1) O documento apresenta uma introdução sobre análise de vigas curvas, descrevendo suas características e hipóteses de cálculo. 2) Aborda conceitos como centro de curvatura, raio neutro, deformações longitudinais e distribuição de tensões em vigas curvas. 3) Explica métodos para análise de vigas compostas por vários materiais, como a seção transformada.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
ESTUDO DIRIGIDO 1
VIGAS CURVAS
Professor: Carlson Antonio Mendes Vercosa
Turma: MM
Aluno: Vinícius Fernandes de Araújo

2. PLANO DE TRABALHO
Este trabalho tem por objetivo uma apresentação simples e clara tanto da teoria como
aplicação dos conhecimentos em vigas curvas, como também à apresentação de
exercícios resolvidos e ilustrações da uso de vigas curvas no dia a dia do engenheiro.
A compreensão do assunto baseia-se primeiramente no conhecimento básico de
flexão, obedecendo as hipóteses para calculo de vigas curvas nas limitações do curso
e exemplos.
A estrutura do trabalho conta com páginas distribuídas em capa, plano de trabalho,
introdução, desenvolvimento do assunto, exemplos, anexos, conclusão e por fim as
referências bibliográficas.

3. Introdução
A fórmula da flexão só se aplica a elementos prismáticos retos, pois,
como mostrado, em um elemento assim a deformação normal varia
linear,ente a partir do eixo neutro. Se o elemento for curvo, no entanto ,
essas hipótese é inexata e, logo, devemos desenvolver outra equação
que descreva a distribuição de tenção. Nesta obra consideremos a
análise de uma viga curva, isto é, um elemento que tem eixo curvo e esta
sujeito a flexão. Exemplos típicos incluem ganchos e elos de correntes.
Em todos os casos, os elementos não são delgados; em vez disso, tem
curva acentuada e as dimensões de seção transversal são grandes
quando comparadas com seus raios de curvatura.
A análise a ser considerada supõe que a área da seção transversal seja
constante e tenha eixo simetria perpendicular à direção do momento
aplicado M. Além disso, o material deve ser homogêneo e isotrópico e
comporta-se de maneira linear elástica quando a carga é aplicada. Como
no caso de um viga reta, admitiremos também, para a viga curva, que as
seções transversais do elemento permaneçam planas após a aplicação
do momento. Por fim, qualquer distorção da seção transversal dentro de
seu próprio plano será desprezada.

4. VIGAS CURVAS
Para realizar a análise, são idênticas na Fig. 1 três raios que partem do
centro de curvatura O' do elemento. São ele: r(barra), que indica a
localização conhecida do centroide da área da seção transversal; R, que
indica a a localização ainda não especificada do eixo neutro; e r, que
localiza o ponto arbitrária ou elemento de área dA na seção transversal.
Observe que o eixo neutro localiza-se no interior da seção transversal,
uma vez que o momento M cria compressão nas fibras superiores e
tensão nas fibras inferiores da viga e, por definição, o eixo neutro é uma
reta de tensão e deformação nulas.
Fig. 1
Se isolarmos um segmento
infinitesimal da viga (fig.2), a tensão
tenderá a deformar o material até
que a seção transversal gire um
ângulo de δθ/2. A deformação
normal ε na tira arbitrária do matéria,
localizada em r, será então
determinada. A tira tem
comprimento original r dθ. Devido às
rotações δθ/2, no entanto, sua
mudança tora de comprimento sera
δθ(R -r).

6. Deformações longitudinais em vigas
As deformações longitudinais em uma viga podem ser encontradas analisando-se a
curvatura da viga e as deformações associadas. Vamos analisar uma parte AB de uma
viga em flexão pura submetida a momentos fletores positivos M como mostra a Figura
6.
Figura 1 – deformação em uma viga de flexão pura: (a) vista lateral, (b) seção transversal, (c) viga deformada.
Hipótese fundamental da teoria da flexão
As seções planas de uma viga, tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas
após a viga ser submetida à flexão. Essa conclusão é válida para vigas de qualquer
material, seja ele elástico ou inelástico, linear ou não-linear. As propriedades dos
materiais, assim como as dimensões, devem ser simétricas em relação ao plano de
flexão. As linhas longitudinais na parte inferior da viga são alongadas (tracionadas),
enquanto aquelas na parte superior são diminuídas (comprimidas).
Superfície Neutra é uma superfície em algum lugar entre o topo e a base da viga em
que as linhas longitudinais não mudam de comprimento.
Linha neutra é a interseção da superfície neutra com qualquer plano de seção
transversal. O eixo z é a linha neutra da seção transversal ilustrada na Figura 1.b.
Cálculo das deformações normais ξx
 Para obter as deformações normais, considere uma linha longitudinal ef
localizada entre os planos mn e pq. O comprimento L1 da linha ef depois que a
flexão ocorre, O comprimento original da linha ef é dx, segue que seu
alongamento é L dx 1 −, ou − y dx ρ . A deformação longitudinal é dada por:
𝜉𝑥 =
−𝑦
𝜌
= −𝜅𝑦 (1)

7. Tensões normais em vigas (Materiais Elásticos Lineares)
A relação tensão deformação mais comum encontrada na engenharia é a equação do
material linear e elástico. Para tais materiais, substituímos a lei de Hooke para tensões
uniaxiais (σ = Eε ) na eq. (1) e obtemos
𝜎𝑥 = 𝐸𝜉𝑥 = −𝐸
𝑦
𝜌
= −𝐸𝜅𝑦 (2)
A eq. (2) mostra que a tensão normal varia linearmente com a distância y da superfície
neutra. Note a distribuição de tensão na Figura 7
Figura 2- tensões normais em uma viga de material elástico linear, (a) vista lateral da viga mostrando a distribuição das
tensões normais e (b) seção transversalda viga mostrando o eixo z como a linha neutra da seção transversal.
Localização da Linha Neutra
Analisando a figura 2
Força agindo sobre o elemento dA → σ xdA (compressão) se y>0 Quando a viga está
submetida à flexão pura, a força axial é zero. Assim tem-se que a força resultante na
direção x é zero e assim a primeira equação da estática é:
∫ 𝜎𝑥𝑑𝐴 = − ∫ −𝐸𝜅𝑦𝑑𝐴 = 0𝐴𝐴 (3)
𝐸, 𝜅 ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜,∫ 𝑦𝑑𝐴 = 𝑌´ 𝐴 = 0𝐴 (4)
Onde y é a distância de uma linha base (o eixo neutro) ao centróide da área A e y.
Como A não é nula, y deve ser igual a zero. Desta forma, a distância do eixo neutro ao
centróide da área deve ser nula, e então o eixo neutro deve passar pelo centróide da
seção transversal da viga. O eixo neutro pode ser determinado para qualquer viga,
basta determinar o centróide da área da seção transversal.
Importante

8. 1- A linha neutra passa através do centróide da área da seção transversal quando
o material segue a lei de Hooke e não existem forças axiais agindo na seção
transversal.
2- A origem O das coordenadas (Figura 2.b) está localizada no centróide da área
da seção transversal.
Fórmula de flexão
𝜎𝑥 =
−𝑀𝑦
𝐼
(5)
Essa equação é chamada de fórmula e flexão. Tensões calculadas a partir da fórmula
de flexão são chamadas de tensões fletoras ou tensões de flexão. A expressão (5)
mostra que as tensões são diretamente proporcionais aos momentos fletores e que
aumenta linearmente com o aumento de y. Nota-se que momentos fletores positivos
causam tensões de compressão na viga na parte superior acima da linha neutra e
causam tensões de tração na parte inferir, pois o y é negativo e também se pode
visualizar este resultado na prática. Caso os momentos sejam negativos, as tensões
terão sinais invertidos como mostra a Figura 3.
Figura 3 – relações entre os sinais dos momentos fletores e as direções das tensões normais. (a) momento fletor
positivo e (b) momento fletor negativo.

9. Flexão de barras constituídas de vários materiais
Vigas compostas fabricadas com mais de um material.
Exemplos: Tubos revestidos com plásticos e vigas de madeira reforçadas com placas
de aço.
Figura 4 – exemplo das vigas compostas.
Outros tipos de vigas compostas têm sido desenvolvidos nos últimos anos,
basicamente para economizar material e reduzir peso, São as vigas sanduíche, que
são amplamente utilizadas nas indústrias aeroespaciais e de aviação, em que se faz
necessário pouco peso com alta resistência e rigidez. Uma viga sanduíche típica
apresenta-se na Figura 5.

10. Figura 5 – vigas sanduiche (a) Núcleo de plástico (b) Núcleo em forma de
colmeia (c) Núcleo corrugado.
A viga sanduíche apresentada na Figura 5, consiste de duas faces finas de material
relativamente resistente separadas por um núcleo espesso de material leve e pouco
resistente. Uma vez que as faces estão a maior distância da linha neutra (onde as
tensões de flexão são maiores), elas funcionam mais ou menos como os flanges de
uma viga de perfil I. O núcleo serve como um enchimento que serve de sustentação
para as faces, estabilizando-as contra empenamento e flambagem. Plásticos,
espumas leves, bem como caixas de papelão e estruturas em formato de colmeia ou
corrugadas são usadas frequentemente como núcleo.
Tensões e deformações em vigas compostas
As deformações em vigas compostas são determinadas a partir do mesmo axioma
básico que usamos para encontrar as deformações em vigas de um material, isto é, as
seções transversais permanecem planas durante a flexão. Esse axioma é válido para
a flexão pura independente da natureza do material. As deformações longitudinais εx
variam linearmente do topo até a base da viga, como expresso pela eq. Já estudada
na flexão e repetida aqui:
𝜉𝑥 =
−𝑦
𝜌
= −𝜅𝑦 (6)
Onde y é a distância a partir da linha neutra, ρ é o raio de curvatura e κ é a curvatura.
Analisando a Figura 6, nota-se que essa viga consiste de duas partes, as quais estão
colocadas de maneira que permita considera-las como uma única viga sólida.
Analisando a Figura 6 nota-se que essa viga consiste de duas partes, denominadas de
1 e 2 que estão colocadas de maneira que permita considerá-las como uma única viga
sólida. Como já foi discutido, assume-se que o plano xy é um plano de simetria e que
o plano xz é o plano neutro da viga. Entretanto, a linha neutra não passa pelo
centróide da seção transversal, no caso da viga ser composta por dois materiais
diferentes.

11. Figura 6 - (a) viga composta de dois
materiais (b) seção transversalda viga (c) distribuição de deformações x ε ao longo da altura da viga e (d) distribuição
de tensões.
Se a viga é flexionada com curvatura positiva, as deformações εx, irão variar como
ilustrado na Figura 6.c, sendo A ε a deformação de compressão no topo da viga, B ε a
deformação de tração na base e C ε a deformação na superfície de contato dos dois
materiais. Note que a deformação é zero na linha neutra. Denotando-se os módulos de
elasticidade para os materiais 1 e 2 como E1 e E2, respectivamente, e também
assumindo que E2 > E1, obtemos o diagrama de tensão ilustrado na Figura 6.d. A
tensão no topo da viga é:
(7)
A tensão de tração na base é:
(8)
Na superfície de contato, as tensões nos dois materiais são diferentes porque seus
módulos são diferentes.

12. Flexão de barras compostas
Método da seção transformada
Consiste em transformar a seção transversal de uma viga em uma seção transversal
equivalente de uma viga imaginária, que é constituida de apenas um material. A nova
seção transversal é chamada de Seção transformada.
Se um momento for aplicado a essa viga, então, como ocorre a um material
homogêneo, a área total da seção transversal permanecerá plana após a flexão, e por
consequência, as deformações normais variarão linearmente de zero no eixo neutro a
máxima no material mais afastado desse eixo. Uma vez determinada a tensão da
seção transformada, ela deve ser multiplicada pelo fator de transformação para obter a
tensão na viga verdadeira.
Considere, por exemplo, uma barra formada por duas partes de materiais diferentes
unidas como mostra a seção transversal na Figura7. Essa barra composta se
deformará conforme descrito na Seção anterior, pois sua seção transversal permanece
a mesma em todo o comprimento, e não foi feita nenhuma suposição referente à
relação tensão-deformação do material ou materiais envolvidos. Assim, a deformação
específica normal ainda varia linearmente com a distância da linha neutra da seção (e
vale a fórmula (9):
Figura 7- seção transversalde barra composta
𝜉𝑥 =
−𝑦
𝜌
(9)
Figura 8 – distribuição de deformação especifica a tensão embarra constituida de dois materiais

13. No entanto, não podemos supor que a linha neutra passe pelo centroide da seção
composta, uma vez que um dos objetivos desta análise será determinar a localização
desta linha neutra.
Como os módulos de elasticidade E1 e E2 dos dois materiais são diferentes, as
expressões obtidas para a tensão normal em cada material também serão diferentes.
Escrevemos
𝜎1 =
−𝐸1𝑦
𝜌
(10)
𝜎2 =
−𝐸2𝑦
𝜌
(11)
E obtemos uma curva de distribuição de tensões consistindo em dois segmentos de
reta Figura 8. Conclui-se das Equações (10) e (11) que a força dF1 que atua no ele
mento de área dA da parte superior da seção transversal é
𝑑𝐹 = 𝜎1𝑑𝐴 =
−𝐸1𝑦
𝜌
𝑑𝐴 (12)
Enquanto a forta dF2, que atua em um elemento de mesma área dA da parte
inferior é
𝑑𝐹2 = 𝜎2𝑑𝐴 =
−𝐸2𝑦
𝜌
𝑑𝐴 (13)
Mas, chamando de n a relação E2_E1 dos dois módulos de elasticidade, podemos
expressar dF2 como
𝑑𝐹2 =
−( 𝑛𝐸1) 𝑦
𝜌
𝑑𝐴 =
−𝐸1𝑦
𝜌
( 𝑛𝑑𝐴) (14)
Comparando as Equações notamos que a mesma força dF2 atuaria em um elemento
de área n dA do primeiro material. Em outras palavras, a resistência à flexão da barra
permaneceria a mesma se ambas as partes fossem feitas do primeiro material, desde
que a largura de cada elemento da parte inferior fosse multiplicada pelo coeficiente n.
Note que esse alargamento (se n > 1), ou estreitamento (se n < 1), deve ser feito em
uma direção paralela à linha neutra da seção, pois é essencial que a distância y de
cada elemento em relação à linha neutra permaneça a mesma. A nova seção
transversal obtida dessa maneira é chamada de seção transformada da barra.
Como a seção transformada é equivalente a seção transversal de uma barra feita de
um material homogêneo com módulo de elasticidade E1, o método descrito na Seção
anterior pode ser usado para determinar a linha neutra e a tensão normal em vários
pontos da seção.
Figura 9 – seção transformada para barra de seção composta

14. Conclusão
Neste estudo dirigido foram expostas noções básicas de Flexão e o método da seção
transformada, observando a importância desse conteúdo para a engenharia mecânica
pode se admitir que a resistência dos materiais está muito presente na área de
projetos, dimensionamento de vigas com variação de área de seção transversal, eixos
complexos, e é de enorme importância o domínio da disciplina para um projeto
conceitual, onde se tem a minimização do risco de ruptura e para evitar uma possível
falha na integridade mecânica de peças. Tornando assim o gerenciamento do projeto
seguro, juntamente com a sua execução.

15. Bibliografa básica
BEER, F.P. E JOHNSTON, JR., E.R. RESISTÊNCIA DOS MATERIAS, 3.ºED. MARKRON
BOOKS, 1995.
BEER, F.P. E JOHNSTON, JR., E.R. RESISTÊNCIA DOS MATERIAS, 4.ºED. MC GRAW-HILL
INTERAMERICANA.
HIBELLER, R.C. RESISTENCIA DOS MATERIAIS, 5.º ED. PEARSON EDUCATION - BR.