Estatística descritiva - Organização de dados

ESTATÍSTICA DESCRITIVA - PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT
1
12Q(a) AULA 3 – Organização de Dados
12Q(a) – Versão 16.5.2020
Essa é uma versão para o Curso de Quarentena que será aproveitado no B3.3
ROTEIRO DE ESTUDOS
Pré Requisitos:
CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE BARRAS, LINHAS E SETORES
PORCENTAGEM BÁSICA
COMO PROCEDER?
➢ Leia atentamente esse texto, grifando os assuntos mais importantes se necessário. Quando houver
um link para vídeos acessar o link e assistir aos vídeos para melhor compreensão do conteúdo.
➢ Faça as tarefas na plataforma Moodle do Podemos – A Plataforma PAPPERT. Esse questionário
está disponível por lá. É possível que em breve sejam publicados vídeos na própria plataforma.
➢ Assista vídeos da parte teórica dessa matéria. Procure no Youtube pelos assuntos..
➢ Na dúvida procure ajuda de colegas, professores ou na Internet.
APRESENTAÇÃO DO CONTEÚDO E EXERCÍCIOS
Organização de Dados
LEIA COM ATENÇÃO ESSE
QUADRO
Organizar dados é uma das funções da
Estatística Descritiva, como podemos ver
anteriormente.
Dados estatísticos precisam ser
organizados para que as análises sejam feitas
de forma mais organizada. A primeira forma de
organização é a organização em tabelas.
Depois, temos os gráficos como forma de
organização de dados.
Organização em tabelas
Geralmente organizamos os dados
estatísticos em tabelas de frequências.
A tabela ao lado mostra a coleta de
informação da idade de um grupo de 24 alunos
de uma turma de jogadores de futsal
11 anos 2
12 anos 1
13 anos 9
14 anos 7
15 anos 3
16 anos 2
Freqüência Absoluta e Freqüência Relativa
Chamamos de freqüência a quantidade
de dados para cada uma das informações
obtidas. Esta freqüência é chamada de
frequência absoluta
Quando a freqüência é comparada com
a totalidade dos dados, a chamamos de
freqüência relativa dadas em termos
porcentuais

2
Organização dos dados coletados
Ao coletarmos uma série de dados e os
colocarem em ordem estamos formando um
‘rol’ de informações. Podemos organizar as
informações coletadas.
Por exemplo: Quero fazer uma tabela
da idade dos alunos de uma turma, e faço a
coleta das idades
X: idade dos alunos do 4º período A
x: 19, 20, 22, 19, 19, 19, 22, 21, 19, 20,
20, 20, 19, 21, 22, 23, 28, 22, 19, 21, 20, 21, 22,
19, 20, 27, 21, 22, 23, 19, 19, 20
Cada indivíduo pode levar um nome x1,
xx, x3, etc, sendo x1=19, x2=20, etc, no exemplo.
Organizando o rol: 19, 19, 19, 19, 19, 19,
19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21,
21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 27, 28.
Apuramos os resultados:
Idade observada............freqüência absoluta
19 anos..........10 indivíduos
20 anos............7 indivíduos
22 anos.............6 indivíduos
27 anos..............1 indivíduo
28 anos..............1 indivíduo
As idades apresentadas, 19, 20, 21...
são também chamadas de escores ou dados
encontrados.
Note que variável foi representada por
um X maiúsculo enquanto os escores foram
representados por letras minúsculas.
Os dados podem ser apresentados em
tabelas. (No Word, a tabela mais usual em
trabalhos mais formais é a chamada tabela
simples 1)
Tabela 1: Idade dos alunos do 4º
período A
Idade N.
19 10
20 7
21 5
22 6
23 2
27 1
28 1
Σ 32
O símbolo Σ indica a somatória, a
quantidade de escores observados. Esse
símbolo indica, em geral, somas, trata-se da
letra sigma maiúscula.
Os dados coletados são reais e
apurados no 4º período “A” de Educação Física
da Escola Superior de Educação Física de
Muzambinho.
Toda vez que aparecer a mãozinha LEIA
1) Dada a lista de dados, construa uma tabela
simples, com frequência absoluta e relativa. Trata-
se da idade de alunos de uma escola de Vôlei.
12 12 10 13 13
11 13 13 12 13
13 11 12 13 12
13 13 12 13 12
14 13 13 13 15
Tabela:
Idade
frequência
absoluta
frequência
relativa
10
11
12
13
14
15
Σ
A frequência absoluta pode ser calculada pelo
quociente da frequência absoluta pelo total. Exemplo:
Σ=100 e 𝑓𝑎1 = 20, então:
𝑓𝑟1 =
20
100
= 0,2 = 20%
2) Dada a lista de dados, construa uma tabela
simples, com frequência absoluta e relativa. Trata-
se da idade de alunos da mesma escola de Vôlei,
mas 6 meses depois, com adesão de novos
estudantes:
12 12 10 13 13 13
11 13 13 12 13 13
13 11 12 13 12 14
13 13 12 13 12 12
14 13 13 13 15 12
12 12 14 12 14 12

3
Tabela:
Idade
frequência
absoluta
frequência
relativa
10
11
12
13
14
15
Σ
3) Abaixo uma lista com o número de filhos de
um grupo de funcionários de uma empresa:
0 2 1 1 0 1
2 0 1 4 0 1
1 0 1 4 0 1
1 0 1 3 3 0
2 0 0 0 0 0
2 1 1 0 2 3
0 0 0 0 3 0
Construa a tabela de frequências:
Filhos
frequência
absoluta
frequência
relativa
0
1
2
3
4
5
Σ
4) Dadas as notas de 36 alunos de uma turma:
a) Organize um Rol
Rol são os dados escritos em ordem crescente
b) Qual é amplitude total da distribuição
Amplitude é a diferença entre o maior valor
observado e o menor valor. É uma medida de dispersão
que aprofundaremos posteriormente.
c) Tabule os dados
Veja um exemplo de tabulação:
Note que é uma tabela norte-americana.
No Brasil, a tabulação a seguir é mais comum:
d) Construa a tabela de frequências:
Fonte da Imagem: Pinterest

4
5) Abaixo a tabela com os resultados do ENADE
2005 dos cursos de Educação Física de Minas
Gerais.
INSTITUIÇÃO MUNICÍPIO CONCEITO
FACULDADE DE CIÊNCIAS DA SAÚDE
ARCHIMEDES THEODORO
ALEM PARAIBA SC
UNIVERSIDADE PRESIDENTE ANTÔNIO
CARLOS
ARAGUARI SC
CENTRO UNIVERSITÁRIO DO PLANALTO
DE ARAXÁ
ARAXA SC
CARLOS
BARBACENA SC
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE BELO
HORIZONTE
BELO
HORIZONTE
4
FACULDADE ESTÁCIO DE SÁ DE BELO
HORIZONTE
BELO
HORIZONTE
SC
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS
GERAIS
BELO
HORIZONTE
5
UNIVERSIDADE SALGADO DE OLIVEIRA BELO
HORIZONTE
SC
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE
CARATINGA
CARATINGA 3
FACULDADE SANTA RITA CONSELHEIRO
LAFAIETE
SC
CARLOS
CONSELHEIRO
LAFAIETE
SC
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MONTES
CLAROS
CORINTO 4
FACULDADE CIDADE DE COROMANDEL COROMANDEL SC
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE FORMIGA FORMIGA 4
UNIVERSIDADE VALE DO RIO DOCE GOVERNADOR
VALADARES
SC
INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO
ANÍSIO TEIXEIRA
IBIRITE SC
CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE
MINAS GERAIS
IPATINGA 4
UNIVERSIDADE DE ITAÚNA ITAUNA 4
CLAROS
JOAIMA SC
FACULDADE METODISTA GRANBERY JUIZ DE FORA SC
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE
FORA
JUIZ DE FORA 4
CARLOS
JUIZ DE FORA SC
UNIVERSIDADE SALGADO DE OLIVEIRA JUIZ DE FORA SC
FACULDADE PRESBITERIANA GAMMON LAVRAS 4
INSTITUTO DE CIÊNCIAS DA SAÚDE MONTES CLAROS 4
CLAROS
MONTES CLAROS 5
FACULDADE DE MINAS MURIAE SC
ESCOLA SUPERIOR DE EDUCAÇÃO
FÍSICA DE MUZAMBINHO
MUZAMBINHO 4
FACULDADE DE FILOSOFIA CIÊNCIAS E
LETRAS DE OURO FINO
OURO FINO SC
FACULDADE EDUCAÇÃO FÍSICA DE
PASSOS
PASSOS SC
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE PATOS DE
MINAS
PATOS DE MINAS SC
FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS E
DA SAÚDE
PATOS DE MINAS SC
UNIVERSIDADE DO VALE DO SAPUCAÍ POUSO ALEGRE 4
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO
DEL REI
SAO JOAO DEL
REI
SC
UNIVERSIDADE VALE DO RIO VERDE TRES CORACOES 4
FACULDADE UBAENSE OZANAM
COELHO
UBA SC
UNIVERSIDADE DE UBERABA UBERABA 3
CENTRO UNIVERSITÁRIO DO
TRIÂNGULO
UBERLANDIA 4
UNIVERSIDADE FEDERAL DE
UBERLÂNDIA
UBERLANDIA 5
FACULDADE DE CIÊNCIAS E
TECNOLOGIA DE UNAÍ – FACTU
UNAI SC
CENTRO UNIVERSITÁRIO DO SUL DE
MINAS
VARGINHA 4
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA VICOSA 4
a) Construa uma tabela com os conceitos das
universidades:
Conceito Freqüência
absoluta
Freqüência
relativa
3
4
5
SC
b) O gráfico abaixo foi feito com base na tabela do
item “a”. Associe as legendas à um conceito..
Gráficos de setores foram objetos de estudo no PODEMOS P,
PODEMOS E e PODEMOS B1. Aqui é pré-requisito.
Tabela de Dados Agrupados
QUADRO
Tabela de dados agrupados
Também costumamos organizar os
dados de forma agrupada. Isso ocorre pela
inconveniência ou impossibilidade de organizar
os dados de forma simples.
Neste caso falamos em distribuição de
freqüências agrupadas. Cada grupo é chamado
de intervalo de classe, sendo que o tamanho
deles é chamado de amplitude do intervalo
(representado por h minúsculo – não confundir
com amplitude da distribuição, ainda a ser
estudada).
Ela serve para medir grandezas
contínuas ou com tamanho muito grande
Tamanho do intervalo é a quantidade de
escores que ele contém ou a diferença do
menor e do maior número. No exemplo, o
tamanho é de 0,10 (amplitude das classes).
Chamamos os maiores valores de cada
intervalo de limites superiores.
Escore máximo é o maior valor verificado
em um intervalo. Ex: no intervalo 1,40 e 1,50
apareceu uma pessoa de 1,35 e outra de 1,37.
1,40 é o limite superior, mas, 1,37 é o escore
máximo ou simplesmente máximo.
3
4
5
SC

5
Exemplo:
Veja a tabela do site fora da mediana:
Seja as ordens dadas por 𝑖
Limite Inferior - 𝑳𝒊
𝐿𝑖1 = 1,55
𝐿𝑖2 = 1,57
𝐿𝑖3 = 1,59
𝐿𝑖4 = 1,61
Limite Superior - 𝑳𝒔
𝐿𝑠4 = 1,63
𝐿𝑠6 = 1,67
Amplitude = 𝒉𝒊 = 𝑳𝒔𝒊 − 𝑳𝒊 𝟏
ℎ1 = ℎ2 = ℎ3 = ⋯ = ℎ6 = 0,2
É conveniente que os intervalos de classe
tenham a mesma amplitude, mas isso não é
obrigatório.
Ponto Médio - 𝑷𝒎 =
𝑳𝒊 𝒊+𝑳𝒔 𝒊
𝟐
= 𝑳𝒊𝒊 +
𝒉
𝟐
= 𝑳𝒔 𝟏 −
𝒉
𝟐
𝑃𝑚1 = 1,56
𝑃𝑚6 = 1,66
Espécies de Intervalos:
Intervalo semi-aberto à direita: inclui o limite
inferior e exclui o limite superior:
𝟏, 𝟓𝟓 ⊢ 𝟏, 𝟓𝟕
Intervalo semi-aberto à esquerda: exclui o limite
inferior e inclui o limite superior:
𝟏, 𝟓𝟓 ⊣ 𝟏, 𝟓𝟕
Intervalo aberto: exclui os limites
𝟏, 𝟓𝟓 − 𝟏, 𝟓𝟕
Intervalo fechado: inclui os limites
𝟏, 𝟓𝟓 |−| 𝟏, 𝟓𝟕
Esses intervalos são exatamente os mesmos
dos intervalos estudados em outros setores da
Matemática:
Equivale a 3 ⊣ 4 e ]3,4].
1)Dada a tabela de dados agrupados, complete
os dados e responda ao que se pede:
Fonte da tabela: Acima da Mediana (adaptada)
Determine os valores de:
a)𝐿𝑖3
b)𝐿𝑖6
c)𝐿𝑠1
d)𝐿𝑠4
e)𝑃𝑚2 = 𝑥̅2
f)𝑃𝑚5
g)ℎ
h)𝑓3
2)Dada a tabela:
Fonte: olhonavaga
Determine os valores de:
a)𝐿𝑖4
b)ℎ
c)𝐿𝑠2
d)𝑃𝑚7

6
3)Veja a tabela:
Em qual classe pertence:
a)1,57 ____ b) 1,61 ____
c)1,67 ____ d) 1,669 ____
4)(SUDAM AM – IADES) Em 20 dias de aula, um
professor de estatística anotou o número de
alunos ausentes. Depois, fez a seguinte tabela de
frequências:
A letra B representa qual número?
5)(PM MG). Analise a tabela de distribuição de
frequência abaixo:
TABELA: anos de serviço na PM, militares do 185º
BPM, dezembro de 2017:
Sabe-se que f é a frequência absoluta, fac é a
frequência absoluta acumulada, fr% é a frequência
relativa (percentual) e frac% é a frequência relativa
(percentual) acumulada. Considerando as
informações da tabela, é CORRETO afirmar que
os valores de A, B, C, D, são respectivamente:
a) 41; 89; 30,50; 90,50.
b) 48; 89; 30,50; 25,00.
c) 41; 61; 25,00; 90,50.
d) 48; 79; 44,50; 90,50.
6)Veja a tabela:
Fonte: RPM
Determine
a)𝑃𝑚1 + 𝑃𝑚2 + 𝑃𝑚3 + ⋯ + 𝑃𝑚6 = ∑ 𝑃𝑚
b) 𝐿𝑖1 + 𝐿𝑖2 + 𝐿𝑖3 + ⋯ + 𝐿𝑖6 = ∑ 𝐿𝑖
c) 𝐿𝑠1 + 𝐿𝑠2 + 𝐿𝑠3 + ⋯ + 𝐿𝑠6 = ∑ 𝐿𝑠
7)(ENEM – 2009 – Prova Anulada) No quadro
seguinte, são informados os turnos em que foram
eleitos os prefeitos das capitais de todos os
estados brasileiros em 2004.
Almanaque ABRIL: Brasil 2005. São Paulo: Abril,
2005.
Na região Norte, a frequência relativa de eleição
dos prefeitos no 2º turno foi, aproximadamente,
a) 42,86%.
b) 44,44%.
c) 50,00%.
d) 57,14%.
e) 57,69%.

7
8) (ENEM 2015 - 2ª Aplicação) Em uma pesquisa
sobre prática de atividade física, foi perguntado
aos entrevistados sobre o hábito de andar de
bicicleta ao longo da semana e com que
frequência o faziam. Entre eles, 75% afirmaram ter
esse hábito, e a frequência semanal com que o
faziam é a apresentada no gráfico:
Que porcentagem do total de entrevistados
representa aqueles que afirmaram andar de
bicicleta pelo menos três vezes por semana?
a) 70,0%
b) 52,5%
c) 22,5%
d) 19,5%
e) 5,0%
9) (ENEM 2018 - 1ª Aplicação) Na teoria das
eleições, o Método de Borda sugere que, em vez
de escolher um candidato, cada juiz deve criar um
ranking de sua preferência para os concorrentes
(isto é, criar uma lista com a ordem de
classificação dos concorrentes). A este ranking é
associada uma pontuação: um ponto para o último
colocado no ranking, dois pontos para o penúltimo,
três para o antepenúltimo, e assim
sucessivamente. Ao final, soma-se a pontuação
atribuída a cada concorrente por cada um dos
juízes.
Em uma escola houve um concurso de poesia no
qual cinco alunos concorreram a um prêmio,
sendo julgados por 25 juízes. Para a escolha da
poesia vencedora foi utilizado o Método de Borda.
Nos quadros, estão apresentados os rankings dos
juízes e a frequência de cada ranking.
A poesia vencedora foi a de:
A) Edu.
B) Dani.
C) Caio.
D) Bia.
E) Ana.
Sobre a Contagem de Borda, veja a Teoria
Matemática das Eleições, onde há um curso do
PODEMOS.
Organização de Dados Coletados
QUADRO
Organização de dados coletados
Outro exemplo. Coletamos agora a
altura dos alunos do 4º período B (também
dados reais, da mesma série, outra turma, que
o exercício passado):
Y: altura dos alunos do 4º período B
y: 1,72; 1,63; 1,71; 1,73; 1,67; 1,73; 1,75;
1,79; 1,82; 1,69; 1,77; 1,72; 1,70; 1,74; 1,77;
1,79; 1,73; 1,78; 1,81; 1,77; 1,80; 1,62; 1,70;
1,77; 1,79; 1,80.
Vamos apurar os dados da mesma
forma:
Altura..............freqüência absoluta
1,62......................1
1,63.....................1
1,67.....................1
1,69.....................1
1,70.....................2
1,71.....................1
1,72.....................2
1,73.....................3
1,74.....................1

8
1,75.....................1
1,76.....................1
1,77.....................4
1,78.....................1
1,79.....................3
1,80.....................2
1,81.....................1
1,82.....................1
Uma tabela onde quase todos valores
são 1 não faria muito sentido, pense bem!
Melhor seria se os dados fossem agrupados. É
isso que vamos fazer, agrupar dados:
1,60 |---| 1,65...................2.
1,65 ---| 1,70....................4
1,70 ---| 1,75....................8
1,75 ---| 1,80....................11
1,80 ---| 1,85....................2
Agora sim a apuração faz sentido, os
dados foram agrupados, e podemos fazer uma
tabela de dados agrupados:
Tabela 2: Altura dos alunos do 4º período B
Idade N.
1,60 |---| 1,65 2
1,65 ---| 1,70 4
1,70 ---| 1,75 8
1,75 ---| 1,80 11
1,80 ---| 1,85 2
Os agrupamentos de idades são
chamados de intervalos de classe, e o
tamanho deles é chamado de amplitude (no
exemplo 5 cm). Os intervalos precisam ser
mutuamente exclusivos (ou seja, um indivíduo
não pode ser classificado em dois intervalos) e
exaustivos (ou seja, devem classificar todos os
indivíduos em algum intervalo). O valor que está
no meio do intervalo é chamado ponto médio
do intervalo de classe, e é a média dos limites
inferior e limite superior do intervalo. Ex: no
intervalo 1,60 |---| 1,65 o ponto médio é
1,625=(1,60+1,65):2.
OBS: O símbolo ---| quer dizer que inclui
o extremo superior no intervalo de classe
(intervalo limitado superiormente). O símbolo |--
- quer dizer que inclui o extremo inferior
(intervalo limitado inferiormente). O símbolo |---|
inclui os extremos inferior e superior (intervalo
aberto). O símbolo --- não inclui os extremos
(intervalo fechado).
Tabelas de Frequência – Aula
Completa
27:56
https://youtu.be/GseTCT2WhlA
1) Veja a altura de um grupo de 20 pessoas:
Construa uma tabela de dados agrupados com
amplitude de intervalo de classe de 0,10. Ache a
frequência absoluta e relativa.
2) Construa uma tabela apropriada para a altura
dos alunos de uma turma:

9
3) Dado o seguinte conjunto de dados, que
representa as notas de um aluno em certa prova:
a) Construa a tabela de dados agrupados:
Frequência
Absoluta
Frequência
Relativa
40, 0 a
49,9
50,0 a
59,9
60,0 a
69,9
70,0 a
79,9
80,0 a
89,9
b) Qual é a amplitude total da distribuição?
4) Abaixo são listadas as notas dos alunos de uma
classe X no 1º bimestre.
Nessa escola a nota máxima nesse bimestre é
15,0 e a nota mínima para ficar com conceito azul
é 9,0.
a) Elabore a tabela de freqüências absolutas e
relativas:
Idade Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
5,0 a 6,9
7,0 a 9,9
9,0 a 10,9
11,0 a 12,9
13,0 a 14,9
Σ
b) Qual é a amplitude da distribuição?
c) Qual é a porcentagem de alunos com média
azul?
d)Nessa representação de tabela onde ficaria
9,99?
Por esse motivo a notação de intervalos é bastante
útil e evita equívocos, muito comuns, inclusive em
textos didáticos e publicações jornalísticas.
5) Dados os escores
X: médias bimestrais do 1º MZ
x: 10, 17, 24, 16, 12, 22, 23, 15, 15, 12, 9, 16, 17,
16, 15, 15, 11, 20, 22, 13, 23, 18, 23, 12, 21, 20, 9,
21, 15, 8, 15, 7, 11, 19, 18, 9, 8
Construa uma tabela de dados agrupados
apontando freqüência absoluta e freqüência
relativa.
6) Dada a tabela:
Média dos alunos freqüência %
1 a 4 2 9%
5 a 8 3 14%
9 a 12 5 23%
13 a 16 8 36%
17 a 20 4 18%
TOTAL 22
Ambos os gráficos abaixo representam a mesma
tabela:

10
Aponte vantagens de cada gráfico na
compreensão das informações.
Frequência Acumulada
QUADRO
Freqüência acumulada
É a soma das freqüências até um
determinado valor:
Observações
A soma de todos valores de uma
distribuição é dado pela letra grega  (sigma). A
soma das porcentagens pode ser um número
próximo de 100, como 101% ou 99%, pois, há
arredondamentos e aproximações.
Podemos falar em razão entre dois
escores ou dois intervalos. Razão é a simples
divisão entre os dois escores, que permite uma
comparação. Por exemplo, na tabela anterior a
razão entre os alunos com 11 anos e com 12
anos é de ½, ou seja, 1 aluno de 11 anos para
2 de 12 anos.
Veja um esquema, encontrado na Internet, que
ensina como determinar a frequência
acumulada:
No exemplo acima, a frequência acumulada da
4ª ordem indica quem tem menos de 1,63, que
são 23 pessoas. Consegue entender o que
significa a frequência acumulada? Ela será
muito útil no estudo da Mediana e das
Separatrizes. Também ela é usada em análises
de dados acumulados, como na evolução dos
casos da pandemia do COVID-19.
Frequência Acumulada
3:29
https://youtu.be/5_k95nMMLag
1a 4
5 a 8
9 a 12
13 a 16
17 a 20
0
2
4
6
8
10
1 a 4
5 a 8
9 a 12
13 a 16
17 a 20

11
1) Dados os valores construa uma tabela com
frequências absolutas e relativas simples e
acumuladas.
0 2 1 1 0 1
2 0 1 4 0 1
1 0 1 4 0 1
1 0 1 3 3 0
2 0 0 0 0 0
2 1 1 0 2 3
0 0 0 0 3 0
Construa a tabela de frequências:
Filhos 𝑓𝑎 𝑓𝑟 𝑓𝐴 𝑓𝑅
0
1
2
3
4
5
Σ
𝑓𝑎 = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎
𝑓𝑟 = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑓𝐴 = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎
𝑓𝑅 = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
Os símbolos utilizados nesse exercício não são universais. A
frequência acumulada que vimos no texto é a absoluta. Já a
frequência acumulada relativa é dada por:
𝑓𝑅𝑖 =
𝑓𝐴𝑖
Σfa
2) Preencha a tabela a seguir, usando os códigos
do exercício anterior:
Idade fa fr fA fR
1,60 |---| 1,65 2
1,65 ---| 1,70 4
1,70 ---| 1,75 8
1,75 ---| 1,80 11
1,80 ---| 1,85 2
Σ
Por qual motivo apenas o primeiro intervalo é fechado e todos
outros são semiabertos? É muito importante você saber o porquê.
3) Veja a altura de um grupo de 20 pessoas:
Construa uma tabela de dados agrupados com
amplitude de intervalo de classe de 0,10. Ache a
frequência absoluta e relativa simples e
acumuladas.
Filhos 𝑓𝑎 𝑓𝑟 𝑓𝐴 𝑓𝑅
Σ
Tabelas de Dupla Entrada
LEIA COM ATENÇÃO
ESSE QUADRO
Tabelas de dupla entrada (ou Tabelas de
contingência ou Tabelas bidimensionais ou
Tabelas de dados bivariados)
São tabelas com mais de uma variável
observada.
Exemplo:
Alunos de uma determinada escola de Ensino
Médio
Menores de 18
anos
Maiores de 18
anos
Homens 174 19
Mulheres 215 6
Diagramas de Carroll (B5) são exemplos de Tabela
de Dupla Entrada.

12
Vamos fazer alguns exercícios resolvidos, que
caíram em provas do PODEMOS B3.
Exemplo 1:
Considere a idade e o sexo dos alunos de uma
escola de dança:
Idade Sexo Idade Sexo Idade Sexo
13 M 12 F 15 F
14 M 11 M 11 M
13 F 15 M 14 F
14 M 11 F 13 M
11 F 15 F 11 F
14 F 11 F 12 M
13 F 11 M
Preencha a tabela de dupla entrada
equivalente aos dados acima listados.
Sexo
Idade
Masculino Feminino Total
frequência % frequência % frequência %
11 3 33% 4 36% 7 35%
12 1 11% 1 9% 2 10%
13 2 22% 2 18% 4 20%
14 2 22% 2 18% 4 20%
15 1 11% 2 18% 3 15%
Total 9 11 20
A soma das frequências dos homens e
mulheres, pelo arredondamento é 99%, porém,
aceito se for escrito 100% ou deixada em
branco.
Exemplo 2
escola de dança:
13 M 14 F 11 M
11 F 14 M 14 F
14 F 13 F 11 M
14 M 12 F 15 F
13 F 11 M 11 F
11 M 11 F 13 M
13 M 14 M
Sexo
Idade
11 4 40% 3 30% 7 35%
12 0 0 1 10% 1 5%
13 3 30% 2 20% 5 25%
14 3 30% 3 30% 6 30%
15 0 0 1 10% 1 5%
Total 10 10 20
Não ausência de nota ou acréscimo por colocar
ou deixar de colocar a % total na última linha.
Exemplo 3
escola de dança:
12 F 15 M 15 M
13 F 13 M 14 F
12 M 11 F 13 F
13 M 15 F 11 F
14 F 11 M 12 F
13 M 13 F 11 M
11 M 14 F
Sexo
Idade
frequênci
a %
frequênci
a %
frequênci
a %
11 3 33% 2 18% 5 25%
12 1 11% 2 18% 3 15%
13 3 33% 3 27% 6 30%
14 0 0% 3 27% 3 15%
15 2 22% 1 9% 3 15%
Total 9
100
% 11
100
% 20
100
%
Exemplo 4
escola de dança:
Exemplo 5
escola de dança:
14 F 14 F 11 M
11 M 13 M 13 M
13 F 15 M 15 F
11 M 14 F 14 F
12 M 11 M 11 F
15 F 13 F 12 M
14 M 15 F

13
Sexo
Idade
11 4 40% 1 10% 4 20%
12 2 20% 0 0% 2 10%
13 2 20% 2 20% 4 20%
14 1 10% 4 40% 5 25%
15 1 10% 3 30% 4 20%
Total 10 10 20
DIAGRAMAS DE CARROLL
Uma espécie de tabela de dupla entrada, que
será estudada no B5, são os Diagramas de
Carroll:
Fonte: Aritmética Blogspot
Uso do diagrama em problemas
Prof. Abel Estabam Ortega Luna
Fonte: Pinterest
Veja mais em:
https://www.youtube.com/watch?v=spY2MSnbl
HM (acessado em 16 de maio de 2020)
Fonte: The Schoool Room
A ideia de Tabela de Dupla
Entrada
2:27
https://youtu.be/PYZ2drhKECg

14
1) Abaixo apresentamos uma lista com a idade e
o sexo dos alunos de uma classe de 3º ano de
Ensino Médio. Construa uma tabela apropriada
para representar os dados.
M
16
F
16
F
17
F
16
F
17
F
18
M
18
M
17
M
19
M
16
F
16
F
18
F
16
F
17
F
18
F
19
M
19
M
16
M
18
M
17
M
20
M
17
M
19
F
18
F
17
F
16
M
16
M
16
F
16
F
16
M
17
M
17
M
16
M
17
M
16
F
16’
F
19
F
19
F
18
F
17
Sexo
Idade
(Eventualmente sobrarão linhas e colunas)
2) Considere os dados para Sexo (S) e Cor da
Pele (R) abaixo:
Cor da Pele: B – Branco, P – Pardo, A – Amarelo,
N – Negro
Construa a Tabela de dupla entrada com
frequências absoluta e relativa:
Sexo
Cor
Branco
Pardo
Amarelo
Negro
Total
3) Veja os seguintes dados, coletados numa
Academia de Ginástica.
a)Preencha a tabela de dupla entrada:
Idade
Altura
Idade até
25 anos
Idade
superior a
25 anos
TOTAL
1,50 a
1,69
1,70 a
1,89
1,90 a
2,09
TOTAL
b)Qual é a amplitude:
Das Idades _________ Dos Pesos _______
Das Alturas _______
c)Calcule o IMC dos indivíduos com menos de 20
anos.
𝐼𝑀𝐶 =
𝑃𝐸𝑆𝑂
𝐴𝐿𝑇𝑈𝑅𝐴2

15
4) Dado o Gráfico
a)Construa uma tabela de dupla entrada (você
deverá estimar os valores)
Imposto
Ano
IPTU ISSQN Taxas Outros
2003
2004
2005
b) Qual foi a principal fonte de arrecadação de
Santarém nesses anos?
c) Quantos reais (escreva com todos os zeros)
foram arrecadados em IPTU no município de
Santarém em 2005?
d) Qual é a fonte dos dados?
5) Numa sala foi passada uma lista de alunos para
que eles escolhessem a sua equipe: Azul ou
Vermelho, e, forma coletadas as seguintes
informações:
Nome Equipe Nome Equipe Nome Equipe
Antônio AZUL Douglas AZUL Nilza VERMELHO
Aristides AZUL Ellen VERMELHO Patrícia VERMELHO
Beatriz VERMELHO Fernando VERMELHO Queila AZUL
Carlos AZUL Gabriel AZUL Ricardo AZUL
Clara VERMELHO Gustavo AZUL Sandro AZUL
Clésio VERMELHO Hélio AZUL Willian AZUL
Daniela VERMELHO Marília VERMELHO Zilda VERMELHO
Construa uma tabela de dupla entrada indicando
os valores Sexo e Equipe.
6) Veja as seguintes tabelas:
Fonte: http://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/c12.pdf
a) Preencha a tabela de dupla entrada:
Sexo
Idade
HOMENS MULHERES TOTAL
𝑓𝑎 𝑓𝑟 𝑓𝑎 𝑓𝑟 𝑓𝑎 𝑓𝑟
11
12
13
TOTAL

16
b) Preencha a tabela de dupla entrada, com dados
agrupados:
Sexo
Altura
1,40 a
1,49
1,50 a
1,59
1,60 a
1,69
TOTAL
c) Construa uma tabela de dupla entrada, com
dados agrupados, relacionando Altura e Sexo
d) Calcule o IMC na tabela e observe as
informações:
Agora preencha a tabela de dupla entrada.
Sexo
IMC
Magreza
Normal
Sobrepeso
TOTAL
7) Observe a seguinte tabela:
Fonte: SILVEIRA, Denise Silva da; SANTOS, Iná Silva dos; COSTA, Juvenal
Soares Dias da. Atenção pré-natal na rede básica: uma avaliação da estrutura
e do processo. Cad. Saúde Pública, Rio de Janeiro , v. 17, n. 1, p. 131-
139, Feb. 2001 . Available from
<http://www.scielosp.org/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-
311X2001000100013&lng=en&nrm=iso>. access on 25 Oct. 2015
a) Quantos pontos recebeu a planta física dos
Centro de Saúde de porte 2? ________
b) Quantos pontos receberam as normas do Com
Pré Natal? _________
c) Qual o total de pontos recebido pelos Centro de
Saúde de porte 3? ________
d) Qual era a pontuação máxima para os Recursos
Humanos? ____________
e) Qual foi a melhor avaliação quanto aos
Recursos Materiais? _______________
f) Qual foi a melhor avaliação em termos
percentuais?______________
8) Veja a tabela:
Fonte: PIANA, MACHADO, SELAU. Estatística
Básica. UFPEL: Pelotas - RS, 2009.
Explique o que nessa tabela significam:
a)𝐹𝑗 __________________________________
b)𝐹′𝑗__________________________________
c)𝑓𝑗__________________________________
d)𝑓′𝑗__________________________________
e)𝑐𝑗__________________________________
Cada autor de Estatística usa para cada conceito um símbolo
diferente. Ex: Limite Inferior pode ser EI ao invés de Li

17
Formatação de Tabelas
QUADRO
O IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística, órgão do governo federal,
estabeleceu as regras para formatação de
tabelas num texto chamado “Normas de
Apresentação Tabular”.
Não as usaremos, mas é importante conhece-
las que tem como objetivo uniformizar dados
estatísticos na forma tabular. São normas e
recomendações.
Elementos da tabela
Uma tabela estatística é composta de
elementos essenciais e elementos
complementares. Os elementos essenciais são:
- Título: é a indicação que precede a tabela
contendo a designação do fato observado, o
local e a época em que foi estudado.
- Corpo: é o conjunto de linhas e colunas onde
estão inseridos os dados.
- Cabeçalho: é a parte superior da tabela que
indica o conteúdo das colunas.
- Coluna indicadora: é a parte da tabela que
indica o conteúdo das linhas.
Os elementos complementares são:
- Fonte: entidade que fornece os dados ou
elabora a tabela
- Notas: informações de natureza geral,
destinadas a esclarecer o conteúdo das tabelas.
- Chamadas: informações específicas
destinadas a esclarecer ou conceituar dados
numa parte da tabela. Deverão estar indicadas
no corpo da tabela, em números arábicos entre
parênteses, à esquerda nas casas e à direita
nas colunas indicadora.
Os elementos complementares devem situar-se
no rodapé da tabela, na mesma ordem em que
foram descritos.
Número da tabela
Uma tabela deve ter número para identificá-la
sempre que o documento apresentar uma ou
mais tabelas, permitindo, assim, a sua
localização. A identificação da tabela deve ser
feita em números arábicos, de modo crescente,
precedidos da palavra Tabela, podendo ou não
ser subordinada a capítulos ou seções de um
documento. Exemplos: Tabela 5, Tabela 10.4.
Apresentação de dados numéricos
Toda tabela deve ter dado numérico para
informar a quantificação de um fato específico
observado, o qual deve ser apresentado em
números arábicos.
A parte inteira dos dados numéricos deve ser
separada por pontos ou espaços de três em três
algarismos, da direita para a esquerda, por
exemplo: 12.243.527 ou 12 243 527. A
separação da parte inteira da decimal deve ser
feita por vírgula, por exemplo: 25,67.
No sistema inglês, a separação da parte inteira
é feita por vírgula, e a separação da parte inteira
da decimal é feita por ponto, ou seja, é o inverso
do sistema brasileiro.
Sinais convencionais
Sempre que um dado numérico não pode ser
apresentado, o mesmo deve ser substituído por
um sinal convencional. A substituição de um
dado numérico deve ser feita por um dos sinais
abaixo, conforme o caso.
a) - (traço): indica dado numérico igual a zero
não resultante de arredondamento.
b) .. (dois pontos): indica que não se aplica dado
numérico;
c) ... (três pontos): indica dado numérico não
disponível;
d) x (xis): indica dado numérico omitido a fim de
evitar a individualização da informação;
e) 0, 0,0 ou 0,00: indica dado numérico igual a
zero resultante de arredondamento;
f) ? (interrogação): quando há dúvida sobre a
veracidade da informação.

18
Quando uma tabela contiver sinais
convencionais, estes deverão ser apresentados
em nota geral com seus respectivos
significados.
Unidades de medida
Uma tabela deve ter unidade de medida, inscrita
no cabeçalho ou nas colunas indicadoras,
sempre que houver necessidade de se indicar,
complementarmente ao título, a expressão
quantitativa ou metrológica a dos dados
numéricos.
Esta indicação deve ser feita com símbolos ou
palavras, entre parênteses. Exemplos: (m) ou
(metros), (t) ou (toneladas), (R$) ou (reais).
Quando os dados numéricos forem divididos por
uma constante, esta deve ser indicada por
algarismos arábicos, símbolos ou palavras,
entre parênteses, precedendo a unidade de
medida, quando for o caso. Exemplos:
(1.000 t): indica dados numéricos em toneladas
que foram divididos por mil;
(1.000 R$): indica dados numéricos em reais
que foram divididos por mil;
(%) ou (percentual): indica dados numéricos
proporcionais a cem;
(1/1.000): indica dados numéricos divididos por
1/1.000, ou seja, multiplicados por mil.
Fonte: PIANA, MACHADO, SELAU. Estatística
Básica. UFPEL: Pelotas - RS, 2009.
Há normas ainda sobre:
* arredondamento
* o uso de intervalos de classes de frequência
como x |-y ou [x,y[
* séries históricas com datas separadas com
hífen: 1892-912, 1960-65, out 1991 - mar 1992,
1981/85 (dados não consecutivos), out 1991 /
mar 1992.
Séries estatísticas são agrupamentos de
dados estatísticos.
Os principais tipos são:
- séries temporais (ou históricas, ou
cronológicas ou evolutivas)
- séries espaciais (relacionados com questões
geográficas)
- séries categóricas (ou qualitativas ou
especificativas)
- séries mistas (que envolve mais de uma
categoria acima)
- séries de distribuição de frequências: quando
nenhum dos fatores varia, por dados de
enumeração (tabelas simples) ou por dados de
mensuração (tabelas por intervalos de classe).
Formatações
Tabela com Série Temporal
Tabela com Séries Categóricas
Tabelas de Dupla Entrada
Apresentação das Tabelas:
- O corpo da tabela deve ser delimitado, no
mínimo, por três traços horizontais.
- Recomenda-se não delimitar as tabelas à
direita e à esquerda por traços verticais. É
facultativo o uso de traços verticais para a
separação de colunas no corpo da tabela.
- Quando, por excessiva altura, a tabela tiver
que ocupar mais de uma página, não deve ser
delimitada inferiormente, repetindo-se o
cabeçalho na página seguinte. Deve-se usar no
alto do cabeçalho a palavra continuação ou
conclusão, conforme o caso.
- Se possuir muitas linhas e poucas colunas,
poderá ser apresentada em duas ou mais partes
dispostas lado a lado e separadas por traço
duplo.
- A disposição da tabela deve estar na posição
normal de leitura. Caso isso não seja possível,
a apresentação será feita de forma que a
rotação da página seja no sentido horário.

19
Exemplo:
Fonte: PIANA, MACHADO, SELAU. Estatística Básica. UFPEL: Pelotas - RS, 2009.

20
1)Veja a tabela
a)Quais são as variáveis da tabela acima?
b)Como se classifica a série envolvida?
c)Classifique as variáveis em ordinal, nominal,
intervalar ou de razões.
d)Dada a representação:
O que indica:
𝑥1 ___________________
𝑦3 ___________________
𝑎19 ___________________
𝑧7 ___________________
𝑏11 ___________________
A ___________________
Uso do Excel
QUADRO
Uso do Excel
Considere a tabela a seguir. Vamos
supor que queremos encontrar a freqüência
relativa (%) de cada valor. Como fazemos.
Acompanhe o passo a passo:
1º) Digite a tabela no Excel. Cada valor em
uma célula.
2º) Calcule a soma dos indivíduos (o tamanho
da amostra ou população se for uma estatística
populacional):
3º) Calculamos na coluna C2 (no caso), a
freqüência relativa:

21
4º) Arrasto a marca sobre a célula C2 para todos
os escores e converto em %.
Ou seja, o Excel se encarrega de fazer
todos os cálculos, facilitando muito nosso
trabalho.
1)Faça com ajuda do Excel:
“No galinheiro do seu Chico encontram-se
galinhas, galos e pintinhos. Ele precisa saber
quantos animais de cada tipo tem, vamos ajudá-
lo? Vamos começar contando a quantidade de
cada animal”:
Autoria da questão: Ferrero, Luis; Gaztelu,
Ignácio; Martin, Pablo & Martines, L. Matemáticas
4. Série Sol y Luna. España, 1999.
2) A função =(CONT.SE também pode ser
utilizada para contar quantos elementos possui
uma tabela, e pode auxiliar em Estatística.
Utilizando do Excel, e usando ou não essa função,
organize tabelas simples com frequências
absolutas e relativas, inclusive as acumuladas:
com os dados a seguir:
a)
b)

22
Organização de Dados – Gráficos
QUADRO
Organização de Dados – Gráficos
Uma forma de organização de dados são os
gráficos, amplamente estudados por qualquer
estudante que ingressou no primário a partir dos
últimos anos da década de 90 ou início dos anos
2000.
Existem vários tipos de gráficos:
a)Gráficos de Barras – utilizados na
comparação de grandezas umas com as outras:
Há quem chama de gráficos de colunas
apenas quando as colunas são verticais,
chamando de gráfico de barras quando as
colunas são horizontais. Consideramos tais
distinção irrelevante e até inadequada.
Essa parte do gráfico acima é chamada de
legenda e está presente em diversos tipos de
gráficos.
As legendas podem ser em cores ou texturas:
b)Gráfico de Linhas ou Segmentos – utilizado
em séries temporais. Sempre podem ser
convertidos em gráficos de barras.
Não confunda os gráficos de linhas com os
polígonos de frequências, que são objetos
completamente diferentes. Os gráficos de linhas
servem para divulgar informações para
qualquer pessoa, enquanto os polígonos de
frequências são objetos mais técnicos, com
aplicações mais teóricas e de compreensão
mais complexa e sofisticada.
c)Gráfico de Setores ou de Pizza – utilizados
na comparação de grandezas parte-todo. Todo
gráfico de barras pode ser convertido em
setores e vice-versa. (Compara as frequências
com a somatória)
0
2
4
6
8
10
1
11 anos
12 anos
13 anos
14 anos
15 anos
16 anos
Seqüência1
11 anos
12 anos
13 anos
14 anos
15 anos
16 anos

23
d)Pictogramas – são ilustrações com desenhos
que ajudam na compreensão de dados
estatísticos
Um excelente site que ensina a construir
pictogramas é:
http://www.xtec.es/~jcanadil/activitats/mao/picto
grames.htm
Veja mais pictogramas:
e)Existem também os INFOGRÁFICOS, que são
gráficos complexos e bonitos que mostram um
conjunto de informações de forma ilustrativa e
informativa, auxiliando a compreensão.

24
Fonte: Resultados Digitais
Fonte: Superinteressante

25
Fonte: 123RF
Fonte: The Walking Dead Br

26
1) Dado o Gráfico:
a) Qual é o tipo de gráfico da figura?
___________________
b) Esse gráfico foi retirado de qual publicação?
_____________________
c) Qual é a fonte das informações?
____________________________
d) O que o gráfico está mostrando? (Título
resumido das informações)
_______________________________________
_______________________________________
e) Qual é a principal fonte poluidora apontada no
gráfico?
_______________________________________
d) Observe a figura abaixo, do movimento
“Segunda Sem Carne”. Qual é a relação do gráfico
com esse movimento?
2)Observe os gráficos:
Abaixo reproduzimos um gráfico de linhas
incompleto que representa a evolução do volume
em milhares de toneladas de detergente em pó e
amaciantes.
a) Complete o gráfico para os anos de 2006
e 2007.
b) Qual foi o volume total de venda em
2007?
500
550
600
650
700
750
800
850
900
Ano 2003 Ano 2004 Ano 2005 Ano 2006 Ano 2007
Detergente em Pó Amaciante

27
3)Os gráficos abaixo estão corretos e indicam a
intenção de votos em 4 candidatos a prefeito de
uma pequena cidade:
Em geral o primeiro gráfico serve para manipular
informações, dando a impressão que o candidato
A está com muita vantagem em relação ao
candidato D, o que mão é verdadeiro.
Qual tipo de gráfico poderia ser utilizado para
evitar tais distorções? ________________
4)Construa um gráfico de setores que represente
as ações de três sócios de uma empresa:
Huguinho, 75 ações, Zezinho, 75 ações e
Luizinho, 150 ações.
Esse gráfico acima dispensa o uso de transferidor ou realização
de cálculos proporcionais. A construção de gráfico de setores não
será objeto desse curso, mas vale a revisão (veja PODEMOS E e B2).
5)Construa um gráfico de linhas que mostre a
evolução do Salário Mínimo nos últimos 4 anos.
6)Veja como gráficos pode ser utilizados para
manipulações:
Fonte: https://riunet.upv.es
Fonte: Idesa.org
Explique por qual motivo os gráficos são
manipulados.

28
7) Uma pesquisa de satisfação apresenta o
seguinte resultado:
a) Em qual dos gráficos dá pra ver que a
quantidade de “Bom” é mais que “Regular”,
“Ruim” e “Ótimo” juntos? Explique
b) Em qual gráfico é mais claro que há mais
avaliações “Ótimo” do que Regular”?
Rexplique.
8) Hoje em dia (exercício elaborado em 2006 para
a ESEFM – Muzambinho), com o crescimento da
Internet, a Educação à Distância vai se
consolidando não só no Brasil, mas no mundo
inteiro.
Observe o gráfico abaixo:
Fonte:
http://www.bou.com.br/esacam/interno.cfm?target=elearning_mundo
. Disponível em 15.09.2006
.a) Qual foi o ano que teve o maior aumento de
usuários da Internet em termos absolutos?_____
b) Qual foi o ano que teve o maior aumento de
usuários da Internet em termos relativos (aumento
percentual, proporcional)?_____
c) Esse gráfico poderia ser no formato de gráfico
de linhas? Por que não é conveniente apresentar
as informações desse exercício sob a forma de um
gráfico de setores?
e) Usando esse gráfico, crie um argumento
simples em favor da Educação à Distância.

29
9) Abaixo apresentados as idades dos alunos de
uma escola com EJA. Construa uma tabela
apropriada para representar os dados e um gráfico
correspondente.
15 21 20 28 20 34 26 28 23 29
22 41 36 15 35 31 19 19 33 24
21 20 20 18 16 26 26 28 23 42
19 22 20 27 21 33 17 21 31 30
10)Construa um gráfico de barras adequado,
dadas idades e sexo na lista abaixo:
M
16
F
16
F
17
F
16
F
17
F
18
M
18
M
17
M
19
M
16
F
16
F
18
F
16
F
17
F
18
F
19
M
19
M
16
M
18
M
17
M
20
M
17
M
19
F
18
F
17
F
16
M
16
M
16
F
16
F
16
M
17
M
17
M
16
M
17
M
16
F
16’
F
19
F
19
F
18
F
17
Construção de Gráficos no Excel
QUADRO
Considere a tabela anterior. Vou mostrar passo
a passo como podemos fazer o gráfico dela:
Eu escolho o tipo de gráfico:
Sigo as etapas até construir o gráfico que eu
quero.
OBS: Pode haver algum problema na tabela
acima pelo Excel reconhecer as idades como
números. Se isso acontecer, faça a tabela ficar
assim:

30
Alguns exemplos (de centenas) de resultado
são os seguintes:
Há várias opções de gráficos (uso de escalas,
margens de erro, cores, linhas de grade,
máximos e mínimos, etc). Explore-as
Orientação de resolução de exercícios:
Os exercícios a seguir devem ser resolvidos no
Excel, cada um deles numa planilha diferente.
EXEMPLO: Dada a Tabela, encontre as
frequências relativas e construa os gráficos
de barras e setores
RESOLUÇÃO:
1) Insira a SOMA dos valores na última linha,
utilizando a função SOMA.
2) Para calcular a frequência relativa, coloque =
selecione o valor da frequência absoluta,
coloque o símbolo de divisão / e o valor da soma
no denominador
N.
0
2
4
6
8
10
12
19 anos 20 anos 21 anos 22 anos 23 anos 27 anos 28 anos
N.
0
2
4
6
8
10
12
N.
19 anos
20 anos
21 anos
22 anos
23 anos
27 anos
28 anos
N.
19 anos
20 anos
21 anos
22 anos
23 anos
27 anos
28 anos

31
3) Agora selecione o valor encontrado e arraste
4) Após pronta a tabela, selecione as
frequências relativas:
5) Selecione a seguinte tecla para encontrar as
porcentagens
6) Você usará as teclas para escolher
pois ou mais ou menos números nas casas
decimais. Vamos colocar duas casas decimais:
7) Agora vamos construir o gráfico de barras.
Selecione apenas os dados e a frequência
absoluta
8) É preciso deixar o gráfico apresentável
0
5
10
15
20
10anos
11anos
12anos
13anos
14anos
15anos
soma
FREQ. ABS.
FREQ. ABS.

32
Selecionando dados é fácil ter um gráfico assim:
9) Alterne linha e coluna:
Você encontrará um gráfico assim:
10) Coloque os números das quantidades
11) Com um pouco de esforço você consegue
colocar a legenda
12) Para fazer o gráfico de setores, o
procedimento é similar
1 – Plan1) Numa turma de 4ª série de Ensino
Fundamental, foi aplicado um teste obtendo 5
notas A, 13 notas B, 9 notas C e 2 notas D.
a) Usando o Excel faça uma tabela, apontando
freqüência absoluta, freqüência relativa e
freqüência acumulada.
b) Faça um gráfico de barras e um gráfico de
setores para a tabela (marque os valores no
gráfico). Qual a vantagem de cada gráfico?
c) Os dados coletados são medidos em qual
escala? (responda no Excel)
0
5
10
15
20
10
anos
11
anos
12
anos
13
anos
14
anos
15
anos
soma
0
5
10
15
20
7
8
11
15
9
3
0
5
10
15
20
10 anos
11 anos
12 anos
13 anos
14 anos

33
2 – Plan2) Numa turma de EJA do Ensino
Fundamental foram coletadas as seguintes
informações, quanto à idade:
X: idade de alunos da 5ª série do EJA
x: 15, 16, 17, 14, 17, 16, 18, 19, 17, 18, 17, 19, 17,
37, 20, 15, 14, 16, 19, 18, 18, 15, 21,17, 16, 25,
16, 22, 24, 16, 22, 19, 18,17, 17, 14, 21, 17, 19,
19, 19, 18, 23, 18, 15, 25, 14, 14, 17, 17, 20, 21.
a) Usando o Excel faça uma tabela de dados
agrupados (classes de amplitude 3, a partir do 14),
aponte freqüência absoluta e relativa.
b) Há algum outlier na turma? Quem seria?
(responda no Excel)
c) Faça um gráfico de barras e um gráfico de
setores para a tabela (marque os valores no
gráfico). Qual a vantagem de cada gráfico?
(responda no Excel)
d) Os dados coletados são medidos em qual
escala? (responda no Excel)
3 – Plan3) Foi feita a medida do percentual de
gordura em uma sala de aula e verificou-se os
seguintes números.
X: percentual de gordura Y: sexo (m=masculino,
f=feminino)
x,y: 14,m; 12,f; 15,f; 18,f; 16,f; 19,f; 20,m; 18,m;
15,m; 16,m; 17,m; 11,m; 12,f; 13,f; 16,f; 15,m;
16,m; 17,m; 14,f; 21,m; 26,m; 12,f; 15,m; 18,m;
14,f; 19,f; 21,m; 19,f; 20,f; 21,f; 22,f; 12,f; 11,f;
11,m; 14,f; 12,m; 14,f; 14,m; 16,m; 19m.
a) Faça uma tabela de dupla entrada para as
variáveis percentual de gordura e sexo (incluindo
freqüência absoluta e freqüência relativa).
Atenção: Agrupe os dados em intervalos de
classe, à seu critério.
b) Faça um gráfico para os dados coletados.
Formatação de Gráficos
QUADRO
Gráficos são apenas uma outra representação
de uma tabela, que fornece mais rapidez para
compreensão de informações. Os objetivos são
distintos mas as informações são as mesmas.
Plana, Machado e Selau apresentação normas
para representação gráfica que não utilizaremos
nesse curso, mas é interessante conhecer:
- Os gráficos, geralmente, são construídos num
sistema de eixos chamados sistemas cartesiano
ortogonal. A variável independente é localizada
no eixo horizontal (abscissas), enquanto a
variável dependente é colocada no eixo vertical
(ordenadas). No eixo vertical, o início da escala
deverá ser sempre zero, ponto de encontro dos
eixos.
- Iguais intervalos para as medidas deverão
corresponder a iguais intervalos para as
escalas. Exemplo: Se ao intervalo 10-15 kg
corresponde 2 cm na escola, ao intervalo 40-45
kg também deverá corresponder 2 cm,
enquanto ao intervalo 40-50 kg corresponderá 4
cm.
- O gráfico deverá possuir título, fonte, notas e
legenda, ou seja, toda a informação necessária
à sua compreensão, sem auxílio do texto.
- O gráfico deverá possuir formato
aproximadamente quadrado para evitar que
problemas de escala interfiram na sua correta
interpretação.
OBSERVAÇÃO:
Além dos gráficos que estudamos há vários
outros tipos específicos, representações em
“3D”, regras para determinação do tamanho dos
intervalos de classe, tipos de escalas de eixos
(como escalas logarítmicas). Não vamos entrar
nesses detalhes nesse curso.
Em outras aulas, nesse módulo veremos ainda
o DIAGRAMA DE DISPERSÃO (Scatterplot) e
o DIAGRAMA DE CAIXAS (Box Plot), próprios
para o estudo de correlação e de quartis.

34
1)(Adaptado de Plana, Machado, Selau) Escreva
a tabela de dupla entrada (contingência)
correspondente aos gráficos:
(Estereograma)
Gráficos Estatísticos
QUADRO
Histograma e Polígono de Frequências são
duas representações matemáticas de
distribuições da frequência de dados, que se
prestam para análises matemáticas mais
avançadas sobre o comportamento dos dados.
Em geral o Histograma é mais útil para a
representação de dados agrupados em classes,
enquanto o Polígono de Frequência se presta
para dados simples. Vamos aprender a
construção dos dois gráficos para as duas
situações.
Os objetivos do estudo desses gráficos só serão
compreendidos posteriormente. Eles não
devem ser utilizados em artigos jornalísticos ou
cujo objetivo seja divulgação de informação
para leigos.
A Curva Normal, já citada na primeira aula de
Estatística, é a representação de um polígono
de frequência com "infinitos lados". Veremos
que as áreas abaixo desses polígonos possuem
significado matemático, porém, isso só poderá
ser compreendido posteriormente.
POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS
Um polígono de frequências é construído pela
junção dos escores com suas frequências, e,
no caso de dados agrupados em intervalos de
classe, na junção do ponto médio do intervalo
de classe (abscissa) e a frequência (ordenada).
Adicionalmente se faz um ponto no início e outro
no fim, de distância do primeiro e último ponto
de tamanho do intervalo de classe ou de uma
unidade, na ordenada zero, “fechando” o
polígono.
Fonte: Blog de Estatística do Prof. Alexandre

35
Fonte: Maestro Virtuale
Uma das utilidades do polígono de frequência é
analisar a “normalidade” da distribuição. Quanto
mais pontos ele tiver mais sentido ele vai
possuir.
Apesar da semelhança os polígonos de
frequências não são gráficos de linhas ou
segmentos.
HISTOGRAMA
Polígono de frequências que usa barras
horizontais aos invés de pontos
Fonte: Google Sites
Fonte: Cálculo.CC
Apesar da semelhança, o histograma não é um
gráfico de barras ou colunas.
É um diagrama de representação gráfica de
uma Tabela de Frequências em que as
frequências são representadas pelas áreas de
retângulos contíguos, com as bases colineares
e proporcionais aos intervalos de classe. Em
resumo, consiste em um conjunto de retângulos
que tem:
a) As bases sobre um eixo horizontal (eixo dos
X) com centro no Ponto Médio de classes (Xi) e
as larguras das colunas iguais à Amplitude
ou intervalo de classe (c).
b) As áreas de cada retângulo, proporcionais às
frequências de classe.
As frequências de classe representadas na
ordenada (eixo dos Y).
Ressaltando, pode-se dizer que:
1) A área de cada retângulo mede a
frequência de ocorrência da variável no
intervalo que lhe serve de base.
2) A área do Histograma é igual ou
proporcional à soma das frequências.
Adaptado de
http://www.ensinoeinformacao.com/estatist-
prob-curso-distr-freq
Note que há diferenças entre esses gráficos
feitos para dados simples ou agrupados em
classes.

36
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA E
HISTOGRAMA – DADOS AGRUPADOS EM
CLASSES
Fonte: Reseach Gate
Fonte: Pinterest
Fonte: Histogram-0 Blogspot
Fonte: Las Tics Em La Matemática - Física
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA E
HISTOGRAMA – DADOS SIMPLES
Fonte: Tiching
Fonte: Si-Educa-Net
Fonte: Cálculo CC

37
Fonte: Quinto C Escuela 6 Duranzo
Importante:
Quando sobrepomos histogramas e polígonos
de frequência sempre ocorrerá a coincidência
do ponto médio da base superior dos retângulos
com o vértice do polígono de frequências.
1) O que há de errado no Polígono de Frequências
a seguir:
Fonte: IHMC Public Cmaps
Detalhando a construção do
Histograma e Polígono de Frequências
QUADRO
Vamos resolver exemplos aqui (todos eles caíram na
questão 41 de edições diferentes da prova do
PODEMOS B3, em 2018 e 2019):
TABELAS DE FREQUÊNCIA SIMPLES
Exemplo 1
Considere o seguinte rol:
1 2 2 3 3
3 3 4 4 4
4 4 4 4 4
4 4 4 5 5
5 5 5 5 6
a) Construa uma tabela de frequências,
envolvendo inclusive frequências acumuladas:
Escore fa fr fA fR
1 1 4% 1 4%
2 2 8% 3 12%
3 4 16% 7 28%
4 11 44% 18 72%
5 6 24% 24 96%
6 1 4% 25 100%
∑ 25 100%
(fa = frequência absoluta, fr = frequência
relativa, fA = frequência acumulada absoluta, fR
= frequência acumulada relativa)
b) Construa o histograma e o polígono de
frequências do rol.

38
Exemplo 2
1 2 2 2 2
2 3 3 3 3
3 3 3 3 3
3 3 4 4 4
5 5 5 6 6
Escore fa fr fA fR
1 1 4% 1 4%
2 5 20% 6 24%
3 11 44% 17 68%
4 3 12% 20 80%
5 3 12% 23 92%
6 2 8% 25 100%
∑ 25
TABELAS DE FREQUÊNCIAS EM DADOS
AGRUPADOS
Exemplo 1
1,56 1,59 1,60 1,61 1,63
1,63 1,65 1,66 1,67 1,68
1,70 1,73 1,74 1,74 1,75
1,76 1,77 1,78 1,82 1,84
Escore fa fr fA fR
1,55 ⊢ 1,60 2 10% 2 10%
1,60 ⊢ 1,65 4 20% 6 30%
1,65 ⊢ 1,70 4 20% 10 50%
1,70 ⊢ 1,75 4 20% 14 70%
1,75 ⊢ 1,80 4 20% 18 90%
1,80 ⊢ 1,85 2 10% 20 100%
∑ 20
Exemplo 2
1,56 1,57 1,59 1,60 1,61 1,63
1,64 1,65 1,66 1,68 1,69 1,70
1,71 1,75 1,75 1,77 1,78 1,80
1,83 1,84
Escore fa fr fA fR
1,55 ⊢ 1,60 3 15% 3 15%
1,60 ⊢ 1,65 4 20% 7 35%
1,65 ⊢ 1,70 4 20% 11 55%
1,70 ⊢ 1,75 2 10% 13 65%
1,75 ⊢ 1,80 4 20% 17 85%
1,80 ⊢ 1,85 3 15% 20 100%
∑ 20 100%
Exemplo 3
46 46 48 50
50 51 53 55
57 59 60 61
63 65 66 71
73 75 76 79

39
Escore Fa Fr fA fR
45 ⊢ 55 7 35% 7 35%
55 ⊢ 65 6 30% 13 65%
65 ⊢ 75 4 20% 17 85%
75 ⊢ 85 3 15% 20 100%
∑ 20 100%
(fa = frequência absoluta, fr = frequência
relativa, fA = frequência acumulada absoluta, fR
= frequência acumulada relativa)
Ogiva de Galton
QUADRO
OGIVA DE GALTON
Adaptado de
http://www.ensinoeinformacao.com/estatist-
prob-curso-distr-freq
Adaptado de: SAGE Reseach Methods
É o “polígono” de frequências acumuladas. A
diferença é que não há a ligação do último
ponto com a abscissa.
Traça-se este tipo de gráfico se está interessado
no estudo de um problema de frequência com
que uma variável assume valores “menores ou
iguais” ou “maiores ou iguais” ou “iguais” a um
valor fixado, do que na frequência em que ela
assume valores individuais. Para isso, nos
valemos da Frequência Acumulada (fai) e pode-
se representar seu gráfico correspondente,
denominado de OGIVA DE GALTON.
No caso de se estudar um problema de
frequência com que uma variável assume
valores menores (ou, menores ou iguais) a um
valor fixado, utilizam-se as frequências
acumuladas.
Francis Galton
O nome Galton é em homenagem ao
antropólogo, meteorologista e estatístico inglês
Francis Galton (1822 - 1911). Seus livros e
artigos tratam de assuntos muito diversos como

40
impressão digital, orações, moda e
levantamento de peso, mas a grande polêmica
de Galton foi a criação do conceito de "eugenia",
uma teoria racista. Galton era primo de Darwin,
mas nos seus estudos estudou "seleção
artificial" pregando que a raça humana poderia
ser melhorada evitando cruzamentos
indesejáveis. Ainda que seja um teórico
amplamente usado por racistas, e cuja teoria
hoje deva ser repudiada, na época não teria
como avaliar os prejuízos de sua teoria, devido
aos contextos que vivia.
Fez importantes contribuições para psicometria
e estatística.
OGIVA DE GALTON E A PANDEMIA DE
COVID-19
Fonte: UOL
A Ogiva de Galton está sendo amplamente
utilizada para explicar a evolução de casos e
mortes na pandemia de COVID-19, em curso no
ano de 2020 (estamos escrevendo esse texto
em 16 de maio de 2020, 21h9).
Fonte: G1 – Ogiva de Galton representando
Mortes e casos por Coronavírus no Brasil.
Veja um gráfico que concilia a Ogiva de Galton
com um gráfico de barras:
Veja também um gráfico que NÃO É uma Ogiva
de Galton, pois não representa dados
acumuladas:

41
CONSTRUÇÃO DA OGIVA DE GALTON.
Vamos retomar exemplos que já utilizamos.
(Observe os mesmos para comparar com os
demais gráficos)
Exemplo 1
1,56 1,59 1,60 1,61 1,63
1,63 1,65 1,66 1,67 1,68
1,70 1,73 1,74 1,74 1,75
1,76 1,77 1,78 1,82 1,84
Escore fa fr fA fR
1,55 ⊢ 1,60 2 10% 2 10%
1,60 ⊢ 1,65 4 20% 6 30%
1,65 ⊢ 1,70 4 20% 10 50%
1,70 ⊢ 1,75 4 20% 14 70%
1,75 ⊢ 1,80 4 20% 18 90%
1,80 ⊢ 1,85 2 10% 20 100%
∑ 20
Construa a ogiva de Galton da distribuição
Exemplo 2
1 2 2 3 3
3 3 4 4 4
4 4 4 4 4
4 4 4 5 5
5 5 5 5 6
Escore fa fr fA fR
1 1 4% 1 4%
2 2 8% 3 12%
3 4 16% 7 28%
4 11 44% 18 72%
5 6 24% 24 96%
6 1 4% 25 100%
∑ 25 100%
Exemplo 3
1,56 1,57 1,59 1,60 1,61 1,63
1,64 1,65 1,66 1,68 1,69 1,70
1,71 1,75 1,75 1,77 1,78 1,80
1,83 1,84
Escore fa fr fA fR
1,55 ⊢ 1,60 3 15% 3 15%
1,60 ⊢ 1,65 4 20% 7 35%
1,65 ⊢ 1,70 4 20% 11 55%
1,70 ⊢ 1,75 2 10% 13 65%
1,75 ⊢ 1,80 4 20% 17 85%
1,80 ⊢ 1,85 3 15% 20 100%
∑ 20 100%

42
Exemplo 4
1 2 2 2 2
2 3 3 3 3
3 3 3 3 3
3 3 4 4 4
5 5 5 6 6
Escore fa fr fA fR
1 1 4% 1 4%
2 5 20% 6 24%
3 11 44% 17 68%
4 3 12% 20 80%
5 3 12% 23 92%
6 2 8% 25 100%
∑ 25
Exemplo 5
46 46 48 50
50 51 53 55
57 59 60 61
63 65 66 71
73 75 76 79
Escore Fa Fr fA fR
45 ⊢ 55 7 35% 7 35%
55 ⊢ 65 6 30% 13 65%
65 ⊢ 75 4 20% 17 85%
75 ⊢ 85 3 15% 20 100%
∑ 20 100%
(Em verde)
Aula Consolidada
17:01
https://youtu.be/iLxP-ZyS4mY
Aula Consolidada 2 – Parte 1
19:57
https://youtu.be/fc4pC5htwMM
14:07
https://youtu.be/0kg0GvXYlz4
12:15
https://youtu.be/px8vpM0M7a8
1) Elabore uma tabela de frequências para:
X: idade dos alunos do 4º período A
x: 19, 20, 22, 19, 19, 19, 22, 21, 19, 20, 20, 20,
19, 21, 22, 23, 28, 22, 19, 21, 20, 21, 22, 19, 20,
27, 21, 22, 23, 19, 19, 20
Construa o histograma, o polígono de frequências
e a ogiva de Galton correspondentes. (No
caderno)
Resolução do Exercício
5:33
https://youtu.be/1ZLi0Et6ZrI
Resolução do Exercício com
Excel
17:02
https://youtu.be/8SU39TBwLkc

43
Dado o rol:
Y: altura dos alunos do 4º período B
y: 1,72; 1,63; 1,71; 1,73; 1,67; 1,73; 1,75; 1,79;
1,82; 1,69; 1,77; 1,72; 1,70; 1,74; 1,77; 1,79;
1,73; 1,78; 1,81; 1,77; 1,80; 1,62; 1,70; 1,77;
1,79; 1,80.
caderno)
X: médias bimestrais do 1º MZ
x: 10, 17, 24, 16, 12, 22, 23, 15, 15, 12, 9, 16, 17,
16, 15, 15, 11, 20, 22, 13, 23, 18, 23, 12, 21, 20,
9, 21, 15, 8, 15, 7, 11, 19, 18, 9, 8
caderno)
4)Faça uma análise das relações entre o
Histograma e a Curva Normal, a partir do exemplo:
5) Qual dos gráficos a seguir é uma Ogiva de
Galton?
6)Dado o Histograma e o Polígono de
Frequências, construa a Ogiva de Galton:
Fonte: ESALQ

44
7) Considere o seguinte rol:
1,55 1,57 1,59 1,63 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71
1,77 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,83
a) Construa uma tabela de frequências, envolvendo inclusive frequências acumuladas:
Escore fa fr fA fR
1,55 ⊢ 1,60
1,60 ⊢ 1,65
1,65 ⊢ 1,70
1,70 ⊢ 1,75
1,75 ⊢ 1,80
1,80 ⊢ 1,65
∑
(fa = frequência absoluta, fr = frequência relativa, fA = frequência acumulada absoluta, fR = frequência acumulada relativa)
b) Construa o histograma e o polígono de frequências do rol.
c) Construa a ogiva de Galton da distribuição

45
1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6
Escore Fa fr fA fR
1
2
3
4
5
6
∑
(fa = frequência absoluta, fr = frequência relativa, fA = frequência acumulada absoluta, fR = frequência
acumulada relativa)

46
45 46 48 49 50 55 56 59
60 65 67 70 71 73 77 79
80 81 82 83
Escore fa fr fA fR
45 ⊢ 55
55 ⊢ 65
65 ⊢ 75
75 ⊢ 85
∑
(fa = frequência absoluta, fr = frequência relativa, fA = frequência acumulada absoluta, fR = frequência acumulada relativa)

47
Aprofundamento – Fórmula de
Sturges
QUADRO
Se você está no ensino fundamental, ignore esse
capítulo, ou tente compreender brevemente a
Fórmula de Sturges
Até agora distribuímos os intervalos de classe do
jeito que quisemos, sem utilizar qualquer critério.
Isso é adequado pedagogicamente, mas, em
estudos científicos, essa distribuição por
conveniência pode apresentar problemas.
A pergunta básica é:
Em quantas classes devemos agrupar os
dados?
Alguns autores propuseram encontrar a raiz
quadrada do número de elementos observados,
então, por exemplo, com 30 elementos, teríamos
𝑘 = √30 ≈ 5,47
Arredondando para cima, 6 classes. O objetivo nisso
era deixar a tabela quadrada. Tal método, porém,
não agradava os estatísticos.
Em 1926 o matemático alemão Herbert Sturges
propôs um método baseado num número de
amostras N que permitiria encontrar o número de
classes. Essa fórmula é mais usada quando você vai
criar histogramas e polígonos de frequência e
quando os dados coletados são amostrais (e não se
trata de um censo).
A regra foi elaborada de uma forma sofisticada, que
de forma didática e simples pode ser conferida aqui:
https://maestrovirtuale.com/regra-de-sturges-
explicacao-aplicacoes-e-exemplos/ (acesso em 16
de maio de 2020, 21h48) , onde você precisa
dominar os conceitos de combinação, números
binomiais e somatória. Através dos cálculos, Sturges
chegou na fórmula:
𝑘 = 1 + log2 𝑁
Ou
𝑘 ≈ 1 + 3,322 log 𝑁
Onde N é o tamanho da amostra e 𝑘 é a quantidade
de classes.
Exemplo:
Pela regra de Sturges, quantas classes deveria ter
uma distribuição com 30 valores?
𝑘 ≈ 1 + 3,322 log 30 ≈ 1 + 3,322 ∙ 1,4771 ≈ 5,9
Ou seja, o ideal é fazermos 6 intervalos de classe.
ENCONTRANDO OS INTERVALOS PELA
FÓRMULA DE STURGES
Considere uma distribuição amostral com 60
elementos (portanto 𝑁 = 60), onde o maior elemento
é 39 e o menor é 16. Encontre os intervalos de
classe.
1º passo: fórmula de Sturges
𝑘 ≈ 1 + 3,322 log 60 ≈ 6,9 ≈ 7
7 classes, portanto.
2º passo: encontre a amplitude total 𝐻 (em alguns
livros 𝑎 𝑡).
𝐻 = 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 39 − 16 = 23
3º passo: determine a amplitude de cada intervalo ℎ:
ℎ =
𝐻
𝑘
=
23
7
≈ 3,3
4º passo: A primeira classe se iniciará com o valor
mínimo 16, e serão os intervalos:
16| − 19,3
19,3| − 22,6
…
35,8 | − |39,1
Via de regra a última classe utiliza-se o símbolo | − |.
No caso aqui não seria necessário.
1)Usando a fórmula 𝑘 = √𝑁, determine o número
de classes 𝑘 de uma amostra de tamanho:
a)𝑁 = 57 b)𝑁 = 100
c)𝑁 = 2020 d)𝑁 = 8
2)Usando a fórmula de Sturges determine o
número de classes de uma amostra com:
a)25 elementos
b)145 elementos
c)300 elementos

48
d)1000 elementos
e)1024 elementos
f)512 elementos
3)(Samuel de Oliveira Ribeiro)Apresentados os
Dados Brutos:
a)Organize o Rol:
b)Determine o número de intervalos de classe
usando a fórmula de Sturges.
c)Determine os limites inferior e superior de cada
classe usando a fórmula de Sturges.
d)Faça a tabela de frequências correspondente.
4)(Maestro Virtuale) Faça a tabela de frequências
utilizando-se da Regra de Sturges:
5)(FM-USP) Faça a tabela de frequências
utilizando-se da Regra de Sturges:

49
6)(Piana e Outros)Veja os dados
Tamanho: n=60
Número de classes k=1+3,32xlogn (Fórmula de
Sturges). k=6,9. 7 classes.
at=ES-EI=39-16=23
i=at/k=23/7=3,3 aproximadamente
a) Construa a Tabela
b) Construa o Histograma, o Polígono de
Freqüências e a Ogiva de Galton
7)(Piana e Outros)Os dados a seguir se referem
ao número pães não vendidos em uma certa
padaria até a hora do encerramento do
expediente:
Construa a distribuição de frequências para esses
dados:
8) (Piana e Outros) Os dados em rol (ordenação
horizontal) abaixo se referem aos valores gastos
pelas primeiras 50 pessoas que entraram em um
determinado supermercado em 1º de janeiro de
2000.
Tamanho: n=50
Número de classes k=1+3,32xlogn (Fórmula de
Sturges). k=6,64. 7 classes.
at=ES-EI=93,34-3,11=90,23
i=at/k=90,23/7=13 aproximadamente
Construa as classes sendo o primeiro número 3 e
intervalos de amplitude 13.

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