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ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - NOVAMENTE K^5 COMO RESPOSTA
1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - NOVAMENTE K^5 COMO RESPOSTA
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro
2. Hoje falaremos de um questão publicada na lista PUC-RIO sobre repetição.
3. DÚVIDA
Gostaria de saber se alguém sabe fazer por indução?
Provar que para qualquer número inteiro k, os números k e k^5 terminam
sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades).
4. SOLUÇÃO
Por indução:
Para n = 0 e n = 1 o resultado é óbvio.
Suponha que para n = 0, 1, ..., k, n^5 e n tenham o mesmo algarismo das
unidades, ou seja, o algarismo das unidades de n^5 - n é 0.
k+1)^5 - (k+1) =
k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 - k - 1 =
k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 4k =
(k^5 - k) + (5k^4 + 5k) + (10k^3 + 10k^2) =
(k^5 - k) + 5k(k^3 + 1) + 10k^2(k+1).
5. Agora, repare no seguinte:
1) o último algarismo de k^5 - k é 0, pela hipótese de indução;
2) k(k^3 + 1) é sempre par (por que?) e, portanto, 5k(k^3 + 1) é múltiplo de
10, de forma que o seu último algarismo é 0;
3) obviamente, o último algarismo de 10k^2(k+1) é 0.
OU seja, conseguimos escrever (k+1)^5 - (k+1) como a soma de 3 parcelas,
cada uma das quais tem o último algarismo igual a 0. Logo, ...
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200409/msg00368.html
