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Desenho Tecnico - Construcoes
              ´
        Geometricas

         Em´lio Eiji Kavamura
           ı

                           ˆ
                 Eng. Mecanica
              Universidade Positivo


       6 de fevereiro de 2009




      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
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SUMARIO




  1         ¸˜
      Inscricao de Pol´gonos Regulares
                      ı
               ¸˜           ˆ                      ˆ
         Inscricao de um triangulo numa circunferencia
               ¸˜                              ˆ
         Inscricao um quadrado numa circunferencia
               ¸˜                ´
         Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ
               ¸˜              ´
         Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ
                           ´                     ˆ
         Inscrever um heptagono numa circunferencia
               ¸˜             ´                     ˆ
         Inscricao de um octogono numa circunferencia




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
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TOPICOS




  1         ¸˜
      Inscricao de Pol´gonos Regulares
                      ı
               ¸˜           ˆ                      ˆ
         Inscricao de um triangulo numa circunferencia
               ¸˜                              ˆ
         Inscricao um quadrado numa circunferencia
               ¸˜                ´
         Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ
               ¸˜              ´
         Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ
                           ´                     ˆ
         Inscrever um heptagono numa circunferencia
               ¸˜             ´                     ˆ
         Inscricao de um octogono numa circunferencia




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 8 - Triangulo inscrito
                   ˆ




     α
                                                             ˆ
                                           Dada uma circunferencia α,
                  O
                                           inscrever    um         ˆ
                                                                triangulo
                                                ´
                                           equilatero.




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao
                  ˆ                     ¸˜




     α                                      1    α = {O, r }
                 O                               {D} ∈ α;
                                            2    DO ∩ α = {A};
                                            3    β = {D, r };
                                            4    β ∩ α = {C, D};
                                            5    AB, BC, CA;




                     eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                          Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao
                  ˆ                     ¸˜




     α                                      1    α = {O, r }
                 O                               {D} ∈ α;
                                            2    DO ∩ α = {A};
                                            3    β = {D, r };
                                            4    β ∩ α = {C, D};
                                            5    AB, BC, CA;
                D




                     eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                          Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao
                  ˆ                     ¸˜



                 A

     α                                      1    α = {O, r }
                 O                               {D} ∈ α;
                                            2    DO ∩ α = {A};
                                            3    β = {D, r };
                                            4    β ∩ α = {C, D};
                                            5    AB, BC, CA;
                D




                     eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                          Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao
                  ˆ                     ¸˜



                 A

     α                                      1    α = {O, r }
                 O                               {D} ∈ α;
                                            2    DO ∩ α = {A};
                                            3    β = {D, r };
                                            4    β ∩ α = {C, D};
         β
                                            5    AB, BC, CA;
                D




                     eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                          Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao
                  ˆ                     ¸˜



                 A

     α                                      1    α = {O, r }
                 O                               {D} ∈ α;
                                            2    DO ∩ α = {A};
                                            3    β = {D, r };
     B                          C
                                            4    β ∩ α = {C, D};
         β
                                            5    AB, BC, CA;
                D




                     eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                          Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao
                  ˆ                     ¸˜



                 A

     α                                      1    α = {O, r }
                 O                               {D} ∈ α;
                                            2    DO ∩ α = {A};
                                            3    β = {D, r };
     B                          C
                                            4    β ∩ α = {C, D};
         β
                                            5    AB, BC, CA;
                D




                     eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                          Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao
                  ˆ                     ¸˜



                 A

     α                                      1    α = {O, r }
                 O                               {D} ∈ α;
                                            2    DO ∩ α = {A};
                                            3    β = {D, r };
     B                          C
                                            4    β ∩ α = {C, D};
                                            5    AB, BC, CA;




                     eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                          Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
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TOPICOS




  1         ¸˜
      Inscricao de Pol´gonos Regulares
                      ı
               ¸˜           ˆ                      ˆ
         Inscricao de um triangulo numa circunferencia
               ¸˜                              ˆ
         Inscricao um quadrado numa circunferencia
               ¸˜                ´
         Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ
               ¸˜              ´
         Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ
                           ´                     ˆ
         Inscrever um heptagono numa circunferencia
               ¸˜             ´                     ˆ
         Inscricao de um octogono numa circunferencia




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 9 - Quadrado inscrito




      α

                  O                                        ˆ
                                        Dada uma circunferencia α,
                                        inscrever um quadrado.




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao
                                        ¸˜




                                           1    α = {O, r }
      α                                         {C} ∈ α;
                                           2    CO ∩ α = {A};
                  O
                                           3    OD⊥AC;
                                           4    OD ∩ α = {B};
                                           5    AB, BC, CD, DA;




                    eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                         Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao
                                        ¸˜




                                            1    α = {O, r }
      α                                          {C} ∈ α;
                  O
                                            2    CO ∩ α = {A};
                                            3    OD⊥AC;
                                            4    OD ∩ α = {B};
                                            5    AB, BC, CD, DA;

                 C




                     eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                          Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao
                                        ¸˜




                  A
                                             1    α = {O, r }
      α                                           {C} ∈ α;
                  O
                                             2    CO ∩ α = {A};
                                             3    OD⊥AC;
                                             4    OD ∩ α = {B};
                                             5    AB, BC, CD, DA;

                 C




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao
                                        ¸˜




                  A
                                             1    α = {O, r }
      α                                           {C} ∈ α;
                  O
                                             2    CO ∩ α = {A};
     D                                       3    OD⊥AC;
                                             4    OD ∩ α = {B};
                                             5    AB, BC, CD, DA;

                 C




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao
                                        ¸˜




                  A
                                             1    α = {O, r }
      α                                           {C} ∈ α;
                  O
                                             2    CO ∩ α = {A};
     D                              B        3    OD⊥AC;
                                             4    OD ∩ α = {B};
                                             5    AB, BC, CD, DA;

                 C




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao
                                        ¸˜




                  A
                                             1    α = {O, r }
      α                                           {C} ∈ α;
                  O
                                             2    CO ∩ α = {A};
     D                              B        3    OD⊥AC;
                                             4    OD ∩ α = {B};
                                             5    AB, BC, CD, DA;

                 C




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao
                                        ¸˜




                  A
                                             1    α = {O, r }
      α                                           {C} ∈ α;
                  O
                                             2    CO ∩ α = {A};
     D                              B        3    OD⊥AC;
                                             4    OD ∩ α = {B};
                                             5    AB, BC, CD, DA;

                 C




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
´
TOPICOS




  1         ¸˜
      Inscricao de Pol´gonos Regulares
                      ı
               ¸˜           ˆ                      ˆ
         Inscricao de um triangulo numa circunferencia
               ¸˜                              ˆ
         Inscricao um quadrado numa circunferencia
               ¸˜                ´
         Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ
               ¸˜              ´
         Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ
                           ´                     ˆ
         Inscrever um heptagono numa circunferencia
               ¸˜             ´                     ˆ
         Inscricao de um octogono numa circunferencia




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 10 - Pentagono inscrito
                     ´




      α

                  O                                        ˆ
                                        Dada uma circunferencia α,
                                                         ´
                                        inscrever um pentagono.




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                           1    α = {O, r }
                                                {A, B, C, D} ∈ α;
                                                AC⊥BD
                                                AC ∩ BD = {O}
      α                                    2    β1 = {B, r };
                                           3    β1 ∩ α = {M, N};
                  O
                                           4    MN ∩ OB = {P};
                                           5    β2 = {P, PA};
                                           6    β2 ∩ OD = {Q};
                                           7      {A, AQ} ∩ α = {E}
                                           8    AE = EF = FG = GH =
                                                HA AE, EF , FG, GH, HA;


                    eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                         Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                                                  {A, B, C, D} ∈ α;
                  A                               AC⊥BD
                                                  AC ∩ BD = {O}
      α                                      2    β1 = {B, r };
                                             3    β1 ∩ α = {M, N};
                  O
     D                              B        4    MN ∩ OB = {P};
                                             5    β2 = {P, PA};
                                             6    β2 ∩ OD = {Q};
                                             7      {A, AQ} ∩ α = {E}
                 C                           8    AE = EF = FG = GH =
                                                  HA AE, EF , FG, GH, HA;


                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                                                  {A, B, C, D} ∈ α;
                  A               β1              AC⊥BD
                                                  AC ∩ BD = {O}
      α                                      2    β1 = {B, r };
                                             3    β1 ∩ α = {M, N};
                  O
     D                              B        4    MN ∩ OB = {P};
                                             5    β2 = {P, PA};
                                             6    β2 ∩ OD = {Q};
                                             7      {A, AQ} ∩ α = {E}
                 C                           8    AE = EF = FG = GH =
                                                  HA AE, EF , FG, GH, HA;


                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                                                  {A, B, C, D} ∈ α;
                  A               β1              AC⊥BD
                         M
                                                  AC ∩ BD = {O}
      α                                      2    β1 = {B, r };
                                             3    β1 ∩ α = {M, N};
                  O
     D                              B        4    MN ∩ OB = {P};
                                             5    β2 = {P, PA};
                                             6    β2 ∩ OD = {Q};
                         N                   7      {A, AQ} ∩ α = {E}
                 C                           8    AE = EF = FG = GH =
                                                  HA AE, EF , FG, GH, HA;


                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                                                  {A, B, C, D} ∈ α;
                  A               β1              AC⊥BD
                         M
                                                  AC ∩ BD = {O}
      α                                      2    β1 = {B, r };
                                             3    β1 ∩ α = {M, N};
                  O
     D                              B        4    MN ∩ OB = {P};
                          P
                                             5    β2 = {P, PA};
                                             6    β2 ∩ OD = {Q};
                         N                   7      {A, AQ} ∩ α = {E}
                 C                           8    AE = EF = FG = GH =
                                                  HA AE, EF , FG, GH, HA;


                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                                                  {A, B, C, D} ∈ α;
                  A               β1              AC⊥BD
                                                  AC ∩ BD = {O}
      α      β2                              2    β1 = {B, r };
                                             3    β1 ∩ α = {M, N};
                  O
                                             4    MN ∩ OB = {P};
                          P
                                             5    β2 = {P, PA};
                                             6    β2 ∩ OD = {Q};
                         N                   7      {A, AQ} ∩ α = {E}
                                             8    AE = EF = FG = GH =
                                                  HA AE, EF , FG, GH, HA;


                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                              1    α = {O, r }
                                                   {A, B, C, D} ∈ α;
                   A                               AC⊥BD
                                                   AC ∩ BD = {O}
      α       β2                              2    β1 = {B, r };
                                              3    β1 ∩ α = {M, N};
                   O
                                              4    MN ∩ OB = {P};
          Q
                                              5    β2 = {P, PA};
                                              6    β2 ∩ OD = {Q};
                                              7      {A, AQ} ∩ α = {E}
                                              8    AE = EF = FG = GH =
                                                   HA AE, EF , FG, GH, HA;


                       eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                            Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                              1    α = {O, r }
                                                   {A, B, C, D} ∈ α;
                   A                               AC⊥BD
                                                   AC ∩ BD = {O}
      α       β2                              2    β1 = {B, r };
          E                                   3    β1 ∩ α = {M, N};
                   O
                                              4    MN ∩ OB = {P};
          Q
                                              5    β2 = {P, PA};
                                              6    β2 ∩ OD = {Q};
                                              7      {A, AQ} ∩ α = {E}
                                              8    AE = EF = FG = GH =
                                                   HA AE, EF , FG, GH, HA;


                       eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                            Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                                                  {A, B, C, D} ∈ α;
                  A                               AC⊥BD
                                                  AC ∩ BD = {O}
      α                                      2    β1 = {B, r };
          E                    H             3    β1 ∩ α = {M, N};
                  O
                                             4    MN ∩ OB = {P};
                                             5    β2 = {P, PA};
                                             6    β2 ∩ OD = {Q};
              F          G                   7      {A, AQ} ∩ α = {E}
                                             8    AE = EF = FG = GH =
                                                  HA AE, EF , FG, GH, HA;


                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                                                  {A, B, C, D} ∈ α;
                  A                               AC⊥BD
                                                  AC ∩ BD = {O}
      α                                      2    β1 = {B, r };
          E                    H             3    β1 ∩ α = {M, N};
                  O
                                             4    MN ∩ OB = {P};
                                             5    β2 = {P, PA};
                                             6    β2 ∩ OD = {Q};
              F          G                   7      {A, AQ} ∩ α = {E}
                                             8    AE = EF = FG = GH =
                                                  HA AE, EF , FG, GH, HA;


                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
´
TOPICOS




  1         ¸˜
      Inscricao de Pol´gonos Regulares
                      ı
               ¸˜           ˆ                      ˆ
         Inscricao de um triangulo numa circunferencia
               ¸˜                              ˆ
         Inscricao um quadrado numa circunferencia
               ¸˜                ´
         Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ
               ¸˜              ´
         Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ
                           ´                     ˆ
         Inscrever um heptagono numa circunferencia
               ¸˜             ´                     ˆ
         Inscricao de um octogono numa circunferencia




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 11 - Hexagono inscrito
                    ´




          α


                  O                                       ˆ
                                        Dada uma circunferencia α,
                                                        ´
                                        inscrever um hexagono.




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao
                    ´                    ¸˜




          α
                                          1    α = {O, r }
                                               {A} ∈ α;
                                               {D} ∈ α, {O} ∈ AD;
                  O
                                          2    β1 = {A, r };
                                               β2 = {D, r };
                                          3    β1 ∩ α = {B, F };
                                               β2 ∩ α = {C, E};
                                          4    AB, BC, CD, DE, EF , FA;




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao
                    ´                    ¸˜




                  A
          α                                  1    α = {O, r }
                                                  {A} ∈ α;
                                                  {D} ∈ α, {O} ∈ AD;
                  O
                                             2    β1 = {A, r };
                                                  β2 = {D, r };
                                             3    β1 ∩ α = {B, F };
                                                  β2 ∩ α = {C, E};
                                             4    AB, BC, CD, DE, EF , FA;
                 D




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao
                    ´                    ¸˜




                  A
          α                                  1    α = {O, r }
                                                  {A} ∈ α;
                                                  {D} ∈ α, {O} ∈ AD;
                         β1
                  O
                                             2    β1 = {A, r };
                                                  β2 = {D, r };
                         β2                  3    β1 ∩ α = {B, F };
                                                  β2 ∩ α = {C, E};
                                             4    AB, BC, CD, DE, EF , FA;
                 D




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao
                    ´                    ¸˜




                  A
          α                                  1    α = {O, r }
                                                  {A} ∈ α;
      B                           F               {D} ∈ α, {O} ∈ AD;
                         β1
                  O
                                             2    β1 = {A, r };
                                                  β2 = {D, r };
                         β2                  3    β1 ∩ α = {B, F };
      C                           E               β2 ∩ α = {C, E};
                                             4    AB, BC, CD, DE, EF , FA;
                 D




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao
                    ´                    ¸˜




                  A
          α                                  1    α = {O, r }
                                                  {A} ∈ α;
      B                           F               {D} ∈ α, {O} ∈ AD;
                  O
                                             2    β1 = {A, r };
                                                  β2 = {D, r };
                                             3    β1 ∩ α = {B, F };
      C                           E               β2 ∩ α = {C, E};
                                             4    AB, BC, CD, DE, EF , FA;
                 D




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao
                    ´                    ¸˜




                  A
          α                                  1    α = {O, r }
                                                  {A} ∈ α;
      B                           F               {D} ∈ α, {O} ∈ AD;
                  O
                                             2    β1 = {A, r };
                                                  β2 = {D, r };
                                             3    β1 ∩ α = {B, F };
      C                           E               β2 ∩ α = {C, E};
                                             4    AB, BC, CD, DE, EF , FA;
                 D




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
´
TOPICOS




  1         ¸˜
      Inscricao de Pol´gonos Regulares
                      ı
               ¸˜           ˆ                      ˆ
         Inscricao de um triangulo numa circunferencia
               ¸˜                              ˆ
         Inscricao um quadrado numa circunferencia
               ¸˜                ´
         Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ
               ¸˜              ´
         Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ
                           ´                     ˆ
         Inscrever um heptagono numa circunferencia
               ¸˜             ´                     ˆ
         Inscricao de um octogono numa circunferencia




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 12 - Heptagono inscrito
                     ´




      α

                  O                                        ˆ
                                        Dada uma circunferencia α,
                                                         ´
                                        inscrever um heptagono.




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
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Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                          1    α = {O, r }
                                               {A, B, C, D} ∈ α;
                                               AC⊥BD
                                               AC ∩ BD = {O}
          α
                                          2    β1 = {B, r };
                  O                       3    β1 ∩ α = {M, N};
                                          4    MN ∩ OB = {P};
                                          5    MP = AE
                                          6    AE = EF = FG = GH =
                                               = HI = IJ = JA
                                          7    AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;



                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                  A                               {A, B, C, D} ∈ α;
                                                  AC⊥BD
          α                                       AC ∩ BD = {O}
                                             2    β1 = {B, r };
                  O                          3    β1 ∩ α = {M, N};
     D                              B        4    MN ∩ OB = {P};
                                             5    MP = AE
                                             6    AE = EF = FG = GH =
                C                                 = HI = IJ = JA
                                             7    AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;



                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                  A                               {A, B, C, D} ∈ α;
                                  β1
                                                  AC⊥BD
          α                                       AC ∩ BD = {O}
                                             2    β1 = {B, r };
                  O                          3    β1 ∩ α = {M, N};
     D                              B        4    MN ∩ OB = {P};
                                             5    MP = AE
                                             6    AE = EF = FG = GH =
                C                                 = HI = IJ = JA
                                             7    AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;



                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                  A                               {A, B, C, D} ∈ α;
                                  β1
                         M                        AC⊥BD
          α                                       AC ∩ BD = {O}
                                             2    β1 = {B, r };
                  O                          3    β1 ∩ α = {M, N};
     D                              B        4    MN ∩ OB = {P};
                                             5    MP = AE
                                             6    AE = EF = FG = GH =
                         N                        = HI = IJ = JA
                C
                                             7    AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;



                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                  A                               {A, B, C, D} ∈ α;
                                  β1
                         M                        AC⊥BD
          α                                       AC ∩ BD = {O}
                                             2    β1 = {B, r };
                  O                          3    β1 ∩ α = {M, N};
     D                    P         B        4    MN ∩ OB = {P};
                                             5    MP = AE
                                             6    AE = EF = FG = GH =
                         N                        = HI = IJ = JA
                C
                                             7    AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;



                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                                                  {A, B, C, D} ∈ α;
                  A
                         M                        AC⊥BD
                                E                 AC ∩ BD = {O}
          α
                                             2    β1 = {B, r };
                  O                          3    β1 ∩ α = {M, N};
                          P                  4    MN ∩ OB = {P};
                                             5    MP = AE
                                             6    AE = EF = FG = GH =
                                                  = HI = IJ = JA
                                             7    AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;



                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                                                  {A, B, C, D} ∈ α;
                  A
                                                  AC⊥BD
         J                      E                 AC ∩ BD = {O}
             α
                                             2    β1 = {B, r };
                  O                          3    β1 ∩ α = {M, N};
                                             4    MN ∩ OB = {P};
     I                              F        5    MP = AE
                                             6    AE = EF = FG = GH =
             H            G                       = HI = IJ = JA
                                             7    AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;



                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                                                  {A, B, C, D} ∈ α;
                  A
                                                  AC⊥BD
         J                      E                 AC ∩ BD = {O}
             α
                                             2    β1 = {B, r };
                  O                          3    β1 ∩ α = {M, N};
                                             4    MN ∩ OB = {P};
     I                              F        5    MP = AE
                                             6    AE = EF = FG = GH =
             H            G                       = HI = IJ = JA
                                             7    AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;



                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
                     ´                    ¸˜


                                             1    α = {O, r }
                                                  {A, B, C, D} ∈ α;
                  A
                                                  AC⊥BD
         J                      E                 AC ∩ BD = {O}
                                             2    β1 = {B, r };
                  O                          3    β1 ∩ α = {M, N};
                                             4    MN ∩ OB = {P};
     I                              F        5    MP = AE
                                             6    AE = EF = FG = GH =
             H            G                       = HI = IJ = JA
                                             7    AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;



                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
´
TOPICOS




  1         ¸˜
      Inscricao de Pol´gonos Regulares
                      ı
               ¸˜           ˆ                      ˆ
         Inscricao de um triangulo numa circunferencia
               ¸˜                              ˆ
         Inscricao um quadrado numa circunferencia
               ¸˜                ´
         Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ
               ¸˜              ´
         Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ
                           ´                     ˆ
         Inscrever um heptagono numa circunferencia
               ¸˜             ´                     ˆ
         Inscricao de um octogono numa circunferencia




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 13 - Octogono inscrito
                    ´




        α                                                    ˆ
                 O                        Dada uma circunferencia α,
                                                          ´
                                          inscrever um octogono.




                     eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                          Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao
                    ´                    ¸˜




                                             1    α = {O, r }
                                                  {A, B, C, D} ∈ α;
                                                  AC⊥BD;
        α                                         AC ∩ BD = {O}
                  O
                                             2      ˆ
                                                  AOE = E OB;ˆ
                                             3      ˆ
                                                  AOG = GOD; ˆ
                                             4    AE, EB, BF , FC,
                                                  CH, HD, DG, GA;




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao
                    ´                    ¸˜




                  A                          1    α = {O, r }
                                                  {A, B, C, D} ∈ α;
                                                  AC⊥BD;
         α                                        AC ∩ BD = {O}
                  O
                                             2      ˆ
                                                  AOE = E OB;ˆ
     D                              B
                                             3      ˆ
                                                  AOG = GOD; ˆ
                                             4    AE, EB, BF , FC,
                                                  CH, HD, DG, GA;
                C




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao
                    ´                    ¸˜




                  A                          1    α = {O, r }
                                E                 {A, B, C, D} ∈ α;
                                                  AC⊥BD;
         α                                        AC ∩ BD = {O}
                  O
                                             2      ˆ
                                                  AOE = E OB;ˆ
     D                              B
                                             3      ˆ
                                                  AOG = GOD; ˆ
         H                                   4    AE, EB, BF , FC,
                                                  CH, HD, DG, GA;
                C




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao
                    ´                    ¸˜




                  A                          1    α = {O, r }
         G                      E                 {A, B, C, D} ∈ α;
                                                  AC⊥BD;
         α                                        AC ∩ BD = {O}
                  O
                                             2      ˆ
                                                  AOE = E OB;ˆ
     D                              B
                                             3      ˆ
                                                  AOG = GOD; ˆ
         H                      F            4    AE, EB, BF , FC,
                                                  CH, HD, DG, GA;
                C




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao
                    ´                    ¸˜




                  A                          1    α = {O, r }
         G                      E                 {A, B, C, D} ∈ α;
                                                  AC⊥BD;
         α                                        AC ∩ BD = {O}
                  O
                                             2      ˆ
                                                  AOE = E OB;ˆ
     D                              B
                                             3      ˆ
                                                  AOG = GOD; ˆ
         H                      F            4    AE, EB, BF , FC,
                                                  CH, HD, DG, GA;
                C




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao
                    ´                    ¸˜




                  A                          1    α = {O, r }
         G                      E                 {A, B, C, D} ∈ α;
                                                  AC⊥BD;
         α                                        AC ∩ BD = {O}
                  O
                                             2      ˆ
                                                  AOE = E OB;ˆ
     D                              B
                                             3      ˆ
                                                  AOG = GOD; ˆ
         H                      F            4    AE, EB, BF , FC,
                                                  CH, HD, DG, GA;
                C




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
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  • 1. ´ ¸˜ Desenho Tecnico - Construcoes ´ Geometricas Em´lio Eiji Kavamura ı ˆ Eng. Mecanica Universidade Positivo 6 de fevereiro de 2009 eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 2. ´ SUMARIO 1 ¸˜ Inscricao de Pol´gonos Regulares ı ¸˜ ˆ ˆ Inscricao de um triangulo numa circunferencia ¸˜ ˆ Inscricao um quadrado numa circunferencia ¸˜ ´ Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ ¸˜ ´ Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ ´ ˆ Inscrever um heptagono numa circunferencia ¸˜ ´ ˆ Inscricao de um octogono numa circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 3. ´ TOPICOS 1 ¸˜ Inscricao de Pol´gonos Regulares ı ¸˜ ˆ ˆ Inscricao de um triangulo numa circunferencia ¸˜ ˆ Inscricao um quadrado numa circunferencia ¸˜ ´ Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ ¸˜ ´ Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ ´ ˆ Inscrever um heptagono numa circunferencia ¸˜ ´ ˆ Inscricao de um octogono numa circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 4. Problema no 8 - Triangulo inscrito ˆ α ˆ Dada uma circunferencia α, O inscrever um ˆ triangulo ´ equilatero. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 5. Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao ˆ ¸˜ α 1 α = {O, r } O {D} ∈ α; 2 DO ∩ α = {A}; 3 β = {D, r }; 4 β ∩ α = {C, D}; 5 AB, BC, CA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 6. Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao ˆ ¸˜ α 1 α = {O, r } O {D} ∈ α; 2 DO ∩ α = {A}; 3 β = {D, r }; 4 β ∩ α = {C, D}; 5 AB, BC, CA; D eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 7. Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao ˆ ¸˜ A α 1 α = {O, r } O {D} ∈ α; 2 DO ∩ α = {A}; 3 β = {D, r }; 4 β ∩ α = {C, D}; 5 AB, BC, CA; D eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 8. Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao ˆ ¸˜ A α 1 α = {O, r } O {D} ∈ α; 2 DO ∩ α = {A}; 3 β = {D, r }; 4 β ∩ α = {C, D}; β 5 AB, BC, CA; D eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 9. Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao ˆ ¸˜ A α 1 α = {O, r } O {D} ∈ α; 2 DO ∩ α = {A}; 3 β = {D, r }; B C 4 β ∩ α = {C, D}; β 5 AB, BC, CA; D eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 10. Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao ˆ ¸˜ A α 1 α = {O, r } O {D} ∈ α; 2 DO ∩ α = {A}; 3 β = {D, r }; B C 4 β ∩ α = {C, D}; β 5 AB, BC, CA; D eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 11. Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao ˆ ¸˜ A α 1 α = {O, r } O {D} ∈ α; 2 DO ∩ α = {A}; 3 β = {D, r }; B C 4 β ∩ α = {C, D}; 5 AB, BC, CA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 12. ´ TOPICOS 1 ¸˜ Inscricao de Pol´gonos Regulares ı ¸˜ ˆ ˆ Inscricao de um triangulo numa circunferencia ¸˜ ˆ Inscricao um quadrado numa circunferencia ¸˜ ´ Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ ¸˜ ´ Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ ´ ˆ Inscrever um heptagono numa circunferencia ¸˜ ´ ˆ Inscricao de um octogono numa circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 13. Problema no 9 - Quadrado inscrito α O ˆ Dada uma circunferencia α, inscrever um quadrado. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 14. Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao ¸˜ 1 α = {O, r } α {C} ∈ α; 2 CO ∩ α = {A}; O 3 OD⊥AC; 4 OD ∩ α = {B}; 5 AB, BC, CD, DA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 15. Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao ¸˜ 1 α = {O, r } α {C} ∈ α; O 2 CO ∩ α = {A}; 3 OD⊥AC; 4 OD ∩ α = {B}; 5 AB, BC, CD, DA; C eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 16. Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao ¸˜ A 1 α = {O, r } α {C} ∈ α; O 2 CO ∩ α = {A}; 3 OD⊥AC; 4 OD ∩ α = {B}; 5 AB, BC, CD, DA; C eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 17. Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao ¸˜ A 1 α = {O, r } α {C} ∈ α; O 2 CO ∩ α = {A}; D 3 OD⊥AC; 4 OD ∩ α = {B}; 5 AB, BC, CD, DA; C eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 18. Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao ¸˜ A 1 α = {O, r } α {C} ∈ α; O 2 CO ∩ α = {A}; D B 3 OD⊥AC; 4 OD ∩ α = {B}; 5 AB, BC, CD, DA; C eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 19. Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao ¸˜ A 1 α = {O, r } α {C} ∈ α; O 2 CO ∩ α = {A}; D B 3 OD⊥AC; 4 OD ∩ α = {B}; 5 AB, BC, CD, DA; C eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 20. Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao ¸˜ A 1 α = {O, r } α {C} ∈ α; O 2 CO ∩ α = {A}; D B 3 OD⊥AC; 4 OD ∩ α = {B}; 5 AB, BC, CD, DA; C eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 21. ´ TOPICOS 1 ¸˜ Inscricao de Pol´gonos Regulares ı ¸˜ ˆ ˆ Inscricao de um triangulo numa circunferencia ¸˜ ˆ Inscricao um quadrado numa circunferencia ¸˜ ´ Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ ¸˜ ´ Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ ´ ˆ Inscrever um heptagono numa circunferencia ¸˜ ´ ˆ Inscricao de um octogono numa circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 22. Problema no 10 - Pentagono inscrito ´ α O ˆ Dada uma circunferencia α, ´ inscrever um pentagono. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 23. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; AC⊥BD AC ∩ BD = {O} α 2 β1 = {B, r }; 3 β1 ∩ α = {M, N}; O 4 MN ∩ OB = {P}; 5 β2 = {P, PA}; 6 β2 ∩ OD = {Q}; 7 {A, AQ} ∩ α = {E} 8 AE = EF = FG = GH = HA AE, EF , FG, GH, HA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 24. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; A AC⊥BD AC ∩ BD = {O} α 2 β1 = {B, r }; 3 β1 ∩ α = {M, N}; O D B 4 MN ∩ OB = {P}; 5 β2 = {P, PA}; 6 β2 ∩ OD = {Q}; 7 {A, AQ} ∩ α = {E} C 8 AE = EF = FG = GH = HA AE, EF , FG, GH, HA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 25. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; A β1 AC⊥BD AC ∩ BD = {O} α 2 β1 = {B, r }; 3 β1 ∩ α = {M, N}; O D B 4 MN ∩ OB = {P}; 5 β2 = {P, PA}; 6 β2 ∩ OD = {Q}; 7 {A, AQ} ∩ α = {E} C 8 AE = EF = FG = GH = HA AE, EF , FG, GH, HA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 26. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; A β1 AC⊥BD M AC ∩ BD = {O} α 2 β1 = {B, r }; 3 β1 ∩ α = {M, N}; O D B 4 MN ∩ OB = {P}; 5 β2 = {P, PA}; 6 β2 ∩ OD = {Q}; N 7 {A, AQ} ∩ α = {E} C 8 AE = EF = FG = GH = HA AE, EF , FG, GH, HA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 27. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; A β1 AC⊥BD M AC ∩ BD = {O} α 2 β1 = {B, r }; 3 β1 ∩ α = {M, N}; O D B 4 MN ∩ OB = {P}; P 5 β2 = {P, PA}; 6 β2 ∩ OD = {Q}; N 7 {A, AQ} ∩ α = {E} C 8 AE = EF = FG = GH = HA AE, EF , FG, GH, HA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 28. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; A β1 AC⊥BD AC ∩ BD = {O} α β2 2 β1 = {B, r }; 3 β1 ∩ α = {M, N}; O 4 MN ∩ OB = {P}; P 5 β2 = {P, PA}; 6 β2 ∩ OD = {Q}; N 7 {A, AQ} ∩ α = {E} 8 AE = EF = FG = GH = HA AE, EF , FG, GH, HA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 29. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; A AC⊥BD AC ∩ BD = {O} α β2 2 β1 = {B, r }; 3 β1 ∩ α = {M, N}; O 4 MN ∩ OB = {P}; Q 5 β2 = {P, PA}; 6 β2 ∩ OD = {Q}; 7 {A, AQ} ∩ α = {E} 8 AE = EF = FG = GH = HA AE, EF , FG, GH, HA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 30. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; A AC⊥BD AC ∩ BD = {O} α β2 2 β1 = {B, r }; E 3 β1 ∩ α = {M, N}; O 4 MN ∩ OB = {P}; Q 5 β2 = {P, PA}; 6 β2 ∩ OD = {Q}; 7 {A, AQ} ∩ α = {E} 8 AE = EF = FG = GH = HA AE, EF , FG, GH, HA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 31. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; A AC⊥BD AC ∩ BD = {O} α 2 β1 = {B, r }; E H 3 β1 ∩ α = {M, N}; O 4 MN ∩ OB = {P}; 5 β2 = {P, PA}; 6 β2 ∩ OD = {Q}; F G 7 {A, AQ} ∩ α = {E} 8 AE = EF = FG = GH = HA AE, EF , FG, GH, HA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 32. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; A AC⊥BD AC ∩ BD = {O} α 2 β1 = {B, r }; E H 3 β1 ∩ α = {M, N}; O 4 MN ∩ OB = {P}; 5 β2 = {P, PA}; 6 β2 ∩ OD = {Q}; F G 7 {A, AQ} ∩ α = {E} 8 AE = EF = FG = GH = HA AE, EF , FG, GH, HA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 33. ´ TOPICOS 1 ¸˜ Inscricao de Pol´gonos Regulares ı ¸˜ ˆ ˆ Inscricao de um triangulo numa circunferencia ¸˜ ˆ Inscricao um quadrado numa circunferencia ¸˜ ´ Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ ¸˜ ´ Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ ´ ˆ Inscrever um heptagono numa circunferencia ¸˜ ´ ˆ Inscricao de um octogono numa circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 34. Problema no 11 - Hexagono inscrito ´ α O ˆ Dada uma circunferencia α, ´ inscrever um hexagono. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 35. Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao ´ ¸˜ α 1 α = {O, r } {A} ∈ α; {D} ∈ α, {O} ∈ AD; O 2 β1 = {A, r }; β2 = {D, r }; 3 β1 ∩ α = {B, F }; β2 ∩ α = {C, E}; 4 AB, BC, CD, DE, EF , FA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 36. Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao ´ ¸˜ A α 1 α = {O, r } {A} ∈ α; {D} ∈ α, {O} ∈ AD; O 2 β1 = {A, r }; β2 = {D, r }; 3 β1 ∩ α = {B, F }; β2 ∩ α = {C, E}; 4 AB, BC, CD, DE, EF , FA; D eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 37. Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao ´ ¸˜ A α 1 α = {O, r } {A} ∈ α; {D} ∈ α, {O} ∈ AD; β1 O 2 β1 = {A, r }; β2 = {D, r }; β2 3 β1 ∩ α = {B, F }; β2 ∩ α = {C, E}; 4 AB, BC, CD, DE, EF , FA; D eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 38. Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao ´ ¸˜ A α 1 α = {O, r } {A} ∈ α; B F {D} ∈ α, {O} ∈ AD; β1 O 2 β1 = {A, r }; β2 = {D, r }; β2 3 β1 ∩ α = {B, F }; C E β2 ∩ α = {C, E}; 4 AB, BC, CD, DE, EF , FA; D eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 39. Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao ´ ¸˜ A α 1 α = {O, r } {A} ∈ α; B F {D} ∈ α, {O} ∈ AD; O 2 β1 = {A, r }; β2 = {D, r }; 3 β1 ∩ α = {B, F }; C E β2 ∩ α = {C, E}; 4 AB, BC, CD, DE, EF , FA; D eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 40. Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao ´ ¸˜ A α 1 α = {O, r } {A} ∈ α; B F {D} ∈ α, {O} ∈ AD; O 2 β1 = {A, r }; β2 = {D, r }; 3 β1 ∩ α = {B, F }; C E β2 ∩ α = {C, E}; 4 AB, BC, CD, DE, EF , FA; D eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 41. ´ TOPICOS 1 ¸˜ Inscricao de Pol´gonos Regulares ı ¸˜ ˆ ˆ Inscricao de um triangulo numa circunferencia ¸˜ ˆ Inscricao um quadrado numa circunferencia ¸˜ ´ Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ ¸˜ ´ Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ ´ ˆ Inscrever um heptagono numa circunferencia ¸˜ ´ ˆ Inscricao de um octogono numa circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 42. Problema no 12 - Heptagono inscrito ´ α O ˆ Dada uma circunferencia α, ´ inscrever um heptagono. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 43. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; AC⊥BD AC ∩ BD = {O} α 2 β1 = {B, r }; O 3 β1 ∩ α = {M, N}; 4 MN ∩ OB = {P}; 5 MP = AE 6 AE = EF = FG = GH = = HI = IJ = JA 7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 44. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } A {A, B, C, D} ∈ α; AC⊥BD α AC ∩ BD = {O} 2 β1 = {B, r }; O 3 β1 ∩ α = {M, N}; D B 4 MN ∩ OB = {P}; 5 MP = AE 6 AE = EF = FG = GH = C = HI = IJ = JA 7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 45. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } A {A, B, C, D} ∈ α; β1 AC⊥BD α AC ∩ BD = {O} 2 β1 = {B, r }; O 3 β1 ∩ α = {M, N}; D B 4 MN ∩ OB = {P}; 5 MP = AE 6 AE = EF = FG = GH = C = HI = IJ = JA 7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 46. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } A {A, B, C, D} ∈ α; β1 M AC⊥BD α AC ∩ BD = {O} 2 β1 = {B, r }; O 3 β1 ∩ α = {M, N}; D B 4 MN ∩ OB = {P}; 5 MP = AE 6 AE = EF = FG = GH = N = HI = IJ = JA C 7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 47. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } A {A, B, C, D} ∈ α; β1 M AC⊥BD α AC ∩ BD = {O} 2 β1 = {B, r }; O 3 β1 ∩ α = {M, N}; D P B 4 MN ∩ OB = {P}; 5 MP = AE 6 AE = EF = FG = GH = N = HI = IJ = JA C 7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 48. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; A M AC⊥BD E AC ∩ BD = {O} α 2 β1 = {B, r }; O 3 β1 ∩ α = {M, N}; P 4 MN ∩ OB = {P}; 5 MP = AE 6 AE = EF = FG = GH = = HI = IJ = JA 7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 49. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; A AC⊥BD J E AC ∩ BD = {O} α 2 β1 = {B, r }; O 3 β1 ∩ α = {M, N}; 4 MN ∩ OB = {P}; I F 5 MP = AE 6 AE = EF = FG = GH = H G = HI = IJ = JA 7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 50. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; A AC⊥BD J E AC ∩ BD = {O} α 2 β1 = {B, r }; O 3 β1 ∩ α = {M, N}; 4 MN ∩ OB = {P}; I F 5 MP = AE 6 AE = EF = FG = GH = H G = HI = IJ = JA 7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 51. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; A AC⊥BD J E AC ∩ BD = {O} 2 β1 = {B, r }; O 3 β1 ∩ α = {M, N}; 4 MN ∩ OB = {P}; I F 5 MP = AE 6 AE = EF = FG = GH = H G = HI = IJ = JA 7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 52. ´ TOPICOS 1 ¸˜ Inscricao de Pol´gonos Regulares ı ¸˜ ˆ ˆ Inscricao de um triangulo numa circunferencia ¸˜ ˆ Inscricao um quadrado numa circunferencia ¸˜ ´ Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ ¸˜ ´ Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ ´ ˆ Inscrever um heptagono numa circunferencia ¸˜ ´ ˆ Inscricao de um octogono numa circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 53. Problema no 13 - Octogono inscrito ´ α ˆ O Dada uma circunferencia α, ´ inscrever um octogono. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 54. Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao ´ ¸˜ 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; AC⊥BD; α AC ∩ BD = {O} O 2 ˆ AOE = E OB;ˆ 3 ˆ AOG = GOD; ˆ 4 AE, EB, BF , FC, CH, HD, DG, GA; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 55. Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao ´ ¸˜ A 1 α = {O, r } {A, B, C, D} ∈ α; AC⊥BD; α AC ∩ BD = {O} O 2 ˆ AOE = E OB;ˆ D B 3 ˆ AOG = GOD; ˆ 4 AE, EB, BF , FC, CH, HD, DG, GA; C eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 56. Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao ´ ¸˜ A 1 α = {O, r } E {A, B, C, D} ∈ α; AC⊥BD; α AC ∩ BD = {O} O 2 ˆ AOE = E OB;ˆ D B 3 ˆ AOG = GOD; ˆ H 4 AE, EB, BF , FC, CH, HD, DG, GA; C eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 57. Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao ´ ¸˜ A 1 α = {O, r } G E {A, B, C, D} ∈ α; AC⊥BD; α AC ∩ BD = {O} O 2 ˆ AOE = E OB;ˆ D B 3 ˆ AOG = GOD; ˆ H F 4 AE, EB, BF , FC, CH, HD, DG, GA; C eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 58. Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao ´ ¸˜ A 1 α = {O, r } G E {A, B, C, D} ∈ α; AC⊥BD; α AC ∩ BD = {O} O 2 ˆ AOE = E OB;ˆ D B 3 ˆ AOG = GOD; ˆ H F 4 AE, EB, BF , FC, CH, HD, DG, GA; C eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 59. Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao ´ ¸˜ A 1 α = {O, r } G E {A, B, C, D} ∈ α; AC⊥BD; α AC ∩ BD = {O} O 2 ˆ AOE = E OB;ˆ D B 3 ˆ AOG = GOD; ˆ H F 4 AE, EB, BF , FC, CH, HD, DG, GA; C eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas