1) O documento apresenta um módulo sobre álgebra com o objetivo de ensinar conceitos como expressões algébricas, operações com monômios, equações e sistemas de equações do primeiro grau.
2) São explicados termos como monômios, coeficiente, parte literal, redução de termos semelhantes e representação simbólica de expressões matemáticas.
3) O módulo contém exercícios para fixar os conceitos apresentados.
O documento apresenta os objetivos de um módulo sobre álgebra, incluindo reconhecer expressões numéricas e algébricas, calcular valores de expressões, escrever equações matemáticas, e resolver sistemas de equações do primeiro grau. O módulo ensina sobre variáveis, monômios, operações algébricas, representação simbólica de equações e sucessor/antecessor.
Este documento apresenta os objetivos de aprendizagem da unidade, que incluem reconhecer expressões numéricas e algébricas, calcular valores numéricos de expressões algébricas, identificar coeficientes e partes literais de monômios, escrever sentenças matemáticas, equacionar e resolver problemas do primeiro grau e sistemas de equações do primeiro grau. Também contém instruções para os alunos realizarem exercícios no caderno e exemplos de conceitos como expressões algébricas, valor numérico, termos
O documento apresenta conceitos matemáticos como múltiplos, divisores, números primos e frações. O objetivo é que os alunos adquiram esses conceitos através da leitura do material, resolução de exercícios e confirmação das respostas no gabarito.
Este documento apresenta os números inteiros, um conjunto de números que inclui os números naturais e seus opostos, os números inteiros negativos. Os números inteiros permitem representar quantidades menores que zero e são úteis para resolver situações como dívidas e temperaturas abaixo de zero. O documento explica como representar e operar com números inteiros na reta numérica.
Este documento apresenta conceitos básicos de matemática como sistemas de numeração, operações com números e expressões numéricas. Ensina alunos a ler, escrever, comparar e ordenar números, bem como a resolver expressões que envolvem adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de álgebra, como expressões algébricas, termos algébricos, equações e raiz de equações;
2) Uma equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade que contém letras representando números desconhecidos;
3) Para verificar se um número é a raiz de uma equação, substitui-se a incógnita pelaquele número e verifica-se se a sentença resultante é verdadeira.
O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade como permutações, arranjos e combinações. Explica como calcular o número de maneiras de organizar conjuntos de objetos de diferentes formas, considerando ou não a ordem e repetição dos elementos. Fornece exemplos e exercícios para aplicar as fórmulas aprendidas.
O documento apresenta explicações sobre operações com dinheiro no sistema monetário brasileiro, incluindo real como unidade, escrita e leitura de valores monetários, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com reais, e cálculo de porcentagens sobre valores. O objetivo é ensinar estudantes a trabalhar corretamente com dinheiro no Brasil.
O documento apresenta os objetivos de um módulo sobre álgebra, incluindo reconhecer expressões numéricas e algébricas, calcular valores de expressões, escrever equações matemáticas, e resolver sistemas de equações do primeiro grau. O módulo ensina sobre variáveis, monômios, operações algébricas, representação simbólica de equações e sucessor/antecessor.
Este documento apresenta os objetivos de aprendizagem da unidade, que incluem reconhecer expressões numéricas e algébricas, calcular valores numéricos de expressões algébricas, identificar coeficientes e partes literais de monômios, escrever sentenças matemáticas, equacionar e resolver problemas do primeiro grau e sistemas de equações do primeiro grau. Também contém instruções para os alunos realizarem exercícios no caderno e exemplos de conceitos como expressões algébricas, valor numérico, termos
O documento apresenta conceitos matemáticos como múltiplos, divisores, números primos e frações. O objetivo é que os alunos adquiram esses conceitos através da leitura do material, resolução de exercícios e confirmação das respostas no gabarito.
Este documento apresenta os números inteiros, um conjunto de números que inclui os números naturais e seus opostos, os números inteiros negativos. Os números inteiros permitem representar quantidades menores que zero e são úteis para resolver situações como dívidas e temperaturas abaixo de zero. O documento explica como representar e operar com números inteiros na reta numérica.
Este documento apresenta conceitos básicos de matemática como sistemas de numeração, operações com números e expressões numéricas. Ensina alunos a ler, escrever, comparar e ordenar números, bem como a resolver expressões que envolvem adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de álgebra, como expressões algébricas, termos algébricos, equações e raiz de equações;
2) Uma equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade que contém letras representando números desconhecidos;
3) Para verificar se um número é a raiz de uma equação, substitui-se a incógnita pelaquele número e verifica-se se a sentença resultante é verdadeira.
O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade como permutações, arranjos e combinações. Explica como calcular o número de maneiras de organizar conjuntos de objetos de diferentes formas, considerando ou não a ordem e repetição dos elementos. Fornece exemplos e exercícios para aplicar as fórmulas aprendidas.
O documento apresenta explicações sobre operações com dinheiro no sistema monetário brasileiro, incluindo real como unidade, escrita e leitura de valores monetários, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com reais, e cálculo de porcentagens sobre valores. O objetivo é ensinar estudantes a trabalhar corretamente com dinheiro no Brasil.
1) O documento descreve expressões algébricas, incluindo monômios e polinômios.
2) Uma expressão com letras representa números desconhecidos ou generaliza propriedades matemáticas.
3) Monômios são expressões sem adição/subtração. Polinômios contêm termos adicionados/subtraídos.
O documento discute os números e sistemas numéricos, funções, geometria e estatística. Ele aborda tópicos como escrita de números, conjuntos numéricos, sistemas de numeração e conversões, algarismos significativos e notação científica, funções como sistemas de coordenadas e progressões, geometria plana e espacial, e noções básicas de estatística.
O documento apresenta notas de uma aula sobre arranjos, permutações e combinações no contexto de matemática discreta. A aula discute os conceitos de permutação, definindo-a como um arranjo ordenado de objetos onde a ordem importa, e fornece exemplos e fórmulas para calcular permutações. Também aborda combinações, onde a ordem não importa, definindo a fórmula para calcular combinações e dando exemplos para ilustrar a diferença entre permutações e combinações.
O documento apresenta as seguintes informações sobre o conteúdo da aula de Matemática Discreta: Arranjos, Permutações e Combinações, definindo cada um deles em menos de 3 frases e apresentando fórmulas e exemplos para ilustrar os conceitos.
Este documento apresenta o plano de ensino de Matemática para o 8o ano do 2o bimestre de 2014 na cidade do Rio de Janeiro, contendo os tópicos a serem abordados como números racionais, expressões algébricas e geometria plana.
Um estudo sistematizado sobre a resolução das equações polinomiais.Sandro de Macedo
Este documento apresenta um estudo sobre a resolução de equações polinomiais realizado por Sandro de Macedo Gonçalves Ferreira como trabalho de conclusão de curso na Universidade Federal do Triângulo Mineiro. O trabalho discute os métodos de resolução de equações polinomiais de graus 1, 2, 3 e 4 e comenta brevemente a impossibilidade de resolução analítica de equações de grau superior. O objetivo é sistematizar esses métodos de forma a esclarecer dúvidas sobre a solubilidade de equações cúbicas
Um Estudo Sistematizado sobre a resolução das equações polinomiais. (SLIDES)Sandro de Macedo
- Os babilônios já resolviam equações polinomiais de primeiro e segundo grau há cerca de 2000 a.C. utilizando uma notação sexagesimal.
- O documento descreve os métodos de resolução de equações polinomiais de graus de 1 a 4, incluindo as contribuições históricas de matemáticos como Cardano e Ferrari.
- É mostrado que apenas equações de grau menor ou igual a 4 podem ser resolvidas por fórmulas algébricas, enquanto equações de grau maior dependem de mé
1) O documento discute probabilidades em diferentes situações, incluindo o lançamento de dados e a seleção aleatória de pessoas e números.
2) É mostrado que se p é um número primo maior que 3, então p2 - 1 é um múltiplo de 12.
3) A probabilidade de dois números aleatórios menores que 37 serem primos maiores que 3 é 35/37.
1) O documento discute probabilidades em diferentes situações, incluindo o lançamento de dados e a seleção aleatória de pessoas e números.
2) É mostrado que se p é um número primo maior que 3, então p2 - 1 é múltiplo de 12.
3) A probabilidade de dois números aleatórios menores que 37 serem primos maiores que 3 é 35/37.
O documento discute análise combinatória, que estuda agrupamentos de elementos sem precisar enumerá-los. A origem do assunto está ligada a estudos de jogos de azar. Atualmente, é usada para estimativas em jogos de loteria e para planejamento de horários e produção. O texto também apresenta exemplos de cálculo fatorial.
Este documento apresenta os objetivos e conteúdos sobre múltiplos, divisores, números primos, frações e operações com frações. Os tópicos incluem decompor números em fatores primos, calcular o mínimo múltiplo comum, ler, escrever, simplificar e comparar frações.
O documento fornece instruções para a realização de um exame de ingresso em pós-graduação em computação, incluindo: (1) verificar os dados do candidato e não utilizar dispositivos eletrônicos; (2) a prova terá 70 questões objetivas de múltipla escolha e duração de 4 horas; (3) ao finalizar, aguardar autorização para entregar o caderno de prova e gabarito.
O documento explica os diferentes tipos de números reais, incluindo inteiros, racionais, irracionais e sua representação na reta numérica. Mostra como localizar números irracionais como raízes quadradas e o número p na reta através de construções geométricas.
* Existem m = 4 elementos distintos
* Estamos escolhendo p = 2 elementos com repetição
* A fórmula para combinações com repetição é:
Crep(m,p) = C(m+p-1,p)
* Portanto:
Crep(4,2) = C(4+2-1,2) = C(5,2) = 10
A resposta é 10 combinações.
1. As instruções orientam um aluno a preencher corretamente os dados em um teste, assinar a lista de presença, escrever as respostas de forma organizada e justificada, e não comunicar-se com outras pessoas durante a prova.
2. O teste terá duração de 3 horas, e o aluno só poderá sair 45 minutos após o início.
3. É proibido o uso de calculadoras ou consultas durante a prova.
1) O documento apresenta as respostas e soluções detalhadas para 12 questões de uma prova de matemática do nível 3 da OBMEP.
2) As questões abrangem tópicos como porcentagem, geometria plana e espacial, lógica, probabilidade e álgebra.
3) As soluções variam de uma frase simples para questões mais diretas a desenvolvimentos mais longos com figuras geométricas para questões mais complexas.
O documento discute diferentes tipos de funções e sequências, incluindo: 1) Funções reais, vetoriais e matriciais; 2) Sequências reais finitas e infinitas; 3) Progressões aritméticas finitas e suas propriedades como razão, termo geral e termos eqüidistantes.
Diversas situações no dia a dia exigem cálculos para se determinar um valor desconhecido.
Provavelmente você já utilizou álgebra para a resolução de alguns problemas, mesmo sem perceber. A
matemática pode nos ajudar a identificar e encontrar a resposta para esses problemas.
Expressões algébricas
O uso de letras em matemática é muito utilizado para descrever uma situação na qual não
conhecemos valores de um determinado problema. No ensino fundamental e no ensino médio você
provavelmente resolveu listas de exercícios, contendo expressões algébricas.
1) O documento explica o conceito de igualdade e equação matemática, definindo os termos e símbolos envolvidos como =, ≠, ≥, ≤, >, <.
2) Uma igualdade é uma sentença matemática que usa o símbolo = e representa que dois lados são iguais. Uma equação é uma igualdade que contém uma ou mais letras representando valores desconhecidos.
3) O uso de letras para representar números desconhecidos trouxe progressos à matemática, facilitando a resolução de problemas.
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo AindaAntonio Carneiro
1) O documento apresenta conceitos matemáticos como conjuntos numéricos, potenciação, radiciação e equações do 2o grau.
2) Inclui definições de conjuntos como N, Z, Q, R e suas propriedades.
3) Explica a potenciação, radiciação e a fórmula de Bhaskara para resolução de equações do 2o grau.
1) O documento apresenta conceitos matemáticos como conjuntos numéricos, potenciação, radiciação e equações do 2o grau.
2) Inclui definições de conjuntos como N, Z, Q, R e suas propriedades.
3) Explica a operação de potenciação, suas propriedades e como resolver equações do 2o grau usando a fórmula de Bhaskara.
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo AindaAntonio Carneiro
1) O documento apresenta conceitos matemáticos como conjuntos numéricos, potenciação, radiciação e equações do 2o grau.
2) Inclui definições de conjuntos como N, Z, Q, R e suas propriedades.
3) Explica a operação de potenciação, suas propriedades e como resolver equações do 2o grau usando a fórmula de Bhaskara.
1) O documento descreve expressões algébricas, incluindo monômios e polinômios.
2) Uma expressão com letras representa números desconhecidos ou generaliza propriedades matemáticas.
3) Monômios são expressões sem adição/subtração. Polinômios contêm termos adicionados/subtraídos.
O documento discute os números e sistemas numéricos, funções, geometria e estatística. Ele aborda tópicos como escrita de números, conjuntos numéricos, sistemas de numeração e conversões, algarismos significativos e notação científica, funções como sistemas de coordenadas e progressões, geometria plana e espacial, e noções básicas de estatística.
O documento apresenta notas de uma aula sobre arranjos, permutações e combinações no contexto de matemática discreta. A aula discute os conceitos de permutação, definindo-a como um arranjo ordenado de objetos onde a ordem importa, e fornece exemplos e fórmulas para calcular permutações. Também aborda combinações, onde a ordem não importa, definindo a fórmula para calcular combinações e dando exemplos para ilustrar a diferença entre permutações e combinações.
O documento apresenta as seguintes informações sobre o conteúdo da aula de Matemática Discreta: Arranjos, Permutações e Combinações, definindo cada um deles em menos de 3 frases e apresentando fórmulas e exemplos para ilustrar os conceitos.
Este documento apresenta o plano de ensino de Matemática para o 8o ano do 2o bimestre de 2014 na cidade do Rio de Janeiro, contendo os tópicos a serem abordados como números racionais, expressões algébricas e geometria plana.
Um estudo sistematizado sobre a resolução das equações polinomiais.Sandro de Macedo
Este documento apresenta um estudo sobre a resolução de equações polinomiais realizado por Sandro de Macedo Gonçalves Ferreira como trabalho de conclusão de curso na Universidade Federal do Triângulo Mineiro. O trabalho discute os métodos de resolução de equações polinomiais de graus 1, 2, 3 e 4 e comenta brevemente a impossibilidade de resolução analítica de equações de grau superior. O objetivo é sistematizar esses métodos de forma a esclarecer dúvidas sobre a solubilidade de equações cúbicas
Um Estudo Sistematizado sobre a resolução das equações polinomiais. (SLIDES)Sandro de Macedo
- Os babilônios já resolviam equações polinomiais de primeiro e segundo grau há cerca de 2000 a.C. utilizando uma notação sexagesimal.
- O documento descreve os métodos de resolução de equações polinomiais de graus de 1 a 4, incluindo as contribuições históricas de matemáticos como Cardano e Ferrari.
- É mostrado que apenas equações de grau menor ou igual a 4 podem ser resolvidas por fórmulas algébricas, enquanto equações de grau maior dependem de mé
1) O documento discute probabilidades em diferentes situações, incluindo o lançamento de dados e a seleção aleatória de pessoas e números.
2) É mostrado que se p é um número primo maior que 3, então p2 - 1 é um múltiplo de 12.
3) A probabilidade de dois números aleatórios menores que 37 serem primos maiores que 3 é 35/37.
1) O documento discute probabilidades em diferentes situações, incluindo o lançamento de dados e a seleção aleatória de pessoas e números.
2) É mostrado que se p é um número primo maior que 3, então p2 - 1 é múltiplo de 12.
3) A probabilidade de dois números aleatórios menores que 37 serem primos maiores que 3 é 35/37.
O documento discute análise combinatória, que estuda agrupamentos de elementos sem precisar enumerá-los. A origem do assunto está ligada a estudos de jogos de azar. Atualmente, é usada para estimativas em jogos de loteria e para planejamento de horários e produção. O texto também apresenta exemplos de cálculo fatorial.
Este documento apresenta os objetivos e conteúdos sobre múltiplos, divisores, números primos, frações e operações com frações. Os tópicos incluem decompor números em fatores primos, calcular o mínimo múltiplo comum, ler, escrever, simplificar e comparar frações.
O documento fornece instruções para a realização de um exame de ingresso em pós-graduação em computação, incluindo: (1) verificar os dados do candidato e não utilizar dispositivos eletrônicos; (2) a prova terá 70 questões objetivas de múltipla escolha e duração de 4 horas; (3) ao finalizar, aguardar autorização para entregar o caderno de prova e gabarito.
O documento explica os diferentes tipos de números reais, incluindo inteiros, racionais, irracionais e sua representação na reta numérica. Mostra como localizar números irracionais como raízes quadradas e o número p na reta através de construções geométricas.
* Existem m = 4 elementos distintos
* Estamos escolhendo p = 2 elementos com repetição
* A fórmula para combinações com repetição é:
Crep(m,p) = C(m+p-1,p)
* Portanto:
Crep(4,2) = C(4+2-1,2) = C(5,2) = 10
A resposta é 10 combinações.
1. As instruções orientam um aluno a preencher corretamente os dados em um teste, assinar a lista de presença, escrever as respostas de forma organizada e justificada, e não comunicar-se com outras pessoas durante a prova.
2. O teste terá duração de 3 horas, e o aluno só poderá sair 45 minutos após o início.
3. É proibido o uso de calculadoras ou consultas durante a prova.
1) O documento apresenta as respostas e soluções detalhadas para 12 questões de uma prova de matemática do nível 3 da OBMEP.
2) As questões abrangem tópicos como porcentagem, geometria plana e espacial, lógica, probabilidade e álgebra.
3) As soluções variam de uma frase simples para questões mais diretas a desenvolvimentos mais longos com figuras geométricas para questões mais complexas.
O documento discute diferentes tipos de funções e sequências, incluindo: 1) Funções reais, vetoriais e matriciais; 2) Sequências reais finitas e infinitas; 3) Progressões aritméticas finitas e suas propriedades como razão, termo geral e termos eqüidistantes.
Diversas situações no dia a dia exigem cálculos para se determinar um valor desconhecido.
Provavelmente você já utilizou álgebra para a resolução de alguns problemas, mesmo sem perceber. A
matemática pode nos ajudar a identificar e encontrar a resposta para esses problemas.
Expressões algébricas
O uso de letras em matemática é muito utilizado para descrever uma situação na qual não
conhecemos valores de um determinado problema. No ensino fundamental e no ensino médio você
provavelmente resolveu listas de exercícios, contendo expressões algébricas.
1) O documento explica o conceito de igualdade e equação matemática, definindo os termos e símbolos envolvidos como =, ≠, ≥, ≤, >, <.
2) Uma igualdade é uma sentença matemática que usa o símbolo = e representa que dois lados são iguais. Uma equação é uma igualdade que contém uma ou mais letras representando valores desconhecidos.
3) O uso de letras para representar números desconhecidos trouxe progressos à matemática, facilitando a resolução de problemas.
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo AindaAntonio Carneiro
1) O documento apresenta conceitos matemáticos como conjuntos numéricos, potenciação, radiciação e equações do 2o grau.
2) Inclui definições de conjuntos como N, Z, Q, R e suas propriedades.
3) Explica a potenciação, radiciação e a fórmula de Bhaskara para resolução de equações do 2o grau.
1) O documento apresenta conceitos matemáticos como conjuntos numéricos, potenciação, radiciação e equações do 2o grau.
2) Inclui definições de conjuntos como N, Z, Q, R e suas propriedades.
3) Explica a operação de potenciação, suas propriedades e como resolver equações do 2o grau usando a fórmula de Bhaskara.
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo AindaAntonio Carneiro
1) O documento apresenta conceitos matemáticos como conjuntos numéricos, potenciação, radiciação e equações do 2o grau.
2) Inclui definições de conjuntos como N, Z, Q, R e suas propriedades.
3) Explica a operação de potenciação, suas propriedades e como resolver equações do 2o grau usando a fórmula de Bhaskara.
O documento discute intervalos de números reais e resolução de inequações. Explica como representar intervalos em extensão e compreensão, além de operações com intervalos como interseção e união. Também mostra como resolver inequações do primeiro grau e com parênteses ou denominadores, bem como conjunção e disjunção de inequações.
O documento fornece instruções para a realização de um teste de matemática, incluindo informações sobre como preencher a folha de respostas, os materiais permitidos e não permitidos, e as fórmulas necessárias para responder às questões. O teste contém 13 questões sobre vários tópicos de matemática como estatística, geometria e álgebra.
Slides criados pelo residente em matemática Kunta, enviado para as aulas não presenciais na escola Marita Motta
Conteúdo: Linguagem algébrica: variável e incógnita
Equações polinomiais do 1º grau
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Residente: Kunta M. da Fonseca
Professora: Elcielle Bonomo
O QUE SÃO?
São expressões matemáticas
Tem uma INCÓGNITA
E uma IGUALDADE
Servem para ajudar encontrar soluções para problemas nos quais um número não é conhecido.
DESAFIO
Considere que a balança seguir está em equilíbrio. Qual equação essa imagem está representando?
RESOLVENDO O DESAFIO
EXERCÍCIO 1: CIRCULE AS equações
y - 10 > 6
EXERCÍCIO 2: Agora é com você
EXERCÍCIO 3
exemplos
x + 3 = 7
x = 7 - 3
x = 4
EXERCÍCIO 4
exemplos
x = 7
3
x = 7 . 3
x = 21
OBRIGADA POR SUA VISITA
Este documento fornece um resumo de conceitos básicos de matemática como operações numéricas e algébricas, frações, potenciação, expressões algébricas, polinômios, funções e gráficos de função. Inclui exemplos e exercícios para praticar cada tópico.
O documento fornece uma explicação detalhada sobre equações do primeiro grau, incluindo expressões algébricas, valor numérico, redução de termos semelhantes, equações, raiz de equações, princípios de equivalência e como calcular a raiz de uma equação do 1o grau.
Apostila de matemática i apostila específica para o concurso da prefeitura ...Iracema Vasconcellos
A apostila apresenta os principais tópicos de matemática para concurso de prefeitura, incluindo operações com números inteiros, fracionários e decimais, porcentagem, juros, equações de 1o e 2o grau e geometria.
O documento fornece informações sobre sentenças matemáticas, equações do 1o e 2o grau, resolução de equações e áreas de polígonos. Explica que sentenças podem ser verdadeiras ou falsas e abertas ou fechadas, define conjuntos universo e verdade. Apresenta a fórmula geral para resolução de equações do 2o grau e fórmulas para cálculo de áreas de retângulo, quadrado, triângulo, losango e trapézio.
O documento apresenta o conteúdo de expressões algébricas no 9o ano do ensino fundamental. Ele aborda o conceito de variável e incógnita, representação algebrica de relações entre grandezas e resolução de equações para encontrar valores desconhecidos. Exemplos e atividades são fornecidos para explicar esses conceitos.
Este documento apresenta um resumo de conteúdos de matemática, incluindo conjuntos numéricos, operações com números, razões, proporções, porcentagens, equações, funções, geometria e estatística.
1) O documento explica os conceitos básicos de frações, incluindo o que é uma fração, numerador, denominador, frações equivalentes e operações com frações.
2) As frações surgiram para resolver problemas que não podiam ser resolvidos com apenas números naturais.
3) Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, deve-se encontrar o mínimo múltiplo comum entre os denominadores e converter as frações para terem o mesmo denominador.
1) O documento explica os conceitos básicos de frações, incluindo o que é uma fração, numerador, denominador, frações equivalentes e operações com frações.
2) As frações surgiram para resolver problemas que não podiam ser resolvidos com apenas números naturais.
3) Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, deve-se encontrar o mínimo múltiplo comum entre os denominadores e converter as frações para terem o mesmo denominador.
Este documento descreve as provas de matemática do vestibular da Unicamp. Contém seis questões de exemplo com suas respectivas respostas esperadas e comentários. As questões avaliam conceitos matemáticos como geometria, aritmética e funções exponenciais.
O documento apresenta exemplos de sentenças matemáticas e equações, incluindo: (1) exemplos de sentenças matemáticas envolvendo números; (2) definição de equação como uma sentença matemática expressa por uma igualdade com elementos desconhecidos; (3) exemplos de equações de 1o grau com uma incógnita.
O documento apresenta exemplos de sentenças matemáticas e equações de 1o grau com uma incógnita. Explica que sentenças matemáticas envolvem números e podem ser escritas em linguagem simbólica. Equações são igualdades que contêm incógnitas representadas por letras. Dois problemas são resolvidos através da tradução para equações e aplicação das propriedades de igualdade.
1. O documento discute expressões algébricas, definindo-as como expressões matemáticas que contêm letras e podem conter números. As letras representam valores numéricos desconhecidos.
2. Um monômio é uma expressão algébrica representada por um número, incógnita ou produto destes. O grau de um monômio é a soma dos expoentes das variáveis.
3. Operações como adição, subtração, multiplicação e divisão podem ser realizadas com monômios, seguindo regras específicas
Semelhante a Ceesvo (ensino fundamental) apostila 6 (20)
O documento apresenta fórmulas para calcular perímetro, área e volume de figuras geométricas planas e sólidos como retângulos, quadrados, triângulos, círculos, paralelepípedos, cubos, cilindros e pirâmides. Inclui também exercícios com respostas sobre esses cálculos.
A empresa anunciou um novo produto para competir no mercado de smartphones. O novo aparelho terá câmera de alta resolução e bateria de longa duração a um preço acessível. A expectativa é que o lançamento ajude a empresa a aumentar sua participação no mercado.
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Este documento fornece instruções sobre unidades de medida, incluindo tempo, comprimento, capacidade e massa. Ele explica como utilizar essas unidades e fazer conversões entre elas. Exemplos e exercícios são fornecidos para ajudar os alunos a aprender o conteúdo.
Este documento fornece instruções e objetivos para o Módulo 1 de estudos. Inclui tópicos sobre relações entre números, ordenação numérica, expressões matemáticas e determinação de valores desconhecidos.
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...Eró Cunha
XIV Concurso de Desenhos Afro/24
TEMA: Racismo Ambiental e Direitos Humanos
PARTICIPANTES/PÚBLICO: Estudantes regularmente matriculados em escolas públicas estaduais, municipais, IEMA e IFMA (Ensino Fundamental, Médio e EJA).
CATEGORIAS: O Concurso de Desenhos Afro acontecerá em 4 categorias:
- CATEGORIA I: Ensino Fundamental I (4º e 5º ano)
- CATEGORIA II: Ensino Fundamental II (do 6º ao 9º ano)
- CATEGORIA III: Ensino Médio (1º, 2º e 3º séries)
- CATEGORIA IV: Estudantes com Deficiência (do Ensino Fundamental e Médio)
Realização: Unidade Regional de Educação de Imperatriz/MA (UREI), através da Coordenação da Educação da Igualdade Racial de Imperatriz (CEIRI) e parceiros
OBJETIVO:
- Realizar a 14ª edição do Concurso e Exposição de Desenhos Afro/24, produzidos por estudantes de escolas públicas de Imperatriz e região tocantina. Os trabalhos deverão ser produzidos a partir de estudo, pesquisas e produção, sob orientação da equipe docente das escolas. As obras devem retratar de forma crítica, criativa e positivada a população negra e os povos originários.
- Intensificar o trabalho com as Leis 10.639/2003 e 11.645/2008, buscando, através das artes visuais, a concretização das práticas pedagógicas antirracistas.
- Instigar o reconhecimento da história, ciência, tecnologia, personalidades e cultura, ressaltando a presença e contribuição da população negra e indígena na reafirmação dos Direitos Humanos, conservação e preservação do Meio Ambiente.
Imperatriz/MA, 15 de fevereiro de 2024.
Produtora Executiva e Coordenadora Geral: Eronilde dos Santos Cunha (Eró Cunha)
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Lições Bíblicas, 2º Trimestre de 2024, adultos, Tema, A CARREIRA QUE NOS ESTÁ PROPOSTA, O CAMINHO DA SALVAÇÃO, SANTIDADE E PERSEVERANÇA PARA CHEGAR AO CÉU, Coment Osiel Gomes, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, de Almeida Silva, tel-What, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique, https://ebdnatv.blogspot.com/
2. www.ceesvo.com.br 2
MÓDULO 11
OBJETIVOS: Ao final desta U.E. você deverá saber:
Reconhecer expressões numéricas e expressões algébricas;
Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica;
Identificar o coeficiente e a parte literal de um monômio;
Escrever sentenças matemáticas;
Equacionar problemas do primeiro grau;
Resolver e interpretar problemas do primeiro grau;
Relacionar equações com o dia-a-dia;
Resolver algebricamente um sistema de equações do 1º grau
pelo método da adição;
Interpretar problemas com duas incógnitas relacionando-os
com o cotidiano montando um sistema de equações;
Resolver os sistemas e interpretar as respostas;
Conhecer o método geométrico no plano cartesiano para
resolver sistemas de equações do 1º grau.
Roteiro:
- Leia atentamente o módulo observando e acompanhando a
resolução dos exemplos;
- Faça os exercícios no seu caderno e confira as respostas no
gabarito;
- Anote as dúvidas no caderno e pergunte ao professor.
FAÇA OS EXERCÍCIOS NO SEU CADERNO.
NÃO ESCREVA NA APOSTILA.
3. www.ceesvo.com.br 3
A ÁLGEBRA
INTRODUÇÃO: O uso das letras na resolução de problemas
inaugurou uma nova era da matemática.
No momento em que usamos letras para representar uma
quantidade desconhecida entramos na parte da matemática
chamada álgebra.
O uso da letra facilitou a comunicação matemática. Por exemplo,
você pode representar: “O quadrado da soma de dois números” por
(a+b)² que será entendido em qualquer país. As letras a e b estão
representando dois números quaisquer.
Existem expressões na matemática que necessitam de letras
para representar uma idéia ou uma situação.
Exemplo: Um litro de gasolina custa R$ 1,70. Como você pode
representar o gasto com combustível durante uma viagem?
Você pensou, pensou e não conseguiu responder? Está faltando
algum dado no problema? Você não sabe quantos litros de gasolina
foram gastos?
É verdade, você não pode chegar a um resultado imediato, mas
existe uma maneira de escrever essa idéia: usando uma letra
qualquer para representar a quantidade de litros de gasolina. Então
você pode escrever 1,70 . X onde X representa a quantidade de
litros.
Expressões formadas por números e letras são chamadas de
expressões algébricas.
Na matemática trabalhamos com números, formas e letras que
representam números. São as fórmulas e equações.
Um exemplo do uso de fórmula: para calcular o perímetro P
(soma dos quatro lados) de um retângulo em que um lado é o
dobro do outro.
Observe o desenho abaixo:
Você não sabe a medida de um lado então pode representá-la
por uma letra.
X
2 . X
X representa a medida de um lado.
P = X + 2X + 2X + X
P = 6X
4. www.ceesvo.com.br 4
Nessa expressão X é uma incógnita ou variável e está
representando um número desconhecido.
VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO NUMÉRICA
É o número que se obtém quando você substitui as variáveis
(letras) por valores reais (números).
Ex 1: a + b para a = 2
b = 3
2 + 3
5 Valor Numérico = 5
Ex. 2:
Determine o valor numérico de 2a + 3b – 5 lembrando que 2a é o
mesmo que 2 . a pois entre um número e uma letra tem uma
multiplicação.
2 . a + 3 . b – 5 para a = 5
b = 2
2 . 5 + 3 . 2 – 5
10 + 6 - 5
16 – 5
11 logo o valor numérico ( V.N.) é 11
Ex. 3: Calcule o valor numérico de
2 x² + 3 y para x = 5
y= - 4
2 . 5 ² + 3 . ( -4 )
2. 25 - 12
50 – 12
V.N = 38
Copie e resolva em seu caderno:
1) Calcule o Valor Numérico das expressões:
a ) x + 2 para x = 3
b ) 5a² - 2b para a = 3
Observe que foram dados valores
para as letras ( incógnitas ) , então
é só substituir ((tirar) a letra pelo
número correspondente.
LEMBRE-SE:
5² = 5 . 5 = 25
5. www.ceesvo.com.br 5
b = 2
c ) x + y para x = -1
y = 2
d) 2x - y para x = 3
y = 4
e) x + y - z para x = 8 y = 3 z = 5
TERMO ALGÉBRICO OU MONÔMIO
O termo algébrico é formado por duas partes: a literal (parte das
letras) e o coeficiente numérico (número que está multiplicando a
parte literal).
Quando a expressão algébrica é formada por dois ou mais
termos é denominada POLINÔMIO. Quando têm um só termo é
chamada particularmente de MONÔMIO.
Dessa maneira convenciona-se:
Ex: 4x é um monômio na variável x e o coeficiente é o 4.
2xy3
é um monômio com variáveis x e y e com coeficiente 2.
X³Y² é um monômio com coeficiente 1 (não é necessário
escrever o nº 1 antes das variáveis).
4 x²
Coeficiente numérico
Parte literal
NÃO SE ESQUEÇA:
4 X é 4 • X (multiplicação)
Obs. O sinal de multiplicação
não é usado entre o número e a
letra ou entre duas ou mais
letras Ex. 4ab = 4 . a . b
6. www.ceesvo.com.br 6
MONÔMIOS OU TERMOS SEMELHANTES
Dois ou mais monômios são semelhantes quando as partes
literais (as letras) são idênticas (mesmas letras com mesmos
expoentes).
Assim 15 x²b³ é semelhante a 6x²b³ pois têm a mesma parte
literal (X²b³).
Os monômios 10c²b e –2cb² não são semelhantes pois as
partes literais ( c²b e cb²) não são idênticas ( os expoentes das
letras são diferentes).
REDUÇÃO DE TERMOS SEMELHANTES
Se em uma expressão algébrica houver dois ou mais termos
semelhantes, eles podem ser reduzidos a um só, bastando para
isso efetuar a operação indicada nos coeficientes (números),
mantendo a parte literal (letras).
Exemplos:
1) 5x² + 7x² - x² = 11x²
5 + 7 - 1 = 11
Para efetuar a operação com números positivos e negativos
é necessário lembrar que:
1) quando os números têm o mesmo sinal, soma e conserva
o sinal,
2) quando os números têm sinais diferentes, subtrai (tira) e
resulta o sinal do nº maior.
2) – 4 a b³ + 9 a b³ + 7 a - 10 a = 5 a b³ - 3a
- 4 + 9 = 5 7 – 10 = - 3
Obs.: quando os monômios não são semelhantes não há redução
de termos.
OBSERVE: quando a parte
literal (letras) não tem
coeficiente escrito vale 1.
Ex.: X² é igual a 1X²
7. www.ceesvo.com.br 7
Ex.: 9x – 3y ( não existe redução pois as partes literais não são
iguais).
OPERAÇÕES COM MONÔMIOS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MONÔMIOS: só podem ser
efetuadas se os monômios são semelhantes. Para determinar o
resultado você deve:
1º eliminar os parênteses aplicando a regra de sinais
conforme mostra os exemplos abaixo,
2º reduzir (juntar) os termos semelhantes observando os
sinais dos coeficientes (numeros).
1º Ex.: (3X²) + ( -5X²) adição de dois monômios
sinais diferentes resulta sinal negativo
3X² - 5X² = -2X² (tem 3 e deve 5 = -2)
2º Ex.: (-8 a²x³) - (- 4a² x³) subtração de monômios
sinais iguais resulta sinal positivo
-8 a²x³ + 4 a² x³ = -4a²x³ (deve 8 e tem 4 = -4 )
3º Ex.: ( 4ax²) - ( -9ab²) não são semelhantes portanto não pode
ser reduzido.Você deve apenas eliminar os parênteses: 4ax² + 9ab²
Copie e resolva em seu caderno:
2) Efetue as operações indicadas e reduza os termos semelhantes:
a) –5x²y + 7X²Y – 20X²Y + 3X²Y =
b) ( -12b) + ( - 8b) =
c) 9x – 3x + 2Y –5y
d) (7s ) - ( - 4s) =
3) Observe o jardim abaixo. A letra X representa a largura e x + 3
o comprimento. Represente o perímetro do jardim (soma dos
quatro lados).
8. www.ceesvo.com.br 8
REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA DE UMA SENTENÇA
MATEMÁTICA.
Você sabe que para representar um número
desconhecido, geralmente utiliza-se uma das letras do alfabeto
latino. Assim:
Um número X
Para representar o seu dobro, multiplica-se o número por 2,
Assim:
O dobro de um número 2 . X ou 2X
O triplo de um número representa-se por 3. X ou 3X e assim por
diante.
Agora, em seu caderno, represente usando os símbolos da
matemática as expressões escritas em português :
um número:........................
o dobro de um número:.............................
o triplo de número:....................................
o quádruplo de um número:......................
Você acertou se tiver escrito assim: X, 2X, 3X e 4X.
Lembre-se
o ponto •
representa
multiplicação.
9. www.ceesvo.com.br 9
Para representar a metade de um número, escreve-se
2
X
pois é o número dividido por 2. Quando se referir a
“partes”,significa divisão.
Represente simbolicamente, em seu caderno, as seguintes
expressões:
a metade de um número:................................
a terça parte de um número:...........................
a quarta parte de um número...........................
a quinta parte de um número:..........................
Você certamente escreveu desta forma:
X , X , X e X
2 3 4 5
Observe atentamente:
Um número somado com 12 é igual a 20.
Passando para a linguagem da matemática a representação
desta sentença é:
X + 12 = 20
um número somado com 12 é igual a 20
Como se representa: Um número somado com 7 é igual a 23?
Escreva a resposta em seu caderno.
Certamente você escreveu:
X + 7 = 23
Copie e resolva em seu caderno:
4) Passe para a linguagem matemática. Utilize uma das letras do
alfabeto para representar o número desconhecido e os símbolos
adequados:
a) Um número somado com 8 é igual a 12.
b) Um número adicionado a 8 é igual a 16.
c) De um número subtraindo 2 resulta 7.
d) A diferença entre um número e 9 é 12.
e) O dobro de um número é igual a 24.
f) O triplo de um número é igual a 33.
g) A quarta parte de um número é 7.
10. www.ceesvo.com.br 10
Confira suas respostas no final deste módulo. Se você acertou todos os
exercícios, prossiga os seus estudos.
Caso contrário refaça-os, analisando seus erros.
Observe atentamente:
A soma do triplo de um número com 15 é igual a 27.
A representação dessa sentença é:
3. X + 15 = 27
o triplo de somado com 15 é igual a 27
um número
Represente: A diferença entre o dobro de um número e 15 é
igual a 8. Escreva a resposta no seu caderno. Com certeza você
escreveu: 2. X – 15 = 8. Diferença é subtração.
Copie e resolva em seu caderno:
5) Em seu caderno, passe para a linguagem matemática as
afirmações a seguir:
a) A soma do dobro de um número com 18 é igual a 23.
b) A soma do triplo de um número com 28 é igual a 32.
c) A diferença entre a terça parte de um número e 8 é 14.
d) A diferença entre a quarta parte de um número e 14 é 70.
SUCESSOR ou CONSECUTIVO E ANTECESSOR
O sucessor de 9 é 10, porquê?
Porque 9 + 1 = 10
Para achar o sucessor você acrescenta uma unidade ao
número.
Para representar o sucessor de um número desconhecido
você usa o X portanto X + 1 representa o sucessor ou consecutivo,
dessa forma estamos acrescentando uma unidade ao número (X)
desconhecido.
Lembre-se que sucessor e consecutivo são sinônimos
(significa a mesma coisa).
E o antecessor? O antecessor de um número é aquele que
tem uma unidade a menos.
Exemplo: o antecessor de 9 é 8, porque 9 – 1 = 8
11. www.ceesvo.com.br 11
Como se representa
simbolicamente o
antecessor de um
número?
Isso mesmo! Se X é o número então, X – 1 representa o
antecessor de um número.
Em seu caderno, represente simbolicamente as expressões,
utilizando Y para representar um número desconhecido.
a) O sucessor de um número.................................
b) O antecessor de um número..............................
Com certeza você escreveu:
a) Y + 1
b) Y - 1
Veja como é representado na linguagem matemática a
sentença:
A soma de um número e seu antecessor é 81.
A representação dessa sentença é X + (X – 1) = 81.
Agora é com você:
Como se representa: a soma de um número com o seu sucessor é
57?
Se você escreveu X + (X + 1) = 57, acertou!!! Ou X + X+1 = 57
Obs.: Os números X e X + 1 também são chamados números
inteiros consecutivos.
Observe atentamente:
A soma de dois números inteiros consecutivos é 15.
A representação dessa sentença é: X + (X + 1) = 15. Pois o número
desconhecido é o X.
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Copie e resolva em seu caderno:
6) Em seu caderno, passe para a linguagem matemática. Utilize
uma letra do alfabeto latino para representar o número
desconhecido.
a) A soma de um número inteiros com o seu consecutivo é 29.
b) A soma de um número com o antecessor é 61.
c) A soma de um número com seu sucessor é 29.
EQUAÇÃO
Equação é uma igualdade ( = ) envolvendo uma ou mais
letras que estão representando números.
Obs.: Saiba que pode ser usada qualquer letra como incógnita
para representar um número. Esses números são chamados de raiz
ou solução da equação.
As equações são classificadas em grau de acordo com o
maior expoente da incógnita ( letra ).
EQUAÇÃO GRAU JUSTIFICATIVA
2X - 3 = 0 1º O exp. do X é 1
5X² + 6 = 36 2º O exp. do X é 2
-8a³ + 6a – 7= -9 3º
O maior exp. de
a é 3
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EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Para determinar o valor da incógnita (letra) de equações
simples você pode usar apenas o raciocínio.
Nas equações mais complexas (difíceis) é necessário usar
técnicas de resolução.
Veja o exemplo que o prof. Francisco deu:
O prof. Francisco propôs o seguinte desafio para sua aluna
Flávia: “Pensei em um número, multipliquei por seis, somei
dois e o resultado deu 32”. Adivinhe que nº é esse.
Flávia descobriu o nº fazendo as operações inversas. Veja suas
anotações:
3 2 30 6
• 6 +2 = 32 - 2 0 5 é o nº pensado
3 0
O prof. Francisco resolve esse problema usando uma letra (X)
para representar o nº pensado. As operações feitas com ele são
indicadas assim:
6 • X + 2 = 32
nº pensado somado resulta 32
e multipl. por 6 com 2
Na sentença obtida, descobre-se o valor de X
desfazendo as operações feitas com ele. Começamos
desfazendo a adição. Observe:
6 • X + 2 = 32
6 • X = 32 - 2
6 • X = 30
Agora, desfazemos a multiplicação:
X = 30
6
X = 5
Para desfazer cada operação efetuamos a “conta” inversa.
Adição ( soma): operação inversa é a subtração (menos).
Multiplicação (vezes) operação inversa é a divisão.
Isso que você acabou de ler nada mais é do que a resolução
de uma equação do 1º Grau.
14. www.ceesvo.com.br 14
Inverte a operação, troca o sinal
Técnicas para Resolução das Equações
Resolver uma equação é achar o valor da variável (letra), de
modo a tornar a igualdade verdadeira.
1º Ex.: X + 8 = 13
Você pode resolver apenas raciocinando: “ Qual é o nº que
somado com 8 resulta 13?
Resposta: é o nº 5 portanto X = 5
No 2º exemplo torna-se mais difícil saber o valor de X na
equação. Você terá que resolver usando as técnicas abaixo
explicadas.
2º Ex.: 2 x + 7 = 13
1º membro 2º membro
- Isolar ou separar , no 1º membro, os termos que possuem
“x” e, no 2º membro, os termos que não têm “x”,
- Inverter as operações trocando de sinais os termos que
mudam de um membro para outro. Você pode usar o
esquema abaixo para representar essa técnica.
LETRA LETRA NÚMERO NÚMERO
3º Exemplo
2x + 7 =13
2x = 13 – 7
2x = 6 lembre-se que o 2 está multiplicando a variável X
x = 6 portanto passa dividindo
2
x = 3
Inverte o sinal ou a operação
Inverte o sinal ou a operação
V = 3
Como não podemos fazer
“conta” dos termos que tem
X com números devemos:
15. www.ceesvo.com.br 15
4º ) 8x + 3 = 15 + 5x
8x – 5x = 15 – 3
3x = 12
3x = 12
x = 12 x = 4 V = 4
3
5º ) 3•( x + 2 ) + 3 = 2 x
Primeiro elimine os parênteses, aplicando a propriedade distributiva
da multiplicação: (multiplica o nº de fora com os termos que estão
dentro do parênteses).
3x + 6 + 3 = 2x
3x – 2x = – 6 – 3
x = -9
X = -9 V= -9
6º) Exemplo:
4x + 2 = 5x - 3
3 1 2 2
Reduza as frações ao mesmo denominador calculando o
m.m.c de 3,2 , divida pelo debaixo e multiplique
pelo de cima.
8x + 12 = 15x - 9
6 6 6 6
8x + 12 = 15x - 9 (separando X com X)
8x - 15x = - 9 - 12
- 7x = - 21 . ( -1)
7x = 21
x = 21
7
X = 3
Lembre-se: o
denominador do 2 é 1
Cancele os
denominadores (nº 6) e
copie os numeradores
e resolva a equação.
V = 3
3 , 2 2
3 , 1 3 (multiplica)
1
6 m.m.c
16. www.ceesvo.com.br 16
7º) 5x – 10 = x – 2
5x – x = -2 + 10
4x = 8
Copie e resolva em seu caderno:
7) Resolva em seu caderno as equações abaixo:
a) x + 3 = 4
b) 2x + 5 = 10
c) 2x + 6 = - 3x - 4
d) 4x + 9 = 2x – 8
e) 2 (X + 3) = 10
f) X + 1 = 3
3 2 2
i) X + 2X = 3x - 4
5 3 3
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Para resolver um problema, você deve:
1º) Ler atentamente o problema;
2º) Identificar os dados desconhecidos do problema que será
representado por uma letra;
3º) Identificar o dado conhecido do problema;
4º) Formar a equação, envolvendo os dados conhecidos e
desconhecidos; usando os símbolos da matemática;
5º) Resolver a equação (achar o valor da letra;)
6º) Escrever a resposta do problema.
X = 8 X = 2
4
Lembre-se: X = 1 X
17. www.ceesvo.com.br 17
Agora, leia atentamente os problemas resolvidos abaixo para
que você aprenda;
Exemplo 1:
A soma da minha idade com 6 é igual a 28. Qual é a minha
idade?
Dado desconhecido é “minha idade” representada pelo X
Equação correspondente: X + 6 = 28
Resolução da equação:
X + 6 = 28
X = 28 – 6
X = 22
Resposta do problema:
A minha idade é 22 anos.
Exemplo 2:
O dobro de um número somado com 13 é igual a 23. Qual
é esse número?
Dado desconhecido é “o número”, representado pelo X, então a
equação correspondente ao problema é:
2X + 13 = 23
Resolução da equação:
2 . X + 13 = 23
2 . X = 23 – 13
2 . X = 10
X =
2
10
X = 5
Copie e resolva em seu caderno:
8) Copie no seu caderno os problemas abaixo, passando para a
linguagem da matemática e resolva a equação :
a) Qual é o número que, somado com 7, é igual a 15?
b) De um número subtraímos 9 e encontramos 4. Determine o
nº.
c) O dobro de um número somado com 20 é igual a 50. Calcule
esse número e ache o seu triplo.
d) O triplo de um número menos dez é igual ao dobro desse
número menos quatro. Qual é esse número?
18. www.ceesvo.com.br 18
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM
DUAS VARIÁVEIS
Você já sabe encontrar o valor de uma variável na equação mas,
se a equação fosse formada por duas variáveis ( letras), como você
resolveria?
Ex: X + Y = 15 Você percebeu que não existe
apenas uma única solução?
Veja: Se X = 7 7 + 8 = 15
Y = 8
Se X = 2 2 + 13 = 15
Y = 13
Se X = - 3 -3 + 18 = 15
Y = 18
Para determinar um único valor é necessário que se tenha
duas equações, que juntas, formam um sistema de equações com
duas variáveis.
Geralmente usamos sistemas para resolver problemas com
duas incógnitas, e seguimos as seguintes etapas:
1º ) Ler o problema com muita atenção e montar o sistema com
duas variáveis , geralmente X e Y.
2º ) Resolver o sistema e depois interpretar os resultados obtendo a
resposta para a pergunta feita.
Observe atentamente o exemplo:
Ex 1:
A soma de dois números é 15 e a diferença entre eles é 3. Quais
são esse números?
Representando os números procurados por X e Y, temos:
X + Y = 15 ( a soma de dois números)
X – Y = 3 ( a diferença de dois números)
Lembre-se: para determinar os valores das variáveis é
necessário que o número de variáveis seja igual ao número de
equações do sistema.
19. www.ceesvo.com.br 19
O sistema pode ser resolvido pelo método da adição algébrica
em dois passos:
1º passo - cancelando uma das letras ( variáveis )
X + Y = 15 (1ª equação)
X – Y = 3 (2ª equação)
2X = 18 Da equação resultante, você determina o valor
de uma incógnita (no nosso caso é X ).
2X = 18
X = 18
2
2º Passo: substituir o valor da letra encontrando na 1ª ou 2ª
equação.
X + Y = 15 (1ª equação)
9 + Y = 15
Y = 15 – 9
2º Exemplo: Determine os valores de X e Y do sistema:
X + Y = 8
2X – Y = 7
3X + 0 Y = 15
3X = 15
X = 15
3
X = 5
Logo, os números
procurados são 9 e 6 e o
conjunto verdade é
representado por :
V = {(9 , 6)}
X , Y
X = 9
Y = 6
Adicionam-se as duas equações
Lembre-se !! para cancelar uma letra é necessário que elas tenham o
mesmo número ( coeficiente ) com sinais diferentes.
0Y não existe
20. www.ceesvo.com.br 20
Substituindo X= 5 na primeira equação, você obtém o valor de
Y.
X + Y = 8
5 + Y = 8
Y = 8 – 5
Y = 3
O conjunto verdade é representado assim:
V = ( 5 , 3)
( X , Y )
3º) Resolva em seu caderno o seguinte sistema de equações:
3X + 2Y = 18
-3X + 4Y = 0
Você acertou se tiver feito assim:
3X + 2Y = 18
-3X + 4Y = 0
0X + 6Y = 18
6Y = 18
Y = 18
6
Substituindo o valor 3 do Y temos:
3X + 2Y= 18 ( 1ª equação)
3X + 2•3 = 18
3X + 6 = 18
3X = 18 - 6
X = 12
3
V = ( 4,3 )
Y = 3
Como 2Y é 2 • Y e você sabe que Y =
3 observe a substituição no exercício.
X = 4
21. www.ceesvo.com.br 21
Copie e resolva em seu caderno:
9) A diferença de dois números é 4 e a soma desses números é
26. Quais são esses números?
10) A soma de dois números inteiros é 34 e a diferença é 4.Quais
são esses números?
11) X + 3Y = 17
-X – 2Y = - 12
INICIAÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA
Você acha possível que um mesmo problema possa ser
resolvido tanto algebricamente como geometricamente? Você
aprendeu a solução algébrica do sistema de equações do 1º grau
fazendo os cálculos com números e as variáveis. Como será a
solução geométrica do mesmo sistema? Usando o plano cartesiano,
ou seja, o gráfico.
Observe: Você aprendeu o que é e para que serve o plano
cartesiano no módulo 6 , vamos relembrar:
Usando duas retas numeradas ( ou eixos ), que se cruzam
num ponto ( a origem ) e considerando :
1º Os eixos perpendiculares entre si ( formando ângulos de 90º );
2º A mesma unidade de medida nos eixos.
-6 –5 –4 –3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 6
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
. P ( 3,2)
eixo X
eixo Y
22. www.ceesvo.com.br 22
O eixo horizontal é chamado eixo X.
O eixo vertical é chamado eixo Y.
Para localizar um ponto P ( na figura ), traçam-se por esse
ponto paralelas aos eixos X e Y, respectivamente.
Portanto, ao ponto P da figura corresponde um par ordenado
de números reais ( 3,2), dessa maneira fica determinado o ponto,
como intersecção das retas paralelas aos eixos X e Y.
P ( 3,2) : O primeiro número do par ordenado é chamado abscissa
(eixo X) e o segundo nº é a ordenada (eixo Y). Ambos são
denominados coordenadas cartesianas.
Voltando ao exemplo da página 2 :
X + Y = 15
X – Y = 3 para encontrar a solução geométrica faremos assim:
X + Y = 15 ( 1ª equação) X – Y = 3 ( 2ª equação )
Damos valores para X e Y de modo a tornarem verdadeiras as
equações. Existem várias opções. Precisamos no mínimo de 2
valores para cada equação.
Observe:
X Y X Y
7 8 P (7,8) 3 0 P (3,0)
8 7 P (8,7) 4 1 P (4,1)
Você marca os pontos encontrados da 1ª tabela no plano
cartesiano e traça a respectiva reta. Em seguida marca os
pontos da 2ª tabela e traça a segunda reta.
O ponto ( X , Y ) onde elas se cruzam é a resposta do sistema.
Observe o gráfico na página seguinte:
Pense em dois nºs que
somando dá 15 para fazer a
1ª tabela
Pense em dois nºs que
subtraindo dá 3para fazer
a 2ª tabela.
23. www.ceesvo.com.br 23
Pontos da 1ª tabela
O resultado será o ponto de intersecção da reta (onde se
cruzam). Os valores X = 9 e Y = 6 são os únicos que tornam as
duas equações verdadeiras:
X + Y = 15 X – Y = 3
9 + 6 = 15 9 – 6 = 3
Copie e resolva em seu caderno:
12) Resolva em seu caderno observando a explicação anterior:
X + Y = 6
X – Y = 2
Agora é só marcar os pontos no plano cartesiano (gráfico) e
ver o encontro das duas retas. Essa é a solução do sistema.
Como queremos a solução geométrica
precisamos dos valores de X e Y nas duas
equações. Complete as tabelas.
X + Y = 6 X – Y = 2
X Y X Y
X Y
Pontos da
2ª tabela
eixo Y
-6 –5 –4 –3 –2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
.
eixo X
.
. .
P (9 , 6 )
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GABARITO
1) a) 5
b) 41
c) 1
d) 2
e) 6
2) a) –15x²y
b) –20b
c) 6x – 3y
b) 11s
3) P = x + x + x+3+x+3 ou P = 4x+6
4-) a) X + 8 = 12
b) X + 8 = 16
c) X – 2 = 7
d) X – 9 = 12
e) 2 X = 24
f ) 3 X = 33
g) X = 7
4
5-) a) 2X + 18 = 23
b) 3X + 28 = 32
c) X – 8 = 14
3
d) X – 14 = 70
4
6-) a) X + (X + 1) = 29
b) X + (X – 1) = 61
c) X + (X + 1) = 29
7-) a) X = 1
b) X = 5 e) X = 2
2
c) X = -2 f) X = 3
d) X = - 17
2 g) X = 30
25. www.ceesvo.com.br 25
8-) a) X = 8
b) X = 13
c) X = 15
d) X = 6
9-) (15,11 )
10-) ( 19,15)
11-) ( 2, 5 )
12-)
Logo, a solução é X = 4 e Y = 2
P ( 4 , 2 )
1 2 3 4 5
4
3
2
1
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MÓDULO 12
OBJETIVOS:
Proporcionar ao aluno:
- A vivência das idéias abordadas, envolvendo chances e
possibilidades que levem a observação, organização e raciocínio
lógico dos acontecimentos ao seu redor e no mundo;
- A possibilidade de interpretar gráficos de barras, colunas e
setores circulares, pois as informações trazidas pelos meios de
comunicação ( rádio , jornais, televisão revistas, etc.)
constantemente exigem estes conhecimentos, assim o aluno
poderá fazer uma leitura do mundo a contento;
- A oportunidade de analisar criticamente uma informação
apresentada estatisticamente.
Roteiro de estudo:
Resolva em seu caderno os exercícios e faça a correção pelo
gabarito.
27. www.ceesvo.com.br 27
CERCADO DE ESTATÍSTICAS POR TODOS OS LADOS
Você pode não saber definir estatística, mas ao ouvir essa
palavra logo pensa em números, tabelas e gráficos, não é?
A estatística é um ramo da Matemática especializado em
coletar, organizar, representar e interpretar dados, com o objetivo
de estudar fatos, fenômenos, comportamentos.
Nos mais variados campos ela está presente para ajudar a
solucionar problemas e determinar rumos de ação.
Veja o exemplo:
- Se o estudo estatístico da população de um
determinado país revela taxas de analfabetismo
crescentes, é conveniente que se adotem políticas
educacionais para corrigir esse problema.
- A indústria utiliza estatística para avaliar a aceitação de
seus produtos no mercado e a partir daí troca
estratégias de produção e venda desses produtos.
- A eficácia de um remédio, tratamento de uma doença
ou os efeitos colaterais que ele pode provocar são
determinados estatisticamente, etc.
E você?
A estatística está presente em seu cotidiano: nos jornais,
revistas, TV, na entrevista que você responde sobre seu sabonete
preferido, no folheto com perguntas sobre o serviço de lanchonete
que você freqüenta, nas profissões que você pode vir a exercer.
Que tal aprender um pouco sobre ela?
Esse é o objetivo deste módulo: ensinar noções básicas de
estatística para quem já vive cercado por ela.
Existem empresas especializadas em pesquisas estatísticas
(IBOPE, DATA FOLHA, VOX POPULI, etc.).
POPULAÇÃO E AMOSTRA
Observe este exemplo:
Em épocas de eleições, é comum vermos pesquisas de
intenção de voto divulgadas pela mídia.
Será que eles entrevistam todos os eleitores para obter os
dados da pesquisa? Não, isso seria impossível.
Aí entra o conceito de amostra e população.
28. www.ceesvo.com.br 28
População: todos os eleitores formam a população do
fenômeno que está sendo estudado.
Amostra: é a parcela da população que foi entrevistada e é
com base nos dados colhidos nessa amostra que a pesquisa é feita.
A escolha da amostra é parte importante na estatística..
Exemplo:
O consumo de tomate na cidade de Curitiba.
População: habitantes da cidade de Curitiba
Amostra: 20 pessoas que moram no mesmo prédio de uma
rua de Curitiba.
Pesquisa = consumo de tomate em Curitiba.
Pergunta: Você consome tomate?
Das 20 pessoas entrevistadas que corresponde a 100% da
amostra você tem:
Sim Não
4 16 utilizando a regra de três simples você tem:
20 100
4 X 20 . X = 4 . 100
X = 400
20
X = 20%
Conclusão: Somente 20% dos habitantes de Curitiba
consomem tomate.
A pesquisa não é válida! A população de Curitiba não está
sendo adequadamente representada, pois para uma cidade desse
porte uma amostra de 20 pessoas não é significativa. Os moradores
do prédio formam uma amostra muito pequena e particular. Uma
amostra tem que ter uma quantidade suficientemente grande para
representar a população da pesquisa em questão.
TABELA
Todos os dados coletados são organizados de tal forma que
se reduzem em uma tabela. Veja o exemplo abaixo:
Algumas pessoas tem dois irmãos ou irmãs, outras têm 3; há aquelas que
não têm irmãos e também as que, nas famílias numerosas, têm 6 ou 7 irmãos.
Na classe de Ana Lúcia, essa pergunta foi respondida com
uma pesquisa estatística .
29. www.ceesvo.com.br 29
Primeiro foi necessário coletar dados.
A mesma pergunta foi sendo respondida por todos os alunos e
anotado o resultado na lousa:
nome Nº
de
irmãos
nome Nº
de
irmã
os
nome Nº
de
irmã
os
nome Nº
de
irmã
os
Ana L. 2 Edna 1 Henrique 1 Paula 2
Ana M 0 Eduardo 2 Ivo 2 Pedro 2
Antonio 1 Fabiana 0 Júlia 1 Renata 3
Bernardo 1 Fernando 1 Luciana 0 Ricardo 0
Célia 0 Gabriel 2 Maria Ap 3 Silvia 1
Daniela 3 Getúlio 0 Neide 1 Sônia 1
Danilo 0 Gilberto 1 Olavo 1 Zoráide 5
E para organizar os dados coletados , foi feita essa tabela.
Ela mostra a quantidade de casos de 0 irmão , 1 irmão, 2 irmãos,
etc.
Nº DE IRMÃOS FREQÜÊNCIA
0 2
1 11
2 6
3 3
4 0
5 1
Os dados da tabela podem ser representados em gráficos.
É a quantidade de
pessoas em cada caso.
30. www.ceesvo.com.br 30
GRÁFICOS: A COMUNICAÇÃO DA ATUALIDADE
Atualmente, quando lemos um jornal, uma revista ou
assistimos a um noticiário de televisão, é muito comum
encontrarmos informações sobre diversas situações representadas
por meio de gráficos.
Neste módulo vamos analisar alguns tipos de gráficos e
entender melhor as informações nele contida.
São eles:
-gráficos de segmento;
-gráficos de setores;
-gráficos de barras ou colunas.
1) Os gráficos de linhas ou segmentos: servem para
mostrar a progressão de um fenômeno num certo período de
tempo.
Veja o exemplo na outra página:
31. www.ceesvo.com.br 31
Analisando o gráfico percebemos que o candidato B
sempre se manteve em alta (linha crescente) o que evidencia a
probabilidade de ser o vencedor.
2-) Gráficos de setores: utilizam-se círculos fatiados
muito semelhante a uma pizza cortada em vários pedaços e servem
para situações em que se precisa ter uma visão comparativa entre
toda as suas partes e o inteiro.
Nesse gráfico a unidade mais usada é a porcentagem.
Sabendo que o ângulo da circunferência é 360º fazemos a
correspondência com o total da porcentagem (100%) para calcular
o ângulo correspondente a cada porcentagem.
Observe o exemplo do gráfico seguinte e como determinar o
ângulo relativo ao valor de cada porcentagem.
Para representar os 30% dos congressistas np círculo, escrevemos a
seguinte regra de três simples:
100% correspondem a 360º
30
100 =
X
360 multiplicando
30% correspondem a X 100 X = 30 360
100 X = 10800
X =
100
10800
X = 108%
32. www.ceesvo.com.br 32
3-) Gráfico de barras ou colunas: apresentam os
resultados em forma de barras horizontais ou verticais (colunas),
partindo do plano cartesiano formado por dois eixos: horizontal e
vertical.
33. www.ceesvo.com.br 33
PLANO CARTESIANO
Aplicando a idéia, podemos pensar em um plano dividido por
duas retas perpendiculares em quatros ângulos retos. Essas retas
recebem o nome de eixos e cada um dos quatro ângulos recebe o
nome de quadrante.
Convenciona-se numerar os quadrantes da seguinte maneira:
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
V a ria ç ã o d o D ó la r d e 1 9 9 4 -2 0 0 0
0
0 ,5
1
1 ,5
2
2 ,5
1 2 3 4 5 6 7
v a r ia ç ã o d e 1 9 9 4 -2 0 0
Real
94 95 96 97 98 99
2000
R
E
A
L
34. www.ceesvo.com.br 34
MORTES POR DOENÇAS
PULMONARES
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
NAO~FUMANTES 5 CIGARROS/DIA 15 CIGARROS/DIA 25 CIGARROS/DIA
MORTESEM100MILPESSOAS
Considerando que essas retas sejam a representação das
retas reais e se interceptam no ponto referente ao zero, obtemos
um sistema de referência chamado de sistema cartesiano. Os eixos
desse sistema são chamados eixos cartesianos. Convenciona-se
que:
o eixo horizontal ( ) é chamado eixo das
abscissas ou eixo x .
o eixo vertical ( ) é chamado eixo das ordenadas ou
eixo y.
Esses dois eixos determinam o plano cartesiano onde serão
colocados os valores dos gráficos.
ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS
Para você analisar e interpretar um gráfico é necessário
observar alguns elementos que fazem parte dele tais como:
Título: identifica o assunto que está sendo apresentado.
Legenda: identifica quais os elementos que foram
pesquisados.
Títulos dos eixos: vertical e horizontal. Os eixos ( retas) são
divididos em partes iguais. Cada ponto representa uma unidade de
medida. É necessário observar de quanto em quanto foi dividida a
unidade de medida. Neste exemplo o eixo vertical foi dividido de 10
em 10.mil
35. www.ceesvo.com.br 35
OBSERVE O GRÁFICO ABAIXO E RESPONDA EM SEU
CADERNO:
Suponha a seguinte situação: 144 candidatos fazem uma prova
para um concurso em que as notas variam de 0 a 10, de meio
em meio ponto.
O resultado da avaliação é o que está expresso no gráfico que
segue:
Dizemos, por exemplo, que:
12 é a freqüência (quantidade) da nota 3.
8 é a freqüência da nota 6
o eixo Y representa a freqüência (quantidade de alunos
de cada nota)
Copie e resolva em seu caderno:
1) Observe o gráfico anterior e responda em seu caderno
a) Qual foi o assunto tratado nessa pesquisa?
b) Qual a graduação (de quanto em quanto foi dividida as
unidades de medida) do eixo vertical?
c) O que representa a coluna de quadradinhos?
d) Qual foi o total de amostra pesquisada? ( total de pessoas)
e) Quantos não fumantes morrem de doenças pulmonares?
f) As 60 mil pessoas que morreram fumavam quantos
cigarros / dia?
g) Para você, qual a relação que existe entre a quantidade de
cigarros/dia fumados e a quantidade de mortes por doença
pulmonar?
h) Dê a sua opinião sobre a relação do uso do cigarro e
mortes por doenças pulmonares.
36. www.ceesvo.com.br 36
2) Copie e complete em seu caderno a tabela abaixo de acordo com os dados no
gráfico da página anterior:
NO
TA
S
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10
FRE
Q.
0 11 5
Observe o gráfico acima e complete a tabela que está na página
seguinte:
37. www.ceesvo.com.br 37
3) Copie e responda em seu caderno completando os espaços em
branco.
A legenda refere-se ao intervalo de anos de nascimento dos
alunos do CEESVO. Analise o gráfico e complete as afirmações
abaixo:
a) A faixa etária correspondente a 25% dos alunos é de
___________.
b) Os alunos mais novos correspondem a porcentagem de
________.
c) Se os mais velhos correspondem a 14% dos alunos , a idade
mínima em relação a 2003 é de __________.
d) Os nascidos entre 1975 a 1985 correspondem a um total de
_____% dos alunos.
e) Um aluno que em 2003 tem 30 anos está dentro da faixa etária que
corresponde a ______%
FAIXA ETÁRIA DOS ALUNOS DO CEESVO - 2000
10%
12%
21%
18%
25%
14%
1980 - 1985
1980 - 1976
1975 - 1971
1970 - 1966
1965 - 1960
Antes - 1960
38. www.ceesvo.com.br 38
MÉDIA ARITMÉTICA
A média aritmética de um conjunto numérico é a soma
de todos os números dividido pela sua quantidade . Veja o
exemplo:
Exemplo: Numa competição de salto em altura um atleta
obteve os seguintes resultados em 6 saltos:
1º salto = 2,22 m
2º salto = 2,36 m
3º salto = 2,30 m
4º salto = 2,28 m
5º salto = 2,32 m
6º salto = 2,38 m
A média aritmética das alturas que esse atleta saltou é dada
pela soma de todas as alturas atingidas divida pela quantidade de
saltos.:
M = 2,22 +2,36 +2,30 + 2,28 +2,32 + 2,38 = 13,86
6 6
M = 2,31 m
Copie e resolva em seu caderno:
4) Qual a média de um aluno que obteve as seguintes notas:
1º bimestre nota 9
2º bimestre nota 8
3º bimestre nota 10
4º bimestre nota 9
E stamos felizes. Você atingiu seus objetivos terminando
uma etapa de seus estudos.N ão pare, continue em
frente..
Q ueremos encontrá-lo (a) no E nsino M édio.
39. www.ceesvo.com.br 39
Parabéns!!!
Q ue o seu futuro seja brilhante. Você merece!
Gabarito:
1)
a) Mortes por doenças pulmonares
b) De 10000 em 10000 pessoas
c) Os que fumam 15 cigarros / dia
d) 185000 pessoas
e) 5000 pessoas
f) 15 cigarros / dia
g) Pessoal
h) Pessoal
2) -
NOTAS 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10
FREQ. 0 1 2 4 6 11 12 16 18 14 12 10 8 7 6 6 5 4 2 0 0
3)
a)1965 – 1960
b) 12%
c) 44 anos
d) 43%
e) 21%
4) Obteve média 9
40. www.ceesvo.com.br 40
Bibliografia:
Desenhos ilustrativos tirados dos livros:
BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano,
José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava
Série
São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995.
IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série
São Paulo. Editora Scipione. 1999.
SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E
HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione
1997.
ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007:
- Elisa Rocha Pinto de Castro
- Francisco Carlos Vieira dos Santos
- Josué Elias Latance
- Rosy Ana Vectirans
COLABORAÇÃO:
- Adriana Moreira Molinar
- Esmeralda Cristina T. Ramon
- Rosimeire Maschetto Nieri
- Sara M. Santos
DIREÇÃO:
- Elisabete Marinoni Gomes
- Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper
COORDENAÇÃO:
- Neiva Aparecida Ferraz Nunes
APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim
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