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Profa. Tereza Denyse P. de Araújo
Março / 2017
Roteiro de aula
 Esforços Internos
 Conceito de Tensão
 Estado Geral de Tensão
 Tensão Normal Média
 Tensão de Cisalhamento Média
 Tipos de cisalhamento
 Tensões admissíveis
 Projeto de Elementos com Ligações Simples
2
Esforços Internos
3
Esforços Internos
4
Esforços Internos
5
Esforços Internos
6
Esforços em Diferentes Níveis
7
Conceito de Tensão
8
Conceito de Tensão
9
Conceito de Tensão
10
A
P




A
V




Estado Geral de Tensão
11
Estado Geral de Tensão
12
Estado Geral de Tensão
13
Tensão Normal Média
14
Tensão Normal Média
15
Tensão Normal Média
16
Equilíbrio vertical do elemento
Estado de Tensão Uniaxial
17
Exemplo 1.6
 A barra da figura abaixo tem largura constante de 35 mm e
espessura de 10 mm. Determine a tensão normal média máxima
desenvolvida na barra quando está submetida à carga mostrada.
18
Exemplo 1.9
 O elemento AC, mostrado na figura abaixo, está submetido a
uma força vertical de 3 kN. Determine a posição x dessa força de
modo que a tensão de compressão média no apoio liso C seja
igual à tensão de tração média atuante na barra AB. A área da
seção transversal da barra é 400 mm2 e a área em C é 650 mm2.
19
Exemplo 1.37
 O mancal de encosto está sujeito às cargas mostradas.
Determine a tensão normal média desenvolvida nas seções
transversais que passam pelos pontos B, C e D. Faça um
rascunho dos resultados sobre um elemento de volume
infinitesimal localizado em cada seção.
20
Exemplo 1.44
 A luminária de 250 N é sustentada por três hastes de aço
interligadas por um anel em A. Determine o ângulo de
orientação q de AC de modo que a tensão normal média na
haste AC seja duas vezes a tensão normal média na haste AD.
Qual é a intensidade da tensão em cada haste? O diâmetro de
cada haste é dado na figura.
21
Tensão de Cisalhamento Média
22
med
Exemplo 1.10
 A barra, mostrada na figura, tem área de seção transversal quadrada
com 40 mm de profundidade e largura. Se uma força axial de 800 N for
aplicada ao longo do eixo que passa pelo centroide da área da seção
transversal da barra, determine a tensão normal média e a tensão de
cisalhamento média que agem no material ao longo do (a) plano de
seção a-a e do (b) plano de seção b-b.
23
Exemplo 1.10
24
Exemplo 1.10
25
Tipos de cisalhamento
26
Tipos de cisalhamento
27
Tipos de cisalhamento
28
Exemplos de cisalhamento
29
Exemplo 1.11
 A escora de madeira mostrada na figura está suspensa por uma
haste de aço de 10 mm de diâmetro que está presa na parede.
Considerando que a escora suporta uma carga vertical de 5 kN,
calcule a tensão de cisalhamento média na haste na parede e ao
longo dos dois planos sombreados da escora, um dos quais é
indicado como abcd.
30
Exemplo 1.11
31
Exemplo 1.11
32
Exemplo 1.39
 A alavanca está presa ao eixo fixo por um pino cônico AB, cujo
diâmetro médio é 6 mm. Se um binário for aplicado à alavanca,
determine a tensão de cisalhamento média no pino entre ele e a
alavanca.
33
Tensões Admissíveis
34
Tensões Admissíveis
35
Projeto de Elementos com Ligações Simples
36
Área da seção transversal de um elemento sob tração
Projeto de Elementos com Ligações Simples
37
Área da seção transversal de um elemento de fixação sujeito a cisalhamento
Projeto de Elementos com Ligações Simples
38
Área necessária para resistir ao esmagamento
Projeto de Elementos com Ligações Simples
39
Tensão de Esmagamento
Projeto de Elementos com Ligações Simples
40
Área necessária para resistir ao cisalhamento causado por uma carga axial
Exemplo 1.15
 A haste suspensa está apoiada em sua extremidade por um disco
circular fixo acoplado como mostra a figura (a). Se a haste passar por
um orifício de 40 mm de diâmetro, determine o diâmetro mínimo
exigido para a haste e a espessura mínima do disco necessária para
suportar a carga de 20 kN. A tensão normal admissível para a haste é
60 MPa e a tensão admissível de cisalhamento para o disco é 35 MPa.
41
Exemplo 1.15
42
Exemplo 1.17
 A barra rígida AB da figura é sustentada por uma haste de aço AC de 20
mm de diâmetro e um bloco de alumínio com área de seção
transversal de 1.800 mm2. Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C
estão submetidos a cisalhamento simples. Se as tensões de ruptura do
aço e do alumínio forem (aço)rup = 680 MPa e (al)rup = 70 MPa,
respectivamente, e a tensão de ruptura por cisalhamento para cada
pino for (aço)rup = 900 MPa, determine a maior carga P que pode ser
aplicada à barra. Aplique um fator de segurança FS = 2.
43
Exemplo 1.81
 A junta está presa por dois parafusos. Determine o diâmetro
exigido para os parafusos se a tensão de ruptura por
cisalhamento para os parafusos for rup = 350 MPa. Use um fator
de segurança para cisalhamento FS = 2,5.
44
Exemplo 1.84
 O tamanho a do cordão de solda é determinado pelo cálculo da
tensão de cisalhamento média ao longo do plano sombreado,
que tem a menor seção transversal. Determine o menor
tamanho a das duas soldas se a força aplicada à chapa for P =
100 kN. A tensão de cisalhamento admissível para o material da
solda é adm = 100 MPa.
45
100 mm
Exemplo 1.93
 Determine as menores dimensões do eixo circular e da tampa
circular se a carga que devem suportar é P = 150 kN. A tensão de
tração, a tensão de apoio (esmagamento) e a tensão de
cisalhamento admissíveis são 175 MPa, 275 MPa e 115 MPa,
respectivamente.
46
AP1 – 04/06/2013
 A carga P é suportada por um pino de aço que foi inserido em uma
peça de madeira curta pendurada no teto. As resistências última à
tração e ao cisalhamento da madeira utilizada são 60 MPa e 7,5 MPa,
respectivamente, enquanto que a resistência última ao cisalhamento
do aço é 145 MPa. Sabendo que b = 40 mm, c = 55 milímetros e d = 12
milímetros, determine a carga máxima P se um fator de segurança
global de 3,2 é desejável.
47
AP1 – 24/04/2014
 Na estrutura de aço mostrada, um pino de 6 mm de diâmetro é
utilizado em C e os pinos de 10 mm de diâmetro são usados ​​em B e D.
A tensão última ao cisalhamento é 150 MPa em todas as conexões, e a
tensão normal última é 400 MPa na barra BD. Sabendo que um fator
de segurança 3 é desejado, determine a maior carga P que pode ser
aplicada em A. Note que a barra BD não é reforçada em torno dos
furos do pino e considere que a barra ABC é rígida.
48
AP1 – 29/04/2015
 A barra AC é um tubo de aço quadrado de 100 mm de lado e com
espessura de parede de 6,25 mm. A barra é suportada pelo pino A de
diâmetro igual a 12,5 mm, e pelo cabo BC, com diâmetro de 9,5 mm.
As tensões normais admissíveis para o cabo e a barra são 170 MPa e
120 MPa, respectivamente. A tensão de cisalhamento admissível no
pino é 95 MPa. Desprezando o peso da barra, determine a maior carga
P que pode ser aplicada no sistema (ver figura).
49
AP1-SC – 14/05/2015
 A ligação da barra AC ao apoio A da treliça abaixo é feita por meio de
uma tampa de aço montada em ranhuras na barra de madeira
conforme indicado abaixo. As tensões admissíveis para o poste são 1,8
MPa em cisalhamento paralelo à fibra, 5,5 MPa em esmagamento no
plano perpendicular à fibra e 22 MPa em tração na direção das fibras.
Determine as menores dimensões a e b, e o máximo valor de a.
50
AP1- 11/05/2016
 Calcule a máxima força P que pode ser aplicada no pedal em A.
O diâmetro do pino (ver figura) em B é 6,0 mm e sua tensão de
cisalhamento admissível é 28 MPa. O cabo em C tem um
diâmetro de 3 mm e sua tensão normal admissível é 140 MPa.
51
Detalhe da ligação em B

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  • 1. Profa. Tereza Denyse P. de Araújo Março / 2017
  • 2. Roteiro de aula  Esforços Internos  Conceito de Tensão  Estado Geral de Tensão  Tensão Normal Média  Tensão de Cisalhamento Média  Tipos de cisalhamento  Tensões admissíveis  Projeto de Elementos com Ligações Simples 2
  • 11. Estado Geral de Tensão 11
  • 12. Estado Geral de Tensão 12
  • 13. Estado Geral de Tensão 13
  • 16. Tensão Normal Média 16 Equilíbrio vertical do elemento
  • 17. Estado de Tensão Uniaxial 17
  • 18. Exemplo 1.6  A barra da figura abaixo tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determine a tensão normal média máxima desenvolvida na barra quando está submetida à carga mostrada. 18
  • 19. Exemplo 1.9  O elemento AC, mostrado na figura abaixo, está submetido a uma força vertical de 3 kN. Determine a posição x dessa força de modo que a tensão de compressão média no apoio liso C seja igual à tensão de tração média atuante na barra AB. A área da seção transversal da barra é 400 mm2 e a área em C é 650 mm2. 19
  • 20. Exemplo 1.37  O mancal de encosto está sujeito às cargas mostradas. Determine a tensão normal média desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B, C e D. Faça um rascunho dos resultados sobre um elemento de volume infinitesimal localizado em cada seção. 20
  • 21. Exemplo 1.44  A luminária de 250 N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A. Determine o ângulo de orientação q de AC de modo que a tensão normal média na haste AC seja duas vezes a tensão normal média na haste AD. Qual é a intensidade da tensão em cada haste? O diâmetro de cada haste é dado na figura. 21
  • 22. Tensão de Cisalhamento Média 22 med
  • 23. Exemplo 1.10  A barra, mostrada na figura, tem área de seção transversal quadrada com 40 mm de profundidade e largura. Se uma força axial de 800 N for aplicada ao longo do eixo que passa pelo centroide da área da seção transversal da barra, determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem no material ao longo do (a) plano de seção a-a e do (b) plano de seção b-b. 23
  • 30. Exemplo 1.11  A escora de madeira mostrada na figura está suspensa por uma haste de aço de 10 mm de diâmetro que está presa na parede. Considerando que a escora suporta uma carga vertical de 5 kN, calcule a tensão de cisalhamento média na haste na parede e ao longo dos dois planos sombreados da escora, um dos quais é indicado como abcd. 30
  • 33. Exemplo 1.39  A alavanca está presa ao eixo fixo por um pino cônico AB, cujo diâmetro médio é 6 mm. Se um binário for aplicado à alavanca, determine a tensão de cisalhamento média no pino entre ele e a alavanca. 33
  • 36. Projeto de Elementos com Ligações Simples 36 Área da seção transversal de um elemento sob tração
  • 37. Projeto de Elementos com Ligações Simples 37 Área da seção transversal de um elemento de fixação sujeito a cisalhamento
  • 38. Projeto de Elementos com Ligações Simples 38 Área necessária para resistir ao esmagamento
  • 39. Projeto de Elementos com Ligações Simples 39 Tensão de Esmagamento
  • 40. Projeto de Elementos com Ligações Simples 40 Área necessária para resistir ao cisalhamento causado por uma carga axial
  • 41. Exemplo 1.15  A haste suspensa está apoiada em sua extremidade por um disco circular fixo acoplado como mostra a figura (a). Se a haste passar por um orifício de 40 mm de diâmetro, determine o diâmetro mínimo exigido para a haste e a espessura mínima do disco necessária para suportar a carga de 20 kN. A tensão normal admissível para a haste é 60 MPa e a tensão admissível de cisalhamento para o disco é 35 MPa. 41
  • 43. Exemplo 1.17  A barra rígida AB da figura é sustentada por uma haste de aço AC de 20 mm de diâmetro e um bloco de alumínio com área de seção transversal de 1.800 mm2. Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamento simples. Se as tensões de ruptura do aço e do alumínio forem (aço)rup = 680 MPa e (al)rup = 70 MPa, respectivamente, e a tensão de ruptura por cisalhamento para cada pino for (aço)rup = 900 MPa, determine a maior carga P que pode ser aplicada à barra. Aplique um fator de segurança FS = 2. 43
  • 44. Exemplo 1.81  A junta está presa por dois parafusos. Determine o diâmetro exigido para os parafusos se a tensão de ruptura por cisalhamento para os parafusos for rup = 350 MPa. Use um fator de segurança para cisalhamento FS = 2,5. 44
  • 45. Exemplo 1.84  O tamanho a do cordão de solda é determinado pelo cálculo da tensão de cisalhamento média ao longo do plano sombreado, que tem a menor seção transversal. Determine o menor tamanho a das duas soldas se a força aplicada à chapa for P = 100 kN. A tensão de cisalhamento admissível para o material da solda é adm = 100 MPa. 45 100 mm
  • 46. Exemplo 1.93  Determine as menores dimensões do eixo circular e da tampa circular se a carga que devem suportar é P = 150 kN. A tensão de tração, a tensão de apoio (esmagamento) e a tensão de cisalhamento admissíveis são 175 MPa, 275 MPa e 115 MPa, respectivamente. 46
  • 47. AP1 – 04/06/2013  A carga P é suportada por um pino de aço que foi inserido em uma peça de madeira curta pendurada no teto. As resistências última à tração e ao cisalhamento da madeira utilizada são 60 MPa e 7,5 MPa, respectivamente, enquanto que a resistência última ao cisalhamento do aço é 145 MPa. Sabendo que b = 40 mm, c = 55 milímetros e d = 12 milímetros, determine a carga máxima P se um fator de segurança global de 3,2 é desejável. 47
  • 48. AP1 – 24/04/2014  Na estrutura de aço mostrada, um pino de 6 mm de diâmetro é utilizado em C e os pinos de 10 mm de diâmetro são usados ​​em B e D. A tensão última ao cisalhamento é 150 MPa em todas as conexões, e a tensão normal última é 400 MPa na barra BD. Sabendo que um fator de segurança 3 é desejado, determine a maior carga P que pode ser aplicada em A. Note que a barra BD não é reforçada em torno dos furos do pino e considere que a barra ABC é rígida. 48
  • 49. AP1 – 29/04/2015  A barra AC é um tubo de aço quadrado de 100 mm de lado e com espessura de parede de 6,25 mm. A barra é suportada pelo pino A de diâmetro igual a 12,5 mm, e pelo cabo BC, com diâmetro de 9,5 mm. As tensões normais admissíveis para o cabo e a barra são 170 MPa e 120 MPa, respectivamente. A tensão de cisalhamento admissível no pino é 95 MPa. Desprezando o peso da barra, determine a maior carga P que pode ser aplicada no sistema (ver figura). 49
  • 50. AP1-SC – 14/05/2015  A ligação da barra AC ao apoio A da treliça abaixo é feita por meio de uma tampa de aço montada em ranhuras na barra de madeira conforme indicado abaixo. As tensões admissíveis para o poste são 1,8 MPa em cisalhamento paralelo à fibra, 5,5 MPa em esmagamento no plano perpendicular à fibra e 22 MPa em tração na direção das fibras. Determine as menores dimensões a e b, e o máximo valor de a. 50
  • 51. AP1- 11/05/2016  Calcule a máxima força P que pode ser aplicada no pedal em A. O diâmetro do pino (ver figura) em B é 6,0 mm e sua tensão de cisalhamento admissível é 28 MPa. O cabo em C tem um diâmetro de 3 mm e sua tensão normal admissível é 140 MPa. 51 Detalhe da ligação em B