` 1) O documento discute o que é resistência dos materiais e como analisar as forças internas em um corpo sob cargas externas. 2) É apresentada a metodologia de determinar cargas externas, cargas internas, deformações e condições de resistência de um material. 3) Diferentes tipos de cargas externas são explicados, incluindo cargas concentradas, distribuídas linearmente e por área.

1. Resistência dos Materiais
Prof. Me. Andrew J.R. Cass
Mestre em Estruturas e Construção Civil

2. Introdução
O que é Resistência dos Materiais?
(Hibbeller) É o ramo de mecânica que que estuda as relações ntre cargas eternas aplicadas em
um determinado corpo deformável e a intensidade das forças internas resultantes.
Em qualquer projeto estrutural ou de máquinas é de fundamental importância o estudo das
forças atuantes e do comportamento, frente a essas forças, do material em serviço.
Em estruturas chamamos essas forças de tensão de serviço ou tensões atuantes.
Metodologia:
1. Determinação das cargas atuantes externamente;
2. determinação das cargas internas;
3. determinação das deformações (depende do material);
4. determinação das condições de resistência, ou seja, se o material vai ou não resistir às cargas
atuantes.

3.  As deformações dependem:
1. Do tipo de material;
2. Das características geométricas (seção);
3. Dos tipos de vinculação existentes na peça analisada (apoios, enrijecedores, etc).
Portanto o conhecimento do material é de fundamental importância para o desenvolvimento
das equações fundamentais de “Resistência dos Materiais”.
Estas equações servem com base para os estudos avançados de cálculo estrutural em Concreto
Armado, Estruturas Metálicas, Concreto Protendido, Pré-moldado, alvenaria estrutural, etc.
Determinação das forças
atuantes
(Princípio da estática)
Comportamento do
material
(Estabilidade e dimensões
da peça)

4. Histórico
 A resistência dos materiais (RM) remonta ao século XVII, quando Galileu Galilei realizou
experimentos com hastes de diferentes tipos de material.
 Comparação do comportamento de diferentes materiais com o mesmo tipo de seção e carga
atuante. Para o melhor entendimento dos princípios envolvidos, Galileu fez inúmeras
descrições experimentais caracterizando, com razoável precisão, as características dos
materiais utilizados.

5. Umas vez estabelecidos os princípios básicos da RM, houve uma série de inovações e de melhorias
nos processos experimentais.
 No século XVIII destacan-se:
 Saint-Venant (princípio de Saint-Venant);
 Poisson (coeficiente de Poisson);
 Lamé
 Navier
A Resistência dos Materiais passou por muitos nomes:
 Mecânica dos sólidos
 Mecânica dos materiais
 Mecânica dos corpos deformáveis, etc

6. Forças Externas
Um corpo pode ser submetido à várias forças externas, ou seja, pode sofrer a ação de vários
agentes externos:
 Cargas acidentais em pontes, lajes, etc
 Força do vento em edifícios altos;
 Empuxo da água em reservatórios.
Estas forças podem assumir características distintas conforme sua conformação de aplicação.
 Cargas pontuais
 Cargas distribuídas uniformemente
 Cargas triangulares
 Cargas trapezoidais
 Cargas irregulares
 E muitos outros tipos

7. Classificam-se as forças externas como:
1. Forças de superfície: Ocorrem quando há contato de superfície entre dois corpos. Em
todos os casos essas forças são distribuídas em ambos os corpos pela área de contato.
2. Força de corpo: Ocorre quando um corpo exerce uma força sobre outro sem que se tenha
contato direto entre os dois corpos. Um exemplo é a força da gravidade, medida como
sendo uma força concentrada (peso passando pelo centro de gravidade do corpo).
Tipos de Forças Externas
Forças de Superfície: Forças geradas pelo contato de superfície entre dois corpos. Avalia-se a
dimensão desse carregamento como sendo distribuído por toda a área de contato.
Note que, se a área de contato for muito pequena, o carregamento pode ser considerado como
sendo pontual (quando em duas direções ou linear quando em uma direção).

8. Exemplos:
1. Reservatório: Tem-se a interação entre dois corpos, a água e o reservatório (paredes e laje de
fundo). No reservatório atuam cargas oriundas do empuxo (pressão) da água distribuída ao
longo da área de contato entre ambos os corpos (área interna do reservatório).

9. Vigas: Uma viga, tipicamente, tem uma dimensão muito superior as demais, ou seja, tem um
comprimento (l) bem maior que a largura e altura da seção. A viga além de carregar o peso
próprio (2.500 (Kg/m3) -> 25(KN/m3)), deve carregar o peso de paredes, eventuais cargas
acidentais e outras oriundas da estrutura até ela. Nesses casos pode-se considerar que as ações
são distribuídas de forma linear sobre a mesma.
As cargas lineares são representadas
pela razão entre unidade de força e de
distância (peso/dist.). No caso acima
temos (10KN/m e 5KN/m). -> 1Ton e
500Kg

10. No exemplo acima temos uma parede que recebe uma carga distribuída linearmente (da
cobertura?) e uma carga pontual sobre um pilar.

11. Cargas Concentradas
As cargas concentradas exercem uma força sobre uma área relativamente pequena, portanto são
consideradas como pontuais.
Exemplo: Um cofre sobre uma laje.
A carga concentrada é representada por um vetor com intensidade, sentido e direção. No caso de
nosso cofre temos, por exemplo:
Direção perpendicular a laje
Sentido para baixo
Intensidade de 10KN

12. Cargas concentradas são expressas em unidades de força, ou seja, o produto entre a massa e
a ação da gravidade: m x g -> [kg x m/s2] => [N].
Lembrando de 1Kgf = 10[N]
Cargas Distribuídas Linearmente
Como vimos anteriormente, a carga é considerada linear quando aplicada sobre uma
superfície muito estreita. Criando uma linha de carga.
Exemplos:
Temos duas linhas de carga: uma de
10KN/m outra de 5KN/m.
(10KN/m x 4m) + (5KN/m x 4m) = 60KN

13. As cargas distribuídas podem ser representadas por forças pontuais, é um artifício necessário
para se poder calcular as demais tensões atuantes no corpo.
40(KN)
20(KN)

14. Exemplos: Uma viga de 4 metros de comprimento com 2 apoios A e B. Uma força distribuída de
10 (KN/m) é aplicada ao longo da viga. Qual a carga pontual equivalente (força resultante) e
onde será aplicada?
FR = 10KN/m x 4m = 40KN
A força resultante será aplicada no centro de
gravidade do diagrama de força distribuída.
Neste caso, a 2 metro do apoio A.
Diagrama equivalente

15. `Na mesma viga são aplicadas 2 cargas distribuídas. Determinar as forças resultantes e suas
devidas posições.
R1= 15KN/m x 1m= 15KN R2= 10KN x 1m= 10KN,
aplicadas em relação ao apoio A
R1= 0,5m R2= 3,5m

16. Nem sempre as cagas distribuídas são uniformes. De fato elas podem variar ao longo da
estrutura. Nestes casos a força resultante (FR) é equivalente a área do diagrama de forma da
carga distribuída. O ponto de aplicação da carga será o centro de gravidade do diagrama.
Tipos mais comuns de distribuição de cargas:
- Carga triangular, tipicamente a conformação das cargas de pressão em reservatórios, ou de
aterros.
R= (4m x 20KN/m)/2
R= 20KN
O ponto de aplicação da carga:
1/3 x 4m = 1.333m

17. Outro tipo de carga comum é a trapezoidal: Neste caso pode-se substituir o trapézio por um
a carga retangular e outra triangular.
Solução1:
R1= (15x4)/2= 30KN
R2= 5x4= 20KN
R1+R2= 50KN
Posição de R1 e R2
R1= 1/3x4= 1.33m
R2= 4/2= 2m

18. Na solução 2, tratamos a carga como um único trapézio. Lembrando que a áreade um
trapézio é:
(p+q)/2 . l
(20 + 5)/2.4= 50KN
A carga é aplicada no centroide do trapézio: l/3.(2.p.q/(p+q))
4/3.(2.20.5)/(20+5)= 1.6m
Tanto a solução 1 como a 2
produzem um sistema estrutural
(estática) idênticos.
Isso em termos macroscópicos. Em
termos microscópicos, como
veremos, as tensões se distribuem
de forma um pouco diferente.
(Princípio de Saint-Venant)

19. Cargas Distribuídas por Área
Como citado anteriormente, as cargas distribuídas por área são as que são aplicadas em
superfícies de contato relativamente grande, portanto, devem ser consideradas como tal.
Para termos a carga resultante, temos que multiplicar a carga distribuída pela área de contato.
No caso acima temos: 75KN/m3 x 3m2 => FR= 25KN

20. Exemplo de carga distribuída por área.
Uma caixa d’água tem as seguintes medidas 2m x 2m x 1.5m e está cheia d’água.. Qual a
carga distribuída sobre a laje de fundo?
Volume do reservatório: 2mx2mx1,5m= 6m3  6m3= 6Tf => 60KN
Área da laje de fundo= 2mx2m= 4m2
Carga distribuída= 60Kn/4m2= 15KN/m2
Reações de Apoio
As forças que se desenvolvem nos apoios ou nos pontos de contato entre dois corpos são
denominadas de reações. Para problemas bidirecionais (coplanares) os apoios mais comuns são:

21. Cada tipo de apoio, submetido a um conjunto de forças, deverá desenvolver forças equivalentes
contrárias restringindo os movimentos do corpo.

22. O equilíbrio de um corpo exige o equilíbrio de forças, ou seja, para impedir a translação ou
um movimento qualquer do corpo deve-se ter reações que impeçam eventuais desequilíbrios.
Essa condição pode ser expressa pelas equações vetoriais de equilíbrio
Equilíbrio de Forças ou Equações de Equilíbrio
𝐹 = 0
𝑀 = 0
Onde ∑ F é a somatória de todas as forças e ∑ M a somatória de todos os momentos. Para um
sistema estático estas somatórias devem ser igual a 0, caso contrário tem-se um sistema dinâmico
ou hipostático (Tem um número de equações inferior ao necessário para garantir a estabilidade do
corpo).

23. No caso de um sistema coplanar, tem-se o equilíbrio nos eixos X e Y e as equações serão as
seguintes:
𝐹𝑥 = 0 𝐹𝑦 = 0 𝑀 𝑜 = 0
Já no caso de um sistema tridimensional ter-se-á, inclusive, o equilíbrio no eixo z.
𝐹𝑥 = 0 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑧 = 0
𝑀 𝑥 = 0 𝑀 𝑦 = 0 𝑀𝑧 = 0
A aplicação correta das equações de equilíbrio exige a especificação completa de todas as
forças atuantes sobre o corpo. A melhor maneira de se fazer isso é por meio de “diagrama
de corpo livre” do sistema.
Exemplos:

25. Cargas Resultantes Internas
Nos problemas de RM uma das aplicações mais importantes é a de se poder determinar as
forças e os momentos resultantes que agem no interior de um corpo e quais deverão ser as
condições necessárias para se manter a integridade desse corpo quando submetido a cargas
externas (cargas de serviço).
Para se saber o valor das tensões internas
deve-se imaginar um corte de seção que
passe pelo ponto de análise desejado.
Assim pode-se determinar os esforços
atuantes no plano da seção. Este método
é denominado “método das seções”.

26. Na seção se desenvolvem várias forças oriundas das forças externas. Uma vez determinados os
valores dessas forças e momentos pode-se verificar se o material poderá resistir ou não às
condições de serviço.

28. Recapitulando
• Resistência dos materiais é o estudo da relação entre as cargas externas de serviço sobre um corpo e as
cargas internas desenvolvidas nesse corpo.
• Forças externas podem ser aplicadas a um corpo como cargas de superfície, distribuídas ou concentradas
ou como forças de corpo que agem em todo o volume do corpo.
• Cargas lineares distribuídas produzem uma força equivalente cujo valor é igual a área sob o diagrama de
carga e cuja localização passa pelo centroide dessa área.
• Um apoio produz uma força em uma determinada direção sobre o elemento a ele acoplado se ele
impedir a translação do elemento naquela direção e produz um momento sobre o elemento se ele
impedir a rotação.
• As equações de equilíbrio devem ser satisfeitas de modo a impedir translação ou rotação de um
elemento.
• Ao aplicarmos as equações de equilíbrio é importante desenhar os diagramas de corpo livre de modo a
considerar todos os termos necessários às equações.
• O método das seções é usado para a determinação das cargas resultantes internas que agem numa
seção. Geralmente essas resultantes são: força normal, cisalhamento, momento torçor e momento fletor.

29. Exemplos
1) Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em C da viga mostrada
na figura abaixo.
O problema pode ser resolvido
de forma mais direta se
analisarmos diretamente o
segmento CB.
A carga máxima do triângulo de cargas
fica (para o segmento CB) em 180KN
(Proporção de triângulos)
FR= bxh/2 -> 180x6/2=540KN
Posição 1/3x6= 2m
Equações de equilíbrio:
∑Fx=0 Nc=0
∑Fy=0 Vc= -540KN
∑Mc=0 -Mc= -540x2 = 1080KM.m

30. 2) Determine as cargas resultantes internas que agem na seção transversal em C do eixo de
máquina mostrado na figura abaixo. O eixo está apoiado nos mancais em A e B, que exercem
somente forças verticais.

31. Reações de apoio:
∑MB=0;
-Ay*0.4m + 120N*0.125m – 225N*0.1m =0
Ay= -18.75N
O sinal negativo, mostra que o momento
em Ay é para baixo (inverso da figura).
Segmento AC
∑Fx= 0;
∑Fy= 0 -18.75N - 40N – Vc = 0;
Vc= -58.8N
∑Mc=0 40*0.025m +18.75*0.25m +Mc = 0;
Mc= -5.69N.m
800N/m *0.05m= 40N

32. 3) O guindaste da figura abaixo é composto pela viga AB e roldanas acopladas, além do cabo
do motor. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção C se o motor estiver
levantando a carga W de 2KN (200Kg) com velocidade constante. Despreze o peso próprio da
estrutura.
A forma mais direta de resolver o
sistema é partindo da seção C e
considerar o segmento esquerdo.
Veja a figura (b)
m
∑Fx= 0 -> 2KN + Nc= 0 => Nc= -2KN;
∑Fy= 0-> -2KN –Vc= 0=> Vc= -2KN
∑Mc= 0-> 2KN*1.125m – 2KN*0.125m +Mc= 0
Mc= -2KN.m

33. 4) Calcular as reações internas resultantes que agem na seção transversal E da viga de
madeira da figura abaixo. Considerar as articulações em A, B, C, D e E como acopladas por
pinos.
ME= 0 1.5KN*5m + 0.9Kn*2m – FBC*1.5m=0
FBC= 6.2KN -> Ex= -6.2KN
Ey= 1,5KN + 0.9KN= 2.4KN