) , (cara, coroa), (coroa,
cara), (coroa, coroa)}.
Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Assim, no lançamento de um dado, o evento “obter número
primo” é A = {2, 3, 5}, subconjunto de U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Quando A = U, o evento é certo.
Quando A = Ø, o evento é impossível.
Evento complementar: são dois eventos A e A , tais que:
A A = U : o evento união é o próprio espaço amostral.
A A = { } : o evento intersecção é o conjunto vazio.
Exemplo:
Evento A: ocorrência de um número par : A = { 2, 4, 6}.
Evento A : ocorrência de um número ímpar: A = {1, 3, 5}.
A A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U
A A = { }
Então A e A são eventos complementares.
Exercícios
475) No experimento aleatório lançamento de 3 moedas, qual
é o espaço amostral?
476) No lançamento simultâneo de dois dados diferentes,
determinar os seguintes eventos:
a) números cuja soma seja 8
b) números iguais
c) números cuja soma seja 14.
477) determinar o espaço amostral do experimento aleatório
no lançamento de um dado e duas moedas e o evento coroa,
coroa e um número par.
478) No lançamento de um dado, o complementar do evento
“obter um número primo” é :
a) A = {1, 4, 6}
b) A = {1, 2, 3, 5}
c) A = {1, 2, 4, 5}
d) A = {2, 3,5}
e) n.r.a

479) No lançamento de 2 dados obter o evento cuja soma
dos dois números seja igual a 5, aparece quantas vezes?
a) 1
b) 3
c) 4
d) 2
e) n.r.a
480) Considerando o experimento aleatório nascimento de 2
gatos, qual o número de elementos do espaço amostral
considerando que os gatos podem ser macho ou fêmea, nas
cores preto, branco, amarelo ou cinza.
a) n(U) = 8
b) n(U) = 16
c) n(U) = 12
d) n(U) = 14
e) n.r.a
481) No lançamento de um dado, o evento obter um número
múltiplo de 2 ocorre quantas vezes?
a) 3
b) 2
c) 6
d) 4
e) n.r.a
482) Considerando o experimento sorteio de um número de 1
a 15, quais das alternativas representa o evento obter um
número múltiplo de 3.
a) A = { 3, 6, 9, 12, 14}
b) A = { 3, 6, 9, 12, 15}
c) A = { 3, 6, 9, 12, 14, 15}
d) A = {3, 6, 10, 15}
Probabilidade de um evento
Seja U um espaço amostral equiprovável, de um experimento
aleatório, e A, um evento desse espaço amostral. A
probabilidade de um evento é definida pelo número real P(A),
tal que:
n( A)
P( A)
n(U )
onde n(A): nº de elementos do evento A.
n(U): nº de elementos do espaço amostral U.
Propriedades das Probabilidades
1º Propriedade: A probabilidade de um evento certo é igual a
1, isto é:
P(A) = 1
Exemplo:
A probabilidade de sair número menor ou igual a 6, no
lançamento de um dado.
2º Propriedade: A probabilidade de ocorrer um evento A no
espaço amostral U é sempre maior ou igual a zero e menor
ou igual a 1, isto é:
0 1P( A)
Exercícios
483) No lançamento de um dado, determine a probabilidade
de se obter:
a) o número 3
b) um número par
c) um número maior que 2.
484) Considere o experimento aleatório:
“Lançar dois dados e obter as faces voltadas para cima”
Determine a probabilidade de se obter:
a) A soma dos pontos igual a 10
b) O número em uma das faces igual ao dobro do nº na outra
face.
c) A soma dos pontos igual a 13.
d) A soma dos pontos menor ou igual a 12.
e) Sair faces iguais.
485) Na escolha de um número de 1 a 25, qual a
probabilidade de que seja sorteado um número múltiplo de 6?
486) Ao jogarmos dois dados distintos, qual a probabilidade
de obtermos pontos diferentes nos dois dados?
487) Retirando uma bola de uma urna que contém 15 bolas,
numeradas de 1 a 15, qual a probabilidade de se obter um
número primo?
a) 2/5
b) 1/2
c)1/4
d) 1/6
e) n.r.a
488) Qual a probabilidade de se obterem dois valetes, num
baralho de 52 cartas, extraindo-se simultaneamente 2 cartas.
a) 1/120
b) 1/121
c) 1/30
d) 15/221
e) n.r.a
489) Dois dados, um branco e outro preto, são lançados
simultaneamente sobre uma mesa. Qual a probabilidade das
somas dos valores obtidos nas faces do dois dados ser igual
a 5?
a) 1/6
b) 1/3
c) 1/9
d) 1/4
e) n.r.a
490) Três moedas são lançadas simultaneamente. Qual a
probabilidade de se obter uma cara e 2 coroas?
a) 1/6
b) 1/8
c) 3/8
d) 1/4
e) n.r.a
Probabilidade da união de eventos
Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral U, tem-se
que:
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Exercícios
491) Sorteando um número de 1 a 30, qual a probabilidade
de que ele seja par ou múltiplo de 5?
492) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados,
a probabilidade de que suas faces superiores exibam soma
igual a 7 ou 9 é:
a) 1/6
b) 4/9
c) 2/11
d) 5/18
e) n.r.a
493) Numa pesquisa feita com 600 pessoas de uma
comunidade, verificou-se que 200 lêem o jornal A, 300 lêem o
jornal B e 150 lêem os jornais A e B. Qual a probabilidade de,
sorteando-se uma pessoa, ela ser leitora do jornal A ou do
jornal B?
494) Extrai-se aleatoriamente uma carta de um baralho de 52
cartas. Qual é a probabilidade de a carta extraída ser valete
ou carta de paus?
495) Numa urna há 40 bolas brancas, 25 bolas pretas e 15
vermelhas, todas de mesmo formato e indistinguíveis pelo
tato. Retirando-se uma bola ao acaso, determine a
probabilidade de que ela seja preta ou vermelha.
496) Qual a probabilidade de obter, no lançamento de um
dado, um número par ou primo?
497) De um coleção de 8 livros de matemática, 5 de física e 7
de química, retira-se um livro. Calcule a probabilidade desse
livro ser de física ou química.
498) Num grupo de 200 estudantes, 60 gostam de
matemática, 40 gostam de música e 20 gostam tanto de
matemática quanto de música. Escolhendo-se um estudante
ao acaso, qual é a probabilidade dele gostar de matemática
ou de música?
499) Num lançamento simultâneo de dois dados, qual é a
probabilidade de se obter a soma igual a 3 ou 7?
500) Numa escola de 1200 alunos, 550 gostam de rock; 230
gostam de samba e 120 gostam de samba e de rock.
Escolhendo um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele
gostar de samba ou de rock?
501) No sorteio de um número natural de 1 a 15. A
probabilidade de se obter um número primo ou par é?
502) No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de
se obter soma 5 ou 8?
503) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o
experimento “retirada de uma bola” e considere os eventos:
A = { a bola retirada possui um número múltiplo de 2}
B = { a bola retirada possui um número múltiplo de 5}
Então a probabilidade do evento A B é?
504) Retirando uma carta de um baralho, comum, de 52
cartas. Qual a probabilidade da carta retirada ser de copas ou
um rei?
505) (CESPE/UnB) Muitas pessoas Têm buscado na
atividade física uma saída para o estresse da vida moderna.
Em uma pesquisa solicitou-se a 220 pessoas que
respondessem a seguinte pergunta: Você pratica algum tipo
de atividade física? Os resultados da pesquisa estão na
tabela abaixo:
Sexo Sim Não
Feminino 46 82
Masculino 38 54
Considerando essa amostra e escolhendo-se ao acaso uma
pessoa que pratique uma atividade física, a probabilidade de
ela ser do sexo feminino:
a) É inferior a 42%
b) Está entre 42% e 46%
c) Está entre 46% e 52%
d) Está entre 52% e 56%
e) É superior a 56%
506) (CESPE/UnB) Em 2001, no relatório de pesquisa
rodoviária publicado pela confederação Nacional de
Transportes, foi divulgada a tabela acima, que mostra as
condições de conservação de 45.294 quilômetros de
estradas brasilleiras. Com base nesses dados, assinale a
alternativa correta.
Estado Geral Extensão avaliada (km)
Ótimo 1.291
Bom 12.864
Deficiente 30.009
Ruim 980
Péssimo 150
Total 45.294
a)A probabilidade de um viajante que transita nessas
estradas passar por pelo menos 1 km de estrada em
condições ótimas e boas é maior que 30%.
b)Da extensão total de estradas avaliadas, mais de 0,6estão
em condições deficientes.
507) (CESPE/UnB) Suponha que os candidatos X, Y e Z
estão concorrendo a uma vaga em um escritório e somente
um deles deverá ser escolhido. Se a probabilidade de X ser
escolhido for de 7/12 e a de Y ser o escolhido for de 1/6,
então a probabilidade de Z ser escolhido é:
a) Inferior a 10%
b) Superior a 10% e inferior a 20%
c) Superior a 20% e inferior a 30%
d) Superior a 40% e inferior a 50%
e) Superior a 50%
508) (CESPE/UnB) Considere que a tabela abaixo mostra o
número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos
em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003.
Estado em que
ocorreu o
acidente
Total de vítimas fatais
Sexo
Masculino
Sexo
feminino
Maranhão 225 81
Paraíba 153 42
Paraná 532 142
Santa Catarina 188 42
A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405
relatórios, um para cada umas das vítimas fatais
mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e
as condições que ocorreu o acidente. Com base nessas

informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um
relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima.
I. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma
vítima de um acidente ocorrido no Estado do Maranhão é
superior a 0,2.
II. A chance de que esse relatório corresponda a uma
vítima do sexo feminino é superior a 23%.
III. Considerando que o relatório escolhido corresponda a
uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o
acidente nele mencionado tenha ocorrido no Estado do
Paraná de superior a 0,5.
IV. Considerando que o relatório escolhido corresponda a
uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a
probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o
acidente tenha ocorrido no Estado do Maranhão é superior a
0,27.
V. A chance que o relatório escolhido corresponda a uma
vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um
dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é
inferior a 70%.
A seqüência correta de respostas é:
a) C, E, C, E, C
b) C, E, E, C, E
c) C, C, C, C, C
d) E, E, E, E, E
e) C, E, E, E, C
509) (CESPE/UnB) Um baralho comum contém 52 cartas de
4 tipos (naipes) diferentes: paus (♣), espadas (♠), copas (♥) e
ouros (♦). Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3
dessas cartas contém as figuras do rei, dama e valete,
respectivamente. Com base nessas informações, assinale a
alternativa falsa.
a)A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de
um baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto é
igual a 3/13.
b)Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um
de cada naipe, conclui-se que a probabilidade de se extrair
uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a 1/52.
c) A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma
figura ou ser uma carta de paus é igual a 11/26.
510) (CESPE/UnB) Considere que em um escritório
trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm o
nível médio e 2 são de nível fundamental. Será formada, com
esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar
um trabalho de pesquisa. Com base nessas informações,
a)Se a equipe for formada escolhendo-se as pessoas de
maneira aleatória, então a probabilidade de que essa equipe
contenha todos os empregados de nível superior será inferior
a 0,03.
b)Se a equipe for formada escolhendo-se as pessoas de
maneira aleatória, então a probabilidade de que essa equipe
contenha pelo menos uma pessoa de nível médio será
inferior a 0,55.
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
Estatística é a parte da matemática que trata dos métodos
científicos para coleta, organização, resumo e análise de
dados.
Podemos dividi-la em duas: Estatística Descritiva, que
apenas descreve e analisa os dados, sem tirar conclusões, e
Estatística Indutiva, que trata das inferências e conclusões,
isto é, com base na análise de dados são tiradas conclusões.
População e amostra
População é o conjunto de elementos de um determinado
conjunto que tem a mesma característica. Como nem sempre
é possível analisar todos os elementos de um conjunto,
considera-se então apenas uma parte do todo, um
subconjunto da população. Este subconjunto é chamado de
Amostra.
Os resultados obtidos do levantamento de dados da amostra
podem ser estendidos a toda a população.
Variáveis contínuas e discretas
As variáveis que assumem apenas valores inteiros são ditas
discretas, e as que assumem quaisquer valores em um
intervalo são chamadas de contínuas.
De forma geral, as contagens resultam em variáveis
discretas, e as medições em variáveis contínuas.
Construção e interpretação de gráficos
Um dos meios utilizados para representar e analisar dados é
expresso por meio de figuras denominadas gráficos. Eles são
fundamentais nos meios de comunicação como: jornais,
revistas e Internet.
Vejamos a seguir alguns tipos de gráficos: gráficos de barras
e colunas e gráficos circulares.
GRÁFICOS DE BARRAS E COLUNAS
Gráficos em Barras (Horizontais)
Os gráficos em barra têm por finalidade comparar grandezas,
por meio de retângulos de igual largura e alturas
proporcionais às respectivas grandezas.
Tipo De Programa
45
21
33
6
15
0 20 40 60
Filmes
Jornalismo
Telenovelas
Educativos
Outros
Audiência
Gráfico de Barras Agrupadas

Tipo De Programa
23
15
10
1
10
22
6
23
5
5
0 10 20 30
Filmes
Telenovelas
Outros
Feminino
Masculino
Colunas
O gráfico em colunas é feito da mesma maneira que o de
barras só que na forma vertical.
Tipo De Programa
45
21
33
6
15
0
20
40
60
Filmes Jornalismo Telenovelas Educativos Outros
Audiência
Gráfico de Colunas Justapostas ou Agrupadas
23
15
10
1
10
22
6
23
5 5
0
5
10
15
20
25
Filmes Jornalismo Telenovelas Educativos Outros
Masculino
Feminino
Gráficos circulares (setores)
Os gráficos circulares são utilizados para representar as
relações entre as partes de um todo.
Exemplo:
Tipo De Programas
37
135
27
18
Filmes
Outros
Educativos
Telenovelas
Jornalismo
ORGANIZAÇÃO DE DADOS
Rol
Quando obtemos um conjunto de dados de uma determinada
coleta, estes dados são chamados de dados brutos. Para que
possam ser mais bem analisados, devemos colocá-los em
ordem crescente ou decrescente. Essa nova organização é
conhecida como rol.
Desta maneira, podemos obter a amplitude do rol, que e a
diferença entre o maior valor e o menor valor da coleta.
Exemplo:
A tabela abaixo apresenta a coleta de dados referente ao
número de vezes que um grupo de 20 pessoas foram ao
cinema nos últimos 6 meses.
Dados brutos
1 5 3 1 2
5 6 1 2 0
0 2 4 7 5
3 3 5 8 4
Rol (dados organizados em ordem crescente)
0 0 1 1 1
2 2 2 3 3
3 4 4 5 5
5 5 6 7 8
Freqüência
O número de vezes que determinado valor se repete em um
conjunto de dados é denominado freqüência. Desta maneira
podemos construir uma nova tabela associando os valores a
suas freqüências.
Exemplo:
Utilizando o exemplo anterior, obtemos a tabela:
Freqüência 2 3 3 3 2 4 1 1 1
N° de idas
ao cinema
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Classes
Quando o conjunto de dados é muito extenso, podemos
dividi-lo em intervalos, denominados classes.
Analise de dados
Quando o conjunto de dados for muito extenso, trabalhar com
a distribuição de freqüências torna-se muito complicado e por
isso costuma-se usar algumas medidas que resumem
características do fenômeno estudado.
Essas medidas, de certo modo, condensam informações
relativas a distribuição de dados. As mais comuns são as
medidas de Tendência Central.
As medidas de Tendência Central mais utilizadas são:
Média aritmética
Mediana
Moda
MÉDIAS
Média Aritmética Simples
A média aritmética simples de um conjunto de dados é obtida
pelo quociente da soma desses dados pelo número de
parcelas.

A média aritmética pode ser representada pela notação X .
Exemplo:
Calcular a média aritmética dos números: 2, 4 e 6.
Resolução:
2 4 6
3
X
12
3
X
4X
Média aritmética Ponderada
Quando em um conjunto de dados possui repetição de
elementos, a essa repetição denominamos peso. Assim, a
média aritmética ponderada é obtida através da soma dos
produtos de cada elemento pelo seu respectivo peso dividida
pela soma dos respectivos pesos.
Exemplo:
Calcular a média aritmética ponderada dos números 1, 3, 6,
6, 8, 8 e 10.
Resolução:
Podemos atribuir aos elementos 1, 3 e 10 o peso 1 devido a
cada um deles aparecer apenas 1 vez. Já os elementos 6 e 8
repetem-se 2 vezes, assim atribuímos a eles o peso 2.
Assim;
1 3 2 6 2 8 10 42
6
1 1 2 2 1 7
pX
Média Geométrica
A média geométrica de um conjunto de elementos é a raiz de
índice igual ao número de fatores do produto desses
elementos.
Exemplo:
Calcular a média geométrica dos números 1 e 0,04.
Resolução:
1 0 04
0 04
4
100
2
10
0 2
g
g
g
g
g
m . ,
m ,
m
m
m ,
Calcular média geométrica dos números
1
100
, 20 e 40.
Resolução:
3
3
3
1
20 40
100
800
100
8
2
g
g
g
g
m
m
m
m
Média Harmônica
A média harmônica de vários números é igual ao inverso da
média aritmética dos inversos desses números.
Exemplo:
Calcular a média harmônica dos números 2 e 3.
Resolução:
1
1 1
2 3
2
h
m
1
3 2
6
2
h
m
1
5 1
6 2
h
m
1
5
12
h
m
12
5
h
m 2 4h
m ,
Exercícios
511) Dados os números 1, 2 e 4, calcule:
a) a média aritmética
b) a média geométrica
c) a média ponderada cujos pesos são 2; 1 e 1.
d) a média harmônica.
512) A média aritmética de um conjunto de 12 números é 9.
Se os números 10, 15 e 20 forem retirados do conjunto, a
média aritmética dos restantes será?
513) A média aritmética dos números 2, 1/4 e 0,1 é?
514) A média ponderada dos números 2, 3 e 5 cujos pesos
são 1, 1 e 2 é igual a?
515) A média harmônica entre os números a, b, considerando
a , b números inteiros positivos, é:
a)
2
a b
ab
b)
2ab
a b
c)
ab
a b
d)
2
a b
e) n.r.a
516) Colocando em ordem crescente a média aritmética; a
média geométrica e a média harmônica dos números 1; 2 e 4,
teremos:

a) A h g
m m m
b) h g A
m m m
c) g A h
m m m
d) h A g
m m m
e) n.r.a
517) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda,
com as fórmulas da coluna da direita, sendo a e b números
inteiros positivos quaisquer, tem-se:
I – média harmônica dos números a e b;
II – média ponderada dos números a e b;
III – média geométrica entre os números a e b;
IV – média aritmética simples entre a e b.
a) a.b
b)
a
b
c)
2
a b
d)
2ab
a b
e) a.b
518) A média aritmética dos elementos de um conjunto de 28
números é 27. Se retirarmos desse conjunto três números, de
valores 25, 28 e 30, a média aritmética dos elementos do
novo conjunto é:
a) 26,92
b) 26,80
c) 26,62
d) 26,38
e) n.r.a
MEDIANA ( D
M )
A mediana se identifica com a posição central de um conjunto
ordenado e o separa em duas partes com a mesma
quantidade de elementos. Se, por exemplo, relacionarmos
em ordem crescente os tempos de chegada de uma corrida
com 15 participantes, a mediana corresponderá ao resultado
do corredor que chegou em oitavo lugar, já que um número
igual de participantes (7) chegou antes e depois dele.
Se um conjunto de elementos tiver um número de termos
pares, a mediana será a média aritmética simples dos dois
termos médios.
Exemplos:
01. Determine a mediana do conjunto {1, 7, 2, 5, 2, 5, 3, 2,
10}.
Resolução:
Primeiramente vamos organizar os dados em ordem
crescente. {1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 7, 10}.
Então o elemento médio do conjunto é o elemento 3.
3D
M
02. Determine a mediana do conjunto {2, 3, 6, 1 ,4 ,9, 6, 8, 1,
8}.
Resolução:
Organizando os dados em ordem crescente: {1, 1, 2, 3, 4, 6,
6, 8, 8, 9}.
Neste caso os elemento médios são 4 e 6. Logo a mediana
será
4 6
5
2
D
M X .
MODA ( O
M )
A moda é o elemento que aparece com maior freqüência em
um conjunto, isto é, aquele que aparece mais vezes. Ao
contrário de média e da mediana, a moda pode não ser
única. Isto acontece quando dois ou mais elementos ocorrem
com a mesma freqüência.
Exemplos:
01. Qual é a moda do conjunto {5, 3, 7, 1, 5, 2, 9}
Resolução:
Neste caso ordena-se o conjunto, obtendo:
{1, 2, 3, 5, 5, 7, 9}.
O elemento que aparece com maior número de vezes, neste
caso o 5, é a moda. Este conjunto é dito unimodal.
Em alguns casos pode ocorrer a presença de dois ou mais
elementos com maior freqüência. Neste caso, o conjunto é
chamado bimodal (duas modas) ou multimodal (três ou mais
modas). Um conjunto também pode não ter moda, chamado
então de amodal.
Anteriormente, estudamos algumas medidas de Tendência
Central, como média aritmética, mediana e moda.
Porém, muitas vezes necessitamos saber o comportamento
de dados em torno dos valores centrais, ou seja, o quanto
estão próximos ou distantes destes. Para isto utilizaremos as
chamadas Medidas de Dispersão, que são:
Desvio
Variância
Desvio Padrão
DESVIO
Chamamos de desvio a diferença entre cada um dos valores
dados e a média aritmética do conjunto em questão. Sendo
assim o desvio é dado por iX X onde X é a média
aritmética dos elementos i
X .
Exemplo:
01. Dado o conjunto {1, 3, 5, 7, 9}, calcule os desvios.
Resolução:
Primeiro devemos calcular a média aritmética do conjunto.
1 3 5 7 9 25
5
5 5
X
Então os desvios serão dados por:

1 5 4
3 5 2
5 5 0
7 5 2
9 5 4
iX X
Obs: é importante lembrar que existirá um desvio para cada
elemento do conjunto e que o somatório destes será sempre
igual à zero.
VARIÂNCIA (
2
x
S )
Por definição, a variância é média aritmética dos quadrados
dos desvios.
Então a variância é dada por:
2
2 1
¨n
i
i
x
X X
S
n
Obs: A variância será diretamente proporcional a dispersão
dos elementos do conjunto em relação a sua média
aritmética. Ou seja, quanto mais próximos numericamente de
sua média aritmética estiverem os elementos menor será a
variância. Podemos citar como exemplos os conjuntos {4, 5,
6} e {1, 5, 9}. Verificamos que suas médias aritméticas são
iguais a 5. Porém, se calcularmos suas respectivas variâncias
encontraremos para a segunda um valor superior ao da
primeira devido a dispersão dos dados.
DESVIO-PADRÃO ( S )
O desvio-padrão é a medida de dispersão mais usada.
O desvio-padrão é obtido através da raiz quadrada da
variância.
Assim:
2
x
S S
Exercícios
519) (ICMS-MG/95) O desvio-padrão do conjunto de dados A
= {6, 10, 4, 8, 7} é igual a:
a) 1,25
b) 1,5
c) 2,0
d) 3,0
e) 4,0
520) (ICMS/95) O desvio-padrão do conjunto de dados A =
{2, 4, 6, 8, 10} é aproximadamente igual a:
a) 2,1
b) 2,4
c) 2,8
d) 3,2
e) 3,6
521) (GDF/94) Entre os funcionários de um órgão do
governo, foi retirada uma amostra de 10 indivíduos. Os
números representam as ausências ao trabalho registradas
para cada um deles, no último ano: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e
10. Sendo assim, o valor do desvio-padrão desta amostra é:
a) 3
b) 9
c) 10
d) 30
522) (CESPE/UnB) Em minutos, os tempos gastos por 5
funcionários de uma repartição, para digitar determinado
texto, foram: 17, 20, 18, 21 e 24. Com base nesses dados,
assinale a alternativa verdadeira.
a) A média aritmética dos tempos gastos pelos funcionários
para digitar os textos foi de 22 minutos.
b) A mediana da seqüência formada pelos tempos dados
acima é superior a 22 minutos.
O desvio-padrão da seqüência de tempos observados é
inferior a 3 minutos
GEOMETRIA PLANA
Segmentos proporcionais
A figura a seguir, representa três retas paralelas cortadas por
duas retas transversais, uma dessas retas ao cortar as
paralelas, forma dois segmentos representados por AB e BC.
Algo muito interessante acontece. Se AB e BC forem iguais
(no exemplo AB = BC = 1 cm) e analisarmos a outra reta
transversal, os dois novos segmentos A’B’ (lê-se: “A linha, B
linha”) e B’C’ também serão iguais, neste exemplo medindo
1,5 cm.
Da mesma forma, se traçássemos uma quarta reta paralela
passando pelo ponto D tal que também CD = 1, então quanto
mediria C’D’? É claro que, pelo mesmo motivo, C’D’ = 1,5 =
B’C’= A’B’.
Podemos enunciar isto da seguinte maneira: quando um feixe
(isto é, um conjunto de três ou mais retas) de retas paralelas
é cortado por duas retas transversais, se os segmentos numa
das retas forem iguais, (no exemplo, AB = BC = CD = 1),
então os segmentos na outra reta também o serão
(A’B’=B’C’=C’D’=1,5).
Mas, e se os segmentos na primeira reta não forem iguais?
Como no exemplo acima, onde AB = 1 cm e BD = 2 cm o que
podemos dizer sobre A’B’ e B’D’ (além do fato de que
também não são iguais)? Veja a figura abaixo: se A ’ B ’ = 3
cm, temos B’D’ = 6 cm. Olhe para estes quatro números da
figura: 1; 2; 1,5 e 3. Tomados nesta ordem, formam duas
frações iguais:
1 1 5
2 3
,
.

Dizemos que estes quatro números são números
proporcionais, e escrevemos: “1 está para 2, assim como
1,5 está para 3. Assim, os segmentos que têm estas
medidas, na figura representados respectivamente por AB,
BC, A’B’ e B’C’, são segmentos proporcionais. De um modo
geral, definimos: AB e BC são segmentos proporcionais a
A’B’ e B’C’ (nesta ordem), se
AB A' B'
BC B' C'
TEOREMA DE TALES
Como se pôde ver na figura anterior, o feixe de retas
paralelas “transporta” uma razão de segmentos: ali, a razão
dos segmentos AB e BC (no caso,
1
2
) é igual à razão dos
segmentos A’B’ e B’C’ (
3
6
). O Teorema de Tales fala
exatamente isso:
Quando três retas paralelas são cortadas por duas retas
transversais, os segmentos determinados numa das retas
transversais são proporcionais aos segmentos determinados
na outra.
Exemplo:
Consideremos a figura ao lado com um feixe de retas
paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas
em centímetros.
Assim:
BC EF
AB DE
AB BC
DE EF
DE EF
AB BC
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Catetos e Hipotenusa
Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de
hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.
Observe a figura:
Hipotenusa: BC
Catetos: AC e AB
Seno, Cosseno e Tangente
Considere um triângulo retângulo BAC:
Hipotenusa: BC m( BC ) = a
Cateto: AC m( AC ) = b
Cateto: AB m( AB ) = c
Ângulos: A, B e C
Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos
definir as seguintes razões trigonométricas:
Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
cateto oposto
hipotenusa
seno
Assim:
b
sen B
a

c
sen C
a
Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
cateto adjacente
cosseno
hipotenusa
Assim:
cos
c
B
a
cos
b
C
a
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.
cateto oposto
tangente
cateto adjacente
Assim:
b
tg B
c
c
tg C
b
Exemplo:
9 3
15 5
12 4
15 5
9 3
12 4
sen B
cos B
tg B
12 4
15 5
9 3
15 5
12 4
9 3
sen C
cos C
tg C
Observações:
1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a
razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno.
Assim:
b
sen B b a senB
a
c
cos B c a cos B
a
b a senB senB
tg B tg B
c a cos B cos B
2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.
3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre
números reais positivos menores que 1, pois qualquer
cateto é sempre menor que a hipotenusa.
As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º
Considere as figuras:
Quadrado de lado l e diagonal
Triângulo eqüilátero de lado I e altura

Seno, cosseno e tangente de 30º
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os
ângulos de 30º, temos:
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para
um ângulo de 45º, temos:
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para
um ângulo de 60º, temos:
Resumindo
x sen x cos x tg x
30º
45º
60º
SEMELHANÇA DE POLIGONOS
Introdução
Observe as figuras:
Figura A
Figura B
Figura C
Elas representam retângulos com escalas diferentes.
Observe que os três retângulos têm a mesma forma, mas de
tamanhos diferentes.
Dizemos que esses mapas são figuras semelhantes.
Nessas figuras podemos identificar:
AB - distância entre A e B (comprimento do retângulo)
CD - distância entre C e D (largura do retângulo)
, e - ângulos agudos formados pelos segmentos
AB .
Medindo os segmentos de reta AB e CD e os ângulos
( , e ) das figuras, podemos organizar a seguinte
tabela:

m ( AB ) m ( CD ) ângulo
Fig. A 3,9 cm 1,3 cm = 90º
Fig. B 4,5 cm 1,5 cm = 90º
Fig. C 6,0 cm 2,0 cm = 90º
Observe que:
Os ângulos correspondente nas três figuras têm
medidas iguais;
As medidas dos segmentos correspondentes são
proporcionais;
Desse exemplo, podemos concluir que duas ou mais figuras
são semelhantes em geometria quando:
Os ângulos correspondentes têm medidas iguais;
As medidas dos segmentos correspondentes são
proporcionais;
Os elementos das figuras são comuns.
Têm formas iguais e tamanhos diferentes.
Outros exemplos de figuras semelhantes:
Polígonos Semelhantes
Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:
Observe que:
Os ângulos correspondentes são congruentes:
Os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:
ou
Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são
semelhantes e indicamos:
ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao
polígono A'B'D'C' ")
Ou seja:
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos
correspondentes são congruentes e os lados
correspondentes são proporcionais.
A razão entre dois lados correspondentes em polígonos
semelhante denomina-se razão de semelhança, ou seja:
A razão de semelhança dos polígonos considerados é
Obs: A definição de polígonos semelhantes só é válida
quando ambas as condições são satisfeitas: Ângulos
correspondentes congruentes e lados correspondentes
proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente
para indicar a semelhança entre polígonos.
Propriedades
Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus
perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados
homólogos quaisquer dos polígonos.
Demonstração:
Sendo ABCD ~ A'B'C'D', temos que:
Os perímetros desses polígonos podem ser assim
representados:
Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA
Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'
Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que:

Exemplo:
Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm.
Esse triângulo é semelhante a um outro cujo perímetro mede
45 cm. calcule os lados do segundo triângulo.
Solução:
Razão de semelhança =
Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.
QUADRILÁTEROS
Definição:
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
Quadrilátero ABDC
Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-
consecutivos são chamados opostos.
Elementos
Na figura abaixo, temos:
Quadrilátero ABCD
Vértices: A, B, C, e D.
Lados:
Diagonais:
Ângulos internos ou ângulos do
quadrilátero ABCD: .
Observações
Todo quadrilátero tem duas diagonais.
O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das
medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD +
DA.
Côncavos e Convexos
Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos.
Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois
vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois
outros vértices.
Quadrilátero convexo
Quadrilátero côncavo
Soma das medidas dos ângulos internos de um
quadrilátero convexo
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é
360º.
Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero
ABCD nos triângulos ABD e BCD.
Do triângulo ABD, temos :
a + b1 + d1 = 180º. (i)
Do triângulo BCD, temos:
c + b2 + d2 = 180º. (ii)
Adicionando (i) com (i) , obtemos:
a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º
a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º
a + b + c + d = 360º

Observações:
Termos uma fórmula geral para determinação da soma dos
ângulos internos de qualquer polígono convexo:
Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono.
A soma dos ângulos externos de um polígono convexo
qualquer é 360º.
Se = 360º
Quadriláteros Notáveis
Paralelogramo
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos
paralelos.
Exemplo:
h é a altura do paralelogramo. O ponto de intersecção das
diagonais (E) é chamado centro de simetria.
Destacamos alguns paralelogramos:
Retângulo
Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são
congruentes (retos).
Exemplo:
Losango
Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são
congruentes.
Exemplo:
Quadrado
Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os
quatro ângulos são congruentes.
Exemplo:
É o único quadrilátero regular.
É, simultaneamente retângulo e losango.
Trapézio
É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos
chamados bases.
Exemplo:
Denominamos trapezóide o quadrilátero que não apresenta
lados paralelos.
Destacamos alguns trapézios:
Trapézio retângulo
É aquele que apresenta dois ângulos retos.

Exemplo:
Trapézio isósceles
É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes.
Exemplo:
Trapézio escaleno
É aquele em que os lados não-paralelos não são
congruentes.
Exemplo:
Propriedades dos Paralelogramos
1ª Propriedade
Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
H: ABCD é paralelogramo.
T:
2ª Propriedade
Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos
congruentes.
T:
3ª Propriedade
As diagonais de um paralelogramo interceptam-se
mutuamente ao meio.
H: ABCD é paralelogramo
T:
4ª Propriedade
As diagonais de um paralelogramo interceptam-se
mutuamente ao meio.
T:
Resumindo:
Num paralelogramo:
Os lados opostos são congruentes;
Cada diagonal o divide em dois triângulos
congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes;
As diagonais interceptam-se em seu ponto médio.
Propriedade característica do retângulo.
As diagonais de um retângulo são congruentes.
T: ABCD é retângulo.
H: .

GEOMETRIA ESPACIAL
Conceitos primitivos
São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição)
na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano.
Habitualmente, usamos a seguinte notação:
Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto
Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto
Planos: letras minúsculas do alfabeto grego
Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:
Axiomas
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como
verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o
desenvolvimento de uma teoria.
Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos,
retas e planos.
Postulados sobre pontos e retas
P1) A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.
P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.
P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-
retas.
Postulados sobre o plano e o espaço
P5) Por três pontos não-colineares passa um único plano.
P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.
P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.
P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas
regiões chamadas semiplanos.
P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões
chamadas semi-espaços.
Posições relativas de duas retas
No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes,
paralelas ou reversas:

Temos que considerar dois casos particulares:
retas perpendiculares: r s
retas ortogonais: r s
Postulado de Euclides ou das retas paralelas
P10) Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma única
reta s, traçada por P, tal que r // s:
Determinação de um plano
Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por
três pontos não-colineares, um plano também pode ser
determinado por:
Uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:
Duas retas paralelas distintas:
Posições relativas de reta e plano
Vamos considerar as seguintes situações:
a) reta contida no plano
Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano , então
r está contida nesse plano:
b) reta concorrente ou incidente ao plano
Dizemos que a reta r "fura" o plano ou que r e são
concorrentes em P quando .
Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano que
não passam pelo ponto P.
c) reta paralela ao plano
Se uma reta r e um plano não têm ponto em comum, então
a reta r é paralela a uma reta t contida no plano ; portanto,
r // .
Em existem infinitas retas paralelas, reversas ou
ortogonais a r.
P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então
a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por
esse ponto.
Perpendicularismo entre reta e plano
Uma reta r é perpendicular a um plano se, e somente se,
r é perpendicular a todas as retas de que passam pelo
ponto de intersecção de r e .
Note que:
Se uma reta r é perpendicular a um plano , então
ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de :

Para que uma reta r seja perpendicular a um plano
, basta ser perpendicular a duas retas concorrentes,
contidas em :
Observe na figura abaixo, por que não basta que r seja
perpendicular a uma única reta t de para que seja
perpendicular ao plano:
Posições relativas de dois planos
Consideramos as seguintes situações:
a) planos coincidentes ou iguais
b) planos concorrentes ou secantes
Dois planos, e , são concorrentes quando sua
intersecção é uma única reta:
c) planos paralelos
Dois planos, e , são paralelos quando sua intersecção
é vazia:
Perpendicularismo entre planos
Dois planos, e , são perpendiculares se, e somente se,
existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro:
Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um
plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou
secantes.
Projeção ortogonal
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a
intersecção do plano com a reta perpendicular a ele,
conduzida pelo ponto P:
A projeção ortogonal de uma figura geométrica F (qualquer
conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das
projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :
Distâncias
A distância entre um ponto e um plano é a medida do
segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção
ortogonal sobre o plano.
A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância
entre um ponto qualquer da reta e o plano.

A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um
ponto qualquer de um deles e o outro plano.
A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância
entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa
pela outra e é paralelo à primeira reta.
POLIEDROS
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais
polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm
dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns
exemplos:
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices
dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
Poliedros convexos e côncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar que,
considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros
encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa
face determina. Assim, esses poliedros são denominados
convexos.
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a
duas de suas faces, ele não está contido apenas em um
semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo
com o número de faces, como por exemplo:
Tetraedro: quatro faces
Pentaedro: cinco faces
Hexaedro: seis faces
Heptaedro: sete faces
Octaedro: oito faces
Icosaedro: vinte faces
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces
são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de
lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de
arestas.
Existem cinco poliedros regulares:
Poliedro Elementos
Tetraedro
4 faces triangulares
4 vértices
6 arestas
Hexaedro
6 faces quadrangulares
8 vértices
12 arestas
Octaedro
8faces triangulares
6 vértices
12 arestas
Icosaedro
20 faces triangulares
12 vértices
30 arestas
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V - A + F = 2
Onde:
V é o número de vértices,
A é o número de arestas;
F é o número de faces.
Observe os exemplos:

V=8; A=12; F=6
V - A + F = 2
8 - 12 + 6 = 2
V=12; A=18; F=8
V - A + F = 2
12 - 18 + 8 = 2
Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o
segundo, não-platônico.
Prismas
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,
e , um polígono convexo R contido em e uma reta r que
intercepta e , mas não R:
Para cada ponto P da região R, vamos considerar o
segmento PP' , paralelo à reta r (P’ pertence a ) :
Assim, temos:
Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos
os segmentos congruentes PP' paralelos a r.
Elementos do prisma
Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes
elementos:
Bases: as regiões poligonais R e S
Altura: à distância h entre os planos e
Arestas das bases: os lados
(
dos polígonos)
Arestas laterais: os segmentos
Faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C,
CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A
Classificação
Um prisma pode ser:
Reto: quando as arestas laterais são
perpendiculares aos planos das bases;
Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas
aos planos das bases.
Veja:
Prisma Reto Prisma Oblíquo
Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases
são polígonos regulares:
Prisma Triangular Regular Prisma Hexagonal Regular
Observação: As faces laterais de um prisma regular são
retângulos congruentes.

Secção
Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma
determina nele uma região chamada secção do prisma.
Secção transversal é uma região determinada pela
intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das
bases ( figura 1). Todas as secções transversais são
congruentes ( figura 2).
Áreas
Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e
as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área de uma face (AF): área de um dos paralelogramos
que constituem as faces;
b) área lateral (AL): soma das áreas dos paralelogramos que
formam as faces do prisma.
No prisma regular, temos:
AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;
d) área total (AT): soma da área lateral com a área das bases
AT = AL + 2AB
Exemplo:
Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e
aresta lateral h, temos:
h
a
aa
a
a
a
Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome
de paralelepípedo. Assim, podemos ter:
Paralelepípedo
Oblíquo
Paralelepípedo
Reto
Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é
chamado de paralelepípedo reto-retângulo, ortoedro ou
paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da
figura:
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida
b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela
mesma letra são paralelas.
Diagonais da base e do paralelepípedo
Considere a figura a seguir:
d = diagonal da base
d = diagonal do paralelepípedo
b
p
Na base ABFE, temos:
No triângulo AFD, temos:

Área lateral
Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo,
temos:
AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)
Área total
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é
a soma das áreas de cada par de faces opostas:
A = 2( ab + ac + bc)T
Volume
Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1.
Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e
2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1.
Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de
dimensões a, b e c é dado por:
V = abc
Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área
de uma face e como qualquer face pode ser considerada
como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo
retângulo é o produto da área da base AB pela medida da
altura h:
Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas
congruentes ( a = b = c) recebe o nome de cubo. Dessa
forma, as seis faces são quadrados.
Diagonais da base e do cubo
Considere a figura a seguir:
d =diagonal do cubo
d = diagonal da base
c
b
Na base ABCD, temos:
No triângulo ACE, temos:

Área lateral
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:
A =4aL
2
Área total
A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado
a:
A =6aT
2
Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume
de um cubo de aresta a é dado por:
V= a . a . a = a
3
Generalização do volume de um prisma
Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de
Cavalieri (matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o
conceito de volume para sólidos diversos.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo
plano , paralelo a , intercepta os sólidos e determina
secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então: V2 = ABh
Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o
produto da área da base pela medida da altura:
V = A hprisma b
Cilindro
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,
e , um círculo R contido em e uma reta r que intercepta
e , mas não R:
Para cada ponto C da região R, vamos considerar o
segmento CC' , paralelo à reta r (C’ pertence a ):
Assim, temos:
Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de
todos os segmentos CC' congruentes e paralelos a r.
Elementos do cilindro
Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes
elementos:
Bases: os círculos de centro O e O'e raios r
Altura: a distância h entre os planos e
Geratriz: qualquer segmento de extremidades nos
pontos das circunferências das bases (por exemplo, AA' ) e
paralelo à reta r
Classificação do Cilindro
Um cilindro pode ser:
Circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas
às bases;

Circular reto: quando as geratrizes são
perpendiculares às bases.
Veja:
O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de
revolução, por ser gerado pela rotação completa de um
retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do
retângulo ABCD pelo lado BC gera o cilindro a seguir:
A reta BC contém os centros das bases e é o eixo do
cilindro.
Secção
Secção transversal é a região determinada pela intersecção
do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as
secções transversais são congruentes.
Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do
cilindro com um plano que contém o eixo.
Áreas
Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)
Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a
sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos
raios dos círculos das bases são r é um retângulo de
dimensões 2 r e h :
2L
A rh
b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
2
B
A r
c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das
bases
2
2 2 2 2T L B
A A A rh r r r h
Volume
Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o
princípio de Cavalieri.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo
plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos e
determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes
iguais:
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo
cilindro é o produto da área da base pela medida de sua
altura:
Vcilindro = ABh
No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do
círculo de raio r
2
B
A r ;
Portanto, seu volume é:

Cilindro eqüilátero
Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado
(altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro
eqüilátero.
2
2 2 2
2 2 2 4
2 4 2 6
L L L
T L B
A rh A r r A r
A A A r r r
Cone circular
Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V
(vértice) fora de , chamamos de cone circular o conjunto
de todos os segmentos VP , (P pertence a C).
Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
Altura: distância h do vértice V ao plano
Geratriz (g): segmento com uma extremidade no
ponto V e outra num ponto da circunferência
Raio da base: raio R do círculo
Eixo de rotação: reta VO determinada pelo centro
do círculo e pelo vértice do cone
Cone reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é
chamado cone reto, também denominado cone de revolução.
Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo
retângulo em torno de um de seus catetos.
Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte
relação:
2 2 2
g h r
Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano
que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.
Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será
eqüilátero:
Áreas
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto,
obtemos um setor circular de raio g e comprimento
:
Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): área do setor circular
b) área da base (AB): área do circulo do raio R
c) área total (AT): soma da área lateral com a área da base
Volume
O volume de um cone é dado pela equação
21 1
3 3
CONE B
V A h r h

Pirâmides
Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e
um ponto V (vértice) fora de , chamamos de pirâmide o
conjunto de todos os segmentos VP , (P pertence a R).
Elementos da pirâmide
Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:
Base: o polígono convexo R
Arestas da base: os lados AB;BC;CD;DE;EA do
polígono
Arestas laterais: os segmentos VA;VB;VC;VD;VE
Faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE,
VEA
Altura: distância h do ponto V ao plano
Classificação
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice
coincide com o centro do polígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o
nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular,
quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja,
respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um
pentágono etc.
Veja:
Pirâmide Quadrangular
Regular
Pirâmide Hexagonal
Regular
Observações:
1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro.
Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros,
ele é denominado regular (todas as faces e todas as arestas
são congruentes).
Tetraedro
Tetraedro
Regular
2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares
de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces
das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é
regular.
Octaedro Octaedro
Regular
Secção paralela à base de uma pirâmide
Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas
laterais determina uma secção poligonal de modo que:
As arestas laterais e a altura sejam divididas na
mesma razão;
A secção obtida e a base sejam polígonos
semelhantes;
As áreas desses polígonos estejam entre si assim
como os quadrados de suas distâncias ao vértice.
Relações entre os elementos de uma pirâmide regular
Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta
lateral l e aresta da base a:
Assim, temos:

A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um
círculo de raio OB = R.
A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.
Os triângulos VOB e VOM são retângulos.
Áreas
Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): reunião das áreas das faces laterais
b) área da base (AB): área do polígono convexo ( base da
pirâmide)
c) área total (AT): união da área lateral com a área da base
AT = AL +AB
Para uma pirâmide regular, temos:
Em que:
Volume
O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma
pirâmide equivalentes possuem volumes iguais.
Logo, o volume da pirâmide é dado por:
1
3
BPIRÂMIDE
V A h
Troncos
Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou
de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá
cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e
um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.
Vamos estudar os troncos.
Tronco da pirâmide
Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:
As bases são polígonos regulares paralelos e
semelhantes;
As faces laterais são trapézios isósceles
congruentes.
Áreas
Temos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles
congruentes que formam as faces laterais
b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas
da base menor (Ab) e maior (AB)
A =A +A +AT L B b
Volume
O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:
3
TP B b B b
h
V A A A A
Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide
obtido pela secção é válida a relação:
3
V ' h'
V H
Tronco do cone
Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:
As bases maior e menor são paralelas;
A altura do tronco é dada pela distância entre os
planos que contém as bases.
Áreas
Temos:
a) área lateral

b) área total
2 2
2 2
T L B b
T
A A A A R r g R r
A R r g R r
Volume
O volume de um tronco de cone regular é dado por:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
3 3
3 3
TC B b B b
TC
h h
V A A A A R r R r
h h
V R r R r R r Rr
Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone obtido pela
secção são válidas as relações:
2 3
B
b
AR H H V H
; ;
r h A h V ' h
Esfera
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de
pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual
ao raio R.
Considerando a rotação completa de um semicírculo em
torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa
rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e
formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e
ao seu interior.
Volume
O volume da esfera de raio R é dado por:
34
3
ESFERA
V R
Partes da esfera
Superfície esférica
A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de
pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.
Se considerarmos a rotação completa de uma
semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície
esférica é o resultado dessa rotação.
A área da superfície esférica é dada por:
2
4ESFERA
S R
Zona esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
A área da zona esférica é dada por:
2S Rh
Calota esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
A área da calota esférica é dada por:
2S Rh
Fuso esférico
O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se
obtém ao girar uma semicircunferência de um ângulo
0 2 em torno de seu eixo:
A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três
simples:
2
22 4
2
2
rad
rad
E
Fuso
Fuso
S R
S R
S

Ou
2 2
360 4
360 90°
E
Fuso
Fuso
S R R
S
S
Cunha esférica
Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em
torno de seu eixo de um ângulo 0 2 :
O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três
simples:
3
2
4
2 23
2 3
rad
rad
E
Cunha
Cunha
RV
V R
V
Ou
3
24
360 3
360 270°
E
Cunha
Cunha
RV R
V
V
Exercícios
523) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o
perímetro e qual é a área deste triângulo?
524) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior
igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio?
525) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é
seu perímetro?
526) Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos
descritos:
a) a = 25 e b = 12
b) a = 14 e b = 10
527) Por dois modos distintos, mostrar como pode ser
decomposta cada uma das regiões poligonais em triângulos.
528) Seja um paralelogramo com as medidas da base e da
altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos
um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro
da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as
áreas dos paralelogramos?
529) A razão entre as medidas dos lados de dois quadrados
é 1:3. Qual é a razão entre as áreas desses dois quadrados?
530) É possível obter a área de um paralelogramo, se
conhecemos apenas as medidas de seus lados?
531) É possível obter a área de um losango cujo lado mede
10 cm?
532) Qual é a área de um losango que possui diagonais
medindo 10 cm e 16 cm?
533) Calcular a área de cada quadrilátero indicado abaixo:
a. Quadrado com lado medindo 5/3 cm.
b. Quadrado com perímetro 12cm.
c. Retângulo com comprimento 3cm e perímetro 10cm.
d. Quadrado com perímetro 12 3 cm.
534) Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve
ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo
seja equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9 cm
e 12 cm?
535) Se um retângulo possui o comprimento igual ao
quíntuplo da largura e a área é igual a 80 cm², quais são as
medidas de seus lados?
536) Nos ítens abaixo, indicamos uma mudança na medida
de um dos lados. Que mudança deveremos realizar na
medida do outro lado do retângulo para que a área deste
permaneça constante?
a. A base é multiplicada por 3;
b. A altura é dividida por 2;
c. A base é aumentada 25%;
d. A base é diminuída 25%.
537) Calcular a área de um retângulo cujo lado mede s e a
diagonal mede d.
538) Um triângulo retângulo tem um ângulo de 30°.
Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa é
indicada por a.
539) Um triângulo retângulo tem um ângulo de 45°.
Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa é
indicada por a.
540) Obter a área de um paralelogramo conhecendo-se o
ângulo Â=30° e cada um dos dados abaixo:
a. AD = 4 3 cm e AB = 8 cm
b. AX = 3 cm e AB = 4 2 cm
c. AB = 10 cm e AD = 6 cm
d. AB = 6 cm e AX= 3 3 cm

541) A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com
um triângulo retângulo isósceles em cima. Se um dos catetos
do triângulo mede 7 metros, qual é a área frontal desta casa?
542) A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com
um triângulo retângulo isósceles em cima. Se a diagonal do
quadrado mede 2 2 m, calcular a área frontal desta casa.
543) O lado de um triângulo equilátero T1 mede 10 cm. Qual
deve ser a medida do lado de um outro triângulo equilátero
T2 que possui o:
a. dobro da área de T1?
b. triplo da área de T1?
c. quádruplo da área de T1?
544) Os números em cada linha na tabela abaixo, referem-se
às medidas de um triângulo, onde são conhecidas duas
informações dentre: Base, Altura e Área. Complete a tabela
com os dados que estão faltando.
Base (cm) Altura (cm) Área (cm
2
)
a) 5 10
b) 5 12
c) 2 3 3 3
d) 6 12
545) Os números em cada linha na tabela abaixo referem-se
às medidas de um trapézio, onde b1 e b2 são as bases, h é a
altura e A a área. Complete a tabela com os dados que estão
faltando.
b1 (cm) b2 (cm) h (cm) A (cm
2
)
a) 10 6 4
b) 5 3 24
c) 5 3 12
d) 1/3 1
e) 5 2 3 2 4 6
546) Calcular a medida do lado de um triângulo eqüilátero
com a área igual a 9 3 unidades de área.
547) Um fazendeiro possuía um terreno no formato de um
triângulo eqüilátero com lado medindo 6 Km e comprou do
vizinho mais uma área triangular isósceles cuja base mede 4
Km, de acordo com a figura, em anexo. Qual era a área que o
fazendeiro possuía e qual é a nova área?
548) Um trapézio isósceles com bases medindo 12 cm e 16
cm está inscrito em uma circunferência de raio 10 cm.
Calcular a área do trapézio, se o centro da circunferência não
está no interior do trapézio.
549) Calcular a área do trapézio isósceles, cujo desenho está
na figura ao lado, se todos os seus lados são tangentes à
circunferência e as medidas são dadas em cm.
550) Na figura representando o triângulo PQR, o segmento
TS é paralelo ao segmento PQ. Calcular a razão entre a área
do triângulo RTS e a área do trapézio PQST, sob as
seguintes condições:
a. RT=1 cm, RP=2 cm
b. RT=2 cm, TP=3 cm
c. TS=2 cm, PQ=3 cm
d. TS= 3 cm, PQ=2 cm
Dica: Obter a razão entre as áreas dos triângulos PQR e
TSR.
551) Calcular a área de um triângulo eqüilátero cujas
medidas são dadas por:
a. Lado = 6 cm
b. Apótema = 3 cm
c. Raio = 6 cm
d. Perímetro de medida t cm
552) Calcular a área de um hexágono regular cujas medidas
são dadas por:
a. Lado = 4 cm
b. Apótema = 2 3 cm
c. Raio = 6 cm
d. Perímetro = t cm

553) ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto em C. Se
m(AB)=15 cm e m(BC)=9 cm, qual é a área do quadrado de
lado AC?
554) Os números em cada linha da tabela abaixo referem-se
às medidas do polígono regular indicado, onde L é o lado, a é
o apótema, p é o perímetro e A a área. Complete a tabela
com os dados que estão faltando.
L (cm) a (cm) p (cm) A (cm
2
)
Triângulo 2 3
Pentágono k 4
Hexágono k
Octógono t k
Decágono 40 40k
555) Os lados correspondentes de dois pentágonos
semelhantes estão na razão 1:2. Qual é a razão entre as
suas áreas? Qual é a razão entre os seus perímetros?
556) Dois hexágonos semelhantes possuem áreas iguais a
36 cm² e 64 cm², respectivamente. Qual é a razão entre as
medidas de um par de lados correspondentes (um em cada
hexágono)?
557) Dois pentágonos semelhantes possuem áreas iguais a
50 cm² e 100 cm², respectivamente. Qual é a razão entre as
medidas de um par de lados correspondentes (um em cada
pentágono)?
558) No triângulo ABC, desenhado abaixo, AB mede 5 cm e
altura CD mede 8 cm. Qual deverá ser a medida do lado de
um quadrado com área igual à área do triângulo ABC?
559) A área de um polígono de n lados é 25/4 da área de um
outro polígono semelhante com n lados. Qual é a razão entre
os perímetros dos dois polígonos?
560) Os pontos X, Y e Z são os pontos médios dos lados de
um triângulo ABC. Qual é a razão entre a área do triângulo
ABC e do triângulo XYZ?
561) O lado menor de um polígono de área igual a 196 cm²
mede 4 cm. Calcular a área de um polígono semelhante a
este que tem o lado menor medindo 8 cm.
562) Os lados de um quadrilátero medem 3 cm, 4 cm, 5 cm e
6 cm. Calcular as medidas dos lados de um quadrilátero
semelhante a este com área 9 vezes maior.
563) Qual é a razão entre as áreas de dois triângulos
eqüiláteros, sabendo-se que um deles está inscrito em uma
circunferência de raio 6 cm e o outro circunscrito na mesma
circunferência?
564) Na figura ao lado D e E são, respectivamente, os pontos
médios dos lados do triângulo AC e BC. Qual é a razão entre
as áreas dos triângulos DEC e ABC?
565) Considere dois quadrados inscritos, um em uma
semicircunferência de raio r e o outro em uma circunferência
de mesmo raio. Qual é a relação existente entre suas áreas?
566) Um hexágono regular é inscrito em uma circunferência
de raio r e um segundo hexágono regular é circunscrito na
mesma circunferência. Se a soma das áreas dos dois
hexágonos é 56 3 u.a, qual é o raio da circunferência?
567) O quadrilátero ABCD é um retângulo e os pontos E, F e
G dividem a base AB em quatro partes iguais. Qual é a razão
entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo?
568) O retângulo ABCD tem área 105 m². Qual a medida do
lado do quadrado EFGC?
569) De um quadrado cujo lado mede 8 cm, são recortados
triângulos retângulos isósceles nos quatro cantos de modo
que o octógono formado seja regular como mostra a figura ao
lado. Qual é a medida do lado do octógono?
570) Qual é o comprimento da circunferência de raio igual a:
a) r = 5cm
b) r = 3,5cm
c) r = 3kcm
d) r = a/2cm

571) Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto
percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas?
572) Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas
percorre uma distância de 66 metros.
573) Dado um quadrado de perímetro 4L, obter:
a) O raio da circunferência inscrita neste quadrado.
b) O raio da circunferência circunscrita ao quadrado.
574) Calcular a área do círculo conhecendo-se o raio r ou o
diâmetro d.
a) r=3cm
b) d=3k 2 cm
c) r=2 3 cm
d) d=9cm
575) Calcular a área da região limitada por duas
circunferências concêntricas, uma com raio 10 cm e a outra
com raio 6 cm. (coroa circular)
576) Se os perímetros de dois círculos são proporcionais à
razão 2:3, qual é a razão entre as áreas desses círculos?
577) Qual é a área do círculo circunscrito em um triângulo
eqüilátero cujo lado mede 18 cm?
578) Se a razão entre as áreas de dois círculos é 3:1, qual é
a área do círculo menor se a área do círculo maior é
27 cm²?
579) Um jardim de formato circular com 6 metros de raio tem
a metade de sua área removida para reduzir as despesas.
Para isto foi cortada uma borda de largura uniforme em toda
a sua volta. Qual é a largura desta borda?
580) Um triângulo equilátero de perímetro igual a 18 cm está
inscrito em uma circunferência. Calcular a área da região
externa ao triângulo que está dentro da circunferência.
581) Considere um hexágono regular cuja área é 48 3 cm².
Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e
circunscrito.
582) Na figura ao lado, calcular a área e o perímetro do setor
circular se o raio da circunferência mede 12cm e o arco 60
graus.
583) Dada uma circunferência cujo raio mede 6 cm, calcular a
área do setor circular cujo arco A subjacente mede 120°.
584) Seja um triângulo eqüilátero cujo lado mede 2a. Ao
traçar arcos de circunferências de raio a, centrados nos três
vértices do triângulo, obtemos a região hachurada como a da
figura ao lado. Calcular a área desta região.
585) Sobre cada cateto de um triângulo retângulo traçamos
uma semicircunferência de acordo com a figura ao lado.
Mostre que a soma das áreas das lúnulas (pintadas de azul e
verde) é igual a área do triângulo.
586) Semicircunferências são traçados sobre os lados de um
quadrado cujo lado mede 10 cm. Calcular a área das quatro
pétalas pintadas na figura ao lado.
587) Semicircunferências são traçados sobre dois lados de
um quadrado cujo lado mede 6 cm. Calcular a área da região
pintada na figura ao lado.

588) Dois círculos cujos raios medem 4 cm e 12 cm, estão
lado a lado, como mostra a figura. Qual é a medida da menor
correia de couro que contorna os dois círculos?
589) Duas circunferências de centros O e O' têm raios
medindo 3 cm e 2 cm, respectivamente, e a medida
m(OO')=13 cm. Se a reta t é uma tangente comum às duas
circunferências nos pontos A e B, calcular a medida do
segmento AB.
590) Calcular a área da região colorida, sabendo-se que cada
semicírculo possui o diâmetro igual ao raio do círculo
imediatamente maior.
591) A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma
um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a
área lateral, área total e o volume do cone.
592) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um
dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno
do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume?
593) As áreas das bases de um cone circular reto e de um
prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12
cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a
altura do cone.
594) Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de
uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio r e mesma
altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio)
compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?
595) Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura
3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.
596) Um cilindro circular eqüilátero é aquele cuja altura é
igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para
calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar
as fórmulas, dadas por:
597) Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual
a 108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido
pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da
mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é
3cm?
598) Considerando a//b//c no desenho abaixo, calcule o valor
de x.
599) Este mapa mostra quatro estradas paralelas que são
cortadas por três vias transversais. Algumas das distâncias
entre os cruzamentos dessas vias e estradas estão indicadas
no mapa em km), mas as outras precisam ser calculadas.
Complete o mapa com as distâncias que faltam.
600) Três terrenos têm frente para a rua “A” e para a rua “B”,
como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua
“A”. Qual a medida de frente para a rua “B” de cada lote,
sabendo que a frente total para essa rua é 180 m?

601) Considerando a//b//c//d, calcule os valores de x e y.
a)
b)
JUROS SIMPLES
Chamamos de juros a remuneração paga pela aplicação de
um capital (C), a uma taxa de juros (i) durante certo tempo (t).
Se essa remuneração incide somente sobre o capital e ao
final do tempo t, dizemos que esses juros são juros simples.
Ao capital acrescido de juros é comum chamarmos de
montante (M).
Assim, observamos que os juros são a variação entre o
capital e o montante.
Logo,
J C i t
1M C J M C C i t M C i t
Obs: - (i) e (t) devem estar na mesma unidade de tempo.
- (i) deve estar na forma unitária.
Taxa de Juros
A taxa de juros é a taxa porcentual que indica a proporção
entre os juros e o capital.
A taxa de juros deve sempre estar associada a um período
de tempo.
Taxas Porcentuais e Unitárias
Conforme vimos no capítulo de Porcentagens, uma taxa
porcentual representa uma razão centesimal fazendo uso do
símbolo (%).
Assim, temos:
18
18
100
taxa porcentual%
Entretanto, podemos representar a razão centesimal na
forma decimal, obtendo a forma unitária da taxa, ou taxa
unitária:
18
0 18
100
taxa unitária,
Taxas proporcionais
Dizemos que duas taxas são proporcionais quando seus
valores formam uma proporção direta com os respectivos
tempos, considerados numa mesma unidade.
Exemplo:
As taxas de 72% ao ano e de 6% ao mês são proporcionais,
pois:
72 6
12 1meses mês
% %
Ou seja: 72% está para 12 meses (1 ano) assim como 6%
está para 1 mês.
Taxas Equivalentes
Dizemos que duas taxas são equivalentes quando produzem
juros iguais ao serem aplicadas a capitais iguais e por
períodos de tempo também iguais.
Atenção:
No regime de juros simples, taxas equivalentes serão sempre
proporcionais.
Exemplo:
Aplicar X reais, durante algum tempo, à taxa de juros simples
de 2% a.m. nos daria juros iguais aqueles que obteríamos se
aplicássemos os mesmos X reais, durante o mesmo tempo,
mas à taxa de juros simples de 6% a.t. (ao trimestre). Então
dizemos que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 6% a.t.
Notemos que 2% a.m. e 6% a.1. são também taxas
proporcionais, pois:
6 2
3 1meses mês
% %
Juros Comerciais e Juros Exatos
Existem situações onde o prazo de uma operação financeira
é contado em dias enquanto a taxa de juros é indicada em
alguma outra unidade de tempo maior (mês, bimestre,
quadrimestre, semestre ou ano).

A contagem do número de dias envolvidos nestas situações
será feita, na prática; de acordo com uma das duas
convenções abaixo:
Prazo comercial - considera-se todos os meses com 30 dias
(mês comercial) e o ano com 360 dias (ano comercial). Este é
o caso mais freqüente nos problemas de juros simples e os
juros calculados de acordo com esta convenção são
chamados de juros comerciais ou juros ordinários.
Prazo exato - consideram-se os dias transcorridos
efetivamente entre as datas apresentadas. Cada mês poderá
ter 30 dias (para abril, junho, setembro e novembro), 28 dias
(para fevereiro, sendo 29 se o ano for bissexto) ou 31 dias
(para os demais meses do ano). O ano terá um total de 365
dias (ou 366 dias se for bissexto). Os juros calculados de
acordo com esta convenção são chamados juros exatos.
Prazo Médio e Taxa Média
Prazo Médio
Dado um conjunto com duas ou mais aplicações a juros
simples, cada qual com seus próprios valores de capital, taxa
e prazo, dizemos que prazo médio é um prazo único tal que,
substituindo os prazos de cada uma das aplicações dadas,
produzirá o mesmo total de juros das aplicações originais.
O prazo médio é sempre a média dos prazos ponderados
pelos valores correspondentes das taxas e dos capitais a eles
associados.
Exemplo:
Três capitais de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00
foram aplicados às taxas simples de 2%, 3% e 4% ao mês
durante 3 meses, 2 meses e 1 mês, respectivamente. Qual
seria o prazo médio para estas três aplicações?
PRAZOS
(A)
CAPITAL
(B)
TAXAS
(C)
PRODUTOS
(A x B x C)
PESOS
(B x C)
3 meses 1.000,00 2 3 x 1 x 2 = 6 1 x 2 = 2
2 meses 2.000,00 3 2 x 2 x 3 = 12 2 x 3 = 6
1 mês 3.000,00 4 1 x 3 x 4 = 12 3 x 4 = 12
Prazo médio
6 12 12 30
1 5
2 6 12 20
meses,
Portanto, o prazo médio seria de 1 mês e 15 dias.
Isto significa que, se nós trocássemos os três prazos por 1
mês e 15 dias, o total de juros produzidos pelas três
aplicações continuaria inalterado.
Taxa média
É uma taxa única tal que, substituindo as taxas de cada uma
das aplicações dadas, produzirá o mesmo total de juros das
aplicações originais.
A taxa média é sempre a média das taxas ponderadas pelos
valores correspondentes dos prazos e dos capitais a eles
associados.
Exemplo:
Considerando as aplicações do exemplo anterior: R$
1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00, às taxas de 2%, 3% e
4% ao mês, durante 3, 2 e 1 mês, respectivamente. Qual
seria a taxa média para estas três aplicações?
TAXAS
(A)
CAPITAIS
(B)
PRAZOS
(C)
PRODUTOS
(A x B x C)
PESOS
(B x C)
2 1.000,00 3 3 x 1 x 2 = 6 1 x 3 = 3
3 2.000,00 2 3 x 2 x 2 = 12 2 x 2 = 4
4 3.000,00 1 4 x 3 x 1 = 12 3 x 1 = 3
taxa média
6 12 12 30
3
3 4 3 10
a.m.%
Portanto, a taxa média seria de 3% ao mês.
Isto significa que, se nós trocássemos as três taxas (2%, 3%
e 4%) todas para 3% a.m., o total de juros produzidos pelas
três aplicações continuaria inalterado.
Exemplos:
1. Um capital de R$ 800,00 foi aplicado pelo prazo de 2
meses, à taxa de 3% ao mês. Qual o valor dos juros a
receber?
Solução:
Temos:
800 00
3 0 03
2 meses
C ,
i %a.m. , a.m.
t
J ?
Como (i) e (t) já estão na mesma unidade de tempo,
podemos utilizar a equação: J C i t
Assim: 800 0 03 2 48 00J , ,
O valor dos juros recebidos pelo capital aplicado é de RS
48,00
2. Um capital de R$ 23.500,00 foi aplicado durante 8 meses à
taxa de 9% a. a. Determine o montante desta aplicação.
Solução:
A taxa é de 9% ao ano, mas a aplicação durou 8 meses.
Se em um ano temos 12 meses, quantos anos serão
equivalentes a 8 meses?
Com uma regra de três teremos:
Meses Anos
12
8
1
X
8 2
12 8
12 3
x x ano
Temos então:
23 500 00
9 0 09
2
8
3
meses
C . ,
i %a.a. , a.a.
t ano
J ?
M ?
Assim:
2
23 500 0 09 1 410 00
3
J C i t J . , . ,
23 500 1 410 24 910 00M C J . . . ,

Logo, o montante da aplicação será de R$ 24.910,00 ao final
dos 8 meses.
3. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 8 meses
resultou num montante de R$ 66.000,00. Qual foi a taxa
mensal desta aplicação?
Solução:
50 000 00
66 000
8 meses
C . ,
M .
t
i ?
Lembrando que os juros são a variação (diferença) do capital
aplicado para o montante, teremos:
66 000 50 000 16 000M C J J M C J . . .
Assim:
16 000 1
0 04 4
50 000 8 25
J .
J C i t i i , %a.m.
C t .
A taxa de aplicação foi de 4% a.m.
4. De quanto será o juro produzido por um capital de R$
2.300,00, aplicado durante 3 meses e 10 dias, à taxa de 12%
ao mês?
Solução:
O enunciado apresentou um prazo em meses e dias, mas
não indicou se o juro deve ser comercial ou exato. Presume-
se, em casos como este, que o juro seja comercial.
Pela convenção do prazo comercial, 3 meses e 10 dias nos
dão:
3 meses + 10 dias = (3 x 30) + 10 dias = 90+ 10 dias = 100
dias
Agora, calculamos a taxa equivalente para os 100 dias (regra
de três)
Dias Taxa
30
1
12
X
Assim:
30 12
12 2
0 4
30 5
x
x , %
Então:
0 4i , %a.d.
Finalmente, determinamos o juro pedido:
2 300 00
100
0 4
C . ,
t dias
i , %a.d.
J ?
2 300 0 004 100 920 00J C i t J . , ,
Portanto, o juro é de R$ 920,00.
5. Determinar quantos dias, exatamente, durou uma
aplicação que teve início em 18 de maio de certo ano e
término em 10 de setembro do mesmo ano.
Solução:
Quando esta situação ocorre no meio de um problema em
provas de concursos, quase sempre somos obrigados a
resolvê-la sem o auxílio da chamada "tabela para contagem
de dias entre datas". Entretanto, é possível resolvê-la com o
seguinte procedimento:
1° passo: Multiplicar por 30 a diferença entre o mês de
término e o mês de início. (obs.: devemos subtrair 2 dias do
resultado se passarmos de fevereiro para março).
De maio até setembro, são 4 meses: 4 x 30 = 120 dias
2° passo: Acrescentar mais 1 dia para cada dia 31
compreendido entre as datas de início e término.
3° passo: Adicionar o dia do término e subtrair o dia do início,
obtendo o número exato de dias.
término: dia 10 ......... + 10 dias
início: dia 18 ............. - 18 dias
Portanto, transcorreram exatamente:
120 + 3 + 10 – 18 = 115 dias.
6. Um capital de R$ 5.300,00 foi aplicado no dia 25 de março
de certo ano, à taxa anual de 10%. Considerando o critério de
juros simples exatos, qual o valor do montante desta
aplicação em 6 de junho do mesmo ano?
Solução:
Devemos, inicialmente, determinar a duração exata da
aplicação, em dias.
1º - de março a junho, são 3 meses
3 x 30 = 90 dias
2º - 31/março e 31/maio, são mais 2 dias
3º - +6 (término) - 25 (início)
+ 6 - 25 = -19 dias
Duração da aplicação = 73 dias
Ajustando a taxa a duração da aplicação:
Dias Taxa
365
73
10
X
Assim:
365 730
730
2
365
x
x %
Finalmente, determinamos o juro pedido:
5 300 00
2
C . ,
p% t i %
J ?
5 300 0 02 106 00J C i t J . , ,
Portanto, o montante procurado é igual a R$ 5.406,00, pois:
5 300 00 106 00 5 406 00M C J . , , . ,

Exercícios
602) (Metrô-Técnico em Contabilidade-IDR/94) Qual o juro
obtido na aplicação, durante 3 meses, de um capital de R$
10.000,00, à taxa de juros simples de 10% ao mês?
603) (TCDF-Analista de Finanças e Controle Externo-
Superior-IDR/94) Qual o juro obtido na aplicação, durante 2
meses, de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de juros
simples de 60% a.m.?
604) (Metrô-Assistente Administrativo-IDR/94) Um capital de
R$ 100.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 40%
a.m. Após um semestre, qual o valor do montante obtido?
605) (CEB-Contador-Superior-IDR/94) O capital de R$
9.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 36%a.a.
Após quatro meses, qual é o valor do montante?
606) (IDR/TCDF/AGENTE ADMINISTRATIVO) De quanto
será o juro produzido por um capital de R$ 39.600,00,
aplicado durante 300 dias, à taxa de 15% ao ano?
607) (IDR/TCDF/AGENTE ADMINISTRATIVO) Qual o valor
do capital que se deve aplicar, à taxa de 8% ao ano, durante
7 meses, para obter juro de R$ 8.568,00?
608) (TTN/89) A que taxa anual o capital de $ 288,00, em 2
meses e 15 dias, renderia $ 6,60 de juros simples?
609) (TTN/89) Uma certa importância foi aplicada a juros
simples de 48% a.a., durante 60 dias. Findo o prazo, o
montante apurado foi reaplicado por mais 120 dias, a uma
taxa de 60% a.a., mantendo-se o mesmo regime de
capitalização. Admitindo-se que o último montante foi de R$
207,36, qual foi o capital inicial da primeira operação?
610) Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de R$
4.000,00, durante 3 anos, sabendo-se que se um capital de
R$ 10.000,00 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros
simples de 5% a.a., renderia mais R$ 600,00 que o primeiro.
611) Obtive uma renda (juros) total de R$ 1.290,00
proveniente das aplicações de dois capitais a juros de 6%
a.a., durante 4 meses. Se eu aplicasse a diferença entre os
dois capitais a 12% a.a., durante o mesmo período, obteria
um rendimento de R$ 540,00. Quais eram os valores dos
capitais aplicados?
612) Um capital de R$ 94.000,00 foi aplicado sendo uma
parte a 6% a.m., outra a 8% a.m. e o restante a 10% a.m.,
todas durante 10 meses. Determine o valor da terceira parte
sabendo que os juros das três foram iguais.
613) (Atendente Judiciário-TRT-ES/90) Dividir o capital de R$
441.000, em duas partes de modo que a primeira, aplicada a
5,5% ao mês e a segunda a 60% ao ano, produzam, no fim
do mesmo tempo de aplicação, juros de mesmo valor.
614) Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para
que, em períodos de tempo iguais, sejam obtidos
rendimentos iguais para os dois capitais, a taxa de aplicação
do menor deles deve superar a do maior em quantos por
cento?
615) (Atendente Judiciário-TRT-ES/90) Uma pessoa emprega
seu capital nas seguintes condições: a terça parte a 15% ao
ano, a quinta parte a 18% ao ano e o restante a 21 % ao ano.
Qual a taxa única, a que a mesma poderia empregar todo o
capital, a fim de obter o mesmo rendimento anual?
616) Certo capital foi dividido em duas partes iguais que,
aplicadas à mesma taxa de juros, produziram montantes de
R$ 1.500,00 e R$ 1.200,00 em 6 meses e 4 meses
respectivamente. Qual o valor do capital?
617) Aplicando-se R$ 100.000 durante 90 dias, obteve-se um
rendimento de R$ 10.800,00. Qual seria o rendimento obtido
em um ano se a taxa mensal de juros fosse 0,1% maior (x% +
0,1%)?
618) Certo capital foi dividido em duas partes iguais que,
aplicadas, produziram montantes de R$ 4.200,00 e R$
3.400,00 em 6 meses e 4 meses respectivamente. Qual era o
valor do capital se a taxa de juros da primeira aplicação
estava para a da segunda assim como 2 está para 1 ?
619) (TTN/85) Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta
mesma quantia de juros em 4 anos, qual é a taxa aplicada?
a) 20% ao ano
b) 125% ao ano
c) 12,5% ao ano
d) 200% ao ano
e) 10% ao ano
620) (TTN/85) Um capital de $ 14.400 aplicado a 22% ao ano
rendeu $ 880 de juros. Durante quanto tempo esteve
empregado?
a) 3 meses e 3 dias
b) 3 meses e 8 dias
c) 2 meses e 23 dias
d) 3 meses e 10 dias
e) 27 dias
621) (TTN/89) Calcular os juros simples que um capital de $
10.000,00 rende em um ano e meio aplicado à taxa de 6%
a.a. Os juros são de:
a) $ 700,00
b) $1.000,00
c) $1.600,00
d) $ 600,00
e) $ 900,00
622) (AFTN/91) Um capital no valor de 50, aplicado a juro
simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um
montante de:
a) 51
b) 51,2
c) 52
d) 53,6
e)68
623) (TTN/94) Qual é o capital que diminuído dos seus juros
simples de 18 meses, à taxa de 6% a.a., reduz-se a R$
8.736,00?
a) R$ 9.800,00
b) R$ 9.760,66
c) R$ 9.600,00
d) R$ 10.308,48
e) R$ 9.522,24
624) (TTN/89) O capital que, investido hoje a juros simples de
12% a.a., se elevará a $ 1.296,00 no fim de 8 meses, é de:
a) $1.100,00
b) $1.000,00

c) $1.392,00
d) $ 1.200,00
e) $1.399,68
625) (TTN/92) Se em 5 meses o capital de $ 250.000,00
rende $ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao mês,
qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se
a taxa fosse de 160% ao ano?
a) 6m
b) 7m
c) 8m
d) 9m
e) 10m
626) (AG.SEG-TRT/ES-90) Obtendo-se, em 10 meses, $
120.000,00 de juros simples pelo empréstimo de um capital
de $ 200.000,00 à taxa de 6% a.m. Determine o tempo
necessário para se ganharem os mesmos juros, caso a taxa
seja de 60% a.a.
a) 8 meses
b) 1 ano e 3 meses
c) 1 ano
d) 10 meses
e) 13 meses
627) (AG.SEG.-TRT/ES-90) Em março de 1990, o governo
brasileiro, numa tentativa de acabar com a inflação, reteve o
dinheiro do povo. Uma pessoa verificou que, ao final de 45
dias, à taxa de 4,2% ao mês obteve, de acordo com seu
saldo em cruzados novos, juros de $ 630,00. Qual foi a
quantia retida?
a) $ 18.000,00
b) $ 20.000,00
c) $ 36.000,00
d) $ 5.000,00
e) $ 10.000,00
628) (AG.SEG.-TRT/ES-90) Emprestei 1/4 do meu capital, a
8% ao ano, 2/3 a 9% ao ano, e o restante a 6% ao ano. No
fim de um ano recebi $ 102,00 de juros. Determine o capital.
a) $ 680,00
b) $ 840,00
c) $ 1.200,00
d) $ 2.530,00
e) $ 12.600,00
629) (AG.SEG.-TRT/ES-90) A que taxa mensal deverá a
firma "O Dura" aplicar seu capital de $ 300.000,00, para que,
em 2 anos e 4 meses, renda juros equivalentes a 98% de si
mesmo?
a) 42% a.m.
b) 3,5% a.m.
c) 35% a.m.
d) 4,2% a.m.
e) 18% a.m.
630) (AT.JUD.-TRT/GO-90) Calcule o capital que se deve
empregar à taxa de 6% a.m., a juros simples, para se obter $
6.000,00 de juros em 4 meses.
a) $ 10.000,00
b) $ 25.000,00
c) $ 100.000,00
d) $ 180.000,00
e) $ 250.000,00
631) (AT.JUD.-TRT/GO-90) Se uma pessoa deseja obter um
rendimento de $ 27.000,00, dispondo de $ 90.000,00 de
capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro
deverá ser aplicado no prazo de 5 meses?
a) 10%
b) 5%
c) 3%
d) 8%
e) 5,5%
632) (AT.JUD.-TST/ES-90) Qual a taxa necessária para que
um capital, colocado a juros simples, decuplique de valor em
7 anos?
a) 50% a.a.
b) 128 4/7% a.a.
c) 142 6/7% a.a.
d) 12/7% a.m.
e) 12% a.m.
633) (AT.JUD.-TST/ES-90) Depositei certa importância em
um Banco e, depois de algum tempo, retirei os juros de $
1.600.000,00, que representavam 80% do capital. Calcular o
tempo em que o capital esteve empregado, se a taxa
contratada foi de 16% a.m.
a) 5 meses e 20 dias
b) 5 meses
c) 4 meses e 10 dias
d) 4 meses
e) 6 meses e 5 dias
634) (AT.JUD.-TST/ES-90) O capital de $ 1.200.000,00 está
para seus juros assim como 4 está para 3. Determinar a taxa
de juros, considerando que o capital esteve empregado 1 ano
e 3 meses.
a) 6% a.m.
b) 60% a.a.
c) 5% a.a.
d) 66% a.a.
e) 50% a.a.
635) (AFC-TCU/92) Um investidor aplicou $ 2.000.000,00, no
dia 6/1/86, a uma taxa de 22,5% ao mês. Esse capital terá
um montante de $ 2.195.000,00.
a) 5 dias após sua aplicação
b) após 130 dias de aplicação
c) aos 15/5/86
d) aos 19/1/86
e) após 52 dias de sua aplicação
636) (AUX.PROC.-PG/RJ-90) Certo investidor aplicou $
870,00 à taxa de 12% ao mês. Qual o montante, no final de 3
anos?
a) $ 4.628,40
b) $ 35.078,40
c) $ 4.800,40
d) $ 35.780,40
e) $ 4.860,40
637) (AUX.PROC.-PG/RJ-90) Um imposto no valor de $
488,00 esta sendo pago com atraso de 3 meses. Se a
Prefeitura cobrar juros de 25% ao ano, o contribuinte terá de
pagar um acréscimo de:
a) $ 30,20

b) $ 30,30
c) $ 30,40
d) $ 30,50
e) $ 30,60
638) (AUX.PROC.-PG/RJ-90) Certo capital, aplicado durante
9 meses à taxa de 35% ao ano, rendeu $ 191,63 de juros. O
valor desse capital era de:
a) $ 690,00
b) $ 700,00
c) $ 710,00
d) $ 720,00
e) $ 730,00
639) (TTN-RJ/92) Um fogão é vendido por $ 600,00 à vista ou
com uma entrada de 22% e mais um pagamento de $ 542,88,
após 32 dias. Qual a taxa de juros mensal envolvida na
operação?
a) 5%
b) 12%
c) 15%
d) 16%
e) 20%
640) (TTN/92) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para
que se obtenha os mesmos juros simples que os produzidos
por $ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o
mesmo período?
a) $ 420.000,00
b) $ 450.000,00
c) $ 480.000,00
d) $ 520.000,00
e) $ 500.000,00
641) (TTN/92) Se em 5 meses o capital de $ 250.000,00
rende $ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao mês,
qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se
a taxa fosse de 160% ao ano?
a) 6m
b) 7m
c) 8m
d) 9m
e) 10m
642) (TTN/92) Três capitais são colocados a juros simples: o
primeiro a 25% a.a., durante 4 anos; o segundo a 24% a.a.,
durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20% a.a., durante 2
anos e 4 meses. Juntos renderam um juro de $ 27.591,80.
Sabendo que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o
terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital é de:
a) $ 30.2 10,00
b) $ 10.070,00
c) $ 15.105,00
d) $ 20.140,00
e) $ 5.035,00
643) (TTN/94) Mário aplicou suas economias, a juros simples
comerciais, em um banco, a juros de 15% a.a., durante 2
anos. Findo o prazo reaplicou o montante e mais R$ 2.000,00
de suas novas economias, por mais 4 anos, à taxa de 20%
a.a., sob mesmo regime de capitalização. Admitindo-se que
os juros das 3 aplicações somaram R$ 18.216,00, o capital
inicial da primeira aplicação era de R$:
a) 11.200,00
b) 13.200,00
c) 13.500,00
d) 12.700,00
e) 12.400,00
644) (TTN/94) Carlos aplicou 1/4 de seu capital a juros
simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o
restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo
prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das
aplicações rendeu R$ 594,00 de juros a mais do que a outra,
o capital inicial era de R$:
a) 4.600,00
b) 4.400,00
c) 4.200,00
d) 4.800,00
e) 4.900,00
645) (AFTN/85) O preço à vista de uma mercadoria é de $
100.000. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de
entrada no ato e o restante em uma única parcela de $
100.160, vencível em 90 dias. Admitindo-se o regime de juros
simples comerciais, a taxa de juros anuais cobrada na venda
a prazo é de:
a) 98,4%
b) 99,6%
c) 100,8%
d) 102,0%
e) 103,2%
646) (AFTN/85) João colocou metade de seu capital a juros
simples pelo prazo de 6 meses e o restante, nas mesmas
condições, pelo período de 4 meses. Sabendo-se que, ao
final das aplicações, os montantes eram de $ 117.000 e $
108.000, respectivamente, o capital inicial do capitalista era
de:
a) $ 150.000
b) $ 160.000
c) $ 170.000
d) $ 180.000
e) $ 200.000
647) (AFTN/85) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de
72% a.a., sob regime de juros simples. O primeiro pelo prazo
de 4 meses e o segundo por 5 meses. Sabendo-se que a
soma dos juros totalizaram $ 39.540 e que os juros do
segundo capital excederam os juros do primeiro em $ 12.660,
a soma dos dois capitais iniciais era de:
a) $ 140.000
b) $ 143.000
c) $ 145.000
d) $ 147.000
e) $ 115.000
DESCONTOS SIMPLES
Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida
quando ela é negociada antes da data do seu vencimento.
O documento que atesta a dívida é denominado
genericamente por título de crédito.
São exemplos de títulos de crédito as notas promissórias,
as duplicatas e as letras de câmbio.
Valor Nominal, ou valor de face é o valor do título de crédito,
ou seja, aquele que está escrito no título e que seria pago na
data de vencimento do título.

Valor Líquido é o valor pelo qual o título acabou sendo
negociado antes da data de vencimento do mesmo. É
sempre menor que o valor nominal pois o título sofreu um
desconto.
O valor líquido também é chamado de valor atual, valor
descontado (que sofreu desconto - não confundir com "valor
do desconto"), valor pago.
Prazo de Antecipação é o intervalo de tempo entre a data
em que o título é negociado e a data de vencimento do
mesmo.
Estudaremos dois tipos de desconto:
1º) Desconto "por fora", ou desconto comercial é aquele onde
a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor
nominal.
No desconto comercial o valor nominal é equivalente a 100%,
ou seja, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do
título.
Valor
Líquido
Valor
Nominal
100%(100-d)%
+ %
Desconto
d
DESCONTO COMERCIAL
Considerando:
N – Valor Nominal
A – Valor Atual
i – Taxa de desconto
t – Período de antecipação
D – Valor do desconto Comercial
Temos:
D N i t
Assim, o valor atual após o desconto é dado por:
A N D
2°) Desconto "por dentro", ou desconto racional é aquele
onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o
valor líquido.
No desconto racional o valor líquido é equivalente a 100%,
isto é, devemos aplicar uma taxa sobre o valor líquido para
que obtenhamos o valor nominal.
Valor
Líquido
Valor
Nominal
100% (100+d)%
+ %
Desconto
d
DESCONTO RACIONAL
Vamos usar a notação “d” para o desconto racional. Assim:
1N A i t e d N A .
Exemplos:
01. Determinar o desconto por dentro sofrido por um título de
R$ 650,00, descontado 2 meses antes do vencimento à taxa
de 15% a. m.
Solução:
Temos:
650 00
15
2
N ,
i %a.m.
t meses
d ?
Assim:
650 650
500
1 1 0 15 2 1 3
N
A
i t , ,
Logo:
650 500 150 00d N A d ,
O desconto sofrido pelo título foi de R$ 150,00.
02. Determinar o valor nominal de um título que, descontado
comercialmente, 60 dias antes do vencimento e à taxa de
12% ao mês, resultou um valor descontado de R$ 608,00.
Solução:
Temos:
608 00
12
60 2
A ,
i %a.m.
t dias meses
N ?
Assim, como A N D temos que D N A .
Logo:
608 608
800
1 1 0 12 2 0 76
A
N A N i t N
i t , ,
Como o valor nominal é de R$ 800,00 e o valor atual é de R$
608,00 o desconto comercial foi de R$ 192,00.
OBS: É importante lembrar que aplicados às mesmas
condições, o valor do desconto comercial é sempre maior que
o desconto racional.
TAXA DE JUROS SIMPLES EM UMA OPERAÇÃO DE
DESCONTO COMERCIAL
Uma duplicata de valor igual a R$ 1000,00 é descontada
comercialmente 1 mês antes de seu vencimento a uma taxa
de juros simples de 20% a.m.. Assim o valor líquido
descontado será de R$ 800,00. Observe que se aplicarmos
novamente a taxa de 20% obteremos R$ 960,00 que não é o
valor nominal da duplicata.
Assim, chamamos de taxa efetiva de juros da operação
ef
i , a taxa que aplicada ao valor atual nos fornece o valor
nominal do título.
A taxa efetiva também pode ser chamada de taxa implícita
da operação ou taxa de rentabilidade para o banco. A taxa
efetiva é sempre maior que a taxa de desconto.
Exercícios
648) (TCDF/94) Um título com valor nominal de $ 110.000,00
foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, sendo-lhe
por isso concedido um desconto racional simples à taxa de
60% a.m. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título?
649) (CEB/94) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi
resgatado quatro meses antes do seu vencimento, tendo sido
concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m.
De quanto foi o valor pago pelo título?

650) (METRÔ/94) Um título com valor nominal de R$
7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento,
sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à
taxa de 20% a.m. Nesse caso, de quanto foi o valor pago
pelo título?
651) (METRÔ/94) Uma pessoa pretende saldar uma dívida
cujo valor nominal é de $ 2.040,00, quatro meses antes de
seu vencimento. Qual o valor, em dólar, que deverá pagar
pelo título, se a taxa racional simples usada no mercado é de
5% ao mês?
652) Calcular o desconto por dentro sofrido por uma letra de
R$ 8.320,00, descontada à taxa de 6% a.a., 8 meses antes
do seu vencimento.
653) Qual o prazo de antecipação de um título que
descontado racionalmente, à taxa de juros de 8% a.m.
produziu um desconto equivalente a 1/6 do seu valor
nominal?
654) O valor atual racional de um título é igual a 4/5 de seu
valor nominal. Calcular a taxa anual de desconto, sabendo-se
que o pagamento desse título foi antecipado de 6 meses.
655) Aceitei um título vencível a 1 ano, 1 mês e 10 dias.
Tendo sido descontado por dentro a 9% a.a., deu R$
1.000,00 de desconto. Qual era o valor nominal do título?
656) Qual é o valor do desconto bancário sofrido por uma
promissória de R$ 1.000,00, à taxa de 8% a.m., 3 meses
antes do seu vencimento?
657) A que taxa anual, um título de R$ 2.000,00, em 6
meses, dá R$ 400,00 de desconto por fora?
658) Descontado por fora, à taxa de 4% a.m., três meses
antes do vencimento, um título sofreu um desconto de R$
24.000,00. Qual era o valor nominal desse título?
659) Uma nota promissória de R$ 1.800,00, tem valor líquido
de R$ 1.200,00 quando descontada por fora três meses antes
do seu vencimento. Qual é a taxa mensal do desconto?
660) Um título de R$ 8.400,00 produziu um desconto por fora
de R$ 105,00, quando descontado um mês e meio antes do
seu vencimento. Qual é a taxa anual desse desconto?
661) Um título com valor nominal de R$ 2.400,00 é
descontado por fora a uma taxa de 4,5% ao mês, com
antecedência de 6 meses. Qual é o valor do desconto?
662) Uma nota promissória foi descontada por fora, três
meses e dez dias antes do seu vencimento, à taxa de 10%
a.m., produzindo um desconto de R$ 400,00. Qual era o valor
de face da promissória?
JUROS COMPOSTOS
Chamamos de regime de juros compostos aquele onde os
juros de cada período são calculados sobre o montante do
período anterior.
Ou seja, os juros produzidos ao fim de cada período passam
a integrar o valor do capital ou montante que serviu de base
para o seu cálculo de modo que o total assim conseguido
será a base do cálculo dos juros do próximo período.
Assim, o montante M de um capital C à uma taxa unitária i de
juros compostos, a cada período de tempo, por n períodos é
dado por:
1
n
M C i
O fator 1
n
i é chamado de fator de capitalização.
Dá-se o nome de capitalização ao processo de incorporação
dos juros ao capital ou montante de uma operação financeira.
Contudo, é comum encontrarmos as expressões regime de
capitalização simples e regime de capitalização composta no
lugar de regime de juros simples e regime de juros
compostos, respectivamente.
Exemplos:
01. Um capital de R$ 200,00 foi aplicado em regime de juros
compostos a uma taxa de 20% ao mês. Calcular o montante
desta aplicação após três meses.
Solução:
Resumindo os dados do problema, temos:
200 00
20
3
C ,
i %a.m.
t meses
Devemos calcular o montante:
1
n
M C i
Substituindo os elementos dados na fórmula do montante,
obteremos:
3
3
1
200 1 0 2
200 1 2
200 1 728
345 60
n
M C i
M ,
M ,
M ,
M ,
Ou seja, o montante da aplicação, após os três meses será
de R$ 345,60.
02. Calcular o montante da aplicação de R$ 10.000,00 à taxa
composta de 8% a.t. durante um ano.
Solução:
Temos:
10 000 00
8
1 4
C . ,
i %a.t.
n ano trimestres
Substituindo os elementos na formula geral do montante
temos:
4
4
1
10000 1 0 08
10000 1 08
10000 1 360488
13 604 88
n
M C i
M ,
M ,
M ,
M . ,
04. Determinar o tempo necessário para o capital de R$
20.000,00 gerar um montante de R$ 28.142,00 quando
aplicado à taxa composta de 5% ao mês.
Solução:
Temos:
20 000 00
28 142 00
5
C . ,
M . ,
i %a.m.
n ?
Aplicando os valores na fórmula do montante:

1
28142 20000 1 0 05
28142
1 05
20000
1 05 1 4071
n
n
n
n
M C i
,
,
, ,
Aqui a resposta poderá ser encontrada de duas maneiras:
1ª) Procurar em uma tabela financeira o valor de 1,4071 na
coluna referente a i = 5% o valor referente a n. Neste caso n
= 7.
2ª) Aplicar o logaritmo em ambos os membros da igualdade.
(em algumas provas o valor do logaritmo é fornecido)
1 05 1 05
1 05
1 05 1 4071
1 4071
7
n
, ,
,
log , log ,
n log ,
n
05. Certo capital, ao final de quatro meses, rendeu 46,41% de
juros no regime de juros compostos. Se esse mesmo capital
ficasse aplicado durante dez meses, à mesma taxa a no
mesmo regime, quanto renderia?
Solução:
Temos que:
46 41 0 4641
0 4641 1 4641
J , %C , C
M C J M C , C , C
Aplicando na fórmula do montante:
4
4
1
1 4641 1
1 4641 1
n
M C i
, C C i
, i
Aqui, ou procuramos na linha de n = 4 o valor de i
correspondente a 1,4641 ou aplicamos a raiz quarta em
ambos os lados da igualdade. Neste caso i = 10% a.m.
Então, quando n = 10 temos:
10
10
1
1 0 1
110
2 593732
n
M C i
M C ,
M C ,
M , C
E os juros serão:
2 593732 1 593732 159 37
J M C
J , C C , C , %
ESTUDO DAS TAXAS
Neste tópico vamos fazer a diferenciação entre os tipos de
taxas.
TAXA NOMINAL – É aquela que está definida em período de
tempo diferente do período de capitalização.
TAXA EFETIVA – É aquela em que a unidade de tempo da
taxa coincide com o período de capitalização.
TAXAS EQUIVALENTES – São aquelas referidas a períodos
diferentes, mas que quando aplicadas a um mesmo capital,
pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante.
Se I e i são taxas equivalentes: 1 1
n
I i , onde n é o
número de períodos que i será capitalizada em I .
OBS: Nos enunciados de problemas de juros compostos
onde se dá a taxa efetiva, freqüentemente se omite o período
de capitalização, ficando subentendido que este é o mesmo
indicado pela taxa.
Exemplos:
01. Calcular a taxa trimestral equivalente à taxa mensal
composta de 7%.
Solução:
7
3
i %a.m.
I ?%a.t.
n
Assim:
3
3
1 1
1 1 0 07
1 1 07
1 225043 1
0 225043 22 50
n
I i
I ,
I ,
I ,
I , , %a.t.
02. Calcular a taxa ao quadrimestre equivalente à taxa de
60% ao ano com capitalização mensal.
Solução:
Taxa nominal - 60i %a.a com capitalização mensal
Taxa efetiva -
60
5
12
i %a.m. %a.m.
Taxa equivalente - I ?%a.q.
4n
4
4
1 1
1 0 05 1
1 05 1
1 215506 1
0 215506 21 60
n
I i
I ,
I ,
I ,
I , , %a.q.
03. Um capital foi aplicado durante quatro anos à taxa de 8%
a.a. no regime de juros simples. Caso houvesse sido aplicado
a juros compostos pelo mesmo prazo, à mesma taxa, com
capitalização semestral, teria recebido R$ 4.856,90 a mais.
Qual o capital aplicado?
Solução:
Juros simples:
0 08 4 0 32
0 32 1 32
S
S
J C i t C , , C
M C J C , C , C

Juros Compostos:
8
8
1
1 0 08
1 08
1 368569
n
C
C
C
C
M C i
M C ,
M C ,
M , C
Assim:
4856 90
1 368569 1 32 4856 90
0 048569 4856 90
4856 90
100 000 00
0 048569
C S
M M ,
, C , C ,
, C ,
,
C . ,
,
O capital aplicado foi de R$ 100.000,00
CONVENÇÕES LINEAR E EXPONENCIAL
Quando desejamos atualizar um capital no regime de juros
compostos por um número de períodos não inteiros,
podemos fazê-lo de duas maneiras:
1ª) Convenção linear – O capital é atualizado no número
inteiro de períodos no regime de juros compostos e corrigido
a juros simples no período fracionário.
2ª) Convenção exponencial – O montante é calculado a
juros compostos sobre o período total da aplicação.
Exemplo:
01. Um capital de R$ 10.000,00 aplicado à taxa composta de
12% a.m., durante três meses e vinte dias produz um
montante igual a:
Calculando pela convenção exponencial:
12
3 20
10 000
i %a.m.
n meses dias
C .
M ?
Aplicação a juros compostos no número inteiro de períodos
1
3
1
3
1
1
1
1
10000 1 0 12
10000 112
10000 1 404928
14049 28
n
M C i
M ,
M ,
M ,
M ,
Correção a juros simples no período fracionário
2
20
3
n dias mês
1
C M
2
2
2
2
1
2
14049 28 1 0 12
3
14049 28 1 08
15173 22
M C i t
M , ,
M , ,
M ,
Calculando pela convenção exponencial
12
2 11
3 20 3
3 3
10 000
i %a.m.
n meses dias mês mês
C .
M ?
Assim:
11
3
11
3
1
10000 1 0 12
10000 112
10000 1 515186
15151 86
n
M C i
M ,
M ,
M ,
M ,
Podemos verificar que o montante calculado nas duas
situações é diferente. E sempre que calcularmos o montante
em um período fracionário, o calculado pela convenção linear
será sempre maior.
DESCONTOS COMPOSTOS
Assim como quando estudamos os descontos simples, nos
descontos compostos também temos dois tipos de
descontos, o comercial e o racional, e suas definições são
análogas as anteriores.
Desconto Comercial Composto – é o desconto que incide
diretamente sobre o valor nominal período a período.
Assim:
1
n
A N i
Onde: A – valor atual
N – valor nominal
I – taxa do desconto
N – número de períodos da antecipação
Desconto Racional Composto – descontar um título
racionalmente no regime de juros compostos é encontrar um
valor atual (A) que capitalizado a taxa i se obtenha o valor
nominal (N), ou seja, (N) é um montante de (A).
Assim:
1
n
N
A
i
Onde: A – valor atual
N – valor nominal
I – taxa do desconto
N – número de períodos da antecipação
Exemplos:
01.Um título no valor de R$ 40.000,00 foi saldado três meses
antes do seu vencimento. A taxa de desconto comercial
composto aplicada foi de 10% a.m.. Qual o valor recebido?
Solução:

10
3
40 000
i %a.m.
n meses
N .
A ?
3
3
1
40000 1 0 10
40000 0 9
40000 0 729
29160 00
n
A N i
A ,
A ,
A ,
A ,
02. Qual o valor atual de um título de valor nominal R$
11.248,64 descontado racionalmente à taxa composta de 4%
a.a., três anos antes de seu vencimento?
Solução:
4
3
11 248 64
i %a.a.
n anos
N . ,
A ?
Neste problema devemos descapitalizar N por três períodos.
Então:
3
3
1
11248 64
1 0 04
11248 64
1 04
11248 64
1124864
10000
n
N
A
i
,
A
,
,
A
,
,
A
,
A
03. Um título no valor de R$ 100.000,00 vencível em 6 meses
deve ser substituído por dois títulos de mesmo valor,
vencíveis em 3 e 10 meses, respectivamente. Se a taxa de
juros compostos é de 5% a.m., qual o valor de cada título?
Solução:
Observe o esquema abaixo:
1 654320 10987
Vencimento
do título
Nova Parcela
(P)
Nova parcela
(P)
Vamos levar todas as parcelas para a data focal (mês 10).
Assim a soma da parcela com vencimento no mês 10 com a
parcela de vencimento no mês 3 capitalizada por sete
períodos no regime de juros simples deve ser igual ao valor
do título capitalizado por quatro períodos.
Logo,
7 4
4
7
1 1
1 0 05 100000 1 0 05
100000 1 05 100000 1 215506
1 1 40711 1 05
121550 60
50496 70
2 4071
n n
P i P N i
P , P ,
, ,
P
,,
,
P ,
,
Exercícos
663) (ESAF) Se para um mesmo capital, aplicado durante
qualquer período de tempo maior do que zero e a certa taxa,
chamarmos:
M1- Montante calculado no regime de juros simples;
M2- Montante calculado no regime de juros compostos pela
convenção exponencial;
M3 - Montante calculado no regime de juros compostos pela
convenção linear.
Teremos:
a) M3 > M 1 para qualquer t > 0 ;
b) M3 = M 1 para qualquer 0 < t < 1;
c) M3 < M2 para qualquer t > 0, desde que não seja inteiro;
d) M3 < M2 quando t é inteiro;
e) M2 > M1 para qualquer t > 0.
664) (CEB – Contador - IDR-94) A aplicação de R$ 5.000,00
à taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4
meses, o montante de:
a) R$10.358,00
b) R$10.368,00
c) R$10.378,00
d) R$ 10.388,00
665) (Metrô-Técnico em Contabilidade) Um investidor aplicou
a quantia de R$ 20.000,00 à taxa de juros compostos de 10%
a.m. Que montante este capital irá gerar após 3 meses?
a) R$ 26.420,00
b) R$ 26.520,00
c) R$ 26.620,00
d) R$ 26.720,00
666) (Metrô-Assistente Administrativo) Um capital de US$
2.000,00, aplicado à taxa racional composta de 5% a.m., em
1 ano produz um montante de quantos dólares? Dado:
(1,05)
12
= 1,79586.
a) US$ 3.291,72
b) US$ 3.391,72
c) US$ 3.491,72
d) US$ 3.591,72
667) (ESAF) A aplicação de um capital de $ 10.000,00, no
regime de juros compostos, pelo período de três meses, a
uma taxa de 10% ao mês, resulta, no final do terceiro mês,
num montante acumulado:
a) de $ 3.000,00;
b) de $13.000,00;
c) inferior a $ 13.000,00;
d) superior a $ 13.000,00;
e) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros
simples.

668) (ESAF) Se um capital cresce sucessiva e
cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% ao ano,
seu montante final é:
a) 30% superior ao capital inicial;
b) 130% do valor do capital inicial;
c) aproximadamente 150% do capital inicial;
d) aproximadamente 133% do capital inicial.
669) (TCDF) Um investidor aplicou a quantia de $ 100.000,00
à taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este
capital irá gerar após 4 meses?
a) $ 140.410,00
b) $ 142.410,00
c) $144.410,00
d) $ 146.410,00
670) (CEB - Contador) A caderneta de poupança remunera
seus aplicadores à taxa nominal de 6% a.a., capitalizada
mensalmente no regime de juros compostos. Qual é o valor
do juro obtido pelo capital de R$ 80.000,00 durante 2 meses?
a) R$ 801,00
b) R$ 802,00
c) R$ 803,00
d) R$ 804,00
671) (TCDF) No Brasil as cadernetas de poupança pagam,
além da correção monetária, juros compostos à taxa nominal
de 6% a.a., com capitalização mensal.
A taxa efetiva bimestral é então de:
a) 1,00025% a.b.
b) 1,0025% a.b.
c) 1,025% a.b.
d) 1,25% a.b.
672) (Banco Central) A taxa de 30% ao trimestre, com
capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva
bimestral de:
a) 20%
b) 21 %
c) 22%
d) 23%
e) 24%
673) (TCU) O preço de uma mercadoria é $ 2.400,00 e o
comprador tem um mês para efetuar o pagamento. Caso
queira pagar à vista, a loja dá um desconto de 20%.
O mercado financeiro oferece rendimento de 35% ao mês.
Assinale a opção correta.
a) A melhor opção é o pagamento à vista,
b) Não há diferença entre as duas modalidades de
pagamento.
c) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês,
$ 192,00.
d) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês,
$ 210,00.
e) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês,
$ 252,00.
674) (AFTN/85) Uma pessoa aplicou $ 10.000 a juros
compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3 anos e 8 meses.
Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao
final do prazo era de:
a) $ 16.590
b) $ 16.602
c) $ 16.698
d) $ 16.705
e) $ 16.730
Obs.: (1,15)
3
= 1,5209
675) (AFTN/91) Uma aplicação é realizada no dia primeiro de
um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia útil, com
capitalização diária. Considerando que o referido mês possui
18 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial
aplicado mais:
a) 20,324%
b) 19,6147%
c) 19,196%
d) 18,174%
e) 18%
676) (AFC-ESAF/93) Um título de valor inicial $ 1.000,00,
vencível em um ano com capitalização mensal a uma taxa de
juros de 10% ao mês, deverá ser resgatado um mês antes do
seu vencimento. Qual o desconto comercial simples à mesma
taxa de 10% ao mês?
a) $ 313,84
b) $ 285,31
c) $ 281,26
d) $ 259,37
e) $ 251,81
677) (AFTN/85) Um capital de $ 100.000 foi depositado por
um prazo de 4 trimestres à taxa de juros de 10% ao trimestre,
com correção monetária trimestral igual à inflação.
Admitamos que as taxas de inflação trimestrais observadas
foram de 10%, 15%, 20% e 25% respectivamente. A
disponibilidade do depositante ao final
do terceiro trimestre é de, aproximadamente:
a) $ 123.065
b) $ 153.065
c) $ 202.045
d) $ 212.045
e) $ 222.045
678) (AFC-TCU/92) Um certo tipo de aplicação duplica o
valor da aplicação a cada dois meses. Essa aplicação
renderá 700% de juros em:
a) 5 meses e meio;
b) 6 meses;
c) 3 meses e meio;
d) 5 meses;
e) 3 meses.
679) (AFTN/96) A taxa de 40% ao bimestre, com
capitalização mensal, é equivalente a uma taxa trimestral de:
a) 60,0%
b) 66,6%
c) 68,9%
d) 72,8%
e) 84,4%
680) (AFTN/96) Uma empresa aplica $ 300 à taxa de juros
compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa que mais se
aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é:
a) 4,60%
b) 4,40%
c) 5,00%

d) 5,20%
e) 4,80%
681) (CESPE/UnB) Para que se obtenha R$ 242,00, ao final
de seis meses, a uma taxa de juros de 40% a.a.,
capitalizados trimestralmente, deve-se investir, hoje, a
quantia de:
a) R$ 171,43
b) R$ 172,86
c) R$ 190,00
d) R$ 200,00
e) R$ 220,00
682) (CESPE/UnB) Determinada quantia é investida à taxa
de juros compostos de 20% a.a., capitalizados
trimestralmente. Para que tal quantia seja duplicada, deve-se
esperar:
a)
5
1 05
log
log ,
trimestres
b)
2
1 05
log
log ,
trimestres
c)
5
1 2
log
log ,
trimestres
d)
2
1 2
log
log ,
trimestres
e)
20
1 2
log
log ,
trimestres
683) (CESPE/UnB) A renda nacional de um país cresceu
110% em um ano, em termos nominais. Nesse mesmo
período, a taxa de inflação foi de 100%. O crescimento da
renda real foi então de:
a) 5%
b) 10%
c) 15%
d) 105%
e) 110%
684) (CESPE/UnB) Acerca das taxas utilizadas em juros
compostos, julgue os itens a seguir.
a) Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros
incide sempre sobre o valor obtido pela soma do capital inicial
e dos juros acumulados até o período anterior.
b) Duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização
são equivalentes, quando produzem o mesmo montante no
final de determinado período de tempo, pela aplicação de um
mesmo capital inicial.
c) Quanto maior o número de capitalizações, maior é a taxa
efetiva.
d) Para uma mesma taxa nominal, pagamentos de menor
periodicidade implicam uma taxa efetiva mais elevada.
e) A taxa efetiva de 21% ao ano corresponde à taxa nominal
anual de 20%, capitalizadas semestralmente.
685) (TCU) Deseja-se comprar um bem que custa X reais,
mas dispõe-se apenas de 1/3 desse valor. A quantia
disponível é, então, aplicada em um Fundo de Aplicações
Financeiras, à taxa mensal de 26%, enquanto que o bem
sofre mensalmente um reajuste de 20%. Considere as
aproximações: log 3 = 0,48; log 105 = 2,021; log 0,54 = -0,27.
Assinale a opção correta.
a) Ao final do primeiro ano de aplicação, o bem poderá ser
adquirido com o montante obtido.
b) O número n de meses necessários para o investimento
alcançar o valor do bem é dado pela fórmula: X/3 + n
0,26 X/3 = X + n 0,2X
c) O número mínimo de meses de aplicação necessários a
aquisição do bem será 23.
d) Decorridos 10 meses, o montante da aplicação será 40%
do valor do bem naquele momento.
e) O bem jamais poderá ser adquirido com o montante obtido.
686) (CESPE/UnB) Acerca de uma aplicação realizada na
mesma data e referente a dois capitais (C1 e C2) de valores
iguais, pelo prazo de um ano, capitalizados semestralmente,
à taxa nominal de 42% ao ano, para o capital C1, e à taxa
efetiva de 21 % ao ano, para o capital C2, julgue os itens
abaixo.
a) A taxa nominal, para a aplicação do capital C2 , é igual a
20% ao ano.
b) A taxa de capitalização semestral do capital C1, é igual a
20%.
c) A taxa de capitalização semestral do capital C1, é
exatamente o dobro da taxa de capitalização semestral do
capital C2.
d) O montante do capital C 1 é 21% maior que o montante do
capital C2, no prazo estabelecido para a aplicação.
e) Se apenas o capital C2 for reaplicado por mais um ano, à
mesma taxa estabelecida, o montante de C 2 (ao final do 2°
ano de aplicação) será igual ao montante de C1, (ao final do
1° ano de aplicação).
687) (CEB -Contador) Antecipando em dois meses o
pagamento de um título, obtive um desconto racional
composto, que foi calculado com base na taxa de 20% a.m.
Sendo R$ 31.104,00 o valor nominal do título, quanto paguei
por ele?
a) R$ 21.600,00
b) R$ 21.700,00
c) R$ 21.800,00
d) R$ 21.900,00
688) (TCDF) Uma empresa tomou emprestada de um banco,
por 6 meses, a quantia de $ 1.000.000,00 à taxa de juros
compostos de 19,9% a.m. No entanto, 1 mês antes do
vencimento a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor
a ser pago, se o banco opera com uma taxa de desconto
racional composto de 10% a.m.?
Considere 1,1996 = 2,97.
a) $ 2.400.000,00
b) $ 2.500.000,00
c) $ 2.600.000,00
d) $ 2.700.000,00
689) (ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $
500.000,00, 60 (sessenta) dias antes do vencimento, sob o
regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o
banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a.a., o líquido
recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no
resultado final):
a) $ 429.304,00
b) $ 440.740,00
c) $ 446.728,00
d) $ 449.785,00
e) $ 451.682,00
Obs.:

3
4
6
1 84 1 22538514
1 84 11646742
1 84 110697115
, ,
, ,
, ,
690) (ESAF) João tem um compromisso representado por 2
(duas) promissórias: uma de $ 200.000,00 e outra de $
150.000,00, vencíveis em quatro e seis meses,
respectivamente. Prevendo que não disporá desses valores
nas datas estipuladas, solicita ao banco credor a substituição
dos dois títulos por um único a vencer em 10 (dez) meses.
Sabendo-se que o banco adota juros compostos de 5% a.m.,
o valor da nova nota promissória é de (desprezar os centavos
no resultado final):
a) $ 420.829,00
b) $ 430.750,00
c) $ 445.723,00
d) $ 450.345,00
e) $ 456.703,00
691) (AFTN/85) Uma letra de câmbio no valor de $ 800.000,
com vencimento daqui a 3 anos, deve ser substituída por
duas letras de câmbio, de mesmo valor nominal cada, com
vencimentos daqui a 2 anos e 5 anos respectivamente.
Calcular o valor nominal das novas letras, sabendo-se que a
taxa de juro composto utilizada é de 8% ao semestre e a taxa
de juro composto do desconto é de 10% ao semestre.
a) $ 511.305
b) $ 311.305
c) $ 433.382
d) $ 411.305
e) $ 382.433
692) (AFTN/91) Um "comercial paper" com valor de face de
US$ 1,000,000.00 e vencimento daqui a três anos deve ser
resgatado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% ao
ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor do
resgate.
a) US$ 751,314.80
b) US$ 750,000.00
c) US$ 748,573.00
d) US$ 729,000.00
e) US$ 700,000.00
693) (TCDF) Uma empresa estabelece uni contrato de
"leasing" para o arrendamento de um equipamento e recebe
como pagamento uma promissória no valor nominal de $
1.166.400,00, descontada dois meses antes de seu
vencimento, à taxa de 8% a.m. Admitindo-se que foi utilizado
o sistema de capitalização composta, o valor do desconto
racional será de:
a) $194.089,00
b) $186.624,00
c) $ 166.400,00
d) $ 116.640,00
RENDAS CERTAS
Denominamos renda à sucessão de valores R1, R2, R3, ...
usados para constituir-se um capital ou para pagamento
parcelado de uma dívida. Cada um dos valores R chama-se
termo ou parcela .
As rendas podem ser classificadas sob diversos aspectos:
1. Quanto ao número de termos:
renda temporária - o número de termos é finito.
renda perpétua - o número de termos é infinito.
2. Quanto ao valor de cada termo:
renda constante - os valores dos termos são todos iguais.
renda variável - os valores dos termos não são todos iguais.
3. Quanto à periodicidade dos seus termos:
renda periódica - quando os pagamentos ocorrem a
intervalos de tempo iguais.
renda não-periódica - quando os pagamentos não ocorrem
a intervalos de tempo iguais.
4. Quanto à data de vencimento do primeiro termo:
Postecipada – quando o primeiro pagamento ocorre um
período após o início do negócio.
Antecipada – quando o primeiro pagamento ocorre
exatamente no dia do início do negócio.
Diferida – quando o primeiro pagamento ocorre (m + 1)
períodos após o início do negócio, ou seja, existem m
períodos sem pagamentos.
Neste tópico trabalharemos com as séries uniformes de
pagamentos (rendas certas ou anuidades)
RENDA POSTECIPADA
Para que possamos encontrar o valor de uma determinada
renda (A) onde o primeiro pagamento é feito após um período
do início do negócio, devemos fazer a soma dos termos (R)
trazendo todos até a data focal zero (data do fechamento do
negócio), descapitalizando cada um dos termos a juros
compostos.
Observe o esquema abaixo:
1 20
(A)
(R) (R) (R) (R)
1n- n
......
Assim:
2 3 1
1 1 1 1 1
n n
R R R R R
A .......
i i i i i
Esta soma corresponde à soma dos termos de uma
progressão geométrica. Então aplicando os valores na devida
fórmula, obtemos:
1 1
n
i
A R
i
O fator
1 1
n
i
i
é chamado de fator de valor atual e é
tabelado sob a notação:
1 1
n
n,i%
i
a
i

Assim:
n,i%
A R a
Exemplo:
01. Um empréstimo foi financiado em cinco prestações
mensais e consecutivas de R$ 1.000,00, sendo a primeira
prestação 30 dias após a liberação do empréstimo. Se a taxa
de juros compostos do mercado é de 8% a.m., qual o valor do
empréstimo?
Solução:
1 000 00
8
5
R . ,
i %a.m.
n
A ?
5
1 1
1 1 0 08
1000
0 08
n
i
A R
i
,
A
,
Para que possamos calcular o valor da renda, devemos
procurar o valor do fator de valor atual em uma tabela, ou no
caso de um concurso público receber este valor, ou parte
dele no enunciado.
Assim, tomando o valor de 5 8, %
a na tabela temos:
1000 3 992710
3 992 71
A ,
A . ,
Logo o valor da renda é R$ 3.992,71.
Vamos imaginar que precisemos calcular o valor total pago
após o último pagamento e chamamos esse montante de
valor futuro (F).
1 20
(A)
(R) (R) (R) (R)
1n- n
......
(F)
(F) corresponde a capitalizar (A) por n períodos, ou seja,
1
n
F A i
1 1
1
1 1
n
n
n
i
F R i
i
i
F R
i
O fator
1 1
n
i
i
chamamos de fator de acumulação de
capital ou fator de valor futuro e é tabelado sob a notação:
1 1
n
n,i%
i
s
i
Assim, n n,i%
F R s
Portanto, no nosso exemplo 01 o valor total pago após a
última prestação será:
5
5
5
5
1 0 08 1
1000
0 08
1000 5 86660
5 866 60
n n,i%
F R s
,
F
,
F ,
F . ,
O mesmo valor futuro pode ser determinado capitalizando-se
o valor atual A por 5 períodos
5
5
5
5
1
3 992 71 1 0 08
3 992 71 1 469382
5 866 60
n
n
F A i
F . , ,
F . , ,
F . ,
02 . Em uma série uniforme, o valor da prestação anual de
um financiamento com taxa efetiva de 8% a.a., no regime de
juros compostos, sabendo-se que o valor principal é R$
10.000,00 é o prazo da operação é de quatro anos, é de?
Solução:
10 000 00
8
4
A . ,
i %a.a.
n
R ?
4
4
1 1
1 1 0 08
10000
0 08
10000
1 1 0 08
0 08
10000
3 312127
3019 21
n
i
A R
i
,
R
,
R
,
,
R
,
R ,
O valor de cada prestação será de R$ 3.019,21
RENDA ANTECIPADA
Conforme visto anteriormente, uma renda antecipada é uma
série de pagamentos onde o primeiro é realizado exatamente
na data do início do negócio.
Assim:
1
1
1n ,i%
n n,i%
A R a
F R s
Onde 1n
F é o valor futuro imediatamente após o último
pagamento.
Exemplo:
01. Um televisor será pago através de uma série de 5
pagamentos mensais iguais no valor de R$ 800,00 cada, à

taxa de 10% a.m. onde o primeiro pagamento será efetuado
no dia da compra. Determine o valor atual do televisor.
Solução:
Renda antecipada
800 00
10
5
R ,
i %a.m.
n
A ?
1
5 110
4 10
1
800 1
800 1
800 3 169865 1
800 4 169865
3335 89
n ,i%
, %
, %
A R a
A a
A a
A ,
A ,
A ,
O valor atual do televisor é R$ 3.335,89
RENDA DIFERIDA (com carência)
Na renda diferida temos a série de pagamentos iniciada após
um período de carência após o fechamento do negócio.
Assim, se tivermos um período m de carência, faremos uso
das seguintes fórmulas:
m n ,i% m,i%
n,i%
A R a a
F R s
Exemplo:
01. Uma pessoa deve receber cinco prestações mensais
iguais a R$ 1.000,00, com a primeira ao final de sete meses.
Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 3% a.m.,
qual o valor atual das prestações?
Solução:
Renda diferida com carência de 6 meses
1 000 00
3
5
6
R . ,
i %a.m.
n
m
A ?
6 5 3 6 3
1000
1000 9 252624 5 417191
1000 3 83543
3835 43
m n,i% m,i%
, % , %
A R a a
A a a
A , ,
A ,
A ,
O valor atual das prestações é de R$ 3.835,43
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Chamamos de sistemas de amortização as diferentes formas
de devolução de um empréstimo. Dentre essas formas
utilizadas na prática, destacamos o Sistema Francês (Tabela
Price), o Sistema das Amortizações Constantes (SAC) e o
Sistema Americano.
Na devolução de um empréstimo, cada prestação paga, é
composta de duas parcelas: uma referente ao pagamento
dos juros e outra referente a cota de amortização.
Veremos a seguir as diferenças entre os sistemas citados
anteriormente.
SISTEMA FRANCÊS (TABELA PRICE)
Esta forma de amortização é representada por uma série de
pagamentos uniformes e periódicos, que pode ser
antecipada, postecipada ou diferida, ou seja, tem todas as
prestações fixas.
Vamos trabalhar inicialmente com o que é de praxe. Com as
anuidades postecipadas e havendo necessidade poderemos
estender todos os conceitos para as séries antecipadas ou
diferidas.
Exemplo:
01. Considere a compra de um veículo no valor de R$
20.000,00 a ser financiado em 20 prestações mensais
postecipadas, pelo Sistema Francês, com juros compostos de
2% ao mês. Construa a planilha de pagamentos.
Solução:
Na planilha de pagamentos devem estar discriminados em
cada instante o valor das prestações, as cotas de
amortização e juros e o saldo devedor.
Então:
20 000 00
2
20
A . ,
i %a.m.
n
R ?
20
1 1
1 1 0 02
20000
0 02
20000 16 351433
20000
16 351433
1223 14
n
i
A R
i
,
R
,
R ,
R
,
R ,
Logo o valor de cada uma das prestações será igual R$
1.223,14 e a planilha de pagamentos ficará assim:
K Pk Jk Ak Sk
0 20.000,00
1 1.223,14 400,00 823,14 19.176,86
2 1.223,14 383,54 839,60 18.337,26
3 1.223,14 366,75 856,39 17.480,86
4 1.223,14 349,62 873,52 16.607,34
5 1.223,14 332,15 890,99 15.716,35
6 1.223,14 314,33 908,81 14.807,53
7 1.223,14 296,15 926,99 13.880,54
8 1.223,14 277,61 945,53 12.935,01
9 1.223,14 258,70 964,44 11.970,58
10 1.223,14 239,41 983,73 10.986,85
11 1.223,14 219,74 1.003,40 9.983,44
12 1.223,14 199,67 1.023,47 8.959,97
13 1.223,14 179,20 1.043,94 7.916,03
14 1.223,14 158,32 1.064,82 6.851,21
15 1.223,14 137,02 1.086,12 5.765,10
16 1.223,14 115,30 1.107,84 4.657,26
17 1.223,14 93,15 1.129,99 3.527,26
18 1.223,14 70,55 1.152,59 2.374,67
19 1.223,14 47,49 1.175,65 1.199,02
20 1.223,14 23,98 1.199,16

Onde:
K – é p período;
Pk – a prestação no período K;
Jk – a cota de juros na prestação k;
Ak – a cota de amortização na prestação k;
Sk – o saldo devedor após o pagamento da parcela
k.
Obs: A diferença entre o último saldo devedor e o valor da
cota de amortização se deve aos arredondamentos
realizados ao longo da planilha.
É importante notarmos que no Sistema Francês:
O valor das prestações é fixo;
O valor das cotas de amortização é crescente;
O valor das cotas de juros é decrescente;
Última cota de amortização igual ao saldo devedor
após o pagamento da penúltima prestação;
Podemos também encontrar o saldo devedor após o
pagamento de cada uma das prestações através da fórmula:
k n k ,i%
S R a
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
Neste sistema, as cotas de amortização são constantes e
dadas pelo valor do empréstimo dividido pelo número de
prestações. Então os valores das prestações serão diferentes
a cada pagamento. Consideremos aqui a anuidade também
na forma postecipada.
Exemplo:
postecipadas, pelo SAC, com juros compostos de 2% ao
mês. Construa a planilha de pagamentos.
Solução:
Então:
20 000 00
2
20
A . ,
i %a.m.
n
20000
1000
20
k
A
A
n
O valor de cada cota de amortização será de R$ 1.000,00
O valor de cada prestação será a soma da cota de
amortização com a cota dos juros calculada sempre sobre o
último saldo devedor.
k Pk Jk Ak Sk
0 20.000,00
1 1.400,00 400,00 1.000,00 19.000,00
2 1.380,00 380,00 1.000,00 18.000,00
3 1.360,00 360,00 1.000,00 17.000,00
4 1.340,00 340,00 1.000,00 16.000,00
5 1.320,00 320,00 1.000,00 15.000,00
6 1.300,00 300,00 1.000,00 14.000,00
7 1.280,00 280,00 1.000,00 13.000,00
8 1.260,00 260,00 1.000,00 12.000,00
9 1.240,00 240,00 1.000,00 11.000,00
10 1.220,00 220,00 1.000,00 10.000,00
11 1.200,00 200,00 1.000,00 9.000,00
12 1.180,00 180,00 1.000,00 8.000,00
13 1.160,00 160,00 1.000,00 7.000,00
14 1.140,00 140,00 1.000,00 6.000,00
15 1.120,00 120,00 1.000,00 5.000,00
16 1.100,00 100,00 1.000,00 4.000,00
17 1.080,00 80,00 1.000,00 3.000,00
18 1.060,00 60,00 1.000,00 2.000,00
19 1.040,00 40,00 1.000,00 1.000,00
20 1.020,00 20,00 1.000,00
Onde:
Sk – o saldo devedor após o pagamento da parcela
k.
É importante notarmos que no SAC:
As cotas de amortização são constantes;
Prestações com valores decrescentes;
Saldo devedor decrescente em forma de P.A.;
Última cota de amortização igual ao saldo devedor
após o pagamento da última parcela.
SISTEMA AMERICANO
Nesta forma de amortização durante todo o período de
financiamento são devolvidos apenas os juros e na última
data é que ocorre o pagamento do empréstimo acrescido dos
juros de um período.
Exemplo:
postecipadas, pelo Sistema Americano, com juros compostos
de 2% ao mês. Construa a planilha de pagamentos.
Solução:
Então:
20 000 00
2
20
A . ,
i %a.m.
n

K Pk Jk Ak Sk
0 20.000,00
1 400,00 400,00 0,00 20.000,00
2 400,00 400,00 0,00 20.000,00
3 400,00 400,00 0,00 20.000,00
4 400,00 400,00 0,00 20.000,00
5 400,00 400,00 0,00 20.000,00
6 400,00 400,00 0,00 20.000,00
7 400,00 400,00 0,00 20.000,00
8 400,00 400,00 0,00 20.000,00
9 400,00 400,00 0,00 20.000,00
10 400,00 400,00 0,00 20.000,00
11 400,00 400,00 0,00 20.000,00
12 400,00 400,00 0,00 20.000,00
13 400,00 400,00 0,00 20.000,00
14 400,00 400,00 0,00 20.000,00
15 400,00 400,00 0,00 20.000,00
16 400,00 400,00 0,00 20.000,00
17 400,00 400,00 0,00 20.000,00
18 400,00 400,00 0,00 20.000,00
19 400,00 400,00 0,00 20.000,00
20 20.400,00 400,00 20.000,00
Onde:
Sk – o saldo devedor após o pagamento da parcela k.
CONCLUSÕES FINAIS SOBRE OS SISTEMAS DE
AMORTIZAÇÃO
Geralmente as prestações são postecipadas. Caso
contrário o problema fará referência;
Quando a taxa estiver se referindo a um período
diferente do período das prestações será uma taxa
nominal;
A primeira prestação será maior no SAC;
No sistema Americano são pagas as maiores cotas
de juros.
Exercícios
694) (Banco Central) Depositando mensalmente 10 URVs em
um fundo que rende 1 % ao mês, o montante imediatamente
após o 20° depósito será de:
a) 244,04 URVs
b) 240 URVs
c) 220,2 URVs
d) 220 URVs
e) 202 URVs
695) (Banco Central) Tomou-se um empréstimo de 100
URVs, para pagamento em 10 prestações mensais
sucessivas iguais, a juros de 1% ao mês, a primeira
prestação sendo paga um mês após o empréstimo. O valor
de cada prestação é de, aproximadamente:
a) 10,8 URVs
b) 10,6 URVs
c) 10,4 URVs
d) 10,2 URVs
e) 10 URVs
696) (ESAF) O preço de um automóvel é de $ 500.000,00.
Um comprador ofereceu $ 200.000,00 de entrada e o
pagamento do saldo restante em 12 prestações iguais,
mensais. A taxa de juros compostos é de 5% a.m.. O valor de
cada prestação, desprezados os centavos, é:
a) $ 36.847
b) $ 25.847
c) $ 31.847
d) $ 33.847
e) $ 30.847
697) (ESAF) Uma roupa é vendida por $ 4.000,00 à vista ou
financiada em 5 prestações iguais, sem entrada. A taxa de
juros é de 24% a.a., utilizando-se a tabela "price". A 1ª
prestação vence 1 mês após a compra. O valor da prestação,
desprezados os centavos, e a taxa de juros efetiva cobrada,
em termos anuais, são, respectivamente:
a) $ 848 e 24,8%
b) $ 858 e 26,8%
c) $ 878 e 26,8%
d) $ 848 e 26,8%
e) $ 858 e 24,8%
698) (AFTN) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $
23,60 na compra de um equipamento, e paga mais 4
prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64
cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros
de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos).
Com base nestas informações podemos afirmar que o valor
que mais se aproxima do valor à vista do equipamento
adquirido é:
a) $ 70,00
b) $ 76,83
c) $ 86,42
d) $ 88,00
e) $ 95,23
699) (AFTN) Um empréstimo de $ 20.900 foi realizado com
uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados
trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento
de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro
vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo
vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais
se aproxima do valor unitário de cada prestação é:
a) $ 10.350,00
b) $ 10.800,00
c) $ 11.881,00
d) $ 12.433,33
e) $ 12.600,00
700) (CESPE/UnB) Um empréstimo de R$ 600.000,00 deverá
ser liquidado em 6 prestações mensais e iguais a R$
137.764,43, utilizando-se o Sistema de Amortização Francês
(Tabela Price), com taxa de juros de 10% ao mês. Nessas
condições, julgue os itens seguintes.
a) A parcela de amortização do capital é obtida pela diferença
entre o valor da prestação c o valor da parcela de juros.
b) A medida que a parcela referente aos juros diminui, a
parcela referente à amortização do capital aumenta.
c) Após o pagamento da primeira parcela, o saldo devedor é
igual a R$ 522.235,57.
d) Na segunda prestação está incluído o valor da parcela de
juros correspondentes aproximadamente a R$ 52.223,56.
e) A parcela de amortização do capital, na sexta prestação, é
igual ao saldo devedor obtido após o pagamento da quinta
prestação.

Anexos – tabelas financeiras
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 1,120000 1,150000 1,180000
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 1,254400 1,322500 1,392400
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 1,404928 1,520875 1,643032
4 1,040604 1,082432 1,125509 1,169859 1,215506 1,262477 1,310796 1,360489 1,411582 1,464100 1,573519 1,749006 1,938778
5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216653 1,276282 1,338226 1,402552 1,469328 1,538624 1,610510 1,762342 2,011357 2,287758
6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340096 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561 1,973823 2,313061 2,699554
7 1,072135 1,148686 1,229874 1,315932 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824 1,828039 1,948717 2,210681 2,660020 3,185474
8 1,082857 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930 1,992563 2,143589 2,475963 3,059023 3,758859
9 1,093685 1,195093 1,304773 1,423312 1,551328 1,689479 1,838459 1,999005 2,171893 2,357948 2,773079 3,517876 4,435454
10 1,104622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628895 1,790848 1,967151 2,158925 2,367364 2,593742 3,105848 4,045558 5,233836
11 1,115668 1,243374 1,384234 1,539454 1,710339 1,898299 2,104852 2,331639 2,580426 2,853117 3,478550 4,652391 6,175926
12 1,126825 1,268242 1,425761 1,601032 1,795856 2,012196 2,252192 2,518170 2,812665 3,138428 3,895976 5,350250 7,287593
13 1,138093 1,293607 1,468534 1,665074 1,885649 2,132928 2,409845 2,719624 3,065805 3,452271 4,363493 6,152788 8,599359
14 1,149474 1,319479 1,512590 1,731676 1,979932 2,260904 2,578534 2,937194 3,341727 3,797498 4,887112 7,075706 10,147244
15 1,160969 1,345868 1,557967 1,800944 2,078928 2,396558 2,759032 3,172169 3,642482 4,177248 5,473566 8,137062 11,973748
16 1,172579 1,372786 1,604706 1,872981 2,182875 2,540352 2,952164 3,425943 3,970306 4,594973 6,130394 9,357621 14,129023
17 1,184304 1,400241 1,652848 1,947900 2,292018 2,692773 3,158815 3,700018 4,327633 5,054470 6,866041 10,761264 16,672247
18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025817 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 7,689966 12,375454 19,673251
19 1,208109 1,456811 1,753506 2,106849 2,526950 3,025600 3,616528 4,315701 5,141661 6,115909 8,612762 14,231772 23,214436
20 1,220190 1,485947 1,806111 2,191123 2,653298 3,207135 3,869684 4,660957 5,604411 6,727500 9,646293 16,366537 27,393035
FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL - (1+ i)n
1% 2% 3% 4% 18%i%
n
9% 10% 12% 15%5% 6% 7% 8%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091 0,892857 0,869565 0,847458
2 1,970395 1,941561 1,913470 1,886095 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537 1,690051 1,625709 1,565642
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852 2,401831 2,283225 2,174273
4 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865 3,037349 2,854978 2,690062
5 4,853431 4,713460 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787 3,604776 3,352155 3,127171
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766540 4,622880 4,485919 4,355261 4,111407 3,784483 3,497603
7 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953 4,868419 4,563757 4,160420 3,811528
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971299 5,746639 5,534819 5,334926 4,967640 4,487322 4,077566
9 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024 5,328250 4,771584 4,303022
10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023582 6,710081 6,417658 6,144567 5,650223 5,018769 4,494086
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FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS -
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FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS -
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