O documento discute análise combinatória, que estuda agrupamentos de elementos sem precisar enumerá-los. A origem do assunto está ligada a estudos de jogos de azar. Atualmente, é usada para estimativas em jogos de loteria e para planejamento de horários e produção. O texto também apresenta exemplos de cálculo fatorial.

1. AnáliseAnálise
CombinatóriaCombinatória
Prof. MarlonProf. Marlon

2. ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA é uma
parte da matemática que estuda os
agrupamentos de elementos sem
precisar de enumerá-los.
A origem desse assunto está ligada ao
estudo dos jogos de azar, tais como:
lançamento de dados, jogos de cartas,
etc.

3. Atualmente, a estimativa de acertos
em jogos populares como: loteria
esportiva, loto, loteria federal, etc.,
além de utilizações mais específicas,
como confecções de horários, de
planos de produção, de números de
placas de automóveis etc.

4. Ex.: 2! = 2 x 1 = 2
3! = 3 x 2 x 1 = 6
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Convenção 0! = 1 1! = 1
FATORIAL É UMA OPERAÇÃO !FATORIAL É UMA OPERAÇÃO !

5. ANÁLISE COMBINATÓRIA
FATORIAL
5! = 5.4.3.2.1 = 120
4! = 4.3.2.1 = 24
3! = 3.2.1 = 6
2! = 2.1 = 2
1! = 1
0! = 1 CONVENÇÃO
Exemplo: Calcular o valor de:
a) 4! + 3! b) 7!
24 + 6
30
7.6.5.4.3.2.1
5040 Observe que:
4!+3! ≠ 7!
c)
!8
!10
n! = n.(n − 1) . (n − 2) . (n − 3). .... 2 . 1
=
8!
10.9.8! 90=

6. d)
!49
!49!50 −
– 49!
49!
50.49!
49!(50 – 1)
49!
49
O conjunto solução de:
210
)!1(
)!1(
=
−
+
n
n
é:
(n – 1)!
= 210
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)....
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)!
(n + 1).n.(n – 1)!
(n + 1).n = 210
n2
+ n – 210 = 0
n’ = 14 n’’ = - 15
(n tem que ser natural)
Determine a soma dos valores
de m que satisfazem a
equação (m – 3)! = 1
(m – 3)! = 1!ou (m – 3)! = 0!
m – 3 = 1
m = 4
m – 3 = 0
m = 3
Logo a soma dos valores de m
é 7
210
)!1(
)!1(
=
−
+
n
n

7. Observação: n! = n (n – 1)!
Ex.: 8! = 8 . 7!
10! = 10 . 9!
Exemplo:Simplificar a expressão:
9900
!98
!9899100
!98
!100
=
⋅⋅
=

8. 56))(1(56
)!1(
)!1)()(1(
56
)!1(
)!1(
=+⇒=
−
−+
⇒=
−
+
xx
x
xxx
x
x
.56
)!1(
)!1(
=
−
+
x
x
Resolva a equação:
2
2251
05656 22 ±−
=⇒=−+⇒=+ xxxxx



=
=
⇒
±−
=
-8x
7x
2
151
x
Resposta: x = 7, pois não existe fatorial de
um número negativo

9. Árvore de possibilidades – princípio geral que pode ser
usado para se resolver muitos problemas de
contagem.
EXEMPLO:
Uma criança pode escolher uma entre duas balas, uma rosa
e uma preta, e um entre três chicletes, um amarelo, um
verde e um branco. Quantos conjuntos diferentes a
criança pode ter?
PR
B
V
A BV
A
{R, V}{R, A} {R, B} {P, A} {P, V} {P, B}
Escolha da bala
Escolha do chiclete
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DEPRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE
CONTAGEM – Princípio da MultiplicaçãoCONTAGEM – Princípio da Multiplicação

10. Trocando a seqüência de eventos:
Escolha da bala
Escolha do chicleteBA
P R PR
{A, P}{A, R} {V, R} {V, P} {B, R} {B, P}
R P
V
Número de possibilidades é o mesmo: 2 x 3 = 3 x 2 = 6.
Princípio da Multiplicação
Se existem n1 resultados possíveis para
um primeiro evento e n2 para um segundo,
então existem n1 . n2 resultados possíveis
para a seqüência de dois eventos.

11. EXEMPLO:
A última parte do seu número de telefone contém quatro dígitos.
Quantos desses números de quatro dígitos existem?
EXEMPLO:
Com relação ao Ex.23, quantos números de quatro dígitos
existem se um mesmo dígito não puder ser repetido?
EXEMPLO:
a) De quantas maneiras podemos escolher três representantes
em um grupo de 25 pessoas?
b) De quantas maneiras podemos escolher três representantes,
para três comissões, um para cada comissão, em um grupo
de 25 pessoas, se um representante pode participar de mais
de uma comissão?
10 . 10 . 10. 10 = 10000 números diferentes
10 . 9 . 8 . 7 = 5040 números diferentes
25 . 24 . 23 =
13800
25 . 25 . 25 =
15625

12. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Uma moça possui 5 camisas e 4 saias,
de quantas maneiras ela poderá se vestir?
A escolha de uma camisa poderá ser feita de
cinco maneiras diferentes. Escolhida a primeira
camisa poderá escolher uma das quatro saias.
Portanto, o número total de escolhas será:
4 x 5 = 20

13. 02. Uma moeda é lançada três vezes.
Qual o número de seqüências
possíveis de cara e coroa?
Indicaremos por C o resultado cara e K
o resultado coroa.
Queremos o número de triplas
ordenadas(a,b,c) onde a ∈ {C,K},b ∈
{C,K} e c ∈ {C,K}, logo, o resultado
procurado é
2.2.2 = 8

14. K
C
K
C
C
K
C
K
C
K
C
K
C
K
C – C – C
C – C – K
C – K – C
C – K – K
K – C – C
K – C – K
K – K – C
K – K - K
Pelo o Diagrama da
Árvore

15. 03. Quantos números de 3 algarismos
podemos formar com os algarismos
significativos (1 a 9)?
↓ ↓ ↓
9 x 9 x 9 = 729 números
E se fossem com algarismos distintos?
9 x 8 x 7 = 504 números

16. 04. Quantos números de quatro algarismos
distintos podemos formar no sistema de
numeração decimal?
Resolução:
Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
9 x 9 x 8 x 7
O número não começar por 0 (zero), logo:
9 . 9 . 8. 7 = 4.536
Resposta: 4.536 números

17. 05. Em uma corrida de 6 carros,
quantas são as possibilidades do 1º, 2º
e 3º lugares?
1º lugar 2º lugar 3º lugar
↓ ↓ ↓
6 x 5 x 4 = 120 possib.

18. 06. Quantos são os divisores de 72?
Os divisores de 72 são do tipo 2x
. 3y
(pois 72 = 23
.32
) onde: x ∈ {0, 1, 2, 3} e
y ∈ {0, 1, 2}.
Logo teremos: 4 possibilidades para a
escolha do expoente x e 3
possibilidades para a escolha do
expoente y.
Total: 4 x 3 = 12

19. 07. Quantos resultados podemos obter na
loteria esportiva?
Como são 14 jogos, e para cada um dos jogos
temos: coluna 1, coluna do meio e coluna 2.
Pelo P.F.C., teremos:
Jogo 1 Jogo 2 ... Jogo 14
C1
Cm
C2
C1
Cm
C2
C1
Cm
C2
3 x 3 x ... x 3 = 314

20. EM RESUMO:EM RESUMO:
1º) Quantas escolhas devem ser feitas.
2º) Quantas opções cada escolha tem.
3º) Multiplicar tudo!
⇒ Se o problema não depender da ordemnão depender da ordem
(por exemplo: comissões, escolhas, jogos,
equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão,
casais, grupos, etc.) dividimos o resultadodividimos o resultado
pelo fatorial das escolhas.pelo fatorial das escolhas.

21. 08. Existem 3 linhas de ônibus ligando a
cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à
cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C,
passando por B. De quantos modos
diferentes a pessoa poderá fazer essa
viagem?
Resolução:
de A para B = 3 possibilidades
de B para C = 4 possibilidades
Logo, pelo princípio fundamental de contagem,
temos: 3 . 4 = 12
Resposta: 12 modos

22. 09. A placa de um automóvel é formada
por duas letras seguidas por um número
de quatro algarismos. Com as letras A e R
e os algarismos ímpares, quantas placas
diferentes podem ser constituídas, de
modo que o número não tenha algarismo
repetido?
Pelo princípio fundamental da contagem, temos:
2 . 2 . 5. 4. 3. 2 = 480 Resposta: 480 placas
Resolução:
Placa:
2 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2

23. 10. Quantos números de três
algarismos distintos podemos formar
com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 7?
5 x 4 x 3 → 5 x 4 x 3 = 60
Respostas: 60 números

24. 11. Com os algarismos de 1 a 9,
quantos números de telefone podem
formar-se com 6 algarismos, de
maneira que cada número tenha
prefixo 51 e os restantes sejam
números todos diferentes, inclusive
dos números que formam o prefixo?

25. Resolução:
Algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
Prefixo →
7 x 6 x 5 x 4
colocando-se o prefixo 51, restam 7
algarismos, logo: 7 . 6 . 5. 4 = 840
Resposta: 840 números

26. 12. Um tabuleiro especial de xadrez
possui 16 casas dispostas em 4
linhas e 4 colunas. Um jogador
deseja colocar 4 peças no tabuleiro,
de tal forma que, em cada linha e
cada coluna, seja colocada apenas
uma peça. De quantas maneiras as
4 peças poderão ser colocadas?

27. Resolução:
Para se colocar 01 peça temos 16 maneiras.
Para a 3ª e 4ª peças temos, respectivamente,
4 e 1 maneiras.
Logo: 16 . 9 . 4 . 1 = 576
Resposta: 576 maneiras

28. 13. Um torneio esportivo entre duas escolas
será decidido numa partida de duplas mistas
de tênis. A Escola E inscreveu nesta
modalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipe
de tenistas da Escola F conta com 5
rapazes e 3 moças. Calcule de quantas
maneiras poderemos escolher os quatro
jogadores que farão a partida decisiva,
sabendo que uma das jogadoras da equipe
E não admite jogar contra seu namorado,
que faz parte da equipe F.

29. Resolução:
Cálculo da quantidade de maneiras de formação
das equipes:
Escola E → 6. 4 = 24 maneiras
Escola F → 5 . 3 = 15 maneiras
Assim, os quatro jogadores podem ser escolhidos
de: 24 . 15 = 360 maneiras.
Excluindo os casos nos quais os namorados jogam
entre si, que são em números de:
(6 . 1) . (1 . 3) = 18, temos:
360 – 18 = 342
Resposta: 342 maneiras

30. 14. De quantos modos pode-se pintar as
faces laterais de uma pirâmide pentagonal
regular, utilizando-se oito cores diferentes,
sendo cada face de uma única cor?
Resolução:
Supondo-se que todas as cinco faces laterais da
pirâmide sejam pintadas com cores diferentes
duas a duas, e que a pirâmide esteja fixa, o
número de modos de pintar suas faces laterais,
utilizando 8 cores diferentes, será dado por:
8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6.720
Resposta: 6.720 modos

31. 15) (Cesgranrio-2005) A senha de certo cadeado é
composta por 4 algarismos ímpares, repetidos ou
não. Somando-se os dois primeiros algarismos
dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois
últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga
tais informações abrirá esse cadeado em no
máximo n tentativas, sem repetir nenhuma. O
valor de n é igual a:
a) 9
b) 15
c) 20
d) 24
e) 30

32. Resolução:
Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9
Soma 8 : 1 e 7; 3 e 5 ; 5 e 3 ; 7 e 1, ou
seja, 04 opções;
Soma 10 : 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e
1, ou seja, 05 opções.
Total de tentativas : 04 x 05 = 20
Portanto n = 20 tentativas.

33. 16. Observe o diagrama
O número de ligações distintas entre X e Z
é:
a) 39
b) 41
c) 35
d) 45

34. Resolução:
Possíveis caminhos
XRZ = 3.1 = 3
XRYZ = 3.3.2 = 18
XYZ = 1.2 = 2
XSYZ = 3.2.2 = 12
XSZ = 3.2 = 6
Total = 41 (Princípio da ADIÇÃO)

35. O Princípio da AdiçãoO Princípio da Adição
Exemplo:
Um consumidor deseja comprar um veículo de uma
concessionária. A concessionária tem 23 automóveis e 14
caminhões em estoque. Quantas escolhas possíveis o
consumidor tem?
Princípio da Adição
Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 resultados
possíveis, respectivamente, então o número total de
possibilidades para o evento “A e B” é n1 + n2.
Suponha que queremos selecionar uma sobremesa entre
três tortas e quatro bolos. De quantas maneiras isso pode
ser feito?
O número de escolhas possíveis é o número total de
escolhas que temos, 3 + 4 = 7.
23 + 14 = 37Se fosse o mesmo número de veículos mais 17 veículos
vermelhos, não seria 23 + 14 + 17. Conjuntos não disjuntos!

36. Usando os dois Princípios JuntosUsando os dois Princípios Juntos
Exemplo:
Uma criança pode escolher uma entre duas balas, uma
rosa e uma preta, e um entre três chicletes, um amarelo,
um verde e um branco. Suponha que, neste caso,
queremos encontrar de quantas maneiras diferentes a
criança pode escolher o doce, ao invés do número de
conjuntos de doces que ela pode ter.
Exemplo:
Quantos números de quatro dígitos começam com 4 ou 5?
Exemplo:
Considere novamente o problema do Exemplo anterior.
Vamos evitar usar o princípio da adição.
6 + 6 = 12
1000 + 1000 = 2000
2 . 10 . 10 . 10 = 2000

37. 17. A quantidade de números de três
algarismos, maiores que 500, que podem ser
formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com
repetição, é igual a:
a) 10
b) 20
c) 48
d) 52
e) 100
Resolução:
é um problema em que o português é
quem manda, a maioria das pessoas
cometeriam o erro de fazer o cálculo:
4 x 5 x 5 = 100 (errado!)
Porém, quando o problema fala com
repetição, os algarismos devem ser
repetidos,assim:

38. Nº com algarismos repetido mais nº com
algarismos distintos é igual ao total de nº que
podem ser formados Usando o P.F.C. teremos:
Nº com algarismos repetidos = x
Nº com algarismos distintos = 4.4.3 = 48
Total de nº formados = 4.5.5 = 100
Portanto, x + 48 = 100 x = 52
Resposta : Letra D.

39. 18. Duas das cinqüenta cadeiras de uma
sala serão ocupadas por dois alunos. O
número de maneiras distintas possíveis
que esses alunos terão para escolher
duas das cinqüenta cadeiras, para
ocupá-las, é:
a) 1225
b) 2450
c) 250
d) 49! Resolução:
50 x 49 = 2450

40. 19. Com relação a palavra BRASIL, quantos
anagramas podemos formar:
a)No total?
Resolução: 6! = 720
b) Começados por BR?
Resolução: 4! = 24 ⇒ |BR| 4.3.2.1
c) Começando por vogal e terminando em
consoante ?
Resolução: 2.4.3.2.1.4 = 192

41. d) Com as letras BR juntas nesta ordem?
Resolução:
BR juntas significa que formarão uma única
letra, logo o anagrama será composto de 5
letras, portanto a resposta é:
5! = 120
e) Com as letras BR juntas em qualquer ordem?
Resolução:
Em qualquer ordem, teremos:
5! . 2 = 240

42. f) Quantos anagramas podemos formar
com a palavra ARARA?
g) E com a palavra ITATIAIA ?
h) E com a palavra APROVADO ?
10
2.6
120
!2!3
!5
==
!2!3!3
!8
!2!2
!8

43. 20. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e
2 amarelas. Elas são extraídas uma a uma
sem reposição. Quantas seqüências de
cores podemos observar?
Resolução: É como se fosse uma
seqüência de bolas em fileira, do tipo:
VVVAA, em qualquer ordem faremos como
se fosse um anagrama com repetição, ou
seja,
10
!2!.3
!5
=

44. 21. Uma cidade é formada por 12 quarteirões
segundo a figura abaixo. Uma pessoa sai do
ponto P e dirigi-se para o ponto Q pelo
caminho mais curto, isto é movendo–se da
esquerda para direita, ou de baixo para cima.
Nessas condições, quantos caminhos
diferentes ele poderá fazer, se existem 2 ruas
“horizontais” e 3 “verticais”?
.Q
P.
Idem solução anterior,
é uma anagrama com
repetição do tipo:
DDDDCCC, ou seja:
35
!3!.4
!7
=
Resolução:

45. 22.O número de anagramas que podem
ser formados com as letras da palavra
APOSTA e que não apresentam as letras
A juntas é:
a) 120
b) 240
c) 360
d) 480
e) 600
Resolução:
TOTAL – A juntas = A separadas
!5
!2
!6
−
120
2
720
−
120360 −
240

46. 23.O jogo da Sena consiste em acertar 6
dezenas sorteadas entre 60. O número de
possíveis resultados está entre:
a) 15.000.000 e 25.000.000
b) 25.000.000 e 35.000.000
c) 35.000.000 e 45.000.000
d) 45.000.000 e 55.000.000
Resolução:
50.063.860
1
55
2
56
3
57
4
58
5
59
6
60
≈⋅⋅⋅⋅⋅

47. 24.Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles,
8 discos dos Rolling Stones e 4 discos do U2.
Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao
sair, levou 2 discos dos Beatles, 2 dos Rolling
Stones e 3 do U2. O número de modos
distintos de se escolherem os discos é:
a) 12
b) 42
c) 160
d) 1.120
e) 1.200
Resolução:
Beatles x Rol. Stones x U2
1
2
2
3
3
4
x
1
7
2
8
x
1
4
2
5
⋅⋅⋅⋅
1120

48. 25.Se existem 11 pessoas em uma sala e
cada pessoa cumprimenta todas as
outras uma única vez, o número de
apertos de mão dados será igual a:
a) 55
b) 65
c) 110
d) 121
Resolução:
Precisamos de mãos : 55
1
10
2
11
=⋅

49. 26.Um fisioterapeuta recomendou a um
paciente que fizesse, todos os dias, três
tipos diferentes de exercícios e lhe
forneceu uma lista contendo sete tipos
diferentes de exercícios adequados a
esse tratamento. Ao começar o
tratamento, o paciente resolve que, a
cada dia, sua escolha dos três exercícios
será distinta das escolhas feitas
anteriormente. O número máximo de dias
que o paciente poderá manter esse
procedimento é:
a) 35
b) 38
35
1
5
2
6
3
7
=⋅⋅Resolução:

50. 27. De quantas maneiras distintas
podemos distribuir 10 alunos em 2 salas
de aula, com 7 e 3 lugares,
respectivamente?
a) 120
b) 240
c) 14.400
d) 86.400
e) 3.608.800
Resolução: Basta escolhermos 3 e os
outros irão para a outra sala;
120
1
8
2
9
3
10
=⋅⋅

51. 28.O número de múltiplos de 10,
compreendidos entre 100 e 9999 e com
todos os algarismos distintos é:
a) 250
b) 321
c) 504
d) 576
Resolução:
Para ser múltiplo de 10 o zero tem que
estar fixo na casa das unidades, portanto:
576total
5040789
72089
=
=⋅⋅
=⋅

52. 29.Uma sala tem 6 lâmpadas com
interruptores independentes. O número
de modos de iluminar essa sala,
acendendo pelo menos uma lâmpada é:
a) 63
b) 79
c) 127
d) 182
e) 201
Resolução:
Sabemos que a condição para iluminar
a sala é que pelo menos uma lâmpada
esteja acesa.As opções de cada
lâmpada são: acesa e apagada, logo:
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 – 1
(todas apagadas) = 63

53. 30. O código Morse usa “palavras” contendo
de 1 a 4 “letras”. As “letras” são
representadas pelo ponto (.) ou pelo traço (-).
Deste modo, a quantidade de “palavras”
possíveis através do código Morse é:
a) 16
b) 64
c) 30
d) 8
e) 36
Resolução:
Pode-se formar
palavras de uma, duas
, três ou quatro letras
e as opções por letra
são duas (ponto ou
traço), logo: 30total
letras)(4162.2.2.2
letras)(382.2.2
letras)(242.2
letra)(12
=
=
=
=

54. 31. O número de maneiras de se
distribuir 10 objetos diferentes em duas
caixas diferentes, de modo que
nenhuma caixa fique vazia, é:
a) 45
b) 90
c) 1022
d) 101
Resolução:
São 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 =1024 – 2 = 1022
(opções de apenas a caixa A ou apenas a caixa B)

55. 32.(BB/2007) Considere que o BB tenha
escolhido alguns nomes de pessoas
para serem usados em uma propaganda
na televisão, em expressões do tipo
Banco do Bruno, Banco da Rosa etc.
Suponha, também, que a quantidade
total de nomes escolhidos para aparecer
na propaganda seja 12 e que, em cada
inserção da propaganda na TV, sempre
apareçam somente dois nomes distintos.
Nesse caso, a quantidade de inserções
com pares diferentes de nomes distintos
que pode ocorrer é inferior a 70.

56. Resolução:
É uma questão de análise combinatória
onde usaremos o princípio fundamental de
contagem:
Devemos fazer duas escolhas dentre as 12
pessoas disponíveis, ou seja:
pares diferentes,
ou ,
portanto o item está correto.
66
1
11
2
12
=x
66
!2!.10
!12
2,12 ==C

57. 33.(BB/2007)Considere que um
decorador deva usar 7 faixas coloridas
de dimensões iguais, pendurando-as
verticalmente na vitrine de uma loja
para produzir diversas formas. Nessa
situação, se 3 faixas são verdes e
indistinguíveis, 3 faixas são amarelas
e indistinguíveis e 1 faixa é branca,
esse decorador conseguirá produzir,
no máximo, 140 formas diferentes com
essas faixas

58. Resolução:
É um problema de permutação repetida
onde as cores são como letras e o total
de faixas(7) como uma palavra de 07
letras, ou seja:
formas,
portanto o item está correto.
140
33
77
33 ==
!!.
!
P ,

59. 34. Há exatamente 495 maneiras
diferentes de se distribuírem 12
funcionários de um banco em 3
agências, de modo que cada agência
receba 4 funcionários.
Resolução:
1ª agência x 2ª agência x 3ª agência
34650170495
1
1
2
2
3
3
4
4
1
5
2
6
3
7
4
8
1
9
2
10
3
11
4
12
=××
=⋅⋅⋅×⋅⋅⋅×⋅⋅⋅

60. 35. Se 6 candidatos são aprovados
em um concurso público e há 4
setores distintos onde eles podem
ser lotados, então há, no máximo, 24
maneiras de se realizarem tais
lotações.
Resolução:
4.4.4.4.4.4 = 46
, maneiras,
portanto o item está errado

61. 36.(UFMG-2006) A partir de um grupo de
oito pessoas, quer-se formar uma
comissão constituída de quatro
integrantes. Nesse grupo,incluem-se
Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se
relacionam um com o outro. Portanto, para
evitar problemas, decidiu-se que esses
dois,juntos, não deveriam participar da
comissão a ser formada. Nessas
condições, de quantas maneiras distintas
se pode formar essa comissão?
a) 70 b) 35 c) 45 d) 55

62. RESOLUÇÃO:
Total de comissões – comissões (Gustavo
e Danilo juntos)
1
5
.
2
6
1
5
.
2
6
.
3
7
.
4
8
−
1570 −
55

63. SOLUÇÕES INTEIRAS NÃOSOLUÇÕES INTEIRAS NÃO
NEGATIVAS DE UMA EQUAÇÃONEGATIVAS DE UMA EQUAÇÃO
LINEARLINEAR
Ex.: Considere a equação linear
x + y = 5, quantas soluções inteiras
não negativas podemos obter:
(0,5);(1,4);(2,3);(3,2);(4,1);(5,0),
portanto teremos 6 soluções inteiras
não negativas.

64. Considere agora a equação
x + y + z = 7
resolvendo por tentativa, o trabalho
será muito grande , e corremos o
risco de esquecer alguma solução.
Temos que dividir 7 unidades em 3
partes ordenadas, de modo que fique
em cada parte um número maior ou
igual a zero.

65. Indicaremos cada unidade por uma
bolinha e usaremos a barra para fazer
a separação, que corresponde aos
sinais de adição:

66. Logo teremos uma permutação com
elementos repetidos (como em
AARAARAAA), assim:
36
!2!7
!92,7
9
==P
Portanto existem 36 soluções inteiras
positivas para a equação.