Apostila

Mauro Noriaki Takeda
Aparecido Edilson Morcelli

Resistência dos
Materiais

APRESENTAÇÃO
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Resistência dos Materiais, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) alunos(as)
uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidisciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br,
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso,
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
Unisa Digital

SUMÁRIO
INTRODUÇÃO................................................................................................................................................ 5
1 CONCEITO DE TENSÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO..................................... 7
1.1 Distribuição da Tensão Normal Média......................................................................................................................9
1.2 Exercícios Resolvidos.......................................................................................................................................................9
1.3 Resumo do Capítulo.....................................................................................................................................................12
1.4 Atividades Propostas....................................................................................................................................................13

2 LEI DE HOOKE E MÓDULO DE YOUNG.................................................................................. 15
2.1 Energia de Deformação e Elasticidade Volumétrica........................................................................................15
2.2 Módulo de Resiliência (µr)..........................................................................................................................................17
2.3 Módulo de Tenacidade (µt)........................................................................................................................................18
2.4 Exercício Resolvidos......................................................................................................................................................18

3 ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES........................................................................ 25
3.1 Tensão-Deformação......................................................................................................................................................25
3.2 Módulo de Cisalhamento...........................................................................................................................................26
3.3 Exercícios Resolvidos....................................................................................................................................................27

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................................................ 31
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS...................................... 33
REFERÊNCIAS.............................................................................................................................................. 45

INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a),
Esta apostila destina-se a estudantes de graduação, para os cursos de Engenharia Ambiental, Engenharia de Produção ou afins, para o acompanhamento do conteúdo de Resistência dos Materiais, nos
cursos a distância.
Nela, você lerá a respeito de assuntos referentes ao conceito de tensão, compressão e cisalhamento, deformação, lei de Hooke, módulo de Young, módulo da elasticidade volumétrica, módulo de cisalhamento e análise das tensões e deformações.
Com o intuito de simplificar a exposição dos tópicos abordados, procurou-se, através de uma linguagem simples, expor o conteúdo de forma sucinta e objetiva. Em todos os capítulos, são apresentadas
questões resolvidas, para auxiliar na compreensão do conteúdo teórico e orientar a resolução das atividades propostas. Para complementar a teoria e auxiliar na fixação do conteúdo apresentado, são propostas, ao final de cada capítulo, várias atividades, com grau de dificuldade gradativo.
Além desta apostila, você terá como material de estudo as aulas web, o material de apoio e as aulas
ao vivo. Serão utilizadas como avaliação as atividades, podendo ser atribuída uma nota ou não, e a prova
presencial.
Espera-se que você tenha facilidade na compreensão do texto apresentado, bem como na realização das atividades propostas.
Finalmente, desejamos que você tenha um excelente módulo, estude bastante e aprofunde seu
conhecimento, consultando as referências indicadas no final da apostila.
Mauro Noriaki Takeda
Aparecido Edilson Morcelli

Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br

5

1

CONCEITO DE TENSÃO, COMPRESSÃO E
CISALHAMENTO

Caro(a) aluno(a),
Você já ouviu falar em acidentes causados
pela ruptura de alguma estrutura? Você deve ter
se perguntado: por quê? A resposta está no conceito físico aplicado na engenharia, cuja denominação é resistência dos materiais. Alguns materiais resistem mais do que outros, em função da
sua estrutura e concepção de produção.
A resistência dos materiais é um ramo da
mecânica que estuda as relações entre as cargas
externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças que agem no seu interior.
Você deve observar que o assunto também
envolve o cálculo das deformações do corpo, proporcionando o estudo de sua estabilidade quando sujeito a forças externas.
A intensidade da força, ou força por unidade
de área, que age perpendicularmente à variação
da área, é definida como tensão normal, σ (sig
ma), uma vez que ∆Fz é normal à área, ou seja:

∆Fz
∆A→0 ∆A

σ z = lim

Agora, devemos observar o seguinte:
ƒƒ se a força normal ou tensão existir para
tracionar o elemento de área ∆A , ela
será denominada tensão de tração;
ƒƒ se a força normal ou tensão existir para
comprimir o elemento de área ∆A , ela
será denominada tensão de compressão.

Professor Aparecido, e a tensão de cisalhamento? Já ouvi falar muito dela. Bom! É importante analisar a seguinte situação: a tensão de cisalhamento é a intensidade da força, ou força por
unidade de área, que age tangente a ∆A . Aqui,
vamos designá-la pela letra grega ‘tau’, ou seja,
a tensão de cisalhamento
. Vamos analisar os
componentes da tensão de cisalhamento:

τ

τ zx

∆Fx
= lim
∆A→0 ∆A

τ zy = lim

∆Fy

∆A→ 0

Atenção
ATENÇÃO

ATENÇÃO

∆A

ATENÇÃO

A notação do índice z em
é usada para indicar a direção da reta normal dirigida para fora,
que especifica a orientação da área
Na tensão de cisalhamento, são usados dois índices para os componentes
. Observe
que o eixo z especifica a orientação da área e x e
y referem-se às retas que indicam a direção das
tensões de cisalhamento.

Você deve lembrar que as unidades utilizadas no Sist
Você deve lembrar que as unidades

Você deve Unidades (SI) para os valores dautilizadas no Sistema Inte
lembrar que as unidades tensão normal e da tensão

Unidades (SI) para os valores da tensão norm

especificadas nasda tensão normal e
unidades básicas:
Unidades (SI) para os valores especificadas nas unidadesda tensão de cisal
básicas:

especificadas nas unidades básicas:


7

Agora, vamos analisar as reações de apoio. Note que a
Agora, vamos analisar as reações de a
desenvolvem-se nos apoios ou pontos de contato entre os corpos.

Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

Você deve lembrar que as unidades utilizadas no Sistema Internacional de Unidades (SI)
para os valores da tensão normal e da tensão de
cisalhamento são especificadas nas unidades básicas:

Agora, vamos analisar as reações de apoio.
Note que as forças de superfície desenvolvem-se
nos apoios ou pontos de contato entre os corpos.

N
=P
a
2
m
Figura 1 – Representação esquemática das forças e do momento aplicados ao ponto.

Figura 1 – Representação esquemática das forças e do momento aplicados ao ponto.

 
 
 
∑F = 0 ∑F = 0 ∑F = 0

Em muitas situações, analisamos o corpo na
condição de equilíbrio, exigindo um equilíbrio de
,
e
y
z
x
forças, para Em muitastranslação ou o movimen-corpo na condição de equilíbrio, exigindo um
impedir a situações, analisamos o
e
to acelerado do corpo ao longo de uma trajetória
equilíbrioede forças, para impedir a translação ou o movimento acelerado do corpo ao
reta ou curva, um equilíbrio de momentos, para





impedir que o corpo gire. Essas condições podem
∑ Mx = 0, ∑ M y = 0 e ∑ M
longo de uma trajetória reta ou curva, e um equilíbrio de momentos, para impedir quezo =
ser expressas pelas equações:

 
∑F = 0


0

corpo gire. Essas condições podem ser expressas pelas equações:
Na prática da engenharia, muitas vezes,
a carga sobre um corpo pode ser representada
através de um sistema de forças coplanares.
e



∑ Mo = 0

e
Para um sistema de coordenadas x, y e z,
com origem no ponto o, os vetores força e momento podem ser resolvidos em componentes ao
longo dos eixos coordenados, sendo as equações
escritas da seguinte forma:
Para um sistema de coordenadas x, y e z, com origem no ponto o, os vetores força e
momento podem ser resolvidos em componentes ao longo dos eixos coordenados, sendo
as equações escritas da seguinte forma:

8

,
e

ática da engenharia, muitas vezes, a carga sobre um corpo pode ser
Resistência dos Materiais

através de um sistema de forças coplanares.

1.1 Distribuição da Tensão Normal Média

ção da Tensão Normal Média

A tensão normal média, em qualquer ponto
Vamos, agora, analisar uma barra que esda deformação
s, agora,teja submetida a uma que esteja submetida ea uma área da seção transversal, será dada por:
analisar uma barra deformação uniforme
constante. Essa deformação é o resultado de uma
onstante. Essa deformação é o resultado de uma tensão normal constante
tensão normal constante
. Você deve observar
ve observar que cada áreada seçãoseção transversal está submetida a uma
da transversal está subque cada área ∆A
metida a uma força dada por:
or:

σ

P
σ=
A

∆F = σ ⋅ ∆A

ve que a soma dessas forças que agem em toda a área da seção transversal
Observe que a soma dessas forças que
agem em toda a área da seção transversal deve
.
valente àser equivalente à interna
força resultante força resultante interna
.


P

ou
1.2 Exercícios Resolvidos

ão normal média, em qualquer ponto da área da seção transversal, será dada

1.2 Exercícios Resolvidos

1. Uma tábua uniforme de 50

respectivamente, conforme a fig

gravidade da tábua e a criança de

a) 400 N, respectivamen1. Uma tábua uniforme de 50 N suporta duas crianças, que pesam 500 N ea força para cima, em N, exercid
b) onde a criança de 400
te, conforme a figura. Estando o suporte da gangorra sob o centro de gravidade da tábua e aN deve se
criança de 500 N a 1,2 m do centro, determine:
Figura Gangorra.
Figura 2 – 2 – Gangorra.

a) a força para cima, em N, exercida pelo suporte sobre a tábua;
b) onde a criança de 400 N deve sentar-se, a fim de equilibrar o
sistema.

Fonte: Serway (1996).



9
Resolução:


Resolução:
a) A somatória das forças na direção y deverá ser igual a zero, ou seja, ΣFy = 0; portanto, temos:
N − P(500 ) − P(5 ) − P(400 ) = 0
0
N − 500 − 5 − 400 = 0
0
N − 900 = 0

N = 900 N
b) Para que o sistema fique em equilíbrio, a somatória dos momentos deverá ser igual a zero, ou
seja, ∑Mo = 0. Considerando o polo no ponto em que o suporte da gangorra está apoiado (centro de gravidade da tábua), os momentos das duas crianças serão:
M = F⋅d

M(500 ) = 500 ⋅ 1,2
M(500 ) = 600 N ⋅ m
e
M(400 ) = −400 ⋅ x
Portanto:
600 − 400 ⋅ x = 0
400 ⋅ x = 600

600
400
x = 1,5 m
x=

2. Imagine uma caixa de 200 kg de massa, suspensa utilizando cordas entre o ponto de apoio, a
caixa e a tração na horizontal. Cada corda pode suportar uma força máxima de 10 kN antes de
se romper. Qual é o menor ângulo θ em que a caixa pode ser suspensa, sem que uma das cordas rompa-se? Adote g = 9,81 m/s2.
Resolução:
Antes de iniciarmos a resolução, vamos analisar o esquema a seguir. Você sempre deve realizar um
esquema do problema, para verificar as forças que estão atuando.

10


Vamos iniciar pelo estudo do equilíbrio do anel no ponto A. Existem


Vamos iniciar pelo estudo do equilíbrio do anel no ponto A.ponto A. três forças atuando nele. A
Vamos iniciar pelo estudo do equilíbrio do anel no Existem Existem três forças

intensidade de FD é igual ao peso da caixa,é igual ao peso da caixa, ou seja:
ou seja:
atuando nele. A intensidade de

Agora, vamos analisar as de equilíbrio. Analisando as equações equações de
Agora, vamos analisar as equações equações de equilíbrio. Analisando as de equilíbrio ao longo
dos eixos x e y temos: longo dos eixos x e y temos:
equilíbrio ao

ƒƒ para o eixo x:

para o eixo x:

∑ Fx = 0
− FC cosθ + FB = 0
para o eixo y:
ƒƒ para o eixo y:

FC =

FB
cosθ

∑ Fy = 0
FC senθ − 1962 N = 0
A corda em AC atingirá a força de tração máxima de 10 kN antes da corda AB.
A corda FC AC atingirá a força de
Portanto,em = 10 kN = 10 x 103 N. tração máxima de 10 kN antes da corda AB. Portanto, FC = 10 kN
= 10 x 103 N.

Calma! Determinamos apenas o ângulo. Agora, vamos substituir na equação para
obter o valor de FB.
A força desenvolvida na corda AB pode ser obtida substituindo os valores de θ e FC,
dada a equação:


11


Calma! Determinamos apenas o ângulo. Agora, vamos substituir na equação para obter o valor de
FB.
A força desenvolvida na corda AB pode ser obtida substituindo os valores de θ e FC, dada a equação:

FC =

FB
cosθ

FC =

FB
⇒ FB = FC cos θ
cos θ

FC =

FB
⇒ FB = FC cos θ
cos θ

Podemos concluir que a tração na corda, nas condições dadas, é menor que a força máxima para
Podemos concluir que a tração na corda, nas condições dadas, é menor que a força
romper a corda de 10 kN.
máxima para romper a corda de 10 kN.

1.3 Resumo do Capítulo
do Capítulo
1.3 Resumo
Caro(a)Caro(a) aluno(a),
aluno(a),
Neste capítulo, você estudou que a resistência dos materiais é um ramo daé um ramo da
Neste capítulo, você estudou que a resistência dos materiais mecânica que estuda
as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças que
mecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo
agem no seu interior. Se a força normal ou tensão existir para tracionar o elemento de área ∆A , ela será
deformável e de tração, mas, se forças que agem no seu interior. Se a ∆A , normal ou
denominada tensão a intensidade dasexistir para comprimir o elemento de áreaforça será denominada
tensão de compressão. tracionar o elemento de área
tensão existir para
, ela será denominada tensão de
tração, mas, se existir para comprimir o elemento de área

, será denominada tensão de

compressão.
1.4 Atividades Propostas
1. Um peso de 50 N está seguro pelas mãos, com o antebraço fazendo ângulo de 90° com o
braço, como indica a figura. O bíceps exerce a força

, aplicada a 3 cm da articulação O

do cotovelo. O peso encontra-se a 30 cm da articulação. Determine:
a) o módulo da força

12

;

b) a força exercida pelo braço sobre a articulação do cotovelo.



1. Um peso de 50 N está seguro pelas mãos, como antebraço fazendo ângulo de 90° com o braço,
Figura 3 – Antebraço.
como indica a figura. O bíceps exerce a força Fb , aplicada a 3 cm da articulação O do cotovelo.
O peso encontra-se a 30 cm da articulação. Determine:



a) o módulo da força Fb ;
b) a força exercida pelo braço sobre a articulação do cotovelo.


2. Uma prancha de comprimento L = 4 m e
2. Uma prancha de comprimento L = 4 m e massa M = 3 kg está apoiada, nas extremidades, nas
nas plataformas de duas balanças, como i
plataformas de duas balanças, como indica a figura. Uma carga de massa m = 6 kg está sobre a
sobre 2. Uma prancha de comprimento
prancha, a uma distância x1 =
prancha, a uma distância x1 = 3 m da extremidade esquerda e x2 = 1am da extremidade direita.
Determine as leituras das balanças.
nas direita. Determine as leituras
extremidadeplataformas de duas balanças

sobre a prancha, a uma distânc

Figura 4 Figura 3 – Prancha.
–extremidade direita. Determine a
Prancha.
Figura 4 – Prancha.

Fonte: Tipler (2000).




13

2

LEI DE HOOKE E MÓDULO DE YOUNG

Caro(a) aluno(a),

Em que:

Você já estudou a lei de Hooke. Nesse caso,
vamos aplicá-la em resistência dos materiais.
A lei de Hooke define a relação linear entre
a tensão e a deformação dentro da região elástica, sendo dada pela equação:

σ = Eε

σ
ε

representa a tensão aplicada;
ƒƒ
ƒƒ E representa o módulo de Young;
representa a deformação sofrida
ƒƒ
pelo corpo.
Saiba mais
O módulo de Young somente pode ser utilizado se
o material apresentar uma relação linear elástica.

2.1 Energia de Deformação e Elasticidade Volumétrica

Quando um material é deformado por uma
carga externa, tende a armazenar energia internamente, em todo o seu volume. Como essa energia
está relacionada com as deformações no material,
ela é denominada energia de deformação.
Agora, vamos representar um corpo sofrendo uma deformação em função da carga aplicada
ao corpo.
A tensão desenvolve uma força dada por:

∆F = σ ⋅ ∆A = σ ⋅ (∆x∆y )

Essa variação de força ocorre nas faces superior e inferior do elemento, após ele ter sofrido
um deslocamento
.

ε∆z

A tensão desenvolve uma força dada por:


15


Agora, vamos relembrar o que é trabalho
em física. E o que vamos analisar, professor?
Você pode definir o trabalho pelo produto entre a força e o deslocamento na direção da
força. A deformação aumenta uniformemente de
zero até seu valor final δF , quando é obtido o
deslocamento
; nesse caso, o trabalho realizado pela força sobre o elemento é igual ao valor médio da força  ∆F  vezes o deslocamento


.
 2 

ε∆z

ε∆z

Note que esse trabalho externo é equivalente ao trabalho interno ou energia de deformação armazenada no elemento ou corpo de prova,
quando do ensaio real.
Agora, vamos considerar que nenhuma
energia foi perdida na forma de calor. Nesse caso,
a energia de deformação é:


1
∆U =  ∆F  ⋅ ε ⋅ ∆z

2
1

∆U =  σ∆x∆y  ⋅ ε ⋅ ∆z
2

Lembre-se de que o volume do elemento é
dado por:

∆V = ∆x∆y∆z
Portanto, a energia será dada por:

1
∆U = σ ⋅ ε ⋅ ∆V
2

Vamos definir a densidade de energia de
deformação, que é dada pela equação:

µ=
16

σ = E ⋅ε

Veja que podemos expressar a densidade
de energia de deformação em termos de tensão
uniaxial, como:

1 
µ =  σ  ⋅ε
2 
ou

1  σ
2  E

µ =  σ ⋅
Portanto, temos:

ou

Se o comportamento do material for linear
elástico, a lei de Hooke aplica-se e a equação é
dada por:

∆U 1
= σ ⋅ε
∆V 2

2
1  σ 1σ
µ =  σ ⋅ =
2  E 2 E

Saiba mais
Quando uma barra é confeccionada em material
homogêneo e isotrópico e submetida a uma força
axial que age no centroide da área de seção transversal, o material no interior da barra é submetido
somente à tensão normal, admitindo-se que essa
tensão é uniforme ou média na área da seção transversal.

Quando um material homogêneo e isotrópico é submetido a um estado de tensão triaxial,
a deformação em uma das direções da tensão é
influenciada pelas deformações produzidas por
todas as tensões.



2.2 Módulo de Resiliência (µr)
ê sabe o que é módulo de resiliência?
Você sabe o que é módulo de resiliência?
particular, quando a tensão
atinge o limite de proporcionalidade, a
Em particular, quando a tensão
atinge o limite de proporcionalidade, a
de energia de Você sabe o que é módulo de resiliência?resiliência. O módulo de
deformação é denominada módulo de
energia de deformação é denominada módulo
densidade de energia a tensão σ atinge
de resiliência. O módulo de resiliência é dado
Em particular, quando de deformação é denominada módulo de resiliência. O módulo de por:
dado por:
o limite de proporcionalidade, a densidade de
resiliência é dado por:

ou
ou

Figura 5 – Curva de tensão-deformação.


tensão
Atenção
A resiliência de um material representa a sua capacidade de absorver energia, sem sofrer qualquer dano permanente.

deformação

Atenção
Atenção


17


2.3 Módulo de Tenacidade (µt)

lo de Tenacidade
O módulo de tenacidade é representado
Materiais com alto módulo de tenacidapela área inteira no diagrama de tensão-deformade sofrem grande distorção devido à sobrecarga,
ção; portanto, indica a densidade de deformação
porém podem ser preferíveis aos que possuem
módulo de tenacidade épouco antes dapela áreaEssa pro- diagrama de tensãorepresentado ruptura. inteira no baixo valor de módulo de tenacidade; já os que
do material um
priedade é importante de deformação do material um pouco antes da de tenacidade baixo podem
possuem módulo
ão; portanto, indica a densidadeno projeto de elementos
de estruturas que possam ser sobrecarregadas
sofrer ruptura repentina, sem nenhum sinal dessa
ssa propriedade é importante no projeto de elementos de estruturas que possam
acidentalmente.
ruptura iminente. Ligas de metais podem mudar
arregadas acidentalmente.
sua resiliência e tenacidade.
Figura 6 – Curva de tensão-deformação para a tenacidade.
Figura 6 – Curva de tensão-deformação para a tenacidade.

teriais com 2.4 Exercíciode tenacidade sofrem grande distorção devido à
alto módulo Resolvidos
a, porém podem ser preferíveis aos que possuem baixo valor de módulo de

e; já os que possuem módulo de tenacidade baixo podem sofrer ruptura
1. Um fio de cobre possui uma tensão de ruptura de 30 kgf/mm2 e apresenta uma estricção de
sem nenhum sinal dessa ruptura iminente. Ligas de metais podem mudar sua
77%. Calcule:
a e tenacidade.
a) a tensão verdadeira de ruptura;

cios Resolvidos b) a deformação verdadeira ε V na ruptura.

de cobre possui uma tensão de ruptura de 30 kgf/m m2 e apresenta uma estricção

alcule:

o verdadeira de ruptura;

mação verdadeira

18

na ruptura.


Resolução:
Resolução:
a)
a)

Isolando a carga P e sendo

, temos:

Substituindo os valores, obtemos a expressão dada por:

A área final após a estricção de 77% é dada pela relação:

A tensão verdadeira de ruptura é expressa por:


19

Portanto, temos:


Portanto, temos:

e
e

b) Agora, vamos calcular a deformação verdadeira

na ruptura. Lembre-se de que a

ε

deformação instantânea é dadadeformação verdadeira V natemos: Lembre-se de que a deforma; portanto, ruptura.
b) Agora, vamos calcular a pela derivada
na temos:
b) Agora, vamos calcular a deformação verdadeira
ção instantânea é dada pela derivada dε ; portanto, ruptura. Lembre-se de que a
deformação instantânea é dada pela derivada

; portanto, temos:

A elongação verdadeira é dada pela integral:
A elongação verdadeira é dada pela integral:

Vamos resolver a integral. Lembre-se de que se trata de uma imediata em ambos os membros.
Vamos resolver a integral. Lembre-se de que se trata de uma imediata em ambos os
A solução é:
membros. A solução é:
Vamos resolver a integral. Lembre-se de que se trata de uma imediata em ambos os
membros. A solução é:

Mas temos:

20

e

Mas temos:


Mas temos:

A0 ⋅ el0 = Af ⋅ l f
e

A0 l f
=
A f l0

Portanto, temos:
Portanto, temos:

ε verdadeira

 A0 
=l  
n 
 Af 

A área final será dada por:
A área final será dada por:

Agora, vamos substituir o valor final obtido na deformação verdadeira:

Portanto:

Em porcentagem, corresponde a:
Em porcentagem, corresponde a:

ε verdadeira = 147%
2. Em uma haste de latão, são marcados dois traços, que distam entre si 50,0 mm. A haste é
tensionada, de forma que a distância entre os traços passa a ser 56,7 mm. Calcule a
deformação sofrida pela haste de latão.

21

tensionada, de forma que a distância entre os traços passa a ser 56,7 mm. Calcule a
deformação sofrida pela haste de latão.

2. Em uma haste de latão, são marcados dois traços, que distam entre si 50,0 mm. A haste é tenResolução: sionada, de forma que a distância entre os traços passa a ser 56,7 mm. Calcule a deformação
sofrida pela haste de latão.
Vamos analisar o esquema da tração sofrida pela haste. Observe que o vetor indica
oResolução:a direção da tração aplicada à haste.
sentido e

Vamos analisar o esquema da tração sofrida pela haste. Observe que o vetor indica o sentido e a
direção da tração aplicada à haste.
Figura 7 – Esquema da tração sofrida pela barra.
Figura 7 – Esquema da tração sofrida pela barra.

50 mm

A variação do comprimento é dada por:
A variação do comprimento é dada por:

∆l = l final − linicial

A deformação é dada pela equação:

ε=

∆l
l

Agora, vamos substituir os valores dados:
Agora, vamos substituir os valores dados:

A deformação, em porcentagem, é:

Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, você estudou que, quando um corpo que está submetido a uma
carga externa é secionado, há uma distribuição de forças, que age sobre a área secionada e
mantém cada segmento do corpo em equilíbrio. A intensidade dessa força interna em um

22ponto do corpo é denominada tensão. A lei de Hooke define a relação linear entre a tensão



Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, você estudou que, quando um corpo que está submetido a uma carga externa é
secionado, há uma distribuição de forças, que age sobre a área secionada e mantém cada segmento do
corpo em equilíbrio. A intensidade dessa força interna em um ponto do corpo é denominada tensão. A
lei de Hooke define a relação linear entre a tensão e a deformação dentro da região elástica.


1. Uma haste de latão de 8 mm de diâmetro tem módulo de elasticidade Elatão = 100 GPa. Considerando a haste com 3 m de comprimento e sendo submetida a uma carga axial de 2 kN,
determine:
a) seu alongamento para o diâmetro de 8 mm;
b) o alongamento, se o diâmetro for de 6 mm.

2. Um corpo de prova de aço, com diâmetro original de 12,5 mm e comprimento de referência de
50 mm, foi submetido a um ensaio de tração. Usando os dados apresentados na tabela, construa uma nova tabela descrevendo a tensão e a deformação em cada ponto dado.
Carga (kN)

Alongamento (mm)

0

0

11,1

0,0175

31,9

0,0600

37,8

0,1020

40,9

0,1650

43,6

0,2490

53,4

1,0160

62,3

3,0480

64,5

6,3500

62,3

8,8900

58,8

11,9380


23

3

ANÁLISE DAS TENSÕES E
DEFORMAÇÕES

Figura 8 – Esquema de máquina de tração ou compressão.

Caro(a) aluno(a),
A resistência de um material depende de
sua capacidade de suportar uma carga, sem deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade
é inerente ao próprio material e deve ser determinada por métodos experimentais, como o ensaio
de tração ou compressão.
Uma máquina de teste é projetada para ler
a carga exigida, para manter o alongamento uniforme.

3.1 Tensão-Deformação

σ

A tensão nominal
, ou tensão de engenharia, é determinada pela divisão da carga aplicada P pela área original da seção transversal do
corpo de prova A0.
A tensão é dada pela equação:

P
σ=
A0

L0

Para um comportamento elástico, temos
que:
ƒƒ a tensão é proporcional à deformação;
ƒƒ o material é linearmente elástico.

ε

A deformação nominal
, ou deformação de engenharia, é determinada pela razão da
variação
, no comprimento de referência do
corpo de prova, pelo comprimento de referência
original do corpo de prova L0. A equação é dada
por:

δ

ε=

δ

O escoamento ocorre quando um pequeno
aumento na tensão, acima do limite de elasticidade, resulta no colapso do material, fazendo com
que ele se deforme permanentemente.
Você deve observar que pode ocorrer um
endurecimento por deformação, quando o escoamento tiver terminado. Aplicando uma carga
adicional ao corpo de prova, obtém-se uma cur-


25


va que cresce continuamente, mas se torna mais
achatada, até atingir a tensão máxima, denominada limite de resistência.
Você vai constatar que, no limite de resistência, a área da seção transversal começa a diminuir em uma região localizada do corpo de prova,
causando o que denominamos estricção.
Figura 9 – Máquina de ensaio de tração da marca
Panambra.

Nesse caso, o corpo de prova quebra-se
quando atinge a tensão de ruptura.
Devemos notar que os valores da tensão
e da deformação calculados por essas medições
são denominados tensão real e deformação real.
O comportamento da tensão-deformação
de materiais dúcteis e frágeis... Mas, professor, o
que é um material dúctil? Calma!
Um material dúctil é aquele que pode ser
submetido a grandes deformações antes de sofrer ruptura. Já um material frágil exibe pouco ou
nenhum escoamento antes da falha.

Colocação do
corpo de prova

3.2 Módulo de Cisalhamento

Olá, aluno(a)! Vamos, agora, pensar em fixar
um parafuso na parede, utilizando uma chave de
fenda. Elementos de fixação, como pregos e parafusos, frequentemente estão sujeitos a cargas de
cisalhamento. Note que a intensidade de uma força de cisalhamento sobre o elemento de fixação é
maior ao longo de um plano que passa pelas superfícies interconectadas.
A tensão de cisalhamento média distribuída
sobre cada área secionada é definida por:

τ média

26

V
=
A

Em que:
ƒƒ

τ média : tensão de cisalhamento média na seção, que consideramos a mesma em cada ponto localizado na seção;

ƒƒ V : força de cisalhamento interna resultante na seção, determinada pelas
equações de equilíbrio;
ƒƒ

A : área na seção.

O comportamento de um material submetido a cisalhamento puro pode ser estudado em laboratório, por meio de corpos de prova na forma
de tubos finos submetidos à carga de torção. Se o
torque aplicado e os ângulos de torção resultantes forem medidos, os dados podem ser utiliza-



dos para determinar a tensão de cisalhamento e a
deformação por cisalhamento.

Em que:

Vamos admitir que a maioria dos materiais
de engenharia apresente um comportamento linear elástico; portanto, a lei de Hooke para cisalhamento pode ser expressa por:

ƒƒ G: módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de rigidez.

τ = Gγ

Uma tensão de cisalhamento aplicada a
um material homogêneo e isotrópico somente
produz deformação por cisalhamento no mesmo
plano.

1. Exercícios Resolvidos
3.3 Um pedaço de gelatina (sobremesa), em forma de caixa, tem uma área superior de 15
cm2 e uma altura de 3 cm. Quando uma força tangencial de 0,50 N é aplicada à superfície
superior, esta se desloca 4 mm em relação à superfície inferior. Quanto vale a tensão de
1. Um pedaço de gelatina (sobremesa), em forma de caixa, tem uma área superior de 15 cm2 e
cisalhamento?
uma altura de 3 cm. Quando uma força tangencial de 0,50 N é aplicada à superfície superior,
esta se desloca 4 mm em relação à superfície inferior. Quanto vale a tensão de cisalhamento?
Resolução:
Resolução:
Dados fornecidos pelo problema:
Dados fornecidos pelo problema:
ƒƒ V =V = 0,50 N;
0,50 N;
ƒƒ A =A = cm2cm215 x 10-410-4. m2.
15 15 = = 15 x m2
A tensão de cisalhamento τ é dada por: por:
A tensão de cisalhamento é dada

2. Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2 de seção transversal é esticada 1
mm quando uma massa de 225 kg é pendurada em sua extremidade inferior.
Considerando g = 9,8 m/s2, calcule o módulo de Young para a barra.
Resolução:
Os dados fornecidos pelo problema são:
L = 4 m;
A = 0,5 cm2; Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br

27


2. Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2 de seção transversal é esticada 1 mm
quando uma massa de 225 kg é pendurada em sua extremidade inferior. Considerando g = 9,8
m/s2, calcule o módulo de Young para a barra.
Resolução:
Os dados fornecidos pelo problema são:
ƒƒ L = 4 m;
ƒƒ A = 0,5 cm2;
ƒƒ ∆L = 1 m ;
ƒƒ m = 225 kg.
Efetuando as conversões de unidades para o SI, temos:

4
5
A = 0,5 cm2 = 0,5.1010m2 = 5.1010m2 2
A = 0,5 cm2 = 0,5. 4 m2 = 5. 5 m

A deformação é dada por:
A deformação é dada por:

A força resultante interna corresponde ao peso pendurado, ou seja:
A força resultante corresponde ao peso pendurado, ou seja:
A força resultante internainterna corresponde ao peso pendurado, ou seja:
P = m⋅g
P = 225 ⋅ 9,8
A tensãotensão aplicada é dada por:
por:
A tensão aplicada dadaé dada por:
A aplicada σ é

28

P = 2205 N

O O módulo de Young dado por:
módulo de Young é é dado por:


O módulo de Young Young é dado por:
O módulo de é dado por:


Caro(a) aluno(a),

Neste capítulo, você estudou que muitos materiais de engenharia exibem
Caro(a) aluno(a), inicial linear elástico, sendo a tensão proporcional à deformação e
comportamento
Neste capítulo, vocêHooke. Quando o material sofre tensão além do pontocomportamento inicial
definida pela lei de estudou que muitos materiais de engenharia exibem de escoamento,
linear elástico, sendo a tensão proporcional à deformação e definida pela lei de Hooke. Quando o mateocorre deformação permanente. O comportamento de um material submetido a
rial sofre tensão além do ponto de escoamento, ocorre deformação permanente. O comportamento de
um material submetido a cisalhamento puro podelaboratório, por meio de corpos meio de corpos de
cisalhamento puro pode ser estudado em ser estudado em laboratório, por de prova na
prova na forma de tubos finos submetidos à carga de torção.
forma de tubos finos submetidos à carga de torção.
3.5 AtividadesPropostas
1. Considere o parafuso de 12,5 mm de diâmetro da junta da figura. A força P é igual a 15
1. Considere o parafuso de 12,5 mm de diâmetro da junta da figura. A força P é igual a 15 kN. AdkN. mitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual é o valor dessas dessas em
Admitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual é o valor tensões,
qualquer uma das seções transversais mn ou pq?
tensões, em qualquer uma das seções transversais mn ou pq?

2. Uma luminária de 90 kg é sustentada por duas hastes (AB e BC), como mostra a figura.
Considerando AB com diâmetro de 12 mm e BC com diâmetro de 10 mm, determine a
tensão normal média em cada haste. Considere g = 9,8 m/s2.


29


2. Uma luminária de 90 kg é sustentada por duas hastes (AB e BC), como mostra a figura. Considerando AB com diâmetro de 12 mm e BC com diâmetro de 10 mm, determine a tensão normal
média em cada haste. Considere g = 9,8 m/s2.

30


4

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Caro(a) aluno(a),
Espera-se que, com esta apostila, você consiga se envolver na disciplina, entenda como definir os
conceitos básicos da resistência dos materiais, saiba as grandezas envolvidas no estudo da resistência
dos materiais, bem como desenvolva o raciocínio lógico e saiba utilizar e aplicar as equações pertinentes
aos vários assuntos abordados e estudados na presente apostila, no âmbito profissional e, consequentemente, na sociedade em que se encontra inserido(a).


31

RESPOSTAS COMENTADAS DAS
ATIVIDADES PROPOSTAS
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
Atenção
Atenção
Olá, aluno(a)!
Para a resolução das atividades, não se esqueça de realizar uma revisão da teoria. Existem exercícios resolvidos
que irão auxiliar você, passo a passo, na resolução das atividades. Você poderá utilizar a sua calculadora científica para facilitar os cálculos.

Capítulo 1
Capítulo 1
1. O esquema de forças é:

Para estar em equilíbrio, a soma dos momentos deve ser igual a zero, ou seja, ∑Mo =
0.
Considerando o polo em O, temos:

Portanto:

2. O esquema das forças que atuam no sistema é:

33


2. O esquema das forças que atuam no sistema é:

Em que:

e

são as forças normais sobre a prancha;

é o peso da prancha;
é o peso do corpo.

A somatória das forças na direção y deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fy = 0; portanto,
temos:

Para estar em equilíbrio, a soma dos momentos deve ser igual a zero, ou seja, ∑Mo =
0.
Considerando o polo em N2, temos:

34



Substituindo o valor de N1 na equação das forças, temos:

Substituindo o valor de N1 na equação das forças, temos:

Capítulo 2
Capítulo 2
1. a) Antes de iniciar a resolução, vamos determinar a área em função do diâmetro.
1. Lembre-se de que a área transversal é dada por:
Capítulo 2
a) Antes de iniciar a resolução, vamos determinar a área em função diâmetro. Lembre-se
1. a) Antes de iniciar a resolução, vamos determinar a área em função dodo diâmetro.
de que a área transversal é dada por:
Lembre-se de que a área transversal é dada por:
Para o diâmetro de 8 mm, a área transversal é dada por:

π 
A =   ⋅ d12
4

Então:

Então:


35


Portanto, a área em metros é:

A tensão é dada por:

O valor da carga P = 2.000 N; portanto:

Ou seja:

Lembre que:


36

Então, temos:


Então, temos:

Ou, ainda:

Agora, vamos calcular o alongamento, utilizando a equação dada por:

Portanto, temos:

b) Você pensa que terminou? Ainda não! Vamos, agora, calcular para o diâmetro de 6 mm: 6 mm:
b) Você pensa que terminou? Ainda não! Vamos, agora, calcular para o diâmetro de

π 
A =   ⋅ (6) 2 m
4

2

Então:

Então:



37



A tensão é dada por:

O valor da carga P = 2.000 N; portanto:

Ou seja:

Lembre que:


38

Então, temos:


Então, temos:

Ou, ainda:

Agora, vamos calcular o alongamento, utilizando a equação dada por:

Portanto, temos:

2. Vamos, agora, construir a tabela relacionando a tensão e deformação sofridas pelo corpo corpo de
2. Vamos, agora, construir a tabela relacionando a tensão e deformação sofridas pelo
prova. Os dados
de prova. Os dados são: são:
ƒƒdiâmetro do corpo de prova: d = 12,5 mm;
diâmetro do corpo de prova: d = 12,5 mm;
ƒƒ comprimento do corpo de prova: l = 50 mm.
comprimento do corpo de prova: l = 50 mm.
A área da seção transversal é dada por:
A área da seção transversal é dada por:

Portanto, a área é dada por:

Em metros, temos: | Educação a Distância | www.unisa.br
Unisa

39


Em metros, temos:

Vamos construir a tabela, relacionando tensão e deformação:
Vamos construir a tabela, relacionando tensão e deformação:

Tensão:

Tensão: σ

=

0,0000
90,4509
0,0000
259,9446
308,0221
90,4509
333,2832
259,9446
355,2848
435,1435
308,0221
507,6661
333,2832
525,5933
507,6661
355,2848
479,1455

P
A

Deformação:

Deformação:

ε=

0,000000
0,000350
0,000000
0,001200
0,002040
0,000350
0,003300
0,001200
0,004980
0,020320
0,002040
0,060960
0,003300
0,127000
0,177800
0,004980
0,238760

435,1435
507,6661

l

0,020320
0,060960

525,5933

Capítulo 3

δ

0,127000

0,177800
1. Observe que a força P é 507,6661 uniformemente nas seções mn e pq.
distribuída
479,1455

0,238760

Capítulo 3

1. Observe que a força P é distribuída uniformemente nas seções mn e pq.

40



Portanto, a força de cisalhamento
Portanto, a força de cisalhamento corresponde a:

A área do parafuso é:

A tensão de cisalhamento

é:

2. As forças que agem no sistema são:
2. As forças que agem no sistema são:

A somatória das forças na direção x deve ser igual a zero, ou seja, ∑F = 0.
A somatória das forças na direção x deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fx = 0.
Os componentes na direção x são

e

, e valem:

Assim:

A somatória das forças na direção y deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fy = 0.
Os componentes na direção y são
, e valem:
e

41


Assim:

A somatória das forças na direção y deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fy = 0.
Os componentes na direção y são

e

, e valem:

Assim:

A partir das equações das direções x e y, podemos montar o sistema linear:

Multiplicando a primeira equação por

, temos:

Somando as duas equações, membro a membro, temos:

Substituindo o valor de TCB na primeira equação, temos:

42



Substituindo o valor de TCB na primeira equação, temos:

Portanto, a tensão em cada haste é:

ou

ou


43

REFERÊNCIAS

ALVARES, B. A.; LUZ, A. M. R. Física – ensino médio. São Paulo: Scipione, 2008. v. 2.
AMALDI, U. Imagens da física – as idéias e as experiências do pêndulo aos quarks. São Paulo: Scipione,
1995.
BEER, F. P.; JOHNSTON, R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1995.
BONJORNO, R. A. et al. Física fundamental – 2º grau, volume único. São Paulo: FTD, 1993.
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Edgard Blucher, 2008.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
______. Resistência dos materiais. Tradução de Arlete Símile Marques. 7. ed. São Paulo: Pearson
Education, 2011.
SERWAY, R. A. Física 1. [S.l.: s.n.], 1996.
SERWAY R. A.; JEWETT JR., J. W. Princípios de física. São Paulo: Pioneira Thomson, 2008. v. 1.
TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1993. v. 1-2.
TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2000. v. 1.
YOUNG H. D.; FREEDMAN R. A. Física IV. 12. ed. São Paulo: Pearson Education, 2008.


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