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Ledo Vaccaro Machado
Se um evento ocorre em 2 etapas
sucessivas, sendo k1 o número de possibi-
lidades de ocorrência da primeira etapa e, para
cada ocorrência da primeira etapa, são
possíveis k2 modos de ocorrência da segunda
etapa, então o número de modos pelos quais o
evento pode ocorrer é dado por k1.k2 .
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para um evento com n etapas.
Se um evento ocorre em n etapas sucessivas,
sendo k1 o número de possibilidades de ocorrência da
primeira etapa e, para cada ocorrência da primeira
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Numa empresa há 5 engenheiros, 2 econo-
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e) f) g) h)
i) j) k) 30 + 0! – 1!
!
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!
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4
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10
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7
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!
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2!
!
3
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5
.
13
!
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3
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13
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5 
Simplifique:
a) b) c)
d) e) f)
)!
1
-
(n
!
n
n!
1)!
(n 
1)!
(n
1)!
-
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
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1
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

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-
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2
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n
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2)
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(2n
!
2
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(2n)
Existe valor de n tal que 2n.n! = 0 ?
Calcule n na equação
.
n
7
)!
1
n
(
n!
)!
1
n
(




Se an = , então a2009 é igual a:
)!
1
n
(
)
1
(n
!
n 2


a) b) 2009 c) 2008
d) e)
2010
1
1
2008
2009
2
 2009
1
20092

Determine o número de permutações que
podem ser feitas com as letras da palavra ALUNO.
Determine o número de permutações
que podem ser feitas com as letras da
palavra ESTUDAR.
Chamamos de PERMUTAÇÃO DE n
ELEMENTOS a toda sucessão de n termos
formada com os n elementos de um conjunto dado.
Duas permutações distinguem-se pela ordem
de seus termos.
Permutação
O número de permutações de
n elementos distintos é dado por:
Pn = n!
Quantidade de Permutações
Determine o número de anagramas da
palavra ALADO.
Determine o número de anagramas da
palavra BALADA.
Quando em uma permutação tem-se 
elementos repetidos de um tipo,  elementos
repetidos de um outro tipo,  elementos repetidos de
um terceiro tipo e assim sucessivamente, o número
de permutações com elementos repetidos que
podemos formar é dado por:
Permutações com Elementos Repetidos
!
!
!
!
n
P
,
,
n






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da palavra BANANA.
Permutando os algarismos 1, 1, 2, 2, 2 e 3,
quantos números maiores que 300.000 podemos
formar?
Numa corrida de fórmula 1, há 25 pilotos
participando e apenas os nove primeiros colocados
ganham pontos. Quantas são as possibilidades de
classificação nos nove primeiros lugares ?
Num baile há 9 rapazes e 15 moças. Para
uma certa dança, cada rapaz escolhe uma moça,
formando, assim, 9 pares. De quantos modos
diferentes estes pares podem ser formados ?
Denominamos ARRANJO DE n ELEMENTOS
TOMADOS p A p a qualquer sucessão de p
elementos distintos escolhidos em um conjunto de n
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seus elementos ou pelos elementos que o
constituem.
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O número de arranjos de n elementos distintos
tomados p a p é dado por:
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p
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nários serão promovidos a cargos de gerência.
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conjunto de n elementos.
Duas combinações distinguem-se pelos
elementos que a constituem.
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tomados p a p é dado por:
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)!
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p
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Combinatória.pptxCombinatória.pptxCombinatória.pptxCombinatória.pptx

  • 1. O único lugar em que sucesso vem antes de trabalho é no dicionário. Albert Einstein Ledo Vaccaro Machado
  • 2. Se um evento ocorre em 2 etapas sucessivas, sendo k1 o número de possibi- lidades de ocorrência da primeira etapa e, para cada ocorrência da primeira etapa, são possíveis k2 modos de ocorrência da segunda etapa, então o número de modos pelos quais o evento pode ocorrer é dado por k1.k2 . Princípio Fundamental da Contagem
  • 3. Podemos expandir o Princípio da Contagem para um evento com n etapas. Se um evento ocorre em n etapas sucessivas, sendo k1 o número de possibilidades de ocorrência da primeira etapa e, para cada ocorrência da primeira etapa, são possíveis k2 modos de ocorrência da segunda etapa; para cada ocorrência da primeira e da segunda etapa são possíveis k3 modos de ocorrência da terceira etapa, e assim por diante até a etapa de ordem n, que pode ocorrer de kn modos, então o número de modos pelos quais o evento pode ocorrer é dado por: k1.k2.k3. ... .kn .
  • 4. Numa empresa há 5 engenheiros, 2 econo- mistas e 4 administradores. Deseja-se formar uma comissão para estudar um projeto, composta de 1 engenheiro, 1 economista e 1 administrador. De quantos modos a comissão poderá ser formada?
  • 5. Num colégio será formada uma comissão de professores, composta de um professor de cada matéria, para estabelecer um critério de avaliação. Se no colégio existem 4 professores de Matemática, 3 de Português, 3 de Biologia, 4 de Inglês, 6 de estudos sociais, 3 de Física e 2 de Química, de quantos modos a comissão poderá ser formada?
  • 6. (FGV) Uma fábrica de automóveis produz três modelos de carro. Para cada um, os clientes podem escolher entre sete cores diferentes; três tipos de estofamento, que podem vir, seja em cinza, seja em vermelho; dois modelos distintos de pneus; e entre vidros brancos ou vidros tintos. Ademais, opcional- mente, é possível adquirir os seguintes acessórios: um cinzeiro; uma de duas marcas de rádio ou um modelo de toca-fitas; um aquecedor; e um câmbio hidramático. Quantos exemplares de carros distintos entre si a fábrica chega a produzir?
  • 7. a)quantos números são; b)quantos são ímpares; c)quantos são pares; d)quantos são maiores que 500; e)quantos são divisíveis por 5; f) quantos apresentam o algarismo 4; g)quantos apresentam todos os algarismos pares. Considerando todos os números de três algarismos distintos que podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0, responda:
  • 8. De quantos modos podem se sentar 4 rapazes e 4 moças num banco de 8 lugares do modo que não fiquem dois rapazes juntos nem duas moças juntas?
  • 9. (Sta. Casa) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as cidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem?
  • 10. (PUC) Chamam-se “palindromos” números inteiros que não se alteram quando é invertida a ordem de seus algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O número total de palíndromos de cinco algarismos é: a) 900 b) 1000 c) 1900 d) 2500 e) 5000
  • 11. Dada um número natural n, n > 1, definimos: n! = n.(n – 1).(n – 2). . . . .3.2.1 Definimos, ainda: 1! = 1 e 0! = 1 Fatorial
  • 12. Calcule o valor de: a)4! b) 9! c) 4! + 5! d) 4.5! + 5.3! e) f) g) h) i) j) k) 30 + 0! – 1! ! 7 ! 8 ! 3 ! 6 ! 11 ! 9 6! ! 4 ! 10 ! 7 ! 13 ! 15 ! 5 2! ! 3 ! 5 . 13 ! 10 ! 3 ! 13 . 5 
  • 13. Simplifique: a) b) c) d) e) f) )! 1 - (n ! n n! 1)! (n  1)! (n 1)! - (n  )! 1 n ( ! m ! n )! 1 m (   ! 2) - (n ! 2 ! n ! 2) - (2n ! 2 ! (2n)
  • 14. Existe valor de n tal que 2n.n! = 0 ?
  • 15. Calcule n na equação . n 7 )! 1 n ( n! )! 1 n (    
  • 16. Se an = , então a2009 é igual a: )! 1 n ( ) 1 (n ! n 2   a) b) 2009 c) 2008 d) e) 2010 1 1 2008 2009 2  2009 1 20092 
  • 17. Determine o número de permutações que podem ser feitas com as letras da palavra ALUNO.
  • 18. Determine o número de permutações que podem ser feitas com as letras da palavra ESTUDAR.
  • 19. Chamamos de PERMUTAÇÃO DE n ELEMENTOS a toda sucessão de n termos formada com os n elementos de um conjunto dado. Duas permutações distinguem-se pela ordem de seus termos. Permutação
  • 20. O número de permutações de n elementos distintos é dado por: Pn = n! Quantidade de Permutações
  • 21. Determine o número de anagramas da palavra ALADO.
  • 22. Determine o número de anagramas da palavra BALADA.
  • 23. Quando em uma permutação tem-se  elementos repetidos de um tipo,  elementos repetidos de um outro tipo,  elementos repetidos de um terceiro tipo e assim sucessivamente, o número de permutações com elementos repetidos que podemos formar é dado por: Permutações com Elementos Repetidos ! ! ! ! n P , , n       
  • 24. Determine o número de anagramas da palavra BANANA.
  • 25. Permutando os algarismos 1, 1, 2, 2, 2 e 3, quantos números maiores que 300.000 podemos formar?
  • 26. Numa corrida de fórmula 1, há 25 pilotos participando e apenas os nove primeiros colocados ganham pontos. Quantas são as possibilidades de classificação nos nove primeiros lugares ?
  • 27. Num baile há 9 rapazes e 15 moças. Para uma certa dança, cada rapaz escolhe uma moça, formando, assim, 9 pares. De quantos modos diferentes estes pares podem ser formados ?
  • 28. Denominamos ARRANJO DE n ELEMENTOS TOMADOS p A p a qualquer sucessão de p elementos distintos escolhidos em um conjunto de n elementos. Dois arranjos distinguem-se pela ordem de seus elementos ou pelos elementos que o constituem. Arranjo
  • 29. O número de arranjos de n elementos distintos tomados p a p é dado por: Quantidade de Arranjos )! p n ( ! n p , n A  
  • 30. Oito alunos fizeram um trabalho em grupo, mas apenas três deles deverão apresentá-lo perante a classe. De quantos modos podem ser escolhidos os três que farão a apresentação?
  • 31. Numa agência de banco, quatro funcio- nários serão promovidos a cargos de gerência. Havendo nove funcionários qualificados para a função, de quantos modos poderão ser esco- lhidos os promovidos?
  • 32. Denominamos COMBINAÇÃO DE n ELEMENTOS TOMADOS p A p a qualquer subconjunto de p elementos escolhidos em um conjunto de n elementos. Duas combinações distinguem-se pelos elementos que a constituem. Combinação
  • 33. O número de combinações de n elementos tomados p a p é dado por: Quantidade de Combinações )! p n ( ! p ! n p , n C  
  • 34. São dados dez pontos em um plano, entre os quais não há três colineares. Quantos triân- gulos podem ser formados com vértices em três destes pontos?
  • 35. Calcule os números: a)C8, 5 b) C8,3 c) d) e) C5, 5 f) C5, 0 g) h) 2 7 C 5 7 C 1 5 C 4 5 C
  • 36. Tomando-se quatro fatores distintos entre os elementos do conjunto {2. 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}, quantos produtos de valores diferentes podem ser obtidos ?
  • 37. Numa festa compareceram 36 pessoas. Se cada uma delas cumprimentou todas as outras ao chegar, quantos cumprimentos foram realizados?
  • 38. Um indivíduo faz uma relação de nomes de onze pessoas amigas. Entre elas estão João e Maria, um casal inseparável. De quantas maneiras ele poderá convidar cinco destas pessoas para jantar?
  • 39. Um indivíduo faz uma relação de nomes de onze pessoas amigas. Entre elas estão João e Maria, duas pessoas que não podem estar juntas. De quantas maneiras ele poderá convidar cinco destas pessoas para jantar?