1) O documento apresenta exemplos de cálculos de juros compostos, taxas efetivas e nominais, e conversão entre taxas. 2) São fornecidas as soluções de exemplos sobre cálculo de montante, taxa equivalente, taxa efetiva e nominal. 3) São mostrados cálculos para determinar o prazo de uma aplicação financeira, taxa de juros de uma aplicação, e valor futuro dado montante, taxa e prazo.

1. J. C Vamos fazer uma aplicação em CDB de R$ 30.000 a uma taxa de 1,7 % para
um período de 35 dias. Qual o valor da rentabilidade líquida e dos juros? Em relação à poupança
esta aplicação é interessante?
Uma aplicação de R$ 200.000,00 efetuada em uma certa data produz, à taxa
composta de juros de 8% ao mês, um montante de R$370.186,00 em certa data futura. Calcular o
prazo da operação.
2.1.2 Exemplos
1) (TOSI, 2002). Quanto uma pessoa deve aplicar hoje, para ter acumulado um montante de R$
100.000,00 daqui a 12 meses, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês?
Solução:
2) (TOSI, 2002). Qual o valor de resgate relativo à aplicação de um capital de R$ 500.000,00, por 18
meses, à taxa de juros compostos de 10% ao mês?
Solução:
3) (HAZZAN, 2007). Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante quatro meses,
produzindo um montante de R$ 3.500,00. Qual a taxa mensal de juros?

2. Solução:
4) (HAZZAN, 2007). Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 deve ser aplicado a juros
compostos à taxa de 10% a.a. para resultar em um montante de R$ 1.610,51?
Solução:
5) (KUHNEN, 2001). Determinar os juros produzidos por um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros
compostos de 10% ao semestre, capitalizado semestralmente, durante 1 ano e seis meses.
Solução:

3. Taxa Equivalente
1.3.1 Fórmula.
1.3.2 Exemplos
1) (TOSI, 2002) Qual a taxa anual equivalente a 5% ao mês?
Solução:
2) (TOSI, 2002) Qual a taxa mensal equivalente a 200% ao ano?
Solução:

4. Cálculo da taxa Efetiva
Exemplo
1) (PARENTE, 1996) Qual a taxa efetiva relativa à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada
mensalmente?
Solução:
2) Uma taxa nominal de 24% a.a. é capitalizada trimestralmente. Calcule a taxa efetiva anual.
Solução:
Taxa efetive e nominal

5. A taxa do sistema financeiro habitacional é de 12% ao ano com
capitalização mensal, portanto é uma taxa nominal, achar a efetiva correspondente.
A taxa da poupança é de 6% ao ano com capitalização mensal, portanto é
uma taxa nominal, achar a efetiva correspondente.
Qual o juro de R$ 2.000,00 aplicados hoje, no fim de 3 anos, a 20 % ao ano
capitalizados mensalmente?
Qual a taxa efetiva anual equivalente a 15% ao ano capitalizados
trimestralmente?
- Calcular as taxas efetivas e nominal anual, correspondente a 13% ao mês?
Peço um empréstimo de R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se antecipadamente
uma taxa de 15% sobre o valor que é entregue já líquido, e depois de um mês paga-se R$
1.000,00. Qual a taxa efetiva de juros deste empréstimo?
a) Efetiva anual de uma taxa nominal de 34% ao bimestre com capitalização diária
b) Efetiva mensal de uma taxa nominal de 10% ao semestre com capitalização bimestral.
c) Efetiva semestral de uma taxa nominal de 5% ao trimestre com capitalização diária
um capital de CR$ 200,00 foi aplicado a juros nominais de 28% ao ano
capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 7 meses, o
montante será de ?
Esta é uma dúvida que foi enviada e é interessante reparar como em apenas duas
linhas vamos ter a oportunidade de juntos revisar diversos conceitos da Matemática
Financeira.
Vejamos...
Primeiramente o aluno deve conhecer bem os conceitos de taxa de juros nominal e
taxa de juros efetiva. Vamos relembrar?

6. Capitalizar significa render juros, portanto, quando se afirma que determinado
capital está sujeito à capitalização anual, por causa da convenção de juros
postecipados (considera-se que a formação dos juros é apenas ao final do prazo a
que a taxa se refere), no caso, ao final do ano.
Se a capitalização é semestral – o capital rende juros ao final do semestre.
Se a capitalização é mensal – o capital rende juros ao final do mês.
Agora a dúvida aparece, e se a taxa se referir a um período de tempo e a
capitalização se referir a outro?
Por exemplo:
Taxa de juros de 12% a.a. capitalizados mensalmente.
Percebam que ao final do primeiro mês, não se pode considerar que o capital inicial
rendeu 12%, uma vez que este rendimento só será possível ao final do ano.
Neste caso, tem-se uma taxa de juros que não é válida, só existe pelo nome, é
uma taxa meramente "nominal".
E como resolver este problema?
Para resolver o problema temos que calcular uma taxa que se refira ao prazo de
capitalização (mensal). Neste caso, deve-se calcular a taxa mensal, proporcional à
taxa anual de 12%.
E por que usar a taxa proporcional?
Na linguagem financeira, o problema acima é muito comum, pois fica mais fácil às
instituições financeiras indicarem sua taxa anual e cada um dos usuários,
dependendo do prazo de capitalização que desejarem (mês, bimestre, trimestre,
semestre etc.), calcularem a taxa proporcional a esta taxa anual. Portanto, usa-se
a taxa proporcional, por ser esta forma de representação muito comum no mercado
financeiro.
Como calcular a taxa proporcional?
Lembre-se que Proporção é uma igualdade entre razões (também conhecidas como
frações entre duas grandezas).
Como calcular a taxa proporcional?
Lembre-se que Proporção é uma igualdade entre razões (também conhecidas como
frações entre duas grandezas). Veja como representar uma proporção:
(lê-se a está para b assim como c está para d) onde e são razões

7. a, d são considerados extremos da proporção
b, c são considerados meios da proporção
Para que uma proporção se verifique é necessário que a multiplicação dos extremos
seja igual a multiplicação dos meios, ou seja:
Se é uma proporção então se verifica que a.d = b.c
Duas taxas são consideradas proporcionais quando houver uma relação de
proporcionalidade entre elas e os prazos a que elas se referem, neste caso:
irá se verificar a proporcionalidade quando i 1. n2 = i2 . n1
No problema temos:
i1 = taxa anual = 12%
n1 = prazo anual = 1 ano (ou 12 meses)
i2 = taxa mensal = x% (desejo conhecer)
n2 = prazo mensal = 1 mês
logo 12%.1 = x.12 logo x = 1% a.m.
Existe uma dica para evitar pensar na regra de três, eis a mesma:
Imaior = k imenor
traduzindo
a taxa do prazo maior é igual a k vezes a taxa do prazo menor, no problema, o
prazo maior é o ano e o prazo menor é o mês e k, também conhecido como
constante de proporcionalidade é quantas vezes o prazo menor cabe no maior, ou
seja, o mês cabe 12 vezes no ano, ou um ano tem 12 meses.
Desse modo teremos:
Imaior = 12%a.a.
k = 4 (1 ano = 12 meses)
i menor = ?
Imaior = k imenor
12% = 12 imenor

8. imenor = 1%a.m.
Logo achei a taxa mensal proporcional à taxa anual de 12%, observe que este é o
quanto vai entrar na minha conta ao final do prazo de capitalização (mensal).
Para que você guarde a diferença entre a taxa de juros nominal e efetiva ai vai uma
dica:
Sempre que o prazo de capitalização for o mesmo que o prazo a que a taxa se
refere teremos uma taxa de juros efetiva.
Já se o prazo de capitalização for diferente do prazo a que a taxa se refere teremos
uma taxa de juros nominal.
Nestes casos:
12% a. a.(ano) capitalizados mensalmente (mês) é uma taxa
.................................. nominal
1% a. m.(mês) capitalizados mensalmente (mês) é uma taxa
.................................. efetiva
No problema nos foi dada uma taxa de juros nominal, reparem que o período de
capitalização (trimestral) difere do período a que a taxa se refere (anual). Como a
taxa nominal não me indica nada, tenho que transformá-la em taxa efetiva.
28% a.a. capitalizados trimestralmente
1 ano tem 4 trimestres (constante de proporcionalidade, k = 4)
Imaior = k imenor
iano = 4 itrimestre
itrimestre = 28/4 = 7% a.t.
Para calcular o montante a juros compostos usamos a seguinte fórmula:
M = C (1 + i)n
Onde:
M = montante; C = capital; i = taxa de juros e n = prazo
Lembrando que a taxa de juros e o prazo devem se referir ao mesmo período de tempo.
Substituindo teremos:
M = 200 (1+0,07)n
Ora o prazo n = 7 meses e a taxa de juros é trimestral. Como ambos devem se referir ao
mesmo período, temos que fazer ambos se referirem a mês ou a trimestre. Vamos fazer
as duas considerações:

9. 1o. caso) Período trimestral
Neste caso, fazendo uma regra de três simples tem-se:
7 meses __________ n trimestres
3 meses __________ 1 trimestre
logo n = 7/3 trimestres
Tente resolver a fórmula anterior.
M = 200 (1+0,07)7/3 = 234,20
Observe que somente através do uso de uma calculadora será possível encontrar a
resposta desta equação, mas nos concursos públicos tem sido proibido o uso destas
máquinas "poderosas", logo o problema ficaria sem solução?
2o. caso) Período mensal
Neste caso tenho que entender um novo conceito, o de taxas equivalentes. O que se
deseja é trabalhar com uma taxa mensal que me dê o mesmo juro que a taxa trimestral
que eu já tenho, quando aplicadas sobre o mesmo capital e o mesmo prazo. Pois esta é a
definição de taxas equivalentes.
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre o mesmo capital e o mesmo prazo
dão como resultado o mesmo montnate.
Portanto desejo achar a taxa mensal equivalente à taxa trimestral de 7%.
(1+itrimestral)1trimestre = (1+imensal)3meses
logo:
(1+0,07)1 = (1+imensal)3meses
Novamente o aluno teria que trabalhar com valores exponenciais e uma calculadora
resolveria rapidamente tal problema (mas não a teremos, lembra, no concurso), então
utilizaremos as tabelas financeiras que apresentam o valor de (1+i)n para vários valores
de i e de n. Vejamos:
n i = 2,25%
1 (1+i)n = 1,0225
2 (1+i)n = 1,0455
3 (1+i)n = 1,0690
Ou seja, para n = 3 meses a taxa mensal que faz com que (1+i)n = 1,07 e
aproximadamente igual a 2,25% a.m.

10. Sabemos agora que 2,25% a.m. é equivalente a 7% a.t.
Logo vamos resolver a equação.
M = 200 (1+0,0225)7 , novamente consultando a tabela teremos:
n 2,25%
1 1.0225
2 1,0455
3 1,0690
4 1,0930
5 1,1176
6 1,1428
7 1,1685
O valor de (1+0,0225)7 se encontra tabelado e é igual a 1,1685
Logo M = 200 . 1,1685 = 233,70 (a diferença se deu em virtude das aproximações da
tabela financeira).
Obrigado pela atenção.
Até a próxima dúvida.