1) O documento apresenta as respostas e soluções detalhadas para 12 questões de uma prova de matemática do nível 3 da OBMEP.
2) As questões abrangem tópicos como porcentagem, geometria plana e espacial, lógica, probabilidade e álgebra.
3) As soluções variam de uma frase simples para questões mais diretas a desenvolvimentos mais longos com figuras geométricas para questões mais complexas.
1) A resolução apresenta as respostas corretas para 12 questões de múltipla escolha de um exame, explicando a lógica por trás de cada resposta.
2) As explicações envolvem raciocínios algébricos, geométricos e combinatórios para analisar as informações dadas em cada questão e chegar à alternativa correta.
3) Algumas questões recebem mais de uma solução, demonstrando diferentes abordagens para chegar ao mesmo resultado.
1) O resumo apresenta a solução de uma prova da OBMEP de 2013 com 14 questões, resolvendo problemas de matemática e raciocínio lógico.
2) A primeira questão trata de divisão de valores pagos por livros. A segunda, de soma de números para obter determinado resultado. A terceira compara dados sobre dengue.
3) As demais questões abordam tópicos como área de figuras, operações com algarismos, posições de formigas, diferença entre números trocando algarismos e outros.
1) A resolução apresenta as soluções detalhadas para cinco questões da OBMEP 2011 sobre geometria e raciocínio lógico.
2) São descritas as etapas de raciocínio para chegar às respostas de cada questão, com figuras ilustrativas quando necessário.
3) As soluções utilizam propriedades geométricas, operações algébricas e raciocínio combinatório para chegar aos resultados esperados.
Este documento contém as respostas e soluções para 16 questões da primeira fase da OBMEP 2013 - Nível 1. As questões abordam tópicos como medidas, operações com números, geometria e interpretação de dados.
O documento apresenta a resolução de 10 questões de um exame de matemática, com explicações detalhadas para cada questão e a alternativa correta escolhida. As questões envolvem tópicos como geometria, porcentagem, análise combinatória e raciocínio lógico.
O documento apresenta as soluções para 15 questões de uma prova. A questão 1 tem como solução o número 10. A questão 2 determina que foram utilizadas 5 pizzas para formar a figura. A questão 3 conclui que a formiguinha caminhou no sentido sul após passar pela última placa.
O documento discute razão, proporção e grandezas proporcionais. Ele define razão e proporção, apresenta propriedades das proporções e exemplos de cálculo de razões e proporções. Também define grandezas direta e inversamente proporcionais, apresenta exemplos e discute como representá-las graficamente. Por fim, aborda divisão proporcional em partes direta e inversamente proporcionais com exemplos.
Júnior leu metade do livro no primeiro dia (210 páginas), um terço do restante no segundo dia (70 páginas) e um quinto do que ficou no terceiro dia (28 páginas). Assim, restaram 112 páginas por ler.
1) A resolução apresenta as respostas corretas para 12 questões de múltipla escolha de um exame, explicando a lógica por trás de cada resposta.
2) As explicações envolvem raciocínios algébricos, geométricos e combinatórios para analisar as informações dadas em cada questão e chegar à alternativa correta.
3) Algumas questões recebem mais de uma solução, demonstrando diferentes abordagens para chegar ao mesmo resultado.
1) O resumo apresenta a solução de uma prova da OBMEP de 2013 com 14 questões, resolvendo problemas de matemática e raciocínio lógico.
2) A primeira questão trata de divisão de valores pagos por livros. A segunda, de soma de números para obter determinado resultado. A terceira compara dados sobre dengue.
3) As demais questões abordam tópicos como área de figuras, operações com algarismos, posições de formigas, diferença entre números trocando algarismos e outros.
1) A resolução apresenta as soluções detalhadas para cinco questões da OBMEP 2011 sobre geometria e raciocínio lógico.
2) São descritas as etapas de raciocínio para chegar às respostas de cada questão, com figuras ilustrativas quando necessário.
3) As soluções utilizam propriedades geométricas, operações algébricas e raciocínio combinatório para chegar aos resultados esperados.
Este documento contém as respostas e soluções para 16 questões da primeira fase da OBMEP 2013 - Nível 1. As questões abordam tópicos como medidas, operações com números, geometria e interpretação de dados.
O documento apresenta a resolução de 10 questões de um exame de matemática, com explicações detalhadas para cada questão e a alternativa correta escolhida. As questões envolvem tópicos como geometria, porcentagem, análise combinatória e raciocínio lógico.
O documento apresenta as soluções para 15 questões de uma prova. A questão 1 tem como solução o número 10. A questão 2 determina que foram utilizadas 5 pizzas para formar a figura. A questão 3 conclui que a formiguinha caminhou no sentido sul após passar pela última placa.
O documento discute razão, proporção e grandezas proporcionais. Ele define razão e proporção, apresenta propriedades das proporções e exemplos de cálculo de razões e proporções. Também define grandezas direta e inversamente proporcionais, apresenta exemplos e discute como representá-las graficamente. Por fim, aborda divisão proporcional em partes direta e inversamente proporcionais com exemplos.
Júnior leu metade do livro no primeiro dia (210 páginas), um terço do restante no segundo dia (70 páginas) e um quinto do que ficou no terceiro dia (28 páginas). Assim, restaram 112 páginas por ler.
1) O documento discute a proporcionalidade direta e inversa entre números. Exemplos mostram que números diretamente proporcionais aumentam juntos, enquanto números inversamente proporcionais são inversamente proporcionais ao tempo.
2) Problemas de aplicação exemplificam como determinar valores faltantes usando a proporcionalidade direta ou inversa.
3) O último problema divide 620 em partes inversamente proporcionais a 5, 2 e 3 para encontrar cada parte.
O documento apresenta três questões de um gabarito. A primeira questão trata de determinar o valor de x para que três expressões estejam em uma PA. A segunda questão explica como encontrar o termo geral de uma PA dada apenas o primeiro termo e a razão. A terceira questão pede para determinar a razão de uma PA a partir de informações sobre os algarismos dos termos.
1) O documento apresenta soluções para questões de uma prova de matemática sobre números e operações.
2) A questão 1 discute como transformar números de dois dígitos em um único dígito através de multiplicação e soma. A questão 2 trata de pontos conectados em uma circunferência. A questão 3 lida com áreas e perímetros de retângulos e triângulos.
3) As soluções fornecem detalhes passo a passo para chegar às respostas corretas de cada questão, com figuras ilustrativas quando necess
1) O documento apresenta uma avaliação de matemática sobre triângulos, teorema de Tales, semelhança e relações métricas com 10 questões.
2) As questões abordam conceitos como segmentos congruentes, proporcionalidade, teorema de Tales e pontos notáveis de triângulos.
3) Há também um poema que descreve de forma lúdica o teorema de Tales.
Este documento contém a resolução de 7 questões de concursos públicos. As questões envolvem cálculos de probabilidade, geometria plana e raciocínio lógico. As respostas variam entre cálculos algébricos simples, uso de fórmulas geométricas e interpretação de gráficos.
1. Resolve as 10 questões da prova da 1a fase da OBMEP 2011 - Nível 2, fornecendo as alternativas corretas para cada uma.
2. Apresenta raciocínios e cálculos realizados para chegar às soluções de cada questão.
3. Aborda temas como proporções, porcentagens, geometria, raciocínio lógico e álgebra.
1) A resolução apresenta as respostas corretas para 15 questões de múltipla escolha de um exame de matemática.
2) As questões envolvem tópicos como porcentagem, geometria, números inteiros, entre outros.
3) A resolução fornece explicações detalhadas sobre como chegar à resposta correta para cada questão.
Aula demonstrativa do Curso de Raciocínio Logico Matemático para Concurso TJ RJ 2014.
Confira o curso completo no site: https://www.estrategiaconcursos.com.br/cursosPorConcurso/tj-rj-tecnico-de-atividade-judiciaria-45/
O documento apresenta um resumo de conteúdos de matemática, organizados em tópicos como operações com números naturais, porcentagem, geometria e álgebra. Inclui exemplos resolvidos de questões do vestibular da VUNESP.
Este documento fornece a resolução de exercícios de uma prova de matemática. O primeiro exercício trata da progressão geométrica e encontra o termo geral da sequência (1,5,...). O segundo exercício pede para encontrar o 6o termo da progressão geométrica (512, 256,...). O terceiro exercício pede para identificar o termo geral da sequência (4, 12, 36,...).
O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade como permutações, arranjos e combinações. Explica como calcular o número de maneiras de organizar conjuntos de objetos de diferentes formas, considerando ou não a ordem e repetição dos elementos. Fornece exemplos e exercícios para aplicar as fórmulas aprendidas.
Este documento fornece as resoluções de 40 questões de estatística e raciocínio lógico de uma prova para analista da SEFAZ/PI. O professor Arthur Lima explica cada questão de forma concisa e objetiva, visando disponibilizar o material o mais rápido possível.
O documento apresenta soluções para exercícios de matemática da OBMEP 2013 nível 2. As soluções envolvem: 1) Cálculo do número associado a uma palavra através de uma tabela de correspondência entre letras e números; 2) Análise da fatoração de números para determinar se é possível formar palavras com números associados iguais a esses números; 3) Cálculo de áreas de figuras formadas por peças geométricas.
A sequência 1, 3a - 4, 9a2 - 8 é uma progressão geométrica com razão q = 3a - 4. Resolvendo a equação, encontra-se que a = 1 e, portanto, q = -1. A progressão geométrica é (1, -1, 1).
1) O documento fornece a solução de 15 questões de uma prova do nível 1 da OBMEP de 2018, explicando a resposta correta para cada questão e os raciocínios envolvidos.
2) A questão mais vantajosa para comprar papel higiênico é a promoção 3, que dá 16 rolos de graça para cada 72 comprados.
3) A maior sequência do algarismo 1 que pode aparecer na fila de números de 1 a 2018 é de tamanho 7, formada pelos números 1110, 1111 e 1112 colocados lado a
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de combinatória como fatorial, princípio multiplicativo, permutações e arranjos simples.
2) Inclui definições de fatorial, coeficientes binomiais, permutações simples e como calculá-los, assim como arranjos simples.
3) Explica como utilizar o método de definição indutiva para definir conjuntos numéricos.
1) O resumo apresenta as soluções para três questões da prova da OBMEP de 2013 sobre partilha de custos de livros, combinação de números para obter determinada soma e análise de gráficos comparando chuva, temperatura e casos de dengue.
2) A segunda questão trata da área de um quadrilátero formado por triângulos ao se traçar uma linha paralela a um dos lados de um retângulo.
3) A nona questão calcula a razão entre os lados de dois quadrados tendo em conta a área com
1) O resumo apresenta a solução de uma prova da OBMEP de 2013 com 14 questões, resolvendo problemas de matemática e raciocínio lógico.
2) A primeira questão trata de divisão de gastos com livros entre três colegas. A segunda lida com a soma de números em cartões. A terceira analisa afirmações sobre temperatura e chuva em relação a casos de dengue.
3) As demais questões abordam tópicos como área de figuras planas, operações com algarismos, posições
1) O resumo fornece as respostas corretas para as 16 questões da prova, apresentando os raciocínios por trás de cada resposta de forma concisa.
2) As questões envolvem tópicos como álgebra, geometria, probabilidade e lógica.
3) Ao todo, o documento analisa 16 situações-problema de nível intermediário.
1) O documento apresenta a solução de questões da 1a fase da OBMEP 2013 de nível 2, com respostas e explicações detalhadas para cada questão.
2) São resolvidas 14 questões, variando entre cálculos, raciocínios lógicos e interpretação de gráficos e figuras.
3) As questões abordam tópicos como porcentagem, geometria plana e espacial, lógica, probabilidade e estatística.
1) A questão 1 explica que para igualar as somas nas linhas da tabela, o número na casa marcada com x deve exceder 2018 em 9, ou seja, ser 2027.
2) A questão 2 mostra que as expressões a = 1, b = 2 e c = 3 satisfazem a igualdade dada no enunciado.
3) A questão 9 conclui que a área da região c no diagrama é igual à soma das áreas das regiões a e b, ou seja, c = a + b.
Este documento apresenta as soluções de uma prova de matemática do nível 3 da OBMEP 2010 e contém:
1) Resoluções de 4 questões de raciocínio lógico e geometria envolvendo cálculos, análise de figuras e sequências de movimentos.
2) As questões abordam temas como operações em calculadora, preenchimento de quadrados com determinadas propriedades, cálculo de medidas em figuras geométricas e análise de sequências de movimentos para terminar um jogo.
3) As soluções
1) O documento discute a proporcionalidade direta e inversa entre números. Exemplos mostram que números diretamente proporcionais aumentam juntos, enquanto números inversamente proporcionais são inversamente proporcionais ao tempo.
2) Problemas de aplicação exemplificam como determinar valores faltantes usando a proporcionalidade direta ou inversa.
3) O último problema divide 620 em partes inversamente proporcionais a 5, 2 e 3 para encontrar cada parte.
O documento apresenta três questões de um gabarito. A primeira questão trata de determinar o valor de x para que três expressões estejam em uma PA. A segunda questão explica como encontrar o termo geral de uma PA dada apenas o primeiro termo e a razão. A terceira questão pede para determinar a razão de uma PA a partir de informações sobre os algarismos dos termos.
1) O documento apresenta soluções para questões de uma prova de matemática sobre números e operações.
2) A questão 1 discute como transformar números de dois dígitos em um único dígito através de multiplicação e soma. A questão 2 trata de pontos conectados em uma circunferência. A questão 3 lida com áreas e perímetros de retângulos e triângulos.
3) As soluções fornecem detalhes passo a passo para chegar às respostas corretas de cada questão, com figuras ilustrativas quando necess
1) O documento apresenta uma avaliação de matemática sobre triângulos, teorema de Tales, semelhança e relações métricas com 10 questões.
2) As questões abordam conceitos como segmentos congruentes, proporcionalidade, teorema de Tales e pontos notáveis de triângulos.
3) Há também um poema que descreve de forma lúdica o teorema de Tales.
Este documento contém a resolução de 7 questões de concursos públicos. As questões envolvem cálculos de probabilidade, geometria plana e raciocínio lógico. As respostas variam entre cálculos algébricos simples, uso de fórmulas geométricas e interpretação de gráficos.
1. Resolve as 10 questões da prova da 1a fase da OBMEP 2011 - Nível 2, fornecendo as alternativas corretas para cada uma.
2. Apresenta raciocínios e cálculos realizados para chegar às soluções de cada questão.
3. Aborda temas como proporções, porcentagens, geometria, raciocínio lógico e álgebra.
1) A resolução apresenta as respostas corretas para 15 questões de múltipla escolha de um exame de matemática.
2) As questões envolvem tópicos como porcentagem, geometria, números inteiros, entre outros.
3) A resolução fornece explicações detalhadas sobre como chegar à resposta correta para cada questão.
Aula demonstrativa do Curso de Raciocínio Logico Matemático para Concurso TJ RJ 2014.
Confira o curso completo no site: https://www.estrategiaconcursos.com.br/cursosPorConcurso/tj-rj-tecnico-de-atividade-judiciaria-45/
O documento apresenta um resumo de conteúdos de matemática, organizados em tópicos como operações com números naturais, porcentagem, geometria e álgebra. Inclui exemplos resolvidos de questões do vestibular da VUNESP.
Este documento fornece a resolução de exercícios de uma prova de matemática. O primeiro exercício trata da progressão geométrica e encontra o termo geral da sequência (1,5,...). O segundo exercício pede para encontrar o 6o termo da progressão geométrica (512, 256,...). O terceiro exercício pede para identificar o termo geral da sequência (4, 12, 36,...).
O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade como permutações, arranjos e combinações. Explica como calcular o número de maneiras de organizar conjuntos de objetos de diferentes formas, considerando ou não a ordem e repetição dos elementos. Fornece exemplos e exercícios para aplicar as fórmulas aprendidas.
Este documento fornece as resoluções de 40 questões de estatística e raciocínio lógico de uma prova para analista da SEFAZ/PI. O professor Arthur Lima explica cada questão de forma concisa e objetiva, visando disponibilizar o material o mais rápido possível.
O documento apresenta soluções para exercícios de matemática da OBMEP 2013 nível 2. As soluções envolvem: 1) Cálculo do número associado a uma palavra através de uma tabela de correspondência entre letras e números; 2) Análise da fatoração de números para determinar se é possível formar palavras com números associados iguais a esses números; 3) Cálculo de áreas de figuras formadas por peças geométricas.
A sequência 1, 3a - 4, 9a2 - 8 é uma progressão geométrica com razão q = 3a - 4. Resolvendo a equação, encontra-se que a = 1 e, portanto, q = -1. A progressão geométrica é (1, -1, 1).
1) O documento fornece a solução de 15 questões de uma prova do nível 1 da OBMEP de 2018, explicando a resposta correta para cada questão e os raciocínios envolvidos.
2) A questão mais vantajosa para comprar papel higiênico é a promoção 3, que dá 16 rolos de graça para cada 72 comprados.
3) A maior sequência do algarismo 1 que pode aparecer na fila de números de 1 a 2018 é de tamanho 7, formada pelos números 1110, 1111 e 1112 colocados lado a
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de combinatória como fatorial, princípio multiplicativo, permutações e arranjos simples.
2) Inclui definições de fatorial, coeficientes binomiais, permutações simples e como calculá-los, assim como arranjos simples.
3) Explica como utilizar o método de definição indutiva para definir conjuntos numéricos.
1) O resumo apresenta as soluções para três questões da prova da OBMEP de 2013 sobre partilha de custos de livros, combinação de números para obter determinada soma e análise de gráficos comparando chuva, temperatura e casos de dengue.
2) A segunda questão trata da área de um quadrilátero formado por triângulos ao se traçar uma linha paralela a um dos lados de um retângulo.
3) A nona questão calcula a razão entre os lados de dois quadrados tendo em conta a área com
1) O resumo apresenta a solução de uma prova da OBMEP de 2013 com 14 questões, resolvendo problemas de matemática e raciocínio lógico.
2) A primeira questão trata de divisão de gastos com livros entre três colegas. A segunda lida com a soma de números em cartões. A terceira analisa afirmações sobre temperatura e chuva em relação a casos de dengue.
3) As demais questões abordam tópicos como área de figuras planas, operações com algarismos, posições
1) O resumo fornece as respostas corretas para as 16 questões da prova, apresentando os raciocínios por trás de cada resposta de forma concisa.
2) As questões envolvem tópicos como álgebra, geometria, probabilidade e lógica.
3) Ao todo, o documento analisa 16 situações-problema de nível intermediário.
1) O documento apresenta a solução de questões da 1a fase da OBMEP 2013 de nível 2, com respostas e explicações detalhadas para cada questão.
2) São resolvidas 14 questões, variando entre cálculos, raciocínios lógicos e interpretação de gráficos e figuras.
3) As questões abordam tópicos como porcentagem, geometria plana e espacial, lógica, probabilidade e estatística.
1) A questão 1 explica que para igualar as somas nas linhas da tabela, o número na casa marcada com x deve exceder 2018 em 9, ou seja, ser 2027.
2) A questão 2 mostra que as expressões a = 1, b = 2 e c = 3 satisfazem a igualdade dada no enunciado.
3) A questão 9 conclui que a área da região c no diagrama é igual à soma das áreas das regiões a e b, ou seja, c = a + b.
Este documento apresenta as soluções de uma prova de matemática do nível 3 da OBMEP 2010 e contém:
1) Resoluções de 4 questões de raciocínio lógico e geometria envolvendo cálculos, análise de figuras e sequências de movimentos.
2) As questões abordam temas como operações em calculadora, preenchimento de quadrados com determinadas propriedades, cálculo de medidas em figuras geométricas e análise de sequências de movimentos para terminar um jogo.
3) As soluções
Este documento apresenta as soluções para 16 questões de uma prova de matemática do nível 1 da OBMEP de 2012. As questões envolvem tópicos como porcentagem, raciocínio lógico, geometria e combinatória.
Este documento fornece as soluções para as 10 primeiras questões da primeira fase da OBMEP de 2013 para o nível 3. As respostas incluem explicações detalhadas sobre cálculos, figuras e tabelas para justificar cada resposta.
1) O documento apresenta as soluções para 16 questões da primeira fase da OBMEP de 2013 para o nível 1, explicando detalhadamente cada uma das respostas.
2) As questões envolvem temas como matemática básica, interpretação de tabelas e gráficos, raciocínio lógico e análise de figuras.
3) As soluções utilizam cálculos, decomposições, análises passo a passo e contraexemplos para justificar unambiguousmente cada uma das alternativas corretas.
1) O documento apresenta a solução de 18 questões de uma prova de matemática do nível 1 da OBMEP de 2010.
2) As questões envolvem tópicos como operações com números, geometria, porcentagem e raciocínio lógico.
3) Para cada questão é fornecida a alternativa correta junto com a explicação passo a passo da solução.
Este documento fornece a solução de 15 questões de uma prova, explicando qual a alternativa correta para cada questão e a lógica por trás da resposta. A maioria das questões envolvem raciocínio lógico, como análise de padrões numéricos e figuras geométricas. Duas questões adicionais fornecem explicações sobre como funciona um truque de adivinhação de datas utilizando calendários.
Este documento discute permutações, arranjos e combinações. Explica que permutações consideram a ordem dos elementos, enquanto combinações não, e fornece fórmulas para calcular o número de cada um. Também apresenta exemplos de como aplicar essas fórmulas para resolver problemas envolvendo contagem.
O documento fornece as instruções e questões de um teste sobre matemática aplicada. As questões abordam tópicos como porcentagem, equações do 1o e 2o grau, geometria (triângulos e polígonos), entre outros. A sequência das questões varia de acordo com o caderno do aluno.
Este documento fornece as soluções para 14 questões de uma prova de matemática do nível 1 da OBMEP de 2010. As questões envolvem cálculos, interpretação de gráficos e raciocínio lógico sobre problemas envolvendo números, geometria e álgebra. As soluções são apresentadas de forma concisa, com explicações passo a passo para cada questão.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
O documento apresenta as resoluções de um gabarito de prova com 5 questões sobre matemática. A primeira questão trata da soma de termos de progressões geométricas infinitas. A segunda questão pede para obter a fração geratriz de números decimais periódicos. A terceira questão calcula a soma dos termos de uma sequência infinita. A quarta questão calcula o terceiro termo de uma progressão geométrica infinita. A quinta questão resolve uma equação para encontrar o valor de x.
1) O documento apresenta soluções para questões de um exame de matemática sobre preenchimento de quadriculados e sequências numéricas. 2) As soluções incluem preenchimento de quadriculados de forma única e máxima soma, além de análise de sequências de Fibonacci. 3) A lonjura de pontos é calculada através de poligonais que passam por pontos de coordenadas inteiras.
Geometria - Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpicavinicius196
1. O documento apresenta 20 problemas de geometria euclidiana plana focados no Teorema de Pitágoras, ângulos e áreas.
2. Os problemas abordam o cálculo de lados de figuras geométricas usando o Teorema de Pitágoras e propriedades de ângulos em triângulos, quadriláteros e polígonos.
3. Também inclui exercícios sobre cálculo e determinação de áreas de figuras planas decompostas em partes conhecidas.
OBM Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpicaAline Muniz
1. O documento apresenta 20 problemas de geometria básica focados no Teorema de Pitágoras, ângulos e áreas.
2. Os problemas abordam o cálculo de lados de triângulos retângulos, propriedades de polígonos regulares e cálculo de áreas de figuras planas.
3. São apresentadas várias formas de provar o Teorema de Pitágoras e problemas que envolvem pontos médios e simetrias.
1. Resolve as 10 questões da prova da 1a fase da OBMEP 2011 - Nível 2, fornecendo as alternativas corretas para cada uma.
2. Apresenta raciocínios e cálculos realizados para chegar às soluções de cada questão.
3. Aborda temas como proporções, porcentagens, geometria, raciocínio lógico e álgebra.
O documento fornece informações sobre atividades complementares de história para alunos do 8o ano do ensino fundamental sobre os caminhos para a independência do Brasil, Estados Unidos e países da América Espanhola. Inclui três textos com detalhes sobre os processos de independência desses países e resumos sobre as causas e principais eventos que levaram à independência de cada local.
O documento fornece informações sobre atividades complementares de História para alunos do 9o ano sobre os temas de totalitarismos e conflitos mundiais. Inclui resumos sobre a Primeira Guerra Mundial e a Revolução Russa de 1917.
O documento descreve uma atividade complementar de sociologia para alunos do 9o ano. A atividade aborda os temas da cibercultura, ciberespaço, redes sociais e inteligência coletiva, bem como os impactos do cyberbullying. O objetivo é complementar o ensino e aprendizagem sobre esses tópicos relacionados ao processo de globalização.
O documento fornece informações sobre atividades complementares de história para alunos do 9o ano sobre o período varguista no Brasil. Inclui dois textos que descrevem a Era Vargas e o papel de Getúlio Vargas no trabalhismo. O objetivo é facilitar a compreensão dos alunos sobre os conhecimentos acumulados em aulas anteriores.
1) Narciso era um jovem belo filho de deuses, que desprezava o amor de todos.
2) A ninfa Eco se apaixonou por ele, mas foi rejeitada e amaldiçoada a amar sem possuir.
3) Bebendo água, Narciso viu seu reflexo e se apaixonou por si mesmo, incapaz de alcançar sua imagem. Morreu transformando-se na flor narciso.
O documento discute a arte e como ela pode ser entendida de maneiras diversas, não se limitando a desenhos ou coisas bonitas. Ele incentiva os alunos a pensarem sobre arte de forma ampla e a refletirem sobre como a pandemia os faz sentir usando ferramentas artísticas.
Este documento fornece uma matriz disciplinar para ensinar arte no ensino fundamental, abordando:
1) O conceito de arte e como ele vai além de desenhos, podendo incluir fotografia, escultura e outros meios;
2) Uma série de questões para testar a compreensão dos alunos sobre os diversos aspectos da arte;
3) Instruções para os alunos refletirem criativamente sobre como a pandemia os faz sentir usando ferramentas de arte.
História - Prof Celso Blog SEMEC 7ano aulaDiedNuenf
[1] O documento fornece informações sobre atividades complementares de história para alunos do 7o ano durante a pandemia de Covid-19. [2] Inclui textos sobre civilizações pré-colombianas e sociedades africanas pré-coloniais. [3] Ao final, há dez questões sobre os textos para avaliar os conhecimentos dos alunos.
Este documento apresenta atividades para alunos do 6o ano sobre o sistema de numeração decimal e o papel do zero e da vírgula. As atividades incluem a formação de números usando cartões numerados e a resolução de questões sobre a posição correta do zero e da vírgula. O objetivo é inserir novos conhecimentos sobre como o sistema posicional funciona nos números decimais.
O documento apresenta informações sobre uma atividade complementar de História para alunos do 6o ano sobre a Grécia Antiga. O texto descreve a organização política das cidades-estados gregas, como Atenas e Esparta, e traz detalhes sobre a democracia ateniense e a religião na Grécia Antiga.
O documento descreve:
1) Uma atividade complementar de História para alunos do 3o ano sobre a Proclamação da República e a Primeira República brasileira.
2) Textos que explicam a Proclamação da República em 1889 e as características da Primeira República, como o coronelismo.
3) Atividades propostas para os alunos, como pesquisar sobre regimes e sistemas políticos e debater modelos eleitorais.
1) O documento apresenta atividades complementares sobre a Revolução Industrial e o escravismo no Brasil do século XIX para alunos do 3o ano do ensino fundamental realizarem a distância.
2) Dois temas serão abordados: a Revolução Industrial e seus impactos, e o escravismo no Brasil, incluindo a abolição da escravatura.
3) Textos e questões são fornecidos para que os alunos estudem os assuntos de forma autônoma durante a pandemia.
O documento descreve como a aritmética, geometria e álgebra podem ser usadas para criar movimento e animação. Ele explica como um ponto em uma figura geométrica pode mudar de posição ao somar ou subtrair valores de suas coordenadas, permitindo que a figura se mova dinamicamente. O documento usa o exemplo de um barquinho cuja posição pode ser controlada adicionando valores à sua localização para demonstrar como esses conceitos matemáticos podem ser aplicados.
Este documento fornece atividades complementares de história para alunos do 4o ano do ensino fundamental sobre a Revolução Industrial e a escravidão no Brasil. Inclui textos sobre a luta dos escravos pela liberdade, as características da Revolução Industrial e suas etapas, e instruções para que os alunos realizem pesquisas adicionais sobre esses temas.
[1] O documento discute a importância da leitura do quadrinho sobre o diário de Anne Frank durante o período de quarentena, para que os alunos compreendam os valores da vida e da importância de cuidar uns dos outros. [2] A segunda parte apresenta três textos sobre a população de rua durante a pandemia e como eles estão mais expostos ao coronavírus, e pede para que os alunos respondam perguntas sobre os textos. [3] O objetivo é analisar valores, visões de mundo e estruturas nos gêneros liter
[1] O documento discute a importância da leitura do quadrinho sobre o diário de Anne Frank durante o período de quarentena, para que os alunos compreendam os valores da vida e da importância de cuidar uns dos outros. [2] A segunda parte apresenta três textos sobre a população de rua durante a pandemia e instrui os alunos a responderem perguntas sobre os textos. [3] O objetivo é analisar estruturas e posicionar-se criticamente sobre esses gêneros literários e sociais.
1) Apresenta os personagens reais por trás dos pseudônimos usados no Diário de Anne Frank.
2) Resume o conteúdo do Diário de Anne Frank em quadrinhos, adaptado para um formato de história em quadrinhos.
3) Descreve brevemente o que aconteceu com os personagens após sua prisão em 1944.
(1) O documento contém 45 questões de múltipla escolha sobre assuntos como matemática, geometria e interpretação de dados; (2) As questões abordam tópicos como porcentagem, sistemas de equações, álgebra, geometria espacial e estatística; (3) Há também questões sobre interpretação e conversão de frações, raízes quadradas e expressões algébricas.
A primeira República brasileira foi estabelecida por um golpe militar antidemocrático, mas seus primeiros governantes queriam uma ditadura socialista. Muitos grupos, incluindo analfabetos, mulheres, indígenas e soldados rasos, foram excluídos do direito ao voto. A política econômica de Rui Barbosa, conhecida como "Encilhamento", visava industrializar o país através de créditos facilitados.
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
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Sobme psf1n3 2019
1. Solução da prova da 1.ª Fase
QUESTÃO 1
ALTERNATIVA B
Em um grupo de 13 estudantes temos 8 meninas e 5 meninos, ou seja, 3 meninas a mais. Em 20 grupos de 13
estudantes teremos exatamente 60 meninas a mais do que meninos. Logo, no total temos 20 × 13 = 260
estudantes.
QUESTÃO 2
ALTERNATIVA C
Vamos pensar nas netas como as letras A, B, C, D e E e descrever a ordem em que elas chegaram como uma
sequência dessas letras, lida da esquerda para a direita. O enunciado nos diz que nessa sequência
1. o B está à esquerda do A (Beatriz chegou antes de Ana);
2. o B está à direita do D (Beatriz chegou depois de Daniela);
3. o bloco CDE aparece sem letras intermediárias e com as letras nessa ordem (Cláudia, Daniela e Érica
chegaram uma em seguida da outra, nessa ordem).
As informações 2 e 3 mostram que o B aparece à direita do bloco CDE, e a informação 1 diz que o A está à direita
do B. A nossa sequência é, então, CDEBA, e concluímos que a primeira a chegar foi Cláudia.
QUESTÃO 3
ALTERNATIVA D
A ilustração nos permite concluir que os números escritos nas quatro faces
que compartilham um lado com a face de número 10 são: 11, 12, 13 e 14.
Observando as rotações do número 10, podemos concluir que 11 é oposto
a 14 e 12 oposto ao 13. Mais precisamente, 13 é o número que está mais
próximo do algarismo 1 do número 10, e 12 o que está mais próximo do
algarismo 0. Assim, a soma dos números das faces em contato é 14 + 13 +
12 + 14 + 11 + 12 = 76.
QUESTÃO 4
ALTERNATIVA D
Representando graficamente as três situações uma no topo da outra, como na
figura ao lado, observamos que a soma das três medidas corresponde a 3 vezes
a distância h (o bloco verde debaixo compensa com o bloco verde do topo).
Logo, h =
113+80+82
3
= 91 cm.
OUTRA SOLUÇÃO:
Cada uma das distâncias nas três figuras pode ser expressa em termos de h e
das alturas de dois dos blocos:
111 = h – bloco verde + bloco azul
80 = h – bloco azul + bloco rosa
82 = h – bloco rosa + bloco verde
Cada bloco aparece uma vez nessas igualdades com sinal positivo e outra com
sinal negativo.
Portanto, ao somá-las, eles se cancelam. Temos, assim:
111 + 80 + 82 = 3h
Logo, 3h = 273 e, portanto, h = 91 cm.
3Ensino Médio
1.a Fase 21 de maio de 2019
Nível
2. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2019 Nível 3
2
QUESTÃO 5
ALTERNATIVA A
Para obter f(3), façamos
2x+1
x−1
= 3. Obtemos, assim, 2x + 1 = 3 (x − 1), ou seja, x = 4. Portanto,
𝑓(3) =
1
4
QUESTÃO 6
ALTERNATIVA E
Vamos usar as letras p, c e s para denotar o preço (em reais) de um pão de queijo, de um cachorro-quente e de
um suco de laranja, respectivamente. O enunciado nos diz que 𝑝 + 2𝑐 + 𝑠 = 31 e 3𝑝 + 3𝑐 + 2𝑠 = 59. Multiplicando
a primeira expressão por 2 e subtraindo do resultado, pois, assim, a segunda expressão, obtemos
2(𝑝 + 2𝑐 + 𝑠) − (3𝑝 + 3𝑐 + 2𝑠) = 𝑐 − 𝑝
e, por outro lado,
2(𝑝 + 2𝑐 + 𝑠) − (3𝑝 + 3𝑐 + 2𝑠) = 2 ⋅ 31 − 59 = 3
ou seja, 𝑐 − 𝑝 = 3.
Vamos a outra solução; ao contrário da anterior, onde o 𝑐 − 𝑝 apareceu “por acaso”, nessa vamos
sistematicamente em busca de 𝑐 − 𝑝, escrevendo
31 = 𝑝 + 2𝑐 + 𝑠 = 2(𝑐 − 𝑝) + 3𝑝 + 𝑠
e
59 = 3𝑝 + 3𝑐 + 2𝑠 = 3(𝑐 − 𝑝) + 6𝑝 + 2𝑠.
Observando essas expressões, notamos que o 6𝑝 + 2𝑠 da segunda é duas vezes o 3𝑝 + 𝑠 da primeira, o que
sugere multiplicar a primeira expressão por 2 e subtrair a segunda do resultado, pois assim os termos em p e s
desaparecem, restando apenas um termo em 𝑐 − 𝑝. Temos então
2 ⋅ 31 − 59 = [4(𝑐 − 𝑝) + 6𝑝 + 2𝑠] − [3(𝑐 − 𝑝) + 6𝑝 + 2𝑠] = 𝑐 − 𝑝
ou seja, temos 𝑐 − 𝑝 = 3 como antes.
QUESTÃO 7
ALTERNATIVA E
Observando que AAA = A × 111 = A × 3 × 37 , temos as seguintes possibilidades:
A = 1. Não serve pois teríamos, obrigatoriamente, AB = 37 e o primeiro dos A´s na conta seria 3 e não 1.
A = 2. Não serve pois teríamos AB = 37 com B = 6 ou AB = 74 com B = 3. Nos dois casos, olhando para o primeiro
dos A’s na conta, teríamos A ≠ 2.
A = 3. Serve pois AB seria 37 e, consequentemente, A = 3 , B =7 e C = 9.
A = 4. Não serve, AB seria 74 e C = 6, ou seja, o primeiro A da conta seria 7 ≠ 4.
A = 5. Não serve, pois teríamos C com 2 algarismos ou AB com 3 algarismos.
A = 6. Não serve, AB seria 74 e C = 9, ou seja, o primeiro A da conta seria 7 ≠ 6.
A > 6. Não serve, pois teríamos C com 2 algarismos ou AB com 3 algarismos.
Logo, C = 9.
QUESTÃO 8
ALTERNATIVA B
Há 15 possibilidades de escolhas de uma bola da primeira caixa juntamente com uma bola da segunda caixa.
Dessas 15 escolhas duplas (uma bola de cada caixa), somente 3 repetem a mesma letra. Logo, a probabilidade
das duas bolas terem a mesma letra é 3/15= 1/5.
OUTRA SOLUÇÃO:
Basta olhar para as bolas na ordem inversa do sorteio, ou seja, olhe para a segunda bola primeiro. Os 3 resultados
são bons para a sua intenção. Agora olhe para a primeira bola sorteada: apenas um dos 5 resultados são
favoráveis a sua intenção, portanto, a probabilidade desejada é 1/5.
3. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2019 Nível 3
3
QUESTÃO 9
ALTERNATIVA A
O triângulo ABN tem base AB igual à do paralelogramo e altura relativa a
essa base igual à altura do paralelogramo relativa a essa mesma base.
Portanto, a área de ABN (que é igual a a + b + x) é igual à metade da área
do paralelogramo. Do mesmo modo, a área de ADM (igual a d + b + c) é
também igual à metade da área do paralelogramo.
Logo, a + b + x = d + b + c e, daí, x = c + d – a.
QUESTÃO 10
ALTERNATIVA B
Observando que
9
110
1111111111
10
e
9
110
211111222222
5
, temos:
33333111113
9
110
3
3
110
3
110
3
110.210
9
110
2
9
110 5525510510
Logo, a soma dos algarismos do número apresentado no enunciado é 3 × 5 =15.
4. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2019 Nível 3
4
QUESTÃO 11
ALTERNATIVA E
Os triângulos isósceles DEP podem ser divididos em três tipos: 𝑃𝐸 = 𝑃𝐷, 𝐷𝑃 = 𝐸𝐷 e 𝐸𝐷 = 𝐸𝑃. Vamos analisar
esses casos um a um; vamos também garantir que, em cada caso, não aparecem triângulos equiláteros, de modo
que a contagem final será dada pela soma das contagens em cada caso.
Caso 𝑷𝑬 = 𝑷𝑫: Nesse caso P deve estar na mediatriz de DE, conforme a figura à direita. É visualmente claro que
aqui temos apenas um triângulo isósceles, mas do ponto de vista matemático isso não é suficiente; devemos
mostrar que a mediatriz de DE intersecta a reta BC entre os pontos B e C, ou, equivalentemente, que 𝐶𝑃 < 8.
Para isso, consideremos a figura à esquerda, em que M é o ponto médio de DE e a
reta MP é a mediatriz de DE. O segmento MR é base média do triângulo DQE; segue
que 𝑀𝑅 = 1,5 e então 𝑀𝑆 = 2,5 (curiosamente, o triângulo MSD é isósceles).
Observamos agora que os triângulos SPM e DQE são semelhantes, de vez que são
ambos retângulos e seus ângulos em M e D, sendo agudos e tendo seus lados dois a
dois perpendiculares, são iguais. Segue que
𝑃𝑆
𝑀𝑆
=
𝐸𝑄
𝐷𝑄
, ou seja,
𝑃𝑆
2,5
=
3
4
. Logo, 𝑃𝑆 = 1,85
e, então, 𝐶𝑃 = 𝐶𝑆 + 𝑆𝑃 = 3,85 < 8, ou seja, P está de fato no segmento BC.
Observamos finalmente que o triângulo PDE não é equilátero, pois do triângulo
retângulo DPC obtemos
𝐷𝑃2
= 12
+ 𝐶𝑃2
< 1 + (3,85)2
< 1 + 16 = 17
e, então, 𝐷𝑃 < 5.
Caso 𝑫𝑬 = 𝑫𝑷: Nesse caso P deve estar em uma circunferência de centro D
e raio DE. É visualmente claro que temos apenas um triângulo isósceles,
conforme a figura à direita. Para mostrar que esse é o caso, observamos que
se supormos 𝐷𝑃 = 5 com 𝑃 ∈ 𝐵𝐶, o teorema de Pitátoras aplicado ao triângulo
retângulo CPD nos dá
𝐶𝑃2
= 52
− 12
= 24, ou seja, 𝐶𝑃 = 2√6 < 8.
Para mostrar que o triângulo DEP não é
equilátero vamos usar a figura à
esquerda, onde F é o pé da perpendicular traçada por E a BC. Como 𝐶𝐹 =
𝐸𝐹 = 4 e 𝐶𝑃 = 2√6 > 4, temos 𝑃𝐹 = 2√6 − 4; o triângulo retângulo EFP nos
dá
𝐸𝑃2
= 42
+ (2√6 − 4)
2
= 56 − 16√6 < 56 − 16 × 2,4 = 17,6 < 25
Foi usado que √6 > 2,4 na penúltima desigualdade. Logo, 𝐸𝑃 < 5 e o
triângulo DEP não é equilátero.
Caso 𝑬𝑷 = 𝑬𝑫: Nesse caso P deve estar na circunferência de centro E e
raio ED. Outra vez, é visualmente claro que temos três soluções, conforme
a figura à direita; vamos mostrar que isso realmente acontece.
Subcaso 𝑷 ∈ 𝑨𝑩: Se 𝑃 ∈ 𝐴𝐵 é tal
que 𝐸𝑃 = 𝐸𝐷 = 5, conforme a
figura à esquerda, o teorema de
Pitágoras nos diz que 𝐴𝑃 = 3, ou
seja, temos um único P neste caso.
Notamos que o triângulo EDP não
é equilátero pois 𝐷𝑃 = 8.
Subcaso 𝑷 ∈ 𝑩𝑪: Sejam F o pé da perpendicular traçada de E a BC e 𝑃1,
𝑃2 ∈ 𝐵𝐶 tais que 𝐹𝑃1 = 𝐹𝑃2 = 3. Aqui também o teorema de Pitágoras nos
mostra que 𝐸𝑃! = 𝐸𝑃2 = 5 e temos os dois triângulos isósceles 𝐸𝐷𝑃1 e 𝐸𝐷𝑃2. Observamos que nenhum deles é
equilátero; de fato, o triângulo retângulo 𝐶𝐷𝑃1 nos dá (𝐷𝑃1)2
= 12
+ 72
= 50, donde 𝐷𝑃1 ≠ 5 e o triângulo retângulo
𝐷𝐶𝑃2 nos dá (𝐷𝑃2)2
= 12
+ 12
= 2, donde 𝐷𝑃1 ≠ 5.
Desse modo, existem exatamente cinco triângulos isósceles satisfazendo as condições do enunciado.
5. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2019 Nível 3
5
QUESTÃO 12
ALTERNATIVA A
A medidas dos segmentos BC e CP são denotadas, respectivamente,
por 𝑎 e 𝑏, e 𝑥 e 𝑦 denotam as medidas das alturas dos triângulos PQC
e ABQ, respectivamente. A área do triângulo BCP é 8, assim
𝑎∙𝑏
2
= 8;
portanto 𝑏 = 16/𝑎. Além disso, temos as relações:
16
𝑎
∙
𝑥
2
= 2 ⇔ 𝑥 =
𝑎
4
𝑦 = 𝑎 −
𝑎
4
=
3
4
𝑎
Por outro lado, os triângulos ABQ e PQC são semelhantes (por terem
seus ângulos internos iguais) com razão de semelhança
𝑦
𝑥
= 3, o que
implica na igualdade
á𝑟𝑒𝑎(𝐴𝐵𝑄) = 9 × á𝑟𝑒𝑎(𝑃𝑄𝐶) = 18.
Portanto, á𝑟𝑒𝑎(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 2 × (18 + 6) = 48.
QUESTÃO 13
ALTERNATIVA E
A área do triângulo ABP em função de x é igual a
8
4
2
x
x, pois sua base AB mede
8 cm, e a altura relativa a essa base é exatamente a distância do ponto P a essa base,
ou seja, x. A área do triângulo APD é o dobro, isto é, 8x . Portanto, a área da região
destacada em cinza é igual à área do quadrado subtraída das áreas desses dois
triângulos, ou seja, igual a 2
8 (4 8 ) 64 12x x x . O valor de x varia entre 0,
quando P coincide com o vértice A, e 4, quando P coincide com o ponto médio do lado
BC (lembremos que o ponto P deve permanecer no interior do quadrado, conforme nos
diz o enunciado). Se y é área da região cinza, então 64 12y x para x real e 0 4x , e o gráfico de y em
função de x é um segmento de reta, conforme figura abaixo.
6. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2019 Nível 3
6
QUESTÃO 14
ALTERNATIVA C
A afirmação I é falsa, pois, por exemplo, os cartões com os números 1, 1, 22 e 22 satisfazem o enunciado e nem
todos são iguais ou maiores do que 8.
A afirmação II é verdadeira. Para ver isso, sejam a, b, c e d os números nos cartões. Sabemos que
a + b + c ≥ 24
a + b + d ≥ 24
a + c + d ≥ 24
b + c + d ≥ 24
Da primeira igualdade, podemos inferir que ou a ≥ 8 ou b ≥ 8 ou c ≥ 8. Sem perda de generalidade, suponhamos
a ≥ 8. Analisemos agora a última das quatro equações acima; pelo mesmo motivo, um dos três números, b, c ou
d, deve ser igual ou maior do que 8, digamos que b ≥ 8, novamente sem perda de generalidade. Logo, a + b ≥ 16.
A afirmação III é verdadeira. Escolhendo a e b como acima, concluímos que a x b ≥ 64.
QUESTÃO 15
ALTERNATIVA D
A ocupação dos lugares se dá em duas etapas:
Inicialmente, os lugares são ocupados de modo que não haja cadeiras vizinhas ocupadas, até que isto
não seja mais possível.
A seguir, os demais lugares são ocupados em qualquer ordem.
Para contar o número de possibilidades de ocupação, vamos, inicialmente, encontrar as configurações maximais,
para as quais não há cadeiras vizinhas ocupadas, mas tais que o próximo a chegar necessariamente precisará
sentar ao lado de alguém. Há dois tipos de configurações maximais:
Com 2 pessoas, que devem ocupar os lugares 2 e 5
Com 3 pessoas, que podem ocupar os lugares 1, 3, 5; 1, 3, 6; 1, 4, 6; ou 2, 4, 6.
No primeiro caso, há 2 possibilidades para a ordem de ocupação dos assentos 2 e 5; para cada uma dessas
possiblidades os lugares podem ser ocupados em qualquer ordem, ou seja, há 4 x 3 x 2 x 1 = 24 possiblidades.
Para cada uma das 4 situações do segundo caso, há 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades de ordem de ocupação dos
lugares da configuração maximal; a seguir, para cada uma dessas possiblidades, os demais lugares também
podem ser ocupados em qualquer ordem, com um total de 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades.
Logo, o número total de possibilidades de ocupação é igual a:
2 x 24 + 4 x 6 x 6 = 192 possibilidades.
7. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2019 Nível 3
7
QUESTÃO 16
ALTERNATIVA C
Na ida da pedra 1 até a pedra 10, a rã tem que transpor 9 espaços entre pedras consecutivas. Em cada salto, a
rã pode percorrer 1, 2 ou 3 espaços. Se chamarmos de x, y e z o número de saltos em que a rã percorre 1, 2 ou
3 espaços, respectivamente, temos
x + y + z = 5 (já que a rã anda 5 pulos)
x + 2y + 3z = 9 (já que são 9 espaços a percorrer)
Subtraindo as duas equações, encontramos y + 2z = 4. A tabela abaixo dá os possíveis valores de x, y e z e o
número de possibilidades em cada caso.
z y x Número de possibilidades
0 4 1 O salto em que é percorrido 1 espaço pode ser qualquer um dos 5 saltos. Há 5
possibilidades.
1 2 2 O salto em que são percorridos 3 espaços pode ser escolhido de 5 modos. Dos 4
saltos restantes, 2 devem percorrer dois espaços; esses saltos podem ser
escolhidos de
4 𝑥 3
2
= 6 modos. Logo, há 5 x 6 = 30 possibilidades.
2 0 3 Os dois saltos em que são percorridos 3 espaços podem ser escolhidos de
5 𝑥 4
2
=
10 modos. Os demais saltos são de 1 espaço cada. Há 10 possibilidades.
Logo, o número total de possiblidades para os saltos da rã é 5 + 30 + 10 = 45.
QUESTÃO 17
ALTERNATIVA C
Seja p a probabilidade de partir de A e chegar a B. Além disso, seja q a probabilidade de a formiga chegar a algum
dos outros pontos no topo da pista, diferentes de B.
Como ela se move ou para a direita ou para cima, ela inevitavelmente chegará a um dos pontos do topo da pista.
Assim temos que p + q =1.
Além disso, qualquer caminho que parte de A até B tem que ser do seguinte tipo: partindo de A chega até um dos
pontos da linha vertical mais à direita, e sobe até B.
Isso significa que p é a soma das probabilidades de chegar a um dos pontos na linha mais à direita do ponto A.
Mas cada caminho desses tem um caminho correspondente, com a mesma probabilidade, que chega a um dos
pontos no topo da pista. Para entender esse mapeamento, chame de V um movimento vertical e de H um
movimento horizontal. Um caminho até um dos pontos no topo é uma sequência de movimentos VVHV...
Para cada caminho desses, corresponde um caminho até a linha vertical mais à direita, obtido pela troca de V ↔
H. Por exemplo, o caminho VVVHV vai de A até o segundo ponto do topo, da esquerda para a direita. O caminho
HHHVH vai de A até o segundo ponto, de baixo para cima, na linha vertical mais à direita de A. Esses dois
caminhos têm a mesma probabilidade.
Portanto, a soma das probabilidades de se partir de A e chegar a algum ponto da linha vertical mais à direita de A
é q, o que implica p = q.
Mas, como p + q = 1, p = 1/2.
OUTRA SOLUÇÃO
Qualquer caminho que parte de A e chega a B tem que ser do seguinte tipo: partindo de A chega até um dos
pontos da linha vertical mais à direita de A, e sobe até B, pois, uma vez nessa linha, a formiga não tem outra opção
que não seja subir até B.
Chamando de V um movimento vertical e de H um movimento horizontal, qualquer caminho até um desses pontos
da linha mais à direita de A pode ser escrito como uma sequência de V’s e H’s.
Os caminhos possíveis tem, necessariamente, 4 movimentos horizontais e n movimentos verticais, com n = 0, 1,
2 ou 3. Note que, uma vez que a formiga se encontrar na linha vertical mais à direita de A, ela se movimentará
verticalmente. Assim, devemos considerar os caminhos que chegam a esta linha de tal forma que o último
movimento seja horizontal. A probabilidade de realizar um caminho desses é ½(4+n).
Assim, devemos calcular quantas sequências distintas podemos escrever com 3 H’s e n V’s, já que o último
movimento deve ser horizontal.
Se fossem 3 + n letras distintas, pelo princípio multiplicativo, teríamos (3 + n) x (3 + n – 1) x ... x 2 x 1 = (3 + n)!
sequências possíveis.
8. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2019 Nível 3
8
Mas como temos 3 H’s e n V’s, devemos dividir pelas permutações de H’s e V’s, para evitar dupla contagem. Há
3! permutações dos H’s e n! permutações dos V’s que não alteram a sequência. Assim, o número de sequências
distintas com 3 H’s e n V’s é (3 + n)!/3!n!
Então, a probabilidade de partir de A e chegar a B é
p = 1/24 x 3!/3! + 1/25 x 4!/3!1! + 1/26 x 5!/3!2! + 1/27 x 6!/3!3!
= 1/16 + 4/32 + 10/64 + 20/128 = (8 + 16 + 20 + 20)/128 = 64/128 =1/2.
QUESTÃO 18
ALTERNATIVA C
Inicialmente vamos mostrar que abrir duas caixas não é suficiente. Vamos chamar as caixas de A,B,C,D e E e as
bolas com os mesmos nomes para que possamos abrir hipóteses sem perder generalidade e chamaremos de
caixa especial a caixa com bola de mesma numeração da caixa.
Após abrir a primeira caixa (A) duas coisas podem acontecer: encontrarmos a bola A e teremos descoberto a caixa
especial. Então vamos nos concentrar no caso em que a bola na caixa A seja uma bola diferente de A, que
chamaremos de B.
Hipótese 1: Abrir a caixa B (é uma hipótese ruim, pois já temos certeza de que a caixa B não é a especial, mas,
ainda assim, vamos analisar para esgotar as possibilidades).
Se na caixa B estiver a bola A, então ainda não se pode saber qual é a caixa especial, basta ver no diagrama
abaixo que haveria três possibilidades para as outras 3 caixas e cada uma dessas possibilidades apresenta uma
caixa especial diferente :
Se na caixa B estiver uma bola diferente de A e de B, podemos, sem perda de generalidade, chamá-la de C, então
com certeza a caixa especial terá que ser a D ou a E, mas as duas coisas ainda poderiam acontecer como descrito
no diagrama abaixo e, portanto, não seria possível determinar a caixa especial abrindo só duas caixas.
Hipótese 2: Após abrir a caixa A, escolhemos uma caixa diferente da B para abrir. Separaremos essa hipótese em
dois casos: se a bola nessa caixa for A ou se a bola nessa caixa for diferente de A e de C.
Se a bola na caixa C for A, então cairemos nos dois casos do diagrama abaixo, e não será possível determinar se
a caixa especial é a D ou a E:
Se a bola na caixa C for diferente de A e de C (por exemplo, D), esta será a única situação em que a caixa especial
ficará determinada após a abertura de duas caixas não especiais.
Com isso, concluímos que, de fato, a abertura de duas caixas não garante a determinação de qual é a especial.
Vamos mostrar agora que com a abertura de 3 caixas podemos garantir qual é a caixa especial.
Imaginemos que 3 caixas foram abertas e que nenhuma delas era a especial.
Se chamarmos essas 3 caixas de A,B e C, então é impossível que as 3 bolas A, B e C já tenham aparecido nas 3
primeiras caixas, pois isso obrigaria as caixas D e E a serem ambas especiais ou ambas não especiais.
9. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2019 Nível 3
9
Portanto, em uma das 3 caixas não especiais que já foram abertas tem que aparecer a bola de uma das outras
duas caixas que automaticamente poderemos garantir que também não será especial. Com isso, só sobrará uma
caixa para ser a especial.
Podemos, portanto, garantir que a quantidade mínima de caixas que precisam ser abertas para descobrirmos qual
caixa contém a bola de igual número é 3.
QUESTÃO 19
ALTERNATIVA D
Usaremos as seguintes notações:
𝑉 : Volume do reservatório;
𝑣1: vazão da primeira torneira;
𝑣2: vazão da segunda torneira;
𝑇1: tempo que leva a primeira torneira para encher o reservatório;
𝑇2: tempo que leva a segunda torneira para encher o reservatório.
Observamos que 𝑇1 =
𝑉
𝑣1
e 𝑇2 =
𝑉
𝑣2
. De acordo com o enunciado, vale a igualdade:
5
6
𝑉 =
1
3
∙ 𝑣1 ∙
𝑉
𝑣2
+
1
3
∙ 𝑣2 ∙
𝑉
𝑣1
;
portanto
5
2
=
𝑣1
𝑣2
+
𝑣2
𝑣1
. Suponhamos que a primeira torneira é a de maior vazão ( 𝑣1 > 𝑣2 ) e chamemos 𝑥 =
𝑣1
𝑣2
> 1,
então
5
2
= 𝑥 +
1
𝑥
⇔ 2𝑥2
− 5𝑥 + 2 = (2𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = 0;
logo, 𝑥 =
𝑣1
𝑣2
= 2. Levando em conta que as duas torneiras, juntas, enchem o reservatório em 2 horas e 30 minutos
(150 min.), temos que
𝑇1 =
𝑉
𝑣1
=
150(𝑣1 + 𝑣2)
𝑣1
= 150 (1 +
1
2
) = 225.
Assim, o tempo necessário para a torneira de maior vazão encher o reservatório é de 225 minutos = 3 horas e 45
minutos.
QUESTÃO 20
ALTERNATIVA C
Sejam ℎ o número de meninos e 𝑚 o número de meninas no aniversário. Por um lado, como cada menino conhece
4 meninas, o número de relações de conhecimento é 4 ⋅ ℎ. Por outro lado, como cada menina conhece ℎ − 5
meninos, esse número também é igual é (ℎ − 5) ⋅ 𝑚.
De 4 ⋅ ℎ = (ℎ − 5) ⋅ 𝑚, podemos concluir que ℎ ⋅ (𝑚 − 4) = 5𝑚 . Como o membro direito dessa equação é um
múltiplo de 5, segue que ℎ ou 𝑚 − 4 é um múltiplo de 5. Não podemos ter ℎ = 5 ou 𝑚 = 4, pois nesses casos a
equação não possui solução.
Quando ℎ é múltiplo de 5, os possíveis pares (ℎ, 𝑚) que satisfazem a equação são: (10, 8), (15, 6), (20, 16/3), ...
Quando 𝑚 − 4 é um múltiplo de 5, os possíveis pares (ℎ, 𝑚) que satisfazem a equação são: (9, 9), (7 , 14), (19/3,
19), ...
Note que, se 𝑚 − 4 ≥ 10 ou ℎ ≥ 15, temos 𝑚 + ℎ ≥ 14 +
5𝑚
𝑚−4
> 14 + 5 = 19 ou 𝑚 + ℎ ≥ 4ℎ/(ℎ − 5) + 15 > 4 +
15 = 19. Assim, considerando as soluções (10,8) e (9,9), podemos concluir que 𝑚 + ℎ ≥ 18.
Para exibir um exemplo em que essa soma mínima é atingida, considere uma festa contendo os meninos
ℎ1, ℎ2, … , ℎ10 e as meninas 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3, 𝑚4, 𝑚5, 𝑚6, 𝑚7, 𝑚8. Se apenas as pessoas dentro de um dos seguintes
grupos { ℎ1, ℎ2, ℎ3, ℎ4, ℎ5, 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3, 𝑚4} e { ℎ6, ℎ7, ℎ8, ℎ9, ℎ10, 𝑚5, 𝑚6, 𝑚7, 𝑚8} se conhecerem, as condições do
enunciado serão satisfeitas.
Logo, o número mínimo de pessoas na festa é 18.