O documento resume as definições e propriedades de limites de funções. Apresenta a definição formal de limite, propriedades como unicidade, adição, multiplicação e potenciação de limites. Exemplifica o cálculo de limites de funções polinomiais e racionais.

1. Notas de Aula Prof. J. Eronildo de Melo
Aula 2 – Definição de Limite e propriedades
DEFINIÇÃO
Seja um intervalo aberto ao qual pertence o número real . Seja uma função
definida para x  I  a . Dizemos que o limite de f  x  , quando tende a , é e
escrevemos lim f  x   L , se para todo 0 , existir 0 tal que se 0 x  a  então
x a
f  x   L  .

lim f  x   L  0, 0 0 x  a   f  x   L 
x a

Problema 6. Use a definição de limite e demonstre que .
Solução
Devemos mostrar que, para qualquer , existe tal que:
| | |( ) |
Notemos que
|( ) | | | | | | |
Assim, se escolhermos , teremos:
| | | |( ) |
De fato se
| | | | | |
| | |( ) |
Problema 7. Demonstre usando a definição que:
a)
b)
03 de março de 2013. Prévia.

2. Notas de Aula Prof. J. Eronildo de Melo
Para outros exemplos mais sofisticados ver referência.
Se não fossem as propriedades que listaremos adiante, todas as questões de limite
deveriam ser resolvidas pela definição, um trabalho enfadonho e engenhoso.
UNICIDADE DO LIMITE
1 Se lim f  x   L1 e lim f  x   L2 então L1  L2 .
x a x a
Este teorema garante que o limite é único. Vale relembrar que a imagem da função
pode não coincidir com o limite em dado ponto.
Na aula anterior foram realizadas algumas operações intuitivamente. No entanto é de
vital importância que se tenham estas propriedades a seguir, pois são elas garantem
certas operações na resolução de problemas envolvendo limites
PROPRIEDADES DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO
2 Se é a função definida por f  x   c , c  R , x  R , então limc  c .
x a
3 Se c  R e lim f  x   L então lim c  f  x   c  lim f  x   c  L .
x a x a   x a
 4 Se lim f  x   L e lim g  x   M então lim  f  g x   L  M .
x a x a x a
5 Se lim f  x   L e lim g  x   M então lim  f  g x   L  M .
x a x a x a

Lema 1. lim f  x   L se, e somente se, lim f  x   L  0 .
x a x a

Lema 2. lim f  x   L e lim g  x   0 então lim  f  g x   0 .
x a x a x a
6 Se lim f  x   L e lim g  x   M então lim  f  g x   LM .
x a x a x a
Generalizando:
 n
 n
Se lim fi  x   Li então lim   fi   x    Li , i  Z , 1  i  n .

x a x a
 i1  i1
03 de março de 2013. Prévia.

3. Notas de Aula Prof. J. Eronildo de Melo
n
 O símbolo  f (lê-se: Produtória dos fatores f , com i  Z
i 1
i i

, 1  i  n ) e significa:
n
f  f  f
i1
i 1 2  f3  ...  fn .)
7 Se lim f  x   L então lim  f n  x   Ln,n  Z .
x a x a
Lema 3. Se lim f  x   L  0 então ,N 0 x  a   f  x  N .
x a
1 1
Lema 4. Se lim g  x   M  0 então lim  .
x a x a g  x  M
f L
8 Se lim f  x   L e lim g  x   M  0
x a x a
então lim    x  
x a
.
 g M
9 Se lim f  x   L e lim n f  x   n L , L  0 e i  Z ou L0
x a x a
e n é ímpar.
LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL
n
10 Se f  x   a0  a1x  a2 x2  ...  an xn   ai xi , , então
i 0
n 
 
lim  ai xni   f  a  .
x a
 i 0 
Em particular, .
Referências
IEZZI, G.; MURAKAMI, C.; MACHADO, N. J. Fundamentos de matemática
elementar-8: limites, derivadas e noções de integral. São Paulo: Atual, 2005.
03 de março de 2013. Prévia.