SAMER ATEF SERHAN ABORDAGENS ALGEBRICAS SOBRE A IMPORTANCIA DOS NUMEROS IMAGINÁRIOS E O CONJUNTO DOS COMPLEXOS NA MATEMATICA

1. 1
SAMER ATEF SERHAN
ABORDAGENS ALGEBRICAS SOBRE A IMPORTANCIA
DOS NUMEROS IMAGINÁRIOS E O CONJUNTO DOS
COMPLEXOS NA MATEMATICA
São Paulo
Agosto
2018

2. 2
SAMER ATEF SERHAN
ABORDAGENS ALGEBRICAS SOBRE A IMPORTANCIA
DOS NUMEROS IMAGINÁRIOS E O CONJUNTO DOS
COMPLEXOS NA MATEMATICA
São Paulo
Agosto
2018

3. 3
RESUMO..............................................................................................................................................4
ABSTRACT ...........................................................................................................................................5
1 INTRODUÇÃO...................................................................................................................................6
2 CONCEITOS DOS NUMEROS IMAGINARIOS.....................................................................................10
Exercicio 1 ................................................................................................................................10
3 OPERAÇOES COM NUMEROS COMPLEXOS.....................................................................................11
Exercício 2 ................................................................................................................................12
Exercício 3 ................................................................................................................................14
4 PROPRIEDADE DA DIVISAO.............................................................................................................15
Exercício 4 ................................................................................................................................15
Exercício 5 ................................................................................................................................16
5 PROPRIEDADE EXPONENCIAL.........................................................................................................17
Exercício 6 ................................................................................................................................18
6 MODULO DE UM NUMERO COMPLEXO..........................................................................................19
Exercício 7 ................................................................................................................................20
7 BIBLIOGRAFIA.................................................................................................................................21

4. 4
RESUMO
Este artigo visa em suma buscar argumentos que justifiquem a existência do conjunto
dos Complexos dentro do âmbito matemático, iniciando com uma abordagem histórica que
justifica tal fato.
Além de abordagens históricas, problemas propostos foram elaboradores e em conjunto
foram incrementando novos conceitos, onde, inicialmente apenas uma breve introdução foi
incrementada a conceitos postos por matemáticos para elaboração de demais exercícios que
exigiam tais fundamentos, como propriedades dos números imaginários, definições importantes
tais como Imaginário Puro e operações e propriedades dentre dos conjuntos dos complexos.
Palavras-chave: Complexos, Reais, Cardando, Unidade Imaginaria, Modulo.

5. 5
ABSTRACT
This article aims at summing up arguments that justify the existence of the set of
Complexes within the mathematical scope, starting with a historical approach that justifies this
fact. In addition to historical approaches, proposed problems were elaborators and together they
were increasing new concepts, where initially only a brief introduction was added to concepts
put by mathematicians to elaborate other exercises that required such fundamentals as
properties of imaginary numbers, important definitions such as as Pure Imaginary and
operations and properties among the complex sets.
Keywords: Complexes, Real, Carding, Imaginary, Module, Functions, Pythagoras.
Newton, Binomial, Factorial, Permutation, Combination, Probability.

6. 6
1 INTRODUÇÃO
Uma breve abordagem histórica pode ser destacada no âmbito dos Números Complexos.
Toda pesquisa feita sobre a antiguidade na esfera algébrica mostra que o individuo
dominava equações desde então, exemplos do fato são pedaços de manuscritos encontrados
atualmente no Museus Britânico, na cidade de Londres (SALOMÃO, 2013).
Dentre os manuscritos, um problema encontrado pode ser considerado impulso a
abordagem dos Números Complexos. Em suma a ideia foi imaginar que de um Cubo, no qual
conceitualmente é formado por um empilhamento de quadrados, onde todos os lados possuem
a mesma medida, e, consequentemente teremos:
IMAGEM 1 – FORMAÇAO DE UM CUBO
Fonte: Elaboração: do Autor.
Se forem retirados do volume do cubo 15 vezes o tamanho de seu comprimento, me
resultará em 4. Lembrando que Volume, é uma unidade tridimensional, e comprimento
unidimensional, logo, não podemos operar com valores distintos.
Matematicamente, sabemos que:
𝑉 = 𝑙. 𝑙. 𝑙 = 𝑙%
𝐴 = 𝑙. 𝑙. = 𝑙'
Onde V é o Volume do cubo, e A a área de sua face, ou de um dos quadrados
que o compõem.

7. 7
Logo, teremos:
𝑙%
− 15𝑙 = 4
𝑙%
− 15𝑙 − 4 = 0
Assim, conforme sabemos, uma equação de 1° grau detém 1 raiz, 2° grau, 2
raízes, logo, a equação acima, 3° grau, 3 raízes, ou seja, 3 valores para a variável dependente
que satisfaz a igualdade 0.
Cardano e Tartaglia, matemáticos do Seculo XVI foram os principais
idealizadores das resoluções de equações de terceiro grau.
Os pesquisadores demonstraram que as equações de grau 3 podem ser subtraídas
da variável x2, ou seja, uma equação a𝒙 𝟑
+ 𝒃𝒙 𝟐
+ 𝒄𝒙 + 𝒅 = 𝟎 pode ser transcrita de modo
que o termo x2 não esteja presente.
Sabendo que
𝑎𝑥%
+ 𝑏𝑥'
+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 = 𝑦
Utilizaremos para que tenhamos o termo quadrático fora da equação.
Desta forma a equação se reduz a
E assim pode-se iniciar a demonstração feita por Cardano onde:
Demonstrando desta forma que é possível a eliminação do termo quadrático de uma
equação de grau 3.

8. 8
Posteriormente, Tartaglia ao considerar y = A + B fez a seguinte analise,
Sejam A e B dois números reais e y = A+B. Prove que se y é uma raiz da equação , então
3AB = −p e A3 +B3 = −q, lembrando que por produtos notáveis temos:
Como y3 = A3 +B3 +3ABy então, temos que y3 −3ABy−(A3 +B3) = 0.
Comparando com a equação y3 + py+q = 0, obtemos que 3AB = −p e A3 +B3 = −q.
Como pode-se notar, Tartaglia sugere que as raízes se deduzem da soma de A e B, e
não apenas de uma delas como os matemáticos anteriores sugeriam.
Desta forma, devemos saber os respectivos valores de A e B para obtermos a solução
proposta.
Provando que, nas condições ate aqui postas, A3 e B3 são soluções da equação
E também,
temos
3AB = −p , assim,
Podemos mostrar que a raiz da equação de grau 3 é dada por

9. 9
Isso nos resulta em 3 raízes, onde ao menos 2 serão compostas por raízes de números
negativos, e, desta forma, o universo dos números imaginários foram introduzidos, dado que
os conjuntos até então dos números Reais não traziam tal solução.

10. 10
2 CONCEITOS DOS NUMEROS IMAGINARIOS
Tendo agora o conjunto dos números imaginários, Carndano propôs as notações
para a parte não real de uma equação z, composta por
z = a + bi
onde:
1) Parcela real = a
2) Parcela imaginária = bi
a. Dado i2
= -1 (Unidade imaginaria)
Desta forma definido também o conceito de Imaginário Puro, todo aquele onde z = a
+ bi, a = 0 e b ≠ 0
Exercicio 1
Dado =𝑥'
−
>
?
@ + 3𝑖 = 𝑧 assumira x quais valores para z = a + bi onde a = 0 e b ≠ 0?
a = 𝑥'
−
>
?
= 0
x1 = + 1/3
x2 = - 1/3
logo, =
>
?
−
>
?
@ + 3𝑖 = 𝑧 , 3i = z;

11. 11
3 OPERAÇOES COM NUMEROS COMPLEXOS
Vale destacar alguns pontos com operações de valores complexos antes de introduzir o
exercício proposto.
Dois números complexos, sejam quaisquer z1 = (x1,y1), z2 = (x2,y2), a operação
somatória dada por
z1 +z2 = (x1,y1)+(x2,y2) = (x1 +x2,y1 +y2)
Ao passo que o produto, é dado por
z1z2 = (x1,y1)(x2,y2) = (x1x2 −y1y2,x1y2 +x2y1).
Já a razão, ou, divisão, tem seu resultado ou quociente definido por
Sendo assim, para alguns casos onde o numero complexo é imaginário puro, podemos
denotar da seguinte forma:
Onde (x,y) = (x,0) + (0,y), correspondendo a (0,y) = (y,0)(0,1), logo, para os números
complexos não reais, temos a composição determinada como a soma de um numero real e
um imaginário puro.
Outra denominação feita no âmbito estudado, são as operações chamadas de
Conjugados, 𝒛 𝒏FFF, onde o conjugado é de dado um numero complexo z = (x,y) = x +yi,
resultando em , 𝒛 𝒏FFF = 𝑥 − 𝑦𝑖 = ( 𝑥, −𝑦).
E, se 𝒛 𝟏FFF = 𝑥1 − 𝑦1𝑖 = ( 𝑥1, −𝑦1), 𝒛 𝟐FFF = 𝑥2 − 𝑦2𝑖 = ( 𝑥2 − 𝑦2), 𝒛 𝟏FFF + 𝒛 𝟐FFF = 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐FFFFFFFFFF
= x1 + x2 – (y1 + y2)i

12. 12
Exercício 2
Dados z1 = 8 + 6i, z2 = -4 + 2i, z3 = 9 + i, z4 =-3i,
A) z1 +z2
i) z1 = 8 + 6i
ii) z2 = -4 + 2i
iii) z1 +z2 = (8,6i) + (-4,2i) = (8 + 6i) + (-4 + 2i) = 4 + 4i
B)
i) z1 +z2 + 𝒛 𝟑FFF
ii) dado o item a, temos 4 + 4i + 𝒛 𝟑FFF = 4+ 4i + 9 – 1i = 13 + 3i
C) z1 -z2 = (8 -4) – (6 + 2)i = 4 – 8i
D) 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐FFFFFFFFFF − ( 𝒛 𝟑 + 𝒛𝟒)
i) 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐FFFFFFFFFF = 𝟒 − 𝟖𝒊 = za
ii) ( 𝒛 𝟑 + 𝒛𝟒) = 𝟗 − 𝟐𝒊= zb
E) 𝒁𝑨 − 𝒁𝑩 = -5 – (-8 -2)i = -5 + 10i
F) 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟏FFF = ( 𝒙 𝟏 + 𝒚 𝟏 𝒊) + ( 𝒙 𝟏 − 𝒚 𝟏 𝒊) = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟏 = 𝟏𝟔

13. 13
G) 𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟏FFF = ( 𝒙 𝟏 + 𝒚 𝟏 𝒊) − ( 𝒙 𝟏 − 𝒚 𝟏 𝒊) = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟏 + 𝟐𝒚 𝟏𝒊 = 𝟏𝟐𝒊
H) Por definição, 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐FFFFFFFFFF = 𝒛 𝟏FFF + 𝒛 𝟐FFF
i) 𝒛 𝟐 + 𝒛 𝟒FFFFFFFFFF = 𝒛 𝟐FFF + 𝒛 𝟒FFF
ii) 𝑨𝒔𝒔𝒊𝒎, 𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔 − 𝟒 − 𝟐𝒊 + 𝟑𝒊 = −𝟒 − 𝒊
I) 𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟐FFFFFFFFFF + 𝒛 𝟑 = 𝒛 𝟏FFF − 𝒛 𝟐FFF − 𝒛 𝟑
i) 𝟖 − 𝟔𝒊 − (−𝟒 − 𝟐𝒊) − ( 𝟗 + 𝒊) = 𝟖 − 𝟔𝒊 + 𝟒 + 𝟐𝒊 − 𝟗 − 𝒊 = 𝟑 − 𝟓𝒊

14. 14
Exercício 3
Tendo z1 = 6, z2 = 3i, z3 = 5 - 7i, z4 =8 + 3i,
A) z1z2 = (x1,y1)(x2,y2) = (x1x2 −y1y2) + (x1y2 - x2y1)i = (6x0 – 0x3) + (6.3 – 0.0)i = 18i
B) z2z3 = (0x5 – 3x7) + (0x7 – 5x3)i = -21 -15i
C) z32 = (5 – 7i)2 = 25 – (2x25x7)i + 49 = 74 – 350i
D) 𝑧% 𝑧%FFFF = (5 − 7𝑖)(5 + 7𝑖) = 5𝑥5 + 5𝑥7𝑖 − 5𝑥7𝑖 + 49𝑖 = 25 + 49𝑖
E) (z4 + z3)2 = (8 + 3i)(5 – yi) = (8x5 – 3x(-1)) + (8x(-1) – 3x5)i = 40 + 3 + (-8 -15)i = 43 –
23i

15. 15
4 PROPRIEDADE DA DIVISAO
Assim como já vimos algumas propriedades no capitulo anterior, é necessário
complementar os dados tratando-se de razão entre dois números complexos, tais que sejam z1
e z2 respectivamente representados por (a + bi) e (c +di).
𝑧>
𝑧'
=
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖
=
( 𝑎 + 𝑏𝑖) 𝑥 ( 𝑐 + 𝑑𝑖)
( 𝑐 + 𝑑𝑖) 𝑥 ( 𝑐 + 𝑑𝑖)
=
𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑖𝑐 + 𝑏𝑑𝑖'
𝑐' − 𝑑' 𝑖'
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑖'
= −1, 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
𝑐' + 𝑑'
+
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑐' + 𝑑'
𝑖 = 𝑧>/𝑧'
Exercício 4
Tendo z1 = 3 +2i
z2 = 4 – i,
z3 = i,
z4 = 5,
A) Z1:Z2 = 3 + 2I / 4 – I =
𝟑𝒙𝟒h𝟐𝒙i𝟏
𝟒h𝟏
+
𝟐𝒙𝟒 i𝟑𝒙i𝟏
𝟒h𝟏
𝒊 =
𝟏𝟎
𝟓
+
𝟓
𝟓
𝒊 = 𝟓 + 𝒊
B) z1:z3 = 3 + 2i / 0 +1i =
𝟎h𝟐
𝟏
+
𝟎 i 𝟑𝒙𝟏
𝟏
𝒊 =
𝟐
𝟏
+
𝟑
𝟏
𝒊 = 𝟐 + 𝟑𝒊
C) z4: 𝒛 𝟏FFF = 0 + 1i / 3 - 2i =
𝟎i𝟐
𝟏𝟎
+
𝟑
𝟏𝟎
𝒊 = −
𝟏
𝟓
+
𝟑
𝟏𝟎
𝒊

16. 16
D) Z3:Z2 = 0 + 1I / 4 – I =
ji>
>ki>
+
l+0
16+1
𝑖 =
−1
15
+
1
4
𝑖
Exercício 5
𝑧 =
1 + 𝑖
𝑥 − 𝑖
, 𝐿𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑧, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑢𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅, 𝑒 𝑎 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎.
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑧 =
1
𝑥 − 𝑖
+
𝑖
𝑥 − 𝑖
,
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑜 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑠𝑢𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙.
No entanto, para que z seja imaginário puro, ele deve manter tal verificação, onde x
deverá ser diferente de i e também não poderá assumir valor 1 ou -1, dado que as condições
postas não invalidam z, pois o denominador x – i sempre será maior que zero e contido i:
𝑥 ≠ t
𝑖,
±1,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑖, 𝑧 =
1
0
+
𝑖
0
, 𝑖𝑛𝑣𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −1, 𝑧 =
1
−1 − 𝑖
+
𝑖
−1 − 𝑖
=
1'
𝑖' − 𝑖'
+
𝑖'
𝑖' − 𝑖'
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖'
= −1, 𝑖𝑛𝑣𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1, 𝑧 =
1
1 − 𝑖
+
𝑖
1 − 𝑖
=
1'
1' − 1
+
1
1' − 1
, =
1
0
−
1
0
, 𝑖𝑛𝑣𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧

17. 17
5 PROPRIEDADE EXPONENCIAL
No que abrange as propriedades em cálculos envolvendo potencias ou expoentes em
números imaginários, devemos notar que dentro os valores que se faz como expoente de i
teremos exclusivamente 4 grupos, sempre e respectivamente de resultados, seguindo a
logica de n+1, onde in.
Tal fundamento se instala ao realizarmos as operações abaixo:
1. i0
= 1
2. i1
= i
3. i2
= – 1
4. i3
= i2
·i = – 1·i = – i
5. i4
= i2
· i2
= (– 1)·(– 1) = 1
6. i5
= i4
·i = 1·i = i
7. i6
= i4
·i2
= 1·(– 1) = – 1
8. i7
= i6
·i = (– 1)·i = – i
9. i8
= i6
·i2
= (– 1)·(– 1) = 1
10.i9
= i8
·i = 1·i = i
11.i10
= i8
·i2
= 1·(– 1) = – 1
12.i11
= i10
·i = (– 1)i = – i
…
Logo, todo in poderá ser resolvido por simplificação de n onde, dado o agrupamento
de 4 valores respectivamente como observado acima, a simplificação será dada por
𝒏
𝟒

18. 18
Exercício 6
A) 𝒊 𝟒𝟐
= 𝒊 𝟐
. 𝒊 𝟒𝟎
= −𝟏. 𝒊 𝟖
𝒊 𝟐
= −𝟏. 𝒊 𝟒
. 𝒊 𝟐
𝒊 𝟐
= −𝟏. 𝟏. 𝟏 = −𝟏
B) 𝒊 𝟕𝟒𝟑
= 𝒊 𝟕𝟒𝟎
. 𝒊 𝟑
→
𝟕𝟒𝟎
𝟒
= 𝟏𝟖𝟓 → 𝒊 𝟒
. 𝒊 𝟑
= −𝒊
C) 𝒊 𝟏𝟎𝟐𝟒
→
𝟏𝟎𝟐𝟒
𝟒
= 𝟐𝟓𝟔 → 𝒊 𝟒
= 𝟏
D) 𝒊 𝟗𝟕
→
𝟗𝟔
𝟒
= 𝟐𝟒 → 𝒊 𝟒
. 𝒊 = 𝒊

19. 19
6 MODULO DE UM NUMERO COMPLEXO
Encerrando as principais ideias sobre o conjunto dos números imaginários, a ideia de
modulo de determinado z composto por a + bi, onde a e b são reais, podemos dizer que o
modulo segue a mesma ideia algébrica onde a ideia se identifica com distancia de
determinado vetor, ou melhor, se os valores são reais e a medida é de comprimento ou
tamanho de um vetor, não se leva em conta os respectivos valores negativos.
sendo assim,
a importância de destacar o termo quadrático é justamente a eliminação do termo
negativo em qualquer um dos membros de z.
a ideia se identifica com Pitágoras, onde a hipotenusa (r) será a soma dos catetos (x e
y) ao quadrado, dentro da raiz.
Tendo argumento, o angulo teta formado entre a origem e a hipotenusa conforme
acima destacado.

20. 20
Exercício 7
𝑎) 𝑧 = 6 − 8𝑖 = √6' + 8' = 100
z
{ = 10
𝑏) 𝑧 = 1 + 2𝑖 = √1' + 2' = √5
𝑐) 𝑧 = √3 + 1 = |(√3 + 1)' = }3 + 2√3 + 1 = }4 + 2√3 = }2' + 2𝑥3>/' =
}2(2 + 3j,~) = •√4 + 2√3€
j,~
= 2 + 3√2
𝑑) 𝑧 = −3 + √7𝑖 = |3' + •√7€
'
= √16 = 4
𝑒) 𝑧 = 6𝑖 = √6' = 6
𝑓) 𝑧 = −3 = √3' = 3
𝑔) 𝑧 = 1 − 𝑖 = √1' + 1' = √2
ℎ) 𝑧 = 𝑖 = √1' = 1
𝑖) 𝑧 = 1 = √1' = 1
𝑗) 𝑧 = −9𝑖 = √9' = 9

21. 21
7 BIBLIOGRAFIA
1. BOMBELLI, Rafael. L’Algebra. 1572.
2. BRASIL. MEC. SEF. Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino Médio). Brası́lia,
1998.
3. CARDANO, Girolamo. Ars Magna. 1545.
4. CERRI, Cristina e MONTEIRO, Marta. História dos Números Complexos. USP-SP,
2001.
5. LIMA, Elon Lages. Et al. Exame de Textos: Análise de Livros de Matemática para o
Ensino Médio. IMPA/SBM. Rio de Janeiro, 2001.
6. MOTTA, Edmilson Luis Rodrigues. Aplicações dos Números Complexos à
Geometria. Revista Eureka, No 6. São Paulo, 1999.
7. OLIVEIRA, Carlos Nely Clementino de. Números Complexos: Um estudo dos
registros de representação e de aspectos gráficos. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemá- tica). Pontifı́cia Universidade Católica. São Paulo, 2010.
8. PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: Conceitos, Linguagem e Aplicações. Ensino
Médio (Vol. 3). 1a Edição. Ed. Moderna. São Paulo, 2009.
9. REIS NETO, Raimundo Martins. Alternativa metodológica para ensino e aprendiza-
gem de números complexos: uma experiência com professores e alunos. Dissertação
(Mestrado em Educação Matemática). Pontifı́cia Universidade Católica. Belo
Horizonte, 2009.

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23. Nome do arquivo: NUMEROS IMAGINARIOS.docx
Diretório:
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SettingsTemporary Internet FilesOLK12monografia.dot
Título: ABORDAGENS ALGEBRICAS SOBRE A
IMPORTANCIA DOS NUMEROS IMAGINÁRIOS E O CONJUNTO
DOS COMPLEXOS NA MATEMATICA
Assunto:
Autor: 12021046
Palavras-chave:
Comentários:
Data de criação: 16/09/2018 22:02:00
Número de alterações: 5
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Salvo por: Samer Serhan
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