UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

UM ESTUDO SISTEMATIZADO SOBRE A RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕ...
Sandro de Macedo Gonçalves Ferreira

UM ESTUDO SISTEMATIZADO SOBRE A RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES
POLIMOMIAIS

Trabalho de Gradu...
Gonçalves F, Sandro de Macedo.

Um estudo sistematizado sobre a resolução das equações polinomiais. / Sandro de Macedo
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SANDRO DE MACEDO GONÇALVES FERREIRA

UM ESTUDO SISTEMATIZADO SOBRE A RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES
POLINOMIAIS

Trabalho de Concl...
Dedico este texto ao meu orientador pelo incentivo pelo
tema, a Deus
pela força e magnitude oferecidas, à toda minha
famíl...
―A matemática é o Alfabeto com o qual Deus escreveu o
Universo.‖
Galileu Galilei
MACEDO GONÇALVES FERREIRA, S. Um estudo sistematizado sobre a resolução das
equações polinomiais. 53 f. Monografia (Trabal...
ABSTRACT

This paper will discuss the solution and methods of resolving polynomial equations of degree 1,
2, 3 and 4 and a...
SUMÁRIO

1.INTRODUÇÃO .......................................................................................................
1

1.

INTRODUÇÃO
A solução das equações polinomiais sempre foi e será um problema a ser

resolvido por diversos matemátic...
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notação para escrevê-las. Ainda na babilônia, existem registros da solução de equações
polinomiais de grau 3 do tipo x³ ...
3
Desta forma, o objetivo deste trabalho é estudar e discutir os métodos
resolutivos das equações polinomiais de graus 1, ...
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Assim, temos:

Multiplicando esta igualdade pelo fator

Isolando o termo

, obtemos:

obtemos a igualdade:

Colocando q ...
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Este resultado sugere que se pode estimar as possíveis raízes de um polinômio
p(x) conhecendo o primeiro coeficiente (

...
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tal que

(Teorema do resto). Caso r(x) seja

um polinômio nulo, então d(x) é divisível por p(x).
Teorema 2 (D’Alembert):...
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Os coeficientes da segunda linha são obtidos da seguinte forma:

Como r é uma raiz de p(x), de acordo com o teorema de D...
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Então, seus valores serão:

Os quais são obtidos pelo dispositivo prático, mostrado abaixo:

1

O que comprova o fato de...
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Estes valores serão os coeficientes de um polinômio do segundo grau: q(x) = 2x²
+2x-40. Tal equação pode ser resolvida p...
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Dividindo os dois lados desta equação por a , obtemos:

Eliminando os parênteses desta equação e aplicando a igualdade ...
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Dentre estas, as únicas que satisfazem o problema é

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Devemos usar a seguinte identidade:

Substituindo as relações de Girard nesta equação, obtemos:

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Substituindo os valores nesta equação, obtemos:

Para encontrar os demais coeficientes, devemos aplicar as outras relaç...
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Portanto, os coeficientes da equação procurada, valem:

Assim, a equação é:
Exemplo 02:
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A restrição do problema nos diz que o produto de duas raízes é 2. Supondo que
substituimos esta expressão nas igualdade...
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Pela equação

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acima, montamos o seguinte sistema:

Temos que:

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Vale ressaltar que a equação do primeiro grau é obtida quando igualamos um polinômio
do primeiro grau a zero. Obtemos e...
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Temos que o trinômio do primeiro membro é quadrado perfeito, então:

Extraindo a raiz quadrada nos dois membros da igua...
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Exemplo 2
A soma de um número inteiro com o inverso de seu consecutivo vale -3. Quanto
valem estes números?
Solução:
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2.6. Equação polinomial do terceiro grau
Mostraremos a seguir um modelo matemático que nos oferece uma maneira de
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estudadas nas equações quadráticas, pois envolvem funções trigonométricas. Isso
porque tais funções aparecem nas demons...
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Agrupando os termos semelhantes da expressão, temos:

Somando os termos independentes e colocando y em evidência, temo...
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Como

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Passando todos os termos para o primeiro membro, obtemos:

Comparando as igualdades (I) e (II), obtemos...
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Como y = u+v, finalmente encontramos uma raiz para a equação na variável ―y‖:

De acordo com a substituição feita no i...
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O valor

é o discriminante da equação e, de acordo com seu valor podemos

estudar a natureza das raízes da equação cúb...
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Caso

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Demonstração:
Supondo

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Extraindo a raiz quadrada dos dois lados da igualdade, ob...
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Assim,
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Como n = 3, temos que calcular três raízes cúbicas do número complexo ―z‖, onde a
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Figura 02: Representação do afixo de z, caso p < 0

Calculando o valor do argumento , temos:

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Neste caso,

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Então, as figuras que seguem mostram os...
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Figura 4: Representação do afixo de z, caso p > 0
Em ambos os casos, usaremos:

Assim, na fórmula de Moivre, para K=0 ...
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Aplicando a formula de Cardano, obtemos as raízes reais:

Como foram obtidas três raízes cúbicas para cada caso, ...
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Observe que esta raiz também não é real, pois a parte imaginária é diferente
de zero. Logo, não é a raiz procurada.

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Então esta raiz será real:

Analogamente, mostra-se que a terceira raiz real será dada por:

Utilizando as fórmulas de ...
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Como o

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usando a fórmula de Cardano-Tartaglia:

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Resolver a seguinte equação cúbica
Temos que:

Determinamos os valores de p e :

Calculamos o valor do discriminante da...
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Portanto, o conjunto solução será S = {-1,2,4}
Exemplo 3
Sabe-se da trigonometria que

. Este é o chamado

cosseno do ...
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Calculamos o valor do discriminante da equação:

Como o

esta equação admite três raízes reais, que podem ser encontrad...
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pois como 20° e 40° pertencem ao primeiro quadrante, seus cossenos são positivos, logo
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Comparando as equações IV e II, obtemos:

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Isolando a expressão

Que finalmente resulta em:

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Com as equações V,VI e VII, montamos o seguinte sistema:

Elevando a equação (VI) ao quadrado, obtemos o sistema:

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, temos, portanto, que as quatro raízes da equação quártica

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Obtemos:

Fazendo a troca de variáveis, temos:

Este sistema é equivalente a resolver a seguinte cúbica:

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Como a equação apresenta apenas uma raiz real, devemos encontrar as demais raízes
pelo método de Brioft-Ruffini.

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temos que as quatro raízes da quártica reduzida, serão dadas por:

, rearranjamos as fórmulas acima para:...
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Observe que para a determinação das raízes, é necessário extrair a raiz quadrada de um
número complexo. Calculemos ess...
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, os valores de ―y‖ serão iguais a:

Como
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chamado Èvarist Galois (1811-1832). Conforme diz ...
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concluindo que todas as equações de grau

são resolúveis por radicais. Apesar das

equações polinomiais de grau maior q...
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geral. Sem dúvida, antes da publicação deste notável resultado, muitos matemáticos
questionavam uma solução geral que p...
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Um estudo sistematizado sobre a resolução das equações polinomiais.

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA UM ESTUDO SISTEMATIZADO SOBRE A RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES POLIMOMIAIS Sandro de Macedo Gonçalves Ferreira Uberaba - Minas Gerais Setembro de 2013
  2. 2. Sandro de Macedo Gonçalves Ferreira UM ESTUDO SISTEMATIZADO SOBRE A RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES POLIMOMIAIS Trabalho de Graduação apresentado ao Curso de Matemática da Universidade Federal do Triângulo Mineiro como requisito parcial para aprovação na disciplina ―Trabalho de Conclusão de Curso II‖, sob a orientação do professor Doutor Osmar Aléssio. Uberaba - Minas Gerais UFTM Setembro de 2013
  3. 3. Gonçalves F, Sandro de Macedo. Um estudo sistematizado sobre a resolução das equações polinomiais. / Sandro de Macedo Gonçalves Ferreira – Uberaba, 2013. 53f. Trabalho de Conclusão de Curso (Curso de Licenciatura em Matemática) – Universidade Federal do Triângulo Mineiro, 2013. Orientador: Osmar Aléssio Banca: Mônica de Cássia Siqueira Martines e Rafael Peixoto 1. Equações polinomiais 4. Equação solúvel por radicais 2. Raízes de polinômio 3. Relações de Girard
  4. 4. SANDRO DE MACEDO GONÇALVES FERREIRA UM ESTUDO SISTEMATIZADO SOBRE A RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES POLINOMIAIS Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Banca Examinadora da Universidade Federal do Triângulo Mineiro, como requisito parcial para obtenção do título de licenciado em Matemática, sob a orientação do Professor Doutor Osmar Aléssio 11 de setembro de 2013. Banca Examinadora: __________________________________________ Prof. Dr. Osmar Aléssio- Orientador Universidade Federal do Triângulo Mineiro __________________________________________ Prof. Dr. Rafael Peixoto Universidade Federal do Triângulo Mineiro __________________________________________ Profa. Monica Siqueira Martines. Universidade Federal do Triângulo Mineiro
  5. 5. Dedico este texto ao meu orientador pelo incentivo pelo tema, a Deus pela força e magnitude oferecidas, à toda minha família pelo imenso apoio. Aos mestres, professores e amigos por todo o conhecimento e amizades oferecidas ao longo destes quatro anos.
  6. 6. ―A matemática é o Alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo.‖ Galileu Galilei
  7. 7. MACEDO GONÇALVES FERREIRA, S. Um estudo sistematizado sobre a resolução das equações polinomiais. 53 f. Monografia (Trabalho de Conclusão de Curso Licenciatura em Matemática) – Universidade Federal do Triângulo Mineiro, Uberaba/MG. RESUMO O presente trabalho falará sobre a solução e os métodos resolutivos das equações polinomiais de graus 1, 2, 3 e 4 e uma breve discussão sobre a equação do quinto grau e sua impossibilidade de resolução por meio de fórmulas resolutivas. Os primeiros estudos sobre a tentativa de solucionar equações polinomiais data da época dos babilônios, onde foram encontradas evidências escritas sobre diferentes e variados métodos de resolução das equações de graus 2 e 3, principalmente. Ao longo dos séculos e mais intensamente no século XVI, seus métodos foram aprimorados por grandes nomes da matemática e estudados com novas simbologias. Atualmente o que se faz é estudar estes métodos e sistematizá-los de maneira a facilitar suas resoluções quando nos deparamos com algum tipo delas. Assim, o objetivo principal deste trabalho é compreender estes modelos matemáticos e sistematizá-los aqui, a fim de esclarecer certas curiosidades sobre os métodos de resolução. Será abordado a resolução da equação linear (grau 1), quadráticas, cúbicas e quárticas, e uma breve discussão sobre as equações de grau superior, as quais não podem ser resolvidas por meio de fórmulas resolutivas. Por fim, conclui-se que a busca pela sistematização dos métodos resolutivos das equações polinomiais sempre continuará, na medida em que os ―cientistas da matemática‖ estudam novas estratégias que poderão ser empregadas na resolução destas polinomiais, tornando o seu manuseio mais simples e mais fácil de ser apreendido pelos estudantes ou futuros matemáticos. Palavras chave: Equações polinomiais; Raízes de um polinômio; Relações de Girard; Equação solúvel por radicais
  8. 8. ABSTRACT This paper will discuss the solution and methods of resolving polynomial equations of degree 1, 2, 3 and 4 and a brief discussion of the equation of the fifth degree and its impossibility of resolution by resolving formulas. The first studies about trying to solve polynomial equations dates back to the Babylonians, where evidence was found written on various different methods of solving equations of degree 2 and 3, mainly. Over the centuries and more intensely in the sixteenth century, his methods were enhanced by big names in mathematics and studied with new symbologies. Currently what we do is study these methods and systematize them in order to facilitate their resolutions when faced with some kind of them. Thus, the main objective of this work is to understand these mathematical models and systematize them here in order to clarify certain facts about the methods of resolution. Will address the resolution of the linear equation (grade 1), quadratic, cubic and quartic, and a brief discussion of the equations of higher degree, which can not be resolved through resolving formulas. Finally, it is concluded that the search for systematic methods of resolving polynomial equations will always remain, to the extent that "scientists of mathematics," studying new strategies that can be employed in the resolution of these polynomials, making handling easier and more easy to be grasped by students or future mathematicians. Keywords: Polynomial Equations; Roots of a polynomial; Relations Girard; equation soluble by radicals
  9. 9. SUMÁRIO 1.INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 1 2.EQUAÇÕES POLINOMIAIS ............................................................................................... 3 2.1. Teorema das raízes racionais ........................................................................................ 3 2.2. Dispositivo prático de Brioft – Ruffini ....................................................................... 5 2.3. Relações entre coeficientes e raízes ............................................................................ 9 2.3.1.Relações para as equações polinomiais de grau 2 .............................................. 9 2.3.2.Relações para as equações polinomiais de grau 3 ............................................ 11 2.3.3.Relações para as equações polinomiais de grau 4 ............................................ 12 2.4. Equação polinomial do primeiro grau ....................................................................... 17 2.5. Equação polinomial do segundo grau ....................................................................... 18 2.6. Equação polinomial do terceiro grau ........................................................................ 21 2.7. Método de resolução das equações quárticas ........................................................... 41 2.8. Equações polinomiais de grau superior a 4 .............................................................. 50 3.CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................. 52 4.REFERÊNCIAS .................................................................................................................... 53
  10. 10. 1 1. INTRODUÇÃO A solução das equações polinomiais sempre foi e será um problema a ser resolvido por diversos matemáticos do mundo. Os primeiros indícios que se ouve falar sobre a tentativa de solucionar equações polinomiais talvez remonte a 2000 a.C. onde, segundo Macêdo (2011), os registros de resolução das equações polinomiais foi dada pelos babilônios ao tentarem solucionar o seguinte problema matemático: ―Encontrar o lado de um quadrado se a área menos o lado da 14;30”. O valor 14;30 é uma notação sexagesimal, ou seja, de base 60, que era utilizada pelos babilônios. Este valor pode ser convertido para o sistema decimal (base 10) da seguinte forma: A resolução deste problema, na notação moderna, leva à seguinte equação polinomial x² - x = 870 a qual pode ser escrita na forma x² - px = q. Ao que tudo indica, os babilônios sabiam resolver esta equação, a qual era feita da seguinte maneira: ―Tome a metade de 1, que é 0;30, (0,5 na notação decimal) e multiplique 0;30 por 0;30, o que dá 0;15 (0,25); some isto a 14,30 (870), o que dá 14;30;15 (870,25). Isto é o quadrado de 29;30 (29,5). Agora some 0;30 (0,5) a 29;30 (29,5) e o resultado é 30, o lado do quadrado.” Nota-se que a maneira de solucionar este tipo de equação é feita na notação moderna pela fórmula: , que é a solução geral da quadrática x² - px = q. Conforme explica Boyer (2010), muitos dos problemas recaíam em sistemas não-lineares que envolviam soma e o produto de dois números, tratados na notação sexagesimal. No período babilônico, estas equações foram classificadas em três tipos: a) x² + px = q b) x² = px + q c) x² + q = px Muitas delas foram encontradas em textos antigos dos babilônios ao encontrar antigos papiros egípcios que continham as soluções destas, mas não utilizavam a nossa
  11. 11. 2 notação para escrevê-las. Ainda na babilônia, existem registros da solução de equações polinomiais de grau 3 do tipo x³ = a e as do tipo x³ + x² = a, onde ―a‖ é um número constante. Conforme explica Boyer (2010), ambas eram resolvidas com o auxílio de tabelas, as quais continham todas as combinações possíveis com números inteiros e positivos atribuídos ao polinômio x³ + x² e cujo valor numérico era comparado ao valor de ―a‖ . Com base nas informações anteriores, nota-se que as equações polinomiais são um problema bastante antigo e que persistiu durante os séculos vindouros. Assim o interesse deste trabalho é estudar os métodos resolutivos das equações polinomiais de graus 1, 2, 3 e 4 e fazer uma breve discussão sobre a impossibilidade de resolução das equações de quinto grau e superiores, sem entrar muito em detalhes, pois envolve conceitos que não vão ao encontro ao tema deste trabalho. Na época do ginásio escolar, fala-se sobre as soluções das equações de primeiro grau e das de segundo grau, sendo que geralmente os alunos as aprendem aplicando métodos mecanizados ensinados pelo próprio professor. Na equação de grau 1, por exemplo, o objetivo é determinar uma raiz para o binômio 4x-8 = 0, ou seja, a finalidade é encontrar um valor para x que torne a igualdade verdadeira. Por sua vez, também se estuda as equações quadráticas, onde o valor da raiz é obtido aplicando a seguinte fórmula resolutiva: Ao longo deste trabalho será mostrado que diferentemente da equação de 1º grau, que possui uma única raiz, a equação quadrática possui duas raízes, geralmente utilizando a notação x’ para a primeira raiz e x’’ para a segunda. Assim sendo, a primeira pergunta que se vem a mente dos mais curiosos é o questionamento da solubilidade das equações do terceiro grau, quarto grau e assim por diante. Nestas equações, os métodos de resolução tornam-se menos triviais. Isso porque, ao comparar os métodos de resoluções das equações do segundo grau com as de primeiro grau, nota-se grande diferença na dificuldade da obtenção do valor da incógnita. Além disso, a equação linear dispensa o uso de fórmulas para a sua resolução. Então, o que se pode esperar sobre a resolução de uma equação cúbica ou quártica? Sem dúvida, há uma grande dificuldade entre o método de uma e outra.
  12. 12. 3 Desta forma, o objetivo deste trabalho é estudar e discutir os métodos resolutivos das equações polinomiais de graus 1, 2, 3 e 4 e também será comentada de forma breve a impossibilidade de resolução das equações polinomiais de grau 5 ou supreiores por meio de uma fórmula resolutiva. Todo este produto (trabalho) trará ao leitor uma maneira organizada e sistematizada da álgebra utilizada, além de permitir a sedimentação dos conhecimentos já adquiridos pelo leitor durante sua trajetória acadêmico-escolar. O trabalho visa também a esclarecer certos ―porquês‖ quando se fala sobre a equação do terceiro grau e se há uma forma de solucioná-la, como ocorre nas equações quadráticas. 2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS Segundo a definição dada por Iezzi (2005), dado um polinômio, cuja forma geral é dada na forma , chama-se equação polinomial quando , ou seja: Denomina-se grau de um polinômio ao maior expoente da variável x. Assim, de uma maneira geral, o polinômio escrito na forma geral: , terá grau igual a n. Chama-se raiz do polinômio ao valor r atribuído à variável x, tal que . 2.1. Teorema das raízes racionais Dada uma equação polinomial de grau n escrita na forma , se existir uma raiz racional da forma inteiros e mdc(p,q)=1, então p divide e q divide , com p e q . Demosntração: Partindo da hipótese de que p(x) admite uma raiz racional, então podemos escrever:
  13. 13. 4 Assim, temos: Multiplicando esta igualdade pelo fator Isolando o termo , obtemos: obtemos a igualdade: Colocando q em evidência, obtemos: Por outro lado, isolando o termo Como p, q, : são inteiros, segue que os fatores: e são inteiros. Assim, tome e Daí, obtemos: Como são inteiros e mdc(p,q) =1, temos que p divide conforme queríamos demonstrar. e q divide ,
  14. 14. 5 Este resultado sugere que se pode estimar as possíveis raízes de um polinômio p(x) conhecendo o primeiro coeficiente ( ) e o último ( ), desde que este admita raízes racionais. O exemplo a seguir ilustra a aplicação deste teorema: Exemplo: Encontrar todas as raízes do seguinte polinômio , dado que uma de suas raízes seja racional. Solução: Temos que . Sendo , podemos usar o teorema das raízes racionais para poder estimar alguma possível raiz deste polinômio. Logo, os possíveis valores de p serão os divisores de -6 e os de q, os de 4. Então, temos as seguintes possibilidades: p= {-6,-3,-2,-1,1,2,3,6} q = {-4,-2,-1,1,2,4} As possíveis raízes são formadas combinando-se um valor de p com um de q, efetuando a divisão obtida. Daí, o conjunto das possíveis raízes será: Basta verificar dentre estas possibilidades quais são as raízes corretas: p(-2) =4. (-2)³+5.(-2)² -23(-2)-6 = 28 Como 28 é diferente de zero, -2 não é raiz de p(x). Verifiquemos outra: p(-1/4) = 4.(-1/4)³ + 5(-1/4)²-23(-1/4)-6 = 0 Como p(-1/4) = 0, temos que -1/4 é raiz de p(x). Testando as demais possibilidades, encontramos os valores das demais raízes, que serão iguais a 2 e -3. Portanto o conjunto solução da equação dada é S = {-3, -1/4, 2}. 2.2. Dispositivo prático de Brioft – Ruffini Conforme explica Iezzi (2005), dado um polinômio de grau n, existem polinômios , e
  15. 15. 6 tal que (Teorema do resto). Caso r(x) seja um polinômio nulo, então d(x) é divisível por p(x). Teorema 2 (D’Alembert): Seja dois polinômios p(x) e d(x) tal que o grau de d(x) seja menor do que o grau de p(x). Então o polinômio p(x) é divisível por d(x) = x-k se, e somente se, k for a raiz de p(x). Demonstração: Parte 1) O polinômio p(x) é divisível por d(x) = x – k, então k é raiz de p(x). De acordo com o teorema do resto, . Como por hipótese p(x) é divisível por d(x) , então r(x) = 0, assim p(x) = (x-k)q(x). Então: Logo, k é a raiz de p(x). Parte 2) Se k é a raiz de p(x), então p(x) é divisível por d(x). Como k é a raiz de p(x) por hipótese, então p(k) = 0. De acordo com o teorema do resto, resulta que: Temos que d(x) = x – k, logo é do primeiro grau. Assim, o resto da divisão necessariamente deve ser de grau zero, ou seja, uma constante. Mas como p(k) = 0, então necessariamente r(k) = 0, portanto p(x) é divisível por d(x). Seja p(x) um polinômio de grau n, e um polinômio de primeiro grau. O dispositivo de Brioft-Ruffini consiste em tomar todos os coeficientes de p(x) em uma única linha de uma tabela e a raiz de d(x), denotada por r, na linha de baixo, no lado esquerdo da tabela, conforme mostra a figura abaixo: ..... Raiz de d(x) (r) .....
  16. 16. 7 Os coeficientes da segunda linha são obtidos da seguinte forma: Como r é uma raiz de p(x), de acordo com o teorema de D’ Alembert, resto da divisão de p(x) por d(x) e, portanto r(x) = 0. Logo éo . Os valores dos coeficientes bn’s compõem o polinômio , cujo grau é inferior ao de p(x). Como é nulo, então a raiz de d(x) também será de p(x). Portanto, se tivermos um polinômio p(x) de grau n e k uma de suas raízes, podemos abaixar o grau deste polinômio para n-1. Observe o exemplo abaixo: Determinar todas as raízes do seguinte polinômio , sabendo que 1 e 3 são suas raízes. Solução: Como foi fornecido duas raízes de p(x), podemos aplicar o dispositivo de Brioft-Ruffini para abaixar o seu grau. Observe: 1 Os coeficientes da segunda linha são obtidos utilizando os dois passos seguintes: a) O primeiro coeficiente ( ) será o mesmo coeficiente do polinômio p(x); b) O segundo coeficiente será o anterior multiplicado pela raiz de d(x), somado com o segundo coeficiente de p(x), e assim por diante.
  17. 17. 8 Então, seus valores serão: Os quais são obtidos pelo dispositivo prático, mostrado abaixo: 1 O que comprova o fato de 1 ser uma das raízes de p(x). Os demais valores comporão os coeficientes de um polinômio q(x) de grau 3. Daí: As demais raízes procuradas serão as raízes de q(x), que podem ser obtidas aplicando o dispositivo novamente com a outra raiz fornecida (3): 3 Os novos coeficientes serão:
  18. 18. 9 Estes valores serão os coeficientes de um polinômio do segundo grau: q(x) = 2x² +2x-40. Tal equação pode ser resolvida pela fórmula resolutiva da equação do segundo grau (ver tópico 2.5). 2x²+2x-40 = 0 Como , a equação possui duas raízes reais e distintas. Aplicando a fórmula resolutiva, obtemos as raízes que faltam: Portanto, as raízes serão S = {-5, 1, 3, 4} Tal método pode ser eficaz quando se conhece o valor de uma ou mais raízes do polinômio p(x), dispensando resoluções mais trabalhosas para a localização das demais raízes. Entretanto, nem sempre se conhece o valor de suas raízes, mas existem maneiras de ao menos estimar estas raízes utilizando as Relações de Girard, as quais serão abordadas no tópico seguinte. 2.3. Relações entre coeficientes e raízes As relações entre coeficientes e raízes consistem em outra técnica que se pode utilizar nas equações polinomiais para encontrar as suas possíveis raízes. Tais fórmulas trazem uma relação entre os coeficientes do polinômio e suas raízes, tornando mais simples a análise destas. 2.3.1. Relações para as equações polinomiais de grau 2 Seja o polinômio quadrático p(x) = ax² + bx + c. De acordo com o teorema da decomposição enunciada por Iezzi (2005), podemos montar a seguinte identidade:
  19. 19. 10 Dividindo os dois lados desta equação por a , obtemos: Eliminando os parênteses desta equação e aplicando a igualdade de polinômios, encontramos: Com estas relações entre coeficientes e raízes, é possível ao menos estimar quais são as raízes da equação polinomial de origem. O método é útil quando se deseja encontrar as raízes inteiras de uma equação do 2º grau sem resolvê-la, ou seja, aplicando a fórmula resolutiva geral (ver tópico 2.5). Observe o exemplo abaixo: Encontrar as raízes inteiras da equação: . Solução: Podemos aplicar as relações de Girard para esta equação. Então, temos que: Procuramos, portanto, dois números tal que sua soma vale 5 e o produto vale 6. Temos então algumas possibilidades para o produto e para a soma, partindo dos divisores de 6: 1 . 6 = 6; 1+6 = 7 2 . 3 = 6; 2+3 = 5 3 . 2 = 6; 3+2 = 5 6 . 1 = 6; 6+1 = 7
  20. 20. 11 Dentre estas, as únicas que satisfazem o problema é e ou . Portanto, as raízes procuradas são inteiras e valem 2 e 3. Observe que se as raízes não são inteiras, a procura pelas raízes torna-se trabalhosa, então este método é recomendável apenas quando o polinômio admite raízes racionais inteiras. 2.3.2. Relações para as equações polinomiais de grau 3 Considere o polinômio cúbico . De acordo com Iezzi (2005), o teorema da decomposição afirma que: Dividindo os dois lados desta identidade por a, com a 0, obtemos: Eliminando os parênteses desta expressão, obtemos: Igualando-se os polinômios, encontramos as três relações procuradas: Exemplo: Calcular a soma dos quadrados das raízes da seguinte equação cúbica, sem resolver a equação: Pelas relações de Girard, temos que: (I) (II)
  21. 21. 12 (III) Devemos usar a seguinte identidade: Substituindo as relações de Girard nesta equação, obtemos: Portanto, a soma dos quadrados das raízes desta equação vale 62. 2.3.3. Relações para as equações polinomiais de grau 4 Considerando o polinômio de quarto grau , analogamente mostra-se as relações para equações quárticas, as quais são dadas da seguinte forma: Exemplo 01: Obtenha a equação do 4º grau sabendo-se que suas raízes valem -3, 2, 4 e o valor do primeiro coeficiente (a) vale 2 e do segundo (b) vale -2. Solução: Podemos aplicar as relações de Girard para a equação quártica. Temos que: . Como pela primeira relação: e , podemos encontrar o valor de
  22. 22. 13 Substituindo os valores nesta equação, obtemos: Para encontrar os demais coeficientes, devemos aplicar as outras relações de Girard: (1) (2) (3) Substituindo os valores em (1), obtemos: Pela relação (2), obtemos o valor de d: Da última relação, encontra-se o valor de e:
  23. 23. 14 Portanto, os coeficientes da equação procurada, valem: Assim, a equação é: Exemplo 02: (Iezzi, 2005) Resolva a equação , sabendo que o produto de duas raízes é 2. Solução: Denotando as raízes deste polinômio por a, b, c e d, e de acordo com as relações entre coeficientes e raízes para as polinomiais de grau 4, temos: Onde:
  24. 24. 15 A restrição do problema nos diz que o produto de duas raízes é 2. Supondo que substituimos esta expressão nas igualdades II, III e IV, obtemos: Simplificando e fatorando os termos, encontramos: De acordo com a igualdade (I), podemos escrever: Substituindo a igualdade anterior na (V), encontramos: Multiplicando esta igualdade por 25 para a eliminação das frações, obtemos: Isolando c+d , obtemos: ,
  25. 25. 16 Pela equação , que é equivalente a , e com a igualdade encontrada acima, montamos o seguinte sistema: Temos que: Substituindo na outra equação, obtemos: Multiplicando os dois membros por 5 e agrupando os termos, chegamos na seguinte equação quadrática: . Cuja solução pode ser obtida utilizando a fórmula resolutiva para as equações polinomiais de grau 2 (ver tópico 2.5). Assim temos: Podemos tomar e , pois o sistema nos garante a soma e o produto de dois números, que são as relações de Girard para as polinomiais de 2º grau. Então, podemos dizer que e . De acordo com a equação (I), temos: Como , encontramos: Também temos a restrição do problema, que nos diz que outro sistema de equações, nas variáveis a e b: . Então montamos
  26. 26. 17 Cuja solução recai novamente na seguinte equação quadrática: . Resolvendo esta equação polinomial de grau 2 (ver tópico 2.5), encontramos as seguintes raízes: Podemos tomar e , pois o sistema nos garante a soma e o produto de dois números, que são as relações de Girard para as polinomiais de 2º grau. Então, podemos dizer que e . Portanto, as raízes da equação procurada valem: A seguir, iremos abordar sobre a solução das equações polinomiais de grau 1, 2, 3 e 4. As equações de grau 1 são lineares e sua solução será mostrada em primeiro lugar. Conforme diz Garcia (2007), as polinomiais de grau superior a 1 e menor do que 5 apresentam métodos analíticos, ou algébricos que permitem determinar as raízes destas equações precisamente, dispensando a utilização dos métodos numéricos. Tais soluções dependem dos valores dos coeficientes do polinômio em questão e podem ser encontradas por meio das seis operações aritméticas: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. 2.4. Equação polinomial do primeiro grau Nos livros do Ensino Fundamental, aprendemos um método prático para a determinação das raízes da equação polinomial de primeiro grau, dada por .
  27. 27. 18 Vale ressaltar que a equação do primeiro grau é obtida quando igualamos um polinômio do primeiro grau a zero. Obtemos esta equação quando tomamos a função afim e fazemos . O valor de ―x‖ é a raiz da equação procurada. Dessa forma, temos que: De acordo com o teorema da decomposição, Iezzi (2005) afirma que este polinômio admite uma única raiz, dada pela fórmula em destaque acima. Então, este é um método analítico que permite calcular com exatidão a raiz de . 2.5. Equação polinomial do segundo grau A equação polinomial do segundo grau pode ser obtida através da igualdade do trinômio dado por a zero, ou seja, por Em outras palavras quando tomamos a função quadrática desejamos encontrar ―x‖ tal que e , dizemos que este valor é a raiz da equação ou o zero da função. Conforme explica Iezzi (2005) esta equação admite duas raízes reais, duas raízes complexas ou duas raízes iguais. Sejam x’ e x’’ as duas raízes da equação quadrática, então seus valores são dados pela seguinte fórmula: Seja a igualdade . Multiplicando os dois lados desta equação por 4a, obtemos: . Daí, passando o termo 4ac para o segundo membro, fica: . Somando aos dois lados da equação, temos:
  28. 28. 19 Temos que o trinômio do primeiro membro é quadrado perfeito, então: Extraindo a raiz quadrada nos dois membros da igualdade, encontramos: Isolando ―x‖ na igualdade, finalmente concluímos que: Que é a fórmula procurada. O radicando é chamado de discriminante da equação. Se este valor for positivo, a equação admite duas raízes reais. Se for negativo, admite duas raízes complexas e se for igual a zero, possui uma raiz dupla ou de multiplicidade dois. Esta fórmula resolutiva ainda é um método analítico, ou algébrico, que permite encontrar as raízes desse trinômio. Exemplo 01 Determinar as raízes da seguinte equação quadrática Solução: Calculando o valor do discriminante, obtemos: Como , a equação possui duas raízes reais e distintas. Aplicando a fórmula resolutiva, obtemos x’ e x’’: Portanto, x’ e x’’ são as raízes procuradas.
  29. 29. 20 Exemplo 2 A soma de um número inteiro com o inverso de seu consecutivo vale -3. Quanto valem estes números? Solução: Seja x o número procurado. O inverso de seu consecutivo vale destes valores é dada pela seguinte expressão: . Então a soma . Como a soma vale -3, obtemos a seguinte equação: Colocando as frações com o mesmo denominador, temos: Daí, Reduzindo essa equação, chegamos a forma reduzida de uma equação quadrática: Calculando o valor do discriminante, obtemos: Como , a equação possui duas raízes reais e iguais. Aplicando a fórmula resolutiva, obtemos x’ = x’’: Portanto, x = -2 é o número procurado. Observe que só existe uma única possibilidade para que a soma desses números dê igual a -3, pois o discriminante da equação foi nulo.
  30. 30. 21 2.6. Equação polinomial do terceiro grau Mostraremos a seguir um modelo matemático que nos oferece uma maneira de resolver equações cúbicas, escritas na forma: . Esta equação também pode ser chamada de equação do terceiro grau na variável ―x‖. O teorema fundamental da álgebra afirma que tal equação possui no máximo três raízes, podendo ser todas elas reais ou uma raiz real e as demais complexas. Assim como na equação do 2º grau, a equação cúbica também é solúvel por radicais, ou seja, tal equação possui uma fórmula algébrica que nos fornece as suas raízes. Segundo Ferreira (s.d.), o primeiro matemático da Idade Média que encontrou uma solução para uma equação cúbica do tipo foi Scipione Del Ferro (1465 – 1526), mas morreu antes de publicar sua resolução. Entretanto, contou ao seu aluno, Antônio Maria Fior seu segredo. Assim, como naquele tempo eram comuns as disputas entre matemáticos, Fior desafiou Nicolo Fontana (1499 – 1557), mas conhecido como Tartaglia, a resolver alguns problemas matemáticos que levavam a equações cúbicas do tipo dito anteriormente. Tartaglia estudou as soluções das equações cúbicas de Fior e também as do tipo . Com isso, Tartaglia venceu Fior na disputa. Nesta, cada um dos matemáticos tiveram que resolver cerca de trinta problemas algébricos que recaíam em uma equação do terceiro grau. No mesmo período, havia um matemático de Milão chamado Girolamo Cardano (1501 – 1576) que acreditava na insolubilidade das equações cúbicas. Porém, ao ficar sabendo das descobertas de Tartaglia, tentou convencê-lo de revelar o segredo de sua resolução, que foi negado por ele. Mais tarde, mediante a um juramento, Tartaglia revela a Cardano o segredo de sua resolução. Mas Cardano trai Tartaglia, pois publica a resolução dada por Tartaglia em sua Ars Magna, datada de 1544. Assim, serão mostradas as tais fórmulas resolutivas de uma maneira mais simplificada. Para fazer isso, foi necessário recorrer a algumas demonstrações presentes em livros e artigos citados a seguir. Muitas destas pesquisas neste assunto não mostram a totalidade dos métodos de resolução destas equações, ou seja, não consideram todos os casos possíveis ao solucioná-las. Dessa forma, a fórmula resolutiva de Cardano será apresentada aqui de uma maneira bastante simplificada a fim de um melhor entendimento pelo leitor. Mesmo assim, as fórmulas não são tão triviais quanto àquelas
  31. 31. 22 estudadas nas equações quadráticas, pois envolvem funções trigonométricas. Isso porque tais funções aparecem nas demonstrações quando extrairmos uma raiz cúbica de um número complexo (z= a + bi). Cardano mostrou uma maneira de resolver as equações da forma . De um modo geral, a fórmula de Cardano mostrada a seguir soluciona equações da forma: . O teorema fundamental da álgebra, cuja demonstração pode ser encontrada em Iezzi (2005), depende de quatro lemas, onde uma deles afirma que todo polinômio de grau ímpar possui uma raiz real. No caso das equações cúbicas, cujo grau é 3, podemos dizer que ela possui pelo menos uma raiz real. A fórmula para determiná-la é a seguinte: Onde: Demonstração: Baseado na demonstração contida em Garcia (2007), consideremos a equação do 3º grau completa na forma polinomial: mudança de variável acima. Então: . Seja a . Isto elimina o termo de segundo grau do polinômio
  32. 32. 23 Agrupando os termos semelhantes da expressão, temos: Somando os termos independentes e colocando y em evidência, temos: Sendo , podemos dividir a equação acima por ―a‖, daí: Ou simplesmente: Para simplificar os cálculos, tome e . Então a nova equação a ser resolvida é: Seja , onde ―u‖ e ―v‖ são números reais e sua soma é uma raiz da cúbica acima. Elevando os dois membros ao cubo, temos:
  33. 33. 24 Como , temos: Passando todos os termos para o primeiro membro, obtemos: Comparando as igualdades (I) e (II), obtemos um sistema de equações: Considere a variável tal que e . Então obtemos: Que é equivalente a resolver a seguinte equação quadrática: Resolvendo esta equação na variável ―w‖, encontramos: Como e são as raízes desta equação, então:
  34. 34. 25 Como y = u+v, finalmente encontramos uma raiz para a equação na variável ―y‖: De acordo com a substituição feita no início desta demonstração, ·, encontramos uma raiz para a equação procurada: Colocando o fator em evidência dentro de cada um dos radicandos cúbicos, obteremos: Fazendo as devidas simplificações, encontramos: Colocando o fator em evidência, temos: Novamente, a fim de simplificar os cálculos, atribuímos a letra grega dentro do radical quadrático, obtendo finalmente a fórmula resolutiva: à expressão
  35. 35. 26 O valor é o discriminante da equação e, de acordo com seu valor podemos estudar a natureza das raízes da equação cúbica. Vejamos os casos: Caso : Neste caso a equação possui apenas uma raiz real. Para calcular o valor do discriminante, seguiremos os seguintes passos: Calcular o valor numérico de p e pelas seguintes fórmulas; Calcular o valor do ―discriminante‖ definido pela letra grega ; A raiz real pode ser determinada pela fórmula resolutiva já demonstrada anteriormente: As demais raízes, que serão complexas, devem ser obtidas aplicando o dispositivo prático de Brioft – Ruffini. Tal dispositivo, conforme Iezzi (2005) permite abaixarmos o grau do polinômio para 2 e cuja resolução é a fórmula resolutiva da equação do segundo grau. Seus coeficientes (A, B e C) serão dados por: Assim, as demais raízes ( equação do segundo grau na variável x: podem ser obtidas resolvendo a seguinte
  36. 36. 27 Caso , mostra-se que a equação possui uma raiz de multiplicidade 2 e outra de multiplicidade 1, ou seja, possui duas raízes iguais e uma distinta. Aplicando a fórmula resolutiva para este caso, temos: Que resulta em: Esta raiz terá multiplicidade 1. As outras duas raízes serão de multiplicidade 2 e podem ser determinadas pelo dispositivo prático de Brioft-Ruffini. Caso , a equação possui três raízes reais distintas. Pode-se mostrar que as suas raízes são dadas pelas fórmulas: Onde:
  37. 37. 28 Demonstração: Supondo , então é um número negativo. Logo: Extraindo a raiz quadrada dos dois lados da igualdade, obtemos: Seja a unidade imaginária do número complexo z = a + bi, i = temos que . Então, . Substituindo na fórmula resolutiva, temos: Observe que teremos de extrair duas raízes cúbicas de dois números complexos. Vejamos o cálculo de . Conforme Iezzi (2005), dado o número complexo z = a + bi ou na forma polar z = n( e o número natural , então existem n raízes enézimas de z (fórmula de Moivre) que são da forma: Seja . Temos que o afixo de z pertence ao primeiro ou segundo quadrante, pois depende do sinal de ―p‖, que integra a parte real do número complexo em questão. Aplicando a fórmula de Moivre, temos que norma do número complexo z vale:
  38. 38. 29 = Assim, , com Como n = 3, temos que calcular três raízes cúbicas do número complexo ―z‖, onde a primeira será dada fazendo k = 0 na fórmula de Moivre. Daí: Observe que: Daí: Temos que as representações dos afixos de z no plano complexo será dada por: Figura 01: Representação do afixo de z, caso p > 0
  39. 39. 30 Figura 02: Representação do afixo de z, caso p < 0 Calculando o valor do argumento , temos: Portanto: Observação: ―p‖, logo sempre será positivo, enquanto que depende do sinal de . Se p for negativo, temos que o argumento pertence ao segundo
  40. 40. 31 quadrante. Caso seja nulo, o argumento será igual a 90º . Por fim, se for positivo, pertencerá ao primeiro quadrante. Vamos reescrever as fórmulas de Moivre para k = 0, 1 e 2. (K=0) (K=1) (K=2) A fim de simplificar os cálculos, façamos . Daí: (K=0) (K=1) (K=2) Ou simplesmente: (K=0) (K=1) (K=2) Analogamente, encontramos as raízes cúbicas de: Calculando o argumento, encontramos:
  41. 41. 32 Neste caso, , ou seja, o argumento pertence ao terceiro ou quarto quadrante. Então, as figuras que seguem mostram os afixos de z quando p é positivo ou negativo: Figura 3: Representação do afixo de z, caso p < 0
  42. 42. 33 Figura 4: Representação do afixo de z, caso p > 0 Em ambos os casos, usaremos: Assim, na fórmula de Moivre, para K=0 temos: Para K=1: Para K=2: Desenvolvendo as somas e subtrações dentro das funções cosseno e seno, obtemos: (K=0) (K=1)
  43. 43. 34 (K=2) Aplicando a formula de Cardano, obtemos as raízes reais: Como foram obtidas três raízes cúbicas para cada caso, teremos seis possibilidades de raízes reais. Destas, apenas três serão as raízes procuradas, observe: a) Soma da primeira raiz cúbica K= 0 com a segunda, K= 0: Desenvolvendo os cálculos, obtemos: Observe que esta raiz não é real, pois a parte imaginária é diferente de zero. Logo, não é a raiz procurada. b) Soma da primeira raiz cúbica K = 0 com a segunda, K = 1: Desenvolvendo os cálculos, obtemos:
  44. 44. 35 Observe que esta raiz também não é real, pois a parte imaginária é diferente de zero. Logo, não é a raiz procurada. c) Soma da primeira raiz cúbica K = 0 com a segunda, K = 2: Então: Assim: Como a parte imaginária foi nula, então esta raiz é real. d) Soma da primeira raiz cúbica K = 2 com a segunda, K = 2: + Analogamente, nota-se que esta raiz também não será real. Logo não é a raiz procurada. e) Soma da primeira raiz cúbica K = 2 com a segunda, K = 0: (sen(t)2+ 3cos⁡( )2)=− cos +3 sen Assim:
  45. 45. 36 Então esta raiz será real: Analogamente, mostra-se que a terceira raiz real será dada por: Utilizando as fórmulas de somas de arcos, podemos reduzir as expressões das três raízes obtidas ( para: Conforme queríamos demonstrar. Exemplo 1 Resolver a seguinte equação cúbica Temos que: Primeiro vamos determinar o valor de p e pelas seguintes fórmulas (1) e (2): Calculamos o valor do discriminante da equação:
  46. 46. 37 Como o esta equação admite apenas uma raiz real, que pode ser encontrada usando a fórmula de Cardano-Tartaglia: Portanto, x = -3 é a raiz real procurada. Pelo fato de esta ser a única raiz real da equação, pelo teorema fundamental da álgebra existem duas raízes complexas para a equação dada. Utilizando o dispositivo prático de Brioft-Ruffini, que pode ser encontrado em Iezzi (2005). Vamos encontrar as outras raízes: 1 -3 0 -6 9 1 -3 3 0 Portanto, os números 1, -3, e 3 são os coeficientes da equação quadrática na variável x. Então as demais raízes procuradas serão as soluções da equação: Resolvendo-a, encontramos o par conjugado de complexos: Portanto, a solução S da equação é Exemplo 2:
  47. 47. 38 Resolver a seguinte equação cúbica Temos que: Determinamos os valores de p e : Calculamos o valor do discriminante da equação: Como o esta equação admite três raízes reais, que podem ser encontradas usando as seguintes fórmulas: Onde: Vamos calcular o valor de ―t‖: Então as três raízes reais serão:
  48. 48. 39 Portanto, o conjunto solução será S = {-1,2,4} Exemplo 3 Sabe-se da trigonometria que . Este é o chamado cosseno do arco triplo . Com base nessa informação, prove que Solução Aplicando a fórmula do arco triplo, chegamos a uma equação cúbica, assim: Sendo e fazendo Temos que: Determinamos os valores de p e : , obtemos: .
  49. 49. 40 Calculamos o valor do discriminante da equação: Como o esta equação admite três raízes reais, que podem ser encontradas usando as seguintes fórmulas: Onde: Vamos calcular o valor de ―t‖: Então as três raízes reais serão: Observe que tomamos , portanto devemos verificar as raízes da equação para concluir qual delas é igual ao cosseno do arco de 20°. Temos que ,
  50. 50. 41 pois como 20° e 40° pertencem ao primeiro quadrante, seus cossenos são positivos, logo . Mais ainda, temos que também não é igual a , analogamente ao anterior. Portanto, é a única raiz que comprova a igualdade 2.7. Método de resolução das equações quárticas Segundo Ferreira (sd), a história da solução das equações quárticas coincidiu com a mesma época das equações cúbicas. Cardano tinha um discípulo, cujo nome era Lodovico Ferrari (Milão, 2 de fevereiro de 1522 — 5 de outubro de 1565), o qual desenvolveu o método para a resolução das equações quárticas, citado na Ars Magna de Cardano. As equações quárticas são equações polinomiais de grau igual a 4, escritas na forma , em que a é diferente de zero. Estas equações ainda admitem métodos analíticos de resolução, ou seja, existem fórmulas resolutivas que permitem determinar as suas raízes. Uma propriedade essencial sobre as equações polinomiais se refere à quantidade de raízes que elas possuem com respeito a seu grau. De acordo com Iezzi (2005) o teorema fundamental da álgebra garante que se a equação possui grau ―n‖, então ela possui precisamente ―n‖ raízes, que podem ser complexas e/ou reais. No caso das quárticas, há exatamente quatro raízes, podendo ser todas complexas, duas complexass e duas reais ou todas reais. Baseado na demonstração realizada em Bastos (2004), a fim de simplificar os cálculos, vamos utilizar as equações do tipo: . (I). Obtemos esta equação quando dividimos todos os seus termos pelo coeficiente ―a‖ do polinômio. Primeiro passo: Seja Substituindo na equação (I), eliminamos o termo cúbico, originando: (II) Onde:
  51. 51. 42 Agora, seja u,v e z tal que , com . Elevando esta expressão ao quadrado, temos: Passando os termos quadráticos para o primeiro membro e elevando ao quadrado, temos: Desenvolvendo os quadrados, obtemos: Isso nos leva a: Daí: Reagrupando os termos no segundo termo, obtemos: Como , encontramos: Passando todos os termos para o segundo membro, temos:
  52. 52. 43 2 2=0 ( ) Comparando as equações IV e II, obtemos: Como Isolando a expressão Que finalmente resulta em: , temos: na equação acima, obtemos:
  53. 53. 44 Com as equações V,VI e VII, montamos o seguinte sistema: Elevando a equação (VI) ao quadrado, obtemos o sistema: Tome Que são as três soluções da cúbica: . Seja duas raízes da equação acima. Então temos que e e . Precisamos verificar os sinais de u,v e z. Conhecendo o valor de uma raiz, graças à equação VI ( , podemos estudar os sinais das outras duas raízes, já que o sinal da terceira depende do sinal das demais. O quadro abaixo mostra as possibilidades de sinais para cada valor das raízes quadradas: Quadro 1: Estudo de sinal das raízes quadradas de u, v e z Sinal de Sinal de Sinal de + + - + - + - - - - + -
  54. 54. 45 Como , temos, portanto, que as quatro raízes da equação quártica serão iguais a: Exemplo: Encontrar as soluções da seguinte equação: Primeiramente, vamos obter os coeficientes da equação na variável ―y‖, obtida pela transformação usando as fórmulas: Então a equação na variável ―y‖ será igual a De acordo com o sistema:
  55. 55. 46 Obtemos: Fazendo a troca de variáveis, temos: Este sistema é equivalente a resolver a seguinte cúbica: Temos que: Vamos determinar o valor de p e pelas seguintes fórmulas: Calculamos o valor do discriminante da equação: Como o esta equação admite apenas uma raiz real, que pode ser encontrada usando a fórmula resolutiva geral.
  56. 56. 47 Como a equação apresenta apenas uma raiz real, devemos encontrar as demais raízes pelo método de Brioft-Ruffini. 1 1 -2,034997098 1,328885944 0 Os números em negrito representam os coeficientes de uma equação do segundo grau na variável t. Daí, devemos fazer: Cuja solução será dada pela fórmula resolutiva da equação quadrática: A outra raiz será o conjugado do número complexo acima, portanto: Logo, as três raízes da cúbica na variável t, são: Determina-se os valores das variáveis u, v e z :
  57. 57. 48 Como Sendo temos que as quatro raízes da quártica reduzida, serão dadas por: , rearranjamos as fórmulas acima para: Substituindo os valores encontrados, obtemos as quatro soluções da quártica procurada:
  58. 58. 49 Observe que para a determinação das raízes, é necessário extrair a raiz quadrada de um número complexo. Calculemos essas raízes: Elevando os dois membros ao quadrado, obtemos: Assim, obtemos um sistema: Que é equivalente a resolver uma equação biquadrada em ―x‖: Cuja solução vale: Para temos que , temos que , e para , . Assim, ou . Calculemos agora obtemos o sistema: Cuja equação biquadrada é a mesma do caso anterior. Portanto: De maneira análoga,
  59. 59. 50 , os valores de ―y‖ serão iguais a: Como Para , temos que temos que , e para , . Assim, ou - Assim, obtemos: 0,260071725 − 54=− , 0,260071725 − 54=− , 0,260071725 − 54= , + , 0,260071725 − 54= , − , Logo, S = {0,661152245+0,52014345i; 0,661152245-0,52014345i; -5,244549327; 1,077755163} 2.8. Equações polinomiais de grau superior a 4 As equações polinomiais de grau superior a quatro reúne o grupo das equações quínticas ou superior. A busca pelas soluções das equações polinomiais é um problema muito mais antigo do que se pensa. É natural se questionar sobre as soluções de uma equação polinomial escrita na forma , com as constantes a, b, c, d, e diferentes de zero. Estas equações não apresentam fórmulas resolutivas para a obtenção de suas raízes, isto é, não existe um método analítico para resolver equações polinomiais de grau superior a quatro.
  60. 60. 51 Este resultado foi provado por um matemático que viveu no século XIX, chamado Èvarist Galois (1811-1832). Conforme diz Eves (2004), Galois nasceu próximo à cidade de Paris, na França. Era filho de um prefeito de um pequeno povoado daquela localidade. Se não fosse pelo fato de ter morrido tão jovem, sem dúvida, Galois poderia ter sido considerado o maior matemático de todos os tempos. Aos quinze anos de idade, tentou ingressar como professor na Escola Politécnica por duas vezes, mas não foi aceito devido ao seu despreparo e às exigências impostas para a posse. Por fim, em 1829 ingressou-se na Escola Normal, onde lá pode se habilitar para o cargo de professor. Porém, devido ao seu envolvimento com a Revolução de 1830, Galois foi preso. Após completar vinte e um anos de idade, enfrentou um duelo que tiraria sua vida, no ano de 1832, cujo motivo pode estar possivelmente relacionado ao fato de Galois ter se envolvido com uma mulher comprometida. Ao perceber que seria morto no duelo, tentou escrever vários artigos sobre seus grandes feitos em estudos na área da álgebra abstrata, com a esperança de que seus trabalhos fossem publicados mais tarde. Assim, Joseph Liouville, em seu Journal de Mathématique publicou alguns manuscritos de Galois, em 1846 e, dentre estes a prova de que todo polinômio nessas condições não podem ser resolvidos por radicais. Uma das consequências deste importante teorema é que as equações de graus inferior a cinco podem ser resolvidas por fórmulas expressas por radicais. A teoria e a prova do teorema podem ser encontradas em Moreira (1990), o qual afirma que essa demonstração só foi possível ser sistematizada graças a Teoria de Galois, a qual refere-se às extensões algébricas dos corpos, cuja teoria é estudada na Teoria de Corpos, um ramo da álgebra abstrata. De um modo mais simples, conforme afirma Ferreira (s.d.), este teorema pode ser entendido da seguinte maneira: todo polinômio de grau n está associado ao grupo de Galois, que pode ser entendido como um tipo de estrutura algébrica que está contida em grupos de permutações, denotadas por . Assim, afirma que uma equação polinomial de grau n é solúvel por radicais se, e somente se, o seu grupo associado a esta equação for solúvel.. Se este grupo não for solúvel, então todos os grupos de polinômios contidos nele também não serão solúveis, e, portanto, as equações associadas a estes grupos não serão solúveis por radicais. Galois mostrou que se , então todos os grupos de permutações são solúveis,
  61. 61. 52 concluindo que todas as equações de grau são resolúveis por radicais. Apesar das equações polinomiais de grau maior que quatro não serem solúveis por radicais, suas soluções podem ser obtidas numericamente, utilizando métodos numéricos que podem ser encontrados em qualquer livro de Cálculo Numérico, os quais não serão abordados neste trabalho. 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS O trabalho aqui descrito procurou mostrar e sistematizar os critérios de resolução das equações polinomiais de graus um, dois, três e quatro e também um breve comentário acerca das equações de grau superior a quatro. Além disso, teve a finalidade de ampliar os conhecimentos do leitor quando da resolução destas equações. Geralmente, o que se observa na grande maioria dos estudantes de matemática é a facilidade de lidar com equações quadráticas. Mas ao mencionar as equações cúbicas ou quárticas, muitos desconhecem os métodos de resolução ou talvez as considerem insolúveis, ao pensar na possibilidade de solucioná-las de maneira análoga àquela utilizada nas polinomiais de grau 2. Assim, este trabalho mostrou ao leitor que apenas as equações de graus inferior ou igual a quatro podem ser resolvidas através de fórmulas específicas envolvendo radicais e que as de grau superior não apresentam tais métodos analíticos. Entretanto, graças a um ramo da matemática conhecido como Cálculo Numérico, estas equações podem ser resolvidas utilizando métodos numéricos que fornecem aproximações para as suas raízes. A grande busca por soluções das equações polinomiais começou muito cedo e ainda continua sendo estudada por grandes nomes da matemática, ou também chamados de ―cientistas da matemática‖. Com isso, fica uma pergunta a ser respondida: a adoção de novas estratégias para a resolução de equações polinomiais poderá um dia se tornar um modelo unificado que tornará o seu manuseio e entendimento mais facilitado? Mesmo que isso não se torne verdade, o mais importante é a busca pelo resultado e a sua contribuição para a matemática. Os matemáticos, ao estudarem as equações de graus maiores do que cinco, de certa forma pesquisaram sobre os métodos utilizados nas polinomiais inferiores e tentaram aplicar um procedimento análogo com a finalidade de encontrar uma solução
  62. 62. 53 geral. Sem dúvida, antes da publicação deste notável resultado, muitos matemáticos questionavam uma solução geral que pudesse ser utilizada em uma polinomial de grau n qualquer. Levou-se, portanto, muitos séculos até que a prova definitiva para soluções através de fórmulas algébricas fosse dada por um grande nome da matemática, o que talvez antes fosse dificultado devido a uma simbologia inadequada. 4. REFERÊNCIAS BASTOS, Gervasio G. Resolução de equações algébricas por radicais. II Bienal da SBM – Universidade Federal da Bahia, 2004. Disponível em: < http://www.bienasbm.ufba.br/02.htm>. Acesso em: 25 jul. 2013. BOYER, Carl B. História da Matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2010. EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 532-536. FERREIRA, José Ferreira. História das soluções das equações por meio de radicais. p. 1-2. Disponível em: http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22008/WellingtonJoseFerreira.pdf>. Acesso em: 25 jul. 2013. GARCIA, Ana Cristina dos Santos. et al. Um estudo analítico dos polinômios e equações polinomiais. 2007. 88 f. Trabalho acadêmico – Centro Universitário FIEO, Osasco, 2007. IEZZI, Gelson. Equações polinomiais. In: IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar. 7. ed. São Paulo: Atual, 2005. p. 101-148. MOREIRA, Carlos Gustavo Tamm de Araujo. Um teorema sobre solubilidade de equações polinomiais por radicais reais. Rio de Janeiro, n. 12, 1990. Disponível em: < http://matematicauniversitaria.ime.usp.br/>. Acesso em: 25 jul. 2013.

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