1) O documento apresenta 7 questões sobre cálculo de limites, derivadas e integrais de funções. 2) Na questão 1, o autor mostra o cálculo de dois limites usando a definição formal de limite. 3) Na questão 2, ele determina valores para δ que satisfaçam a definição de limite para uma função dada e conclui que ela é contínua.

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
Pólo universitário de Rafael Jambeiro
CURSO: Licenciatura em Matemática EAD
Disciplina: Análise Real
Grupo: 14
Professora Formadora: Érica Macêdo
Aluno: Anália Oliveira Serra de Souza
Caliana Lopes Carmo de Souza
ATIVIDADE ONLINE II
Questão 01. Usando a definição de limite, mostre que:
a)
 32363104320;01043lim
1042.3)2(
3



xxxxx
f
x
0
3

  ,


 
3
.3310)43(20 xx
10)43(lim 2  xx
b)
 .3)3)(3(930;0 2
 xxxxx
3x 3  .
9)3(36363633)3(333  xxxx
Portanto, qualquer número real entre 3 e 9 é positivo .
Assim, 3x3 x e
 9392
 xx .
Temos
99



  ou ... 93   e
0

2. 






9
,3min




  9
9
.9939 22
xxx
Questão 02. Sabendo que , determine dois valores para , sabendo que
o limite é satisfeito para . Esta função é contínua? Sugestão: Você usará a
definição formal do limite e em seguida encontrará os valores pedidos.
2
1
1
lim
2
1 



x
x
x





















1
1
)1)(1(
1
12
75,0
1
12
1
12
1
)1(21
2
1
1
10
2
2222
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
2 Escolhemos 60,02  para conferir:
754,0
40,0
16,0
160,0
1)60,0(2)60,0( 2






1
1
)(
2



x
x
xf É contínua em R
Questão 03. Sejam a uma função definida no ponto a. Se
, prove que f é contínua no ponto a.
m
ax
afxf
ax 



)()(
lim
Função derivável com derivada igual a m. Lembrando que toda função derivável
em a é contínua em a.
Questão 04. Usando a definição de derivada, encontre a derivada das seguintes
funções no ponto x=a:
a)

3. aa
ax
ax
a
ax
ax
ax
ax
ax
ax
ax
ax
xf
31.3
)13(
lim3lim
1313
lim
)13()13(
lim)('














b)
2
0
00
2
00
00
2
00
000
00
00000
2
00
0
2
.0
2
0
2
0
2
0
0
0
2
0
2
0
0
0
22
)5(
310
)5)(5(
32.5
))(5)(5(
)](3)(5[
lim
))(5)(5(
)(3))((5)(
lim
))(5)(5(
15351535.
lim
)5)(5(
)5)(3()5)(3(
lim
5
3
5
3
lim
0
0
0
0
0






























x
xx
xx
xxx
xxxx
xxxxxx
xxxx
xxxxxxxxxx
xxxx
xxxxxxxx
xx
xx
xxxx
xx
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
Questão 05. Dada a função definida para ,
determine o que se pede:
a) [
),3()))(((
62
1
)'56(
1
)('
1
1
2






xfD
xxxxf
b) Encontre a equação da reta tangente à f(x) no ponto de abscissa 5.
)(xf
0
5
0
0


y
x
af
f
xxf



4610)5('
65.2)5('
62)(' 00

4. xy
b
b
bxy
baxy
4
0
0.40
4





Questão 06. Mostre que a função f(x)=2x+1 é Lipschitziana
yxyxyxyfxf
yyf


222)12()12()()(
12)(
Logo, podemos dizer que f é Lipschitziana.
Questão 07. Considere a função f: [1,3] dada por f(x)=2x+1. Considere uma
partição P que divide o intervalo [1,3] em 5 partes, não necessariamente iguais. Calcule
a soma superior e a soma inferior de f em relação a P. Obs. Note que aqui você definirá
a sua partição.
64,101,044,08,66,00,64,08,45,04);(
48,60,68,4,,4
06,968,04,288,26,15,11,08,64,066,08,44,045,03):(
)8,6,6,8,4,4,3();(
1,0;4,0;6,0;4,0;5,0
}3:9,2:5,2:9,1:5,1:1{
6
1
54321
54321
5
1
54321
543210











c
ips
i
i
i
tmipfS
mmmmm
pfS
mmmmmtmipfs
ttttt
ttttttP