Introdução à Estatística

Introdução à Estatística 1
Júlio Cesar de C. Balieiro 1
Introdução à Estatística
2
É a ciência que se preocupa com:
(i) Organização;
(ii) Descrição;
(iii) Análises;
(iv) Interpretações.
Estatística Descritiva
Estatística Indutiva ou
Estatística Inferencial
Estatística

3
População
Alguns Conceitos
• É o conjunto de elementos com pelo menos uma
característica em comum.
• Esta característica comum deve delimitar claramente
quais os elementos que pertencem à população e
quais os elementos que não pertencem.
Amostra
• É um subconjunto de uma população, onde todos os
seus elementos serão examinados para efeito da
realização do estudo estatístico desejado.
4
Alguns Conceitos
OBJETIVO DA ESTATÍSTICA: “tirar conclusões
sobre populações com base nos resultados
observados em amostras extraídas dessas
populações”.
Variável
• É a característica dos elementos da amostra que nos
interessa averiguar estatisticamente.
• Ex.: variável Idade - se houver “n” elementos
fisicamente considerados no estudo, esses elementos
fornecerão “n” valores da variável idade, os quais serão
tratados convenientemente pela Estatística Descritiva
e/ou pela Estatística Inferencial.

5
Tipos de Variáveis
As variáveis de interesse podem ser classificadas em:
(i) Qualitativas => quando resultar de uma classificação
por tipos ou atributos.
(ii) Quantitativas => quando seus valores forem
expressos em números. Podem ser
subdivididas:
(a) Discretas;
(b) Contínuas.
6
Tipos de Variáveis
Exemplos de Discretas:
População: Ovinos da raça Santa Inês da ASCCO;
Variável: número de cordeiros ao parto (1, 2 ou 3).
População: Bovinos Nelore da Agro-pecuária CFM Ltda.
Variável: Escores de Musculosidade (1, 2, 3, 4 ou 5).
Variável: Prenhez aos 14 meses de idade (0 ou 1).
(a) Variáveis Quantitativas Discretas
Assumem apenas valores pertencentes a um conjunto
enumerável. São obtidos mediante alguma forma de
contagem.

7
Tipos de Variáveis
(b) Variáveis Quantitativas Contínuas
São aquelas, teoricamente, que podem assumir qualquer
valor em um certo intervalo de variação. Resultam, em
geral, de uma medição, sendo freqüentemente expressos
em alguma unidade.
Exemplos de Contínuas:
Variável: PN (28,0; 28,5; 30,2; 32,58)
Variável: Peso aos 18 meses, em kg (250,0 até 415,0 kg)
Características Numéricas de
uma Distribuição de Dados

9
As vezes é necessário resumir certas características das
distribuições de dados (ou mesmo de freqüências dados)
por meio de certas quantidades.
Tais quantidades são usualmente denominadas de
MEDIDAS, por quantificarem alguns aspectos de nosso
interesse.
Nosso objetivo é apresentar algumas das chamadas
MEDIDAS DE POSIÇÃO, bem como, algumas MEDIDAS
DE DISPERSÃO, consideradas mais importantes no campo
da aplicabilidade prática do nosso dia a dia.
Tais medidas servem para:
(a) Localizar uma distribuição;
(b) Caracterizar sua variabilidade.
Introdução
10
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
Servem para localizar a distribuição dos dados
brutos (ou das freqüências) sobre o eixo de
variação da variável em questão.
Veremos os três tipos principais de medidas de
posição:
(a) Média Aritmética;
(b) Mediana;
(c) Moda.

11
Tendência Central)
ii
k
i
ii
k
i
pX
n
fX
'
1
1
mˆˆx
=
=
Σ=
Σ
=== µ
Média (Aritmética)
A notação internacional recomenda símbolos
específicos para a Média:
n
Xi
n
i 1
mˆˆx =
Σ
=== µ
(a) AMOSTRA:
Conjunto de Dados =>
Tabelas de Freqüência =>
=>
12
Tendência Central)
ii
k
i
ii
k
i
pX
n
fX
m '
1
1
=
=
Σ=
Σ
==µ
Média (Aritmética)
Tabela de Freqüência =>
(b) POPULAÇÃO:
n
X
m
i
n
i 1=
Σ
==µ

13
Tendência Central)
Exemplo 2: 50 determinações do tempo (em segundos)
gasto por um funcionário
5,54
50
725.2
mˆˆx 1
==
Σ
=== =
n
fX ii
k
i
µ
684
14
Tendência Central)
Propriedades da Média
(a) Multiplicando todos os valores de uma variável
por uma constante, a média do conjunto fica
multiplicada por essa constante.
(b) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a
todos os valores da variável, a média do conjunto
fica acrescida ou subtraída dessa constante.

15
Tendência Central)
Mediana
A mediana é uma quantidade que, como a média,
também caracteriza o centro de uma distribuição
pertencente a um conjunto de dados.
dmˆ(a) AMOSTRA:
(b) POPULAÇÃO: md
=>
16
Tendência Central)
Conjunto de Dados: Para obtenção da estimativa de
mediana de um conjunto de dados
são necessários os seguintes passos:
1º Passo: Ordenar de forma crescente os “n” valores da
variável em questão;
2º Passo: (i) Sendo “n” ímpar, a mediana será igual ao valor
de ordem ;
2
)1( +n
(ii) Sendo “n” par, a mediana será o valor médio
entre os valores de ordem e .
2
n
1
2
+
n

17
Tendência Central)
md
md
a
i h
f
Fn
Ldm
−
+=
)2/(
ˆTabelas de Freqüência =>
Li = limite inferior da classe que contém a mediana;
n = números de elementos do conjunto da dados;
Fa = soma das freqüências das classes anteriores que
fmd = freqüência da classe que contém a mediana;
hmd= amplitude da classe que contém a mediana.
contém a mediana;
Mediana
18
Tendência Central)
Li = 49,5; n = 50; Fa = 11; fmd = 16; hmd = 5.
Mediana
md
md
a
i h
f
Fn
Ldm
−
+=
)2/(
ˆ
684

19
Tendência Central)
875,535.
16
11)2/50(
5,49ˆ =
−
+=dm
Li = 49,5; n = 50; Fa = 11; fmd = 16; hmd = 5.
Mediana
md
md
a
i h
f
Fn
Ldm
−
+=
)2/(
ˆ
20
Tendência Central)
Moda
=> A moda (ou modas) de um conjunto de valores é
definida como o valor (ou valores) de máxima
freqüência.
É uma quantidade que, como a média, também
caracteriza o centro de uma distribuição, indicando a
região das máximas freqüências.
=>
Omˆ(a) AMOSTRA:
(b) POPULAÇÃO: Om

21
Tendência Central)
Moda
h
dd
d
Lm io
21
1
ˆ
+
+=Tabelas de Freqüência =>
Li = limite inferior da classe modal;
d1 = diferença entre a classe modal e a da classe
h = amplitude das classes.
imediatamente anterior;
d2 = diferença entre a classe modal e a da classe
imediatamente seguinte;
22
Tendência Central)
Moda
Li = 49,5; d1 = 16 – 8 = 8; d2 = 16 – 12 = 4; h = 5.
h
dd
d
Lm io
21
1
ˆ
+
+=
684

23
Tendência Central)
h
dd
d
Lm io
21
1
ˆ
+
+=
Moda
Li = 49,5; d1 = 16 – 8 = 8; d2 = 16 – 12 = 4;h = 5.
833,525.
48
8
5,49ˆ =
+
+=om
24
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
A informação fornecida pelas Medidas de Posição em geral
necessitam de ser complementas pelas Medidas de
Dispersão.
As Medidas de Dispersão servem para indicar o “quanto
os dados se apresentam dispersos em torno da região
central”.
Portanto caracterizam o grau de variação existente em um
conjunto de valores.
As Medidas de Dispersão que mais nos interessam são:
(a) Amplitude;
(b) Variância;
(c) Desvio Padrão;
(d) Coeficiente de Variação.

25
Variabilidade)
MINMAX XXR −=ˆ
Vantagem e Desvantagem.
Amplitude
A amplitude, já mencionada, é definida como a diferença
entre o maior e o menor valores do conjunto de dados.
(a) AMOSTRA:
(b) POPULAÇÃO: MINMAX XXR −=
Salvo aplicações de Controle de Qualidade, a
amplitude não é muito utilizada como Medida de
Dispersão.
=>
=>
=>
26
Variabilidade)
222222
ˆ)(ˆˆ)( XXXSSS X σσσ =====
222
)( XX σσσ ==
Variância
A variância é definida como a “média dos quadrados
das diferenças entre os valores em relação a sua
própria média”.
(a) AMOSTRA:
(b) POPULAÇÃO:
1
)(
)(
2
122
−
−Σ
== =
N
XX
SXS
i
n
i
X
Em se tratando de Amostra:
1
)(
)(
2
122
−
−Σ
== =
N
fXX
SXS
ii
k
i
X
=>
=>

27
Variabilidade)
Variância
N
XX
X
i
n
i
X
2
1222
)(
)(
−Σ
=== =
σσσ
Em se tratando de População:
N
fXX
X
ii
k
i
X
2
1222
)(
)(
−Σ
=== =
σσσ
(i) A variância calculada para dados agrupados deverá ser
superestimada em relação à variância exata dos “N”
dados originais.
OBS:
=>
28
Variabilidade)
14mˆˆx 1
=
Σ
=== =
N
Xi
n
i
µ
Variância
Exemplo: Executar o cálculo da variância de um
conjunto pequeno de dados, formado pelos valores
seguinte: {15, 12, 10, 17, 16}
É fácil ver que:
1
)(
)(
2
122
−
−Σ
== =
N
XX
SXS
i
n
i
X
Logo:
Poderemos montar a seguinte Tabela Auxiliar nos
cálculos:

29
Variabilidade)
1
)(
)(
2
122
−
−Σ
== =
N
XX
SXS
i
n
i
X
Variância
Exemplo: Cálculo da variância de um conjunto pequeno de
dados: {15, 12, 10, 17, 16}
5,8
4
34
)( 22
=== XSXS
Nota-se que as expressões apresentadas não são as mais
apropriadas para o cálculo da variância, pois a média é
quase sempre um valor fracionário, o que viria a dificultar o
cálculo dos desvios .
2
)( XXi −
30
Variabilidade)
)2()( 222
XXXXXX iii +−Σ=−Σ
22
2 XNXXX ii +Σ−Σ=
2
2
2 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Σ
+Σ
Σ
−Σ=
N
X
NX
N
X
X i
i
i
i
N
X
N
X
X ii
i
22
2 )()(
2
Σ
+
Σ
−Σ=
Variância
Note que o numerador pode ser trabalhado:
1
)(
)(
2
122
−
−Σ
== =
n
XX
SXS
i
n
i
X
N
X
XXX i
ii
2
22 )(
)(
Σ
−Σ=−Σ

31
Variabilidade)
Variância
Assim, para um conjunto com “N” dados:
11
)(
)(
2
12
1
2
122
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−Σ
=
−
−Σ
==
=
==
N
N
X
X
N
XX
SXS
i
n
i
i
n
ii
n
i
X
Da mesma forma, para dados agrupados em Tabela de
freqüência, teremos:
11
)(
)(
2
12
1
2
122
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−Σ
=
−
−Σ
==
=
==
N
N
fX
fX
N
fXX
SXS
ii
k
i
ii
k
iii
k
i
X
32
Variabilidade)
Variância
( )
17,46
49
50
725.2
775.150
1
)(
2
2
12
122
=
−
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−Σ
=
=
=
N
N
fX
fX
SXS
ii
k
i
ii
k
i
X
Exemplo: 50 determinações do tempo (em segundos)
684

33
Variabilidade)
Propriedades da Variância
(a) Multiplicando-se todos os valores de uma variável por
uma constante, a variância do conjunto fica multiplicada
pelo quadrado dessa constante.
(b) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os
valores de uma variável, a variância não se altera.
(i) A variância é uma medida de dispersão importante na
teoria estatística;
OBS:
(ii) Do ponto de vista prático, ela tem o inconveniente de se
expressar em unidade quadrática em relação a variável em
questão.
34
Variabilidade)
Desvio Padrão
Definimos desvio padrão como “a raiz quadrada positiva
da variância”.
O cálculo do desvio padrão é feito por meio da variância.
2
)( XX SSXS +==
XXXSSS X σσσ ˆ)(ˆˆ)( =====
XX σσσ == )(
(a) AMOSTRA:
(b) POPULAÇÃO:
=>
=>
=>

35
Variabilidade)
Desvio Padrão
(i) O desvio padrão se expressa na mesma unidade da
variável, sendo por isso, de maior interesse que a variância
nas aplicações práticas;
(ii) É mais realístico para efeito de comparação de dispersões.
OBS:
Exemplo: 50 determinações do tempo (em segundos) gasto
por um funcionário
( )
17,46
49
50
725.2
775.150
1
)(
2
2
12
122
=
−
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−Σ
=
=
=
N
N
fX
fX
SXS
ii
k
i
ii
k
i
X
79,617,46)( === XSXS
36
Variabilidade)
Coeficiente de Variação
O coeficiente de variação é definido como “o quociente
entre o desvio padrão e a média”, sendo
frequentemente expresso em porcentagem.
XCVXCV =)(
(a) AMOSTRA:
(b) POPULAÇÃO:
XCVXCV =)(^ ^
X
S
CVXCV X
X ==)(^ ^
=>
=>

37
Variabilidade)
X
S
CVXCV X
X ==)(^ ^
Exemplo: 50 determinações do tempo (em segundos)
%46,12125,0
5,54
79,6
)( =====
X
S
CVXCV X
X
^ ^
38
Variabilidade)
(i) A vantagem é caracterizar a dispersão dos dados em
termos relativos ao seu valor médio;
OBS:
(ii) Pequena dispersão absoluta pode ser, na verdade
considerável, quando comparada com a ordem de
grandeza dos valores da variável. Quando consideramos o
CV, enganos de interpretações desse tipo não ocorrem;
(iii) Além disso, por ser adimensional, o CV fornece uma
maneira de se compararem as dispersões de variáveis
cujas medidas são irredutíveis.

Momentos de uma
Distribuição de Dados
40
Momentos de uma Distribuição
Definimos o momento de ordem “t” de um conjunto de
dados como:
n
X
M
t
i
n
i
t
1=
Σ
=
Definimos o momento de ordem “t” centrado em relação a
uma constante “a” como:
n
aX
M
t
i
n
ia
t
)(
1
−Σ
= =
Alguns conceitos

41
Momentos de uma Distribuição de
Freqüências
Já vimos que temos interesse no caso de “momento centrado
em relação a média”, o qual designaremos simplesmente por
“momento centrado”, dado por:
Também sabemos que, nos casos da média e da variância,
as expressões podem ser reescritas levando-se em
consideração Tabelas de freqüências dos diferentes valores
existentes.
n
XX
m
t
i
n
i
t
)(
1
−Σ
= =
Alguns conceitos
42
Freqüências
Assim, para dados agrupados em Tabela de Freqüência,
teremos:
n
fXX
m
i
t
i
n
i
t
)(
1
−Σ
= =
Alguns conceitos
n
fX
M
i
t
i
k
i
t
1=
Σ
=
=> Para momento de ordem “t”
n
faX
M
i
t
i
k
ia
t
)(
1
−Σ
= =
=> Para momento de ordem
“t” centrado em relação a
uma constante “a”
=> Para momento de ordem “t”
centrado em relação a uma
constante “média”

43
Freqüências
Nos interessa particularmente saber calcular os momentos
centrados de terceira e quarta ordem.
Alguns conceitos
n
XX
m
t
i
n
i
t
)(
1
−Σ
= =
=
−Σ
= =
n
XX
m
i
n
i
3
1
3
)(
=
−Σ
= =
n
XX
m
i
n
i
4
1
4
)(
3
2
1
3
1
23 X
n
X
X
n
X i
n
i
i
n
i
+
Σ
−
Σ
==
4
2
12
3
1
4
1
364 X
n
X
X
n
X
X
n
X i
n
i
i
n
i
i
n
i
−
Σ
+
Σ
−
Σ
===
44
Freqüências
Havendo Tabelas de Freqüências com “k” classes a
considerar, as expressões equivalentes são:
Alguns conceitos
n
fXX
m
i
t
i
k
i
t
)(
1
−Σ
= =
3
2
1
3
1
3 23 X
n
fX
X
n
fX
m
ii
k
i
ii
k
i
+
Σ
−
Σ
= ==
4
2
12
3
1
4
1
4 364 X
n
fX
X
n
fX
X
n
fX
m
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
−
Σ
+
Σ
−
Σ
= ===

45
Medidas de Assimetria
Essas medidas procuram caracterizar como e quanto a
distribuição dos Dados(ou freqüências) se afasta da condição
de simetria.
Distribuições alongadas a direita são ditas Positivamente
Assimétricas.
Distribuições alongadas a esquerda são ditas
Negativamente Assimétricas.
46
Assim basta criamos uma
nova coluna com .ii fX 3
O momento centrado de terceira ordem pode ser usado
como medida de assimetria.
Entretanto é mais conveniente a utilização de uma medida
adimensional, definida como Coeficiente de Assimetria, dado
por:
3
3
3
)( XS
m
a =
3
2
1
3
1
3 23 X
n
fX
X
n
fX
m
ii
k
i
ii
k
i
+
Σ
−
Σ
= ==
E utilizarmos momento
centrado de 3ª ordem:684

47
Desta forma, poderemos classificar o Coeficiente de
Assimetria (a3) da seguinte forma:
(i) Se a3 = 0 a distribuição é Simétrica;
(ii) Se a3 > 0 a distribuição é Assimétrica à direita
(Assimetria Positiva);
(iii) Se a3 < 0 a distribuição é Assimétrica à Esquerda
(Assimetria Negativa).
Fonte: Ferreira, D. F. Estatística Básica. Ed. UFLA, 2005.
664 p.
48
Outra medida de assimetria mais simples pode ser obtido pelo
Índice de Assimetria de Pearson:
XS
mX
A 0
ˆ−
=
O Índice de Assimetria de Pearson também pode ser
facilmente classificado:
15,0|| <A => Distribuição praticamente Simétrica;
0,1||15,0 << A => Distribuição moderadamente Assimétrica;
0,1|| >A => Distribuição fortemente Assimétrica.

49
5,54
50
725.2
mˆˆx 1
==
Σ
=== =
n
fX ii
k
i
µ
h
dd
d
Lm io
21
1
ˆ
+
+=
833,525
48
8
5,49ˆ =
+
+=om
17,46
1
2
12
12
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−Σ
=
=
=
N
N
fX
fX
S
ii
k
i
ii
k
i
X
79,617,46 ==XS
246,0
79,6
833,525,54ˆ0
=
−
=
−
=
XS
mX
A
Exemplo: 50 determinações do tempo (em segundos) gasto por
um funcionário
684
50
um funcionário
246,0
79,6
833,525,54ˆ0
=
−
=
−
=
XS
mX
A
Pelo Índice de Assimetria de Pearson essa distribuição seria
classificada como “Moderadamente Assimétrica”, pois
.0,1||15,0 << A
De fato isso ocorre, pois
quando utilizados uma
Técnica de Descrição
Gráfica para Variáveis
Quantitativas Contínuas,
detectamos a Assimetria
Moderada.

51
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Essas medidas procuram caracterizar a forma da distribuição
quanto ao seu achatamento.
O termo médio de comparação é dado pela Distribuição
Normal, que é um modelo teórico de distribuição a ser
estudado no capítulo relacionado à Probabilidades.
Quanto ao achatamento, podemos ter as seguintes situações:
Platicúrticas, Mesocúrticas e Leptocúrticas.
52
Curtose
A caracterização do achatamento de uma distribuição só tem
sentido, em termos práticos, se a distribuição for
aproximadamente Simétrica.
Entre as possíveis medidas de achatamento, destacamos o
Coeficiente de Curtose.
O Coeficiente de Curtose é obtido pelo quociente do momento
centrado de 4ª ordem pelo quadrado da variância, ou seja:
4
4
22
4
4
)( XX S
m
S
m
a ==

53
Curtose
Trata-se de coeficiente adimensional, permitindo a sua
classificação:
0,34 <a => Distribuição Platicúrtica;
0,34 >a
0,34 =a => Distribuição Mesocúrtica;
=> Distribuição Leptocúrtica.
54
Curtose
Assim, basta criamos
duas novas colunas
com: .ii fX 3
ii fX 4
e
E utilizarmos momento centrado de 4ª ordem:
4
2
12
3
1
4
1
4 364 X
n
fX
X
n
fX
X
n
fX
m
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
−
Σ
+
Σ
−
Σ
= ===
um funcionário
684

55
Curtose
um funcionário
21,2
)( 4
4
22
4
4 ≅==
XX S
m
S
m
a => Distribuição ligeiramente
Platicúrtica.
56
Curtose
Outra medida de achatamento mais simples pode ser obtido
pelo Grau de Curtose, dado pelo coeficiente:
)(2 1090
13
PP
QQ
K
−
−
=
3Q = é o 3º Quartil;
1Q = é o 1º Quartil;
90P = é o 90º Percentil;
90P = é o 10º Percentil.
em que,

57
Curtose
Quartis => dividem um conjunto de dados em quatro partes
iguais.
2Q1Q 3Q
0% 25% 50% 75% 100%
em que,
1Q = o 1º Quartil deixa 25% dos elementos;
2Q = o 2º Quartil deixa 50% dos elementos e coincide com a
Mediana;
3Q = o 3º Quartil deixa 75% dos elementos.
58
Curtose
Fórmulas para cálculo de Q1 e Q3 para o caso de variáveis
quantitativas contínuas
(a) Determinação de Q1:
(ii) Identifica-se a classe de Q1 pela Fi (freq. acumulada);
(iii) Aplica-se a fórmula:
h
f
Fn
LQ
Q
a
Q
1
1
)4/(
1
−
+=
(i) Calcula-se: ;
4
N

59
Curtose
Fórmulas para cálculo de Q1 e Q3 para o caso de variáveis
quantitativas contínuas (continuação)
h
f
Fn
LQ
Q
a
Q
3
3
)4/3(
3
−
+=
(b) Determinação de Q3:
(ii) Identifica-se a classe de Q3 pela Fi (freq. acumulada);
(i) Calcula-se:
4
3N
60
Curtose
Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3)
e a mediana.
Classes fi Fi
7 – 17 6 6
17 – 27 15 21
27 – 37 20 41
37 – 47 10 51
47 – 57 5 56
Classe dmˆ
Classe 1Q
Classe 3Q
h
f
Fn
LQ
Q
a
Q
1
1
)4/(
1
−
+= h
f
Fn
LQ
Q
a
Q
3
3
)4/3(
3
−
+=md
md
a
i h
f
Fn
Ldm
−
+=
)2/(
ˆ

61
Curtose
e a mediana.
e o29o28
2
1
2
56
2
56
2
1
22
ˆ =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
nn
dm elementos
o42
4
56.3
4
3
3 ===
n
Q elemento
o14
4
56
4
1 ===
n
Q elemento
n = 56;Classes fi Fi
7 – 17 6 6
17 – 27 15 21
27 - 37 20 41
37 - 47 10 51
47 - 57 5 56
62
Curtose
e a mediana.
Classes fi Fi
7 – 17 6 6
17 – 27 15 21
27 - 37 20 41
37 - 47 10 51
47 - 57 5 56
Para Q3 temos:
373
=QL ; 56=n ; 41=aF ;
;10=h 103 =Qf
Para Q1 temos:
171
=QL ; 56=n ; 6=aF ;
;10=h 151
=Qf
27=iL ; 56=n ; 21=aF ;
;10=h 20ˆ =dmf
Para temos:dmˆ
h
f
Fn
LQ
Q
a
Q
1
1
)4/(
1
−
+=
h
f
Fn
LQ
Q
a
Q
3
3
)4/3(
3
−
+=
md
md
a
i h
f
Fn
Ldm
−
+=
)2/(
ˆ

63
Curtose
e a mediana.
33,2210.
15
6
2
56
17
)4/(
1
11 =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+=
−
+= h
f
Fn
LQ
Q
a
Q
00,3810.
10
41
4
56.3
37
)4/3(
3
33 =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+=
−
+= h
f
Fn
LQ
Q
a
Q
50,3010.
15
21
2
56
27
)2/(
ˆ =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+=
−
+= md
md
a
i h
f
Fn
Ldm
64
Curtose
e a mediana.
25% 25% 25% 25%
50,3033,22 00,3800,7 00,57
2Q1Q 3Q

65
Curtose
Decis => são os valores que dividem um conjunto de dados em
10 partes iguais.
0% 10% 50% 90% 100%20% 30% 40% 60% 70% 80%
1D 2D 3D 4D 5D 6D 7D 8D 9D
em que,
1D = o 1º Decil deixa 10% dos elementos;
2D = o 2º Decil deixa 20% dos elementos;
9D = o 9º Decil deixa 90% dos elementos.
... ...
66
Curtose
Determinação de um Decil Di:
(ii) Identifica-se a classe de Di pela Fi (freq. acumulada);
h
f
FNi
LD
Di
a
ii
−
+=
)10/.(
(i) Calcula-se: em que i = 1, 2, ..., 9;
10
.Ni
Li = limite inferior da classe Di ;
Fa = soma das freqüências das classes anteriores a que Di
;fDi= freqüência da classe Di;
h = amplitude da classe Di.
n = tamanho da amostra;
em que,

67
Curtose
Percentis => são os valores que dividem um conjunto de dados
em 100 partes iguais.
0% 1% 50% 99% 100%2% 3% ... ... 97% 98%
1P 2P 3P ...
50P ...
97P 98P 99P
em que,
1P = o 1º Percentil deixa 1% dos elementos;
2P = o 2º Percentil deixa 2% dos elementos;
99P = o 99º Percentil deixa 99% dos elementos.
... ...
68
Curtose
(ii) Identifica-se a classe de Pi pela Fi (freq. acumulada);
h
f
FNi
LP
iP
a
ii
−
+=
)100/.(
Determinação de um Percentil Pi:
(i) Calcula-se: em que i = 1, 2, ..., 98, 99;
100
.Ni
Li = limite inferior da classe Pi;
Fa = soma das freqüências das classes anteriores a que Pi;
fPi= freqüência da classe Pi;
h = amplitude da classe Di.
n = tamanho da amostra;
em que,

69
Curtose
Exemplo: Dada a distribuição, determinar o Grau de Curtose
(K).
Classes fi Fi
7 – 17 6 6
17 – 27 15 21
27 - 37 20 41
37 - 47 10 51
47 - 57 5 56
)(2 1090
13
PP
QQ
K
−
−
=
Para P10 temos:
710
=PL ; 56=n ; 0=aF ;
;10=h 610
=Pf
Já tínhamos obtidos:
33,221 =Q 00,383 =Qe
h
f
FNi
LP
iP
a
ii
−
+=
)100/.(
;3790
=PL ; 56=n ; 41=aF
;10=h 1090
=Pf
Para P90 temos:
33,1610 =P 40,4690 =P
70
Curtose
Exemplo: Dada a distribuição, determinar o Grau de Curtose
(K).
Classes fi Fi
7 – 17 6 6
17 – 27 15 21
27 - 37 20 41
37 - 47 10 51
47 - 57 5 56
)(2 1090
13
PP
QQ
K
−
−
=
Agora temos tudo:
33,221 =Q 00,383 =Qe
33,1610 =P 40,4690 =Pe
2606,0
)33,1640,46(2
33,2200,38
)(2 1090
13
=
−
−
=
−
−
=
PP
QQ
K

71
Curtose
263,0=K => Distribuição de freqüência Mesocúrtica;
263,0>K => Distribuição de freqüência Platicúrtica;
263,0<K => Distribuição de freqüência Leptocúrtica.
Assim o Grau de Curtose, de ser classificado da seguinte
forma:
)(2 1090
13
PP
QQ
K
−
−
=

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