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MATEMATICA FINANCEIRA ADM - FACMIL PROF. ITALO DE PAULA MACHADO
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 2 
2 
1. MATEMATICA FINANCEIRA 
matemática financeira é a matéria do curso de Administração que lhe fornecerá recursos e métodos para analise do capital no tempo. Estas ferramentas aliadas à contabilidade, ao marketing, estatística e outras mais farão com que você tenha uma visão da empresa como um todo em um dado momento, facilitando assim uma tomada de decisão. 
Será que posso crescer agora? Ou será que renovo minha frota daqui seis meses? Devo comprar aquela maquina que tanto queria para minha produção ou apenas reforma a velha? 
A tomada de decisão dentro de uma empresa não pode ser feita baseada na sorte ou apenas na intuição, mas sim fundamentada em dados concretos, principalmente as que envolvam recursos financeiros. 
Para o estudo da matemática financeira devemos ter alguns conceitos bem definidos: 
DEFINIÇÕES 
apital (PV) – Valor com o qual fazemos operações financeiras, em alguns livros mais antigos utilizam esta nomenclatura de capital, porem hoje em dia se usa mais o Valor Presente (VP). O capital pode ser definido também como principal. 
– Valor Presente, em língua inglesa Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV, ou no Excel na função financeira, portanto utilizaremos esta definição. Lembrando que valor presente se referiu ao capital inicial, ou seja na data zero, caso se faça um fluxo de caixa veremos o PV deve estar no inicio do mesmo. 
0 1 2 3 4 5 6 
PV 
– Valor Futuro – Ë o PV acrescido de juros, ou simplesmente montante, no fluxo de caixa este só pode ser colocado no final. No estudo de descontos, as promissórias, cheques pré-datados, títulos etc, sempre serão tomados como FV. 
FV 
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PV 
– Prestação, parcela, anuidade, mensalidade ou ainda termo, é função com a qual calculamos as mesmas. No excel esta função esta definida como pagamento (Pgto). 
– Taxa percentual é razão pela qual o PV ou capital será remunerado ou descontado. Quando se usa uma fórmula para calcular juros ou desconto a taxa deve ser usada na forma unitária. Toda taxa refere-se a uma unidade de tempo. 
Ex. i = 5% = 0,05 (taxa unitária). 
A 
C 
PV 
FV 
PMT 
i
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3 
– Significa o tempo que será usado na operação financeira, mês, ano, bimestre, trimestre, etc. Quando resolvemos um problema financeiro devemos observar o tempo a que se refere a taxa e o tempo da operação, os dois devem estar na mesma unidade, caso isto não esteja acontecendo devemos transformar o tempo ou a taxa, ambos para mesma unidade de tempo. 
Descontos Simples e Desconto Composto. 
Este conjunto de teclas acima são principais teclas financeiras. 
CRITERIOS DE CAPITALIZAÇÃO DE JUROS 
Os critérios (regimes) de capitalização demonstram como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. 
O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação. 
ANO 
SALDO NO INICO DE CADA ANO 
JUROS APURADOS PARA CADA ANO 
SALDO AO FINAL DE ANO 
CRESCIMENTO ANUAL DO SALDO 
1 
1000,00 
100,00 
1100.00 
- 
2 
1100.00 
100.00 
1200.00 
100.00 
3 
1200.00 
100.00 
1300.00 
100.00 
4 
1300.00 
100.00 
1400.00 
100.00 
5 
1400.00 
100.00 
1500.00 
100.00 
O regime de capitalização composta comporta-se como uma (PG), crescendo os juros de forma exponencial ao longo do tempo. Neste critério os juros se incorporam ao capital (Valor Presente) ao final de cada período de capitalização, assim sendo em todo inicio de cada período você sempre terá um novo capital. 
ANO 
SALDO NO INICO DE CADA ANO 
SALDO AO FINAL DE ANO 
JUROS APURADOS A CADA ANO 
1 
1.000,00 
1.100,00 
100,00 
2 
1.100,00 
1.210,00 
110,00 
3 
1.210,00 
1.331,00 
121,00 
4 
1.331,00 
1.464,10 
133,10 
5 
1.464,10 
1.610,51 
146,41 
n
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4 
TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS ENTRE DUAS DATAS 
DIA DO MES 
JAN 
FEV 
MAR 
ABR 
MAI 
JUN 
JUL 
AGO 
SET 
OUT 
NOV 
DEZ 
1 
1 
32 
60 
91 
121 
152 
182 
213 
244 
274 
305 
335 
2 
2 
33 
61 
92 
122 
153 
183 
214 
245 
275 
306 
336 
3 
3 
34 
62 
93 
123 
154 
184 
215 
246 
276 
307 
337 
4 
4 
35 
63 
94 
124 
155 
185 
216 
247 
277 
308 
338 
5 
5 
36 
64 
95 
125 
156 
186 
217 
248 
278 
309 
339 
6 
6 
37 
65 
96 
126 
157 
187 
218 
249 
279 
310 
340 
7 
7 
38 
66 
97 
127 
158 
188 
219 
250 
280 
311 
341 
8 
8 
39 
67 
98 
128 
159 
189 
220 
251 
281 
312 
342 
9 
9 
40 
68 
99 
129 
160 
190 
221 
252 
282 
313 
343 
10 
10 
41 
69 
100 
130 
161 
191 
222 
253 
283 
314 
344 
11 
11 
42 
70 
101 
131 
162 
192 
223 
254 
284 
315 
345 
12 
12 
43 
71 
102 
132 
163 
193 
224 
255 
285 
316 
346 
13 
13 
44 
72 
103 
133 
164 
194 
225 
256 
286 
317 
347 
14 
14 
45 
73 
104 
134 
165 
195 
226 
257 
287 
318 
348 
15 
15 
46 
74 
105 
135 
166 
196 
227 
258 
288 
319 
349 
16 
16 
47 
75 
106 
136 
167 
197 
228 
259 
289 
320 
350 
17 
17 
48 
76 
107 
137 
168 
198 
229 
260 
290 
321 
351 
18 
18 
49 
77 
108 
138 
169 
199 
230 
261 
291 
322 
352 
19 
19 
50 
78 
109 
139 
170 
200 
231 
262 
292 
323 
353 
20 
20 
51 
79 
110 
140 
171 
201 
232 
263 
293 
324 
354 
21 
21 
52 
80 
111 
141 
172 
202 
233 
264 
294 
325 
355 
22 
22 
53 
81 
112 
142 
173 
203 
234 
265 
295 
326 
356 
23 
23 
54 
82 
113 
143 
174 
204 
235 
266 
296 
327 
357 
24 
24 
55 
83 
114 
144 
175 
205 
236 
267 
297 
328 
358 
25 
25 
56 
84 
115 
145 
176 
206 
237 
268 
298 
329 
359 
26 
26 
57 
85 
116 
146 
177 
207 
238 
269 
299 
330 
360 
27 
27 
58 
86 
117 
147 
178 
208 
239 
270 
300 
331 
361 
28 
28 
59 
87 
118 
148 
179 
209 
240 
271 
301 
332 
362 
29 
29 
88 
119 
149 
180 
210 
241 
272 
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30 
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150 
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EQUIVALENCIA DE TEMPO 
Para efeito de cálculos o mês comercial tem 30 dias e o ano 360 dias, porém devemos saber fazer as conversões usuais: 
1 mês = 30 dias 
1 bimestre = 2 meses = 60 dias 
1 trimestre = 3 meses = 90 dias 
1 quadrimestre = 4 meses = 120 dias 
1 semestre = 6 meses = 180 dias 
1 ano = 12 meses = 360 dias 
1 semestre = 2 trimestres = 3 bimestres, dentre outras possíveis. 
USO BÁSICO DA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C 
A calculadora HP-12C é possivelmente a máquina financeira mais popular no; mundo das finanças. Ela possui até três funções por tecla: brancas, laranjas e azuis. As funções brancas automáticas, ou seja apertando-se a tecla esta função será ativada e as amarelas e azuis aparecem acima e abaixo das teclas – para ativa-las é necessário que se pressione antes a tecla (f) para ativar as funções laranjas e (g) para as funções azuis. 
Algumas operações básicas na HP-12C: 
 Ligar e desligar a calculadora: on 
 Apagar o que tem no visor: Clx 
 Apagar o conteúdo de todos os registros: (f) REG 
 Apagar o conteúdo das memórias financeiras: (f) FIN 
 Introduzir um número: número + ENTER 
 Operações básicas: (número) ENTER (número) operação ex: 12 ENTER 43 + = 55 
 Potenciação: (número) ENTER (potência) (yx) ex: 5 elevado a 3, 5 ENTER 3 yx 125 
 Raiz, qualquer raiz pode se transformada em uma potência de índice fracionário: (número) ENTER (número) (1/x) (yx) ex: raiz sétima de 2.187 > 2187 ENTER 7 (1/X) (YX) 3. 
 Armazenar um número na memória: (número) ENTER (número da memória onde quer armazenar de 0 a 9 ou ainda de .0 a .9). 
 Buscar um número na memória: (RCL) (número da memória onde foi armazenado). 
 Fixar quantidade de casas decimais: (f) (número de casas decimais desejados).
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Limpa o visor, quando acionado após a tecla f, apaga toda a memória da calculadora 
A tecla f aciona as funções em laranja e a tecla g as funções em azul. 
Tecla usada para entrada de dados 
Entrada do tempo 
Valor Presente, capital inicial 
Esta tecla é usada para calcular ou informar o valor de prestações, parcelas, etc. 
Valor Futuro ou montante 
Entrada da taxa 
Esta tecla é usada para se inverter o valor de um número. 
Com esta tecla se calcula o percentual de um determinado valor.
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7 
2. TAXAS: PERCENTUAL E UNITÁRIA 
A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal. São exemplos 
de razões centesimais: 
100 
30 
, 
100 
4 
, 
100 
135 
e 
100 
27,9 
O símbolo % significa que o valor está dividido por 100. Assim, existem duas formas 
básicas de notação de valores: 
Taxa percentual: exibe o número que deve ser dividido por 100. Não permite operação 
algébrica imediata. Por exemplo: 
100 
30 
= 30%; 
100 
4 
= 4%; 
100 
135 
= 135% e 
100 
27,9 
= 27,9% 
As expressões 30%, 4%, 135% e 27,9% são chamadas taxas centesimais ou taxas 
percentuais. 
Taxa unitária: exibe o número puro, permitindo operações algébricas. Por exemplo: 
100 
30 
= 0,3; 
100 
4 
= 0,04; 
100 
135 
= 1,35 e 
100 
27,9 
= 0,279 
Porcentagem: é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. 
Exemplos 
1. Converta para a forma percentual: 
a) 0,57 = 57% b) 2,08 = 208% c) 0,02 = 2% 
2. Converta para a forma unitária: 
a) 163% = 1,63 b) 2.107% = 21,07% c) 12% = 0,12 
3. Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito; a razão entre o número de lâmpadas 
defeituosas e o total de lâmpadas é dada por: 
26% 
100 
26 
50 
13 
  
4. Um CD é vendido por R$ 25,00. Se seu preço fosse aumentado em 15%. Quanto 
passaria a custar? Se fosse anunciado um desconto de 15% sobre o preço original, 
quanto o CD passaria a custar? 
- Aumento: Preço = 25 + 0,15 x 25 = 25 . (1 + 0,15) = 25 . 1,15 = R$ 28,75 
- Desconto: Preço = 25 – 0,15 x 25 = 25 . (1 – 0,15) = 25 . 0,85 = R$ 21,25
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 8 
8 
FATOR DE MULTIPLICAÇÃO: 
a) No caso de haver um acréscimo, o fator de multiplicação será: 
Fator de Multiplicação = 1 + taxa de acréscimo (na forma decimal) 
Veja a tabela abaixo: 
Acréscimo ou Lucro 
Fator de Multiplicação 
10% 
1,10 
15% 
1,15 
47% 
1,47 
67% 
1,67 
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: 
Fator de Multiplicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal) 
Veja a tabela abaixo: 
Desconto 
Fator de Multiplicação 
10% 
0,90 
25% 
0,75 
34% 
0,66 
90% 
0,10 
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 
EXERCÍCIOS 
1. Calcular os valores de: 
a) 10% de 29 + 4,2% de 17 b) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,7 
c) 0,4% de 125 + 1,6% de 234,25 d) 4% de 1.439,25 + 3,6% de 17.432 
2. De uma classe com 40 alunos, 35% são rapazes. Quantos rapazes e quantas moças há na classe? 
3. O preço de venda de um CD é de R$ 22,00. Quanto passará a custar o CD se a loja anunciar: 
a) Um desconto de 12%? b) Um acréscimo de 5%? 
4. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa de reprovação foi de 15%. Quantos candidatos foram aprovados? 
5. Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de desconto. De quanto foi o desconto? 
6. Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a porcentagem de lucro?
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 9 
9 
7. Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de 
comissão. Qual o valor da venda das propriedades? 
8. Meio representa quantos por cento de cinco oitavos? 
9. Uma nota promissória, cujo valor era de R$ 5.000,00 foi paga com um desconto de R$ 
250,00. Qual a taxa de desconto 
10. Expresse, sob a forma de taxa percentual, cada uma das seguintes razões: 
a) 
5 
2 
b) 
20 
1 
c) 
4 
1 
3 
d) 
80 
37 
e) 0,125 
11. Escreva as taxas percentuais abaixo como razões, sob a forma mais simples possível: 
a) 80% b) 25,2% c) 0,48% 
d) % 
3 
2 
e) 2 % 
4 
1 
É importante lembrar que em todas as formulas financeiras se deve usar 
sempre a taxa unitária. 
FATOR DE MULTIPLICAÇÃO: 
a) No caso de haver um acréscimo, o fator de multiplicação será: 
Fator de Multiplicação = 1 + taxa de acréscimo (na forma decimal) 
Veja a tabela abaixo: 
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 
10% 1,10 
15% 1,15 
47% 1,47 
67% 1,67 
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: 
Fator de Multiplicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal) 
Veja a tabela abaixo: 
Desconto Fator de Multiplicação 
10% 0,90 
25% 0,75 
34% 0,66 
90% 0,10 
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00
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2.2.TAXAS PROPORCIONAIS 
Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os 
tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. 
' ' n 
n 
i 
i 
 
Exemplo 
Calcule a taxa mensal proporcional a 24%aa. 
R. 24/12 = 2 %am 
Exercícios 
1) Calcule a taxa mensal proporcional a: 
a) 9%at 
b) 24 % as 
c) 0,04 ad 
2) Calcule a taxa anual proporcional a: 
a) 1,5 %am 
b) 8%at 
c) 21%as 
d) 0,05%ad 
OBS: NA RESOLUÇÃO DE QUALQUER PROBLEMA FINANCEIRO DEVEMOS OBSERVAR AS 
UNIDADES DE TEMPO DA TAXA E DO PROPRIO TEMPO, POIS AMBAS DEVEM SE REFERIR À 
MESMA UNIDADE DE TEMPO. 
Abreviaturas empregadas na notação das taxas 
Abreviatura Significado 
a.d. ao dia 
a.m. ao mês 
a.b. ao bimestre 
a.t. ao trimestre 
a.q. ao quadrimestre 
a.s. ao semestre 
a.a. ao ano
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 11 
11 
FLUXO DE CAIXA 
O diagrama de fluxo de caixa (DFC) representa graficamente a movimentação de 
recursos ao longo do tempo (entradas e saídas de caixa). Os principais aspectos do 
diagrama de fluxo de caixa são: 
 a escala horizontal representa o tempo o tempo (dias, semanas, meses, anos etc); 
 o ponto 0 representa, normalmente, a data inicial. O ponto n representa o número de 
períodos passados; 
 as entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Têm sinal positivo e são 
representadas por setas apontadas para cima. 
 as saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Têm sempre sinal negativo e são 
representadas por setas apontadas para baixo. 
Operação de Empréstimo Operação de 
Aplicação 
0 n 0 n 
Valor Presente (C) 
Valor Presente (C) 
Valor Futuro (M) 
Valor Presente 
+ 
juros 
Valor Futuro (M) 
Valor Presente 
+ 
juros 
Período de capitalização 
Período de capitalização 
Exemplo: O diagrama de fluxo de caixa de um empréstimo contraído por alguém no valor 
de $ 300,00 que será quitado mediante o pagamento de $ 340,00, daqui a seis meses, pode 
ser visto a seguir. 
0 
n = 6 meses 
Valor Presente (C) 
Valor Futuro (M) 
M = - $ 340,00 
C = + $ 300,00 
Exercícios 
1. Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no valor de $ 500,00 que será 
resgatado em 3 parcelas iguais, mensais, no valor de $ 200,00. 
2. Uma empresa pensa em abrir uma nova instalação industrial com investimento inicial 
igual a 
$ 300,00. Os gastos anuais associados aos cinco anos de vida do negócio são 
estimados em $ 80,00 e as receitas em $ 200,00. Represente o diagrama de fluxo de caixa 
dessa operação.
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 12 
12 
3. Construa o diagrama para os fluxos de caixa dados a seguir: 
Ano Fluxo de caixa 
0 – 700,00 
1 500,00 
2 400,00 
3 300,00 
4 200,00 
5 – 300,00 
3. JUROS 
Do Aurélio: 
1. Econ. Importância cobrada, por unidade de tempo, pelo empréstimo de dinheiro, 
geralmente expressa como porcentagem da soma emprestada: 
2. Ant. Econ. Rendimento de capital investido; interesse. [M. us. no pl.] 
3. Fam. Recompensa (2). 
3.1. ANALISE DOS JUROS NO TEMPO 
Em relação ao tempo nós poderemos ser credores ou devedores dos juros. 
3.1.1 CREDOR 
Seremos credores dos juros, quando investimos nosso capital, para futuramente 
desfrutamos desse rendimento. 
Por exemplo: 
Quero fazer uma viajem no final do ano e para tanto guardamos parte do meu salário em 
uma renda fixa. No final terei o credito dos juros e poderei gozar de minha tão sonhada 
viajem. 
3.1.2. DEVEDOR 
Seremos devedores dos juros, quando temos a necessidade de algo, ou queremos 
muito gozar de algum bem, como por exemplo um carro, um som novo, etc. 
Por exemplo: 
Vou sair de férias do meu emprego e quero muito viajar para uma praia no nordeste, porém 
não tenho o dinheiro suficiente, para que eu possa fazê-la, financio-a em 10 pagamentos. A 
partir do momento que comprei algo financiado, passei a ser devedor. 
Agora você já tem condições de tomar a decisão de ser credor ou devedor dos juros.
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13 
3.2 JUROS SIMPLES 
É o juros que incide apenas no principal ou capital inicial ou ainda no valor presente, ou seja mesmo decorridos vários períodos de capitalizações, sempre calcularemos o juros tomando como base o valor presente. 
Fórmula 
J = PV.i.n 
Exemplos 
1) Se eu aplicar R$ 1.540,00 durante 6 meses a uma taxa de 2%a.m., quanto terei de juros simples? 
Nas resoluções dos problemas financeiros procure primeiro identificar todos os dados do problema, para depois equaciona-lo. 
PV = 1.540 
n = 6 m 
i = 2 % = 0,02 
2) Durante quanto tempo devo deixar aplicado meu dinheiro que é R$ 3.490,00, sabendo que meu gerente me ofereceu uma taxa de 1,2%am, para que eu tenha R$ 5.000,00. 
3) Paulo aplicou R$ 3.560,00 em 02/01/06 e resgatou em 06/04/2006 o valor de R$ 5.430,00, o que proporcionou a Paulo comprar uma moto, calcule a taxa de juros supondo que o sistema de capitalização seja simples. 
4) Calcule o juros de um capital que ficou aplicado durante 2,25 anos, sabendo que a taxa é de 7,2%a.s. e que o valor aplicado foi de R$ 1.560,00. 
3.3 VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO: 
Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante (M) ou valor futuro (VF). Assim, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é: 
FV = PV + J 
No entanto, sabe-se que: 
J = PV . i . n 
Assim, 
FV = PV + PV . i . n 
FV = PV(1 + i . n) 
O valor de C pode ser obtido por:
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 14 
14 
 i n 
FV 
PV 
  
 
1 
O valor de i pode ser obtido por: 
n 
PC 
FV 
i 
 
 
 
 
 
 
1 
O valor de n pode ser obtido por: 
i 
PV 
FV 
n 
 
 
 
 
 
 
1 
EXERCÍCIOS 
1. Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês no RCS, durante um 
trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.R: J = 6.000,00 
2. Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês 
durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $ 270.000,00 o total dos juros 
incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.R: C =500.000,00 
3. Um capital de $ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo 
um rendimento financeiro de $ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida 
por esta operação.R: i = 2,2% 
4. Uma aplicação de $ 250.000,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês 
produz, ao final de determinado período, juros no valor de $ 27.000,00. Calcular o prazo da 
aplicação.R: n = 6 meses 
5. Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestados para pagar dentro de 5 meses, a uma taxa 
de juros simples igual a 6% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação.R:M = $3.900,00 
6. Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 750,00 
após 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Qual o capital inicial da operação?R: C = $ 500,00 
7. O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. 
Sabendo que o regime de capitalização era simples, calcule a taxa de juros mensal 
praticada durante a operação.R: i =0,20 = 20% 
8. A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa 
de 2% a.m. regime de capitalização simples. Qual a duração da operação?R: i = 48,53
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15 
4. DESCONTO 
Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado (pago) antes do vencimento. É uma operação habitual no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de um título de crédito, tais como letras de cambio, notas promissórias, cheques-predatados, etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes da data de vencimento. O banco, a factoring ou financeira, naturalmente, liberam uma quantia menor do que o valor nominal (FV) do título. 
Na operação de desconto devemos ter bem definido o Valor Futuro (FV), que é o valor do título na data de seu vencimento. Todo título, cheque-pre, nota promissória, letra de cambio, etc, sempre serão definidos como FV(valor futuro), quando descontados, pagos ou liquidados, ai sim estes valores passarão a ter PV (Valor Presente). 
Pela sistemática da capitalização simples, o desconto pode ser classificado em duas modalidades: desconto racional simples (desconto por dentro) e desconto comercial simples (desconto por fora). 
FV (título no seu vencimento) 
0 PV (título quando resgatado) 
4.1 DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) 
É o valor equivalente ao juros simples produzido sobre o valor nominal ou FV quando se aplica sobre ele as mesmas condições, ou seja aplicando-se o FV à mesma taxa e mesmo tempo. 
Formula 
d = FV.i.n. PV = FV(1 – in) 
Ex. 
1) Quero descontar um título de R$ 3.400,00 que vencerá em 90 dias, o banco me cobra uma taxa de 3,8% am. Qual o valor do desconto? 
2) Tenho um lote de cheques-pre no valor de R$ 5.000,00 para 60 dias. A que taxa devo negociá-los para que eu receba no mínimo R$ 4.770,00 ?
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16 
4.2 DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) 
É equivalente aos juros produzido pelo PV- valor presente ( valor liquido), no mesmo tempo 
e taxa do desconto. 
dr = 
i n 
FV i n 
1 . 
. . 
 
ou dr = FV – PV PVr = 
i n 
FV 
1 . 
Em comparação com o desconto comercial o desconto racional é ligeiramente menor. 
Ex: 
1) Calcular o desconto racional de um título de R$ 1.500,00 que será resgatado 60 dias 
antes do vencimento, sabendo que a taxa de 2,3%. 
2) Qual o valor liquido que receberei se descontar um cheque-pre para 45 dias se a taxa 
cobrada é de 1,9%am., se o desconto for racional? 
3) Quantos dias antes do vencimento eu devo descontar um título de R$ 59.870,00, à taxa 
de 3,2%am., para que eu receba R$ 58.990,00 ? 
4.3 TAXA DE JURO EFETIVA 
A taxa de juros que no período n torna o capital PV igual ao montante FV é a taxa 
que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. Essa taxa é denominada taxa 
de juro efetiva. 
Estas fórmulas só deverão ser usadas para desconto comercial. 
PV n 
d 
i f . 
 ou 
i n 
i 
i f 1 . 
. 
 
 
Exemplo 
1) Se eu tenho um titulo no valor de R$ 9.000,00, e pretendo descontá-lo 75 dias antes de 
seu vencimento a uma taxa de 1,8%am, qual o valor que devo receber? 
2) Em uma operação de desconto comercial de um título com prazo de 75 dias o banco 
cobra uma taxa de 2,9%am. Qual é a taxa efetiva nesta operação? 
3) Um título de R$ 12.000,00 teve um desconto de R$ 498,00, se a taxa negociada foi 
2,3%am, calcule o prazo da operação e a taxa efetiva de juros. 
4) Calcule as taxas efetivas para as taxas e prazos abaixo: 
a) i = 2,3%am. ; 5 meses 
b) i = 2,3% am ; 3 meses
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c) i = 1,8%ab. ; 10 meses 
d) i = 4,5%am; 2 meses 
5) Um título foi descontado à taxa de 2%a.m. Sabendo-se que o valor nominal era R$ 7.144,40 e o valor descontado racional R$ 6.740,00, qual o prazo de antecipação? 
6) Calcule o valor nominal de uma duplicata que, descontada “por dentro”, à taxa de 78%a.a., 60 dias antes do vencimento, resultou num líquido de R$ 253.982,00. 
7) Uma duplicata de valor nominal de $ 9000,00 é descontada em um banco dois meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 5%a.m., pese-se: 
a) o desconto comercial 
b) o valor liquido recebido 
c) a taxa efetiva de juros 
8) Sr. Paulo teve creditado na conta de sua empresa o valor de R$ 18.560,00 referente ao desconto de um lote de duplicatas com valor de R$ 20.000,00 que venceriam em 75 dias. Qual foi a taxa negociada? 
9) Qual o valor atual de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$ 120,75, a taxa de 6%aa, 4 meses antes do vencimento?
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TRABALHO MATEMATICA FINANCEIRA 
PROF. ÍTALO 
1) Um valor aplicado a juros simples durante 4 meses,formou o montante de $450,00.Sabendo que, quando estiver aplicado durante 11 meses,o saldo será de $611,00,qual será esse valor? 
2) Uma pessoa aplicou um valor a juros simples á taxa de 1,8% a.m.,durante 4 meses e 11 dias,recebendo de juros $84,97.Calcule o valor aplicado. 
3) Uma pessoa aplicou certo valor a juros simples durante 3 anos,5meses e 18 dias,á taxa de 12%a.a,rendendo de juros $3.467,50.Calcule o valor aplicado. 
4) Uma pessoa aplicou o valor de $830,00 a juros simples durante 4 meses e 11 dias, á taxa de 1,8% a.m.Calcule o montante em juros exatos. 
5) O valor de $4.320,00,aplicado a juros simples exatos durante 10meses e 8 dias,rendeu de juros $873,56.Calcule a taxa 
6) O valor de $4.230,00 foi aplicado a juros simples durante 8 meses e 10 dias,á taxa de 8%a.s.Calcule o valor dos juros. 
7) O valor de $380,00 foi aplicado a juros simples,á taxa de 4% a.m.,formando o montante de $505,15.Quanto tempo ficou aplicado? 
8) O valor de $380,00 foi aplicado a juros simples exatos á taxa de 4% a.m.,rendendo de juros $749,59.Quanto tempo ficou aplicado? 
9) O valor de $540,00 foi aplicado a juros simples durante 4 anos,8 meses e 26 dias,rendendo de juros $650,00.Calcule a taxa de juros. 
10) O valor de $540,00 foi aplicado a juros simples durante 8 meses e 26 dias,formando o montante de $650,00.Calcule a taxa de juros. 
11) Um valor,aplicado a juros simples durante 8 meses,á taxa de 2% a.m.,rendeu de juros $1.043,84.Calcule esse valor. 
12) O valor de $1043,00 foi aplicado durante 8 meses,rendendo de juros 191,14.Calcule a taxa de juros. 
13) O valor de $840,00 foi aplicado a juros simples durante 1 ano,3 meses e 21 dias,à taxa de 3% a.m.Calcule o montante. 
14) Um título com valor de $500.000,00 e vencimento daqui a 4 anos deve ser resgatado daqui a um ano a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.Considerando desconto racional,qual o valor do resgate? 375.657,40 
15) Repetir o exercício anterior,considerando o desconto comercial. 364.500,00 
16) João tem um compromisso representado por duas promissórias:uma de $200.000,00 e outra de $150.000,00, vencíveis em 4 e 6 meses,respectivamente.Prevendo que não disporá desses valores nas datas estipuladas,solicita ao banco credor a substituição dos dois títulos por um único a vencer em 10 meses.Sabendo que o banco adota juros compostos de 5% ao mês,o valor da nova nota promissória é de (desprezar os centavos no resultado final): 
a)$420.829,00 
b)$430.750,00 
c)$445.723,00 
d)$450.345,00 
e)$456.703,00
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 19 
19 
17) O valor do desconto comercial composto de uma nota promissória,que vence em 3 anos,é de $10.482.Admitindo que a taxa nominal de desconto utilizada na operação é de 24% ao ano,com capitalização trimestral,qual o valor nominal do título?(Despreze os centavos.) $20.000 
18) Determinar o montante acumulado no final de quatro semestres e o juros recebidos a partir da aplicação de um principal de R$ 10.000,00, com uma taxa de juros de 1%am. 
19) Determinar o capital que deve ser aplicado a juros simples, com uma taxa de 10 %aa, para produzir um montante de R$ 10.000,00, a juros simples. 
20) Calcular o tempo necessário para que um capital triplique a juros simples se a taxa for: 
a) 6% am b) 9% a.t. c) 10% a.a. d) 8 % a.b. 
21) Paulo aplicou R$ 5.650,00 à taxa de 2% am e resgatou um montante de R$ 7.234,00. Durante quanto tempo Paulo deixou seu dinheiro aplicado? 
22) Senhora Maria recebeu de juros R$ 1.245,00, depois de ter deixado seu dinheiro aplicado durante 9 meses à taxa de 1,8% am. Quanto dona Maria aplicou? 
23) Quero comprar um computador que custa R$ 1.560,00 a vista, porém só tenho R$ 1.300,00, meu gerente me ofereceu uma aplicação que paga 2% am, quanto tempo devo aplicar o meu dinheiro para que possa comprar o computador? 
24) A que taxa devo aplicar R$ 1200,00 para que em 12 meses tenha R4 1.800,00? 
25) Um titulo com vencimento em 3 meses no valor de R$ 1.500,00 vai ser descontado à taxa de 3 %am. Quanto o portador receberá e qual a taxa efetiva? 
26) Um título com 119 dias a decorrer até o vencimento está sendo negociado, a juros simples, à taxa de 15% aa. Qual deve ser o valor do título para que o portador do mesmo receba R$ 1.000,00? 
27) Calcule a taxa efetiva nos seguintes casos: 
a) Taxa: 4%am Prazo: 5 meses 
b) Taxa: 3,5% am Prazo: 2 meses 
c) Taxa: 5% Prazo: 6 meses; 4 meses; 2 meses
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5. JUROS COMPOSTOS 
Juro composto é aquele que no final de cada período financeiro, o juro se incorpora ao principal, calcula-se o juro sobre o montante relativo ao período anterior. 
FV = PV.(1 + i)n 
O fator (1 + i)n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital. 
Exemplo 
1) Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00, aplicado em regime de juro composto a 5%a.m, durante 3 meses. 
2) Durante quanto tempo devemos aplicar um capital para o mesmo dobre, aplicado a 3%a.m. a juros compostos? 
3) Estou querendo comprar um Notebook LatitudeTM 120L que custa R$ 2.099,00. O vendedor da loja me garantiu que este preço não sofrerá aumento nos próximos 4 meses. Meu gerente do banco me ofereceu uma aplicação com taxa de 1,7%a.m., quanto devo aplicar para que possa comprar o notebook? 
FORMULA DOS JUROS COMPOSTO 
J = PV.[(1 + i)n - 1] 
Exercícios 
1) Um capital de R$ 6.000 foi aplicado a juros compostos durante três meses, à taxa de 2 %a. 
a) Qual o montante? 
b) Qual os juros auferidos? 
2) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5%a.m., durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 79.475,00, calcule o capital inicial. 
3) U ma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? 
4) O capital de $ 8.700,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5%a.m., elevou-se no fim de certo tempo a $ 11.456. Calcule este tempo. 
5) Calcule o tempo que deve deixar aplicado um capital de R$ 2.980,00 para que possa resgatar R$ 3.198,38, sabendo que a taxa pela qual o capital será remunerado é 1,5%am.
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6) Calcule o montante para as aplicações abaixo, supondo o regime de capitalização 
composta: 
Capital Taxa Prazo 
A 80.000 18%aa 2 anos 
B 65.000 3%am. 1 ano 
C 35.000 21%at 1ano e meio 
TAXAS EQUIVALENTES 
Pelo conceito de taxas equivalentes, podemos afirmar que o montante produzido 
pelo capital P , à taxa i, durante 1 ano, tem que ser igual ao montante produzido pelo capital 
P, durante 12 meses, as taxa mensal. 
Ou seja P(1 + ia)1 = P(1 + im)12 
Para outras frações de ano, temos: 
(1 + ia)1 = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + ib)6 = (1 + im)12 
ik = (1 + i)k – 1 ou ik = k 1 i - 1 
ou ainda pode optar pela fórmula: 
 (1 )T 1 
k 
k i i 
Exemplo 
1) Qual a taxa trimestral equivalente 30%aa? 
2) Calcule a taxa anual equivalente a 2%am. 
3) Determine a taxa bimestral equivalente a 18%as. 
Exercícios 
1) O Banco da Praça me oferece uma taxa de 1,2%am e o Banco do Boteco me 
oferece uma taxa de 15,66%aa. Qual taxa é melhor para mim? Resolva usando a 
equivalência de taxas. 
2) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas: 
a) 1,8%am b) 2,5%ab c) 4,5%at d) 13%aq e) 18% a.s. 
3) Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas: 
a) 75% a.a. b) 6,5 %ab c) 0,12%ad d) 21%at 
4) Dada a taxa de juros de 9,2727% at, determinar a taxa equivalente mensal.
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TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
Temos uma taxa nominal de juros quando o prazo de capitalização de capitalização não 
coincide com aquele a que se refere a taxa. Neste caso, é comum adotar-se a convenção 
de que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal. 
Quando calculamos a taxa efetiva de uma operação não utilizamos o tempo da 
operação, e sim o prazo de um ano sempre. 
 (1 ) 1 k 
f k 
i 
i 
Exemplo 
1) Um banco faz empréstimos à taxa de 5%aa, capitalizados semestralmente. Qual 
seria o juro pago por um empréstimo de $ 10.000,00 por um ano? Qual é a taxa 
efetiva? 
2) Um capital de $ 1000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de 10%aa, capitalizado 
semestralmente. Calcular o montante e a taxa efetiva. 
3) Qual é a taxa efetiva da poupança se a mesma paga 6%aa, capitalizados 
mensalmente? 
Exercícios 
1) Qual é a taxa efetiva anual das taxas nominais abaixo: 
TAXA NOMINAL CAPITALIZAÇÃO 
a) 24%aa mensal 
b) 28%aa trimestral 
c) 21%as bimestral 
d) 18%aa bimestral 
2) Se um banco deseja ganhar 30%aa como taxa efetiva, que taxa nominal anual 
deverá pedir em cada hipótese de capitalização abaixo: 
a) mensal 
b) trimestral 
c) quadrimestral 
d) semestral 
3) Uma empresa toma um empréstimo de R$ 100.000,00 a taxa de 28%aa 
capitalizados trimestralmente. Qual o montante a ser pago se o prazo da operação 
são 2 anos e qual é a taxa efetiva paga? 
4) Sr. Paulo contratou um empréstimo no valor de R$ 56.000,00, que deverá ser pago 
em uma única parcela dentro de 18 meses. Calcule o valor do pagamento sabendo 
que a taxa do contrato é 20%aa capitalizados bimestralmente.
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23 
DESCONTO COMPOSTO 
O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do 
desconto simples: é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes de seu 
vencimento. 
Empregamos o desconto composto para operações a longo prazo, já que a 
aplicação do desconto simples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem 
nexo. 
Analogamente ao caso do desconto simples, temos dois tipos de desconto 
composto: o racional e o comercial. 
O desconto comercial praticamente não é empregado entre nós; assim, ficaremos 
restritos ao estudo do desconto composto racional. 
DESCONTO COMPOSTO POR DENTRO 
O desconto por dentro representa o juro incidente sobre o valor líquido. Comparando, 
pois, o cálculo do desconto racional com o dos juros, podemos observar que o valor nominal 
representa o montante; o desconto correspondente aos juros e o líquido, sobre o qual é 
calculado o desconto, corresponde ao capital. 
Calculo do desconto a partir do valor nominal: 
D = FV[ 1 – (1 + i )-n] 
Calculo do desconto a partir do valor atual: 
D = PV[ (1 + i)n – 1] 
Calculo do valor atual (líquido ou descontado) 
-n 
n ou PV FV( 1 i ) 
(1 i ) 
FV 
  
 
PV  
Exemplo 
1) Calcular o desconto composto de um título de R$ 4.600,00 dois meses antes do 
vencimento, à taxa de 2%am. 
2) Calcular o desconto composto de um título que foi resgatado por $ 4.975,00, 
faltando quatro meses para o vencimento, à taxa de 3%am. 
3) Qual o desconto de um título de $ 5.000,00, submetido a desconto composto, com 
capitalização bimestral. R 801,90 
Exercícios 
1) Determine o valor atual de um título de R$ 3.000,00 resgatado três meses e 15 dias 
antes de seu vencimento, à taxa do desconto composto de 2,5%am. R = 2751,62 
2) Qual o desconto de um título de R$ 5.000, submetido a desconto composto, com 
capitalização bimestral à taxa de 18%as, seis meses antes do vencimento?
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24 
3) Um título de $ 4.000,00 é resgatado por $ 3.553,95, faltando oito meses para seu vencimento. Calcular a taxa nominal (anual) da operação, considerada capitalização bimestral para o desconto composto. R = 18% 
4) Calcular o valor nominal de um título que recebeu um desconto de $ 513,82, ao ser descontado um trimestre antes do vencimento, à taxa de 3,5%am. R = 5.240 
5) Depois de concedido desconto de 2%am, certa dívida foi paga pelo valor de R$ 2.350,00. Calcular o desconto concedido pelo pagamento antecipado em oito meses e 10 dias. R = 421,63 
6) O valor nominal de um título é de R$ 200.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcular o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 28%aa, capitalizado trimestralmente. 
7) Calcule o desconto obtido em um título de valor nominal R$ 3.800,00, descontado 8 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto, em juros composto, em regime composto, de 30%aa, capitalizados bimestralmente. 
EQUIVALENCIA DE CAPITAIS 
DATA FOCAL 
Def: Data focal é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes. 
Diz-se que dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. 
Ou seja: 
PV = PV1 +PV2 + .......+ PVn 
Exemplo 
1) Consideremos os valores futuros abaixo: 
CAPITAIS 
DATA DE VENC.(anos) 
VALOR PRESENTE 
1.100,00 
1 
1.210,00 
2 
1.331,00 
3 
1.464,10 
4 
1.610,51 
5 
Admitindo-se uma taxa de 10%aa, verifique se os capitais acima são equivalentes. 
1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10 1.610,51 
0 1 2 3 4 5
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25 
Quando devemos usar a equivalência de capitais? Quando precisarmos de prorrogar ou antecipar o pagamento de uma divida. 
Exercícios 
1) Um título de valor nominal de $ 8.500,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro de $ 7.934,84, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 3,5%am, pergunta-se se a substituição foi vantajosa. 
2) Um título de R$ 7.000,00, com vencimento em 5 meses, é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juros é 3%am, qual o valor do novo titulo? $6.598,17 
3) Sr. Paulo deve dois títulos, um de R$ 15.000,00 com vencimento para um ano e outro de R$ 25.000,00, para um ano e meio. Porém com sr Paulo esta com uma folga de caixa, pretende substitui-los por um único título com vencimento em 6 meses, sabendo que a taxa é de 30%aa, calcule o valor do novo título. 
4) Uma empresa contraiu um empréstimo de R$ 25.000, por 5 anos, com juros de 20%aa capitalizados trimestralmente. Passados 3 anos, a empresa decide resgatar a dívida; o desconto concedido é de 20%aa, capitalizados semestralmente. Qual o valor do resgate? 45.305,95 
5) Um terreno é posto a venda por $ 100.000,00 a vista, ou, caso o comprador pote por financiamento, as condições são: $ 50.000,00 no ato mais duas parcelas semestrais sendo a primeira de $ 34.000,00 e a segunda de $ 35.000,00. Qual é a melhor alternativa, sabendo que a taxa é 50%aa? 
6) Uma pessoa deve hoje $ 2.000,00 hoje e $ 5.000,00 para 1 ano. Propõe a seu credor refinanciamento de sua dívida, comprometendo-se a liquidá-la em 3 parcelas semestrais iguais, vencendo a primeira em 6 meses. De quanto serão as parcelas, se a taxa contratada for de 20%aa? $ 2.459,85 
7) Dois títulos um de R$ 3490,00 para 4 meses e outro de R$ 5.489,00 para seis meses deverão ser substituídos por um único título para 9 meses.Calcule o valor do novo título sabendo que a taxa é 3%am.
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 26 
26 
RENDAS 
Rendas são um conjunto de dois ou mais pagamentos ou recebimentos, realizáveis 
em épocas distintas, destinados a constituir um capital ou amortizar uma dívida. 
ELEMENTOS 
Os pagamentos, que podem ser prestações ou depósitos, constituem os termos 
(PMT) da renda. Denomina-se n o número de termos (pagamentos) e i a taxa unitária dos 
juros. Se o objetivo da renda for constituir capital, esse capital será o montante da renda; se, 
entretanto, seu objetivo for amortizar uma dívida, o valor dessa dívida será o valor atual da 
renda. 
CLASSIFICAÇÃO 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
Perpetuas 
Não periódicas 
Variáveis 
Diferidas 
Antecipada s 
ediatas 
Cons tes 
Periodicas 
Temporarias 
ndas 
Im 
tan 
Re 
RENDA IMEDIATA 
Uma renda é imediata (ou postecipada) quando os pagamentos ocorrem no fim de 
cada período. Assim, se a renda possui n termos, o vencimento do último termo se dá no fim 
de n períodos. 
Ex. 
Uma compra a prazo sem entrada. 
VALOR PRESENTE DE UMA RENDA IMEDIATA 
O valor atual (ou valor presente) de uma renda imediata equivale ao valor de uma 
dívida (empréstimo, valor a vista de uma mercadoria) que será paga com prestações. 
O valor atual da renda é igual a soma dos valores atuais de seus termos calculados 
com desconto composto a determinada taxa. 
  
 n 
n 
ni 
i. 1 i 
1 i 1 
PV PMT. 
 
  

Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 27 
27 
Exemplo 
1) Devo 15 parcelas de R$ 145,00 de um financiamento, no qual me foi cobrado uma taxa de 3%am. Caso eu desejasse quitar o referido financiamento quanto deveria para hoje?$ 1.731,00 
2) Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode ser comprado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3%am. Calcular o valor das prestações. $ 586,15 
3) Um aparelho de som está anunciado nas seguintes condições: $ 1.500,00 de entrada e 3 parcelas iguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lojas de som é de 2,5%am, calcular o valor a vista. 
Exercícios 
1) Uma loja vende um tapete em 12 parcelas mensais de $ 97,49 ou em 24 parcelas de $61,50. Nos dois casos, o cliente não dará entrada. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2,5%am, qual é o melhor sistema para o comprador? 
2) Uma loja vendo uma geladeira por R$ 2.000,00 a vista ou financiada em 18 parcelas, a juros de 3,5%am. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada? $ 151,63 
3) Em uma garagem o preço de um carro, a vista é de $ 50.000,00. Qual é o valor da prestação, se o carro for financiado em 24 prestações mensais sem entrada, e a taxa de juros for 3%am? 
4) Uma Biz esta a venda por R$ 4.951,00 à vista ou em 18 parcelas de $ 399,00. Pergunta-se qual é melhor opção de compra se a taxa cobrada é de 3,5%am? 
5) Um equipamento foi vendido com uma entrada de R$ 2.000,00 e mais 8 prestações de R$ 760,00. Sabendo-se que a taxa cobrada foi de 2,5%am, calcule o preço a vista do equipamento. $7.449,30 
6) O valor a vista de um bem é R$ 6000,00. A prazo paga-se uma entrada no ato da compra, mais 3 parcelas mensais de R$ 2000,00 cada uma. Se a taxa de juros que foi cobrada é 7%am, calcular o valor da entrada. 571,37 
7) Estou depositando mensalmente, R$ 250,00 em uma conta que me remunera à taxa de 1,1%am, durante os próximos 2 anos. Quanto poderei retirar mensalmente também durante um ano?
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 28 
28 
VALOR FURUTO DE UMA RENDA IMEDIATA 
O montante de uma renda imediata equivale à soma dos montantes dos depósitos 
unitários, durante n períodos a uma taxa. 
O montante de cada termo (deposito) da renda é calculado pela formula dos juros 
compostos, M = C(1 + i)n. Feitas todas transformações necessárias, teremos a seguinte 
formula. 
  
i 
1 i 1 
FV PMT. 
n   
 n i 
Obs: Só se calcula o VALOR FUTURO de uma renda quando estivermos formando 
capital. 
Exemplo 
1) Quanto uma pessoa deve depositar em um banco, no fim de cada trimestre, a 5%at, 
para no fim de 2 anos, possuir R$ 10.000,00? 
2) Quanto terei no fim de 4 anos, se depositar no fim de todo mês R$ 100,00 em meu 
banco a uma taxa de 1,7%am? 
3) Quanto terei acumulado em uma aplicação se me foi oferecida uma taxa de 18%aa 
capitalizada bimestralmente, para depósitos bimestrais de R$ 500,00 durante 3 
anos? $11.707,22 
Exercícios 
1) O carro que pretendo comprar esta custando R$ 18.000,00, porém como o mercado 
esta estável e nos próximos 12 meses não haverá mudança de preço, quanto devo 
depositar mensalmente para que possa comprar o tão desejado carro, se o meu 
gerente me oferece uma taxa de 1,4%am? 
2) Em dezembro quando for sair de férias quero ir par Natal, o pacote com estadia e 
passagem aéreo esta custando R$ 2.500,00, se não houver aumento, quanto devo 
depositar mensalmente levando em conta que tenho 8 meses para juntar o dinheiro e 
que minha conta no banco me remunera a 1,2%am? 
3) Calcular o montante que terei ao final de 5 anos se depositar mensalmente R$ 90,00 
em uma conta que paga 9%aa capitalizado bimestralmente. 
4) Quanto devo depositar trimestralmente, para que tenha R$ 2.438,66 ao final 2 anos e 
três meses se o banco me paga uma taxa de 8%aa capitalizados trimestralmente? 
5) Qual o valor do financiamento cuja prestação de R$ 250,00 está sendo paga no final 
de cada mês, durante 18 meses , à taxa de 4 %am? 3.164,82
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 29 
29 
RENDA ANTECIPADA 
Essa é a anuidade ou série de parcelas em que a primeira será paga no momento 
em que se realiza a operação. 
CÁLCULO DO VALOR ATUAL 
PV n i = PMT . 
i 
i i n [1 (1 ) ].(1 )  
Exemplo 
1) Calcule o valor a vista de uma mercadoria que pode ser adquirida em quatro 
prestações mensais, de R$ 150,00, com a primeira de entrada, sabendo que a loja 
cobra de 7% am. 
2) Uma mercadoria custa à vista R$ 3.012,69, porem pode ser vendida em 7 vezes 
iguais com entrada. Calcule o valor da prestação sabendo que a taxa de juros 
cobrada é 3,5 %am. 
CÁLCULO DO VALOR FUTURO (FV-MONTANTE) 
FV n i = PMT . .(1 i) 
i 
(1 i) 1 n 
 
  
Exemplo 
1) Uma pessoa deposita no inicio de cada mês, durante quatro meses $ 500,00, numa 
conta que paga juros de 0,75%am. Calcule o montante. 
2) Quanto devo depositar no começo do mês, em uma aplicação que me remunera a 
taxa de 1,7%am, para que no final de 2 anos tenha R$ 5.000,00? 
Exercícios 
1) Uma empresa anunciou a venda de certa mercadoria que custa $ 944 em 15 (1+14) 
prestações mensais, à taxa de 7,2%am. Calcule o valor da prestação. 
2) Uma pessoa efetuou 7 depósitos no inicio de cada mês de R$ 2.000,00, recebendo 
juros 2% am. Qual será o montante?
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 30 
30 
3) Um carro foi financiado, em 36 prestações iguais e mensais com a primeira no ato, 
no valor de R$ 560,00. Sabendo que a taxa contratada foi de 4,5%am, qual o preço a 
vista do carro? 10.338,17 
4) Uma pessoa efetuou depósitos no inicio do mês durante 10 meses numa conta que 
paga juros de 1,2%am, tendo o saldo de $ 833,38. Quanto ela depositava por mês? 
78 
5) Uma mercadoria foi vendida em 8 prestações mensais de $ 34,56, sendo a primeira 
de entrada. Se a loja cobra juros de 5,8%am, qual o preço dessa mercadoria a vista? 
228,87 
6) Uma mercadoria foi vendida em 15 prestações mensais de $ 67,18, sem entrada, à 
taxa nominal de 84%aa. Calcule o preço dessa mercadoria a vista. 611,87 
7) Sr. Paulo esta trocando a mobília de sua casa, que custaria a vista $ 8.790,00, 
porem ele preferiu paga-la a prazo, sendo uma entrada de 20% e o restante em 12 
parcelas mensais iguais. Se a loja cobra uma taxa de 4%am, qual o valor da 
prestação? 
RENDA DIFERIDA 
As rendas diferidas envolvem apenas cálculos relativos a valor atual, pois o montante de 
uma renda diferida é igual ao montante de uma renda imediata, uma vez que durante o 
prazo de carência não há pagamentos e capitalizações. 
Exemplo 
1) Um financiamento de R$ 50.000,00 será pago em 12 prestações mensais aplicando-se 
juros de 8%am. Considerando que foi estipulado um período de carência de 3 
meses, calcular o valor das prestações imediatas e antecipadas 
No caso de as prestações serem antecipadas, a primeira parcela é paga no início do 
primeiro período que se segue ao término da carência. 
Durante a carência os juros são capitalizados e incorporados ao principal, logo as 
prestações devem ser calculadas sobre o principal capitalizado m períodos, onde é a 
carência. 
P = 50.000 => M= 50.000.(1,08)3 = 62.985,60 
Calculo das prestações: 
Imediata: 
PV 12 0,08 = 62.985,60 = T . 
  
 n 
n 
i i 
i 
 
  
. 1 
1 1 
=> T = 
7,536078016 
62985,60 
= 8.357,88
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 31 
31 
Antecipada: 
PV 12 0,08 = 62.985,60 = T . 
i 
i i n [1 (1 ) ].(1 )  
=> 
8,138964259 
62985,60 
= 7.738,77 
Exercícios 
1) Um empréstimo de $ 4.500 contratado em 15/8/2000 será pago por meio de 36 
prestações mensais a juros de 6%am. Os juros são capitalizados e incorporados ao 
principal já a partir da data de contratação. Considerando que a primeira prestação 
deverá ser paga 45 dias depois e as restantes com intervalos de 30 dias, calcular o 
valor das prestações.316,88 
2) Um financiamento de$ 40.000 será pago em 8 prestações mensais de $ 6.413,44. O 
início do pagamento das prestações será logo ao término de um determinado 
período de carência. Considerando que a taxa de juros é 3%am, determine o período 
de carência. 5 meses 
3) Um determinado equipamento será financiado em 48 pagamentos, porem o banco 
concedeu uma carência de 12 meses para que o industrial se capitalizasse. Sendo 
que a primeira prestação devera ser paga 30 dias após o termino da carência e a 
taxa de juros contratada foi de 18%aa, e valor financiado foi de $ 135.000, calcule o 
valor das prestações.$4.384,57 
4) Que divida pode ser amortizada com 8 prestações bimestrais de $ 1.000, sendo de 
7%ab a taxa de juros e devendo ser paga a primeira prestação 3 bimestres depois 
de realizado o empréstimo.5215,56 
5) Um magazine oferece, em sua promoção, um televisor por 24 prestações de 
$300,00, ocorrendo o primeiro pagamento apenas após 4 meses da compra. Qual 
seria o preço a vista deste televisor, uma vez que a taxa de mercado é 2,5%am? 
$5.365,50
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32 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS – TABELA PRICE 
A denominação Sistema de Amortização Francês vem do fato de ter sido utilizado primeiramente na França, no século XIX. Esse sistema caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas. É o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce à medida que as prestações são pagas, eles são decrescentes e, conseqüentemente, as amortizações do principal são crescentes. 
Exemplo 
1) Um empréstimo de $ 200.000, será pago pela Tabela Price em 4 prestações mensais imediatas. A juros de 10%am, construir a planilha de amortização. 
MÊS 
PRESTAÇÃO 
JUROS 
AMORTIZAÇÃO 
SALDO DEVEDOR 
0 
1 
2 
3 
4 
TOTAIS 
Exercício 
1) Um carro foi financiado pela tabela Price a uma taxa de 3%am, sendo que o valor financiado foi de $36.000 e prazo foi de 4 meses, monte a planilha de amortização e calcule o valor total de juros pago. 
2) Um certo equipamento foi pago em 15 prestações imediatas no valor de $ 3.450, mais uma entrada. Se a taxa contratada foi de 4%am, e o valor do equipamento a vista é R$ 45.000, calcule o valor da entrada. 
3) Um banco emprestou $ 100.000,00, entregues no ato. Sabendo que a taxa foi de 12%aa capitalizados mensalmente e que o empréstimo será pago em 8 prestações, construa a tabela.
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 33 
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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
Pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), o principal é reembolsado a em quotas de amortização iguais. Dessa maneira, diferente da Tabela Price, em que as prestações são iguais, no Sistema SAC as prestações são decrescentes, já que os juros diminuem a cada prestação. A amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento. Esse tipo de sistema às vezes é usado pelo Sistema Financeiro da Habitação (SFH), pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobiliários e também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades governamentais. 
Exemplo 
Elaborar a planilha de amortização para o seguinte financiamento: 
 Valor financiado $ 200.000 
 Reembolso em quatro meses pelo SAC 
 Taxa de juros 10%am 
Mês 
SD 
Amortização 
Juors 
Prestação 
0 
200.000,00 
- 
- 
- 
1 
150.000,00 
50.000,00 
20.000 
70.000,00 
2 
100.000,00 
50.000,00 
15.000 
65.000,00 
3 
50.000,00 
50.000,00 
10.000 
60.000,00 
4 
- 
50.000,00 
5.000 
55.000,00 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE) 
O Sistema de Amortização Crescente (SACRE) foi adotado recentemente pelo SFH na liquidação de financiamentos da casa própria. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE . O Sacre é baseado no SAC e no Sistema Price, já que a prestação é igual à media aritmética entre as prestações desses dois sistemas, nas mesmas condições de juros e prazos. Aproximadamente ate a metade do período de financiamento, as amortizações são maiores que as do Sistema Price. Como decorrência disso, a queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as chances de ter resíduo ao final do contrato, como pode ocorrer no Sistema Price. Uma das desvantagens do Sacre é que suas prestações iniciais são ligeiramente mais altas que as do Price. Contudo, após a metade do período, o mutuário
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 34 
34 
sentirá uma queda substancial no comprometimento de sua renda com o pagamento das prestações. 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO 
Neste sistema de amortização o principal é restituído por meio de uma única parcela ao fim da operação. Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum) ou capitalizados e pagos juntamente com o principal no fim do prazo acertado.
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TRABALHO DE MATEMATICA FINANCEIRA 
PROF. ÍTALO DE PAULA MACHADO 
1) Um bem de capital está à venda nas seguintes condições: $ 30.000,00 de entrada mais seis prestações iguais de $ 2.500,00. Sabendo que a taxa que a taxa de juros é de 5,4 %am, determine o preço à vista do bem. $42.528,51 
2) Uma incorporadora coloca à venda um apartamento por $ 50.000,00 à vista ou em 60 meses com uma entrada de 20%. Determine a prestação mensal, dada uma taxa de 5 %am. $2.113,13 
3) Calcule o montante de 29 depósitos trimestrais de valor de $540,00 à razão de 7%at.$47.167,13 
4) Uma pessoa depositará $ 1.500,00 semestralmente para formar um pecúlio durante os próximos dez anos. Calcule qual será o valor acumulado, dado uma taxa de 9%as.$ 76.740,18 
5) Um automóvel está à venda por $ 5.000,00 de entrada acrescido de 12 prestações mensais de $ 1.200,00. Outra opção seria através de 18 pagamentos mensais de $ 800,00 com uma entrada de $ 6.000,00. Qual a melhor alternativa para o comprador, considerando-se uma taxa 30%aa capitalizada mensalmente. (o menor será a melhor) 
6) Um compromisso foi quitado através de 20 prestações trimestrais antecipadas de $ 2500,00. Qual o valor do mesmo, dada uma de 44%aa capitalizada trimestralmente? $22.098,24 
7) Uma pessoa deposita $ 600,00 no início de cada trimestre à 32% aa capitalizados trimestralmente. Qual será o montante passados 3 anos? $ 12.297,18 
8) Um imóvel foi vendido a prazo com prestações feitas no início de cada período de $ 5.650. Sabendo que o preço à vista do imóvel era de $ 80.000,00 e que foram 18 pagamentos, calcule a taxa financeira do negocio. 3,006441% 
9) Qual o montante de uma aplicação que prevê depósitos mensais de $ 500,00, antecipados à taxa 96 %aa capitalizados mensalmente, passados três semestres? $ 20.223,13 
10) Uma pessoa deposita mensalmente o valor de R$ 180, durante dez meses, numa conta que paga juros de 1%am. Calcule o montante. $1.883,20 
11) Uma pessoa quer efetuar oito depósitos mensais numa conta que paga juros de 1%am, para retirar 18 parcelas mensais de R$ 1.500,00, fazendo a primeira retirada um mês após o último depósito. Quanto deverá depositar mensalmente? $2.968,67 
12) Uma pessoa efetuou 18 depósitos mensais de R$ 1.500,00, numa conta que paga juros de 1%am, para retirar 18 parcelas mensais, fazendo a primeira retirada um mês após o último depósito. Quanto poderá retirar mensalmente? $ 1.794,22 
13) Uma mercadoria foi vendida em 36 prestações mensais de $ 422,91, com a primeira paga um mês após a compra, à taxa de 2,6%am. Calcule o preço a vista dessa mercadoria. $9.809,68 
14) Uma empresa anunciou a venda de certa mercadoria que custa $ 490, em 4 (1 + 3) prestações mensais. Se cobra juros de 7,6%am, qual é o valor de cada prestação? $136,27 
15) Uma pessoa entra numa loja, vê uma mercadoria que custa R$ 393,60. Diz ao vendedor que pretende levar a mercadoria, mas que só pode pagar $ 70,00 por mês, sendo a primeira no ato. Se a loja cobra juros de 8%am, quantas prestações deverá pagar?
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36 
16) Uma pessoa efetuou 10 depósitos mensais de $ 120,00, numa conta que estava sem saldo há 3 meses, recebendo juros de 0,7%am. Qual foi seu saldo no momento do último depósito? 
17) Uma mercadoria foi vendida em 12 prestações mensais de $ 70,00, com a primeira de entrada. Se a loja cobra juros de 7,6%am, qual é o preço dessa mercadoria a vista? $ 579,57 
18) Quantos depósitos mensais de $ 73,15 uma pessoa deve realizar para no momento do último depósito ter o saldo de R$ 450,00, se receber juros de 1%am? 5, 94 
19) Uma pessoa efetuou depósitos mensais de $ 500,00, recebendo juros de 1,6%am e, um mês após o último depósito, seu saldo era de 11.863,19. Quantos depósitos efetuou? 20,2735 
20) Sr. Paulo tem dois títulos que vencem respectivamente em 3 e 4 meses, um com valor de $ 340,00 e o outro no valor de $1.780, porém ele pretende efetuar o pagamentos dos dois títulos através de um único pagamento daqui a 6 meses. Qual será o valor do novo título se a taxa cobrada na operação foi de 4,5%am? 
21) Uma dívida de $ 1.000,00 vence daqui 10 meses. Entretanto, o devedor propõe-se dividi-la em três parcelas semestrais iguais. A juros de 5%am , calcular o valor das parcelas. $357,22 
22) Um título de $ 240.000,00 foi descontado 60 dias antes do vencimento a taxa de 4 %am. Calcular o valor liquido recebido pelo portador. 
23) Uma promissória de $ 22.000 teve um desconto composto de $ 1.205,84. Considerando a taxa nominal de 48 %aa, capitalizada mensalmente, calcule o tempo de antecipação. 
24) Duas duplicatas, uma de $ 45.000,00 para 90 dias e outra de $ 65.000,00 para 120 dias foram negociadas por três outras de mesmo valor nominal com vencimento para 5, 6 e 7 meses. Sabendo-se que a taxa negociada foi de 3,5 %am, calcule o valor das novas duplicatas. $ 39.824,93 
25) Na venda de um barco, a Loja Náutica S.A. oferece duas opções a seus clientes: 
a) $ 30.000,00 de entrada mais duas parcelas semestrais, sendo a primeira de $50.000,00 e a segunda de $ 100.000,00. 131.975,43 
b) Sem entrada, sendo o pagamento efetuado em quatro parcelas semestrais: $40.000,00 nas duas primeiras, e $ 50.000,00 nas duas ultimas. 
Qual é a melhor alternativa para o comprador, se considerarmos a taxa de mercado de 4%am? 
26) Qual o desconto de um título de R$ 5.000, submetido a desconto composto, com capitalização bimestral, à taxa de 36%aa, seis meses antes do vencimento? $ 801,90 
27) Um sitio é posto a venda em uma imobiliária por $ 500.000,00 a vista. Como alternativa, a imobiliária propõe: entrada de $ 100.000,00, uma parcela de $200.000,00 para 1 ano e dois pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6 meses e o segundo em 1 ano e meio. Qual o valor destes pagamentos se a taxa de juros for de 5%am? $248.449,30 
28) Calcular o valor nominal de um título que recebeu um desconto de $ 513,82, ao ser descontado um trimestre antes do vencimento, à taxa de 3,5%am. 
29) Depois de concedido desconto de 2%am, certa dívida foi paga pelo valor de R$ 2.350,00. Calcular o desconto concedido pelo pagamento antecipado em oito meses e 10 dias. 
30) O sr. Jota tem dois títulos vencendo dentro de 4 e 5 meses com valores de R$ 3.500,00 e R$ 5.000,00. Na possibilidade de não poder honrar seus compromissos, sr. Jota propõe pagar R$ 1.000,00 hoje e o restante em 3 títulos de mesmo valor, com vencimento em 5, 7 e 9 meses. Sabendo que a taxa é de 3%am, calcule o valor dos títulos. $ 2.629,99
Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 37 
37 
31) Uma pessoa contraiu um empréstimo de R$ 20.000,00 para ser pago ao longo de cinco anos com prestações semestrais pela Tabela Price à taxa de 18% a.s. Calcule o valor da prestação e monte a planilha financeira. 
PERÍODO 
PRESTAÇÃO 
JUROS 
AMORT. 
SALDO DEVEDOR 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
TOTAIS 
32) Em relação ao exercício anterior calcular e montar tabela de amortização pelo sistema SAC. ( Sistema de Amortização Constante).

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Matemática financeira: conceitos e definições

  • 1. MATEMATICA FINANCEIRA ADM - FACMIL PROF. ITALO DE PAULA MACHADO
  • 2. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 2 2 1. MATEMATICA FINANCEIRA matemática financeira é a matéria do curso de Administração que lhe fornecerá recursos e métodos para analise do capital no tempo. Estas ferramentas aliadas à contabilidade, ao marketing, estatística e outras mais farão com que você tenha uma visão da empresa como um todo em um dado momento, facilitando assim uma tomada de decisão. Será que posso crescer agora? Ou será que renovo minha frota daqui seis meses? Devo comprar aquela maquina que tanto queria para minha produção ou apenas reforma a velha? A tomada de decisão dentro de uma empresa não pode ser feita baseada na sorte ou apenas na intuição, mas sim fundamentada em dados concretos, principalmente as que envolvam recursos financeiros. Para o estudo da matemática financeira devemos ter alguns conceitos bem definidos: DEFINIÇÕES apital (PV) – Valor com o qual fazemos operações financeiras, em alguns livros mais antigos utilizam esta nomenclatura de capital, porem hoje em dia se usa mais o Valor Presente (VP). O capital pode ser definido também como principal. – Valor Presente, em língua inglesa Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV, ou no Excel na função financeira, portanto utilizaremos esta definição. Lembrando que valor presente se referiu ao capital inicial, ou seja na data zero, caso se faça um fluxo de caixa veremos o PV deve estar no inicio do mesmo. 0 1 2 3 4 5 6 PV – Valor Futuro – Ë o PV acrescido de juros, ou simplesmente montante, no fluxo de caixa este só pode ser colocado no final. No estudo de descontos, as promissórias, cheques pré-datados, títulos etc, sempre serão tomados como FV. FV 0 1 2 3 4 5 6 PV – Prestação, parcela, anuidade, mensalidade ou ainda termo, é função com a qual calculamos as mesmas. No excel esta função esta definida como pagamento (Pgto). – Taxa percentual é razão pela qual o PV ou capital será remunerado ou descontado. Quando se usa uma fórmula para calcular juros ou desconto a taxa deve ser usada na forma unitária. Toda taxa refere-se a uma unidade de tempo. Ex. i = 5% = 0,05 (taxa unitária). A C PV FV PMT i
  • 3. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 3 3 – Significa o tempo que será usado na operação financeira, mês, ano, bimestre, trimestre, etc. Quando resolvemos um problema financeiro devemos observar o tempo a que se refere a taxa e o tempo da operação, os dois devem estar na mesma unidade, caso isto não esteja acontecendo devemos transformar o tempo ou a taxa, ambos para mesma unidade de tempo. Descontos Simples e Desconto Composto. Este conjunto de teclas acima são principais teclas financeiras. CRITERIOS DE CAPITALIZAÇÃO DE JUROS Os critérios (regimes) de capitalização demonstram como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação. ANO SALDO NO INICO DE CADA ANO JUROS APURADOS PARA CADA ANO SALDO AO FINAL DE ANO CRESCIMENTO ANUAL DO SALDO 1 1000,00 100,00 1100.00 - 2 1100.00 100.00 1200.00 100.00 3 1200.00 100.00 1300.00 100.00 4 1300.00 100.00 1400.00 100.00 5 1400.00 100.00 1500.00 100.00 O regime de capitalização composta comporta-se como uma (PG), crescendo os juros de forma exponencial ao longo do tempo. Neste critério os juros se incorporam ao capital (Valor Presente) ao final de cada período de capitalização, assim sendo em todo inicio de cada período você sempre terá um novo capital. ANO SALDO NO INICO DE CADA ANO SALDO AO FINAL DE ANO JUROS APURADOS A CADA ANO 1 1.000,00 1.100,00 100,00 2 1.100,00 1.210,00 110,00 3 1.210,00 1.331,00 121,00 4 1.331,00 1.464,10 133,10 5 1.464,10 1.610,51 146,41 n
  • 4. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 4 4 TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS ENTRE DUAS DATAS DIA DO MES JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ 1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 31 31 90 151 212 243 304 365
  • 5. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 5 5 EQUIVALENCIA DE TEMPO Para efeito de cálculos o mês comercial tem 30 dias e o ano 360 dias, porém devemos saber fazer as conversões usuais: 1 mês = 30 dias 1 bimestre = 2 meses = 60 dias 1 trimestre = 3 meses = 90 dias 1 quadrimestre = 4 meses = 120 dias 1 semestre = 6 meses = 180 dias 1 ano = 12 meses = 360 dias 1 semestre = 2 trimestres = 3 bimestres, dentre outras possíveis. USO BÁSICO DA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C A calculadora HP-12C é possivelmente a máquina financeira mais popular no; mundo das finanças. Ela possui até três funções por tecla: brancas, laranjas e azuis. As funções brancas automáticas, ou seja apertando-se a tecla esta função será ativada e as amarelas e azuis aparecem acima e abaixo das teclas – para ativa-las é necessário que se pressione antes a tecla (f) para ativar as funções laranjas e (g) para as funções azuis. Algumas operações básicas na HP-12C:  Ligar e desligar a calculadora: on  Apagar o que tem no visor: Clx  Apagar o conteúdo de todos os registros: (f) REG  Apagar o conteúdo das memórias financeiras: (f) FIN  Introduzir um número: número + ENTER  Operações básicas: (número) ENTER (número) operação ex: 12 ENTER 43 + = 55  Potenciação: (número) ENTER (potência) (yx) ex: 5 elevado a 3, 5 ENTER 3 yx 125  Raiz, qualquer raiz pode se transformada em uma potência de índice fracionário: (número) ENTER (número) (1/x) (yx) ex: raiz sétima de 2.187 > 2187 ENTER 7 (1/X) (YX) 3.  Armazenar um número na memória: (número) ENTER (número da memória onde quer armazenar de 0 a 9 ou ainda de .0 a .9).  Buscar um número na memória: (RCL) (número da memória onde foi armazenado).  Fixar quantidade de casas decimais: (f) (número de casas decimais desejados).
  • 6. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 6 6 Limpa o visor, quando acionado após a tecla f, apaga toda a memória da calculadora A tecla f aciona as funções em laranja e a tecla g as funções em azul. Tecla usada para entrada de dados Entrada do tempo Valor Presente, capital inicial Esta tecla é usada para calcular ou informar o valor de prestações, parcelas, etc. Valor Futuro ou montante Entrada da taxa Esta tecla é usada para se inverter o valor de um número. Com esta tecla se calcula o percentual de um determinado valor.
  • 7. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 7 7 2. TAXAS: PERCENTUAL E UNITÁRIA A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal. São exemplos de razões centesimais: 100 30 , 100 4 , 100 135 e 100 27,9 O símbolo % significa que o valor está dividido por 100. Assim, existem duas formas básicas de notação de valores: Taxa percentual: exibe o número que deve ser dividido por 100. Não permite operação algébrica imediata. Por exemplo: 100 30 = 30%; 100 4 = 4%; 100 135 = 135% e 100 27,9 = 27,9% As expressões 30%, 4%, 135% e 27,9% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Taxa unitária: exibe o número puro, permitindo operações algébricas. Por exemplo: 100 30 = 0,3; 100 4 = 0,04; 100 135 = 1,35 e 100 27,9 = 0,279 Porcentagem: é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos 1. Converta para a forma percentual: a) 0,57 = 57% b) 2,08 = 208% c) 0,02 = 2% 2. Converta para a forma unitária: a) 163% = 1,63 b) 2.107% = 21,07% c) 12% = 0,12 3. Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito; a razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas é dada por: 26% 100 26 50 13   4. Um CD é vendido por R$ 25,00. Se seu preço fosse aumentado em 15%. Quanto passaria a custar? Se fosse anunciado um desconto de 15% sobre o preço original, quanto o CD passaria a custar? - Aumento: Preço = 25 + 0,15 x 25 = 25 . (1 + 0,15) = 25 . 1,15 = R$ 28,75 - Desconto: Preço = 25 – 0,15 x 25 = 25 . (1 – 0,15) = 25 . 0,85 = R$ 21,25
  • 8. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 8 8 FATOR DE MULTIPLICAÇÃO: a) No caso de haver um acréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 + taxa de acréscimo (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 EXERCÍCIOS 1. Calcular os valores de: a) 10% de 29 + 4,2% de 17 b) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,7 c) 0,4% de 125 + 1,6% de 234,25 d) 4% de 1.439,25 + 3,6% de 17.432 2. De uma classe com 40 alunos, 35% são rapazes. Quantos rapazes e quantas moças há na classe? 3. O preço de venda de um CD é de R$ 22,00. Quanto passará a custar o CD se a loja anunciar: a) Um desconto de 12%? b) Um acréscimo de 5%? 4. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa de reprovação foi de 15%. Quantos candidatos foram aprovados? 5. Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de desconto. De quanto foi o desconto? 6. Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a porcentagem de lucro?
  • 9. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 9 9 7. Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comissão. Qual o valor da venda das propriedades? 8. Meio representa quantos por cento de cinco oitavos? 9. Uma nota promissória, cujo valor era de R$ 5.000,00 foi paga com um desconto de R$ 250,00. Qual a taxa de desconto 10. Expresse, sob a forma de taxa percentual, cada uma das seguintes razões: a) 5 2 b) 20 1 c) 4 1 3 d) 80 37 e) 0,125 11. Escreva as taxas percentuais abaixo como razões, sob a forma mais simples possível: a) 80% b) 25,2% c) 0,48% d) % 3 2 e) 2 % 4 1 É importante lembrar que em todas as formulas financeiras se deve usar sempre a taxa unitária. FATOR DE MULTIPLICAÇÃO: a) No caso de haver um acréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 + taxa de acréscimo (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00
  • 10. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 10 10 2.2.TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. ' ' n n i i  Exemplo Calcule a taxa mensal proporcional a 24%aa. R. 24/12 = 2 %am Exercícios 1) Calcule a taxa mensal proporcional a: a) 9%at b) 24 % as c) 0,04 ad 2) Calcule a taxa anual proporcional a: a) 1,5 %am b) 8%at c) 21%as d) 0,05%ad OBS: NA RESOLUÇÃO DE QUALQUER PROBLEMA FINANCEIRO DEVEMOS OBSERVAR AS UNIDADES DE TEMPO DA TAXA E DO PROPRIO TEMPO, POIS AMBAS DEVEM SE REFERIR À MESMA UNIDADE DE TEMPO. Abreviaturas empregadas na notação das taxas Abreviatura Significado a.d. ao dia a.m. ao mês a.b. ao bimestre a.t. ao trimestre a.q. ao quadrimestre a.s. ao semestre a.a. ao ano
  • 11. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 11 11 FLUXO DE CAIXA O diagrama de fluxo de caixa (DFC) representa graficamente a movimentação de recursos ao longo do tempo (entradas e saídas de caixa). Os principais aspectos do diagrama de fluxo de caixa são:  a escala horizontal representa o tempo o tempo (dias, semanas, meses, anos etc);  o ponto 0 representa, normalmente, a data inicial. O ponto n representa o número de períodos passados;  as entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Têm sinal positivo e são representadas por setas apontadas para cima.  as saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Têm sempre sinal negativo e são representadas por setas apontadas para baixo. Operação de Empréstimo Operação de Aplicação 0 n 0 n Valor Presente (C) Valor Presente (C) Valor Futuro (M) Valor Presente + juros Valor Futuro (M) Valor Presente + juros Período de capitalização Período de capitalização Exemplo: O diagrama de fluxo de caixa de um empréstimo contraído por alguém no valor de $ 300,00 que será quitado mediante o pagamento de $ 340,00, daqui a seis meses, pode ser visto a seguir. 0 n = 6 meses Valor Presente (C) Valor Futuro (M) M = - $ 340,00 C = + $ 300,00 Exercícios 1. Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no valor de $ 500,00 que será resgatado em 3 parcelas iguais, mensais, no valor de $ 200,00. 2. Uma empresa pensa em abrir uma nova instalação industrial com investimento inicial igual a $ 300,00. Os gastos anuais associados aos cinco anos de vida do negócio são estimados em $ 80,00 e as receitas em $ 200,00. Represente o diagrama de fluxo de caixa dessa operação.
  • 12. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 12 12 3. Construa o diagrama para os fluxos de caixa dados a seguir: Ano Fluxo de caixa 0 – 700,00 1 500,00 2 400,00 3 300,00 4 200,00 5 – 300,00 3. JUROS Do Aurélio: 1. Econ. Importância cobrada, por unidade de tempo, pelo empréstimo de dinheiro, geralmente expressa como porcentagem da soma emprestada: 2. Ant. Econ. Rendimento de capital investido; interesse. [M. us. no pl.] 3. Fam. Recompensa (2). 3.1. ANALISE DOS JUROS NO TEMPO Em relação ao tempo nós poderemos ser credores ou devedores dos juros. 3.1.1 CREDOR Seremos credores dos juros, quando investimos nosso capital, para futuramente desfrutamos desse rendimento. Por exemplo: Quero fazer uma viajem no final do ano e para tanto guardamos parte do meu salário em uma renda fixa. No final terei o credito dos juros e poderei gozar de minha tão sonhada viajem. 3.1.2. DEVEDOR Seremos devedores dos juros, quando temos a necessidade de algo, ou queremos muito gozar de algum bem, como por exemplo um carro, um som novo, etc. Por exemplo: Vou sair de férias do meu emprego e quero muito viajar para uma praia no nordeste, porém não tenho o dinheiro suficiente, para que eu possa fazê-la, financio-a em 10 pagamentos. A partir do momento que comprei algo financiado, passei a ser devedor. Agora você já tem condições de tomar a decisão de ser credor ou devedor dos juros.
  • 13. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 13 13 3.2 JUROS SIMPLES É o juros que incide apenas no principal ou capital inicial ou ainda no valor presente, ou seja mesmo decorridos vários períodos de capitalizações, sempre calcularemos o juros tomando como base o valor presente. Fórmula J = PV.i.n Exemplos 1) Se eu aplicar R$ 1.540,00 durante 6 meses a uma taxa de 2%a.m., quanto terei de juros simples? Nas resoluções dos problemas financeiros procure primeiro identificar todos os dados do problema, para depois equaciona-lo. PV = 1.540 n = 6 m i = 2 % = 0,02 2) Durante quanto tempo devo deixar aplicado meu dinheiro que é R$ 3.490,00, sabendo que meu gerente me ofereceu uma taxa de 1,2%am, para que eu tenha R$ 5.000,00. 3) Paulo aplicou R$ 3.560,00 em 02/01/06 e resgatou em 06/04/2006 o valor de R$ 5.430,00, o que proporcionou a Paulo comprar uma moto, calcule a taxa de juros supondo que o sistema de capitalização seja simples. 4) Calcule o juros de um capital que ficou aplicado durante 2,25 anos, sabendo que a taxa é de 7,2%a.s. e que o valor aplicado foi de R$ 1.560,00. 3.3 VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO: Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante (M) ou valor futuro (VF). Assim, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é: FV = PV + J No entanto, sabe-se que: J = PV . i . n Assim, FV = PV + PV . i . n FV = PV(1 + i . n) O valor de C pode ser obtido por:
  • 14. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 14 14  i n FV PV    1 O valor de i pode ser obtido por: n PC FV i       1 O valor de n pode ser obtido por: i PV FV n       1 EXERCÍCIOS 1. Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês no RCS, durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.R: J = 6.000,00 2. Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $ 270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.R: C =500.000,00 3. Um capital de $ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de $ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por esta operação.R: i = 2,2% 4. Uma aplicação de $ 250.000,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de $ 27.000,00. Calcular o prazo da aplicação.R: n = 6 meses 5. Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestados para pagar dentro de 5 meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação.R:M = $3.900,00 6. Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 750,00 após 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Qual o capital inicial da operação?R: C = $ 500,00 7. O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação.R: i =0,20 = 20% 8. A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de 2% a.m. regime de capitalização simples. Qual a duração da operação?R: i = 48,53
  • 15. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 15 15 4. DESCONTO Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado (pago) antes do vencimento. É uma operação habitual no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de um título de crédito, tais como letras de cambio, notas promissórias, cheques-predatados, etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes da data de vencimento. O banco, a factoring ou financeira, naturalmente, liberam uma quantia menor do que o valor nominal (FV) do título. Na operação de desconto devemos ter bem definido o Valor Futuro (FV), que é o valor do título na data de seu vencimento. Todo título, cheque-pre, nota promissória, letra de cambio, etc, sempre serão definidos como FV(valor futuro), quando descontados, pagos ou liquidados, ai sim estes valores passarão a ter PV (Valor Presente). Pela sistemática da capitalização simples, o desconto pode ser classificado em duas modalidades: desconto racional simples (desconto por dentro) e desconto comercial simples (desconto por fora). FV (título no seu vencimento) 0 PV (título quando resgatado) 4.1 DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) É o valor equivalente ao juros simples produzido sobre o valor nominal ou FV quando se aplica sobre ele as mesmas condições, ou seja aplicando-se o FV à mesma taxa e mesmo tempo. Formula d = FV.i.n. PV = FV(1 – in) Ex. 1) Quero descontar um título de R$ 3.400,00 que vencerá em 90 dias, o banco me cobra uma taxa de 3,8% am. Qual o valor do desconto? 2) Tenho um lote de cheques-pre no valor de R$ 5.000,00 para 60 dias. A que taxa devo negociá-los para que eu receba no mínimo R$ 4.770,00 ?
  • 16. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 16 16 4.2 DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) É equivalente aos juros produzido pelo PV- valor presente ( valor liquido), no mesmo tempo e taxa do desconto. dr = i n FV i n 1 . . .  ou dr = FV – PV PVr = i n FV 1 . Em comparação com o desconto comercial o desconto racional é ligeiramente menor. Ex: 1) Calcular o desconto racional de um título de R$ 1.500,00 que será resgatado 60 dias antes do vencimento, sabendo que a taxa de 2,3%. 2) Qual o valor liquido que receberei se descontar um cheque-pre para 45 dias se a taxa cobrada é de 1,9%am., se o desconto for racional? 3) Quantos dias antes do vencimento eu devo descontar um título de R$ 59.870,00, à taxa de 3,2%am., para que eu receba R$ 58.990,00 ? 4.3 TAXA DE JURO EFETIVA A taxa de juros que no período n torna o capital PV igual ao montante FV é a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. Essa taxa é denominada taxa de juro efetiva. Estas fórmulas só deverão ser usadas para desconto comercial. PV n d i f .  ou i n i i f 1 . .   Exemplo 1) Se eu tenho um titulo no valor de R$ 9.000,00, e pretendo descontá-lo 75 dias antes de seu vencimento a uma taxa de 1,8%am, qual o valor que devo receber? 2) Em uma operação de desconto comercial de um título com prazo de 75 dias o banco cobra uma taxa de 2,9%am. Qual é a taxa efetiva nesta operação? 3) Um título de R$ 12.000,00 teve um desconto de R$ 498,00, se a taxa negociada foi 2,3%am, calcule o prazo da operação e a taxa efetiva de juros. 4) Calcule as taxas efetivas para as taxas e prazos abaixo: a) i = 2,3%am. ; 5 meses b) i = 2,3% am ; 3 meses
  • 17. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 17 17 c) i = 1,8%ab. ; 10 meses d) i = 4,5%am; 2 meses 5) Um título foi descontado à taxa de 2%a.m. Sabendo-se que o valor nominal era R$ 7.144,40 e o valor descontado racional R$ 6.740,00, qual o prazo de antecipação? 6) Calcule o valor nominal de uma duplicata que, descontada “por dentro”, à taxa de 78%a.a., 60 dias antes do vencimento, resultou num líquido de R$ 253.982,00. 7) Uma duplicata de valor nominal de $ 9000,00 é descontada em um banco dois meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 5%a.m., pese-se: a) o desconto comercial b) o valor liquido recebido c) a taxa efetiva de juros 8) Sr. Paulo teve creditado na conta de sua empresa o valor de R$ 18.560,00 referente ao desconto de um lote de duplicatas com valor de R$ 20.000,00 que venceriam em 75 dias. Qual foi a taxa negociada? 9) Qual o valor atual de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$ 120,75, a taxa de 6%aa, 4 meses antes do vencimento?
  • 18. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 18 18 TRABALHO MATEMATICA FINANCEIRA PROF. ÍTALO 1) Um valor aplicado a juros simples durante 4 meses,formou o montante de $450,00.Sabendo que, quando estiver aplicado durante 11 meses,o saldo será de $611,00,qual será esse valor? 2) Uma pessoa aplicou um valor a juros simples á taxa de 1,8% a.m.,durante 4 meses e 11 dias,recebendo de juros $84,97.Calcule o valor aplicado. 3) Uma pessoa aplicou certo valor a juros simples durante 3 anos,5meses e 18 dias,á taxa de 12%a.a,rendendo de juros $3.467,50.Calcule o valor aplicado. 4) Uma pessoa aplicou o valor de $830,00 a juros simples durante 4 meses e 11 dias, á taxa de 1,8% a.m.Calcule o montante em juros exatos. 5) O valor de $4.320,00,aplicado a juros simples exatos durante 10meses e 8 dias,rendeu de juros $873,56.Calcule a taxa 6) O valor de $4.230,00 foi aplicado a juros simples durante 8 meses e 10 dias,á taxa de 8%a.s.Calcule o valor dos juros. 7) O valor de $380,00 foi aplicado a juros simples,á taxa de 4% a.m.,formando o montante de $505,15.Quanto tempo ficou aplicado? 8) O valor de $380,00 foi aplicado a juros simples exatos á taxa de 4% a.m.,rendendo de juros $749,59.Quanto tempo ficou aplicado? 9) O valor de $540,00 foi aplicado a juros simples durante 4 anos,8 meses e 26 dias,rendendo de juros $650,00.Calcule a taxa de juros. 10) O valor de $540,00 foi aplicado a juros simples durante 8 meses e 26 dias,formando o montante de $650,00.Calcule a taxa de juros. 11) Um valor,aplicado a juros simples durante 8 meses,á taxa de 2% a.m.,rendeu de juros $1.043,84.Calcule esse valor. 12) O valor de $1043,00 foi aplicado durante 8 meses,rendendo de juros 191,14.Calcule a taxa de juros. 13) O valor de $840,00 foi aplicado a juros simples durante 1 ano,3 meses e 21 dias,à taxa de 3% a.m.Calcule o montante. 14) Um título com valor de $500.000,00 e vencimento daqui a 4 anos deve ser resgatado daqui a um ano a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.Considerando desconto racional,qual o valor do resgate? 375.657,40 15) Repetir o exercício anterior,considerando o desconto comercial. 364.500,00 16) João tem um compromisso representado por duas promissórias:uma de $200.000,00 e outra de $150.000,00, vencíveis em 4 e 6 meses,respectivamente.Prevendo que não disporá desses valores nas datas estipuladas,solicita ao banco credor a substituição dos dois títulos por um único a vencer em 10 meses.Sabendo que o banco adota juros compostos de 5% ao mês,o valor da nova nota promissória é de (desprezar os centavos no resultado final): a)$420.829,00 b)$430.750,00 c)$445.723,00 d)$450.345,00 e)$456.703,00
  • 19. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 19 19 17) O valor do desconto comercial composto de uma nota promissória,que vence em 3 anos,é de $10.482.Admitindo que a taxa nominal de desconto utilizada na operação é de 24% ao ano,com capitalização trimestral,qual o valor nominal do título?(Despreze os centavos.) $20.000 18) Determinar o montante acumulado no final de quatro semestres e o juros recebidos a partir da aplicação de um principal de R$ 10.000,00, com uma taxa de juros de 1%am. 19) Determinar o capital que deve ser aplicado a juros simples, com uma taxa de 10 %aa, para produzir um montante de R$ 10.000,00, a juros simples. 20) Calcular o tempo necessário para que um capital triplique a juros simples se a taxa for: a) 6% am b) 9% a.t. c) 10% a.a. d) 8 % a.b. 21) Paulo aplicou R$ 5.650,00 à taxa de 2% am e resgatou um montante de R$ 7.234,00. Durante quanto tempo Paulo deixou seu dinheiro aplicado? 22) Senhora Maria recebeu de juros R$ 1.245,00, depois de ter deixado seu dinheiro aplicado durante 9 meses à taxa de 1,8% am. Quanto dona Maria aplicou? 23) Quero comprar um computador que custa R$ 1.560,00 a vista, porém só tenho R$ 1.300,00, meu gerente me ofereceu uma aplicação que paga 2% am, quanto tempo devo aplicar o meu dinheiro para que possa comprar o computador? 24) A que taxa devo aplicar R$ 1200,00 para que em 12 meses tenha R4 1.800,00? 25) Um titulo com vencimento em 3 meses no valor de R$ 1.500,00 vai ser descontado à taxa de 3 %am. Quanto o portador receberá e qual a taxa efetiva? 26) Um título com 119 dias a decorrer até o vencimento está sendo negociado, a juros simples, à taxa de 15% aa. Qual deve ser o valor do título para que o portador do mesmo receba R$ 1.000,00? 27) Calcule a taxa efetiva nos seguintes casos: a) Taxa: 4%am Prazo: 5 meses b) Taxa: 3,5% am Prazo: 2 meses c) Taxa: 5% Prazo: 6 meses; 4 meses; 2 meses
  • 20. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 20 20 5. JUROS COMPOSTOS Juro composto é aquele que no final de cada período financeiro, o juro se incorpora ao principal, calcula-se o juro sobre o montante relativo ao período anterior. FV = PV.(1 + i)n O fator (1 + i)n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital. Exemplo 1) Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00, aplicado em regime de juro composto a 5%a.m, durante 3 meses. 2) Durante quanto tempo devemos aplicar um capital para o mesmo dobre, aplicado a 3%a.m. a juros compostos? 3) Estou querendo comprar um Notebook LatitudeTM 120L que custa R$ 2.099,00. O vendedor da loja me garantiu que este preço não sofrerá aumento nos próximos 4 meses. Meu gerente do banco me ofereceu uma aplicação com taxa de 1,7%a.m., quanto devo aplicar para que possa comprar o notebook? FORMULA DOS JUROS COMPOSTO J = PV.[(1 + i)n - 1] Exercícios 1) Um capital de R$ 6.000 foi aplicado a juros compostos durante três meses, à taxa de 2 %a. a) Qual o montante? b) Qual os juros auferidos? 2) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5%a.m., durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 79.475,00, calcule o capital inicial. 3) U ma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? 4) O capital de $ 8.700,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5%a.m., elevou-se no fim de certo tempo a $ 11.456. Calcule este tempo. 5) Calcule o tempo que deve deixar aplicado um capital de R$ 2.980,00 para que possa resgatar R$ 3.198,38, sabendo que a taxa pela qual o capital será remunerado é 1,5%am.
  • 21. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 21 21 6) Calcule o montante para as aplicações abaixo, supondo o regime de capitalização composta: Capital Taxa Prazo A 80.000 18%aa 2 anos B 65.000 3%am. 1 ano C 35.000 21%at 1ano e meio TAXAS EQUIVALENTES Pelo conceito de taxas equivalentes, podemos afirmar que o montante produzido pelo capital P , à taxa i, durante 1 ano, tem que ser igual ao montante produzido pelo capital P, durante 12 meses, as taxa mensal. Ou seja P(1 + ia)1 = P(1 + im)12 Para outras frações de ano, temos: (1 + ia)1 = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + ib)6 = (1 + im)12 ik = (1 + i)k – 1 ou ik = k 1 i - 1 ou ainda pode optar pela fórmula:  (1 )T 1 k k i i Exemplo 1) Qual a taxa trimestral equivalente 30%aa? 2) Calcule a taxa anual equivalente a 2%am. 3) Determine a taxa bimestral equivalente a 18%as. Exercícios 1) O Banco da Praça me oferece uma taxa de 1,2%am e o Banco do Boteco me oferece uma taxa de 15,66%aa. Qual taxa é melhor para mim? Resolva usando a equivalência de taxas. 2) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas: a) 1,8%am b) 2,5%ab c) 4,5%at d) 13%aq e) 18% a.s. 3) Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas: a) 75% a.a. b) 6,5 %ab c) 0,12%ad d) 21%at 4) Dada a taxa de juros de 9,2727% at, determinar a taxa equivalente mensal.
  • 22. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 22 22 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Temos uma taxa nominal de juros quando o prazo de capitalização de capitalização não coincide com aquele a que se refere a taxa. Neste caso, é comum adotar-se a convenção de que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal. Quando calculamos a taxa efetiva de uma operação não utilizamos o tempo da operação, e sim o prazo de um ano sempre.  (1 ) 1 k f k i i Exemplo 1) Um banco faz empréstimos à taxa de 5%aa, capitalizados semestralmente. Qual seria o juro pago por um empréstimo de $ 10.000,00 por um ano? Qual é a taxa efetiva? 2) Um capital de $ 1000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de 10%aa, capitalizado semestralmente. Calcular o montante e a taxa efetiva. 3) Qual é a taxa efetiva da poupança se a mesma paga 6%aa, capitalizados mensalmente? Exercícios 1) Qual é a taxa efetiva anual das taxas nominais abaixo: TAXA NOMINAL CAPITALIZAÇÃO a) 24%aa mensal b) 28%aa trimestral c) 21%as bimestral d) 18%aa bimestral 2) Se um banco deseja ganhar 30%aa como taxa efetiva, que taxa nominal anual deverá pedir em cada hipótese de capitalização abaixo: a) mensal b) trimestral c) quadrimestral d) semestral 3) Uma empresa toma um empréstimo de R$ 100.000,00 a taxa de 28%aa capitalizados trimestralmente. Qual o montante a ser pago se o prazo da operação são 2 anos e qual é a taxa efetiva paga? 4) Sr. Paulo contratou um empréstimo no valor de R$ 56.000,00, que deverá ser pago em uma única parcela dentro de 18 meses. Calcule o valor do pagamento sabendo que a taxa do contrato é 20%aa capitalizados bimestralmente.
  • 23. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 23 23 DESCONTO COMPOSTO O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples: é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes de seu vencimento. Empregamos o desconto composto para operações a longo prazo, já que a aplicação do desconto simples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem nexo. Analogamente ao caso do desconto simples, temos dois tipos de desconto composto: o racional e o comercial. O desconto comercial praticamente não é empregado entre nós; assim, ficaremos restritos ao estudo do desconto composto racional. DESCONTO COMPOSTO POR DENTRO O desconto por dentro representa o juro incidente sobre o valor líquido. Comparando, pois, o cálculo do desconto racional com o dos juros, podemos observar que o valor nominal representa o montante; o desconto correspondente aos juros e o líquido, sobre o qual é calculado o desconto, corresponde ao capital. Calculo do desconto a partir do valor nominal: D = FV[ 1 – (1 + i )-n] Calculo do desconto a partir do valor atual: D = PV[ (1 + i)n – 1] Calculo do valor atual (líquido ou descontado) -n n ou PV FV( 1 i ) (1 i ) FV    PV  Exemplo 1) Calcular o desconto composto de um título de R$ 4.600,00 dois meses antes do vencimento, à taxa de 2%am. 2) Calcular o desconto composto de um título que foi resgatado por $ 4.975,00, faltando quatro meses para o vencimento, à taxa de 3%am. 3) Qual o desconto de um título de $ 5.000,00, submetido a desconto composto, com capitalização bimestral. R 801,90 Exercícios 1) Determine o valor atual de um título de R$ 3.000,00 resgatado três meses e 15 dias antes de seu vencimento, à taxa do desconto composto de 2,5%am. R = 2751,62 2) Qual o desconto de um título de R$ 5.000, submetido a desconto composto, com capitalização bimestral à taxa de 18%as, seis meses antes do vencimento?
  • 24. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 24 24 3) Um título de $ 4.000,00 é resgatado por $ 3.553,95, faltando oito meses para seu vencimento. Calcular a taxa nominal (anual) da operação, considerada capitalização bimestral para o desconto composto. R = 18% 4) Calcular o valor nominal de um título que recebeu um desconto de $ 513,82, ao ser descontado um trimestre antes do vencimento, à taxa de 3,5%am. R = 5.240 5) Depois de concedido desconto de 2%am, certa dívida foi paga pelo valor de R$ 2.350,00. Calcular o desconto concedido pelo pagamento antecipado em oito meses e 10 dias. R = 421,63 6) O valor nominal de um título é de R$ 200.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcular o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 28%aa, capitalizado trimestralmente. 7) Calcule o desconto obtido em um título de valor nominal R$ 3.800,00, descontado 8 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto, em juros composto, em regime composto, de 30%aa, capitalizados bimestralmente. EQUIVALENCIA DE CAPITAIS DATA FOCAL Def: Data focal é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes. Diz-se que dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. Ou seja: PV = PV1 +PV2 + .......+ PVn Exemplo 1) Consideremos os valores futuros abaixo: CAPITAIS DATA DE VENC.(anos) VALOR PRESENTE 1.100,00 1 1.210,00 2 1.331,00 3 1.464,10 4 1.610,51 5 Admitindo-se uma taxa de 10%aa, verifique se os capitais acima são equivalentes. 1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10 1.610,51 0 1 2 3 4 5
  • 25. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 25 25 Quando devemos usar a equivalência de capitais? Quando precisarmos de prorrogar ou antecipar o pagamento de uma divida. Exercícios 1) Um título de valor nominal de $ 8.500,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro de $ 7.934,84, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 3,5%am, pergunta-se se a substituição foi vantajosa. 2) Um título de R$ 7.000,00, com vencimento em 5 meses, é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juros é 3%am, qual o valor do novo titulo? $6.598,17 3) Sr. Paulo deve dois títulos, um de R$ 15.000,00 com vencimento para um ano e outro de R$ 25.000,00, para um ano e meio. Porém com sr Paulo esta com uma folga de caixa, pretende substitui-los por um único título com vencimento em 6 meses, sabendo que a taxa é de 30%aa, calcule o valor do novo título. 4) Uma empresa contraiu um empréstimo de R$ 25.000, por 5 anos, com juros de 20%aa capitalizados trimestralmente. Passados 3 anos, a empresa decide resgatar a dívida; o desconto concedido é de 20%aa, capitalizados semestralmente. Qual o valor do resgate? 45.305,95 5) Um terreno é posto a venda por $ 100.000,00 a vista, ou, caso o comprador pote por financiamento, as condições são: $ 50.000,00 no ato mais duas parcelas semestrais sendo a primeira de $ 34.000,00 e a segunda de $ 35.000,00. Qual é a melhor alternativa, sabendo que a taxa é 50%aa? 6) Uma pessoa deve hoje $ 2.000,00 hoje e $ 5.000,00 para 1 ano. Propõe a seu credor refinanciamento de sua dívida, comprometendo-se a liquidá-la em 3 parcelas semestrais iguais, vencendo a primeira em 6 meses. De quanto serão as parcelas, se a taxa contratada for de 20%aa? $ 2.459,85 7) Dois títulos um de R$ 3490,00 para 4 meses e outro de R$ 5.489,00 para seis meses deverão ser substituídos por um único título para 9 meses.Calcule o valor do novo título sabendo que a taxa é 3%am.
  • 26. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 26 26 RENDAS Rendas são um conjunto de dois ou mais pagamentos ou recebimentos, realizáveis em épocas distintas, destinados a constituir um capital ou amortizar uma dívida. ELEMENTOS Os pagamentos, que podem ser prestações ou depósitos, constituem os termos (PMT) da renda. Denomina-se n o número de termos (pagamentos) e i a taxa unitária dos juros. Se o objetivo da renda for constituir capital, esse capital será o montante da renda; se, entretanto, seu objetivo for amortizar uma dívida, o valor dessa dívida será o valor atual da renda. CLASSIFICAÇÃO                               Perpetuas Não periódicas Variáveis Diferidas Antecipada s ediatas Cons tes Periodicas Temporarias ndas Im tan Re RENDA IMEDIATA Uma renda é imediata (ou postecipada) quando os pagamentos ocorrem no fim de cada período. Assim, se a renda possui n termos, o vencimento do último termo se dá no fim de n períodos. Ex. Uma compra a prazo sem entrada. VALOR PRESENTE DE UMA RENDA IMEDIATA O valor atual (ou valor presente) de uma renda imediata equivale ao valor de uma dívida (empréstimo, valor a vista de uma mercadoria) que será paga com prestações. O valor atual da renda é igual a soma dos valores atuais de seus termos calculados com desconto composto a determinada taxa.    n n ni i. 1 i 1 i 1 PV PMT.    
  • 27. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 27 27 Exemplo 1) Devo 15 parcelas de R$ 145,00 de um financiamento, no qual me foi cobrado uma taxa de 3%am. Caso eu desejasse quitar o referido financiamento quanto deveria para hoje?$ 1.731,00 2) Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode ser comprado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3%am. Calcular o valor das prestações. $ 586,15 3) Um aparelho de som está anunciado nas seguintes condições: $ 1.500,00 de entrada e 3 parcelas iguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lojas de som é de 2,5%am, calcular o valor a vista. Exercícios 1) Uma loja vende um tapete em 12 parcelas mensais de $ 97,49 ou em 24 parcelas de $61,50. Nos dois casos, o cliente não dará entrada. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2,5%am, qual é o melhor sistema para o comprador? 2) Uma loja vendo uma geladeira por R$ 2.000,00 a vista ou financiada em 18 parcelas, a juros de 3,5%am. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada? $ 151,63 3) Em uma garagem o preço de um carro, a vista é de $ 50.000,00. Qual é o valor da prestação, se o carro for financiado em 24 prestações mensais sem entrada, e a taxa de juros for 3%am? 4) Uma Biz esta a venda por R$ 4.951,00 à vista ou em 18 parcelas de $ 399,00. Pergunta-se qual é melhor opção de compra se a taxa cobrada é de 3,5%am? 5) Um equipamento foi vendido com uma entrada de R$ 2.000,00 e mais 8 prestações de R$ 760,00. Sabendo-se que a taxa cobrada foi de 2,5%am, calcule o preço a vista do equipamento. $7.449,30 6) O valor a vista de um bem é R$ 6000,00. A prazo paga-se uma entrada no ato da compra, mais 3 parcelas mensais de R$ 2000,00 cada uma. Se a taxa de juros que foi cobrada é 7%am, calcular o valor da entrada. 571,37 7) Estou depositando mensalmente, R$ 250,00 em uma conta que me remunera à taxa de 1,1%am, durante os próximos 2 anos. Quanto poderei retirar mensalmente também durante um ano?
  • 28. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 28 28 VALOR FURUTO DE UMA RENDA IMEDIATA O montante de uma renda imediata equivale à soma dos montantes dos depósitos unitários, durante n períodos a uma taxa. O montante de cada termo (deposito) da renda é calculado pela formula dos juros compostos, M = C(1 + i)n. Feitas todas transformações necessárias, teremos a seguinte formula.   i 1 i 1 FV PMT. n    n i Obs: Só se calcula o VALOR FUTURO de uma renda quando estivermos formando capital. Exemplo 1) Quanto uma pessoa deve depositar em um banco, no fim de cada trimestre, a 5%at, para no fim de 2 anos, possuir R$ 10.000,00? 2) Quanto terei no fim de 4 anos, se depositar no fim de todo mês R$ 100,00 em meu banco a uma taxa de 1,7%am? 3) Quanto terei acumulado em uma aplicação se me foi oferecida uma taxa de 18%aa capitalizada bimestralmente, para depósitos bimestrais de R$ 500,00 durante 3 anos? $11.707,22 Exercícios 1) O carro que pretendo comprar esta custando R$ 18.000,00, porém como o mercado esta estável e nos próximos 12 meses não haverá mudança de preço, quanto devo depositar mensalmente para que possa comprar o tão desejado carro, se o meu gerente me oferece uma taxa de 1,4%am? 2) Em dezembro quando for sair de férias quero ir par Natal, o pacote com estadia e passagem aéreo esta custando R$ 2.500,00, se não houver aumento, quanto devo depositar mensalmente levando em conta que tenho 8 meses para juntar o dinheiro e que minha conta no banco me remunera a 1,2%am? 3) Calcular o montante que terei ao final de 5 anos se depositar mensalmente R$ 90,00 em uma conta que paga 9%aa capitalizado bimestralmente. 4) Quanto devo depositar trimestralmente, para que tenha R$ 2.438,66 ao final 2 anos e três meses se o banco me paga uma taxa de 8%aa capitalizados trimestralmente? 5) Qual o valor do financiamento cuja prestação de R$ 250,00 está sendo paga no final de cada mês, durante 18 meses , à taxa de 4 %am? 3.164,82
  • 29. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 29 29 RENDA ANTECIPADA Essa é a anuidade ou série de parcelas em que a primeira será paga no momento em que se realiza a operação. CÁLCULO DO VALOR ATUAL PV n i = PMT . i i i n [1 (1 ) ].(1 )  Exemplo 1) Calcule o valor a vista de uma mercadoria que pode ser adquirida em quatro prestações mensais, de R$ 150,00, com a primeira de entrada, sabendo que a loja cobra de 7% am. 2) Uma mercadoria custa à vista R$ 3.012,69, porem pode ser vendida em 7 vezes iguais com entrada. Calcule o valor da prestação sabendo que a taxa de juros cobrada é 3,5 %am. CÁLCULO DO VALOR FUTURO (FV-MONTANTE) FV n i = PMT . .(1 i) i (1 i) 1 n    Exemplo 1) Uma pessoa deposita no inicio de cada mês, durante quatro meses $ 500,00, numa conta que paga juros de 0,75%am. Calcule o montante. 2) Quanto devo depositar no começo do mês, em uma aplicação que me remunera a taxa de 1,7%am, para que no final de 2 anos tenha R$ 5.000,00? Exercícios 1) Uma empresa anunciou a venda de certa mercadoria que custa $ 944 em 15 (1+14) prestações mensais, à taxa de 7,2%am. Calcule o valor da prestação. 2) Uma pessoa efetuou 7 depósitos no inicio de cada mês de R$ 2.000,00, recebendo juros 2% am. Qual será o montante?
  • 30. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 30 30 3) Um carro foi financiado, em 36 prestações iguais e mensais com a primeira no ato, no valor de R$ 560,00. Sabendo que a taxa contratada foi de 4,5%am, qual o preço a vista do carro? 10.338,17 4) Uma pessoa efetuou depósitos no inicio do mês durante 10 meses numa conta que paga juros de 1,2%am, tendo o saldo de $ 833,38. Quanto ela depositava por mês? 78 5) Uma mercadoria foi vendida em 8 prestações mensais de $ 34,56, sendo a primeira de entrada. Se a loja cobra juros de 5,8%am, qual o preço dessa mercadoria a vista? 228,87 6) Uma mercadoria foi vendida em 15 prestações mensais de $ 67,18, sem entrada, à taxa nominal de 84%aa. Calcule o preço dessa mercadoria a vista. 611,87 7) Sr. Paulo esta trocando a mobília de sua casa, que custaria a vista $ 8.790,00, porem ele preferiu paga-la a prazo, sendo uma entrada de 20% e o restante em 12 parcelas mensais iguais. Se a loja cobra uma taxa de 4%am, qual o valor da prestação? RENDA DIFERIDA As rendas diferidas envolvem apenas cálculos relativos a valor atual, pois o montante de uma renda diferida é igual ao montante de uma renda imediata, uma vez que durante o prazo de carência não há pagamentos e capitalizações. Exemplo 1) Um financiamento de R$ 50.000,00 será pago em 12 prestações mensais aplicando-se juros de 8%am. Considerando que foi estipulado um período de carência de 3 meses, calcular o valor das prestações imediatas e antecipadas No caso de as prestações serem antecipadas, a primeira parcela é paga no início do primeiro período que se segue ao término da carência. Durante a carência os juros são capitalizados e incorporados ao principal, logo as prestações devem ser calculadas sobre o principal capitalizado m períodos, onde é a carência. P = 50.000 => M= 50.000.(1,08)3 = 62.985,60 Calculo das prestações: Imediata: PV 12 0,08 = 62.985,60 = T .    n n i i i    . 1 1 1 => T = 7,536078016 62985,60 = 8.357,88
  • 31. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 31 31 Antecipada: PV 12 0,08 = 62.985,60 = T . i i i n [1 (1 ) ].(1 )  => 8,138964259 62985,60 = 7.738,77 Exercícios 1) Um empréstimo de $ 4.500 contratado em 15/8/2000 será pago por meio de 36 prestações mensais a juros de 6%am. Os juros são capitalizados e incorporados ao principal já a partir da data de contratação. Considerando que a primeira prestação deverá ser paga 45 dias depois e as restantes com intervalos de 30 dias, calcular o valor das prestações.316,88 2) Um financiamento de$ 40.000 será pago em 8 prestações mensais de $ 6.413,44. O início do pagamento das prestações será logo ao término de um determinado período de carência. Considerando que a taxa de juros é 3%am, determine o período de carência. 5 meses 3) Um determinado equipamento será financiado em 48 pagamentos, porem o banco concedeu uma carência de 12 meses para que o industrial se capitalizasse. Sendo que a primeira prestação devera ser paga 30 dias após o termino da carência e a taxa de juros contratada foi de 18%aa, e valor financiado foi de $ 135.000, calcule o valor das prestações.$4.384,57 4) Que divida pode ser amortizada com 8 prestações bimestrais de $ 1.000, sendo de 7%ab a taxa de juros e devendo ser paga a primeira prestação 3 bimestres depois de realizado o empréstimo.5215,56 5) Um magazine oferece, em sua promoção, um televisor por 24 prestações de $300,00, ocorrendo o primeiro pagamento apenas após 4 meses da compra. Qual seria o preço a vista deste televisor, uma vez que a taxa de mercado é 2,5%am? $5.365,50
  • 32. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 32 32 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS – TABELA PRICE A denominação Sistema de Amortização Francês vem do fato de ter sido utilizado primeiramente na França, no século XIX. Esse sistema caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas. É o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce à medida que as prestações são pagas, eles são decrescentes e, conseqüentemente, as amortizações do principal são crescentes. Exemplo 1) Um empréstimo de $ 200.000, será pago pela Tabela Price em 4 prestações mensais imediatas. A juros de 10%am, construir a planilha de amortização. MÊS PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 0 1 2 3 4 TOTAIS Exercício 1) Um carro foi financiado pela tabela Price a uma taxa de 3%am, sendo que o valor financiado foi de $36.000 e prazo foi de 4 meses, monte a planilha de amortização e calcule o valor total de juros pago. 2) Um certo equipamento foi pago em 15 prestações imediatas no valor de $ 3.450, mais uma entrada. Se a taxa contratada foi de 4%am, e o valor do equipamento a vista é R$ 45.000, calcule o valor da entrada. 3) Um banco emprestou $ 100.000,00, entregues no ato. Sabendo que a taxa foi de 12%aa capitalizados mensalmente e que o empréstimo será pago em 8 prestações, construa a tabela.
  • 33. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 33 33 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), o principal é reembolsado a em quotas de amortização iguais. Dessa maneira, diferente da Tabela Price, em que as prestações são iguais, no Sistema SAC as prestações são decrescentes, já que os juros diminuem a cada prestação. A amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento. Esse tipo de sistema às vezes é usado pelo Sistema Financeiro da Habitação (SFH), pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobiliários e também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades governamentais. Exemplo Elaborar a planilha de amortização para o seguinte financiamento:  Valor financiado $ 200.000  Reembolso em quatro meses pelo SAC  Taxa de juros 10%am Mês SD Amortização Juors Prestação 0 200.000,00 - - - 1 150.000,00 50.000,00 20.000 70.000,00 2 100.000,00 50.000,00 15.000 65.000,00 3 50.000,00 50.000,00 10.000 60.000,00 4 - 50.000,00 5.000 55.000,00 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE) O Sistema de Amortização Crescente (SACRE) foi adotado recentemente pelo SFH na liquidação de financiamentos da casa própria. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE . O Sacre é baseado no SAC e no Sistema Price, já que a prestação é igual à media aritmética entre as prestações desses dois sistemas, nas mesmas condições de juros e prazos. Aproximadamente ate a metade do período de financiamento, as amortizações são maiores que as do Sistema Price. Como decorrência disso, a queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as chances de ter resíduo ao final do contrato, como pode ocorrer no Sistema Price. Uma das desvantagens do Sacre é que suas prestações iniciais são ligeiramente mais altas que as do Price. Contudo, após a metade do período, o mutuário
  • 34. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 34 34 sentirá uma queda substancial no comprometimento de sua renda com o pagamento das prestações. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO Neste sistema de amortização o principal é restituído por meio de uma única parcela ao fim da operação. Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum) ou capitalizados e pagos juntamente com o principal no fim do prazo acertado.
  • 35. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 35 35 TRABALHO DE MATEMATICA FINANCEIRA PROF. ÍTALO DE PAULA MACHADO 1) Um bem de capital está à venda nas seguintes condições: $ 30.000,00 de entrada mais seis prestações iguais de $ 2.500,00. Sabendo que a taxa que a taxa de juros é de 5,4 %am, determine o preço à vista do bem. $42.528,51 2) Uma incorporadora coloca à venda um apartamento por $ 50.000,00 à vista ou em 60 meses com uma entrada de 20%. Determine a prestação mensal, dada uma taxa de 5 %am. $2.113,13 3) Calcule o montante de 29 depósitos trimestrais de valor de $540,00 à razão de 7%at.$47.167,13 4) Uma pessoa depositará $ 1.500,00 semestralmente para formar um pecúlio durante os próximos dez anos. Calcule qual será o valor acumulado, dado uma taxa de 9%as.$ 76.740,18 5) Um automóvel está à venda por $ 5.000,00 de entrada acrescido de 12 prestações mensais de $ 1.200,00. Outra opção seria através de 18 pagamentos mensais de $ 800,00 com uma entrada de $ 6.000,00. Qual a melhor alternativa para o comprador, considerando-se uma taxa 30%aa capitalizada mensalmente. (o menor será a melhor) 6) Um compromisso foi quitado através de 20 prestações trimestrais antecipadas de $ 2500,00. Qual o valor do mesmo, dada uma de 44%aa capitalizada trimestralmente? $22.098,24 7) Uma pessoa deposita $ 600,00 no início de cada trimestre à 32% aa capitalizados trimestralmente. Qual será o montante passados 3 anos? $ 12.297,18 8) Um imóvel foi vendido a prazo com prestações feitas no início de cada período de $ 5.650. Sabendo que o preço à vista do imóvel era de $ 80.000,00 e que foram 18 pagamentos, calcule a taxa financeira do negocio. 3,006441% 9) Qual o montante de uma aplicação que prevê depósitos mensais de $ 500,00, antecipados à taxa 96 %aa capitalizados mensalmente, passados três semestres? $ 20.223,13 10) Uma pessoa deposita mensalmente o valor de R$ 180, durante dez meses, numa conta que paga juros de 1%am. Calcule o montante. $1.883,20 11) Uma pessoa quer efetuar oito depósitos mensais numa conta que paga juros de 1%am, para retirar 18 parcelas mensais de R$ 1.500,00, fazendo a primeira retirada um mês após o último depósito. Quanto deverá depositar mensalmente? $2.968,67 12) Uma pessoa efetuou 18 depósitos mensais de R$ 1.500,00, numa conta que paga juros de 1%am, para retirar 18 parcelas mensais, fazendo a primeira retirada um mês após o último depósito. Quanto poderá retirar mensalmente? $ 1.794,22 13) Uma mercadoria foi vendida em 36 prestações mensais de $ 422,91, com a primeira paga um mês após a compra, à taxa de 2,6%am. Calcule o preço a vista dessa mercadoria. $9.809,68 14) Uma empresa anunciou a venda de certa mercadoria que custa $ 490, em 4 (1 + 3) prestações mensais. Se cobra juros de 7,6%am, qual é o valor de cada prestação? $136,27 15) Uma pessoa entra numa loja, vê uma mercadoria que custa R$ 393,60. Diz ao vendedor que pretende levar a mercadoria, mas que só pode pagar $ 70,00 por mês, sendo a primeira no ato. Se a loja cobra juros de 8%am, quantas prestações deverá pagar?
  • 36. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 36 36 16) Uma pessoa efetuou 10 depósitos mensais de $ 120,00, numa conta que estava sem saldo há 3 meses, recebendo juros de 0,7%am. Qual foi seu saldo no momento do último depósito? 17) Uma mercadoria foi vendida em 12 prestações mensais de $ 70,00, com a primeira de entrada. Se a loja cobra juros de 7,6%am, qual é o preço dessa mercadoria a vista? $ 579,57 18) Quantos depósitos mensais de $ 73,15 uma pessoa deve realizar para no momento do último depósito ter o saldo de R$ 450,00, se receber juros de 1%am? 5, 94 19) Uma pessoa efetuou depósitos mensais de $ 500,00, recebendo juros de 1,6%am e, um mês após o último depósito, seu saldo era de 11.863,19. Quantos depósitos efetuou? 20,2735 20) Sr. Paulo tem dois títulos que vencem respectivamente em 3 e 4 meses, um com valor de $ 340,00 e o outro no valor de $1.780, porém ele pretende efetuar o pagamentos dos dois títulos através de um único pagamento daqui a 6 meses. Qual será o valor do novo título se a taxa cobrada na operação foi de 4,5%am? 21) Uma dívida de $ 1.000,00 vence daqui 10 meses. Entretanto, o devedor propõe-se dividi-la em três parcelas semestrais iguais. A juros de 5%am , calcular o valor das parcelas. $357,22 22) Um título de $ 240.000,00 foi descontado 60 dias antes do vencimento a taxa de 4 %am. Calcular o valor liquido recebido pelo portador. 23) Uma promissória de $ 22.000 teve um desconto composto de $ 1.205,84. Considerando a taxa nominal de 48 %aa, capitalizada mensalmente, calcule o tempo de antecipação. 24) Duas duplicatas, uma de $ 45.000,00 para 90 dias e outra de $ 65.000,00 para 120 dias foram negociadas por três outras de mesmo valor nominal com vencimento para 5, 6 e 7 meses. Sabendo-se que a taxa negociada foi de 3,5 %am, calcule o valor das novas duplicatas. $ 39.824,93 25) Na venda de um barco, a Loja Náutica S.A. oferece duas opções a seus clientes: a) $ 30.000,00 de entrada mais duas parcelas semestrais, sendo a primeira de $50.000,00 e a segunda de $ 100.000,00. 131.975,43 b) Sem entrada, sendo o pagamento efetuado em quatro parcelas semestrais: $40.000,00 nas duas primeiras, e $ 50.000,00 nas duas ultimas. Qual é a melhor alternativa para o comprador, se considerarmos a taxa de mercado de 4%am? 26) Qual o desconto de um título de R$ 5.000, submetido a desconto composto, com capitalização bimestral, à taxa de 36%aa, seis meses antes do vencimento? $ 801,90 27) Um sitio é posto a venda em uma imobiliária por $ 500.000,00 a vista. Como alternativa, a imobiliária propõe: entrada de $ 100.000,00, uma parcela de $200.000,00 para 1 ano e dois pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6 meses e o segundo em 1 ano e meio. Qual o valor destes pagamentos se a taxa de juros for de 5%am? $248.449,30 28) Calcular o valor nominal de um título que recebeu um desconto de $ 513,82, ao ser descontado um trimestre antes do vencimento, à taxa de 3,5%am. 29) Depois de concedido desconto de 2%am, certa dívida foi paga pelo valor de R$ 2.350,00. Calcular o desconto concedido pelo pagamento antecipado em oito meses e 10 dias. 30) O sr. Jota tem dois títulos vencendo dentro de 4 e 5 meses com valores de R$ 3.500,00 e R$ 5.000,00. Na possibilidade de não poder honrar seus compromissos, sr. Jota propõe pagar R$ 1.000,00 hoje e o restante em 3 títulos de mesmo valor, com vencimento em 5, 7 e 9 meses. Sabendo que a taxa é de 3%am, calcule o valor dos títulos. $ 2.629,99
  • 37. Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 37 37 31) Uma pessoa contraiu um empréstimo de R$ 20.000,00 para ser pago ao longo de cinco anos com prestações semestrais pela Tabela Price à taxa de 18% a.s. Calcule o valor da prestação e monte a planilha financeira. PERÍODO PRESTAÇÃO JUROS AMORT. SALDO DEVEDOR 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TOTAIS 32) Em relação ao exercício anterior calcular e montar tabela de amortização pelo sistema SAC. ( Sistema de Amortização Constante).