Este documento descreve os conceitos de flexão simples em vigas. A flexão simples ocorre quando uma viga é submetida apenas a um momento fletor variável ao longo dela, gerando tensões normais e tangenciais. As tensões normais seguem a equação de Euler e têm distribuição linear. Já as tensões tangenciais surgem devido à variação do momento fletor e seguem a equação de Jourawsky, com distribuição não linear na seção transversal. Exemplos demonstram o cálculo destas tensões em diferentes formatos de
Apostila sensacional !! deformacao de vigas em flexaoHenrique Almeida
O documento discute deformações em vigas sujeitas a forças transversais. Explica que a curvatura varia linearmente ao longo da viga e é máxima no ponto de momento fletor máximo. Também apresenta a equação da linha elástica para calcular a deformada máxima e rotações, e métodos como a sobreposição para vigas estaticamente indeterminadas.
O documento descreve os conceitos de tensões de cisalhamento em vigas sob flexão. Discute as hipóteses básicas, a fórmula de cisalhamento e a distribuição das tensões de cisalhamento em seções retangulares e circulares. Também apresenta exemplos numéricos de dimensionamento de seções sob tensões de cisalhamento e flexão.
O documento discute conceitos de flexão em estruturas, incluindo:
1) A deformação por flexão de vigas retas e a distribuição linear de tensões de tração e compressão;
2) A fórmula da flexão que relaciona momento, tensão, momento de inércia e distância ao eixo neutro;
3) Exemplos ilustrando o cálculo de tensões em seções transversais sob flexão.
(1) A tabela apresenta conversões de unidades comuns de massa, comprimento, volume, área e outras grandezas físicas. (2) Ela fornece os fatores de conversão entre unidades como quilogramas, libras, metros, pés, galões, litros e outras. (3) A tabela é útil para engenheiros que precisam trabalhar com valores em diferentes sistemas de unidades.
O documento discute flexão pura em vigas. Apresenta as equações para calcular o momento fletor M e tensões normais σ em uma viga sob flexão pura. Explica como calcular o módulo de resistência W para diferentes formas de seção, que é usado para determinar σmax. Fornece exemplos de cálculos de M, σ e dimensionamento de vigas.
Nbr 14762 dimensionamento de estruturas de aço perfis formados a frioejfelix
Este documento apresenta a Norma Brasileira NBR 14762, que estabelece os princípios para o dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio. A norma descreve procedimentos para análise estrutural, dimensionamento de barras e ligações, e requisitos para materiais e projeto.
O documento apresenta uma lista de exercícios de resistência dos materiais sobre flexão. Os alunos devem realizar os exercícios 2, 4, 5, 7 e 8 que envolvem determinar esforços de flexão, tensões máximas, posição da linha neutra e diâmetro de eixos sob carga.
O documento descreve o que são treliças, suas classificações e hipóteses de análise. Uma treliça é uma estrutura composta por barras ligadas em seus extremos. As treliças podem ser planas ou tridimensionais. Na análise de treliças, considera-se que as barras são ligadas por articulações sem atrito e que as cargas atuam apenas nos nós. As barras de uma treliça só são solicitadas por forças normais de tração ou compressão.
Apostila sensacional !! deformacao de vigas em flexaoHenrique Almeida
O documento discute deformações em vigas sujeitas a forças transversais. Explica que a curvatura varia linearmente ao longo da viga e é máxima no ponto de momento fletor máximo. Também apresenta a equação da linha elástica para calcular a deformada máxima e rotações, e métodos como a sobreposição para vigas estaticamente indeterminadas.
O documento descreve os conceitos de tensões de cisalhamento em vigas sob flexão. Discute as hipóteses básicas, a fórmula de cisalhamento e a distribuição das tensões de cisalhamento em seções retangulares e circulares. Também apresenta exemplos numéricos de dimensionamento de seções sob tensões de cisalhamento e flexão.
O documento discute conceitos de flexão em estruturas, incluindo:
1) A deformação por flexão de vigas retas e a distribuição linear de tensões de tração e compressão;
2) A fórmula da flexão que relaciona momento, tensão, momento de inércia e distância ao eixo neutro;
3) Exemplos ilustrando o cálculo de tensões em seções transversais sob flexão.
(1) A tabela apresenta conversões de unidades comuns de massa, comprimento, volume, área e outras grandezas físicas. (2) Ela fornece os fatores de conversão entre unidades como quilogramas, libras, metros, pés, galões, litros e outras. (3) A tabela é útil para engenheiros que precisam trabalhar com valores em diferentes sistemas de unidades.
O documento discute flexão pura em vigas. Apresenta as equações para calcular o momento fletor M e tensões normais σ em uma viga sob flexão pura. Explica como calcular o módulo de resistência W para diferentes formas de seção, que é usado para determinar σmax. Fornece exemplos de cálculos de M, σ e dimensionamento de vigas.
Nbr 14762 dimensionamento de estruturas de aço perfis formados a frioejfelix
Este documento apresenta a Norma Brasileira NBR 14762, que estabelece os princípios para o dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio. A norma descreve procedimentos para análise estrutural, dimensionamento de barras e ligações, e requisitos para materiais e projeto.
O documento apresenta uma lista de exercícios de resistência dos materiais sobre flexão. Os alunos devem realizar os exercícios 2, 4, 5, 7 e 8 que envolvem determinar esforços de flexão, tensões máximas, posição da linha neutra e diâmetro de eixos sob carga.
O documento descreve o que são treliças, suas classificações e hipóteses de análise. Uma treliça é uma estrutura composta por barras ligadas em seus extremos. As treliças podem ser planas ou tridimensionais. Na análise de treliças, considera-se que as barras são ligadas por articulações sem atrito e que as cargas atuam apenas nos nós. As barras de uma treliça só são solicitadas por forças normais de tração ou compressão.
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1) O documento discute o que é resistência dos materiais e como analisar as forças internas em um corpo sob cargas externas.
2) É apresentada a metodologia de determinar cargas externas, cargas internas, deformações e condições de resistência de um material.
3) Diferentes tipos de cargas externas são explicados, incluindo cargas concentradas, distribuídas linearmente e por área.
Este anexo apresenta fórmulas para calcular propriedades geométricas de massas como centro de gravidade, momentos estáticos e de inércia. Inclui tabelas com valores destas propriedades para seções transversais comuns como retângulos, círculos e perfis metálicos.
El documento resume dos problemas resueltos sobre el estado de transistores en diferentes configuraciones. En el primer problema, se determina que el transistor está en corte cuando el interruptor está cerrado, debido a que la corriente de base es cero, pero está en saturación cuando el interruptor está abierto. En el segundo problema, se determina que el transistor está en saturación. En el tercer problema, se calcula la corriente de base y resistencia de base necesarias para que el transistor esté en la región de actividad.
O documento discute conceitos fundamentais de resistência dos materiais como força axial, tração, compressão, tensão normal, deformação, módulo de elasticidade e dimensionamento de peças. Apresenta a lei de Hooke, classificação de materiais como dútil, conceitos de estricção e coeficiente de segurança. Explica como calcular a área mínima para resistir uma carga axial considerando a tensão admissível do material.
Este documento apresenta uma lista de 10 exercícios resolvidos de Análise Estrutural II, incluindo o cálculo de carregamentos internos, forças em membros de treliças, funções de cortante e momento em vigas, energia potencial elástica e equações de curva elástica de vigas. As soluções utilizam métodos como o Princípio dos Trabalhos Virtuais e Teorema de Castigliano.
Este documento apresenta notas de aula sobre análise e projeto de vigas em flexão. Inclui tópicos como tipos de vigas, esforço cortante e momento fletor, relações entre carga-esforço cortante-momento fletor, exemplos de determinação de diagramas de esforço cortante e momento fletor, dimensionamento de seções transversais de vigas e propriedades dos materiais. Também apresenta um exemplo de projeto de viga sob flexão.
1) A tabela apresenta fórmulas para calcular deflexões angulares, reações e momentos em vigas isostáticas e hiperestáticas sob diferentes carregamentos.
2) Para vigas isostáticas, fornece expressões para flecha máxima e deflexões angulares nos apoios sob carga pontual, uniforme e momento.
3) Para vigas hiperestáticas, lista valores de reações e momentos máximos sob mesma variedade de carregamentos.
1) O documento descreve os procedimentos para ancoragem e emendas de barras da armadura de concreto armado, incluindo cálculo da tensão de aderência, comprimento de ancoragem e tipos de ganchos.
2) É apresentado o cálculo do comprimento básico de ancoragem considerando a tensão de aderência e o diâmetro da barra.
3) Vários fatores podem reduzir o comprimento de ancoragem necessário, como o uso de ganchos, barras transversais, maior cobrimento e pressão trans
1. O documento é a terceira lista de exercícios de uma disciplina de análise estrutural sobre métodos energéticos.
2. A lista contém 15 exercícios relacionados a energia de deformação, deslocamentos, reações e tensões em estruturas sob diferentes condições de carga e material.
3. Os alunos devem usar métodos como a primeira lei da termodinâmica, teorema de Castigliano e método de Rayleigh-Ritz para resolver os problemas propostos.
1. O documento discute cisalhamento transversal em vigas, apresentando a relação entre esforço cortante e tensão cisalhante.
2. Apresenta a fórmula para calcular tensão cisalhante em seções retangulares e suas limitações.
3. Inclui dois exemplos numéricos ilustrando cálculos de momento de inércia, momento estático, esforço cortante e tensão cisalhante em pontos de vigas.
Aula 4 dimensionamento elementos comprimidoGerson Justino
[1] O documento discute conceitos iniciais e dimensionamento de elementos comprimidos de aço, incluindo flambagem, carga crítica, índice de esbeltez e comprimento de flambagem. [2] Apresenta os fatores de redução de resistência associados à flambagem global e local segundo a NBR 8800:2008. [3] Discutem exemplos de verificação de elementos comprimidos.
1) O documento apresenta os procedimentos para o cálculo da armadura de vigas de concreto armado, incluindo a determinação da altura mínima da viga, cálculo da quantidade de aço longitudinal necessária usando tabelas, e detalhamento da armadura incluindo ancoragem nas extremidades.
2) É fornecido um exemplo numérico para o cálculo da quantidade de aço longitudinal necessária para uma viga retangular sob um momento de flexão.
3) Os procedimentos incluem também o dimensionamento da armadura de transferência de esfor
1) O documento discute resistência dos materiais e dimensionamento de estruturas para construções rurais. Apresenta conceitos como tensão, resistência, coeficiente de segurança e deformação.
2) Aborda propriedades mecânicas e tensões admissíveis de diferentes materiais como aço, madeira e concreto. Fornece tabelas com valores de referência.
3) Explica leis da deformação e conceitos de elasticidade e plasticidade em materiais.
O documento apresenta os principais conceitos de resistência dos materiais e estática de estruturas. Aborda temas como sistemas de unidades, noções sobre forças, decomposição de forças, equilíbrio de corpos rígidos, tipos de apoios, cálculo de reações, esforços solicitantes, resistência de materiais, características de seções, e teoria de treliças.
Exemplo de um projeto de estrutura de madeira para cobertura - Projeto PDFteixeiracosta
Exemplo de projeto de estrutura de madeira
Muitas informações foram retiradas para evitar reprodução de outras empresas que projetam estruturas em madeira.
1) O documento discute os tipos de tensões associadas aos esforços internos em vigas, incluindo tensões normais devido ao momento fletor e tensões de cisalhamento devido ao esforço cortante.
2) É explicado que a deformação e tensão normais variam linearmente com a distância da linha neutra, onde não há deformação ou tensão.
3) A máxima tensão normal ocorre na fibra mais distante da linha neutra.
O documento apresenta os conceitos fundamentais da disciplina de Mecânica Técnica. É introduzido o curso, o professor, as unidades do Sistema Internacional e os principais tópicos a serem abordados, incluindo definição de mecânica, grandezas físicas, equilíbrio de corpos rígidos e bibliografia recomendada.
1) O documento discute flexão pura em barras prismáticas, onde momentos iguais e opostos são aplicados no mesmo plano longitudinal, causando curvatura uniforme.
2) É analisado o estado de tensões em uma seção transversal sob flexão pura, que resulta em um estado uniaxial de tensão com a tensão variando linearmente através da espessura.
3) A superfície onde a tensão é zero é chamada de superfície neutra.
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1) O documento discute o que é resistência dos materiais e como analisar as forças internas em um corpo sob cargas externas.
2) É apresentada a metodologia de determinar cargas externas, cargas internas, deformações e condições de resistência de um material.
3) Diferentes tipos de cargas externas são explicados, incluindo cargas concentradas, distribuídas linearmente e por área.
Este anexo apresenta fórmulas para calcular propriedades geométricas de massas como centro de gravidade, momentos estáticos e de inércia. Inclui tabelas com valores destas propriedades para seções transversais comuns como retângulos, círculos e perfis metálicos.
El documento resume dos problemas resueltos sobre el estado de transistores en diferentes configuraciones. En el primer problema, se determina que el transistor está en corte cuando el interruptor está cerrado, debido a que la corriente de base es cero, pero está en saturación cuando el interruptor está abierto. En el segundo problema, se determina que el transistor está en saturación. En el tercer problema, se calcula la corriente de base y resistencia de base necesarias para que el transistor esté en la región de actividad.
O documento discute conceitos fundamentais de resistência dos materiais como força axial, tração, compressão, tensão normal, deformação, módulo de elasticidade e dimensionamento de peças. Apresenta a lei de Hooke, classificação de materiais como dútil, conceitos de estricção e coeficiente de segurança. Explica como calcular a área mínima para resistir uma carga axial considerando a tensão admissível do material.
Este documento apresenta uma lista de 10 exercícios resolvidos de Análise Estrutural II, incluindo o cálculo de carregamentos internos, forças em membros de treliças, funções de cortante e momento em vigas, energia potencial elástica e equações de curva elástica de vigas. As soluções utilizam métodos como o Princípio dos Trabalhos Virtuais e Teorema de Castigliano.
Este documento apresenta notas de aula sobre análise e projeto de vigas em flexão. Inclui tópicos como tipos de vigas, esforço cortante e momento fletor, relações entre carga-esforço cortante-momento fletor, exemplos de determinação de diagramas de esforço cortante e momento fletor, dimensionamento de seções transversais de vigas e propriedades dos materiais. Também apresenta um exemplo de projeto de viga sob flexão.
1) A tabela apresenta fórmulas para calcular deflexões angulares, reações e momentos em vigas isostáticas e hiperestáticas sob diferentes carregamentos.
2) Para vigas isostáticas, fornece expressões para flecha máxima e deflexões angulares nos apoios sob carga pontual, uniforme e momento.
3) Para vigas hiperestáticas, lista valores de reações e momentos máximos sob mesma variedade de carregamentos.
1) O documento descreve os procedimentos para ancoragem e emendas de barras da armadura de concreto armado, incluindo cálculo da tensão de aderência, comprimento de ancoragem e tipos de ganchos.
2) É apresentado o cálculo do comprimento básico de ancoragem considerando a tensão de aderência e o diâmetro da barra.
3) Vários fatores podem reduzir o comprimento de ancoragem necessário, como o uso de ganchos, barras transversais, maior cobrimento e pressão trans
1. O documento é a terceira lista de exercícios de uma disciplina de análise estrutural sobre métodos energéticos.
2. A lista contém 15 exercícios relacionados a energia de deformação, deslocamentos, reações e tensões em estruturas sob diferentes condições de carga e material.
3. Os alunos devem usar métodos como a primeira lei da termodinâmica, teorema de Castigliano e método de Rayleigh-Ritz para resolver os problemas propostos.
1. O documento discute cisalhamento transversal em vigas, apresentando a relação entre esforço cortante e tensão cisalhante.
2. Apresenta a fórmula para calcular tensão cisalhante em seções retangulares e suas limitações.
3. Inclui dois exemplos numéricos ilustrando cálculos de momento de inércia, momento estático, esforço cortante e tensão cisalhante em pontos de vigas.
Aula 4 dimensionamento elementos comprimidoGerson Justino
[1] O documento discute conceitos iniciais e dimensionamento de elementos comprimidos de aço, incluindo flambagem, carga crítica, índice de esbeltez e comprimento de flambagem. [2] Apresenta os fatores de redução de resistência associados à flambagem global e local segundo a NBR 8800:2008. [3] Discutem exemplos de verificação de elementos comprimidos.
1) O documento apresenta os procedimentos para o cálculo da armadura de vigas de concreto armado, incluindo a determinação da altura mínima da viga, cálculo da quantidade de aço longitudinal necessária usando tabelas, e detalhamento da armadura incluindo ancoragem nas extremidades.
2) É fornecido um exemplo numérico para o cálculo da quantidade de aço longitudinal necessária para uma viga retangular sob um momento de flexão.
3) Os procedimentos incluem também o dimensionamento da armadura de transferência de esfor
1) O documento discute resistência dos materiais e dimensionamento de estruturas para construções rurais. Apresenta conceitos como tensão, resistência, coeficiente de segurança e deformação.
2) Aborda propriedades mecânicas e tensões admissíveis de diferentes materiais como aço, madeira e concreto. Fornece tabelas com valores de referência.
3) Explica leis da deformação e conceitos de elasticidade e plasticidade em materiais.
O documento apresenta os principais conceitos de resistência dos materiais e estática de estruturas. Aborda temas como sistemas de unidades, noções sobre forças, decomposição de forças, equilíbrio de corpos rígidos, tipos de apoios, cálculo de reações, esforços solicitantes, resistência de materiais, características de seções, e teoria de treliças.
Exemplo de um projeto de estrutura de madeira para cobertura - Projeto PDFteixeiracosta
Exemplo de projeto de estrutura de madeira
Muitas informações foram retiradas para evitar reprodução de outras empresas que projetam estruturas em madeira.
1) O documento discute os tipos de tensões associadas aos esforços internos em vigas, incluindo tensões normais devido ao momento fletor e tensões de cisalhamento devido ao esforço cortante.
2) É explicado que a deformação e tensão normais variam linearmente com a distância da linha neutra, onde não há deformação ou tensão.
3) A máxima tensão normal ocorre na fibra mais distante da linha neutra.
O documento apresenta os conceitos fundamentais da disciplina de Mecânica Técnica. É introduzido o curso, o professor, as unidades do Sistema Internacional e os principais tópicos a serem abordados, incluindo definição de mecânica, grandezas físicas, equilíbrio de corpos rígidos e bibliografia recomendada.
1) O documento discute flexão pura em barras prismáticas, onde momentos iguais e opostos são aplicados no mesmo plano longitudinal, causando curvatura uniforme.
2) É analisado o estado de tensões em uma seção transversal sob flexão pura, que resulta em um estado uniaxial de tensão com a tensão variando linearmente através da espessura.
3) A superfície onde a tensão é zero é chamada de superfície neutra.
1. O documento discute conceitos fundamentais de resistência dos materiais como flexão, vigas, apoios e casos de flexão simples e composta.
2. É apresentado o ensaio de flexão em três e quatro pontos para avaliar propriedades mecânicas como tensão de flexão.
3. São descritas as hipóteses e fórmulas para cálculo de momento fletor, momento de inércia, módulo de resistência e tensão de flexão.
O documento discute conceitos importantes de resistência dos materiais relacionados à estabilidade de elementos estruturais, como: 1) momento de inércia, que fornece uma medida da resistência à flexão de uma seção; 2) como vigas são projetadas com seções na posição vertical para maximizar o momento de inércia; 3) os tipos de flexão em elementos estruturais.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais da análise de vigas sob flexão, incluindo: 1) a determinação das tensões internas via diagramas de força cortante e momento fletor; 2) os diferentes tipos de apoios de vigas e seus diagramas associados; 3) o método das seções para calcular as tensões internas em qualquer ponto da viga. Exemplos ilustram como representar graficamente tais diagramas para diferentes configurações de carga.
Resistência dos Materiais Para Entender e GostarHeloa08
Este documento fornece um resumo do livro "Resistência dos Materiais" de Manoel Henrique Campos Botelho. O livro discute conceitos fundamentais de resistência de materiais em 248 páginas, abrangendo tópicos como esforços em estruturas, deformações, tipos de apoio, flexão e outros.
O documento discute conceitos de resistência dos materiais relacionados à flexão, incluindo:
1) Determinação de diagramas de esforços internos de flexão e cortantes;
2) Cálculo de tensões normais devido à flexão pura, carregamento axial excêntrico e outros tipos de carregamento;
3) Conceitos de linha e superfície neutra.
Este documento apresenta uma análise estrutural de estruturas reticuladas. Discute a representação matemática de estruturas, as relações de elasticidade, a indeterminação estática e cinemática, e os métodos de análise de forças e deslocamentos. Apresenta aplicações destes métodos a diferentes elementos estruturais como vigas, porticos e grelhas.
O documento discute conceitos fundamentais de análise estrutural de vigas sob flexão, incluindo: (1) a demonstração de que a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seção transversal para flexão simples, (2) a relação entre momento fletor e curvatura da viga, e (3) a relação entre tensão normal e momento fletor. Exemplos ilustram como o posicionamento e forma da seção transversal afetam as tensões máximas sob flexão.
O documento lista 4 exercícios de resistência de materiais que pedem para calcular os momentos de inércia de diferentes seções transversais em relação aos seus eixos centroidais. As respostas fornecem os valores dos momentos de inércia calculados para cada questão.
1. O documento apresenta notas de aula sobre flexão normal simples em vigas de concreto armado.
2. São estudadas seções retangulares com armaduras simples e duplas, e seções T com armadura simples, sob solicitação de flexão.
3. São introduzidos tópicos como cálculo de cargas verticais em vigas, prescrições construtivas para armaduras, e hipóteses básicas para o dimensionamento das seções.
Este memorial de cálculo apresenta o dimensionamento de uma plataforma para suportar um vaso de pressão, incluindo o cálculo das vigas, colunas e tensões. As vigas são dimensionadas considerando o carregamento total distribuído, enquanto as colunas curtas são dimensionadas para a reação vertical no apoio. É realizado o cálculo das tensões principais e de cisalhamento máximo na base da plataforma.
1. O documento apresenta uma série de exercícios resolvidos sobre elementos de máquinas, incluindo cálculos de período, frequência, rotação e velocidade para rodas, motores elétricos e transmissão por correia.
2. Os exercícios abordam conceitos como velocidade angular, periférica e linear relacionadas a rodas e motores.
3. São apresentados modelos de cálculo para determinar a velocidade de um ciclista a partir da rotação de suas rodas.
O documento discute defeitos atômicos em materiais cerâmicos, incluindo lacunas, intersticiais e defeitos de Frenkel e Schottky. Também aborda propriedades mecânicas como fratura frágil, tenacidade à fratura, fadiga estática e resistência à flexão.
O documento discute flexão simples em vigas. Explica conceitos como linha elástica, superfície neutra, curvatura, deformação, distribuição de tensões e momentos resultantes. Apresenta duas exemplos numéricos ilustrando cálculos de tensões, momentos de inércia e diagramas de esforços em vigas sob flexão.
Intervenções da Engenharia - Análise de Casos: Efeitos Positivos e NegativosJean Paulo Mendes Alves
O documento descreve casos de intervenções de engenharia com efeitos negativos e positivos, incluindo a pavimentação de ruas sem controles de erosão que causaram danos a uma região e a criação de um parque ambiental através da recuperação de uma área degradada.
Este documento descreve uma aula de Mecânica dos Sólidos I sobre colunas axialmente carregadas para estudantes do 5o período de engenharia civil da UniEVANGÉLICA em Anápolis. A bibliografia inclui referências sobre tabelas de vãos e cargas, além de links para logos do CREA e da AECOVI.
Mecânica dos Sólidos 1 - Vigas Simples Contidas Lateralmente: Escopo, Ações, Vigas de Aço, Cargas Admissíveis em Vigas, Tensão Admissível Para Flexão em X-X, Tensão Admissível de Cisalhamento, Cargas Concentradas Equivalentes, Cargas Acidentais(Sobrecargas) e Flechas.
Mecânica dos Sólidos 1 - Tabelas Pré-Dimensionamento de Vigas e Pilares - Exe...Jean Paulo Mendes Alves
Este documento apresenta exemplos de aplicação de tabelas de pré-dimensionamento de vigas e pilares para a disciplina de Mecânica dos Sólidos I no curso de Engenharia Civil da UniEVANGÉLICA para o 5o período noturno, e lista referências bibliográficas sobre o assunto.
Mecânica dos Sólidos 1 - Características Geométricas de Superfícies PlanasJean Paulo Mendes Alves
O documento apresenta informações sobre a disciplina de Mecânica dos Sólidos I do curso de Engenharia Civil da UniEVANGÉLICA no 5o período noturno, incluindo o tópico "Características Geométricas de Superfícies Planas" e lista referências bibliográficas utilizadas.
Capítulo 2 mecânica da conformação plástica dos metaisMaria Adrina Silva
1) O documento discute conceitos de tensão e deformação em metais, incluindo círculo de Mohr para representar estados de tensão.
2) É introduzido o conceito de tensão normal, tensão de cisalhamento e tensões principais. O círculo de Mohr permite visualizar as tensões principais e máxima tensão de cisalhamento.
3) Exemplos como ensaio de tração, trefilagem e torção são usados para ilustrar a aplicação do círculo de Mohr na análise de estados de
Este documento descreve um experimento sobre vibrações forçadas em uma viga causadas por um motor com um disco desequilibrado. Os resultados experimentais mostram a amplitude e ângulo de fase da resposta da viga para diferentes frequências de entrada. A frequência natural do sistema foi determinada como sendo 1050 rpm. Cálculos adicionais são necessários para determinar a frequência natural teórica usando as propriedades mecânicas e geométricas da viga e das massas envolvidas.
1. O documento discute dimensionamento à torção em vigas de concreto armado, apresentando modelos de treliça, critérios de projeto e exemplos de cálculo.
2. A analogia da treliça de Mörsch é usada para dimensionar a armadura necessária para resistir à torção, considerando estribos verticais, barras longitudinais e bielas de compressão inclinadas a 45°.
3. Os critérios da NBR-6118 para projeto de vigas submetidas à torção incluem verificação das biel
O documento discute o cisalhamento em vigas de concreto armado, abordando:
1) Os estádios de tensões no cisalhamento e suas distribuições;
2) A analogia da treliça para analisar as tensões no cisalhamento combinado com flexão;
3) O cálculo das tensões nas diagonais e montantes da treliça e a determinação da armadura transversal necessária.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais da teoria de tensões, incluindo: (1) definição de tensão e representação gráfica do estado simples de tensão usando o círculo de Mohr; (2) estado duplo ou plano de tensões e representação gráfica usando o círculo de Mohr; (3) tensões principais e máximas de cisalhamento. O documento também fornece exemplos numéricos para ilustrar esses conceitos.
1. O documento discute cisalhamento transversal em vigas, apresentando a relação entre esforço cortante e tensão cisalhante.
2. Apresenta a fórmula para calcular tensão cisalhante em seções retangulares e suas limitações.
3. Inclui dois exemplos numéricos ilustrando cálculos de momento de inércia, momento estático, esforço cortante e tensão cisalhante em pontos de viga.
Resolução da lista de exercícios 1 complementos de rm-7Eduardo Spech
Este documento fornece exemplos de exercícios sobre resistência dos materiais, incluindo cálculos de tensões, alongamentos e determinação de áreas de seção transversal de barras sob cargas axiais. Resolve exemplos como determinar tensões em diferentes trechos de uma barra sob múltiplas forças, calcular alongamentos em barras elásticas e dimensionar perfis estruturais.
O documento discute tensões de cisalhamento em vigas. Apresenta hipóteses básicas sobre tensões de cisalhamento e fórmulas para calcular tensões de cisalhamento em seções retangulares e circulares. Inclui exemplos sobre dimensionamento de vigas considerando tensões normais e de cisalhamento.
1) O documento discute o cálculo de resistência à torção em vigas de concreto armado, que é complicado devido à presença de outros esforços como flexão e cortante.
2) A norma brasileira permite verificar a torção apenas quando necessária ao equilíbrio estrutural ou em elementos como vigas balcão.
3) O método de cálculo considera a transformação da seção cheia em vazada e dimensiona as armaduras longitudinales e transversais para resistir às tensões tangenciais devidas à torção.
1) O documento discute os conceitos básicos de concreto protendido, incluindo como a protensão é aplicada para reduzir ou eliminar tensões de tração no concreto.
2) É mostrado como variando parâmetros como a força e excentricidade da protensão, é possível alterar o diagrama de tensões normais na seção da viga e compensar os efeitos de cargas.
3) A excentricidade da protensão pode ser variada ao longo da viga, usando um perfil curvo para a armadura, de modo
O documento discute um curso de resistência dos materiais, enfatizando a importância da parte prática em relação à teoria. Também destaca a participação ativa dos alunos para um melhor aprendizado e fornecimento de exercícios resolvidos.
O documento discute a importância do uso do cinto de segurança em veículos e apresenta dois problemas relacionados a acidentes de trânsito. O primeiro calcula a força exercida pelo cinto de segurança em um passageiro durante uma colisão. O segundo calcula a altura de queda equivalente ao impacto sofrido pelo passageiro sem cinto.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de engenharia mecânica que envolvem cálculos de tensões em elementos estruturais como postes, cabos de freio de bicicleta, vigas de sustentação de muros e cabos de guindastes.
2) São propostos problemas que calculam tensões normais, trações em cabos, deformações em tubos sob compressão e dimensionamento de seções transversais para suportar determinadas cargas.
3) São fornecidas figuras ilustrativas e dados numéricos para cada
1. O documento descreve um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. É mostrada uma barra suspensa por uma corda, sustentando um peso no ponto indicado. A raz
1. O documento descreve um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. É mostrada uma barra suspensa por uma corda, sustentando um peso no ponto indicado. A raz
1. O documento discute um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. Uma barra suspensa por uma corda sustenta um peso no ponto indicado. A razão entre a tens
Resolução da flexão composta normal e oblíqua por meio de ábacosJoao Wagner Dominici
O documento descreve o método de resolução da flexão composta em seções retangulares de concreto armado utilizando ábacos adimensionais. Inicialmente apresenta a modelagem da seção retangular simétrica e os parâmetros necessários para a análise. Em seguida, explica como os valores de esforço normal e momento fletor resistentes são obtidos a partir dos domínios de deformação do concreto e aço. Por fim, demonstra a construção dos gráficos de esforços reduzidos e a obtenção da taxa de armad
1) O documento discute os conceitos básicos de concreto protendido, comparando-o com concreto armado e explicando como a protensão altera o diagrama de tensões em uma viga para melhor aproveitar a resistência do concreto à compressão.
2) É apresentado um exemplo de cálculo de tensões em uma viga de concreto protendido sob diferentes configurações de carga e protensão.
3) A protensão pode ser usada para eliminar tensões de tração no concreto e melhorar o desempenho da viga
Este documento discute conceitos fundamentais da conformação plástica dos metais, incluindo:
1) A definição de conformação plástica como uma operação que causa mudanças permanentes nas dimensões e propriedades de um metal sob solicitações mecânicas.
2) O conceito de tensão e sua decomposição em componentes normais e de cisalhamento em diferentes planos de corte.
3) A análise gráfica das tensões usando círculos de Mohr.
4) As relações entre tensões e deformações em diferentes
1) O documento apresenta 14 problemas de física resolvidos, envolvendo conceitos como conservação da quantidade de movimento, energia mecânica, circuitos elétricos e capacitores.
2) Os problemas abordam tópicos como movimento de projéteis, sistemas de partículas, oscilações mecânicas, resistores e capacitores em série e paralelo.
3) As soluções utilizam equações como leis de Newton, conservação da energia e leis de Kirchhoff para circuitos elétricos.
Este documento fornece perguntas e respostas para as seções de verificação de conceitos dos capítulos 2 a 21 de um livro sobre ciência e engenharia de materiais. Ele contém:
1) Uma introdução sobre o conteúdo do material suplementar;
2) As perguntas e respostas organizadas por capítulo do livro;
3) Informações sobre os autores e tradutores.
O documento discute conceitos fundamentais de metrologia, incluindo a finalidade do controle de medição, métodos de medição, e requisitos para um laboratório de metrologia. É descrito que o controle de medição visa orientar a fabricação para evitar erros e reduzir custos, e deve ser realizado em todos os estágios de produção. Um laboratório de metrologia deve ter temperatura e umidade controladas, ausência de vibrações, boa iluminação e limpeza para permitir medições precisas.
O documento descreve a evolução histórica das medidas e instrumentos de medição, desde as primeiras unidades baseadas no corpo humano até o estabelecimento do Sistema Internacional de Unidades (SI) com o metro como padrão. Também apresenta os múltiplos e submúltiplos do metro de acordo com o SI, além de brevemente mencionar o sistema inglês de medidas.
O documento discute os fundamentos da metrologia científica e industrial. Apresenta conceitos-chave como medição, mensurando, indicação e erro. Explica que medir é essencial para monitorar, controlar e investigar processos e fenômenos. Também destaca a importância de se entender e comunicar os resultados de medições usando uma linguagem metrologia padronizada.
[1] O documento discute o conceito de medição e as unidades de medida no Sistema Internacional de Unidades, incluindo as sete unidades de base, unidades suplementares e derivadas. [2] É explicada a história do desenvolvimento das unidades de medida ao longo do tempo e a importância da padronização proporcionada pelo SI. [3] São detalhadas as definições atuais do metro, quilograma, segundo e outras unidades fundamentais no SI.
O documento discute a soldabilidade de ligas metálicas, especificamente aços. Ele define soldabilidade e fatores que afetam a qualidade da solda, como o processo de soldagem e propriedades do material. Também descreve a classificação dos aços usando o sistema AISI/SAE e fornece exemplos de ligas de aço com suas composições químicas.
1. A soldagem é o mais importante processo industrial de fabricação de peças metálicas e também é usada para recuperação de peças e aplicação de revestimentos. 2. A soldagem pode ser um processo traumático para o material, envolvendo a aplicação de alta densidade de energia em pequeno volume, podendo causar alterações estruturais e de propriedades. 3. A soldagem tem sido usada desde a antiguidade, porém seu uso aumentou significativamente nos últimos 150 anos com o desenvolvimento de novas técnicas e aplicações industriais.
1. F – Flexão Simples
6.0 – FLEXÃO SIMPLES
Costuma-se denominar “flexão simples” o caso de vigas submetidas apenas ao
momento fletor M, porém sendo este variável, o que implica na coexistência de uma força cortante Q, sendo esta, justamente, a taxa com que M varia ao longo da viga (pois,
como visto em 5.2, Q = dM/dx,).
Neste capítulo estudaremos o caso de vigas que têm seção simétrica em relação ao
plano do carregamento (flexão reta).
6.1 – TENSÕES NORMAIS
De início, admitiremos que a existência de tensões tangenciais associadas à presença da força cortante na seção não altere a distribuição das tensões normais, permitindo-nos insistir na aplicação da hipótese
de que a seção se mantém plana e que a distribuição dessas tensões normais continue sendo
linear.
Permanece aplicável, portanto, a equação de Euler:
σ = (M / ILN) y
Nota: a hipótese de que as deformações por distorção
decorrentes das tensões tangenciais não afetam a distribuição das tensões normais na seção é aplicável
nos casos em que tais tensões tangenciais sejam pequenas, como se verá adiante (6.5).
Fig. 6.1.1 – Tensões normais
M
M
6.2 – TENSÕES TANGENCIAIS
Para melhor compreender a natureza do aparecimento das tensões tangenciais em uma viga flexionada, observe a fig. 6.2.1(a) que representa uma pilha
de tábuas sobrepostas, submetida, nas extremidades, a
um momento fletor M que traciona as tábuas inferiores, comprimindo as superiores, sem provocar qualquer tipo de escorregamento entre as tábuas.
Já se a flexão fosse provocada pelo carregamento mostrado em (b) (M variável), verifica-se que
as tábuas escorregariam, umas sobre as outras. Se as
tábuas fossem coladas, umas às outras, impedindo
este escorregamento, surgiriam tensões tangenciais na
cola. Verifica-se, portanto, que, sendo a viga inteiriça,
submetida àquele carregamento (c), ocorrerão tensões
tangenciais nos planos longitudinais (τyx).
A existência de uma tensão τyx no plano longitudinal da viga implica na ocorrência de uma tensão
τxy , de igual valor, na seção transversal (1.5). São
essas tensões que provocam o cortante Q.
(a)
(b)
P
τyx
y
x
(c)
τxy
Fig. 6.2.1 – Tensões de cisalhamento na flexão.
17
2. F – Flexão Simples
A determinação das tensões tangenciais
despertadas em uma viga submetida a um momento fletor variável será feita analisando-se o
equilíbrio de forças atuantes em uma parte da
viga (mostrada na Fig. 6.2.2 em verde) situada
entre duas seções contíguas, separadas de dx,
onde atuam os momentos fletores M (de um
lado) e M+dM (de outro).
As tensões normais atuantes na seção
em x + dx serão maiores que as atuantes na
seção em x, devido à diferença dos momentos
fletores nas respectivas seções. Portanto, as
forças resultantes dessas tensões normais (F1 e
F2) atuantes em cada uma dessas faces serão
diferentes (F1 < F2), ocasionando o aparecimento das tensões tangenciais longitudinais de
valor médio τyx na face superior do elemento,
para promover o equilíbrio de forças, permitindo escrever:
M
LN
F1
y
τyx
M + dM
x
F2
τxy
dx
b
F2 – F1 = τyx b. dx
Mas as resultantes das tensões normais
atuantes em cada uma das faces valerão:
LN
y’ = y (Max)
F=
y
y’
ymax
F1
F2
sendo σ’ = (M/I)y’ na seção em x e
σ’ = [(M+dM)/I]y’ na seção em x+dx.
σ’
dy’
σ’ . b’ dy’
∫ y’ = y
dx
b’
Computando a diferença F2 – F1 obtemos:
y(Max)
Fig. 6.2.2– Tensões tangenciais na flexão. Cálculo por equilíbrio.
τyx b. dx = ∫y
(dM/I) y’ b’ dy’
Levando em conta que, na integração estendida ao longo da variável y’, os valores de dM e I são
parâmetros invariantes, a equação acima pode ser reescrita:
y(Max)
τyx b. dx = (dM/I)
∫y
y(Max)
τyx = [(dM/dx)
y’ b’ dy’ > e >>
∫y
y’ b’ dy’] / b I
Como (dM/dx) = Q e τyx = τxy obtemos finalmente (Equação de Jourawsky~1821-1891):
τxy =
QV
b ILN
..................... (6.2.1)
onde:
τxy – tensão de cisalhamento em um dado ponto da seção; Q – força cortante na seção; ILN – momento
de inércia da seção em relação à LN que contém o centróide; b – largura da seção na altura do ponto
considerado; V – momento estático da parte da área da seção situada “abaixo” (*) do ponto considera18
3. F – Flexão Simples
do, em relação à linha neutra. NOTA (*) - ou “acima”, já que o momento estático da área total da seção
será nulo em relação à LN, pois esta contém o seu centróide.
Realmente: a integral
y’ = y(Max)
∫
V = y’= y
y’ b’ dy’
terá valor nulo nas arestas inferior e superior da viga (onde y = yMax e y = - yMin), aliás como não poderia deixar de ser, já que nessas partes não há tensão longitudinal τyx (não há componente de tensão perpendicular ao contorno). Conclui-se portanto, que a tensão tangencial não se distribui uniformemente
como no caso do corte puro
τ=0
iniciando com valor nulo no topo superior
da seção, aumentando de valor até a altura
do centróide, passando a diminuir até novamente atingir o valor zero na aresta inτ med
ferior.
O valor médio da tensão tangencial
na seção continuará a ser calculado pela
expressão:
τmed = Q / A.
τ Max
A distribuição das tensões ao longo dos diversos pontos da seção dependerá de seu formato.
6.3 – Várias formas de seção.
τ=0
Fig. 6.2.3- Distribuição das tensões de cisalhamento em uma viga simétrica sob flexão simples
a) SEÇÃO RETANGULAR – Para vigas de seção retangular b x h, onde ILN = bh3/12, teb
remos:
τMax = 1,5 τmed
OBS.: o momento estático de uma área em relação
a um eixo é obtido fazendo-se o produto da área
pela distância de seu centróide ao eixo.
h/2
y
τ = [12 Q / b2 h3] [( ½ h – y)b][y + ½ ( ½ h – y)]
h/2
τ = (6Q/bh3)[(h/2)2 – y2)
(distribuição parabólica, com valores nulos para a
tensão tangencial nos topos -- y = + h/2 e máxima
tensão no centro, atingindo 1,5 vezes a tensão média
Q/A --------- τMax = (3/2)(Q/A)
τmed
Fig. 6.3.1 – Tensões tangenciais em vigas de seção retangular e circular
b) SEÇÃO CIRCULAR MACIÇA -
τMax = 1,33 τmed
O valor máximo da tensão tangencial ocorre na linha neutra
onde b = d, V = (πd2/8)(2d/3π), sendo I = πd4/64, e
τMax = (4/3)(Q/A).
Para outros pontos, a fórmula de Jourawski (6.2.1) fornece o valor da tensão na linha de centro (plano de simetria) e, também, o valor da componente vertical da tensão nos demais pontos
(sendo a direção da tensão tangente ao contorno e, nos pontos
internos, com direção convergente ao ponto de encontro dessas
tangentes na mesma altura (hipótese de Green).
19
τMax
d
4. F – Flexão Simples
c) PERFIS LAMINADOS (I, T, H)tm
A otimização da escolha do formato
da seção das vigas, objetivando minimizar o
valor das tensões normais decorrentes do
momento fletor, leva à utilização de seções
nas quais as áreas são afastadas da linha neutra (perfis “I” e “T”, com mesas/abas largas e
almas/nervuras estreitas). Como conseqüência, surgirão tensões tangenciais elevadas na
alma, na altura da linha neutra, pelo fato de a
dimensão “b” da nervura aparecer no denominador da equação de Jourawski (ou seja,
nos pontos da viga onde a tensão normal é
máxima – arestas superior e inferior, a tensão
tangencial é nula, enquanto na linha neutra,
onde σ = 0, a tensão τ atinge valor extremo).
A descontinuidade do valor da tensão
na transição entre a mesa e a alma decorre da
descontinuidade da largura (b) da seção nesses locais.
10
kN
200
30
300
900
mm
ta
h
τ
b
τ
σ
σ
Exemplo 1 – Para a viga esquematizada na figura,
pede-se determinar:
a) a máxima tensão de tração;
b) a máxima tensão de compressão;
c) a máxima tensão de cisalhamento;
d) a força total na união entre a mesa e a alma.
SOLUÇÃO
a) a máxima tensão de tração ocorrerá no topo da
mesa, no engaste, valendo:
σT = (9000 / 127,1 x10 –6) x(0,330 –0,2325) =
= 6,90 MPa.
b) a máxima tensão de compressão ocorrerá na base
da alma, no engaste, valendo:
σC = (9000 / 127,1 x 10 –6) x 0,2325 = 16,5 MPa
20
A força cortante Q vale 10 kN ao longo de toda a
viga.
O momento fletor M (negativo, tracionando a mesa),
varia linearmente de zero, na extremidade em balanço, até o engaste, onde vale 10 x 0,9 = 9 kNm.
A linha neutra estará a uma altura da base da alma
em yLN = (20 x30 x315 + 20 x300 x150) / 12000
yLN = 232,5 mm
O momento de inércia da seção em relação à LN:
3
2
ILN = 200 x30 /12+ 200 x30(315 –232,5) +
3
2
+ 20 x300 /12 + 20 x300(232,5 – 150) =
6
4
-6
4
= 127,1 x 10 mm = 127,1 x 10 m
c) a máxima tensão tangencial ocorrerá na altura da
linha neutra, em toda extensão da viga, valendo:
τMax = [10.000 x 0,020 x (0,2325)2 x ½] / 0,020 x I LN
τMax = 2,12 MPa
d) a tensão τxy na altura da transição mesa/alma
valerá:
τxy = 10.000 x 0,030 x 0,200 x(0,315 –0,2325) /
/ 0,020 x 127,1 x 10
–6
= 1,947 MPa.
e) Uma tensão de mesmo valor (τyx) se estende ao longo
da união entre a mesa e a alma, e a força nesta união
valerá: FU = 1,947 x 10 –6 x (900 x20) x 106 = 35,0 kN.
20
5. F – Flexão Simples
6.4 – Perfis Compostos
É freqüente a construção de
vigas através da composição de barras chatas por parafusagem, colagem, uso de pregos, rebites, cantoneiras, soldagem, etc.
Os perfis assim constituídos
funcionam como se inteiriços fossem, podendo-se calcular os esforços nos elementos de união computando as tensões médias nas faces
que estão sendo unidas.
Fig. 6.4.1 – Perfis Compostos
60mm – 15 paraf. d= 5mm
10
kN
Assim, no perfil de madeira mostrado no
exemplo 1 anterior, se a barra de 200x30 mm2
que constitui a mesa fosse conectada à barra da
alma (300x20) através de 15 parafusos de
60mm de comprimento e com diâmetro de
5mm, distribuídos ao longo dos 900 mm da mesa, com igual espaçamento de 60 mm, poderíamos calcular a força em cada parafuso levando
em conta que a tensão longitudinal τyx entre
mesa e alma vale 1,947 MPa, o que corresponde
a uma força de valor 1,947x20x60= = 2,336 kN
para cada parafuso.
A tensão de cisalhamento no parafuso
seria igual a 2,336 x 103 / [π(5)2/4]x10 –6 = 119
MPa.
- compressão lateral do furo (tanto na mesa
como na alma) valeria: 2.336 / 5x30=15,6MPa
400
P
400
30
300
900
mm
150
20
200
200
15
16
20
100
21
Exemplo 6.4.1– A viga esquematizada
foi construída por soldagem de duas
barras chatas de aço, de 150x20 mm2,
a outra barra de mesmo material como nervura, de 200x15 mm2, através
de cordões com 10 mm de largura e
30 mm de extensão. Sabendo-se que as
tensões admissíveis tanto para as barras como para os cordões sejam: σadm
=120 MPa e
τadm =70 MPa, calcular Padmissivel.
6. F – Flexão Simples
P
½P
400
400
0,5 P
½P
Q
Solução
Os diagramas de esforços solicitantes nos indicam:
QMAX = 0,5P e MMAX = 0,5P x 0,400 = 0,2 P.
O momento de Inércia da seção vale:
ILN = 12 x 2003/12 + 2 [150 x 203/12 + 150 x20 x 1103] =
6
0,5 P
4
= 82,8 x 10 mm = 82,8 x 10
–6
4
m.
O valor de Padm. para a tensão normal será calculado com
σMAX = 120 x 106 = (0,2P / 82,8 x10 –6) x0,120;I
(PMAX) = 414 kN;
O valor de Padm. para a tensão tangencial limite será:
M
0,2 P
τMAX =
0,5P (0,150 x0,020 x0,110 + 0,100 x0,015 x 0,050)
0,015 x 82,8 x 10 –6
6
= 70 x 10 Pa
II
(PMAX) = 429 kN;
A máxima força que se admite ser transmitida por um
dos cordões de solda será:
FC = 70 x106 x 16 x 0,707 x 100 = 79,18 kN
Se a viga fosse inteiriça, a tensão na união entre a alma e
cada uma das abas seria:
τU = 0,5 P (0,150 x0,020 x0,110) / 0,015 x 82,8 x10 –6 =
= 132,8 P.
τU
Na extensão de 400mm (metade do comprimento da viga)
a força total na união mesa x alma será:
FU = τU x 0,400 x 0,015 = 132,8 P x 0,400 x 0,015 =
100
16
= 0,7968 P.
Como tal força será transmitida por 4 cordões (dois de
cada lado da alma) para cada cordão caberá:
FC = 0,7968P : 4 = 0,1992 P.
Como (FC)MAX = 79,18 kN, teremos PMAX = 397,5 kN.
Portanto: Padmissivel = 398 kN (Resposta)
15
400
6.5 – Análise Crítica
A suposição de que a distribuição das tensões de cisalhamento na flexão não alteraria a distribuição das tensões normais na seção só é aplicável nos trechos da viga onde a
força cortante não varia. O resultado obtido para a distribuição das tensões tangenciais
(parabólica na seção retangular) aponta no sentido de que a seção não permanece plana,
devido à distorção variável em y.
Estudos mais avançados (Saint’Venant) dão
conta de que, para a seção retangular na qual a relação b/h <1/4, o valor da tensão tangencial média
calculado pela fórmula de Jourawski não difere
mais de 8% do valor máximo alcançado pela tensão na linha neutra.
O erro é grande para o caso de barras largas
(para b/h = 10, τMAX / τMED = 3,77), sendo, porém, geralmente irrelevante, já que são muito pequenos os valores dessas tensões (valor de b elevado).
22
h/2
τMED
τMAX
h/2
b
7. F – Flexão Simples
6.6 – Vigas de igual resistência
Ao se dimensionar uma viga prismática, levando em conta a seção crítica onde o
momento fletor é extremo, a peça ficará superdimensionada para as demais seções.
Assim é que, para uma viga de comprimento L, em balanço, com carga P concentrada
na extremidade livre, a seção crítica seria a do
engaste e a viga prismática de seção retangular
(bxh) teria dimensões tais que:
Wmínimo = (bh2/6)mínimo = PL/ σadmissível.
P
h
L
b
Como o momento fletor em cada seção
varia linearmente com a distância da seção à
linha de ação da força P, para que a tensão normal máxima seja a mesma em todas as seções,
bastaria que, mantida a dimensão h, a dimensão
b variasse linearmente com a distância à
extremidade livre. Deve-se considerar ainda
que, próximo a essa extremidade, a dimensão b
não pode ser diminuída até atingir o valor nulo,
já que a seção deve ser capaz de suportar a tensão máxima de cisalhamento causada pela força
cortante (de valor 1,5 P/bh). Daí a necessidade
do prolongamento prismático na extremidade
livre. O chamado “feixe de molas”, utilizado na
suspensão de veículos, adota tal tipo de viga
(cortada em fatias longitudinais, superpostas
como indicado na figura ao lado e conectadas
por cintas).
Se, ao invés de ser adotada invariante a
dimensão vertical h, fosse a largura b mantida
constante, a dimensão h da seção variaria (numa
viga de igual resistência) segundo uma lei quadrática, o que levaria, para uma viga bi-apoiada
com uma carga aplicada ao longo do vão, a um
formato como o apresentado na figura ao lado.
Exercício proposto: mostre que, para uma viga
de igual resistência, bi-apoiada e submetida a um carregamento uniformemente distribuído ao longo de toda a
sua extensão, com largura uniforme, a dimensão da alma varia segundo uma função elíptica (exceto nas extremidades, onde se mantém constante, devido à ação da
força cortante).
23
Fig. 6.6.1 – Vigas de igual resistência
8. F – Flexão Simples
6.7 – Perfis Delgados
As tensões de cisalhamento em vigas de paredes finas alcançam valores importantes diante do pequeno
valor da dimensão “b” que aparece na equação de Jourawski (6.2.1)
τyx
M
M + dM
F1
F2
dx
b
τzx
O valor da tensão τzx em um ponto da mesa situado a uma distância z da sua borda será calculado
fazendo:
τzx = τxz = Q[b.z.(h/2)]/ b ILN (variação linear com z,
de zero, na extremidade da aba, até seu encontro com a
alma). Interessante notar que o mesmo ocorrerá com a
outra metade da aba, tendo a tensão τxz o sentido inverso,
indicando que a distribuição das tensões ao longo da seção do perfil se dá como um escoamento de um fluido ao
longo de uma rede hidráulica bifurcada (fluxo cisalhante), sendo aplicável a analogia com a equação da continuidade, já mencionada no estudo da torção dos dutos de
parede fina.
τxz
dx
Assim, para a viga esquematizada na figura ao lado,
caso a tensão tangencial máxima τxy, ocorrente à meia altura da seção, fosse suficiente para provocar a ruptura por
cisalhamento do material, a fratura seria no sentido longitudinal, ao longo do plano neutro (τyx).
A componente vertical da tensão τxy nas mesas será
desprezível em presença da ocorrente na alma, devendo-se
considerar, no entanto, a existência de uma componente
horizontal τxz , calculada, da mesma forma, pela equação
6.2.1, considerando que o momento estático V seria o da
parte da área da mesa “cortada” pela tensão longitudinal τzx
e b a largura da parte cortada (a tensão τzx aparece diante do
desequilíbrio entre as forças normais F1 < F2 na parte da
mesa, em conseqüência da diferença entre os momentos
fletores dM).
z
Fig. 6.7.1 – Tensões tangenciais em perfis delgados.
265
17
B
753
13,2
Exemplo 6.7.1: Para o perfil “duploT” esquematizado, estabelecer a distribuição das tensões tangencias nos diversos pontos das mesas
e da alma, como função da tensão média Q/A..
Solução: As propriedades geométricas do perfil W760x147 (pg.1191 LT) indicam:
A =18.800mm2, IZ =1.660 x10-6 m4.
A tensão τ nos entroncamentos entre cada
uma das metades da mesa e a alma vale (A):
τxz=Q(½ 0,265 x 0,017 x0,368)/0,017 x1660 x10 -6=
C
=29,37 Q
No entroncamento entre cada mesa completa e
a alma, a tensão vale (B):
A
τxz =Q(0,265 x0,017 x0,368)/0,0132 x1660x10-6=
=75,66 Q
24
9. F – Flexão Simples
Convém repisar que a analogia com a equação da continuidade para os fluidos incompressíveis
se aplica ao denominado “fluxo cisalhante”, permitindo-nos escrever que, para o entroncamento
(bifurcação) entre cada mesa e a alma, 2 τA bA = τB bB, ou seja, 2 x 29,37Q x 17 = 75,66 Q x 13,2.
A tensão cisalhante máxima, ocorrente na linha neutra, valerá:
τC =Q [0,265 x0,017 x0,368 + 0,0132 x0,3595 x(1/2) 0,3595 ] / 0,0132 x1660x10-6 = 114,6 Q.
Como τmédio = Q / A = Q / 18.800 x 10-6 = 53,19 Q, teremos:
τA =0,552 τmédio; τB =1,42 τmédio; τC = τmáximo = 2,15 τmédio.
Nos perfis simétricos, em forma de “caixão”, é fácil compreender que, na linha de
simetria, a tensão cisalhante parte do valor zero (*), variando em sentidos opostos para os
pontos mais afastados da linha de simetria. A figura 6.7.2 mostra alguns exemplos de distribuição das tensões tangenciais em seção de viga em forma de duto de parede fina,
submetido à flexão simples e seus valores máximos em função da tensão média (Q/A).
(*)Observe que o momento estático da área assinalada tende a zero quando z →0.
z
τMax = ξ (Q/A)
ξ
1,500
1,333
2,000
b/h
h
(a)
(b)
(c)
Fig. 6.7.2 – Tensões tangenciais em perfis delgados simétricos tipo caixão.
A utilização da analogia com o “fluxo cisalhante” é muito útil na determinação
da distribuição das tensões tangenciais ao
longo de perfis delgados, facilitando a visualização das áreas que seriam “cortadas”
por ação dessas tensões, propiciando o cálculo correto dos correspondentes momentos estáticos (V) e larguras (b), para aplicação na fórmula de Jourawski. Na figura ao
lado, são apresentados dois exemplos de
áreas assinaladas e respectivas larguras (b),
para o cômputo das tensões tangenciais
correspondentes, utilizando-se 6.2.1.
25
b
0,25
0,50
1,00
2,00
4,00
1
b
2
b
Fig. 6.7.3 – Fluxo cisalhante
ξ
1,607
1,800
2,250
3,600
5,192
10. F – Flexão Simples
Exemplo 6.7.2 – Deseja-se fabricar uma viga caixão
com tábuas de madeira (10 x 100 mm2) coladas, havendo duas opções (A e B) quanto a seu posicionamento em relação ao plano vertical do carregamento
(peso próprio).
Verificar, para as duas opções, a relação entre
a tensão tangencial na cola e a tensão tangencial média na viga para uma força cortante Q.
Solução
Posição A: Área A = 1.000 mm2;
ILN =2 x[10 x1003/12 + 100 x 103/12 + 10 x100 x 552] =
A
B
6
4
-6
4
= 7,733 x 10 mm = 7,733 x 10 m
cola
τmédia = Q/A = Q / 1.000 x 10 -6 = 1.000 Q;
τcola =Q.(0,100x 0,010x 0,055) / (2x 0,010) x 7,733x10-6
τcola = 355,6 Q >>>>>> τcola = 0,3556 τmédia
100
10
Posição B: Área A = 1.000 mm2; ILN =2 x[10 x1003/12 + 100 x 103/12 + 10 x100 x 452] =
τmédia = Q/A
= 5,733 x 106 mm4 = 5,733 x 10-6 m4
= Q / 1.000 x 10-6 = 1.000 Q; τcola = Q.(0,100x 0,010x 0,045) / (2x 0,010) x 5,733x10-6
τcola = 392,5 Q >>>>>> τcola = 0,3925 τmédia
6.8 – Centro de Torção.
A distribuição das
tensões tangenciais ao
longo das paredes de um
perfil delgado aberto e
assimétrico, submetido à
flexão simples (com a
força ativa aplicada no
centróide da área, portanto sem momento de torção, como mostra a Fig.
6.8.1), indica que o perfil
sofrerá uma torção (apesar de se ter T = 0!). Para
se evitar que tal deformação ocorra, a força
que ataca o perfil teria
que ser aplicada a uma
certa distância δ do eixo
longitudinal baricêntrico
para equilibrar o momento decorrente das forças
associadas àquelas tensões.
τ
P
δ
Fig. 6.8.1– Centro de Torção
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11. F – Flexão Simples
A determinação do afastamento δ do centro de torção (também chamado “centro de
ataque”), em relação ao centróide C da seção, é feita igualando os momentos em relação ao
eixo longitudinal baricêntrico do perfil, provocados pelas forças associadas às tensões tangenciais ao longo das paredes e pela força que ataca a viga.
τ∗
a
P
Fa
Q=P
2a
C
C
Fa
t
Zc
Exemplo 6.8.1 - Para o perfil “C”
mostrado ao lado (espessura t,
largura da aba a e altura da alma
2a), o centróide C estará posicionado em: Zc = a / 4.
O momento de inércia baricêntrico valerá:
ILN = t(2a)3/12 + 2 (t.a)(a)2=8ta3/3.
A tensão tangencial nas
abas variará linearmente da extremidade até a junção com a alma,
onde valerá:
τ* = P[a.t.(a)]/t.(8ta3/3) = 3P / 8t.a
A força horizontal Fa atuante em cada aba, resultante dessas tensões, valerá:
Fa = ½ [τ∗]t.a = (3/16)P
δ
Tomando momentos dessas forças em relação ao centróide C, podemos escrever:
P . δ = Fa . (2a) + P . Zc = (3/16)P.(2a) + P (a/4), obtendo-se: δ = (3/8)a + (1/4)a.
Ou seja: o centro de torção está localizado a uma distância da alma que vale 3/8 da largura da aba.
São apresentados abaixo alguns exemplos de seções transversais de perfis delgados de
espessura uniforme e os correspondentes posicionamentos do centro de torção.
b
b
b/2
R
R
h
b/2
δ∗
δ∗
b
2 + h/3b
δ∗
δ∗
δ∗
(5/8)b
0
[(4 - π)/π] R
R
Verifique no Link www.cesec.ufpr.br/~metalica/08/08.htm a posição indicada para o centro de
torção dos perfis lá apresentados.
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